Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրության դասագիրք. Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական հասկացությունները

Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն

• Ագեկյան Թ.Ա. Սխալների տեսության հիմունքները աստղագետների և ֆիզիկոսների համար (2-րդ խմբ.). Մ.: Նաուկա, 1972 (djvu, 2.44 M)
• Ագեկյան Թ.Ա. Հավանականությունների տեսություն աստղագետների և ֆիզիկոսների համար. Մ.: Նաուկա, 1974 (djvu, 2.59 M)
• Anderson T. Ժամանակային շարքերի վիճակագրական վերլուծություն. Մ.: Միր, 1976 (djvu, 14 M)
• Բակելման Ի.Յա. Վերներ Ա.Լ. Kantor B.E. Դիֆերենցիալ երկրաչափության ներածություն «ընդհանուր». Մ.: Նաուկա, 1973 (djvu, 5,71 M)
• Բերնշտեյն Ս.Ն. Հավանականությունների տեսություն. Մ.-Լ.՝ Գ.Ի., 1927 (djvu, 4.51 M)
• Billingsley P. Հավանականության չափումների կոնվերգենցիա. Մ.: Նաուկա, 1977 (djvu, 3.96M)
• Box J. Jenkins G. Ժամանակային շարքերի վերլուծություն. կանխատեսում և կառավարում: Թողարկում 1. Մ.: Միր, 1974 թ (djvu, 3.38 M)
• Box J. Jenkins G. Ժամանակային շարքերի վերլուծություն. կանխատեսում և կառավարում: Թողարկում 2. Մ.: Միր, 1974 թ (djvu, 1,72 մ)
• Borel E. Հավանականություն և հուսալիություն: Մ.: Նաուկա, 1969 (djvu, 1.19 M)
• Վան դեր Վաերդեն Բ.Լ. Մաթեմատիկական վիճակագրություն. Մ.: ԻԼ, 1960 (djvu, 6.90 M)
• Վապնիկ Վ.Ն. Էմպիրիկ տվյալների հիման վրա կախվածության վերականգնում: Մ.: Նաուկա, 1979 (djvu, 6.18 M)
• Ventzel E.S. Գործառնական հետազոտությունների ներածություն. Մ.: Խորհրդային ռադիո, 1964 (djvu, 8.43 M)
• Ventzel E.S. Խաղերի տեսության տարրեր (2-րդ խմբ.). Սերիա՝ Հանրաճանաչ դասախոսություններ մաթեմատիկայի վերաբերյալ. Թողարկում 32. Մ.: Նաուկա, 1961 թ (djvu, 648 K)
• Ventstel E.S. Հավանականությունների տեսություն (4-րդ խմբ.). Մ.: Նաուկա, 1969 (djvu, 8.05 M)
• Ventstel E.S., Ovcharov L.A. Հավանականությունների տեսություն. Առաջադրանքներ և վարժություններ. Մ.: Նաուկա, 1969 (djvu, 7.71 M)
• Վիլենկին Ն.Յա., Պոտապով Վ.Գ. Գործնական աշխատանքային գիրք հավանականությունների տեսության վերաբերյալ կոմբինատորիկայի և մաթեմատիկական վիճակագրության տարրերով: Մ.: Կրթություն, 1979 (djvu, 1.12 M)
• Գմուրման Վ.Ե. Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների լուծման ուղեցույց (3-րդ խմբ.): Մ.: Ավելի բարձր: դպրոց, 1979 թ (djvu, 4.24 M)
• Գմուրման Վ.Ե. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն(4-րդ խմբ.): Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 1972 (djvu, 3,75 M)
• Գնեդենկո Բ.Վ., Կոլմոգորով Ա.Ն. Սահմանափակ բաշխումները անկախ պատահական փոփոխականների գումարների համար: M.-L.: GITTL, 1949 (djvu, 6.26 M)
• Գնեդենկո Բ.Վ., Խինչին Ա.Յա. Հավանականությունների տեսության տարրական ներածություն (7-րդ խմբ.): Մ.: Նաուկա, 1970 (djvu, 2.48 M)
• Oak J.L. Հավանական գործընթացներ. Մ.: ԻԼ, 1956 (djvu, 8.48 M)
• David G. Ordinal վիճակագրություն. Մ.: Նաուկա, 1979 (djvu, 2,87 M)
• Իբրահիմով Ի.Ա., Լիննիկ Յու.Վ. Անկախ և անշարժ հարակից քանակություններ: Մ.: Նաուկա, 1965 (djvu, 6.05 M)
• Idier V., Dryard D., James F., Rus M., Sadoulet B. Վիճակագրական մեթոդներ փորձարարական ֆիզիկայում: Մ.: Ատոմիզդատ, 1976 (djvu, 5,95 M)
• Կամալով Մ.Կ. Բաշխում քառակուսի ձևերնորմալ բնակչության նմուշներում: Տաշքենդ: ԽՍՀՄ Գիտությունների ակադեմիա, 1958 թ (djvu, 6.29 M)
• Կասանդրա Օ.Ն., Լեբեդև Վ.Վ. Դիտարկման արդյունքների մշակում. Մ.: Նաուկա, 1970 (djvu, 867 K)
• Katz M. Հավանականություն և հարակից հարցեր ֆիզիկայում. Մ.: Միր, 1965 (djvu, 3.67 M)
• Katz M. Ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի մի քանի հավանականական խնդիրներ. Մ.: Նաուկա, 1967 (djvu, 1,50 մ)
• Katz M. Վիճակագրական անկախությունը հավանականության տեսության, վերլուծության և թվերի տեսության մեջ: Մ.: ԻԼ, 1963 (djvu, 964 K)
• Քենդալ Մ., Մորան Պ. Երկրաչափական հավանականություններ. Մ.: Նաուկա, 1972 (djvu, 1,40 մ)
• Kendall M., Stewart A. Volume 2. Վիճակագրական եզրակացություն և կապեր: Մ.: Նաուկա, 1973 (djvu, 10 M)
• Kendall M., Stewart A. Volume 3. Multivariate վիճակագրական վերլուծություն և ժամանակային շարքեր: Մ.: Նաուկա, 1976 (djvu, 7.96 M)
• Kendall M., Stewart A. Vol. 1. Բաշխումների տեսություն. Մ.: Նաուկա, 1965 (djvu, 6.02 M)
• Կոլմոգորով Ա.Ն. Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները (2-րդ խմբ.) Մ.: Նաուկա, 1974 թ. (djvu, 2.14 M)
• Կոլչին Վ.Ֆ., Սևաստյանով Բ.Ա., Չիստյակով Վ.Պ. Պատահական տեղաբաշխումներ. Մ.: Նաուկա, 1976 (djvu, 2.96 M)
• Կրամեր Գ. Վիճակագրության մաթեմատիկական մեթոդներ (2-րդ խմբ.). Մ.: Միր, 1976 (djvu, 9.63 M)
• Leman E. Վիճակագրական վարկածների փորձարկում. Մ.: Գիտություն. 1979 թ (djvu, 5.18 M)
• Լիննիկ Յու.Վ., Օստրովսկի Ի.Վ. Պատահական փոփոխականների և վեկտորների տարրալուծում: Մ.: Նաուկա, 1972 (djvu, 4,86 ​​M)
• Լիխոլետով Ի.Ի., Մացկևիչ Ի.Պ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի, հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների լուծման ուղեցույց (2-րդ խմբ.): Մն.՝ Վիշ. դպրոց, 1969 թ (djvu, 4,99 մ)
• Loev M. Հավանականության տեսություն. Մ.: ԻԼ, 1962 (djvu, 7.38 M)
• Մալախով Ա.Ն. Պատահական ոչ Գաուսական գործընթացների և դրանց փոխակերպումների կուտակային վերլուծություն: Մ.: Սով. ռադիո, 1978 (djvu, 6.72 M)
• Մեշալկին Լ.Դ. Հավանականությունների տեսության խնդիրների ժողովածու: Մ.: ՄՊՀ, 1963 (djvu, 1 004 K)
• Միտրոպոլսկի Ա.Կ. Պահերի տեսություն. Մ.-Լ.՝ ԳԻՔՍԼ, 1933 (djvu, 4.49 M)
• Միտրոպոլսկի Ա.Կ. Վիճակագրական հաշվարկների տեխնիկա (2-րդ խմբ.). Մ.: Նաուկա, 1971 (djvu, 8.35 M)
• Mosteller F., Rurke R., Thomas J. հավանականություն. Մ.: Միր, 1969 (djvu, 4,82 M)
• Նալիմով Վ.Վ. Մաթեմատիկական վիճակագրության կիրառումը նյութի վերլուծության մեջ. M.: GIFML, 1960 (djvu, 4.11 M)
• Neveu J. Հավանականությունների տեսության մաթեմատիկական հիմունքները. Մ.: Միր, 1969 թ (djvu, 3.62M)
• Preston K. Մաթեմատիկա. Արտասահմանյան գիտության մեջ նորություն No7. Գիբսը նշում է հաշվելի բազմությունների վրա. Մ.: Միր, 1977 (djvu, 2.15 M)
• Սավելև Լ.Յա. Տարրական հավանականության տեսություն. Մաս 1. Նովոսիբիրսկ: NSU, 2005 (

Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն

1. ՏԵՍԱԿԱՆ ՄԱՍ

1 Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունների և հավանականության բաշխումների կոնվերգենցիան

Հավանականությունների տեսության մեջ մենք պետք է գործ ունենանք տարբեր տեսակներպատահական փոփոխականների կոնվերգենցիան: Դիտարկենք կոնվերգենցիայի հետևյալ հիմնական տեսակները՝ ըստ հավանականության, հավանականությամբ մեկ, p կարգի միջոցով, ըստ բաշխման։

Թող,... լինեն պատահական փոփոխականներ, որոնք սահմանված են հավանականության որոշ տարածության վրա (, Ф, P):

Սահմանում 1. Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը, ... ասվում է, որ հավանականությամբ համընկնում է պատահական փոփոխականին (նշում:), եթե որևէ մեկը > 0-ի համար է:

Սահմանում 2. Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը, ... ասվում է, որ համընկնում է մեկ հավանականությամբ (գրեթե հաստատ, գրեթե ամենուր) պատահական փոփոխականին, եթե

դրանք. եթե ելքերի բազմությունը, որի համար ()-ը չի համընկնում ()-ին, հավանականությունը զրոյական է:

Կոնվերգենցիայի այս տեսակը նշվում է հետևյալ կերպ՝ , կամ, կամ։

Սահմանում 3. Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը ... կոչվում է p կարգի միջին-կոնվերգենտ, 0:< p < , если

Սահմանում 4. Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը... ասվում է, որ բաշխման մեջ համընկնում է պատահական փոփոխականի (նշում:) եթե որևէ սահմանափակված շարունակական ֆունկցիայի համար

Պատահական փոփոխականների բաշխման մեջ կոնվերգենցիան սահմանվում է միայն դրանց բաշխման ֆունկցիաների կոնվերգենցիայի տեսանկյունից: Հետևաբար, իմաստ ունի խոսել այս տեսակի կոնվերգենցիայի մասին նույնիսկ այն դեպքում, երբ պատահական փոփոխականները նշված են հավանականության տարբեր տարածություններում:

Թեորեմ 1.

ա) (P-a.s.)-ի համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ ցանկացած > 0-ի համար

) () հաջորդականությունը հիմնարար է մեկ հավանականությամբ, եթե և միայն, եթե ցանկացած > 0-ի համար:

Ապացույց.

ա) Թող A = (: |- | ), A = A. Ապա

Հետևաբար, ա) հայտարարությունը հետևանքների հետևյալ շղթայի արդյունքն է.

P(:)= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P() 0,

n 0, > 0.) Նշենք = (: ), = . Այնուհետև (: (()) հիմնարար չէ ) = և նույն կերպ, ինչպես a)-ում ցույց է տրվում, որ (: (()) հիմնարար չէ ) = 0 P( ) 0, n:

Թեորեմն ապացուցված է

Թեորեմ 2. (Կոշիի չափանիշ գրեթե որոշակի կոնվերգենցիայի համար)

Որպեսզի պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը () կոնվերգենտ լինի հավանականության մեկին (ինչ-որ պատահական փոփոխականի), անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն հիմնարար լինի հավանականության մեկին:

Ապացույց.

Եթե, ապա +

որից բխում է թեորեմի պայմանների անհրաժեշտությունը.

Հիմա թող հաջորդականությունը () հիմնարար լինի մեկ հավանականությամբ: Նշենք L = (: (()) ոչ հիմնարար): Այնուհետև բոլորի համար թվերի հաջորդականությունը () հիմնարար է և, ըստ Քոշիի չափանիշի թվային հաջորդականությունների համար, () գոյություն ունի։ դնենք

Այս սահմանված ֆունկցիան պատահական փոփոխական է և.

Թեորեմն ապացուցված է.

2 Բնութագրական ֆունկցիաների մեթոդ

Բնութագրական ֆունկցիաների մեթոդը հավանականությունների տեսության վերլուծական ապարատի հիմնական գործիքներից է։ Պատահական փոփոխականների հետ մեկտեղ (իրական արժեքներ վերցնելը) բնորոշ ֆունկցիաների տեսությունը պահանջում է բարդ արժեք ունեցող պատահական փոփոխականների օգտագործում։

Պատահական փոփոխականների հետ կապված սահմանումներից և հատկություններից շատերը հեշտությամբ փոխանցվում են բարդ գործին: Այսպիսով, մաթեմատիկական սպասումը Մ ?բարդ արժեք ունեցող պատահական փոփոխական ?=?+?? որոշված ​​է համարվում, եթե որոշված ​​է մաթեմատիկական ակնկալիքներՄ ?և Մ ?. Այս դեպքում ըստ սահմանման ենթադրում ենք Մ ?= Մ ? + ?Մ ?. Պատահական տարրերի անկախության սահմանումից հետևում է, որ բարդ արժեքավոր մեծությունները ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2անկախ են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ պատահական փոփոխականների զույգերն անկախ են ( ?1 , ?1) Եվ ( ?2 , ?2), կամ, որը նույնն է՝ անկախ ?-հանրահաշիվ Ֆ ?1, ?1 և Ֆ ?2, ?2.

Տարածության հետ մեկտեղ Լ 2իրական պատահական փոփոխականներ վերջավոր երկրորդ պահով, մենք կարող ենք հաշվի առնել բարդ արժեք ունեցող պատահական փոփոխականների Հիլբերտյան տարածությունը ?=?+?? Մ-ի հետ | ?|2?|2= ?2+?2և սկալյար արտադրանքը ( ?1 , ?2)= Մ ?1?2¯ , Որտեղ ?2¯ - բարդ խոնարհված պատահական փոփոխական:

Հանրահաշվական գործողություններում Rn վեկտորները դիտվում են որպես հանրահաշվական սյունակներ,

Որպես տողերի վեկտորներ՝ a* - (a1,a2,…,an): Եթե ​​Rn , ապա դրանց սկալյար արտադրյալը (a,b) կհասկանա որպես մեծություն։ Պարզ է, որ

Եթե ​​aRn և R=||rij|| nхn կարգի մատրիցա է, ապա

Սահմանում 1. Թող F = F(x1,....,xn) - n-չափական բաշխման ֆունկցիա (, ()-ում): Նրա բնորոշ ֆունկցիան կոչվում է ֆունկցիա

Սահմանում 2 . Եթե? = (?1,…,?n) պատահական վեկտոր է, որը սահմանված է հավանականության տարածության վրա՝ մեջ արժեքներով, ապա դրա բնորոշ ֆունկցիան կոչվում է ֆունկցիա։

որտեղ է F. = F?(х1,….,хn) - վեկտորի բաշխման ֆունկցիա?=(?1,…, ?n):

Եթե ​​F(x) բաշխման ֆունկցիան ունի f = f(x), ապա

Այս դեպքում բնորոշ ֆունկցիան ոչ այլ ինչ է, քան f(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի փոխակերպումը։

(3)-ից հետևում է, որ պատահական վեկտորի ??(t) ֆունկցիան կարող է սահմանվել նաև հավասարությամբ.

Բնութագրական ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները (n=1 դեպքում).

Թող դա? = ?(?) - պատահական փոփոխական, F? =F? (x) նրա բաշխման ֆունկցիան է և բնորոշ ֆունկցիան։

Հարկ է նշել, որ եթե, ապա.

Փաստորեն,

որտեղ մենք օգտվեցինք այն հանգամանքից, որ անկախ (սահմանափակ) պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին։

Հատկությունը (6) առանցքային է անկախ պատահական փոփոխականների գումարների սահմանային թեորեմներն ապացուցելիս բնորոշ ֆունկցիաների մեթոդով։ Այս առումով բաշխման ֆունկցիան արտահայտվում է առանձին տերմինների բաշխման ֆունկցիաների միջոցով շատ ավելի բարդ ձևով, մասնավորապես, որտեղ * նշանը նշանակում է բաշխումների միաձուլում:

Յուրաքանչյուր բաշխման ֆունկցիա կարող է կապված լինել պատահական փոփոխականի հետ, որն ունի այս ֆունկցիան որպես իր բաշխման ֆունկցիա: Հետևաբար, բնութագրական ֆունկցիաների հատկությունները ներկայացնելիս մենք կարող ենք սահմանափակվել պատահական փոփոխականների բնորոշ գործառույթները դիտարկելով։

Թեորեմ 1.Թող դա? - F=F(x) բաշխման ֆունկցիայով պատահական փոփոխական և - նրա բնորոշ ֆունկցիան:

Տեղի են ունենում հետևյալ հատկությունները.

) միատեսակ շարունակական է.

) իրական արժեք ունեցող ֆունկցիա է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե F-ի բաշխումը սիմետրիկ է

)եթե որոշ n? 1, ապա բոլորի համար կան ածանցյալներ և

)Եթե գոյություն ունի և վերջավոր է, ապա

) Թող բոլորի համար n ? 1 և

ապա բոլորի համար |t|

Հետևյալ թեորեմը ցույց է տալիս, որ բնորոշ ֆունկցիան եզակիորեն որոշում է բաշխման ֆունկցիան։

Թեորեմ 2 (եզակիություն). Թող F և G երկու բաշխման ֆունկցիաներ լինեն, որոնք ունեն նույն բնորոշ ֆունկցիան, այսինքն՝ բոլորի համար

Թեորեմն ասում է, որ F = F(x) բաշխման ֆունկցիան կարող է եզակի կերպով վերականգնվել իր բնորոշ ֆունկցիայից։ Հետևյալ թեորեմը տալիս է F ֆունկցիայի բացահայտ ներկայացում առումներով.

Թեորեմ 3 (ընդհանրացման բանաձև). Թող F = F(x) լինի բաշխման ֆունկցիան և լինի նրա բնորոշ ֆունկցիան։

ա) Ցանկացած երկու կետերի համար a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Եթե F(x) բաշխման ֆունկցիան ունի f(x) խտություն,

Թեորեմ 4. Որպեսզի պատահական վեկտորի բաղադրիչներն անկախ լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա բնորոշ ֆունկցիան լինի բաղադրիչների բնորոշ ֆունկցիաների արտադրյալը.

Բոխներ-Խինչին թեորեմ . Թող լինի շարունակական ֆունկցիա, որպեսզի այն բնութագրվի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն լինի ոչ բացասական որոշիչ, այսինքն՝ ցանկացած իրական t1, ... , tn և ցանկացած բարդ թվերի համար:

Թեորեմ 5. Թող լինի պատահական փոփոխականի բնորոշ ֆունկցիա:

ա) Եթե ոմանց համար, ապա պատահական փոփոխականը վանդակավոր է քայլով, այսինքն

) Եթե երկու տարբեր կետերի համար որտե՞ղ է իռացիոնալ թիվը, ապա դա պատահական փոփոխակա՞ն է: այլասերված է.

որտեղ a-ն որոշակի հաստատուն է:

գ) Եթե, ուրեմն դա պատահական փոփոխական է: այլասերված.

1.3 Կենտրոնական սահմանային թեորեմ անկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականների համար

Թող () լինի անկախ, նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների հաջորդականություն: Ակնկալիքը M= a, շեղումը D= , S = , և Ф(х) նորմալ օրենքի բաշխման ֆունկցիան է (0,1): Ներկայացնենք պատահական փոփոխականների հերթական հաջորդականությունը

Թեորեմ. Եթե ​​0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

Այս դեպքում () հաջորդականությունը կոչվում է ասիմպտոտիկ նորմալ:

Այն փաստից, որ M = 1 և շարունակականության թեորեմներից հետևում է, որ թույլ կոնվերգենցիայի հետ մեկտեղ FM f() Mf() ցանկացած շարունակական սահմանափակ f-ի համար, կա նաև կոնվերգենցիա M f() Mf() ցանկացած շարունակական f-ի համար: , այնպիսին, որ |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Ապացույց.

Միատեսակ կոնվերգենցիան այստեղ Ֆ(x) թույլ կոնվերգենցիայի և շարունակականության հետևանք է։ Ավելին, առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել a = 0, քանի որ հակառակ դեպքում մենք կարող էինք դիտարկել հաջորդականությունը (), իսկ հաջորդականությունը () չէր փոխվի: Հետևաբար, պահանջվող կոնվերգենցիան ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ (t) e երբ a = 0: Մենք ունենք.

(t) = , որտեղ =(t):

Քանի որ M գոյություն ունի, ուրեմն տարրալուծումը գոյություն ունի և վավեր է

Հետեւաբար, համար n

Թեորեմն ապացուցված է.

1.4 Մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական խնդիրները, դրանց համառոտ նկարագրությունը

Զանգվածային պատահական երևույթները կառավարող օրինաչափությունների հաստատումը հիմնված է վիճակագրական տվյալների՝ դիտարկումների արդյունքների ուսումնասիրության վրա։ Մաթեմատիկական վիճակագրության առաջին խնդիրն է ցույց տալ վիճակագրական տեղեկատվության հավաքագրման և խմբավորման ուղիները: Մաթեմատիկական վիճակագրության երկրորդ խնդիրը վիճակագրական տվյալների վերլուծության մեթոդների մշակումն է՝ կախված ուսումնասիրության նպատակներից։

Մաթեմատիկական վիճակագրության ցանկացած խնդիր լուծելիս կա տեղեկատվության երկու աղբյուր. Առաջին և ամենաորոշը (բացահայտը) դիտարկումների (փորձի) արդյունքն է սկալյար կամ վեկտորային պատահական փոփոխականի որոշ ընդհանուր պոպուլյացիայի նմուշի տեսքով: Այս դեպքում նմուշի չափը n կարող է ամրագրվել կամ այն ​​կարող է աճել փորձի ընթացքում (այսինքն՝ կարելի է օգտագործել այսպես կոչված հաջորդական վիճակագրական վերլուծության ընթացակարգերը):

Երկրորդ աղբյուրը ամբողջը a priori տեղեկատվություն է ուսումնասիրվող օբյեկտի հետաքրքրության հատկությունների մասին, որոնք կուտակվել են մինչև ներկա պահը: Ֆորմալ կերպով, a priori տեղեկատվության քանակն արտացոլվում է նախնական վիճակագրական մոդելում, որն ընտրվում է խնդիրը լուծելիս: Այնուամենայնիվ, փորձերի արդյունքների վրա հիմնված իրադարձության հավանականության սովորական իմաստով մոտավոր որոշման մասին խոսելն ավելորդ է։ Ցանկացած քանակի մոտավոր որոշում ասելով սովորաբար ենթադրվում է, որ հնարավոր է նշել սխալի սահմանները, որոնց սահմաններում սխալ տեղի չի ունենա: Իրադարձության հաճախականությունը պատահական է ցանկացած թվով փորձերի համար՝ պայմանավորված առանձին փորձերի արդյունքների պատահականությամբ: Անհատական ​​փորձերի արդյունքների պատահականության պատճառով հաճախականությունը կարող է զգալիորեն շեղվել իրադարձության հավանականությունից: Հետևաբար, սահմանելով իրադարձության անհայտ հավանականությունը որպես այս իրադարձության հաճախականություն մեծ թվով փորձերի ընթացքում, մենք չենք կարող նշել սխալի սահմանները և երաշխավորել, որ սխալը չի ​​գերազանցի այդ սահմանները: Հետևաբար, մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ մենք սովորաբար խոսում ենք ոչ թե անհայտ մեծությունների մոտավոր արժեքների, այլ դրանց հարմար արժեքների, գնահատումների մասին:

Անհայտ պարամետրերի գնահատման խնդիրն առաջանում է այն դեպքերում, երբ բնակչության բաշխման ֆունկցիան հայտնի է մինչև պարամետր: Այս դեպքում անհրաժեշտ է գտնել մի վիճակագրություն, որի նմուշի արժեքը պատահական նմուշի xn-ի դիտարկված իրականացման համար կարող է դիտարկվել որպես պարամետրի մոտավոր արժեք: Վիճակագրությունը, որի նմուշային արժեքը xn կատարման համար ընդունվում է որպես անհայտ պարամետրի մոտավոր արժեք, կոչվում է կետային գնահատում կամ պարզապես գնահատում և հանդիսանում է կետային գնահատման արժեք: Կետային գնահատականը պետք է բավարարի շատ հատուկ պահանջներ, որպեսզի դրա նմուշի արժեքը համապատասխանի պարամետրի իրական արժեքին:

Հնարավոր է նաև քննարկվող խնդրի լուծման մեկ այլ մոտեցում՝ գտնել նման վիճակագրություն և, ամենայն հավանականությամբ. գործում է հետևյալ անհավասարությունը.

Այս դեպքում մենք խոսում ենք ինտերվալների գնահատման մասին: Ինտերվալ

կոչվում է վստահության ինտերվալ համար վստահության գործակցի հետ:

Փորձերի արդյունքների հիման վրա գնահատելով այս կամ այն ​​վիճակագրական բնութագիրը՝ հարց է առաջանում՝ որքանո՞վ է համահունչ այն ենթադրությունը (վարկածը), որ անհայտ բնութագիրը ունի հենց այն արժեքը, որը ստացվել է դրա գնահատման արդյունքում փորձարարական տվյալների հետ: Ահա թե ինչպես է առաջանում մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների երկրորդ կարևոր դասը՝ վարկածների փորձարկման խնդիրները։

Ինչ-որ իմաստով, վիճակագրական վարկածի փորձարկման խնդիրը պարամետրերի գնահատման խնդրի հակադարձն է: Պարամետրը գնահատելիս մենք ոչինչ չգիտենք դրա իրական արժեքի մասին: Վիճակագրական վարկածը ստուգելիս ինչ-ինչ պատճառներով ենթադրվում է, որ դրա արժեքը հայտնի է, և անհրաժեշտ է ստուգել այդ ենթադրությունը՝ հիմնվելով փորձի արդյունքների վրա:

Մաթ.

Այսպիսով, մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական խնդիրներն են գնահատումներ գտնելու և գնահատվող բնութագրերին դրանց մոտարկման ճշգրտության ուսումնասիրման մեթոդների մշակումը և վարկածների փորձարկման մեթոդների մշակումը:

5 Վիճակագրական վարկածների ստուգում. հիմնական հասկացություններ

Վիճակագրական վարկածների փորձարկման ռացիոնալ մեթոդների մշակման խնդիրը մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական խնդիրներից է։ Վիճակագրական վարկածը (կամ պարզապես հիպոթեզը) ցանկացած հայտարարություն է պատահական փոփոխականների բաշխման տեսակի կամ հատկությունների մասին, որոնք դիտվում են փորձի ժամանակ։

Թող լինի մի նմուշ, որը պատահական նմուշի իրականացում է ընդհանուր բնակչությանից, որի բաշխման խտությունը կախված է անհայտ պարամետրից:

Պարամետրի անհայտ իրական արժեքի վերաբերյալ վիճակագրական վարկածները կոչվում են պարամետրային հիպոթեզներ: Ընդ որում, եթե սկալյար է, ապա խոսքը մի պարամետրային վարկածների մասին է, իսկ եթե վեկտոր է, ապա խոսքը բազմապարամետր հիպոթեզների մասին է։

Վիճակագրական վարկածը կոչվում է պարզ, եթե այն ունի ձև

որտեղ է որոշ սահմանված պարամետրի արժեք:

Վիճակագրական վարկածը կոչվում է բարդ, եթե այն ունի ձև

որտեղ կա մեկից ավելի տարրից բաղկացած պարամետրերի արժեքների մի շարք:

Ձևի երկու պարզ վիճակագրական վարկածների փորձարկման դեպքում

որտեղ պարամետրի երկու տրված (տարբեր) արժեքներ են, առաջին վարկածը սովորաբար կոչվում է հիմնական, իսկ երկրորդը այլընտրանքային կամ մրցակցող վարկած է:

Հիպոթեզների փորձարկման չափանիշը կամ վիճակագրական չափանիշը այն կանոնն է, որով ընտրանքային տվյալների հիման վրա որոշում է կայացվում առաջին կամ երկրորդ վարկածի վավերականության մասին:

Չափանիշը սահմանվում է կրիտիկական բազմության միջոցով, որը պատահական նմուշի ընտրանքային տարածության ենթաբազմություն է: Որոշումն ընդունվում է հետևյալ կերպ.

) եթե նմուշը պատկանում է կրիտիկական բազմությանը, ապա մերժիր հիմնական վարկածը և ընդունիր այլընտրանքային վարկածը.

) եթե նմուշը չի պատկանում կրիտիկական բազմությանը (այսինքն՝ այն պատկանում է նմուշի տարածության բազմության լրացմանը), ապա այլընտրանքային վարկածը մերժվում է և հիմնական վարկածն ընդունվում։

Ցանկացած չափանիշ օգտագործելիս հնարավոր են սխալների հետևյալ տեսակները.

1) ընդունել վարկածը, երբ այն ճիշտ է` առաջին տեսակի սխալ.

) վարկածի ընդունումը, երբ այն ճիշտ է, երկրորդ տիպի սխալ է:

Առաջին և երկրորդ տիպի սխալներ թույլ տալու հավանականությունը նշվում է հետևյալով.

որտեղ է իրադարձության հավանականությունը, պայմանով, որ վարկածը ճիշտ է. Նշված հավանականությունները հաշվարկվում են պատահական ընտրանքի բաշխման խտության ֆունկցիայի միջոցով.

I տիպի սխալ թույլ տալու հավանականությունը կոչվում է նաև չափանիշի նշանակության մակարդակ։

Այն արժեքը, որը հավասար է հիմնական վարկածը ճիշտ լինելու դեպքում մերժելու հավանականությանը, կոչվում է թեստի ուժ։

1.6 Անկախության չափանիշ

Երկչափ բաշխումից կա նմուշ ((XY), ..., (XY)):

L-ն անհայտ բաշխման ֆունկցիայով, որի համար անհրաժեշտ է ստուգել H: , որտեղ կան միաչափ բաշխման ֆունկցիաներ:

Մեթոդաբանության հիման վրա կարելի է կառուցել H վարկածի համար հարմարության պարզ թեստ: Այս տեխնիկան օգտագործվում է վերջավոր թվով արդյունքներով դիսկրետ մոդելների համար, ուստի մենք համաձայն ենք, որ պատահական փոփոխականը վերցնում է որոշ արժեքների վերջավոր թվեր s, որոնք մենք կնշենք տառերով, իսկ երկրորդ բաղադրիչը՝ k արժեքներ։ Եթե ​​սկզբնական մոդելն ունի այլ կառուցվածք, ապա պատահական փոփոխականների հնարավոր արժեքները նախապես խմբավորվում են առանձին՝ առաջին և երկրորդ բաղադրիչների մեջ: Այս դեպքում բազմությունը բաժանվում է s միջակայքերի, արժեքը սահմանվում է k ընդմիջումներով, իսկ արժեքը սահմանվում է N=sk ուղղանկյունների։

Նշենք զույգի դիտումների քանակով (ուղղանկյունին պատկանող նմուշի տարրերի քանակով, եթե տվյալները խմբավորված են), այնպես որ. Դիտարկման արդյունքները հարմար է կազմակերպել երկու նշաններից բաղկացած պատահական աղյուսակի տեսքով (Աղյուսակ 1.1): Ծրագրերում և սովորաբար նշանակում է երկու չափանիշ, որոնցով դասակարգվում են դիտարկման արդյունքները:

Թող P, i=1,…,s, j=1,…,k. Այնուհետև անկախության վարկածը նշանակում է, որ կան s+k հաստատուններ այնպիսին, որ և, այսինքն.

Աղյուսակ 1.1

Գումար . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Գումար . . .n

Այսպիսով, H վարկածը հանգում է այն պնդմանը, որ հաճախականությունները (դրանց թիվը N = sk) բաշխվում են բազմանդամ օրենքի համաձայն՝ նշված կոնկրետ կառուցվածք ունեցող արդյունքների հավանականությամբ (արդյունքների հավանականությունների վեկտորը որոշվում է արժեքներով։ r = s + k-2 անհայտ պարամետրերի.

Այս վարկածը ստուգելու համար մենք կգտնենք առավելագույն հավանականության գնահատումներ անհայտ պարամետրերի համար, որոնք որոշում են դիտարկվող սխեման: Եթե ​​զրոյական վարկածը ճշմարիտ է, ապա հավանականության ֆունկցիան ունի L(p)= ձև, որտեղ c բազմապատկիչը կախված չէ անհայտ պարամետրերից: Այստեղից, օգտագործելով անորոշ բազմապատկիչների Լագրանժի մեթոդը, մենք ստանում ենք, որ պահանջվող գնահատումները ունեն ձև.

Հետեւաբար, վիճակագրություն

L() at, քանի որ սահմանային բաշխման մեջ ազատության աստիճանների թիվը հավասար է N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1):

Այսպիսով, բավականաչափ մեծ n-ի համար կարող է օգտագործվել հիպոթեզի փորձարկման հետևյալ կանոնը. H վարկածը մերժվում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փաստացի տվյալներից հաշվարկված t վիճակագրական արժեքը բավարարում է անհավասարությունը:

Այս չափանիշն ունի ասիմպտոտիկ (at) նշանակության մակարդակ և կոչվում է անկախության չափանիշ։

2. ԳՈՐԾՆԱԿԱՆ ՄԱՍ

1 Կոնվերգենցիայի տեսակների վերաբերյալ խնդիրների լուծումներ

1. Ապացուցեք, որ մերձեցումը գրեթե անկասկած ենթադրում է հավանականության մերձեցում: Ներկայացրեք թեստային օրինակ՝ ցույց տալու համար, որ հակառակը ճիշտ չէ:

Լուծում. Թող պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը համընկնի պատահական x փոփոխականի հետ գրեթե հաստատ: Այսպիսով, ինչ-որ մեկի համար: > 0

Այդ ժամանակից ի վեր

և xn-ի x-ի կոնվերգենցիայից գրեթե անկասկած հետևում է, որ xn-ը հակված է xn-ին հավանականությամբ, քանի որ այս դեպքում.

Բայց հակառակ պնդումը ճիշտ չէ։ Թող լինի անկախ պատահական փոփոխականների հաջորդականություն, որոնք ունեն նույն բաշխման ֆունկցիան F(x), որը հավասար է x-ի զրոյի: 0 և հավասար x > 0-ի համար: Դիտարկենք հաջորդականությունը

Այս հաջորդականությունը հակված է զրոյի, քանի որ

հակված է զրոյի ցանկացած ֆիքսված. Եվ. Այնուամենայնիվ, զրոյի մերձեցում գրեթե անկասկած տեղի չի ունենա: Իսկապես

հակված է միասնության, այսինքն՝ ցանկացածի և n-ի համար 1 հավանականության դեպքում կլինեն ?-ն գերազանցող հաջորդականությամբ իրականացումներ։

Նկատի ունեցեք, որ xn մեծությունների վրա դրված որոշ լրացուցիչ պայմանների առկայության դեպքում, հավանականության կոնվերգենցիան գրեթե անկասկած ենթադրում է կոնվերգենցիա:

Թող xn-ը լինի միատոն հաջորդականություն: Ապացուցեք, որ այս դեպքում xn-ի x-ի զուգակցումը հավանականության մեջ հանգեցնում է xn-ի x-ի կոնվերգենցիային 1-ին հավանականությամբ:

Լուծում. Թող xn-ը լինի միապաղաղ նվազող հաջորդականություն, այսինքն. Մեր պատճառաբանությունը պարզեցնելու համար մենք կենթադրենք, որ x º 0, xn ³ 0 բոլոր n-ի համար: Թող xn-ը հավանականության մեջ համընկնի x-ին, բայց կոնվերգենցիան գրեթե հաստատ տեղի չի ունենում: Այդ դեպքում այն ​​գոյություն ունի՞: > 0, այնպիսին, որ բոլոր n-ի համար

Բայց ասվածը նաև նշանակում է, որ բոլոր ն

որը հակասում է xn-ի x-ի հակման հավանականությանը: Այսպիսով, xn միապաղաղ հաջորդականության համար, որը հակված է x-ին, հակված է նաև 1-ին (գրեթե հաստատ):

Թող xn հաջորդականությունը հակված լինի x-ին: Ապացուցեք, որ այս հաջորդականությունից հնարավոր է առանձնացնել մի հաջորդականություն, որը համընկնում է x-ին՝ 1 at հավանականությամբ:

Լուծում. Թող լինեն դրական թվերի ինչ-որ հաջորդականություն, և թող և լինեն այնպիսի դրական թվեր, որ շարքը: Կառուցենք n1 ինդեքսների հաջորդականություն

Հետո շարքը

Քանի որ շարքը համընկնում է, ապա որևէ մեկի համար: > 0 շարքի մնացորդը ձգտում է զրոյի: Բայց հետո այն ձգտում է զրոյի և

Ապացուցեք, որ ցանկացած դրական կարգի միջինում կոնվերգենցիան ենթադրում է հավանականության մերձեցում: Օրինակ բերեք՝ ցույց տալու համար, որ հակառակը ճիշտ չէ։

Լուծում. Թող xn հաջորդականությունը համընկնի x արժեքի միջինում p > 0 կարգի, այսինքն

Եկեք օգտագործենք ընդհանրացված Չեբիշևյան անհավասարությունը. > 0 և p > 0

Ուղղորդելով և հաշվի առնելով դա՝ մենք ստանում ենք դա

այսինքն, xn-ը հակված է x-ին հավանականությամբ:

Այնուամենայնիվ, հավանականության կոնվերգենցիան չի ենթադրում կոնվերգենցիա p > 0 կարգի միջինում: Սա պատկերված է հետևյալ օրինակով: Դիտարկենք հավանականության տարածությունը áW, F, Rñ, որտեղ F = B-ը Բորելի s-հանրահաշիվն է, R-ը՝ Լեբեգի չափը:

Եկեք սահմանենք պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը հետևյալ կերպ.

xn հաջորդականությունը ամենայն հավանականությամբ համընկնում է 0-ի, քանի որ

բայց ցանկացած p> 0-ի համար

այսինքն՝ միջինում չի զուգակցվի։

Թող, ինչ բոլորի համար n . Ապացուցեք, որ այս դեպքում xn-ը համընկնում է x-ի միջին քառակուսու վրա:

Լուծում. Նշենք, որ... Եկեք գնահատենք դրա համար: Դիտարկենք պատահական փոփոխական: Թող դա? - կամայական դրական թիվ. Այնուհետև ժամը և ժամը:

Եթե, ապա և. Հետևաբար, . Իսկ որովհետև? կամայականորեն փոքր և, այնուհետև ժամը, այսինքն՝ արմատում միջին քառակուսի:

Ապացուցեք, որ եթե xn-ը հակված է x-ին, ապա տեղի է ունենում թույլ կոնվերգենցիա: Ներկայացրեք թեստային օրինակ՝ ցույց տալու համար, որ հակառակը ճիշտ չէ:

Լուծում. Փաստենք, որ եթե, ապա յուրաքանչյուր x կետում, որը շարունակականության կետ է (սա անհրաժեշտ և բավարար պայման է թույլ կոնվերգենցիայի համար), xn արժեքի բաշխման ֆունկցիան է, իսկ - x-ի արժեքը։

Թող x լինի F ֆունկցիայի շարունակականության կետ։ Եթե, ապա անհավասարություններից գոնե մեկը ճիշտ է։ Հետո

Նմանապես, անհավասարություններից առնվազն մեկի համար կամ և

Եթե, ապա այնքան փոքրի համար, որքան ցանկանում եք: > 0 կա ​​N այնպիսին, որ բոլորի համար n > N

Մյուս կողմից, եթե x-ը շարունակականության կետ է, հնարավո՞ր է նման բան գտնել: > 0, որը կամայականորեն փոքր է

Այսպիսով, այնքան փոքրի համար, որքան ցանկանում եք: և կա N այնպիսին, որ n >N-ի համար

կամ, ինչ է նույնը,

Սա նշանակում է, որ կոնվերգենցիան և տեղի է ունենում շարունակականության բոլոր կետերում: Հետևաբար, հավանականության մերձեցումից հետևում է թույլ կոնվերգենցիա:

Հակառակ հայտարարությունը, ընդհանուր առմամբ, չի համապատասխանում: Սա ստուգելու համար վերցնենք պատահական փոփոխականների հաջորդականություն, որոնք հավասար չեն 1 հավանականությամբ հաստատուններին և ունեն նույն բաշխման ֆունկցիան F(x): Մենք ենթադրում ենք, որ բոլոր n քանակությունների համար և անկախ են: Ակնհայտ է, որ տեղի է ունենում թույլ կոնվերգենցիա, քանի որ հաջորդականության բոլոր անդամներն ունեն նույն բաշխման ֆունկցիան։ Հաշվի առեք.

|արժեքների անկախությունից ու նույնական բաշխումից բխում է, որ

Եկեք ընտրենք ոչ այլասերված պատահական փոփոխականների բաշխման բոլոր ֆունկցիաներից այնպիսի F(x), որը կլինի ոչ զրոյական բոլոր բավական փոքր ?-ների համար: Այնուհետև այն չի հակվում զրոյի n-ի անսահմանափակ աճով և հավանականության կոնվերգենցիան տեղի չի ունենա:

7. Թող լինի թույլ կոնվերգենցիա, որտեղ 1 հավանականության դեպքում կա հաստատուն։ Ապացուցեք, որ այս դեպքում այն ​​կհամընկնի հավանականության վրա:

Լուծում. Թող հավանականությունը 1 հավասար լինի a-ի: Այնուհետև թույլ կոնվերգենցիան նշանակում է մերձեցում ցանկացածի համար: Քանի որ, հետո ժամը և ժամը: Այսինքն՝ ժամը և ժամը։ Հետևում է, որ որևէ մեկի համար? > 0 հավանականություն

հակված են զրոյի: Սա նշանակում է, որ

ձգտում է դեպի զրոյի ժամը, այսինքն՝ համընկնում է հավանականության վրա:

2.2 Կենտրոնական ջեռուցման կենտրոնի խնդիրների լուծում

Գ(x) գամմա ֆունկցիայի արժեքը x=-ում հաշվարկվում է Մոնտե Կառլոյի մեթոդով։ Եկեք գտնենք անհրաժեշտ թեստերի նվազագույն քանակը, որպեսզի 0,95 հավանականությամբ ակնկալենք, որ հաշվարկների հարաբերական սխալը կլինի մեկ տոկոսից պակաս:

Մինչև ճշգրտության մենք ունենք

Հայտնի է, որ

Փոփոխություն կատարելով (1-ում)՝ վերջավոր միջակայքում հասնում ենք ինտեգրալին.

Հետևաբար մեզ հետ

Ինչպես երևում է, այն կարող է ներկայացվել այն տեսքով, որտեղ և բաշխված է միատեսակ վրա։ Թող վիճակագրական թեստեր կատարվեն։ Այնուհետև վիճակագրական անալոգը քանակն է

որտեղ, անկախ պատահական փոփոխականներ են՝ միատեսակ բաշխմամբ: Միևնույն ժամանակ

CLT-ից հետևում է, որ այն ասիմպտոտիկ նորմալ է պարամետրերի հետ:

Սա նշանակում է, որ հաշվարկի հարաբերական սխալը ամենայն հավանականությամբ ապահովող թեստերի նվազագույն թիվը հավասար չէ:

Մենք դիտարկում ենք 2000 անկախ նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների հաջորդականություն՝ 4 մաթեմատիկական ակնկալիքով և 1.8 շեղումով: Այս մեծությունների միջին թվաբանականը պատահական փոփոխական է։ Որոշեք այն հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի միջակայքում (3.94; 4.12):

Թող, …,… լինի անկախ պատահական փոփոխականների հաջորդականություն, որոնք ունեն նույն բաշխումը M=a=4 և D==1.8-ով: Այնուհետև CLT-ն կիրառելի է (): Պատահական փոփոխական

Հավանականությունը, որ այն արժեք կընդունի միջակայքում ():

n=2000, 3.94 և 4.12 համար մենք ստանում ենք

3 Հիպոթեզների ստուգում անկախության չափանիշի միջոցով

Հետազոտության արդյունքում պարզվել է, որ 782 բաց աչքերով հայրեր ունեն նաև բաց աչքերով տղաներ, իսկ 89 բաց աչքերով հայրեր՝ մուգ աչքերով։ 50 մուգ աչքերով հայրեր ունեն նաև մուգ աչքերով որդիներ, իսկ 79 մուգ աչքերով հայրեր՝ բաց աչքերով որդիներ։ Արդյո՞ք կապ կա հայրերի և նրանց որդիների աչքերի գույնի միջև: Վերցրեք վստահության մակարդակը 0,99:

Աղյուսակ 2.1

ԵրեխաներՀայրերԳումարԼուսավոր աչքերովՄուգ աչքերովԼուսավոր աչքեր78279861Մուգ աչքեր8950139Sum8711291000

Հ. Երեխաների և հայրերի աչքերի գույնի միջև կապ չկա:

Հ.- Երեխաների և հայրերի աչքերի գույնի միջև կապ կա:

s=k=2 =90.6052 ազատության 1 աստիճանով

Հաշվարկները կատարվել են Mathematica 6-ում։

Քանի որ > , ապա Հ-ի վարկածը՝ հայրերի և երեխաների աչքի գույնի միջև կապի բացակայության մասին, նշանակալիության մակարդակով, պետք է մերժել և ընդունել այլընտրանքային Հ վարկածը։

Նշվում է, որ դեղամիջոցի ազդեցությունը կախված է կիրառման եղանակից։ Ստուգեք այս հայտարարությունը օգտագործելով աղյուսակում ներկայացված տվյալները: 2.2 Վերցրեք վստահության մակարդակը 0.95:

Աղյուսակ 2.2

Արդյունք Կիրառման մեթոդ ABC Անբարենպաստ 111716 Բարենպաստ 202319

Լուծում.

Այս խնդիրը լուծելու համար մենք կօգտագործենք երկու բնութագրերից բաղկացած պատահականության աղյուսակ:

Աղյուսակ 2.3

Արդյունք Կիրառման մեթոդ Գումարը ABC Անբարենպաստ 11171644 Բարենպաստ 20231962 Գումար 314035106

H. դեղերի ազդեցությունը կախված չէ ընդունման եղանակից

H. դեղերի ազդեցությունը կախված է կիրառման եղանակից

Վիճակագրությունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով

s=2, k=3, =0.734626 ազատության 2 աստիճանով:

Mathematica 6-ում կատարված հաշվարկներ

Բաշխման աղյուսակներից մենք գտնում ենք, որ.

Որովհետև< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Եզրակացություն

Այս աշխատանքում ներկայացված են տեսական հաշվարկներ «Անկախության չափանիշ» բաժնից, ինչպես նաև «Հավանականությունների տեսության սահմանային թեորեմներ», «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» դասընթացից: Աշխատանքի ընթացքում անկախության չափանիշը փորձարկվել է գործնականում. Նաև անկախ պատահական փոփոխականների տրված հաջորդականությունների համար ստուգվել է կենտրոնական սահմանային թեորեմի կատարումը։

Այս աշխատանքն օգնեց բարելավել իմ գիտելիքները հավանականությունների տեսության այս բաժինների վերաբերյալ, աշխատել գրական աղբյուրների հետ և ամուր տիրապետել անկախության չափանիշը ստուգելու տեխնիկային:

հավանականության վիճակագրական վարկածի թեորեմ

Հղումների ցանկ

1. Հավանականությունների տեսությունից խնդիրների ժողովածու՝ լուծումներով։ Ուխ. նպաստ / Էդ. Վ.Վ. Սեմենեցներ. - Խարկով: ԽՏՈՒՐԵ, 2000. - 320 էջ.

Գիխման Ի.Ի., Սկորոխոդ Ա.Վ., Յադրենկո Մ.Ի. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն. - Կ.: Վիշչայի դպրոց, 1979. - 408 էջ.

Իվչենկո Գ.Ի., Մեդվեդև Յու.Ի., Մաթեմատիկական վիճակագրություն. Դասագիրք. նպաստ քոլեջների համար. - Մ.: Ավելի բարձր: դպրոց, 1984. - 248 էջ, .

Մաթեմատիկական վիճակագրություն. Դասագիրք. համալսարանների համար / V.B. Գորյաինով, Ի.Վ. Պավլովը, Գ.Մ. Ցվետկովան և ուրիշներ; Էդ. Վ.Ս. Զարուբինա, Ա.Պ. Կրիշչենկոն։ - Մ.: ՀՊՏՀ իմ. Ն.Է. Bauman, 2001. - 424 p.

կրկնուսուցում

Օգնության կարիք ունե՞ք թեման ուսումնասիրելու համար:

Մեր մասնագետները խորհուրդ կտան կամ կտրամադրեն կրկնուսուցման ծառայություններ ձեզ հետաքրքրող թեմաներով:
Ներկայացրե՛ք Ձեր դիմումընշելով թեման հենց հիմա՝ խորհրդատվություն ստանալու հնարավորության մասին պարզելու համար:

Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմունքներ

Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմունքները Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները Հավանականությունների տեսության ուսումնասիրության առարկան զանգվածային բնույթի միատարր պատահական երևույթների քանակական օրինաչափություններն են։ Սահմանում 1. Իրադարձություն ցանկացած հնարավոր փաստ է, որը կարելի է ասել, որ տեղի է ունենում կամ չի լինում տվյալ պայմաններում: Օրինակ. Պատրաստի ամպուլները, որոնք դուրս են գալիս հավաքման գծից, կարող են լինել ինչպես ստանդարտ, այնպես էլ ոչ ստանդարտ: Այս երկու հնարավորից մեկ (ցանկացած) արդյունքը կոչվում է իրադարձություն: Իրադարձությունների երեք տեսակ կա՝ հուսալի, անհնարին և պատահական։ Սահմանում 2. Վստահելի է այն իրադարձությունը, որը որոշակի պայմանների առկայության դեպքում չի կարող տեղի չունենալ, այսինքն. անպայման տեղի կունենա։ Օրինակ. Եթե ​​սափորը պարունակում է միայն սպիտակ գնդիկներ, ապա մի գունդը, որը պատահականորեն վերցված է սափորից, միշտ սպիտակ կլինի: Այս պայմաններում սպիտակ գնդակի հայտնվելու փաստը հուսալի իրադարձություն կլինի։ Սահմանում 3. Անհնարինն այն իրադարձությունն է, որը որոշակի պայմանների առկայության դեպքում չի կարող տեղի ունենալ: Օրինակ. Դուք չեք կարող սպիտակ գնդակը հեռացնել միայն սև գնդիկներ պարունակող urn-ից: Այս պայմաններում սպիտակ գնդակի հայտնվելն անհնարին իրադարձություն կլինի։ Սահմանում 4. Պատահականը իրադարձություն է, որը նույն պայմաններում կարող է տեղի ունենալ, բայց չի կարող տեղի ունենալ: Օրինակ. Վեր նետված մետաղադրամը կարող է ընկնել այնպես, որ վերևի կողմում երևա կա՛մ զինանշան, կա՛մ համար։ Այստեղ մետաղադրամի այս կամ այն ​​կողմի վերևում հայտնվելը պատահական իրադարձություն է։ Սահմանում 5. Թեստը պայմանների կամ գործողությունների ամբողջություն է, որը կարող է կրկնվել անսահման թվով անգամ: Օրինակ. Մետաղադրամը վեր նետելը փորձություն է, և հնարավոր արդյունքը, այսինքն. մետաղադրամի վերին մասում զինանշանի կամ թվի հայտնվելը իրադարձություն է: Սահմանում 6. Եթե A i իրադարձություններն այնպիսին են, որ տրված թեստի ժամանակ կարող է տեղի ունենալ դրանցից միայն մեկը և ոչ մի այլ, որը ներառված չէ ամբողջության մեջ, ապա այդ իրադարձությունները կոչվում են միակ հնարավորը: Օրինակ. Սափորը պարունակում է սպիտակ և սև գնդիկներ և ուրիշներ չկան: Պատահականորեն վերցված մեկ գնդակը կարող է սպիտակ կամ սև լինել: Այս իրադարձությունները միակ հնարավորն են, քանի որ Այս թեստի ժամանակ տարբեր գույնի գնդակի հայտնվելը բացառվում է։ Սահմանում 7. Երկու իրադարձություններ A և B կոչվում են անհամատեղելի, եթե դրանք միասին չեն կարող առաջանալ տվյալ թեստի ժամանակ: Օրինակ. Զինանշանն ու համարը միակ հնարավոր և անհամատեղելի իրադարձություններն են մետաղադրամի մեկ նետման ժամանակ։ Սահմանում 8. Երկու իրադարձություն A և B կոչվում են համատեղ (համատեղելի) տվյալ թեստի ժամանակ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի բացառում նույն թեստի ժամանակ մեկ այլ իրադարձության առաջացման հնարավորությունը։ Օրինակ. Հնարավոր է, որ գլուխը և թիվը միասին հայտնվեն երկու մետաղադրամների մեկ նետման մեջ: Սահմանում 9. A i իրադարձությունները տրված թեստի մեջ կոչվում են հավասարապես հնարավոր, եթե համաչափության պատճառով հիմքեր կան ենթադրելու, որ այս իրադարձություններից ոչ մեկն ավելի հնարավոր չէ, քան մյուսները: Օրինակ. Ցանկացած դեմքի ի հայտ գալը մեկ գցման ժամանակ հավասարապես հնարավոր իրադարձություն է (պայմանով, որ ձողը պատրաստված է միատարր նյութից և ունի կանոնավոր վեցանկյունի ձև): Սահմանում 10. Իրադարձությունները կոչվում են բարենպաստ (բարենպաստ) որոշակի իրադարձության համար, եթե այդ իրադարձություններից մեկի առաջացումը հանգեցնում է այս իրադարձության առաջացմանը: Դեպքերը, որոնք բացառում են իրադարձության առաջացումը, կոչվում են անբարենպաստ այս իրադարձության համար։ Օրինակ. Սուրը պարունակում է 5 սպիտակ և 7 սև գնդակներ: Երբ դուք պատահականորեն վերցնում եք մեկ գնդակ, ձեր ձեռքերում կարող եք հայտնվել կամ սպիտակ կամ սև գնդակ: Այս դեպքում սպիտակ գնդակի ի հայտ գալուն ձեռնտու է 5 դեպք, իսկ սև գնդակի ի հայտ գալը՝ 7 դեպք՝ ընդհանուր 12 հնարավոր դեպքերից։ Սահմանում 11. Երկու միայն հնարավոր և անհամատեղելի իրադարձություններ կոչվում են միմյանց հակադիր: Եթե ​​այս իրադարձություններից մեկը նշանակված է A, ապա հակառակ իրադարձությունը նշանակվում է Ā նշանով: Օրինակ. Հարվածել և բաց թողնել; վիճակախաղի տոմսում շահելը և պարտվելը բոլորը հակադիր իրադարձությունների օրինակներ են: Սահմանում 12. Եթե ցանկացած զանգվածային գործողության արդյունքում, որը բաղկացած է n նմանատիպ անհատական ​​փորձերից կամ դիտարկումներից (թեստերից), ինչ-որ պատահական իրադարձություն հայտնվում է m անգամ, ապա m թիվը կոչվում է պատահական իրադարձության հաճախականություն, իսկ m/n հարաբերակցությունը: կոչվում է դրա հաճախականություն: Օրինակ. Հավաքման գծից դուրս եկած առաջին 20 ապրանքատեսակների մեջ եղել են 3 ոչ ստանդարտ արտադրանք (թերություններ): Այստեղ թեստերի քանակը n = 20, թերությունների հաճախականությունը m = 3, թերությունների հաճախականությունը m / n = 3/20 = 0,15: Յուրաքանչյուր պատահական իրադարձություն տվյալ պայմաններում ունի իր օբյեկտիվ հնարավորությունը տեղի ունենալու, և որոշ իրադարձությունների դեպքում այդ հավանականությունը ավելի մեծ է, մյուսների համար՝ ավելի քիչ: Իրադարձությունները միմյանց հետ քանակականորեն համեմատելու համար դրանց առաջացման հնարավորության աստիճանի առումով, յուրաքանչյուր պատահական իրադարձության հետ կապված է որոշակի իրական թիվ՝ արտահայտելով այս իրադարձության առաջացման օբյեկտիվ հնարավորության աստիճանի քանակական գնահատականը: Այս թիվը կոչվում է իրադարձության հավանականություն: Սահմանում 13. Որոշակի իրադարձության հավանականությունը տվյալ իրադարձության առաջացման օբյեկտիվ հնարավորության թվային չափումն է: Սահմանում 14. (Հավանականության դասական սահմանում): A իրադարձության հավանականությունը այս իրադարձության առաջացմանը նպաստավոր m դեպքերի հարաբերակցությունն է բոլոր հնարավոր դեպքերի n թվին, այսինքն. P(A) = m/n. Օրինակ. Սուրը պարունակում է 5 սպիտակ և 7 սև գնդիկներ՝ մանրակրկիտ խառնված։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ափսեից պատահականորեն դուրս բերված մեկ գնդակը սպիտակ լինի: Լուծում. Այս թեստում կա ընդամենը 12 հնարավոր դեպք, որոնցից 5-ը ձեռնտու է սպիտակ գնդակի տեսքին: Հետեւաբար, սպիտակ գնդակի հայտնվելու հավանականությունը P = 5/12 է: Սահմանում 15. (Հավանականության վիճակագրական սահմանում). Եթե ​​A ինչ-որ իրադարձության հետ կապված բավականաչափ մեծ թվով կրկնվող փորձարկումների դեպքում նկատվում է, որ իրադարձության հաճախականությունը տատանվում է ինչ-որ հաստատուն թվի շուրջ, ապա A-ն ունի հավանականություն P(A)՝ մոտավորապես հավասար հաճախականությանը, այսինքն. P(A)~ m/n. Իրադարձության հաճախականությունը անսահմանափակ թվով փորձարկումների ընթացքում կոչվում է վիճակագրական հավանականություն: Հավանականության հիմնական հատկությունները. 1 0 Եթե A իրադարձությունը ենթադրում է B իրադարձություն (A  B), ապա A իրադարձության հավանականությունը չի գերազանցում B իրադարձության հավանականությունը: P(A)≤P(B) 2 0 Եթե A և B իրադարձությունները համարժեք են (A  B, B  A, B=A), ապա դրանց հավանականությունները հավասար են P(A)=P(B): 3 0 A ցանկացած իրադարձության հավանականությունը չի կարող բացասական թիվ լինել, այսինքն. Р(А)≥0 4 0 Հուսալի իրադարձության հավանականությունը  հավասար է 1. Р()=1. 5 0 Անհնարին իրադարձության  հավանականությունը 0 է. Р(  )=0։ 6 0 Ցանկացած պատահական իրադարձության A հավանականությունը գտնվում է զրոյի և մեկ 0-ի միջև<Р(А)<1 Основные формулы комбинаторики Определение 1 . Различные группы по m предметов, составленные из n однородных предметов ( m , n ), называются соединениями. Предметы, из которых составляют различные соединения, называют элементами. Существует 3 вида соединений: размещения, перестановки, сочетания. Определение 2. Размещениями по m элементов из данных n элементов ( m ≤ n ) называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Например, размещениями из трех предметов a , b и c по два будут следующие соединения: ab , ac , bc , ca , cb , ba . Число размещений из данных n элементов по m обозначают символом А n m = n ( n -1)( n -2)·....·( n - m +1). Пример. А 10 4 =10·9·8·7=5040. Определение 3. Перестановками из n элементов называют такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Р n =А n n = n ( n -1)( n -2)...·3·2·1= n ! По определению 0!=1. Пример. Р 5 =5!=1·2·3·4·5=120. Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m называются также соединения, которые отличаются друг от друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из которых содержит m различных элементов: C n m === Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов по четыре. Решение. C 10 4 ==210. Пример. Найти число сочетаний из 20 элементов по 17. Решение. ==1040. Теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема 1 . Вероятность наступления одного какого-либо события из двух несовместимых событий А и В равно сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В ). Пример. В урне 5 красных, 7 синих и 8 белых шаров, перемешанных между собой. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар окажется не красным? Решение. Не красный шар - это или белый или синий шары. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А)= 8/20 = 2/5. Вероятность появления синего шара (событие В) равна Р(В)= 7/20. Событие, состоящее в появлении не красного шара, означает появление или А или В, т.к. события А и В несовместимы, то применима теорема 1. Искомая вероятность будет равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=2/5+ +7/20=3/4. Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух событий A или B равно сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )+ P ( AB ). Теорема умножения вероятностей Определение 1. Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении герба при первом бросании монеты, а B - событие, состоящее в появлении герба при втором бросании монеты, то события A и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания монеты не может изменить вероятность появления герба при втором бросании монеты. Определение 2. Два события A и B называются зависящими друг от друга, если вероятность одного из них зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна P ( A )=8/15, и вероятность события B равна P ( B )=7/15. Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A ), то вероятность появления события B при втором испытании будет P ( B )=7/14=1/2. Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна P ( B )=6/14=3/7. Определение 3. Вероятность события B , вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие A , называется условной вероятностью события B и обозначается PA ( B ). Теорема 3 . Вероятность совместного наступления двух зависимых событий ( A и B ) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло, т.е. P ( AB )= P ( A )· P A ( B )= P ( B )· P B ( A ). Теорема 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равно произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события уже наступили: P(A 1 A 2 A 3 ...A k )=P(A 1 )·P A1 (A 2 )·P A1A2 ·P(A 3 )...·P A1A2…A k-1 (A k ) Теорема 5 . Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P ( AB )= P ( A )· P ( B ). Теорема 6 . Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий A 1 , A 2 , ... A k равна произведению их вероятностей, т.е. P ( A 1 A 2 ... A k )= P ( A 1 )· P ( A 2 )·...· P ( A k ). Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени? Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A ) равна P ( A )=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B ) равна P ( B )=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P ( AB )= P ( A ) P ( B )=0,8·0,7=0,56. Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94. 5.3.3. Формула полной вероятности Определение 4. Если при некотором испытании может произойти одно какое-либо событие из нескольких несовместных A 1 , A 2 ,..., A k , и при этом никаких других событий быть не может, но одно из указанных событий обязательно произойдет, то группу событий A 1 , A 2 ,..., A k называют полной группой событий. Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: P ( A 1 )+ P ( A 2 )+...+ P ( A k )=1. Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P ( A )+ P ( A )=1. Если вероятность одного события обозначим через p , вероятность противоположного ему события обозначим через q , тогда p + q =1. Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94. Найти вероятность непопадания. Решение . Попадание в цель и непопадание являются противоположными событиями, поэтому, если p =0,94, то q =1- p =1-0,94=0,06. Теорема 8 . Если случайные события A 1 , A 2 ... A n образуют полную систему, и если событие B может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события B можно определить по формуле: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A n )P A n (B) Это равенство называется формулой полной вероятности . Пример. На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из I -го цеха, 45% из II цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет 0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком? Решение. Одно изделие может быть взято или из продукции I цеха (событие A 1 ), или из продукции II цеха (событие A 2 ), или из продукции III цеха (событие A 3 ). Вероятности этих событий будут: P ( A 1 )=0,30; P ( A 2 )=0,45; P ( A 3 )=0,25. Вероятность того, что изделие с браком (событие B ) будет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность P A 1 ( B ). Она равна P A 1 ( B )=0,006. Вероятность того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха P A 2 ( B )=0,004 и из продукции III цеха P A 3 ( B )=0,0016. Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A 3 )P A3 (B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004. Формула Бернулли Теорема 9. Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A . Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p , а вероятность появления противоположного события Ā, есть q . Тогда вероятность появления интересующего нас события A равно m раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли: P m , n = p m q n - m , так как, то P m , n = · p m · q n - m Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка? Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n =5, m =3, p =0,8 и q =1-0,8=0,2: P 3,5 = (0,8) 3 ·(0,2) 2 =0,2084. Асимптотическая формула Пуассона В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность Р появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний . При этих условиях для вычисления вероятности Р m , n появление события m раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона : Р m,n ≈e -a , где a=np Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется три изделия бракованных? Решение. В условии примера дано p =0,005, n =400, m =3, следовательно, a = np =400·0,005=2. Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона Р m , n (3,400) = 0,1804. Случайные величины и их числовые характеристики Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Определение 2. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения. Случайная дискретная величина задается законом распределения, связывающим принимаемые ею значения x i и вероятности их принятия p i . Закон распределения чаще всего задается в табличной форме. Графическое представление закона распределения случайной дискретной величины – многоугольник распределения . Числовые характеристики дискретной случайной величины. 1) Математическое ожидание. Определение 3. Математическое ожидание случайной дискретной величины X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности: M ( X ) = μ = x 1 p 1 + x 2 p 2 +...+ x n p n = . Вероятности всех значений случайной дискретной величины удовлетворяют условию нормировки: Свойства математического ожидания. 1 0 Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной M ( C )= C . 2 0 Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых M ( X 1 ± X 2 ±...± X n ) = M ( X 1 ) ± M ( X 2 ) ±…± M ( X n ). 3 0 Константу можно вынести за знак математического ожидания M ( CX )= CM ( X ). 4 0 Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M ( X 1 X 2 ... X n ) = M ( X 1 ) M ( X 2 )... M ( X ) n . 2) Дисперсия дискретной случайной величины. Определение 4. Дисперсией случайной дискретной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. D ( X ) = M {[ X - M ( X )] 2 } = , где M ( X ) = μ Для вычисления дисперсии более удобна формула: D ( X )= M ( X 2 )-[ M ( X )] 2 , т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания. Свойства дисперсии. 1 0 Дисперсия постоянной величины равна нулю D (С) = 0. 2 0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D ( CX ) = C 2 D ( X ). 3 0 Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X 1 +...+ X n ) = D ( X 1 )+...+ D ( X n ). 4 0 Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D ( X - Y )= D ( X )+ D ( Y ). 3). Среднее квадратическое отклонение Определение 5 . Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии σ ( X )=. Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения: Решение. Найдем математическое ожидание: M ( x )=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения. [ x 1 - M ( x )] 2 =(1-2,3) 2 =1,69 [ x 2 - M ( x )] 2 =(2-2,3) 2 =0,09 [ x 3 - M ( x )] 2 =(5-2,3) 2 =7,29 Напишем закон распределения квадрата отклонения Найдем дисперсию: D ( x )=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Определение 7. Интегральной функцией распределения называют функцию F ( x ), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x , т.е. F ( x )= P ( X < x ). Свойства интегральной функции распределения 1 0 Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку 0≤ F ( x ) ≤1. 2 0 Функция распределения есть неубывающая функция. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал ( a , b ), равна приращению ее интегральной функции распределения на этом интервале P ( a < x < b )= F ( b )- F ( a ). Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение равна нулю P ( X = x 1 )=0. 3 0 Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу ( a , b ), то F ( x )=0 при x ≤ a и F ( x )=1 при x ≥ a . Определение 8. Дифференциальной функцией распределения f ( x ) (или плотностью вероятности) называется производная от интегральной функции f ( x )= F "( x ). Интегральная функция является первообразной для дифференциальной функции, поэтому вероятность того, что случайная непрерывная величина x примет значение, принадлежащее интервалу ( a , b ), определяется равенством: P ( a < x < b )== F ( b )- F ( a )Зная дифференциальную функцию, можно найти функцию распределения: F ( x )= Свойства дифференциальной функции распределения 1 0 Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная f ( x ) ≥0 2 0 Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен единице (условие нормировки): . 1) Математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X , возможные значения которой прина д лежат отрезку ( a , b ), называется опр е деленный интеграл: M ( X ) = , где f ( x )-плотность вероятности случайной величины X . 2) Дисперсия. Дисперсия непрерывной случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения зтой величины от ее математического жидания D(X) = M{ 2 }.Следовательно, если возможные значения случайной величины X принадлежат отрезку ( a ; b ), то D ( x )= или D ( x )= 3) Среднее квадратическое отклонение определяется так: σ ( x ) = Пример. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией F ( x )= Решение. Найдем дифференциальную функцию: f ( x )= F ’ ( x )= Выислим математическое ожидание M ( x ) = . Найдем искомую дисперсию D ( x ) = = = 2/4=4/3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал Определение 9. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой: , где μ - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение. Определение 10. Нормальное распределение с параметрами μ = 0, σ = 1 называется нормированным или стандартным. Плотность вероятности нормированного нормального распределения описывается следующей формулой: . Значения данной функции для неотрицательных значений затабулированы. В силу четности функции φ ( x ) значения для отрицательных чисел легко определить φ (- x )= φ ( x ). Пример. Математическое ожидание нормального распределенной случайной величины X равно μ =3 и среднее квадратическое отклонение σ =2. Написать дифференциальную функцию X . Решение. f ( x )= Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал ( a , b ) определяется следующим о б разом: P(aS2=DB= = , որը DG-ի ընդհանուր շեղումների անաչառ գնահատականն է: Բնակչության ստանդարտ շեղումը գնահատելու համար օգտագործվում է «ուղղված» ստանդարտ շեղումը, որը հավասար է «ուղղված» շեղման քառակուսի արմատին: S= Սահմանում 14. Վստահության միջակայքը կոչվում է (θ*-δ;θ*+δ), որն ընդգրկում է տվյալ արժանահավատությամբ անհայտ պարամետրը: Հայտնի ստանդարտ շեղումով σ նորմալ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու վստահության միջակայքը արտահայտվում է բանաձևով՝ =2Φ(t)=γ, որտեղ ε=tδ/ գնահատման ճշգրտությունն է։ t թիվը որոշվում է 2Ф(t)=γ հավասարումից՝ ըստ Լապլասի ֆունկցիայի աղյուսակների։ Օրինակ. X պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում` հայտնի ստանդարտ շեղումով σ=3: Գտեք վստահության միջակայքերը՝ μ անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու համար՝ օգտագործելով ընտրանքային միջոցները X, եթե ընտրանքի չափը n = 36 է, իսկ գնահատման հուսալիությունը տրված է γ = 0,95: Լուծում. 2Ֆ(t)=0,95 հարաբերությունից գտնենք t; Ф(t)=0,475. Աղյուսակներից մենք գտնում ենք t = 1.96: Գտնենք ս =tδ/=1,96·3/= 0,98 գնահատման ճշգրտությունը։ Վստահության միջակայք (x -0.98; x +0.98): Անհայտ σ-ով նորմալ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու վստահության միջակայքերը որոշվում են՝ օգտագործելով Student բաշխումը k=n-1 ազատության աստիճանով. T= , որտեղ S-ը «ուղղված» ստանդարտ շեղումն է, n-ը՝ ընտրանքի չափը: Ուսանողի բաշխումից վստահության միջակայքը ծածկում է μ անհայտ պարամետրը γ հուսալիությամբ. կամ, որտեղ tγ-ն ուսանողական գործակիցն է, որը գտնվել է աղյուսակներից γ (հուսալիություն) և k (ազատության աստիճանների քանակը) արժեքներից: Օրինակ. Բնակչության քանակական բնութագիրը X-ը սովորաբար բաշխված է։ n=16 ընտրանքի չափի հիման վրա հայտնաբերվել է ընտրանքի միջին xB=20.2 և «ուղղված միջին» քառակուսի շեղումը S=0.8: Գնահատեք անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքը m՝ օգտագործելով վստահելիության միջակայքը γ = 0,95: Լուծում. Աղյուսակից մենք գտնում ենք՝ tγ = 2.13: Գտնենք վստահության սահմանները՝ =20.2-2.13·0.8=19.774 և =20.2+ +2.13·0.8/=20.626: Այսպիսով, 0,95 հուսալիությամբ, μ անհայտ պարամետրը գտնվում է 19,774 միջակայքում:<μ <20,626. .Элементы теории корреляции Определение 1. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. Определение 2. Если при изменении одной из величин изменяетсясреднее значение другой величины, то такая статистическая зависимость называется корреляционной. Пример. ПустьY-урожай зерна,X-количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т.е.Y не является функциейX. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и т.д.) Вместе с тем средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е.Y связан сX корреляционной зависимостью. Определение 3. Среднее арифметическое значение величиныY, вычисленное при условии, чтоX принимает фиксированное значение, называется условным средним и обозначается. Определение 4. Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значенийx, соответствующихY=y. Можно составить таблицу, определяющую соответствие между значениямиxi и условными среднимиyxi, а затем в декартовой системе координат строят точкиM(xi;yxi) и соединяют их отрезками прямых. Полученная линия называется эмпирической линией регрессииY наX. Аналогично строится эмпирическая линия регрессииX наY. Если точкиMi(xi;yxi) иNi(xy;y) располагаются вдоль прямой, то линия регрессии называется линией прямой регрессии и операция "сглаживания" ломаной сводится к нахождению параметровa иb функцииy=ax+b. Из двух нормальных уравнений: находят коэффициентыa иb. ρxy=a== выборочный коэффициент регрессии признакаY наX. b== Уравнение прямой линии регрессии признакаY наX имеет вид: - =ρyx(x-). Проведя аналогичные расчеты, можно получить следующие математические выражения, характеризующие прямую регрессию признакаX наY:x=cy+d. ρyx=c= = - выборочный коэффициент регрессии признакаX наY. d= - свободный член уравнения. = - уравнение прямой линии регрессии признакаX наY. Показателем тесноты связи являетсякоэффициент корреляции, используемый только при линейной корреляции:r = =. Для решения задач удобна следующая формула: r == . В формуле для коэффициента корреляцииr = числитель дроби всегда меньше знаменателя, следовательно, коэффициент корреляции - всегда правильная дробь между нулем и единицей -1≤r≤+1. Положительное значениеr указывает на прямую связь между признаками; отрицательное - на обратную связь между ними. Данные для корреляционного анализа могут быть сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Рассмотрим пример. Пусть проведено наблюдение двух признаков (X иY) у 15 объектов. Составлена следующая таблица первичных данных: Упорядочим первичные данные, поместив их в таблицу: В первом столбце запишем в порядке возрастания значенияxi: 8,9,10,11, а во второй строке - в том же порядке значенияyi: 18,20,24,27,30. На пересечении строк и столбцов запишем число повторений одинаковых пар (xi;yi) в ряду наблюдений. Требуется установить и оценить зависимость случайной величиныY от величиныX, используя данные корреляционной таблицы. n = 15 - объем выборки Используем формулы для корреляционных расчетов. Уравнение регрессииX наY: xy=cy +d =ρxyy+d, где ρxy=. Величина коэффициента корреляцииr=± С учетом частотnx иny формулы регрессионного анализа несколько видоизменяется: ρxy=, где; ; ; ; . .Проверка статистических гипотез. Определение 1. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Определение 2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезуH0. Определение 3. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезуH1, которая противоречит нулевой. Определение 4. Статистическим критерием называют специально подобранную величину, распределение которой известно (хотя бы приближенно), которая используется для проверки статистической гипотезы. Определение 5. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Определение 6. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Определение 7. Критическими точками (границами)kkp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Определение 8. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенствомK>kkp, որտեղ kkp>0. Սահմանում 9. Ձախլիկը Կ անհավասարությամբ սահմանված կրիտիկական շրջանն է k2 որտեղ k2>k1. Կրիտիկական շրջանը գտնելու համար սահմանեք α նշանակության մակարդակը և փնտրեք կրիտիկական կետեր հետևյալ հարաբերությունների հիման վրա. ա) աջակողմյան կրիտիկական շրջանի համար P(K>kkp)=α; բ) ձախակողմյան կրիտիկական շրջանի համար P(K<-kkp)=α; в) для двусторонней критической областиP(K>kkp)=α/2 և P(K<-kkp)=α/2. Пример. По двум независимым выборкам, объемы которыхn1=11 иn2=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностейX иY, найдены исправленные выборочные дисперсииSx2=0,76;Sy2=0,38. При уровне зависимостиα=0,05 проверить нулевую гипотезуH0:Д(x)=Д(y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе:H1:Д(x)>D(y) Լուծում. Գտնենք մեծ շտկված շեղումների և փոքրի հարաբերակցությունը՝ Fobs = =2: Քանի որ H1՝ D(x)>D(y), ուրեմն կրիտիկական շրջանը աջակողմյան է: Օգտագործելով աղյուսակը, օգտագործելով α = 0,05 և ազատության աստիճանների թվերը k1 = n1-1 = 10, մենք գտնում ենք կրիտիկական կետը Fcr (0,05; 10,13) = 2,67; Քանի որ Fobs. Մայրիկը լվաց շրջանակը

Երկարատև ամառային արձակուրդների ավարտին ժամանակն է կամաց-կամաց վերադառնալու բարձրագույն մաթեմատիկա և հանդիսավոր կերպով բացելու Verdov-ի դատարկ ֆայլը՝ նոր բաժին ստեղծելու համար: Ընդունում եմ, որ առաջին տողերը հեշտ չեն, բայց առաջին քայլը ճանապարհի կեսն է, ուստի առաջարկում եմ բոլորին ուշադիր ուսումնասիրել ներածական հոդվածը, որից հետո թեմայի յուրացումը 2 անգամ ավելի հեշտ կլինի։ Ես ընդհանրապես չեմ չափազանցնում. …Հաջորդ սեպտեմբերի 1-ի նախօրեին հիշում եմ առաջին դասարանն ու այբբենարանը…: Տառերը կազմում են վանկեր, վանկերը կազմում են բառեր, բառերը կազմում են կարճ նախադասություններ - Մայրիկը լվաց շրջանակը: Տուրվերի և մաթեմատիկական վիճակագրության յուրացումը նույնքան հեշտ է, որքան կարդալ սովորելը: Այնուամենայնիվ, դրա համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմնական տերմինները, հասկացությունները և նշանակումները, ինչպես նաև որոշ հատուկ կանոններ, որոնք այս դասի առարկան են:

Բայց նախ ընդունեք իմ շնորհավորանքները ուսումնական տարվա սկզբի (շարունակություն, ավարտ, նշեք ըստ պատշաճի) և ընդունեք նվերը։ Լավագույն նվերը գիրքն է, իսկ ինքնուրույն աշխատանքի համար խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ գրականությունը.

1) Գմուրման Վ.Ե. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն

Լեգենդար դասագիրք, որն անցել է տասից ավելի վերահրատարակություններ։ Այն առանձնանում է իր հասկանալիությամբ և նյութի չափազանց պարզ մատուցմամբ, իսկ առաջին գլուխները լիովին հասանելի են, կարծում եմ, արդեն 6-7-րդ դասարանների սովորողների համար։

2) Գմուրման Վ.Ե. Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների լուծման ուղեցույց

Նույն Վլադիմիր Եֆիմովիչի լուծումների գիրքը՝ մանրամասն օրինակներով և խնդիրներով։

ԱՆՀՐԱԺԵՇՏՆերբեռնեք երկու գրքերն էլ ինտերնետից կամ ստացեք դրանց թղթային բնօրինակները: Կաշխատի նաև 60-ականների և 70-ականների տարբերակը, որն էլ ավելի լավ է դյումիների համար։ Թեև «հավանականության տեսություն կեղծիքի համար» արտահայտությունը բավականին ծիծաղելի է թվում, քանի որ գրեթե ամեն ինչ սահմանափակվում է տարրական թվաբանական գործողություններով: Նրանք բաց են թողնում, սակայն, տեղ-տեղ ածանցյալներԵվ ինտեգրալներ, բայց սա միայն տեղերում է։

Ես կփորձեմ հասնել մատուցման նույն հստակությանը, բայց պետք է զգուշացնեմ, որ իմ դասընթացն ուղղված է խնդրի լուծումիսկ տեսական հաշվարկները հասցված են նվազագույնի: Այսպիսով, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է մանրամասն տեսություն, թեորեմների ապացույցներ (թեորեմա-թեորեմաներ), խնդրում ենք դիմել դասագրքին։ Դե, ով ուզում է սովորել լուծել խնդիրներըհավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ հնարավորինս սեղմ ժամկետներում, հետևիր ինձ

Դա բավական է սկզբի համար =)

Հոդվածները կարդալիս խորհուրդ է տրվում (գոնե հակիրճ) ծանոթանալ դիտարկվող տեսակների լրացուցիչ առաջադրանքներին: Էջում Բարձրագույն մաթեմատիկայի պատրաստի լուծումներԿտեղադրվեն համապատասխան pdf-ները՝ լուծումների օրինակներով։ Կցուցադրվի նաև զգալի օգնություն IDZ 18.1 Ռյաբուշկո(ավելի պարզ) և լուծված IDZ-ն ըստ Չուդեսենկոյի հավաքածուի(ավելի դժվար):

1) Գումարըերկու իրադարձություն, և իրադարձությունը կոչվում է, որը տեղի կունենա կամիրադարձություն կամիրադարձություն կամերկու իրադարձությունները միաժամանակ: Այն դեպքում, երբ իրադարձությունները անհամատեղելի, վերջին տարբերակը անհետանում է, այսինքն՝ կարող է առաջանալ կամիրադարձություն կամիրադարձություն.

Կանոնը վերաբերում է նաև ավելի մեծ թվով տերմիններին, օրինակ՝ իրադարձությունին ինչ կլինի առնվազն մեկըիրադարձություններից , Ա եթե իրադարձությունները անհամատեղելի են – ապա մի բան և միայն մեկ բանիրադարձություն այս գումարից. կամիրադարձություն, կամիրադարձություն, կամիրադարձություն, կամիրադարձություն, կամիրադարձություն.

Օրինակները շատ են.

Իրադարձությունները (զառ նետելիս 5 միավոր չի հայտնվի) այն է, ինչ կհայտնվի կամ 1, կամ 2, կամ 3, կամ 4, կամ 6 միավոր.

Իրադարձություն (կթողարկվի ոչ ավելիներկու միավոր) այն է, որ կհայտնվի 1 կամ 2միավորներ.

Իրադարձություն (կլինեն զույգ թվով միավորներ) երևում է կամ 2 կամ 4 կամ 6 միավոր.

Իրադարձությունն այն է, որ տախտակամածից կարմիր քարտ (սիրտ) կխաղարկվի կամդափ) և միջոցառումը – որ «նկարը» կարտահանվի (ջեկ կամտիկին կամթագավոր կամ ace):

Մի փոքր ավելի հետաքրքիր է համատեղ միջոցառումների դեպքը.

Միջոցառումը կայանում է նրանում, որ տախտակամածից ակումբ է քաշվելու կամյոթ կամյոթ ակումբներ Համաձայն վերը տրված սահմանման՝ գոնե մի բան- կամ ցանկացած ակումբ, կամ ցանկացած յոթ կամ նրանց «հատվածը»՝ ակումբներից յոթը: Հեշտ է հաշվարկել, որ այս իրադարձությունը համապատասխանում է 12 տարրական արդյունքի (9 ակումբային քարտ + 3 մնացած յոթնյակներ):

Իրադարձությունն այն է, որ վաղը ժամը 12.00-ին կգա Ամփոփվող համատեղ միջոցառումներից ԳՈՆԵ ՄԵԿԸ, մասնավորապես.

– կամ կլինի միայն անձրև / միայն ամպրոպ / միայն արև;
– կամ տեղի կունենան միայն որոշ զույգ իրադարձություններ (անձրև + ամպրոպ / անձրև + արև / ամպրոպ + արև);
– կամ բոլոր երեք իրադարձությունները կհայտնվեն միաժամանակ:

Այսինքն՝ միջոցառումը ներառում է 7 հնարավոր ելք։

Իրադարձությունների հանրահաշվի երկրորդ սյունը.

2) Աշխատանքըերկու իրադարձություն և անվանել իրադարձություն, որը բաղկացած է այս իրադարձությունների համատեղ առաջացումից, այլ կերպ ասած, բազմապատկումը նշանակում է, որ որոշ հանգամանքներում տեղի կունենա Եվիրադարձություն, Եվիրադարձություն. Նմանատիպ հայտարարությունը ճիշտ է ավելի մեծ թվով իրադարձությունների համար, օրինակ՝ աշխատանքը ենթադրում է, որ որոշակի պայմաններում դա տեղի կունենա Եվիրադարձություն, Եվիրադարձություն, Եվմիջոցառում,…, Եվիրադարձություն.

Դիտարկենք մի թեստ, որում երկու մետաղադրամ են նետվում և հետևյալ իրադարձությունները.

– գլուխները կհայտնվեն 1-ին մետաղադրամի վրա.
– 1-ին մետաղադրամը կկանգնեցնի գլուխները.
– գլուխները կհայտնվեն 2-րդ մետաղադրամի վրա.
– 2-րդ մետաղադրամը կկանգնեցնի գլուխները:

Ապա.
Եվ 2-ին) գլուխները կհայտնվեն;
– իրադարձությունն այն է, որ երկու մետաղադրամների վրա (1-ին Եվ 2-ին) դա կլինի գլուխներ;
– Իրադարձությունն այն է, որ 1-ին մետաղադրամը կկանգնեցնի գլուխները Եվ 2-րդ մետաղադրամը պոչեր է;
– Իրադարձությունն այն է, որ 1-ին մետաղադրամը կկանգնեցնի գլուխները Եվ 2-րդ մետաղադրամի վրա արծիվ է։

Հեշտ է տեսնել այդ իրադարձությունները անհամատեղելի (քանի որ, օրինակ, այն չի կարող միաժամանակ ընկնել 2 գլուխ և 2 պոչ)և ձև ամբողջական խումբ (քանի որ հաշվի է առնվել Բոլորըերկու մետաղադրամ նետելու հնարավոր արդյունքները). Ամփոփենք այս իրադարձությունները. Ինչպե՞ս մեկնաբանել այս գրառումը: Շատ պարզ - բազմապատկումը նշանակում է տրամաբանական կապ ԵՎև լրացում – ԿԱՄ. Այսպիսով, գումարը հեշտ է կարդալ մարդկային հասկանալի լեզվով. «երկու գլուխ կհայտնվի կամերկու գլուխ կամ 1-ին մետաղադրամը կիջնի գլուխները Եվ 2-րդ պոչերի վրա կամ 1-ին մետաղադրամը կիջնի գլուխները Եվ 2-րդ մետաղադրամի վրա արծիվ է»

Սա օրինակ էր, երբ մեկ թեստումներգրավված են մի քանի առարկաներ, այս դեպքում՝ երկու մետաղադրամ։ Գործնական խնդիրների մեկ այլ ընդհանուր սխեմա է վերստուգում , երբ, օրինակ, նույն ձողը 3 անգամ անընդմեջ գլորում են։ Որպես ցուցադրություն, դիտարկեք հետևյալ իրադարձությունները.

– 1-ին նետում դուք կստանաք 4 միավոր;
– 2-րդ նետում դուք կստանաք 5 միավոր;
– 3-րդ նետում դուք կստանաք 6 միավոր:

Հետո միջոցառումը այն է, որ 1-ին նետում դուք կստանաք 4 միավոր Եվ 2-րդ նետում դուք կստանաք 5 միավոր Եվ 3-րդ գլորում դուք կստանաք 6 միավոր: Ակնհայտ է, որ խորանարդի դեպքում զգալիորեն ավելի շատ համակցություններ (արդյունքներ) կլինեն, քան մետաղադրամ նետելու դեպքում:

...Ես հասկանում եմ, որ միգուցե վերլուծվող օրինակներն այնքան էլ հետաքրքիր չեն, բայց սրանք խնդիրներ են, որոնք հաճախ են հանդիպում խնդիրներին, ու դրանցից փախուստ չկա։ Բացի մետաղադրամից, խորանարդից և քարտերի տախտակամածից, ձեզ սպասում են բազմագույն գնդակներով ափսեներ, թիրախի վրա կրակող մի քանի անանուն մարդիկ և անխոնջ աշխատողը, ով անընդհատ մանրուքներ է մանրացնում =)

Իրադարձության հավանականությունը

Իրադարձության հավանականությունը հավանականությունների տեսության կենտրոնական հայեցակարգն է: ...Մարդասպան տրամաբանական բան, բայց մենք պետք է ինչ-որ տեղից սկսեինք =) Դրա սահմանման մի քանի մոտեցում կա.

;
Հավանականության երկրաչափական սահմանում ;
Հավանականության վիճակագրական սահմանում .

Այս հոդվածում ես կկենտրոնանամ հավանականության դասական սահմանման վրա, որն առավել լայնորեն կիրառվում է կրթական առաջադրանքներում։

Նշանակումներ. Որոշակի իրադարձության հավանականությունը նշվում է լատինատառ մեծատառով, իսկ իրադարձությունն ինքնին վերցվում է փակագծերում՝ հանդես գալով որպես փաստարկի մի տեսակ։ Օրինակ՝

Բացի այդ, փոքր տառը լայնորեն օգտագործվում է հավանականությունը նշելու համար: Մասնավորապես, դուք կարող եք հրաժարվել իրադարձությունների ծանր նշանակումներից և դրանց հավանականություններից հետևյալ ոճի օգտին.

– հավանականությունը, որ մետաղադրամի նետումը կհանգեցնի գլուխների.
– հավանականությունը, որ զառ գլորելը կհանգեցնի 5 միավորի.
– հավանականությունը, որ ակումբային կոստյումի քարտը կհանվի տախտակամածից:

Այս տարբերակը տարածված է գործնական խնդիրներ լուծելիս, քանի որ այն թույլ է տալիս զգալիորեն նվազեցնել լուծման ձայնագրությունը: Ինչպես առաջին դեպքում, այստեղ հարմար է օգտագործել «խոսող» ենթագրեր/վերնագրեր։

Բոլորը վաղուց են կռահել այն թվերը, որոնք ես հենց նոր գրեցի վերևում, և հիմա մենք կիմանանք, թե ինչպես են դրանք ստացվել.

Հավանականության դասական սահմանում:

Որոշակի թեստի ժամանակ իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը կոչվում է հարաբերակցություն, որտեղ.

- բոլորի ընդհանուր թիվը հավասարապես հնարավոր է, տարրականայս թեստի արդյունքները, որոնք ձևավորվում են միջոցառումների ամբողջական խումբ;

- քանակ տարրականարդյունքները, բարենպաստ իրադարձություն.

Մետաղադրամ նետելիս կամ գլուխները կամ պոչերը կարող են դուրս ընկնել. այս իրադարձությունները ձևավորվում են ամբողջական խումբԱյսպիսով, արդյունքների ընդհանուր թիվը. միևնույն ժամանակ նրանցից յուրաքանչյուրը տարրականԵվ հավասարապես հնարավոր է. Միջոցառմանը նպաստում է արդյունքը (գլուխները): Ըստ հավանականության դասական սահմանման. .

Նմանապես, մահակը նետելու արդյունքում կարող են ի հայտ գալ տարրական հավասարապես հնարավոր արդյունքներ՝ կազմելով ամբողջական խումբ, և իրադարձությունը բարենպաստ է լինում մեկ ելքով (գլորելով հնգյակ): Ահա թե ինչու. ՍԱ ԸՆԴՈՒՆՎԵԼԻ ՉԻ ԱՆԵԼ (չնայած ձեր գլխում տոկոսներ գնահատելն արգելված չէ)։

Ընդունված է օգտագործել միավորի կոտորակները, և, ակնհայտորեն, հավանականությունը կարող է տարբեր լինել . Ավելին, եթե , ապա իրադարձությունը անհնարին, Եթե - հուսալի, իսկ եթե , ապա խոսքը գնում է պատահականիրադարձություն.

! Եթե ​​որևէ խնդիր լուծելիս ստացեք հավանականության այլ արժեք, փնտրեք սխալը:

Հավանականության որոշման դասական մոտեցման մեջ ծայրահեղ արժեքները (զրո և մեկ) ստացվում են ճիշտ նույն պատճառաբանությամբ: Թույլ տվեք պատահականորեն 1 գնդակ քաշել 10 կարմիր գնդիկ պարունակող որոշակի կարասից: Հաշվի առեք հետևյալ իրադարձությունները.

մեկ փորձարկման ընթացքում քիչ հավանական իրադարձություն տեղի չի ունենա.

Ահա թե ինչու դուք վիճակախաղում ջեքփոթ չեք հասցնի, եթե այս իրադարձության հավանականությունը, ասենք, 0,00000001 է: Այո, այո, դա դու ես՝ որոշակի շրջանառության միակ տոմսով: Սակայն ավելի մեծ թվով տոմսեր և ավելի մեծ թվով նկարներ ձեզ առանձնապես չեն օգնի։ Երբ ես ուրիշներին ասում եմ այս մասին, գրեթե միշտ պատասխանում եմ. «բայց ինչ-որ մեկը հաղթում է»: Լավ, ուրեմն եկեք կատարենք հետևյալ փորձը. խնդրում ենք գնել ցանկացած վիճակախաղի տոմս այսօր կամ վաղը (մի հապաղեք): Եվ եթե դուք հաղթեք... լավ, առնվազն 10 կիլոգրամից ավելի, անպայման գրանցվեք, - ես կբացատրեմ, թե ինչու դա տեղի ունեցավ: Տոկոսով, իհարկե =) =)

Բայց պետք չէ տխրել, քանի որ կա հակառակ սկզբունքը. եթե ինչ-որ իրադարձության հավանականությունը շատ մոտ է մեկին, ապա մեկ փորձության դեպքում դա կլինի. գրեթե հաստատտեղի կունենա. Ուստի պարաշյուտով ցատկելուց առաջ պետք չէ վախենալ, ընդհակառակը, ժպտացեք։ Ի վերջո, բոլորովին աներևակայելի և ֆանտաստիկ հանգամանքներ պետք է առաջանան, որպեսզի երկու պարաշյուտներն էլ խափանվեն։

Չնայած այս ամենը պոեզիա է, քանի որ, կախված իրադարձության բովանդակությունից, առաջին սկզբունքը կարող է զվարթ լինել, իսկ երկրորդը` տխուր. կամ նույնիսկ երկուսն էլ զուգահեռ են:

Երևի դա բավական է առայժմ՝ դասարանում Դասական հավանականության խնդիրներմենք առավելագույնը կստանանք բանաձևից: Այս հոդվածի վերջին մասում մենք կքննարկենք մեկ կարևոր թեորեմ.

Ամբողջական խումբ կազմող իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի. Կոպիտ ասած, եթե իրադարձությունները կազմեն ամբողջական խումբ, ապա 100% հավանականությամբ դրանցից մեկը տեղի կունենա։ Ամենապարզ դեպքում ամբողջական խումբը կազմվում է հակադիր իրադարձություններով, օրինակ.

– մետաղադրամ նետելու արդյունքում գլուխներ կհայտնվեն.
– մետաղադրամ նետելու արդյունքը կլինի գլուխները:

Ըստ թեորեմի.

Միանգամայն պարզ է, որ այս իրադարձությունները հավասարապես հնարավոր են, և դրանց հավանականությունը նույնն է .

Հավանականությունների հավասարության պատճառով հաճախ անվանում են հավասարապես հնարավոր իրադարձություններ հավասարապես հավանական . Եվ ահա լեզվակռիվ՝ թունավորման աստիճանը որոշելու համար =)

Օրինակ խորանարդով. իրադարձությունները հակառակ են, հետևաբար .

Քննարկվող թեորեմը հարմար է նրանով, որ թույլ է տալիս արագ գտնել հակառակ իրադարձության հավանականությունը։ Այսպիսով, եթե հայտնի է հնգակի գլորվելու հավանականությունը, ապա հեշտ է հաշվարկել այն չգլորելու հավանականությունը.

Սա շատ ավելի պարզ է, քան հինգ տարրական արդյունքների հավանականությունների ամփոփումը: Տարրական արդյունքների համար, ի դեպ, այս թեորեմը նույնպես ճիշտ է.
. Օրինակ, եթե հավանականությունը մեծ է, որ կրակողը կհարվածի թիրախին, ապա մեծ է հավանականությունը, որ նա բաց կթողնի:

! Հավանականությունների տեսության մեջ անցանկալի է տառեր օգտագործել որևէ այլ նպատակի համար:

Ի պատիվ Գիտելիքի օրվա, ես տնային աշխատանք չեմ նշանակի =), բայց շատ կարևոր է, որ կարողանաք պատասխանել հետևյալ հարցերին.

-Ի՞նչ տեսակի իրադարձություններ կան:
– Ի՞նչ է պատահականությունը և իրադարձության հավասար հնարավորությունը:
– Ինչպե՞ս եք հասկանում իրադարձությունների համատեղելիություն/անհամատեղելիություն տերմինները:
– Ի՞նչ է իրադարձությունների ամբողջական խումբը, հակադիր իրադարձությունները:
– Ի՞նչ է նշանակում իրադարձությունների գումարում և բազմապատկում:
– Ո՞րն է հավանականության դասական սահմանման էությունը:
– Ինչո՞ւ է օգտակար ամբողջական խումբ կազմող իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը:

Ոչ, ձեզ հարկավոր չէ որևէ բան խցկել, սրանք պարզապես հավանականության տեսության հիմունքներն են՝ մի տեսակ այբբենարան, որը արագ կտեղավորվի ձեր գլխում: Եվ որպեսզի դա տեղի ունենա որքան հնարավոր է շուտ, ես առաջարկում եմ ձեզ ծանոթանալ դասերին

բոլոր մասնագիտությունների 2-րդ կուրսի ուսանողների համար

Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին

Ներածական մաս

Սիրելի ուսանողներ.

Ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացնում Պրոֆեսոր Ն.

Դասախոսությունը քննարկում է առաջադրանքներուսումնասիրելով հավանականությունների տեսությունը և մաթեմատիկական վիճակագրությունը տնտեսագիտական ​​համալսարանում և նրա տեղըժամանակակից տնտեսագետի պատրաստման համակարգում համարվում է կազմակերպություն անկախՏրվում է ուսանողի աշխատանք՝ օգտագործելով համակարգչային ուսուցման համակարգ (CTS) և ավանդական դասագրքեր հիմնական դրույթների ակնարկայս դասընթացը, ինչպես նաև դրա ուսումնասիրության մեթոդական առաջարկությունները:

Տնտեսագիտական ​​համալսարանում սովորած մաթեմատիկական առարկաներից առանձնահատուկ տեղ են գրավում հավանականությունների տեսությունը և մաթեմատիկական վիճակագրությունը։ Նախ, դա վիճակագրական առարկաների տեսական հիմքն է: Երկրորդ, ուսումնասիրության մեջ ուղղակիորեն օգտագործվում են հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդները զանգվածային ագրեգատներդիտարկված երևույթներ, դիտարկման արդյունքների մշակում և պատահական երևույթների օրինաչափությունների բացահայտում: Ի վերջո, հավանականությունների տեսությունը և մաթեմատիկական վիճակագրությունը կարևոր մեթոդաբանական նշանակություն ունեն ճանաչողական գործընթաց, ընդհանուր օրինաչափություն բացահայտելիս հետազոտվել էգործընթացները, ծառայում է որպես տրամաբանական հիմքինդուկտիվ-դեդուկտիվ պատճառաբանություն.

Յուրաքանչյուր երկրորդ կուրսի ուսանող «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» առարկայից պետք է ունենա հետևյալ հավաքածուն (գործը).

1. Համառոտ կողմնորոշիչ դասախոսությունայս կարգապահության մեջ:

2. ԴասագիրքՆ.Շ. Կրեմեր «Հավանականության տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» - M.: UNITY - DANA, 2007 (այսուհետ մենք այն պարզապես կանվանենք «դասագիրք»):

3. Ուսումնական և մեթոդական ձեռնարկ«Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» / խմբ. Ն.Շ. Կրեմերը։ – Մ.: Համալսարանական դասագիրք, 2005 (այսուհետ՝ ձեռնարկ):

4. Համակարգչային ուսուցման ծրագիր COPR կարգապահության համար (այսուհետ՝ «համակարգչային ծրագիր»):

Ինստիտուտի կայքում՝ «Կորպորատիվ ռեսուրսներ» էջում տեղադրված են KOPR2 համակարգչային ծրագրի առցանց տարբերակները, ակնարկ կողմնորոշիչ դասախոսությունը և ձեռնարկի էլեկտրոնային տարբերակը։ Բացի այդ, ներկայացված են համակարգչային ծրագիրը և ձեռնարկը CD - ROM ախ երկրորդ կուրսի ուսանողների համար. Հետևաբար, «թղթային ձևով» աշակերտին անհրաժեշտ է միայն դասագիրք ունենալ:

Բացատրենք նշված հավաքածուի (գործի) մեջ ներառված ուսումնական նյութերից յուրաքանչյուրի նպատակը.

Դասագրքումներկայացված են առարկայի ուսումնական նյութի հիմնական դրույթները՝ պատկերված բավական մեծ թվով լուծված խնդիրներով։

IN նպաստներՏրվում են ուսումնական նյութի անկախ ուսումնասիրության մեթոդական առաջարկություններ, կարևորվում են դասընթացի և բնորոշ առաջադրանքների կարևորագույն հասկացությունները, տրված են այս առարկայի ինքնաստուգման թեստային հարցեր, տնային թեստերի տարբերակներ, որոնք ուսանողը պետք է լրացնի, ինչպես նաև մեթոդական տրված են դրանց իրականացման հանձնարարականներ։

Համակարգչային ծրագիրնախագծված է ձեզ առավելագույն օգնություն ցուցաբերելու դասընթացը ռեժիմում յուրացնելու հարցում երկխոսությունծրագրեք աշակերտի հետ, որպեսզի առավելագույն չափով փոխհատուցեք ձեր դասարանում պատրաստվածության բացակայությունը և ուսուցչի հետ համապատասխան շփումը:

Հեռակա ուսուցման համակարգով սովորող ուսանողի համար առաջնային և որոշիչ նշանակություն ունի ինքնուրույն աշխատանքի կազմակերպում.

Երբ սկսում եք ուսումնասիրել այս առարկան, կարդացեք այս ակնարկ (ներածական) դասախոսությունը մինչև վերջ: Սա թույլ կտա ձեզ ընդհանուր պատկերացում կազմել «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» դասընթացում կիրառվող հիմնական հասկացությունների և մեթոդների և VZFEI ուսանողների պատրաստվածության մակարդակի պահանջների մասին:

Յուրաքանչյուր թեմա ուսումնասիրելուց առաջ Կարդացեք ձեռնարկում այս թեման ուսումնասիրելու ուղեցույցները:Այստեղ դուք կգտնեք այս թեմայի վերաբերյալ կրթական հարցերի ցանկը, որոնք դուք կուսումնասիրեք. պարզել, թե որ հասկացությունները, սահմանումները, թեորեմները, խնդիրներն են ամենակարևորը, որոնք պետք է նախ ուսումնասիրել և յուրացնել:

Այնուհետև անցեք ուսումնասիրությանը հիմնական ուսումնական նյութդասագրքի համաձայն՝ ստացված մեթոդական առաջարկություններին համապատասխան։ Խորհուրդ ենք տալիս առանձին նոթատետրում գրառումներ կատարել հիմնական սահմանումների, թեորեմների պնդումների, դրանց ապացույցների դիագրամների, բանաձևերի և բնորոշ խնդիրների լուծումների մասին։ Բանաձևերը ցանկալի է դուրս գրել դասընթացի յուրաքանչյուր մասի հատուկ աղյուսակներում՝ հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն: Նշումների, մասնավորապես բանաձևերի աղյուսակների կանոնավոր օգտագործումը օգնում է դրանք մտապահել:

Դասագրքի յուրաքանչյուր թեմայի հիմնական ուսումնական նյութի վրա աշխատելուց հետո միայն կարող եք անցնել այս թեմայի ուսումնասիրությանը համակարգչային ուսուցման ծրագրի միջոցով (KOPR2):

Ուշադրություն դարձրեք յուրաքանչյուր թեմայի համակարգչային ծրագրի կառուցվածքին: Թեմայի անվանումից հետո դասագրքում կա թեմայի հիմնական ուսումնական հարցերի ցանկը` նշելով պարբերությունների և էջերի քանակը, որոնք պետք է ուսումնասիրվեն: (Հիշեք, որ այս հարցերի ցանկը յուրաքանչյուր թեմայի համար տրված է նաև ձեռնարկում):

Այնուհետև այս թեմայի վերաբերյալ տեղեկատու նյութը (կամ այս թեմայի առանձին պարբերություններում) տրվում է հակիրճ ձևով `հիմնական սահմանումներ, թեորեմներ, հատկություններ և բնութագրեր, բանաձևեր և այլն: Թեմա ուսումնասիրելիս կարող եք նաև էկրանին ցուցադրել տեղեկատու նյութի այն հատվածները (այս կամ նախորդ թեմաներով), որոնք անհրաժեշտ են տվյալ պահին։

Այնուհետև ձեզ առաջարկվում է ուսումնական նյութ և, իհարկե, ստանդարտ առաջադրանքներ ( օրինակներ),որի լուծումը դիտարկվում է ռեժիմում երկխոսությունծրագրեր ուսանողի հետ. Մի շարք օրինակների գործառույթները սահմանափակվում են ուսանողի ցանկությամբ էկրանին ճիշտ լուծման փուլերը ցուցադրելով: Միևնույն ժամանակ, օրինակների մեծ մասի քննարկման ընթացքում ձեզ կուղղվեն այս կամ այն ​​բնույթի հարցեր: Որոշ հարցերի պատասխանները պետք է մուտքագրվեն ստեղնաշարի միջոցով: թվային պատասխան,ուրիշներին - ընտրել ճիշտ պատասխանը (կամ պատասխանները)մի քանի առաջարկներից։

Կախված ձեր մուտքագրած պատասխանից՝ ծրագիրը հաստատում է դրա ճիշտությունը կամ առաջարկում է անհրաժեշտ տեսական սկզբունքներ պարունակող հուշումը կարդալուց հետո կրկին փորձել տալ ճիշտ լուծումն ու պատասխանը։ Բազմաթիվ առաջադրանքներ ունեն լուծման փորձերի քանակի սահմանափակում (եթե այս սահմանը գերազանցվում է, ճիշտ լուծման առաջընթացը անպայմանորեն ցուցադրվում է էկրանին): Կան նաև օրինակներ, որոնցում ակնարկում պարունակվող տեղեկատվության քանակն ավելանում է, քանի որ պատասխանի անհաջող փորձերը կրկնվում են:

Ուսումնական նյութի և օրինակների տեսական սկզբունքներին ծանոթանալուց հետո, որոնք տրվում են լուծման մանրամասն վերլուծությամբ, դուք պետք է կատարեք ինքնավերահսկման վարժություններ՝ յուրաքանչյուր թեմայի վերաբերյալ բնորոշ խնդիրների լուծման ձեր հմտությունները համախմբելու համար: Ինքնակառավարման առաջադրանքները պարունակում են նաև սովորողի հետ երկխոսության տարրեր: Լուծումն ավարտելուց հետո կարող եք նայել ճիշտ պատասխանը և համեմատել այն ձեր տվածի հետ։

Յուրաքանչյուր թեմայի շուրջ աշխատանքի վերջում դուք պետք է կատարեք հսկիչ առաջադրանքներ: Դրանց ճիշտ պատասխանները ձեզ չեն ցուցադրվում, և ձեր պատասխանները գրանցվում են համակարգչի կոշտ սկավառակի վրա՝ ուսուցիչ-խորհրդատուի (դաստիարակի) կողմից հետագա վերանայման համար:

1–7 թեմաներն ուսումնասիրելուց հետո դուք պետք է լրացնեք թիվ 3 տնային թեստը, իսկ 8–11 թեմաներն ուսումնասիրելուց հետո՝ թիվ 4 տնային թեստը։ Այս թեստերի տարբերակները տրված են ձեռնարկում (դրա էլեկտրոնային տարբերակում)։ Կատարվող տարբերակի համարը պետք է համապատասխանի ձեր անձնական ֆայլի համարի վերջին թվանշանին (դասարան, ուսանողական ID): Յուրաքանչյուր թեստի համար դուք պետք է անցնեք հարցազրույց, որի ընթացքում պետք է դրսևորեք թեստի թեմայով խնդիրներ լուծելու ձեր ունակությունը և հիմնական հասկացությունների (սահմանումներ, թեորեմներ (առանց ապացույցների), բանաձևեր և այլն) իմացությունը: Կարգապահության ուսումնասիրությունն ավարտվում է դասընթացի քննությամբ։

Հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկական գիտություն է, որն ուսումնասիրում է պատահական երևույթների օրինաչափությունները։

Ուսումնասիրության համար առաջարկվող առարկան բաղկացած է երկու բաժիններից՝ «Հավանականությունների տեսություն» և «Մաթեմատիկական վիճակագրություն»: