Ինչպե՞ս բազմապատկել ուժերը: Ո՞ր ուժերը կարելի է բազմապատկել և որոնք՝ ոչ: Ինչպե՞ս թիվը բազմապատկել հզորությամբ:

Հանրահաշիվում դուք կարող եք գտնել ուժերի արտադրյալ երկու դեպքում.

1) եթե աստիճաններն ունեն նույն հիմքերը.

2) եթե աստիճաններն ունեն նույն ցուցանիշները.

Միևնույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս հիմքը պետք է թողնել նույնը, իսկ ցուցիչները պետք է գումարել.

Նույն ցուցանիշներով աստիճանները բազմապատկելիս ընդհանուր ցուցանիշը կարելի է հանել փակագծերից.

Եկեք նայենք, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել ուժերը՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ:

Ցուցանիշով միավորը գրված չէ, բայց հզորությունները բազմապատկելիս հաշվի են առնում.

Բազմապատկելիս կարող է լինել ցանկացած քանակի ուժ։ Պետք է հիշել, որ տառից առաջ պետք չէ գրել բազմապատկման նշան.

Արտահայտություններում առաջին հերթին կատարվում է աստիճանականացում։

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է թիվը բազմապատկել հզորությամբ, ապա նախ պետք է կատարեք աստիճանականացում, և միայն այնուհետև բազմապատկեք.

www.algebraclass.ru

Ուժերի գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում

Հզորությունների գումարում և հանում

Ակնհայտ է, որ հզորություններ ունեցող թվերը կարող են ավելացվել ինչպես մյուս մեծությունները , դրանք մեկը մյուսի հետեւից ավելացնելով իրենց նշաններով.

Այսպիսով, a 3-ի և b 2-ի գումարը 3 + b 2 է:
a 3 - b n-ի և h 5 -d 4-ի գումարը 3 - b n + h 5 - d 4 է:

Հնարավորություններ նույնական փոփոխականների հավասար հզորություններկարելի է գումարել կամ հանել։

Այսպիսով, 2a 2-ի և 3a 2-ի գումարը հավասար է 5a 2-ի:

Ակնհայտ է նաև, որ եթե վերցնենք երկու քառակուսի a, կամ երեք քառակուսի a, կամ հինգ քառակուսի a.

Բայց աստիճաններ տարբեր փոփոխականներԵվ տարբեր աստիճաններ նույնական փոփոխականներ, պետք է կազմվի՝ ավելացնելով դրանք իրենց նշաններով։

Այսպիսով, 2-ի և 3-ի գումարը 2 + a 3-ի գումարն է:

Ակնհայտ է, որ a-ի քառակուսին և a-ի խորանարդը հավասար է ոչ թե a-ի քառակուսու կրկնակիին, այլ a-ի երկու անգամին:

a 3 b n-ի և 3a 5 b 6-ի գումարը a 3 b n + 3a 5 b 6 է:

Հանումլիազորություններն իրականացվում են այնպես, ինչպես հավելումը, բացառությամբ, որ ենթահողերի նշանները պետք է համապատասխանաբար փոխվեն:

Կամ՝
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (ա - ը) 6 - 2 (ա - ը) 6 = 3 (ա - ժ) 6

Բազմապատկվող ուժերը

Հզորություններով թվերը կարելի է բազմապատկել, ինչպես մյուս մեծությունները, գրելով դրանք մեկը մյուսի հետևից՝ նրանց միջև բազմապատկման նշան ունենալով կամ առանց դրա։

Այսպիսով, a 3-ը b 2-ով բազմապատկելու արդյունքը կլինի a 3 b 2 կամ aaabb:

Կամ՝
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Վերջին օրինակի արդյունքը կարելի է պատվիրել՝ ավելացնելով նույնական փոփոխականներ:
Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը՝ a 5 b 5 y 3:

Մի քանի թվեր (փոփոխականներ) հզորությունների հետ համեմատելով՝ կարող ենք տեսնել, որ եթե դրանցից երկուսը բազմապատկվեն, ապա ստացվում է մի թիվ (փոփոխական), որի հզորությունը հավասար է. գումարըտերմինների աստիճաններ.

Այսպիսով, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5:

Այստեղ 5-ը բազմապատկման արդյունքի հզորությունն է, որը հավասար է 2 + 3, անդամների հզորությունների գումարին։

Այսպիսով, a n .a m = a m+n .

a n-ի համար a-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան n-ի հզորությունը;

Եվ a m-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան m աստիճանը հավասար է.

Ահա թե ինչու, Միևնույն հիմքերով հզորությունները կարելի է բազմապատկել՝ ավելացնելով հզորությունների ցուցիչները։

Այսպիսով, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8: Իսկ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6:

Կամ՝
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Բազմապատկել (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y):
Պատասխան՝ x 4 - y 4.
Բազմապատկել (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1):

Այս կանոնը ճիշտ է նաև այն թվերի համար, որոնց ցուցիչներն են բացասական.

1. Այսպիսով, a -2 .a -3 = a -5: Սա կարելի է գրել որպես (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa:

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Եթե ​​a + b-ը բազմապատկվում է a - b-ով, ապա արդյունքը կլինի a 2 - b 2. այսինքն

Երկու թվերի գումարը կամ տարբերությունը բազմապատկելու արդյունքը հավասար է նրանց քառակուսիների գումարին կամ տարբերությանը։

Եթե ​​բազմապատկեք երկու բարձրացված թվերի գումարը և տարբերությունը քառակուսի, արդյունքը հավասար կլինի այս թվերի գումարին կամ տարբերությանը չորրորդաստիճաններ։

Այսպիսով, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2:
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4:
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8:

Աստիճանների բաժանում

Հզորությամբ թվերը կարելի է բաժանել մյուս թվերի նման՝ դիվիդենտից հանելով կամ կոտորակային ձևով դնելով։

Այսպիսով, a 3 b 2-ը բաժանված է b 2-ի, հավասար է a 3-ի:

5-ը բաժանված 3-ի վրա գրելը նման է $\frac $. Բայց սա հավասար է 2-ի: Մի շարք թվերով
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
ցանկացած թիվ կարելի է բաժանել մյուսի վրա, և ցուցանիշը հավասար կլինի տարբերությունըբաժանելի թվերի ցուցիչներ.

Նույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց չափորոշիչները:.

Այսպիսով, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1: Այսինքն՝ $\frac = y$։

Եվ a n+1:a = a n+1-1 = a n: Այսինքն՝ $\frac = a^n$։

Կամ՝
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Կանոնը ճիշտ է նաև հետ թվերի համար բացասականաստիճանների արժեքներ.
-5-ը -3-ի բաժանելու արդյունքը -2 է:
Նաև $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $:

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 կամ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Պետք է շատ լավ տիրապետել ուժերի բազմապատկմանը և բաժանմանը, քանի որ նման գործողությունները շատ լայնորեն կիրառվում են հանրահաշվում։

Հզոր թվեր պարունակող կոտորակներով օրինակներ լուծելու օրինակներ

1. Ցուցանիշները փոքրացրեք $\frac $-ով Պատասխան՝ $\frac $:

2. Նվազեցրեք ցուցիչները $\frac$-ով: Պատասխան՝ $\frac$ կամ 2x։

3. Կրճատիր a 2 /a 3 և a -3 /a -4 չափիչները և հասցրու ընդհանուր հայտարարի:
a 2 .a -4-ը a -2 առաջին համարիչն է:
a 3 .a -3-ը 0 = 1 է, երկրորդ համարիչը:
a 3 .a -4-ը -1 է, ընդհանուր համարիչը:
Պարզեցումից հետո՝ a -2 /a -1 և 1/a -1:

4. Կրճատել 2a 4 /5a 3 և 2 /a 4 չափորոշիչները և բերել ընդհանուր հայտարարի:
Պատասխան՝ 2a 3 /5a 7 և 5a 5 /5a 7 կամ 2a 3 /5a 2 և 5/5a 2:

5. Բազմապատկել (a 3 + b)/b 4-ը (a - b)/3-ով:

6. Բազմապատկել (a 5 + 1)/x 2-ով (b 2 - 1)/(x + a):

7. Բազմապատկել b 4 /a -2-ը h -3 /x-ով և a n /y -3-ով:

8. 4 /y 3-ը բաժանեք 3/y 2-ի: Պատասխան՝ ա/տ.

աստիճանի հատկություններ

Հիշեցնում ենք, որ այս դասում մենք կհասկանանք աստիճանների հատկություններըբնական ցուցանիշներով եւ զրո։ Ռացիոնալ ցուցիչներով ուժերը և դրանց հատկությունները կքննարկվեն 8-րդ դասարանի դասերին:

Բնական ցուցանիշ ունեցող աստիճանը մի քանիսն ունի կարևոր հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս պարզեցնել հաշվարկները ուժերով օրինակներով։

Թիվ 1 սեփականություն
Հզորությունների արտադրանք

Միևնույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ հզորությունների արտահայտիչները գումարվում են։

a m · a n = a m + n, որտեղ «a»-ն ցանկացած թիվ է, իսկ «m»-ը, «n»-ը ցանկացած բնական թվեր են:

Հզորությունների այս հատկությունը վերաբերում է նաև երեք և ավելի հզորությունների արտադրյալին։

Պարզեցրեք արտահայտությունը.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան։
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան։
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նշված գույքում մենք խոսում էինք միայն նույն հիմքերով հզորությունների բազմապատկման մասին. Դա չի վերաբերում դրանց ավելացմանը։

Դուք չեք կարող գումարը (3 3 + 3 2) փոխարինել 3 5-ով: Սա հասկանալի է, եթե
հաշվել (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, և 3 5 = 243

Թիվ 2 գույք
Մասնակի աստիճաններ

Միևնույն հիմքով հզորությունները բաժանելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, և բաժանարարի աստիճանը հանվում է դիվիդենտի ցուցիչից։

Գրեք քանորդը որպես ուժ
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Հաշվիր։

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը. Մենք օգտագործում ենք քանորդ հզորությունների հատկությունը։
3 8: t = 3 4

Պատասխան՝ t = 3 4 = 81

Օգտագործելով No1 և No2 հատկությունները, կարող եք հեշտությամբ պարզեցնել արտահայտությունները և կատարել հաշվարկներ:

Օրինակ. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
4 5 մ + 6 4 մ + 2: 4 4 մ + 3 = 4 5 մ + 6 + մ + 2: 4 4 մ + 3 = 4 6 մ + 8 − 4 մ − 3 = 4 2 մ + 5

Օրինակ. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ օգտագործելով ցուցիչների հատկությունները:

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սեփականություն 2-ում մենք խոսում էինք միայն նույն հիմքերով լիազորությունները բաժանելու մասին։

Դուք չեք կարող (4 3 −4 2) տարբերությունը փոխարինել 4 1-ով: Սա հասկանալի է, եթե հաշվարկեք (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, և 4 1 = 4

Թիվ 3 գույք
Աստիճանի բարձրացում դեպի իշխանություն

Աստիճանը մինչև հզորության բարձրացնելիս աստիճանի հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ աստիճանները բազմապատկվում են։

(a n) m = a n · m, որտեղ «a»-ն ցանկացած թիվ է, իսկ «m»-ը, «n»-ը ցանկացած բնական թվեր են:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ թիվ 4 հատկությունը, ինչպես աստիճանների մյուս հատկությունները, կիրառվում է նաև հակառակ հերթականությամբ։

(a n b n)= (a b) n

Այսինքն՝ նույն ցուցիչներով հզորությունները բազմապատկելու համար կարելի է հիմքերը բազմապատկել, բայց աստիճանը թողնել անփոփոխ։

Օրինակ. Հաշվիր։
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

Օրինակ. Հաշվիր։
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Ավելին բարդ օրինակներԿարող են լինել դեպքեր, երբ պետք է բազմապատկել և բաժանել տարբեր հիմքերով և տարբեր աստիճաններով հզորությունների վրա։ Այս դեպքում խորհուրդ ենք տալիս անել հետևյալը.

Օրինակ՝ 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Տասնորդական թիվը մինչև հզորության բարձրացման օրինակ:

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Հատկություններ 5
քանորդի հզորություն (կոտորակ)

Գործակիցը մեծացնելու համար կարող եք դիվիդենտը և բաժանարարը առանձին բարձրացնել այս հզորության վրա, իսկ առաջին արդյունքը բաժանել երկրորդի վրա:

(a: b) n = a n: b n, որտեղ «a», «b» ցանկացած ռացիոնալ թվեր են, b ≠ 0, n - ցանկացած բնական թիվ:

Օրինակ. Ներկայացրե՛ք արտահայտությունը որպես ուժերի գործակից:
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Հիշեցնում ենք, որ քանորդը կարող է ներկայացվել որպես կոտորակ: Ուստի ավելի մանրամասն կանդրադառնանք կոտորակի հզորության բարձրացման թեմային հաջորդ էջում։

Ուժեր և արմատներ

Գործողություններ ուժերով և արմատներով: Աստիճան բացասականով ,

զրոյական և կոտորակային ցուցիչ։ Անիմաստ արտահայտությունների մասին.

Գործողություններ աստիճաններով.

1. Միևնույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելիս գումարվում են դրանց չափորոշիչները.

մի մ · a n = a m + n.

2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս՝ դրանց ցուցիչները հանվում են .

3. Երկու կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այդ գործոնների աստիճանների արտադրյալին։

4. Հարաբերակցության (կոտորակի) աստիճանը հավասար է դիվիդենտի (համարիչ) և բաժանարարի (հայտարարի) աստիճանների հարաբերությանը.

(ա/բ) n = a n / b n .

5. Հզորությունը հզորության բարձրացնելիս դրանց ցուցանիշները բազմապատկվում են.

Վերոնշյալ բոլոր բանաձևերը կարդացվում և կատարվում են երկու ուղղությամբ՝ ձախից աջ և հակառակը։

ՕՐԻՆԱԿ (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Գործողություններ արմատներով. Ստորև բերված բոլոր բանաձևերում խորհրդանիշը նշանակում է թվաբանական արմատ(արմատական ​​արտահայտությունը դրական է):

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. Հարաբերակցության արմատը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի արմատների հարաբերությանը.

3. Արմատ բարձրացնելով իշխանությանը, բավական է բարձրացնել այս իշխանությանը արմատական ​​համարը:

4. Եթե արմատի աստիճանը մեծացնեք մ անգամ և միևնույն ժամանակ ռադիկալ թիվը հասցնեք մթ հզորության, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

5. Եթե արմատի աստիճանը կրճատեք m անգամ և միաժամանակ հանեք արմատական ​​թվի m-րդ արմատը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

Ընդլայնելով աստիճանի հայեցակարգը: Առայժմ մենք աստիճաններ ենք դիտարկել միայն բնական ցուցիչներով. բայց ուժերով և արմատներով գործողությունները կարող են նաև հանգեցնել բացասական, զրոԵվ կոտորակայինցուցանիշները։ Այս բոլոր ցուցանիշները պահանջում են լրացուցիչ սահմանում:

Բացասական ցուցիչով աստիճան: Բացասական (ամբողջ) ցուցիչով որոշակի թվի հզորությունը սահմանվում է որպես մեկը, որը բաժանվում է նույն թվի ուժի վրա, որի ցուցիչը հավասար է բացասական ցուցիչի բացարձակ արժեքին.

Հիմա բանաձեւը մի մ : a n = a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ, ավելի քան n, այլեւ հետ մ, պակաս քան n .

ՕՐԻՆԱԿ ա 4: ա 7 =ա 4 — 7 =ա — 3 .

Եթե ​​ուզում ենք բանաձեւը մի մ : a n = մի մ — nարդար էր, երբ m = n, մեզ անհրաժեշտ է զրոյական աստիճանի սահմանում։

Զրո ինդեքսով աստիճան։ Զրո ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի հզորությունը 1 է:

ՕՐԻՆՆԵՐ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Աստիճան կոտորակային ցուցիչով: Իրական a թիվը m/n-ին հասցնելու համար անհրաժեշտ է հանել a թվի m-րդ հզորության n-րդ արմատը.

Անիմաստ արտահայտությունների մասին. Նման մի քանի արտահայտություններ կան.

Որտեղ ա ≠ 0 , գոյություն չունի։

Փաստորեն, եթե ենթադրենք, որ xորոշակի թիվ է, ապա բաժանման գործողության սահմանման համաձայն ունենք. ա = 0· x, այսինքն. ա= 0, որը հակասում է պայմանին. ա ≠ 0

— ցանկացած թիվ.

Փաստորեն, եթե ենթադրենք, որ այս արտահայտությունը հավասար է ինչ-որ թվի x, ապա բաժանման գործողության սահմանման համաձայն ունենք՝ 0 = 0 · x. Բայց այս հավասարությունը տեղի է ունենում, երբ ցանկացած x թիվ, ինչը ապացուցման կարիք ուներ։

0 0 — ցանկացած թիվ.

Լուծում Դիտարկենք երեք հիմնական դեպք.

1) x = 0 – այս արժեքը չի բավարարում այս հավասարմանը

2) երբ x> 0 մենք ստանում ենք. x/x= 1, այսինքն. 1 = 1, ինչը նշանակում է

Ինչ x- ցանկացած թիվ; բայց հաշվի առնելով, որ ին

մեր դեպքում x> 0, պատասխանն է x > 0 ;

Տարբեր հիմքերով հզորությունների բազմապատկման կանոններ

ԱՍՏԻՃԱՆ ՌԱՑԻԱԼ ՑՈՒՑԱՆԻՉՈՎ,

ԷՆԵՐԳԱՅԻՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ IV

§ 69. Հզորությունների բազմապատկում և բաժանում նույն հիմքերով

Թեորեմ 1.Նույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելու համար բավական է ավելացնել ցուցիչները և թողնել հիմքը նույնը, այսինքն.

Ապացույց.Ըստ աստիճանի սահմանման

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Մենք նայեցինք երկու ուժերի արտադրյալին: Փաստորեն, ապացուցված գույքը ճիշտ է նույն հիմքերով ցանկացած թվով լիազորությունների համար:

Թեորեմ 2.Նույն հիմքերով լիազորությունները բաժանելու համար, երբ դիվիդենտի ինդեքսը մեծ է բաժանարարի ինդեքսից, բավական է բաժանարարի ինդեքսը հանել դիվիդենտի ինդեքսից և հիմքը թողնել նույնը, այսինքն. ժամը t > p

(ա =/= 0)

Ապացույց.Հիշենք, որ մի թիվը մյուսի վրա բաժանելու գործակիցը այն թիվն է, որը բաժանարարով բազմապատկելիս տալիս է դիվիդենտ: Հետևաբար, ապացուցեք այն բանաձևը, որտեղ ա =/= 0, դա նույնն է, ինչ ապացուցել բանաձեւը

Եթե t > p , ապա համարը t - p բնական կլինի; հետևաբար, թեորեմ 1-ով

Թեորեմ 2-ն ապացուցված է:

Հարկ է նշել, որ բանաձեւը

մենք դա ապացուցել ենք միայն այն ենթադրությամբ, որ t > p . Ուստի ապացուցվածից առայժմ հնարավոր չէ անել, օրինակ, հետևյալ եզրակացությունները.

Բացի այդ, մենք դեռ չենք դիտարկել բացասական ցուցիչներով աստիճաններ և դեռ չգիտենք, թե ինչ իմաստ կարող է տրվել 3 արտահայտությանը։ - 2 .

Թեորեմ 3. Աստիճանը աստիճանի հասցնելու համար բավական է բազմապատկել աստիճանները՝ թողնելով աստիճանի հիմքը նույնը., այսինքն

Ապացույց.Օգտագործելով աստիճանի սահմանումը և այս բաժնի 1-ին թեորեմը, մենք ստանում ենք.

Ք.Ե.Դ.

Օրինակ, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Բանավոր) Որոշել X հավասարումներից.

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Հավաքածու թիվ) Պարզեցրեք.

520. (Set no.) Պարզեցնել.

521. Այս արտահայտությունները աստիճանների տեսքով ներկայացրե՛ք նույն հիմքերով.

1) 32 և 64; 3) 8 5 և 16 3; 5) 4 100 և 32 50;

2) -1000 և 100; 4) -27 և -243; 6) 81 75 8 200 և 3 600 4 150:

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 7-րդ դասարանի համար
Ձեռնարկ դասագրքի համար Yu.N. Մակարիչևայի ձեռնարկ դասագրքի համար Ա.Գ. Մորդկովիչ

Դասի նպատակը՝ սովորել կատարել թվերի հզորությամբ գործողություններ։

Նախ հիշենք «թվի ուժ» հասկացությունը։ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ձևի արտահայտությունը կարող է ներկայացվել որպես $a^n$:

Հակառակը նույնպես ճիշտ է՝ $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$:

Այս հավասարությունը կոչվում է «աստիճանի գրանցում որպես արտադրյալ»: Դա կօգնի մեզ որոշել, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել և բաժանել ուժերը:
Հիշեք.
ա- աստիճանի հիմքը.
n- ցուցիչ:
Եթե n=1, որը նշանակում է թիվը Ավերցրեց մեկ անգամ և համապատասխանաբար՝ $a^n= 1$։
Եթե n= 0, ապա $a^0= 1$:

Թե ինչու է դա տեղի ունենում, կարող ենք պարզել, երբ ծանոթանանք ուժերի բազմապատկման և բաժանման կանոններին։

Բազմապատկման կանոններ

ա) Եթե նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկվում են.
$a^n * a^m$ ստանալու համար աստիճանները գրում ենք որպես արտադրյալ՝ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(մ)$.
Նկարը ցույց է տալիս, որ թիվը Ավերցրեց n+mանգամ, ապա $a^n * a^m = a^(n + m)$:

Օրինակ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Այս հատկությունը հարմար է օգտագործել աշխատանքը պարզեցնելու համար՝ թիվն ավելի բարձր հզորության բարձրացնելիս:
Օրինակ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

բ) Եթե տարբեր հիմքերով, բայց նույն ցուցիչով աստիճանները բազմապատկվում են:
$a^n * b^n$ ստանալու համար աստիճանները գրում ենք որպես արտադրյալ՝ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(մ)$.
Եթե ​​փոխենք գործոնները և հաշվենք ստացված զույգերը, ապա կստանանք՝ $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$:

Այսպիսով, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Օրինակ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Բաժանման կանոններ

ա) աստիճանի հիմքը նույնն է, ցուցանիշները՝ տարբեր.
Դիտարկենք ավելի մեծ ցուցիչով հզորությունը բաժանելու հնարավորությունը ավելի փոքր ցուցիչով:

Այսպիսով, մեզ անհրաժեշտ է $\frac(a^n)(a^m)$, Որտեղ n>m.

Գրենք աստիճանները որպես կոտորակ.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Հարմարության համար բաժանումը գրում ենք պարզ կոտորակի տեսքով։

Հիմա եկեք փոքրացնենք կոտորակը։

Ստացվում է՝ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$:
Նշանակում է, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Այս հատկությունը կօգնի բացատրել թվի զրոյական հզորության բարձրացման իրավիճակը: Ենթադրենք, որ n=m, ապա $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$:

Օրինակներ.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$:

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$:

բ) աստիճանի հիմքերը տարբեր են, ցուցանիշները՝ նույնը.
Ենթադրենք, անհրաժեշտ է $\frac(a^n)(b^n)$: Թվերի ուժերը գրենք որպես կոտորակներ.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$:

Հարմարության համար եկեք պատկերացնենք.

Օգտագործելով կոտորակների հատկությունը՝ մեծ կոտորակը բաժանում ենք փոքրերի արտադրյալի, ստանում ենք.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$:
Ըստ այդմ՝ $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$:

Օրինակ.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$:

Հանրահաշվի և ամբողջ մաթեմատիկայի հիմնական բնութագրիչներից մեկը աստիճանն է: Իհարկե, 21-րդ դարում բոլոր հաշվարկները կարելի է անել առցանց հաշվիչի միջոցով, բայց ուղեղի զարգացման համար ավելի լավ է սովորել, թե ինչպես դա անել ինքներդ:

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք այս սահմանման հետ կապված ամենակարևոր հարցերը: Մասնավորապես, եկեք հասկանանք, թե որն է այն ընդհանրապես և որոնք են նրա հիմնական գործառույթները, ինչ հատկություններ կան մաթեմատիկայում:

Եկեք նայենք օրինակներին, թե ինչպիսին է հաշվարկը և որոնք են հիմնական բանաձևերը: Դիտարկենք մեծությունների հիմնական տեսակները և ինչպես են դրանք տարբերվում այլ գործառույթներից։

Եկեք հասկանանք, թե ինչպես կարելի է լուծել տարբեր խնդիրներ՝ օգտագործելով այս քանակությունը: Մենք օրինակներով ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է հասցնել զրոյական հզորության՝ իռացիոնալ, բացասական և այլն։

Առցանց հզորության հաշվիչ

Ինչ է թվի հզորությունը

Ի՞նչ է նշանակում «թիվը մեծացնել» արտահայտությունը:

Թվի n հզորությունը a n անգամ անընդմեջ մեծության գործակիցների արտադրյալն է։

Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը.

a n = a * a * a * …a n .

Օրինակ՝

• 2 3 = 2 երրորդ աստիճանում: = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 դեպի քայլ: երկու = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 դեպի քայլ: չորս = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 քայլով: = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 քայլով: = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000:

Ստորև ներկայացված է քառակուսիների և խորանարդների աղյուսակը 1-ից 10-ը:

1-ից 10 աստիճանների աղյուսակ

Ստորև ներկայացնում ենք շինարարության արդյունքները բնական թվերդրական ուժերին՝ «1-ից 100»:

Չ-լո	2-րդ փ.	3-րդ փուլ
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Աստիճանների հատկությունները

Ի՞նչն է բնորոշ նման մաթեմատիկական ֆունկցիային: Եկեք նայենք հիմնական հատկություններին.

Գիտնականները հաստատել են հետևյալը բոլոր աստիճաններին բնորոշ նշաններ.

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m);
• (ա բ) մ = (ա) (բ*մ) .

Եկեք ստուգենք օրինակներով.

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Մյուս կողմից, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32:

Նմանապես՝ 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2: Հակառակ դեպքում 2 3-2 = 2 1 =2:

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Իսկ եթե այն տարբեր է: 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64:

Ինչպես տեսնում եք, կանոններն աշխատում են:

Բայց ինչ վերաբերում է գումարումով և հանումով? Դա պարզ է. Սկզբում կատարվում է հզորացում, իսկ հետո գումարում և հանում:

Դիտարկենք օրինակներ.

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. կանոնը չի գործի, եթե առաջինը հանեք՝ (5 - 3) 2 = 2 2 = 4:

Բայց այս դեպքում նախ պետք է հաշվարկել գումարումը, քանի որ փակագծերում կան գործողություններ՝ (5 + 3) 3 = 8 3 = 512:

Ինչպես արտադրել հաշվարկներ ավելի բարդ դեպքերում? Կարգը նույնն է.

• եթե կան փակագծեր, ապա պետք է սկսել դրանցից.
• ապա աստիճանավորում;
• ապա կատարել բազմապատկման և բաժանման գործողությունները.
• գումարումից հետո հանում.

Կան հատուկ հատկություններ, որոնք բնորոշ չեն բոլոր աստիճաններին.

1. A թվի n-րդ արմատը մինչև m աստիճանը կգրվի այսպես՝ a m/n:
2. Կոտորակը աստիճանի հասցնելիս այս ընթացակարգին ենթակա են և՛ համարիչը, և՛ նրա հայտարարը:
3. Տարբեր թվերի արտադրյալը մեծացնելու դեպքում արտահայտությունը կհամապատասխանի այս թվերի արտադրյալին տրված հզորությանը։ Այսինքն՝ (a * b) n = a n * b n .
4. Թիվը բացասական աստիճանի հասցնելիս պետք է 1-ը բաժանել նույն դարի թվի վրա, բայց «+» նշանով:
5. Եթե ​​կոտորակի հայտարարը բացասական աստիճանի է, ապա այս արտահայտությունը հավասար կլինի համարիչի արտադրյալին, իսկ հայտարարը դրական աստիճանի։
6. Ցանկացած թիվ 0 = 1 և հզորության նկատմամբ: 1 = ինքներդ ձեզ:

Այս կանոնները կարևոր են որոշ դեպքերում, մենք դրանք ավելի մանրամասն կքննարկենք ստորև:

Բացասական ցուցիչով աստիճան

Ի՞նչ անել մինուս աստիճանի հետ, այսինքն, երբ ցուցանիշը բացասական է:

4-րդ և 5-րդ հատկությունների հիման վրա(տե՛ս վերը նշված կետը), պարզվում է:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25:

Եվ հակառակը.

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8:

Իսկ եթե դա կոտորակ է:

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9:

Աստիճան բնական ցուցանիշով

Այն հասկացվում է որպես ամբողջ թվերի հավասար ցուցիչներով աստիճան:

Հիշելու բաներ.

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... և այլն:

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... և այլն:

Բացի այդ, եթե (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...ապա արդյունքը կլինի «+» նշանով։ Եթե ​​բացասական թիվը հասցվում է կենտ հզորության, ապա հակառակը:

Նրանց բնորոշ են նաև ընդհանուր հատկությունները և վերը նկարագրված բոլոր հատուկ հատկանիշները։

Կոտորակի աստիճան

Այս տեսակը կարելի է գրել որպես սխեմա. A m / n: Կարդացեք՝ A թվի n-րդ արմատը՝ m հզորության:

Կոտորակի ցուցիչով կարող եք անել այն, ինչ ուզում եք՝ փոքրացրեք այն, բաժանեք այն մասերի, բարձրացրեք այն մեկ այլ հզորության և այլն:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Թող α լինի իռացիոնալ թիվ, իսկ A ˃ 0:

Նման ցուցանիշով աստիճանի էությունը հասկանալու համար, Դիտարկենք տարբեր հնարավոր դեպքեր.

• A = 1. Արդյունքը հավասար կլինի 1-ի: Քանի որ կա աքսիոմա. 1-ը բոլոր ուժերում հավասար է մեկի;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – ռացիոնալ թվեր;

• 0˂А˂1.

Այս դեպքում հակառակն է՝ A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 նույն պայմաններում, ինչ երկրորդ պարբերությունում:

Օրինակ, ցուցիչը π թիվն է:Դա ռացիոնալ է:

r 1 – այս դեպքում հավասար է 3;

r 2 – հավասար կլինի 4-ի:

Այնուհետև A = 1-ի համար 1 π = 1:

A = 2, ապա 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16:

A = 1/2, ապա (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8:

Նման աստիճանները բնութագրվում են վերը նկարագրված բոլոր մաթեմատիկական գործողություններով և հատուկ հատկություններով:

Եզրակացություն

Ամփոփենք՝ ինչի՞ն են անհրաժեշտ այս քանակությունները, ի՞նչ առավելություններ ունեն նման գործառույթները։ Իհարկե, դրանք առաջին հերթին պարզեցնում են մաթեմատիկոսների և ծրագրավորողների կյանքը օրինակներ լուծելիս, քանի որ թույլ են տալիս նվազագույնի հասցնել հաշվարկները, կրճատել ալգորիթմները, համակարգել տվյալները և շատ ավելին:

Ուրիշ որտե՞ղ կարող է օգտակար լինել այս գիտելիքը: Ցանկացած աշխատանքային մասնագիտությամբ՝ բժշկություն, դեղաբանություն, ատամնաբուժություն, շինարարություն, տեխնոլոգիա, ճարտարագիտություն, դիզայն և այլն:

Արտահայտություններ, արտահայտությունների փոխակերպում

Ուժային արտահայտություններ (արտահայտություններ ուժերով) և դրանց փոխակերպումը

Այս հոդվածում մենք կխոսենք ուժերով արտահայտությունների փոխակերպման մասին: Նախ, մենք կկենտրոնանանք փոխակերպումների վրա, որոնք կատարվում են ցանկացած տեսակի արտահայտություններով, ներառյալ ուժային արտահայտությունները, ինչպիսիք են փակագծերը բացելը և նմանատիպ տերմինները բերելը: Եվ այնուհետև մենք կվերլուծենք փոխակերպումները, որոնք հատուկ են աստիճաններով արտահայտություններին. աշխատել հիմքի և աստիճանի հետ, օգտագործելով աստիճանների հատկությունները և այլն:

Էջի նավարկություն.

Որո՞նք են ուժի արտահայտությունները:

«Ուժային արտահայտություններ» տերմինը գործնականում չի հանդիպում դպրոցական մաթեմատիկայի դասագրքերում, բայց այն բավականին հաճախ հանդիպում է խնդիրների ժողովածուներում, հատկապես նրանք, որոնք նախատեսված են, օրինակ, միասնական պետական ​​քննությանը և միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելու համար: Այն առաջադրանքները վերլուծելուց հետո, որոնցում անհրաժեշտ է կատարել ցանկացած գործողություններ ուժային արտահայտություններով, պարզ է դառնում, որ ուժային արտահայտությունները հասկացվում են որպես իրենց մուտքերում ուժեր պարունակող արտահայտություններ: Այսպիսով, դուք կարող եք ընդունել հետևյալ սահմանումը ձեզ համար.

Սահմանում.

Ուժի արտահայտություններուժեր պարունակող արտահայտություններ են։

Եկեք տանք ուժային արտահայտությունների օրինակներ. Ավելին, մենք դրանք կներկայացնենք ըստ այն մասին, թե ինչպես է տեղի ունենում տեսակետների զարգացում բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանից մինչև իրական ցուցիչ ունեցող աստիճան:

Ինչպես հայտնի է, սկզբում ծանոթանում ենք բնական ցուցիչով թվի հզորությանը, 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) տիպի առաջին ամենապարզ արտահայտություններին. 4, 3 a 2 հայտնվում է −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 և այլն:

Քիչ ավելի ուշ ուսումնասիրվում է ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը, ինչը հանգեցնում է բացասական ամբողջ թվով հզորության արտահայտությունների ի հայտ գալուն, ինչպես հետևյալը. 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2.

Ավագ դպրոցում նրանք վերադառնում են աստիճանների: Այնտեղ ներդրվում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, որը ենթադրում է համապատասխան ուժային արտահայտությունների տեսք. , և այլն: Վերջապես, համարվում են իռացիոնալ ցուցիչներով և դրանք պարունակող արտահայտություններով աստիճաններ.

Հարցը չի սահմանափակվում թվարկված հզորության արտահայտություններով. հետագայում փոփոխականը ներթափանցում է ցուցիչի մեջ և, օրինակ, առաջանում են հետևյալ արտահայտությունները՝ 2 x 2 +1 կամ. . Իսկ ծանոթանալուց հետո սկսում են հայտնվել հզորություններով և լոգարիթմներով արտահայտություններ, օրինակ՝ x 2·lgx −5·x lgx։

Այսպիսով, մենք առնչվել ենք այն հարցին, թե ինչ են ներկայացնում ուժային արտահայտությունները։ Հաջորդիվ մենք կսովորենք փոխակերպել դրանք:

Ուժային արտահայտությունների փոխակերպումների հիմնական տեսակները

Ուժային արտահայտություններով դուք կարող եք կատարել արտահայտությունների ինքնության հիմնական փոխակերպումներից որևէ մեկը: Օրինակ՝ կարող եք բացել փակագծերը, թվային արտահայտությունները փոխարինել իրենց արժեքներով, ավելացնել նմանատիպ տերմիններ և այլն։ Բնականաբար, անհրաժեշտ է պահպանել գործողություններ կատարելու ընդունված կարգը։ Բերենք օրինակներ.

Հաշվի՛ր 2 3 ·(4 2 −12) հզորության արտահայտության արժեքը։

Գործողությունների կատարման կարգի համաձայն՝ նախ կատարեք փակագծերի գործողությունները։ Այնտեղ նախ 4 2 հզորությունը փոխարինում ենք իր 16 արժեքով (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս), երկրորդ՝ հաշվում ենք տարբերությունը 16−12=4։ մենք ունենք 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Ստացված արտահայտության մեջ 2 3 հզորությունը փոխարինում ենք իր 8 արժեքով, որից հետո հաշվում ենք 8·4=32 արտադրյալը։ Սա ցանկալի արժեք է:

Այսպիսով, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Պարզեցրեք արտահայտությունները ուժերով 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Ակնհայտ է, որ այս արտահայտությունը պարունակում է նմանատիպ 3·a 4 ·b −7 և 2·a 4 ·b −7 տերմիններ, և մենք կարող ենք դրանք ներկայացնել.

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1.

Արտահայտեք արտահայտությունը հզորություններով որպես արտադրանք:

Դուք կարող եք հաղթահարել առաջադրանքը՝ ներկայացնելով 9 թիվը որպես 3 2-ի ուժ և այնուհետև օգտագործելով կրճատ բազմապատկման բանաձևը՝ քառակուսիների տարբերություն.

Կան նաև մի շարք նույնական փոխակերպումներ, որոնք հատուկ են ուժային արտահայտություններին: Մենք դրանք հետագայում կվերլուծենք:

Աշխատում է բազայի և ցուցիչի հետ

Կան ուժեր, որոնց հիմքը և/կամ ցուցանիշը պարզապես թվեր կամ փոփոխականներ չեն, այլ որոշ արտահայտություններ։ Որպես օրինակ՝ տալիս ենք (2+0.3·7) 5−3.7 և (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) մուտքերը:

Նման արտահայտությունների հետ աշխատելիս կարող եք և՛ աստիճանի հիմքում դրված արտահայտությունը, և՛ ցուցիչի արտահայտությունը փոխարինել իր փոփոխականների ODZ-ում նույնական հավասար արտահայտությամբ: Այսինքն, ըստ մեզ հայտնի կանոնների, մենք կարող ենք առանձին վերափոխել աստիճանի հիմքը և առանձին՝ ցուցիչը։ Պարզ է, որ այս փոխակերպման արդյունքում կստացվի մի արտահայտություն, որը նույնականորեն հավասար է սկզբնականին։

Նման փոխակերպումները մեզ թույլ են տալիս պարզեցնել ուժերով արտահայտությունները կամ հասնել մեզ անհրաժեշտ այլ նպատակների: Օրինակ, վերը նշված հզորության արտահայտության մեջ (2+0.3 7) 5−3.7 կարող եք գործողություններ կատարել հիմքում և աստիճանի թվերով, ինչը թույլ կտա անցնել 4.1 հզորությանը 1.3. Իսկ փակագծերը բացելուց և (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) աստիճանի հիմքին համանման տերմիններ բերելուց հետո մենք ավելի շատ ուժային արտահայտություն ենք ստանում. պարզ տեսակա 2·(x+1) .

Օգտագործելով աստիճանի հատկությունները

Իշխանություններով արտահայտությունները փոխակերպելու հիմնական գործիքներից մեկը հավասարությունն է, արտացոլումը։ Հիշենք հիմնականները. Ցանկացած դրական a և b թվերի և կամայական r և s իրական թվերի համար ճշմարիտ են հզորությունների հետևյալ հատկությունները.

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Նկատի ունեցեք, որ բնական, ամբողջական և դրական ցուցանիշների համար a և b թվերի սահմանափակումները կարող են այդքան էլ խիստ չլինել: Օրինակ՝ m և n բնական թվերի համար a m ·a n =a m+n հավասարությունը ճիշտ է ոչ միայն դրական a-ի, այլ նաև բացասական a-ի և a=0-ի համար:

Դպրոցում ուժային արտահայտությունները փոխակերպելիս հիմնական շեշտը դրվում է համապատասխան հատկությունը ընտրելու և այն ճիշտ կիրառելու ունակության վրա: Այս դեպքում աստիճանների հիմքերը սովորաբար դրական են, ինչը թույլ է տալիս աստիճանների հատկությունները օգտագործել առանց սահմանափակումների։ Նույնը վերաբերում է հզորությունների հիմքերում փոփոխականներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպմանը. փոփոխականների թույլատրելի արժեքների միջակայքը սովորաբար այնպիսին է, որ հիմքերը դրա վրա վերցնում են միայն դրական արժեքներ, ինչը թույլ է տալիս ազատորեն օգտագործել հզորությունների հատկությունները: . Ընդհանրապես, դուք պետք է անընդհատ ինքներդ ձեզ հարցնեք, թե այս դեպքում հնարավո՞ր է աստիճանների որևէ հատկություն օգտագործել, քանի որ հատկությունների ոչ ճշգրիտ օգտագործումը կարող է հանգեցնել կրթական արժեքի նեղացման և այլ անախորժությունների: Այս կետերը մանրամասնորեն և օրինակներով քննարկվում են արտահայտությունների փոխակերպման հոդվածում, օգտագործելով հզորությունների հատկությունները: Այստեղ մենք կսահմանափակվենք մի քանի պարզ օրինակներով։

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 արտահայտությունը արտահայտի՛ր a հիմքով հզորությամբ:

Նախ, մենք փոխակերպում ենք երկրորդ գործոնը (a 2) −3՝ օգտագործելով հզորությունը հզորության բարձրացման հատկությունը. (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Բնօրինակ հզորության արտահայտությունը կունենա a 2.5 ·a −6:a −5.5 ձև: Ակնհայտ է, որ մնում է օգտագործել նույն հիմքով հզորությունների բազմապատկման և բաժանման հատկությունները, ունենք.
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Ուժերի արտահայտությունները փոխակերպելիս ուժի հատկությունները օգտագործվում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ:

Գտե՛ք ուժային արտահայտության արժեքը:

Հավասարությունը (a·b) r =a r ·b r, կիրառված աջից ձախ, թույլ է տալիս սկզբնական արտահայտությունից անցնել ձևի արտադրյալին և ավելին: Եվ նույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս ցուցիչները գումարվում են. .

Բնօրինակ արտահայտությունը հնարավոր եղավ փոխակերպել այլ կերպ.

.

Հաշվի առնելով a 1.5 −a 0.5 −6 հզորության արտահայտությունը, մուտքագրեք նոր փոփոխական t=a 0.5:

a 1.5 աստիճանը կարող է ներկայացվել որպես 0.5 3, այնուհետև, ելնելով աստիճանի հատկությունից (a r) s =a r s աստիճանի նկատմամբ, կիրառվել է աջից ձախ, այն վերածել (a 0.5) 3 ձևի։ Այսպիսով, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Այժմ հեշտ է ներկայացնել t=a 0,5 նոր փոփոխական, մենք ստանում ենք t 3 −t−6:

Հզորություններ պարունակող կոտորակների փոխակերպում

Հզոր արտահայտությունները կարող են պարունակել կամ ներկայացնել ուժերով կոտորակներ: Կոտորակների ցանկացած հիմնական փոխակերպում, որը բնորոշ է ցանկացած տեսակի կոտորակներին, լիովին կիրառելի է այդպիսի կոտորակների համար: Այսինքն՝ ուժեր պարունակող կոտորակները կարող են կրճատվել, վերածվել նոր հայտարարի, աշխատել առանձին իրենց համարիչով և առանձին՝ հայտարարի հետ և այլն։ Այս խոսքերը լուսաբանելու համար հաշվի առեք մի քանի օրինակների լուծումներ։

Պարզեցնել ուժային արտահայտությունը .

Այս ուժային արտահայտությունը կոտորակ է: Եկեք աշխատենք նրա համարիչի և հայտարարի հետ։ Համարիչում բացում ենք փակագծերը և պարզեցնում ստացված արտահայտությունը՝ օգտագործելով հզորությունների հատկությունները, իսկ հայտարարում ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.

Եվ նաև փոխենք հայտարարի նշանը՝ կոտորակի դիմաց մինուս դնելով. .

.

Հզորություն պարունակող կոտորակները նոր հայտարարով կրճատելը կատարվում է այնպես, ինչպես ռացիոնալ կոտորակները նոր հայտարարի կրճատելը: Այս դեպքում հայտնաբերվում է նաև լրացուցիչ գործակից և կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են դրանով։ Այս գործողությունը կատարելիս հարկ է հիշել, որ կրճատումը դեպի նոր հայտարար կարող է հանգեցնել VA-ի նեղացման: Որպեսզի դա տեղի չունենա, անհրաժեշտ է, որ լրացուցիչ գործոնը զրոյի չհասնի ODZ փոփոխականների փոփոխականների որևէ արժեքի բնօրինակ արտահայտության համար:

Կոտորակները դարձրեք նոր հայտարարի. ա) հայտարարի a, բ) հայտարարին։

ա) Այս դեպքում բավականին հեշտ է պարզել, թե որ լրացուցիչ բազմապատկիչն է օգնում հասնել ցանկալի արդյունքի: Սա 0.3-ի բազմապատկիչ է, քանի որ 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a: Նկատի ունեցեք, որ a փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքում (սա բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունն է), 0.3-ի հզորությունը չի վերանում, հետևաբար, մենք իրավունք ունենք բազմապատկել տրվածի համարիչն ու հայտարարը: կոտորակ այս լրացուցիչ գործակցով.

բ) Ավելի ուշադիր նայելով հայտարարին, դուք կգտնեք, որ

և այս արտահայտությունը բազմապատկելով կստացվի խորանարդների գումարը և, այսինքն. Եվ սա այն նոր հայտարարն է, որին մենք պետք է կրճատենք սկզբնական կոտորակը:

Այսպես մենք գտանք լրացուցիչ բազմապատկիչ։ x և y փոփոխականների թույլատրելի արժեքների միջակայքում արտահայտությունը չի անհետանում, հետևաբար, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարող ենք բազմապատկել դրանով.

Ա) , բ) .

Նորություն չկա նաև հզորություններ պարունակող կոտորակների կրճատման մեջ. համարիչն ու հայտարարը ներկայացված են որպես մի շարք գործոններ, իսկ համարիչի և հայտարարի նույն գործակիցները կրճատվում են։

Փոքրացնել կոտորակը. ա) , բ) .

ա) Նախ՝ համարիչը և հայտարարը կարող են կրճատվել 30 և 45 թվերով, որը հավասար է 15-ի։ Ակնհայտորեն հնարավոր է նաև կրճատում կատարել x 0,5 +1-ով և ըստ . Ահա թե ինչ ունենք.

բ) Այս դեպքում համարիչի և հայտարարի նույնական գործոնները անմիջապես տեսանելի չեն: Դրանք ձեռք բերելու համար դուք պետք է նախնական վերափոխումներ կատարեք: Այս դեպքում դրանք բաղկացած են հայտարարի գործակցումից՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

Ա)

բ) .

Կոտորակները նոր հայտարարի վերածելը և կոտորակները կրճատելը հիմնականում օգտագործվում են կոտորակների հետ գործեր կատարելու համար։ Գործողությունները կատարվում են ըստ հայտնի կանոնների. Կոտորակներ գումարելիս (հանելիս) դրանք վերածվում են ընդհանուր հայտարարի, որից հետո համարիչները գումարվում (հանվում են), բայց հայտարարը մնում է նույնը։ Ստացվում է կոտորակ, որի համարիչը համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը՝ հայտարարների արտադրյալը։ Կոտորակի վրա բաժանումը բազմապատկվում է նրա հակադարձով:

Հետևեք քայլերին .

Նախ հանում ենք փակագծերում տրված կոտորակները։ Դա անելու համար մենք դրանք բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, որն է , որից հետո հանում ենք համարիչները.

Այժմ մենք բազմապատկում ենք կոտորակները.

Ակնհայտորեն հնարավոր է կրճատել x 1/2 հզորությամբ, որից հետո ունենք .

Կարող եք նաև պարզեցնել հզորության արտահայտությունը հայտարարում՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը. .

Պարզեցնել ուժային արտահայտությունը .

Ակնհայտ է, որ այս կոտորակը կարող է կրճատվել (x 2.7 +1) 2-ով, սա տալիս է կոտորակը. . Պարզ է, որ X-ի լիազորություններով այլ բան է պետք անել։ Դա անելու համար ստացված ֆրակցիան վերածեք արտադրանքի: Սա մեզ հնարավորություն է տալիս օգտվելու նույն հիմքերով իշխանությունը բաժանելու հատկությունից. . Իսկ գործընթացի վերջում մենք վերջին արտադրյալից անցնում ենք կոտորակի։

.

Եվ հավելենք նաև, որ հնարավոր է, և շատ դեպքերում ցանկալի է, որ բացասական ցուցիչներով գործոնները փոխանցել համարիչից հայտարարի կամ հայտարարից համարիչին՝ փոխելով աստիճանի նշանը։ Նման փոխակերպումները հաճախ պարզեցնում են հետագա գործողությունները: Օրինակ, հզորության արտահայտությունը կարող է փոխարինվել.

Արմատներով և ուժերով արտահայտությունների փոխակերպում

Հաճախ այն արտահայտություններում, որոնցում որոշ փոխակերպումներ են պահանջվում, հզորությունների հետ միասին առկա են նաև կոտորակային ցուցիչներով արմատներ։ Նման արտահայտությունը ցանկալի ձևի վերածելու համար շատ դեպքերում բավական է գնալ միայն արմատներին կամ միայն իշխանություններին։ Բայց քանի որ ավելի հարմար է տերությունների հետ աշխատելը, նրանք սովորաբար արմատներից անցնում են ուժեր։ Այնուամենայնիվ, նպատակահարմար է իրականացնել նման անցում, երբ սկզբնական արտահայտության համար փոփոխականների ODZ-ը թույլ է տալիս փոխարինել արմատները հզորություններով՝ առանց մոդուլին հղում կատարելու կամ ODZ-ը մի քանի ընդմիջումների բաժանելու (մենք մանրամասն քննարկել ենք դա Հոդվածի անցում արմատներից դեպի ուժեր և հետադարձ Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հետ ծանոթանալուց հետո ներկայացվում է իռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, որը թույլ է տալիս խոսել աստիճանի մասին կամայական իրական ցուցիչով Այս փուլում դպրոցը սկսում է ուսումնասիրություն. էքսպոնենցիալ ֆունկցիա , որը վերլուծականորեն տրվում է մի հզորությամբ, որի հիմքը թիվ է, իսկ աստիճանը՝ փոփոխական։ Այսպիսով, մենք բախվում ենք հզորության հիմքում թվեր պարունակող, իսկ ցուցիչում՝ փոփոխականներով արտահայտություններ պարունակող, և, բնականաբար, անհրաժեշտություն է առաջանում կատարել նման արտահայտությունների փոխակերպումներ։

Պետք է ասել, որ նշված տիպի արտահայտությունների վերափոխումը սովորաբար պետք է կատարվի լուծելիս էքսպոնենցիալ հավասարումներԵվ էքսպոնենցիալ անհավասարություններ, և այս փոխարկումները բավականին պարզ են: Դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում դրանք հիմնված են աստիճանի հատկությունների վրա և նպատակաուղղված են, մեծ մասամբ, ապագայում նոր փոփոխական ներմուծելուն։ Հավասարումը թույլ կտա մեզ ցույց տալ դրանք 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Նախ՝ այն ուժերը, որոնց ցուցիչներում որոշակի փոփոխականի (կամ փոփոխականներով արտահայտություն) և թվի գումարն է, փոխարինվում են արտադրյալներով։ Սա վերաբերում է ձախ կողմի արտահայտության առաջին և վերջին տերմիններին.
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Հաջորդը, հավասարության երկու կողմերը բաժանվում են 7 2 x արտահայտությամբ, որը ընդունում է միայն դրական արժեքներ x փոփոխականի ODZ-ի վրա սկզբնական հավասարման համար (սա ստանդարտ տեխնիկա է այս տեսակի հավասարումների լուծման համար, մենք չենք խոսելով դրա մասին հիմա, այնպես որ կենտրոնացեք ուժերով արտահայտությունների հետագա փոխակերպումների վրա):

Այժմ մենք կարող ենք չեղարկել հզորություններով կոտորակները, ինչը տալիս է .

Ի վերջո, միևնույն ցուցիչներով ուժերի հարաբերակցությունը փոխարինվում է հարաբերությունների ուժերով, ինչի արդյունքում ձևավորվում է հավասարում. , որը համարժեք է . Կատարված փոխակերպումները մեզ թույլ են տալիս ներմուծել նոր փոփոխական, որը սկզբնական էքսպոնենցիալ հավասարման լուծումը նվազեցնում է քառակուսի հավասարման լուծման։

I. V. Boykov, L. D. RomanovaՄիասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելու առաջադրանքների ժողովածու. Մաս 1. Պենզա 2003 թ.

Բաժիններ:Մաթեմատիկա

Դասի տեսակը.գիտելիքների ընդհանրացման և համակարգման դաս

Նպատակները:

կրթական– կրկնել աստիճանի սահմանումը, աստիճանների բազմապատկման և բաժանման կանոնները, աստիճանը հասցնելու աստիճանի, համախմբել աստիճաններ պարունակող օրինակներ լուծելու հմտությունները,

զարգացող- զարգացում տրամաբանական մտածողությունուսանողներ, հետաքրքրություն ուսումնասիրվող նյութի նկատմամբ,

բարձրացնելով– ուսուցման նկատմամբ պատասխանատու վերաբերմունքի, հաղորդակցության մշակույթի և կոլեկտիվիզմի զգացողության ձևավորում:

Սարքավորումներ:համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, ինտերակտիվ գրատախտակ, մտավոր հաշվարկի «Դիպլոմների» ներկայացում, առաջադրանքների քարտեր, թերթիկներ:

Դասի պլան.

Կազմակերպչական պահ.

Կանոնների կրկնություն

Բանավոր հաշվում.

Պատմական տեղեկություններ.

Աշխատեք տախտակում:

Ֆիզկուլտուրայի րոպե.

Աշխատեք ինտերակտիվ գրատախտակի վրա:

Անկախ աշխատանք.

Տնային աշխատանք.

Ամփոփելով դասը.

Դասի առաջընթաց

I. Կազմակերպչական պահ

Հաղորդեք դասի թեման և նպատակները:

Նախորդ դասերում դուք հայտնաբերել եք զարմանալի աշխարհաստիճաններ, սովորել է բազմապատկել և բաժանել աստիճաններ և դրանք հասցնել ուժի: Այսօր մենք պետք է համախմբենք ձեռք բերված գիտելիքները՝ օրինակներ լուծելով։

II. Կանոնների կրկնություն(բանավոր)

1. Տվե՛ք աստիճանի սահմանումը բնական ցուցիչով: (Թվի հզորություն Ա 1-ից մեծ բնական ցուցիչով կոչվում է արտադրյալ nգործոններ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է Ա.)
2. Ինչպե՞ս բազմապատկել երկու ուժերը: (Միևնույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելու համար պետք է հիմքը թողնել նույնը և ավելացնել ցուցիչները):
3. Ինչպե՞ս բաժանել աստիճանը ըստ աստիճանի: (Միևնույն հիմքերով հզորությունները բաժանելու համար հարկավոր է հիմքը թողնել նույնը և հանել ցուցիչները):
4. Ինչպե՞ս արտադրանքը հասցնել հզորության: (Ապրանքը հզորության բարձրացնելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր գործոն բարձրացնել այդ հզորության վրա)
5. Ինչպե՞ս աստիճանը բարձրացնել իշխանության: (Հզորությունը հզորության բարձրացնելու համար հարկավոր է հիմքը թողնել նույնը և բազմապատկել ցուցիչները)

III. Բանավոր հաշվում(մուլտիմեդիա)

IV. Պատմական նախադրյալներ

Բոլոր խնդիրները Ահմես պապիրուսից են, որը գրվել է մոտ 1650 թվականին մ.թ.ա. ե. կապված շինարարական պրակտիկայի, հողամասերի սահմանազատման և այլնի հետ: Առաջադրանքները խմբավորված են ըստ թեմաների: Դրանք հիմնականում եռանկյան, քառանկյունների և շրջանագծի մակերեսները գտնելու խնդիրներ են, ամբողջ թվերով և կոտորակներով տարբեր գործողություններ, համամասնական բաժանում, հարաբերություններ գտնելու, կա նաև տարբեր հզորությունների բարձրացում, առաջին և երկրորդ աստիճանի հավասարումներ մեկ անհայտով լուծելու խնդիրներ։

Որևէ բացատրության կամ ապացույցի իսպառ բացակայում է։ Ցանկալի արդյունքը կա՛մ ուղղակիորեն է տրվում, կա՛մ տրված է դրա հաշվարկման կարճ ալգորիթմ: Ներկայացման այս մեթոդը, որը բնորոշ է Հին Արևելքի երկրների գիտությանը, հուշում է, որ այնտեղ մաթեմատիկան զարգացել է ընդհանրացումների և գուշակությունների միջոցով, որոնք չեն ձևավորել որևէ ընդհանուր տեսություն։ Այնուամենայնիվ, պապիրուսը պարունակում է մի շարք ապացույցներ այն մասին, որ եգիպտացի մաթեմատիկոսները գիտեին, թե ինչպես արմատներ հանել և ուժեր բարձրացնել, լուծել հավասարումներ և նույնիսկ տիրապետել հանրահաշվի հիմնական տարրերին:

V. Աշխատել խորհրդի մոտ

Գտեք արտահայտության իմաստը ռացիոնալ ձևով.

Հաշվիր արտահայտության արժեքը.



VI. Ֆիզկուլտուրայի րոպե

6. աչքերի համար
7. պարանոցի համար
8. ձեռքերի համար
9. իրանի համար
10. ոտքերի համար

VII. Խնդրի լուծում(ինտերակտիվ գրատախտակի վրա ցուցադրմամբ)

Արդյո՞ք հավասարման արմատը դրական թիվ է:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Ուժերի և արմատների բանաձևեր.

Դիպլոմային բանաձևերօգտագործվում է բարդ արտահայտությունների կրճատման և պարզեցման գործընթացում, հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս։

Համար գէ n- թվի թվի հզորությունը աԵրբ:



Գործողություններ աստիճաններով.

1. Նույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելով՝ դրանց ցուցիչները գումարվում են.

2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց չափորոշիչները.



3. 2 կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այս գործոնների աստիճանների արտադրյալին.

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Կոտորակի աստիճանը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի աստիճանների հարաբերությանը.

5. Բարձրացնելով հզորությունը հզորության՝ աստիճանները բազմապատկվում են.

Վերը նշված յուրաքանչյուր բանաձև ճիշտ է ձախից աջ և հակառակ ուղղություններով:

Գործողություններ արմատներով.

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. Հարաբերակցության արմատը հավասար է շահաբաժնի և արմատների բաժանարարի հարաբերությանը.



3. Արմատը դեպի հզորություն բարձրացնելիս բավական է արմատական ​​թիվը հասցնել այս հզորության.



4. Եթե բարձրացնեք արմատի աստիճանը ներս nմեկ անգամ և միևնույն ժամանակ ներդնել nրդ հզորությունը արմատական ​​թիվ է, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.



5. Եթե դուք նվազեցնում եք արմատի աստիճանը ներս nմիաժամանակ հանել արմատը n-արմատական ​​թվի երրորդ հզորությունը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.



Ոչ դրական (ամբողջ) ցուցիչով որոշակի թվի հզորությունը սահմանվում է որպես այն, որը բաժանվում է նույն թվի ուժի վրա, որի ցուցիչը հավասար է ոչ դրական ցուցիչի բացարձակ արժեքին.



Բանաձև մի մ :a n =a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ > n, այլեւ հետ մ 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3:

Բանաձևին մի մ :a n =a m - nդարձավ արդար, երբ m=n, զրոյական աստիճանի առկայությունը պարտադիր է։

Ցանկացած թվի հզորությունը, ոչ հավասար է զրոյի, զրոյական ցուցիչով հավասար է մեկ:

Իրական թիվ բարձրացնելու համար Աաստիճանի մ/ն, դուք պետք է հանեք արմատը n-րդ աստիճանից մ- այս թվի երրորդ հզորությունը Ա:



Դիպլոմային բանաձևեր.

6. ա - n = - աստիճանների բաժանում;

7. - աստիճանների բաժանում;

8. a 1/n = ;

Գործողության կանոնի աստիճանները աստիճաններով

1. Երկու կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այս գործոնների աստիճանների արտադրյալին (նույն ցուցիչով).

(abc…) n = a n b n c n…

Օրինակ 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Օրինակ 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x - a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

Գործնականում հակադարձ փոխարկումն ավելի կարևոր է.

a n b n c n … = (abc…) n

դրանք. մի քանի մեծությունների նույնական հզորությունների արտադրյալը հավասար է այդ մեծությունների արտադրյալի նույն հզորությանը:

Օրինակ 3. Օրինակ 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Քաղորդի (կոտորակի) հզորությունը հավասար է բաժանարարի նույն հզորությունը նույն հզորության վրա բաժանելու գործակցին.

Օրինակ 5. Օրինակ 6.

Հակադարձ փոխակերպում. Օրինակ 7. . Օրինակ 8. .

3. Նույն հիմքերով աստիճանները բազմապատկելիս աստիճանների ցուցիչները գումարվում են.

Օրինակ 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Օրինակ 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Միևնույն հիմքերով ուժերը բաժանելիս բաժանարարի չափիչը հանվում է դիվիդենտի արտահայտիչից.

Օրինակ 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Օրինակ 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Աստիճանը բարձրացնելիս աստիճանները բազմապատկվում են.

Օրինակ 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Օրինակ 14.

www.maths.yfa1.ru

Ուժեր և արմատներ

Գործողություններ ուժերով և արմատներով: Աստիճան բացասականով ,

զրոյական և կոտորակային ցուցիչ։ Անիմաստ արտահայտությունների մասին.

Գործողություններ աստիճաններով.

1. Միևնույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելիս գումարվում են դրանց չափորոշիչները.

մի մ · a n = a m + n.

2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս՝ դրանց ցուցիչները հանվում են .



3. Երկու կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այդ գործոնների աստիճանների արտադրյալին։

4. Հարաբերակցության (կոտորակի) աստիճանը հավասար է դիվիդենտի (համարիչ) և բաժանարարի (հայտարարի) աստիճանների հարաբերությանը.

(ա/բ) n = a n / b n .

5. Հզորությունը հզորության բարձրացնելիս դրանց ցուցանիշները բազմապատկվում են.

Վերոնշյալ բոլոր բանաձևերը կարդացվում և կատարվում են երկու ուղղությամբ՝ ձախից աջ և հակառակը։

ՕՐԻՆԱԿ (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Գործողություններ արմատներով. Ստորև բերված բոլոր բանաձևերում խորհրդանիշը նշանակում է թվաբանական արմատ(արմատական ​​արտահայտությունը դրական է):

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. Հարաբերակցության արմատը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի արմատների հարաբերությանը.



3. Արմատ բարձրացնելով իշխանությանը, բավական է բարձրացնել այս իշխանությանը արմատական ​​համարը:



4. Եթե արմատի աստիճանը մեծացնեք մ անգամ և միևնույն ժամանակ ռադիկալ թիվը հասցնեք մթ հզորության, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.



5. Եթե արմատի աստիճանը կրճատեք m անգամ և միաժամանակ հանեք արմատական ​​թվի m-րդ արմատը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.





Ընդլայնելով աստիճանի հայեցակարգը: Առայժմ մենք աստիճաններ ենք դիտարկել միայն բնական ցուցիչներով. բայց ուժերով և արմատներով գործողությունները կարող են նաև հանգեցնել բացասական, զրոԵվ կոտորակայինցուցանիշները։ Այս բոլոր ցուցանիշները պահանջում են լրացուցիչ սահմանում:

Բացասական ցուցիչով աստիճան: Բացասական (ամբողջ) ցուցիչով որոշակի թվի հզորությունը սահմանվում է որպես մեկը, որը բաժանվում է նույն թվի ուժի վրա, որի ցուցիչը հավասար է բացասական ցուցիչի բացարձակ արժեքին.



Հիմա բանաձեւը մի մ : a n = a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ, ավելի քան n, այլեւ հետ մ, պակաս քան n .

ՕՐԻՆԱԿ ա 4: ա 7 =ա 4 - 7 =ա - 3 .

Եթե ​​ուզում ենք բանաձեւը մի մ : a n = մի մ - nարդար էր, երբ m = n, մեզ անհրաժեշտ է զրոյական աստիճանի սահմանում։

Զրո ինդեքսով աստիճան։ Զրո ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի հզորությունը 1 է:

ՕՐԻՆՆԵՐ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Աստիճան կոտորակային ցուցիչով: Իրական a թիվը m/n-ին հասցնելու համար անհրաժեշտ է հանել a թվի m-րդ հզորության n-րդ արմատը.



Անիմաստ արտահայտությունների մասին. Նման մի քանի արտահայտություններ կան.

Որտեղ ա ≠ 0 , գոյություն չունի։

Փաստորեն, եթե ենթադրենք, որ xորոշակի թիվ է, ապա բաժանման գործողության սահմանման համաձայն ունենք. ա = 0· x, այսինքն. ա= 0, որը հակասում է պայմանին. ա ≠ 0

- ցանկացած թիվ.

Փաստորեն, եթե ենթադրենք, որ այս արտահայտությունը հավասար է ինչ-որ թվի x, ապա բաժանման գործողության սահմանման համաձայն ունենք՝ 0 = 0 · x. Բայց այս հավասարությունը տեղի է ունենում, երբ ցանկացած x թիվ, ինչը ապացուցման կարիք ուներ։

0 0 - ցանկացած թիվ.



Լուծում Դիտարկենք երեք հիմնական դեպք.

1) x = 0 – այս արժեքը չի բավարարում այս հավասարմանը

2) երբ x> 0 մենք ստանում ենք. x/x= 1, այսինքն. 1 = 1, ինչը նշանակում է

Ինչ x- ցանկացած թիվ; բայց հաշվի առնելով, որ ին

մեր դեպքում x> 0, պատասխանն է x > 0 ;

աստիճանի հատկություններ

Հիշեցնում ենք, որ այս դասում մենք կհասկանանք աստիճանների հատկություններըբնական ցուցանիշներով եւ զրո։ Ռացիոնալ ցուցիչներով ուժերը և դրանց հատկությունները կքննարկվեն 8-րդ դասարանի դասերին:

Բնական ցուցիչ ունեցող հզորությունն ունի մի քանի կարևոր հատկություն, որոնք թույլ են տալիս պարզեցնել հզորությունների օրինակներով հաշվարկները:

Թիվ 1 սեփականություն
Հզորությունների արտադրանք

Միևնույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ հզորությունների արտահայտիչները գումարվում են։

a m · a n = a m + n, որտեղ «a»-ն ցանկացած թիվ է, իսկ «m»-ը, «n»-ը ցանկացած բնական թվեր են:

Հզորությունների այս հատկությունը վերաբերում է նաև երեք և ավելի հզորությունների արտադրյալին։

• Պարզեցրեք արտահայտությունը.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան։
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան։
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նշված գույքում մենք խոսում էինք միայն նույն հիմքերով հզորությունների բազմապատկման մասին. Դա չի վերաբերում դրանց ավելացմանը։

Դուք չեք կարող գումարը (3 3 + 3 2) փոխարինել 3 5-ով: Սա հասկանալի է, եթե
հաշվել (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, և 3 5 = 243

Թիվ 2 գույք
Մասնակի աստիճաններ

Միևնույն հիմքով հզորությունները բաժանելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, և բաժանարարի աստիճանը հանվում է դիվիդենտի ցուցիչից։

• Գրեք քանորդը որպես ուժ
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Հաշվիր։

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը. Մենք օգտագործում ենք քանորդ հզորությունների հատկությունը։
3 8: t = 3 4

Պատասխան՝ t = 3 4 = 81

Օգտագործելով No1 և No2 հատկությունները, կարող եք հեշտությամբ պարզեցնել արտահայտությունները և կատարել հաշվարկներ:

Օրինակ. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
4 5 մ + 6 4 մ + 2: 4 4 մ + 3 = 4 5 մ + 6 + մ + 2: 4 4 մ + 3 = 4 6 մ + 8 − 4 մ − 3 = 4 2 մ + 5

Օրինակ. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ օգտագործելով ցուցիչների հատկությունները:

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սեփականություն 2-ում մենք խոսում էինք միայն նույն հիմքերով լիազորությունները բաժանելու մասին։

Դուք չեք կարող (4 3 −4 2) տարբերությունը փոխարինել 4 1-ով: Սա հասկանալի է, եթե հաշվարկեք (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, և 4 1 = 4

Թիվ 3 գույք
Աստիճանի բարձրացում դեպի իշխանություն

Աստիճանը մինչև հզորության բարձրացնելիս աստիճանի հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ աստիճանները բազմապատկվում են։

(a n) m = a n · m, որտեղ «a»-ն ցանկացած թիվ է, իսկ «m»-ը, «n»-ը ցանկացած բնական թվեր են:

Օրինակ.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Օրինակ. Արտահայտեք 3 20-ը որպես հզորություն 3 2 հիմքով:

աստիճանի բարձրացման հատկությամբՀայտնի է, որ ուժի բարձրացման դեպքում ցուցիչները բազմապատկվում են, ինչը նշանակում է.

Հատկություններ 4
Արտադրանքի հզորությունը

Երբ հզորությունը բարձրացվում է մինչև արտադրանքի հզորությունը, յուրաքանչյուր գործակից բարձրացվում է այդ հզորությանը և արդյունքները բազմապատկվում են:

(a բ) n = a n b n, որտեղ «a», «b» ցանկացած ռացիոնալ թվեր են. «n»-ը ցանկացած բնական թիվ է:

• Օրինակ 1.
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
• Օրինակ 2.
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ թիվ 4 հատկությունը, ինչպես աստիճանների մյուս հատկությունները, կիրառվում է նաև հակառակ հերթականությամբ։

(a n b n)= (a b) n

Այսինքն՝ նույն ցուցիչներով հզորությունները բազմապատկելու համար կարելի է հիմքերը բազմապատկել, բայց աստիճանը թողնել անփոփոխ։

• Օրինակ. Հաշվիր։
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
• Օրինակ. Հաշվիր։
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Ավելի բարդ օրինակներում կարող են լինել դեպքեր, երբ բազմապատկումն ու բաժանումը պետք է կատարվեն տարբեր հիմքերով և տարբեր աստիճաններով հզորությունների վրա: Այս դեպքում խորհուրդ ենք տալիս անել հետևյալը.

Օրինակ՝ 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Տասնորդական թիվը մինչև հզորության բարձրացման օրինակ:

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Հատկություններ 5
քանորդի հզորություն (կոտորակ)

Գործակիցը մեծացնելու համար կարող եք դիվիդենտը և բաժանարարը առանձին բարձրացնել այս հզորության վրա, իսկ առաջին արդյունքը բաժանել երկրորդի վրա:

(a: b) n = a n: b n, որտեղ «a», «b» ցանկացած ռացիոնալ թվեր են, b ≠ 0, n - ցանկացած բնական թիվ:

• Օրինակ. Ներկայացրե՛ք արտահայտությունը որպես ուժերի գործակից:
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Հիշեցնում ենք, որ քանորդը կարող է ներկայացվել որպես կոտորակ: Ուստի ավելի մանրամասն կանդրադառնանք կոտորակի հզորության բարձրացման թեմային հաջորդ էջում։

Այցելեք մեր կայքի youtube-ի ալիքը՝ արդիական մնալու բոլոր նոր տեսադասերին:

Նախ, եկեք հիշենք հզորությունների հիմնական բանաձևերը և դրանց հատկությունները:

Թվի արտադրյալ ատեղի է ունենում իր վրա n անգամ, մենք կարող ենք այս արտահայտությունը գրել որպես a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. ա ն / ա մ = ա ն - մ

Հզորություն կամ էքսպոնենցիալ հավասարումներ– սրանք հավասարումներ են, որոնցում փոփոխականները գտնվում են հզորություններով (կամ ցուցիչներով), իսկ հիմքը թիվ է:

Էքսպոնենցիալ հավասարումների օրինակներ.

Այս օրինակում 6 թիվը հիմքն է, այն միշտ ներքևում է, իսկ փոփոխականը xաստիճան կամ ցուցանիշ:

Եկեք ավելի շատ օրինակներ բերենք էքսպոնենցիալ հավասարումների:
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում էքսպոնենցիալ հավասարումները:

Վերցնենք մի պարզ հավասարում.

2 x = 2 3

Այս օրինակը կարելի է լուծել նույնիսկ ձեր գլխում։ Երևում է, որ x=3. Ի վերջո, որպեսզի ձախ և աջ կողմերը հավասար լինեն, պետք է x-ի փոխարեն դնել 3 թիվը։
Այժմ տեսնենք, թե ինչպես կարելի է պաշտոնականացնել այս որոշումը.

2 x = 2 3
x = 3

Նման հավասարումը լուծելու համար մենք հանեցինք նույնական հիմքեր(այսինքն՝ երկուսը) և գրի առավ այն, ինչ մնացել էր, սրանք աստիճաններ են։ Մենք ստացանք այն պատասխանը, որը փնտրում էինք։

Հիմա ամփոփենք մեր որոշումը.

Էքսպոնենցիալ հավասարման լուծման ալգորիթմ.
1. Պետք է ստուգել նույնականարդյոք հավասարումը ունի աջ և ձախ հիմքեր: Եթե ​​պատճառները նույնը չեն, մենք տարբերակներ ենք փնտրում այս օրինակը լուծելու համար։
2. Այն բանից հետո, երբ հիմքերը դառնում են նույնը, հավասարեցնելաստիճաններ և լուծիր ստացված նոր հավասարումը:

Այժմ նայենք մի քանի օրինակների.

Սկսենք մի պարզ բանից.

Ձախ և աջ կողմերի հիմքերը հավասար են 2 թվին, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք հրաժարվել հիմքից և հավասարեցնել դրանց ուժերը:

x+2=4 Ստացվում է ամենապարզ հավասարումը.
x=4 - 2
x=2
Պատասխան՝ x=2

Հետևյալ օրինակում կարող եք տեսնել, որ հիմքերը տարբեր են՝ 3 և 9։

3 3x - 9 x+8 = 0

Նախ, ինը տեղափոխեք աջ կողմ, մենք ստանում ենք.

Այժմ դուք պետք է պատրաստեք նույն հիմքերը: Մենք գիտենք, որ 9=3 2: Եկեք օգտագործենք հզորության բանաձևը (a n) m = a nm:

3 3x = (3 2) x+8

Ստանում ենք 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Այժմ պարզ է, որ ձախ և աջ կողմերում հիմքերը նույնն են և հավասար են երեքի, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք դրանք մերժել և հավասարեցնել աստիճանները։

3x=2x+16 ստանում ենք ամենապարզ հավասարումը
3x - 2x=16
x=16
Պատասխան՝ x=16:

Դիտարկենք հետևյալ օրինակը.

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Առաջին հերթին մենք նայում ենք հիմքերին, հիմքերը երկու և չորս: Եվ մեզ պետք է, որ նրանք նույնը լինեն: Մենք չորսը վերափոխում ենք՝ օգտագործելով (a n) m = a nm բանաձևը:

4 x = (2 2) x = 2 2x

Եվ մենք նաև օգտագործում ենք մեկ բանաձև a n a m = a n + m.

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ավելացնել հավասարմանը.

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Նույն պատճառներով օրինակ բերեցինք. Բայց 10-րդ և 24-րդ համարները մեզ անհանգստացնում են: Եթե ​​ուշադիր նայեք, կարող եք տեսնել, որ ձախ կողմում մենք կրկնում ենք 2 2x, և ահա պատասխանը. մենք կարող ենք փակագծերից դուրս դնել 2 2x.

2 2x (2 4 - 10) = 24

Հաշվարկենք փակագծերում տրված արտահայտությունը.

2 4 - 10 = 16 - 10 = 6

Ամբողջ հավասարումը բաժանում ենք 6-ի.

Պատկերացնենք 4=2 2:

2 2x = 2 2 հիմքերը նույնն են, մենք դրանք դեն ենք նետում և հավասարեցնում աստիճանները։
2x = 2 ամենապարզ հավասարումն է: Այն բաժանում ենք 2-ի և ստանում ենք
x = 1
Պատասխան՝ x = 1:

Եկեք լուծենք հավասարումը.

9 x – 12*3 x +27= 0

Եկեք փոխակերպենք.
9 x = (3 2) x = 3 2x

Մենք ստանում ենք հավասարումը.
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Մեր հիմքերը նույնն են, հավասար են երեքի Այս օրինակում դուք կարող եք տեսնել, որ առաջին երեքն ունի երկու անգամ (2x), քան երկրորդը (ուղղակի x): Այս դեպքում դուք կարող եք լուծել փոխարինման մեթոդ. Մենք թիվը փոխարինում ենք ամենափոքր աստիճանով.

Այնուհետեւ 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Մենք հավասարման բոլոր x հզորությունները փոխարինում ենք t-ով.

t 2 - 12t+27 = 0
Մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարում. Խտրականության միջոցով լուծելով՝ մենք ստանում ենք.
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Վերադառնալով փոփոխականին x.

Վերցրեք t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Հետեւաբար,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Հայտնաբերվել է մեկ արմատ. Մենք փնտրում ենք երկրորդը t 2-ից.
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Պատասխան՝ x 1 = 2; x 2 = 1.

Կայքում կարող եք հետաքրքրող հարցեր տալ ՕԳՆԵԼ ՈՐՈՇԵԼ բաժնում, մենք ձեզ անպայման կպատասխանենք։

Միացեք խմբին

Ակնհայտ է, որ հզորություններ ունեցող թվերը կարող են ավելացվել ինչպես մյուս մեծությունները , դրանք մեկը մյուսի հետեւից ավելացնելով իրենց նշաններով.

Այսպիսով, a 3-ի և b 2-ի գումարը 3 + b 2 է:
a 3 - b n-ի և h 5 -d 4-ի գումարը 3 - b n + h 5 - d 4 է:

Հնարավորություններ նույնական փոփոխականների հավասար հզորություններկարելի է գումարել կամ հանել։

Այսպիսով, 2a 2-ի և 3a 2-ի գումարը հավասար է 5a 2-ի:

Ակնհայտ է նաև, որ եթե վերցնենք երկու քառակուսի a, կամ երեք քառակուսի a, կամ հինգ քառակուսի a.

Բայց աստիճաններ տարբեր փոփոխականներԵվ տարբեր աստիճաններ նույնական փոփոխականներ, պետք է կազմվի՝ ավելացնելով դրանք իրենց նշաններով։

Այսպիսով, 2-ի և 3-ի գումարը 2 + a 3-ի գումարն է:

Ակնհայտ է, որ a-ի քառակուսին և a-ի խորանարդը հավասար է ոչ թե a-ի քառակուսու կրկնակիին, այլ a-ի երկու անգամին:

a 3 b n-ի և 3a 5 b 6-ի գումարը a 3 b n + 3a 5 b 6 է:

Հանումլիազորություններն իրականացվում են այնպես, ինչպես հավելումը, բացառությամբ, որ ենթահողերի նշանները պետք է համապատասխանաբար փոխվեն:

Կամ՝
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (ա - ը) 6 - 2 (ա - ը) 6 = 3 (ա - ժ) 6

Բազմապատկվող ուժերը

Հզորություններով թվերը կարելի է բազմապատկել, ինչպես մյուս մեծությունները, գրելով դրանք մեկը մյուսի հետևից՝ նրանց միջև բազմապատկման նշան ունենալով կամ առանց դրա։

Այսպիսով, a 3-ը b 2-ով բազմապատկելու արդյունքը կլինի a 3 b 2 կամ aaabb:

Կամ՝
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Վերջին օրինակի արդյունքը կարելի է պատվիրել՝ ավելացնելով նույնական փոփոխականներ:
Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը՝ a 5 b 5 y 3:

Մի քանի թվեր (փոփոխականներ) հզորությունների հետ համեմատելով՝ կարող ենք տեսնել, որ եթե դրանցից երկուսը բազմապատկվեն, ապա ստացվում է մի թիվ (փոփոխական), որի հզորությունը հավասար է. գումարըտերմինների աստիճաններ.

Այսպիսով, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5:

Այստեղ 5-ը բազմապատկման արդյունքի հզորությունն է, որը հավասար է 2 + 3-ի, անդամների հզորությունների գումարը:

Այսպիսով, a n .a m = a m+n .

a n-ի համար a-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան n-ի հզորությունը;

Եվ a m-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան m աստիճանը հավասար է.

Ահա թե ինչու, Միևնույն հիմքերով հզորությունները կարելի է բազմապատկել՝ ավելացնելով հզորությունների ցուցիչները։

Այսպիսով, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8: Իսկ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6:

Կամ՝
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Բազմապատկել (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y):
Պատասխան՝ x 4 - y 4.
Բազմապատկել (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1):

Այս կանոնը ճիշտ է նաև այն թվերի համար, որոնց ցուցիչներն են բացասական.

1. Այսպիսով, a -2 .a -3 = a -5: Սա կարելի է գրել որպես (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa:

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Եթե ​​a + b-ը բազմապատկվում է a - b-ով, ապա արդյունքը կլինի a 2 - b 2. այսինքն

Երկու թվերի գումարը կամ տարբերությունը բազմապատկելու արդյունքը հավասար է նրանց քառակուսիների գումարին կամ տարբերությանը։

Եթե ​​բազմապատկեք երկու բարձրացված թվերի գումարը և տարբերությունը քառակուսի, արդյունքը հավասար կլինի այս թվերի գումարին կամ տարբերությանը չորրորդաստիճաններ։

Այսպիսով, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2:
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4:
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8:

Աստիճանների բաժանում

Հզորությամբ թվերը կարելի է բաժանել մյուս թվերի նման՝ դիվիդենտից հանելով կամ կոտորակային ձևով դնելով։

Այսպիսով, a 3 b 2-ը բաժանված է b 2-ի, հավասար է a 3-ի:

Կամ՝
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ը 3-ի վրա բաժանված գրելը կարծես $\frac(a^5)(a^3)$ է: Բայց սա հավասար է 2-ի: Մի շարք թվերով
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
ցանկացած թիվ կարելի է բաժանել մյուսի վրա, և ցուցանիշը հավասար կլինի տարբերությունըբաժանելի թվերի ցուցիչներ.

Նույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց չափորոշիչները:.

Այսպիսով, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1: Այսինքն՝ $\frac(yyyy)(yy) = y$։

Եվ a n+1:a = a n+1-1 = a n: Այսինքն՝ $\frac(aa^n)(a) = a^n$։

Կամ՝
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Կանոնը ճիշտ է նաև հետ թվերի համար բացասականաստիճանների արժեքներ.
-5-ը -3-ի բաժանելու արդյունքը -2 է:
Նաև $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 կամ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Պետք է շատ լավ տիրապետել ուժերի բազմապատկմանը և բաժանմանը, քանի որ նման գործողությունները շատ լայնորեն կիրառվում են հանրահաշվում։

Հզոր թվեր պարունակող կոտորակներով օրինակներ լուծելու օրինակներ

1. Ցուցանիշները փոքրացրեք $\frac(5a^4)(3a^2)$-ով Պատասխան՝ $\frac(5a^2)(3)$:

2. Ցուցանիշները փոքրացրեք $\frac(6x^6)(3x^5)$-ով: Պատասխան՝ $\frac(2x)(1)$ կամ 2x:

3. Կրճատիր a 2 /a 3 և a -3 /a -4 չափիչները և հասցրու ընդհանուր հայտարարի:
a 2 .a -4-ը a -2 առաջին համարիչն է:
a 3 .a -3-ը 0 = 1 է, երկրորդ համարիչը:
a 3 .a -4-ը -1 է, ընդհանուր համարիչը:
Պարզեցումից հետո՝ a -2 /a -1 և 1/a -1:

4. Կրճատել 2a 4 /5a 3 և 2 /a 4 չափորոշիչները և բերել ընդհանուր հայտարարի:
Պատասխան՝ 2a 3 /5a 7 և 5a 5 /5a 7 կամ 2a 3 /5a 2 և 5/5a 2:

5. Բազմապատկել (a 3 + b)/b 4-ը (a - b)/3-ով:

6. Բազմապատկել (a 5 + 1)/x 2-ով (b 2 - 1)/(x + a):

7. Բազմապատկել b 4 /a -2-ը h -3 /x-ով և a n /y -3-ով:

8. 4 /y 3-ը բաժանեք 3/y 2-ի: Պատասխան՝ ա/տ.

9. Բաժանեք (h 3 - 1)/d 4-ը (d n + 1)/h-ի վրա:

Հիշեցնում ենք, որ այս դասում մենք կհասկանանք աստիճանների հատկություններըբնական ցուցանիշներով եւ զրո։

Ռացիոնալ ցուցիչներով ուժերը և դրանց հատկությունները կքննարկվեն 8-րդ դասարանի դասերին:

Թիվ 1 սեփականություն
Հզորությունների արտադրանք

Բնական ցուցիչ ունեցող հզորությունն ունի մի քանի կարևոր հատկություն, որոնք թույլ են տալիս պարզեցնել հզորությունների օրինակներով հաշվարկները:

Միևնույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ հզորությունների արտահայտիչները գումարվում են։

a m · a n = a m + n, որտեղ «a»-ն ցանկացած թիվ է, իսկ «m»-ը, «n»-ը ցանկացած բնական թվեր են:

Հզորությունների այս հատկությունը վերաբերում է նաև երեք և ավելի հզորությունների արտադրյալին։

• Պարզեցրեք արտահայտությունը.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան։
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան։
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Կարևոր!

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նշված հատկության մեջ խոսքը միայն հզորությունների բազմապատկման մասին էր նույն հիմքերով . Դա չի վերաբերում դրանց ավելացմանը։

Դուք չեք կարող գումարը (3 3 + 3 2) փոխարինել 3 5-ով: Սա հասկանալի է, եթե
հաշվարկեք (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, և 3 5 = 243

Թիվ 2 գույք
Մասնակի աստիճաններ

Բնական ցուցիչ ունեցող հզորությունն ունի մի քանի կարևոր հատկություն, որոնք թույլ են տալիս պարզեցնել հզորությունների օրինակներով հաշվարկները:

Միևնույն հիմքերով հզորությունները բաժանելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, և բաժանարարի աստիճանը հանվում է դիվիդենտի ցուցիչից։

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը. Մենք օգտագործում ենք քանորդ հզորությունների հատկությունը։
3 8: t = 3 4

T = 3 8 - 4

Պատասխան՝ t = 3 4 = 81

Օգտագործելով No1 և No2 հատկությունները, կարող եք հեշտությամբ պարզեցնել արտահայտությունները և կատարել հաշվարկներ:

• Օրինակ. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
  4 5 մ + 6 4 մ + 2: 4 4 մ + 3 = 4 5 մ + 6 + մ + 2: 4 4 մ + 3 = 4 6 մ + 8 − 4 մ − 3 = 4 2 մ + 5
• Օրինակ. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ օգտագործելով ցուցիչների հատկությունները:
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Կարևոր!

  Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սեփականություն 2-ում մենք խոսում էինք միայն նույն հիմքերով լիազորությունները բաժանելու մասին։

  Դուք չեք կարող (4 3 −4 2) տարբերությունը փոխարինել 4 1-ով: Սա հասկանալի է, եթե հաշվեք (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 և 4 1 = 4

  Զգույշ եղեք։

  Թիվ 3 գույք
  Աստիճանի բարձրացում դեպի իշխանություն

  Բնական ցուցիչ ունեցող հզորությունն ունի մի քանի կարևոր հատկություն, որոնք թույլ են տալիս պարզեցնել հզորությունների օրինակներով հաշվարկները:

  Աստիճանը մինչև հզորության բարձրացնելիս աստիճանի հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ աստիճանները բազմապատկվում են։

  (a n) m = a n · m, որտեղ «a»-ն ցանկացած թիվ է, իսկ «m»-ը, «n»-ը ցանկացած բնական թվեր են:

  
  

  Հատկություններ 4
  Արտադրանքի հզորությունը

  Բնական ցուցիչ ունեցող հզորությունն ունի մի քանի կարևոր հատկություն, որոնք թույլ են տալիս պարզեցնել հզորությունների օրինակներով հաշվարկները:

  Արտադրանքը հզորության բարձրացնելիս գործոններից յուրաքանչյուրը բարձրացվում է հզորության: Ստացված արդյունքներն այնուհետև բազմապատկվում են:

  (a բ) n = a n b n, որտեղ «a», «b» ցանկացած ռացիոնալ թվեր են. «n»-ը ցանկացած բնական թիվ է:

  • Օրինակ 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Օրինակ 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Կարևոր!

  Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ թիվ 4 հատկությունը, ինչպես աստիճանների մյուս հատկությունները, կիրառվում է նաև հակառակ հերթականությամբ։

  (a n b n)= (a b) n

  Այսինքն՝ նույն ցուցիչներով հզորությունները բազմապատկելու համար կարելի է հիմքերը բազմապատկել, բայց աստիճանը թողնել անփոփոխ։

  • Օրինակ. Հաշվիր։
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
  • Օրինակ. Հաշվիր։
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Ավելի բարդ օրինակներում կարող են լինել դեպքեր, երբ բազմապատկումն ու բաժանումը պետք է կատարվեն տարբեր հիմքերով և տարբեր աստիճաններով հզորությունների վրա:

  Այս դեպքում խորհուրդ ենք տալիս անել հետևյալը. 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Տասնորդական թիվը մինչև հզորության բարձրացման օրինակ:

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Հատկություններ 5
  քանորդի հզորություն (կոտորակ)

  Բնական ցուցիչ ունեցող հզորությունն ունի մի քանի կարևոր հատկություն, որոնք թույլ են տալիս պարզեցնել հզորությունների օրինակներով հաշվարկները:

  Գործակիցը մեծացնելու համար կարող եք դիվիդենտը և բաժանարարը առանձին բարձրացնել այս հզորության վրա, իսկ առաջին արդյունքը բաժանել երկրորդի վրա:

  (a: b) n = a n: b n, որտեղ «a», «b» ցանկացած ռացիոնալ թվեր են, b ≠ 0, n ցանկացած բնական թիվ:

  • Օրինակ. Ներկայացրե՛ք արտահայտությունը որպես ուժերի գործակից:
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Հիշեցնում ենք, որ քանորդը կարող է ներկայացվել որպես կոտորակ: Ուստի ավելի մանրամասն կանդրադառնանք կոտորակի հզորության բարձրացման թեմային հաջորդ էջում։

Դաս «Միևնույն և տարբեր ցուցիչներով հզորությունների բազմապատկման և բաժանման կանոններ. Օրինակներ» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 7-րդ դասարանի համար
Ձեռնարկ դասագրքի համար Yu.N. Մակարիչևայի ձեռնարկ դասագրքի համար Ա.Գ. Մորդկովիչ

Դասի նպատակը՝ սովորել կատարել թվերի հզորությամբ գործողություններ։

Նախ հիշենք «թվի ուժ» հասկացությունը։ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ձևի արտահայտությունը կարող է ներկայացվել որպես $a^n$:

Հակառակը նույնպես ճիշտ է՝ $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$:

Այս հավասարությունը կոչվում է «աստիճանի գրանցում որպես արտադրյալ»: Դա կօգնի մեզ որոշել, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել և բաժանել ուժերը:
Հիշեք.
ա- աստիճանի հիմքը.
n- ցուցիչ:
Եթե n=1, որը նշանակում է թիվը Ավերցրեց մեկ անգամ և համապատասխանաբար՝ $a^n= a$:
Եթե n= 0, ապա $a^0= 1$:

Թե ինչու է դա տեղի ունենում, կարող ենք պարզել, երբ ծանոթանանք ուժերի բազմապատկման և բաժանման կանոններին։

Բազմապատկման կանոններ

ա) Եթե նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկվում են.
$a^n * a^m$ ստանալու համար աստիճանները գրում ենք որպես արտադրյալ՝ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(մ)$.
Նկարը ցույց է տալիս, որ թիվը Ավերցրեց n+mանգամ, ապա $a^n * a^m = a^(n + m)$:

Օրինակ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Այս հատկությունը հարմար է օգտագործել աշխատանքը պարզեցնելու համար՝ թիվն ավելի բարձր հզորության բարձրացնելիս:
Օրինակ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

բ) Եթե տարբեր հիմքերով, բայց նույն ցուցիչով աստիճանները բազմապատկվում են:
$a^n * b^n$ ստանալու համար աստիճանները գրում ենք որպես արտադրյալ՝ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(մ)$.
Եթե ​​փոխենք գործոնները և հաշվենք ստացված զույգերը, ապա կստանանք՝ $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$:

Այսպիսով, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Օրինակ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Բաժանման կանոններ

ա) աստիճանի հիմքը նույնն է, ցուցանիշները՝ տարբեր.
Դիտարկենք ավելի մեծ ցուցիչով հզորությունը բաժանելու հնարավորությունը ավելի փոքր ցուցիչով:

Այսպիսով, մեզ անհրաժեշտ է $\frac(a^n)(a^m)$, Որտեղ n>m.

Գրենք աստիճանները որպես կոտորակ.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Հարմարության համար բաժանումը գրում ենք պարզ կոտորակի տեսքով։

Հիմա եկեք փոքրացնենք կոտորակը։

Ստացվում է՝ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$:
Նշանակում է, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Այս հատկությունը կօգնի բացատրել թվի զրոյական հզորության բարձրացման իրավիճակը: Ենթադրենք, որ n=m, ապա $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$:

Օրինակներ.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$:

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$:

բ) աստիճանի հիմքերը տարբեր են, ցուցանիշները՝ նույնը.
Ենթադրենք, անհրաժեշտ է $\frac(a^n)(b^n)$: Թվերի ուժերը գրենք որպես կոտորակներ.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$:

Հարմարության համար եկեք պատկերացնենք.

Օգտագործելով կոտորակների հատկությունը՝ մեծ կոտորակը բաժանում ենք փոքրերի արտադրյալի, ստանում ենք.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$:
Ըստ այդմ՝ $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$:

Օրինակ.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$: