Ինչպե՞ս սովորել լուծել խնդիրներ վերլուծական երկրաչափության մեջ:
Ինքնաթիռի վրա եռանկյունու տիպիկ խնդիր

Այս դասը ստեղծվել է հարթության երկրաչափության և տարածության երկրաչափության միջև հասարակածին մոտեցման վերաբերյալ: Այս պահին անհրաժեշտություն կա համակարգել կուտակված տեղեկատվությունը և պատասխանել մի շատ կարևոր հարցի. Ինչպե՞ս սովորել լուծել վերլուծական երկրաչափության խնդիրները:Դժվարությունն այն է, որ դուք կարող եք անսահման թվով խնդիրներ առաջացնել երկրաչափության մեջ, և ոչ մի դասագիրք չի պարունակի օրինակների ամբողջ բազմությունն ու բազմազանությունը: Սա չէ ֆունկցիայի ածանցյալտարբերակման հինգ կանոններով, աղյուսակով և մի քանի տեխնիկայով…

Կա լուծում! Ես բարձրաձայն չեմ խոսի այն մասին, որ ես մշակել եմ ինչ-որ վիթխարի տեխնիկա, սակայն, իմ կարծիքով, կա արդյունավետ մոտեցում դիտարկվող խնդրին, որը թույլ է տալիս նույնիսկ ամբողջական թեյնիկին հասնել լավ և գերազանց արդյունքների: Գոնե իմ գլխում շատ հստակ ձևավորվեց երկրաչափական խնդիրների լուծման ընդհանուր ալգորիթմը։

ԻՆՉ ՊԵՏՔ Է ԻՄԱՆԱԼ ԵՎ ԿԱՐՈՂԱՆՔ ԱՆԵԼ
երկրաչափության խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար.

Սրանից փախուստ չկա. որպեսզի պատահականորեն կոճակները քթով չխոթեք, դուք պետք է տիրապետեք վերլուծական երկրաչափության հիմունքներին: Հետևաբար, եթե նոր եք սկսել ուսումնասիրել երկրաչափությունը կամ ամբողջովին մոռացել եք այն, խնդրում ենք սկսել դասից. Վեկտորներ կեղծամների համար. Բացի վեկտորներից և դրանց հետ գործողություններից, դուք պետք է իմանաք հարթության երկրաչափության հիմնական հասկացությունները, մասնավորապես. հարթության մեջ գծի հավասարումըԵվ . Տարածության երկրաչափությունը ներկայացված է հոդվածներում Հարթության հավասարում, Տիեզերքում գծի հավասարումներ, Հիմնական խնդիրներ ուղիղ գծի և հարթության վրա և մի քանի այլ դասեր. Երկրորդ կարգի կոր գծերն ու տարածական մակերեսները որոշ չափով իրարից հեռու են, և դրանց հետ կապված այնքան էլ առանձնահատուկ խնդիրներ չկան։

Ենթադրենք, որ ուսանողն արդեն ունի տարրական գիտելիքներ և հմտություններ վերլուծական երկրաչափության ամենապարզ խնդիրները լուծելու համար։ Բայց դա տեղի է ունենում այսպես՝ կարդում ես խնդրի դրույթը, և... ուզում ես ընդհանրապես փակել այն, նետել այն հեռավոր անկյունն ու մոռանալ, ինչպես վատ երազ։ Ավելին, սա սկզբունքորեն կախված չէ ձեր որակավորումների մակարդակից, ես ինքս ժամանակ առ ժամանակ հանդիպում եմ այնպիսի խնդիրների, որոնց լուծումն ակնհայտ չէ. Ի՞նչ անել նման դեպքերում: Պետք չէ վախենալ մի առաջադրանքից, որը դուք չեք հասկանում:

Նախ, պետք է տեղադրվի - Սա «հարթ» կամ տարածական խնդիր է:Օրինակ, եթե պայմանը ներառում է երկու կոորդինատներով վեկտորներ, ապա, իհարկե, սա հարթության երկրաչափությունն է։ Եվ եթե ուսուցիչը երախտապարտ ունկնդրին բարձել է բուրգով, ապա ակնհայտորեն կա տարածության երկրաչափությունը։ Առաջին քայլի արդյունքներն արդեն բավականին լավ են, քանի որ մեզ հաջողվեց կտրել հսկայական քանակությամբ տեղեկատվություն, որն անհրաժեշտ չէ այս առաջադրանքի համար:

Երկրորդ. Այս պայմանը սովորաբար ձեզ կվերաբերի ինչ-որ երկրաչափական պատկերով: Իսկապես, քայլիր քո հայրենի համալսարանի միջանցքներով, և կտեսնես շատ մտահոգ դեմքեր։

«հարթ» խնդիրներում, էլ չեմ խոսում ակնհայտ կետերի ու գծերի մասին, ամենահայտնի գործիչը եռանկյունին է։ Մենք այն շատ մանրամասն կվերլուծենք։ Հաջորդը գալիս է զուգահեռագիծը, և շատ ավելի քիչ տարածված են ուղղանկյունը, քառակուսին, ռոմբուսը, շրջանագիծը և այլ ձևեր:

Տարածական խնդիրների դեպքում կարող են թռչել նույն հարթ ֆիգուրները + իրենք՝ ինքնաթիռները և զուգահեռ եռանկյունաձև բուրգերը։

Հարց երկրորդ - Դուք ամեն ինչ գիտե՞ք այս գործչի մասին:Ենթադրենք, պայմանը խոսում է հավասարաչափ եռանկյունու մասին, և դուք շատ աղոտ հիշում եք, թե ինչպիսի եռանկյունի է դա: Բացում ենք դպրոցական դասագիրք և կարդում հավասարաչափ եռանկյունու մասին: Ի՞նչ անել... բժիշկն ասաց ռոմբուս, դա նշանակում է ռոմբուս: Անալիտիկ երկրաչափությունը անալիտիկ երկրաչափություն է, բայց խնդիրը կլուծվի հենց պատկերների երկրաչափական հատկություններով, մեզ հայտնի է դպրոցական ծրագրից։ Եթե ​​չգիտեք, թե որքան է եռանկյան անկյունների գումարը, կարող եք երկար տառապել:

Երրորդ. ՄԻՇՏ փորձեք հետևել գծագրությանը(սևագրի/ավարտի պատճենի վրա/մտավոր), նույնիսկ եթե դա չի պահանջվում պայմանով: «Տափակ» խնդիրներում Էվկլիդեսն ինքը հրամայեց վերցնել քանոն և մատիտ, և ոչ միայն պայմանը հասկանալու համար, այլ նաև ինքնաստուգման նպատակով: Այս դեպքում ամենահարմար սանդղակը 1 միավոր = 1 սմ է (2 նոթատետրի բջիջ): Չխոսենք անզգույշ ուսանողների ու մաթեմատիկոսների մասին, որոնք պտտվում են իրենց գերեզմաններում՝ նման խնդիրներում սխալվելը գրեթե անհնար է։ Տարածական առաջադրանքների համար մենք կատարում ենք սխեմատիկ գծագրություն, որը կօգնի նաև վերլուծել վիճակը։

Գծանկարը կամ սխեմատիկ գծագիրը հաճախ թույլ է տալիս անմիջապես տեսնել խնդրի լուծման ճանապարհը: Իհարկե, դրա համար անհրաժեշտ է իմանալ երկրաչափության հիմքը և հասկանալ երկրաչափական ձևերի հատկությունները (տես նախորդ պարբերությունը):

Չորրորդ. Լուծման ալգորիթմի մշակում. Երկրաչափության շատ խնդիրներ բազմաքայլ են, ուստի լուծումը և դրա ձևավորումը շատ հարմար է կետերի բաժանելու համար: Հաճախ ալգորիթմը անմիջապես մտքում է գալիս պայմանը կարդալուց կամ գծագրությունն ավարտելուց հետո: Դժվարությունների դեպքում սկսում ենք առաջադրանքի ՀԱՐՑից. Օրինակ՝ ըստ «ուղիղ գիծ կառուցելու...» պայմանի։ Այստեղ ամենատրամաբանական հարցը հետևյալն է. «Ի՞նչն է բավական իմանալ այս ուղիղ գիծը կառուցելու համար»: Ենթադրենք, «մենք գիտենք կետը, մենք պետք է իմանանք ուղղության վեկտորը»: Մենք տալիս ենք հետևյալ հարցը. «Ինչպե՞ս գտնել այս ուղղության վեկտորը: որտե՞ղ։ և այլն:

Երբեմն կա «սխալ» - խնդիրը չի լուծվում, և վերջ: Կանգառի պատճառները կարող են լինել հետևյալը.

- Հիմնական գիտելիքների լուրջ բացը: Այսինքն՝ դու չգիտես և/կամ չես տեսնում շատ պարզ բան։

– Երկրաչափական պատկերների հատկությունների անտեղյակություն:

- Առաջադրանքը բարդ էր. Այո, դա տեղի է ունենում: Ժամերով շոգեխաշելն ու արցունքները թաշկինակում հավաքելն իմաստ չունի։ Խորհուրդ փնտրեք ձեր ուսուցչից, համակուրսեցիներից կամ հարցեր տվեք ֆորումում: Ավելին, ավելի լավ է նրա հայտարարությունը կոնկրետացնել՝ լուծման այն հատվածի մասին, որը դուք չեք հասկանում։ Լաց՝ «Ինչպե՞ս լուծել խնդիրը» ձևով։ այնքան էլ լավ տեսք չունի... և, առաջին հերթին, ձեր սեփական հեղինակության համար:

Փուլ հինգ. Որոշում ենք-ստուգում,որոշում-ստուգում,որոշում-ստուգում-պատասխանում. Շահավետ է ստուգել առաջադրանքի յուրաքանչյուր կետը այն ավարտելուց անմիջապես հետո. Սա կօգնի ձեզ անմիջապես հայտնաբերել սխալը: Բնականաբար, ոչ ոք չի արգելում արագ լուծել ամբողջ խնդիրը, բայց ամեն ինչ նորից վերաշարադրելու վտանգ կա (հաճախ մի քանի էջ):

Սրանք են, թերեւս, բոլոր այն հիմնական նկատառումները, որոնց պետք է հետևել խնդիրները լուծելիս։

Դասի գործնական մասը ներկայացված է հարթ երկրաչափությամբ: Կլինի ընդամենը երկու օրինակ, բայց դա բավարար չի թվա =)

Եկեք անցնենք ալգորիթմի այն շարանը, որը ես հենց նոր նայեցի իմ փոքրիկ գիտական ​​աշխատանքում.

Օրինակ 1

Տրված են զուգահեռագծի երեք գագաթներ։ Գտեք գագաթը:

Եկեք սկսենք հասկանալ.

Քայլ առաջինԱկնհայտ է, որ խոսքը «հարթ» խնդրի մասին է։

Քայլ երկուԽնդիրը վերաբերում է զուգահեռագծին: Բոլորը հիշու՞մ են այս զուգահեռագիծը: Ժպտալու կարիք չկա, շատերն իրենց կրթությունը ստանում են 30-40-50 և ավելի տարեկանում, ուստի նույնիսկ պարզ փաստերը կարող են ջնջվել հիշողությունից։ Զուգահեռագծի սահմանումը տրված է դասի 3-րդ օրինակում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորների հիմքը.

Քայլ երրորդԿատարենք գծանկար, որի վրա նշում ենք երեք հայտնի գագաթներ։ Զվարճալի է, որ դժվար չէ անմիջապես կառուցել ցանկալի կետը.

Դրա կառուցումը, իհարկե, լավ է, բայց լուծումը պետք է վերլուծական ձևակերպել։

Քայլ չորրորդԼուծման ալգորիթմի մշակում: Առաջին բանը, որ գալիս է մտքին, այն է, որ կետը կարելի է գտնել որպես գծերի հատում: Մենք չգիտենք նրանց հավասարումները, ուստի մենք ստիպված կլինենք զբաղվել այս հարցով.

1) Հակառակ կողմերըզուգահեռ. Ըստ միավորների Գտնենք այս կողմերի ուղղության վեկտորը։ Սա ամենապարզ առաջադրանքըորը քննարկվել է դասարանում Վեկտորներ կեղծամների համար.

Նշում. Ավելի ճիշտ կլինի ասել «կողմ պարունակող ուղիղի հավասարումը», բայց այստեղ և հետագա հակիրճության համար կօգտագործեմ «կողմի հավասարում», «կողմի ուղղության վեկտոր» և այլն արտահայտությունները։

3) Հակառակ կողմերը զուգահեռ են: Օգտագործելով կետերը, մենք գտնում ենք այս կողմերի ուղղության վեկտորը:

4) Եկեք ստեղծենք ուղիղ գծի հավասարում, օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր

1-2-րդ և 3-4-րդ պարբերություններում մենք փաստացի երկու անգամ լուծեցինք նույն խնդիրը, այն քննարկվեց դասի թիվ 3 օրինակում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները. Կարելի էր ավելի երկար ճանապարհ անցնել՝ նախ գտեք գծերի հավասարումները և միայն այնուհետև «հանեք» ուղղության վեկտորները դրանցից:

5) Այժմ ուղիղների հավասարումները հայտնի են: Մնում է կազմել և լուծել գծային հավասարումների համապատասխան համակարգը (տե՛ս նույն դասի թիվ 4, 5 օրինակները. Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները).

Կետը գտնվել է.

Խնդիրը բավականին պարզ է, և դրա լուծումն ակնհայտ է, բայց կա ավելի կարճ ճանապարհ։

Երկրորդ լուծում:

Զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսվում են իրենց հատման կետով: Ես նշել էի կետը, բայց որպեսզի գծագիրը չխառնվի, ես ինքնուրույն չգծեցի անկյունագծերը:

Կետ առ կետ ստեղծենք կողքի հավասարումը.

Ստուգելու համար դուք պետք է մտովի կամ նախագծով փոխարինեք յուրաքանչյուր կետի կոորդինատները ստացված հավասարման մեջ: Հիմա եկեք գտնենք թեքությունը: Դա անելու համար մենք վերագրում ենք ընդհանուր հավասարումը թեքության գործակցով հավասարման տեսքով.

Այսպիսով, թեքությունը հետևյալն է.

Նմանապես, մենք գտնում ենք կողմերի հավասարումները: Ես շատ իմաստ չեմ տեսնում նույն բանը նկարագրելու մեջ, այնպես որ ես անմիջապես կտամ ավարտված արդյունքը.

2) Գտեք կողմի երկարությունը: Սա ամենապարզ խնդիրն է, որն ընդգրկված է դասարանում: Վեկտորներ կեղծամների համար. Միավորների համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Օգտագործելով նույն բանաձևը, հեշտ է գտնել մյուս կողմերի երկարությունները: Ստուգումը կարելի է շատ արագ կատարել սովորական քանոնով։

Մենք օգտագործում ենք բանաձևը .

Գտնենք վեկտորները.

Այսպիսով.

Ի դեպ, ճանապարհին գտանք կողմերի երկարությունները։

Արդյունքում.

Դե, թվում է, թե դա ճիշտ է, որպեսզի այն ավելի համոզիչ լինի, դուք կարող եք կցել անկյունաչափը:

Ուշադրություն. Մի շփոթեք եռանկյան անկյունը ուղիղ գծերի միջև անկյան հետ: Եռանկյան անկյունը կարող է բութ լինել, բայց ուղիղ գծերի միջև անկյունը չի կարող (տե՛ս հոդվածի վերջին պարբերությունը Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները) Այնուամենայնիվ, եռանկյան անկյունը գտնելու համար կարող եք նաև օգտագործել վերը նշված դասի բանաձևերը, բայց կոպտությունն այն է, որ այդ բանաձևերը միշտ տալիս են սուր անկյուն: Նրանց օգնությամբ ես լուծեցի այս խնդիրը սեւագրով և ստացա արդյունքը։ Եվ վերջնական օրինակի վրա ես ստիպված կլինեի գրել լրացուցիչ արդարացումներ, որ .

4) Գրի՛ր ուղիղին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղի հավասարումը:

Ստանդարտ առաջադրանք՝ մանրամասն քննարկված դասի թիվ 2 օրինակում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները. Գծի ընդհանուր հավասարումից Եկեք հանենք ուղեցույցի վեկտորը: Եկեք ստեղծենք ուղիղ գծի հավասարում, օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր.

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյունու բարձրությունը:

5) Ստեղծենք բարձրության հավասարում և գտնենք դրա երկարությունը:

Խիստ սահմանումներից փրկություն չկա, այնպես որ դուք ստիպված կլինեք գողանալ դպրոցական դասագրքից.

Եռանկյունի բարձրությունը կոչվում է եռանկյան գագաթից հակառակ կողմը պարունակող ուղղին գծված ուղղահայացը։

Այսինքն՝ անհրաժեշտ է ստեղծել գագաթից դեպի կողմ գծված ուղղահայաց ուղղահայաց համարի հավասարում։ Այս առաջադրանքը քննարկվում է դասի թիվ 6, 7 օրինակներում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները. From Eq. հեռացնել նորմալ վեկտորը. Կազմենք բարձրության հավասարումը՝ օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք չգիտենք կետի կոորդինատները:

Երբեմն բարձրության հավասարումը հայտնաբերվում է ուղղահայաց գծերի անկյունային գործակիցների հարաբերակցությունից. Այս դեպքում, ապա. Կազմենք բարձրության հավասարումը՝ օգտագործելով կետ և անկյունային գործակից (տե՛ս դասի սկիզբը Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա):

Բարձրության երկարությունը կարելի է գտնել երկու եղանակով.

Կա շրջանաձև ճանապարհ.

ա) գտնել՝ բարձրության և կողմի հատման կետը.
բ) գտնել հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով երկու հայտնի կետեր:

Բայց դասարանում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրներըԴիտարկվել է կետից ուղիղ հեռավորության հարմար բանաձև: Կետը հայտնի է՝ , հայտնի է նաև ուղիղի հավասարումը. , Այսպիսով.

6) Հաշվիր եռանկյան մակերեսը. Տիեզերքում եռանկյունու մակերեսը ավանդաբար հաշվարկվում է օգտագործելով վեկտորների վեկտորային արտադրյալ, բայց այստեղ մեզ տրվում է եռանկյունի հարթության վրա։ Մենք օգտագործում ենք դպրոցական բանաձևը.
- Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին:

Այս դեպքում.

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյան միջինը:

7) Ստեղծենք միջինի հավասարում:

Եռանկյան միջն կոչվում է եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի կեսին միացնող հատված։

ա) Գտի՛ր կետը՝ կողքի կեսը: Մենք օգտագործում ենք Հատվածի միջնակետի կոորդինատների բանաձևեր. Հատվածի ծայրերի կոորդինատները հայտնի են. , ապա միջինի կոորդինատները.

Այսպիսով.

Կետ առ կետ կազմենք մեդիանայի հավասարումը :

Հավասարումը ստուգելու համար անհրաժեշտ է դրա մեջ փոխարինել կետերի կոորդինատները:

8) Գտե՛ք բարձրության և միջնագծի հատման կետը: Կարծում եմ, բոլորն արդեն սովորել են, թե ինչպես կատարել գեղասահքի այս տարրը առանց ընկնելու.

ԳլուխՎ. ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆԸ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ

ԵՎ ՏԻԵԶԵՐՔՈՒՄ

Բաժինը ներառում է առաջադրանքներ, որոնք քննարկվում են «Վերլուծական երկրաչափություն հարթության վրա և տարածության մեջ» թեմայում. հարթության և տարածության վրա ուղիղ գծերի տարբեր հավասարումների կազմում; գծերի հարաբերական դիրքի որոշում հարթության վրա, ուղիղ գծերի, ուղիղ գծի և հարթության, հարթությունների վրա տարածության մեջ. երկրորդ կարգի կորերի պատկեր: Հարկ է նշել, որ այս բաժնում ներկայացված են տնտեսական բովանդակության խնդիրներ, որոնց լուծման համար օգտագործվում է վերլուծական երկրաչափության տեղեկատվությունը հարթության վրա։

Վերլուծական երկրաչափության խնդիրներ լուծելիս նպատակահարմար է օգտագործել հետևյալ հեղինակների դասագրքերը՝ Դ.Վ. Kletenika, N. Sh Kremer, D.T. Գրել է V.I. Մալիխինան, քանի որ Այս գրականությունը ներառում է առաջադրանքների ավելի լայն շրջանակ, որոնք կարող են օգտագործվել այս թեմայի վերաբերյալ ինքնուրույն ուսումնասիրության համար: Վերլուծական երկրաչափության կիրառումը տնտեսական խնդիրների լուծման գործում ներկայացված է ուսումնական հրապարակումներում Մ.Ս. Կրասը և Վ.Ի. Էրմակովա.

Խնդիր 5.1. Տրվում են եռանկյան գագաթների կոորդինատներըABC . Անհրաժեշտ է

ա) գրել եռանկյան կողմերի հավասարումները.

բ) գրի՛ր գագաթից գծված եռանկյան բարձրության հավասարումըՀԵՏ դեպի կողմըԱԲ և գտի՛ր դրա երկարությունը.

գ) գրի՛ր գագաթից գծված եռանկյան միջինի հավասարումըIN դեպի կողմըAC ;

դ) գտնել եռանկյան անկյունները և սահմանել նրա տեսակը (ուղղանկյուն, սուր, բութ).

ե) գտնել եռանկյան կողմերի երկարությունները և որոշել դրա տեսակը (սանդղակ, հավասարաչափ, հավասարակողմ).

ե) գտնել եռանկյան ծանրության կենտրոնի (միջնորդների հատման կետի) կոորդինատները.ABC ;

է) գտնել եռանկյան ուղղանկյունի (բարձրությունների հատման կետի) կոորդինատները.ABC .

Լուծման ա) – գ) կետերից յուրաքանչյուրի համար կատարե՛ք գծագրեր կոորդինատային համակարգով: Նկարներում նշի՛ր առաջադրանքի կետերին համապատասխան գծերն ու կետերը։

Օրինակ 5.1

Տրվում են եռանկյան գագաթների կոորդինատներըABC : . Անհրաժեշտ է ա) գրել եռանկյան կողմերի հավասարումները. բ) գրի՛ր գագաթից գծված եռանկյան բարձրության հավասարումը ՀԵՏ դեպի կողմըԱԲ և գտի՛ր դրա երկարությունը. գ) գրի՛ր գագաթից գծված եռանկյան միջինի հավասարումըIN դեպի կողմըAC ; դ) գտնել եռանկյան կողմերի երկարությունները և որոշել դրա տեսակը (սանդղակ, հավասարաչափ, հավասարակողմ). ե) գտնել եռանկյան անկյունները և սահմանել դրա տեսակը (ուղղանկյուն, սուր, բութ). ե) գտնել եռանկյան ծանրության կենտրոնի (միջնորդների հատման կետի) կոորդինատները. ABC ; է) գտնել եռանկյան ուղղանկյունի (բարձրությունների հատման կետի) կոորդինատները.ABC .

Լուծում

Ա)Եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի համար հայտնի են երկու կետերի կոորդինատները, որոնք ընկած են պահանջվող գծերի վրա, ինչը նշանակում է, որ եռանկյան կողմերի հավասարումները երկու տրված կետերով անցնող ուղիղների հավասարումներ են։

,

Որտեղ
Եվ
կետերի համապատասխան կոորդինատները.

Այսպիսով, ուղիղ գծերին համապատասխանող կետերի կոորդինատները փոխարինելով (5.1) բանաձևով, ստանում ենք

,
,
,

որտեղից փոխակերպումներից հետո գրում ենք կողմերի հավասարումները

Նկ. 7 մենք պատկերում ենք եռանկյան համապատասխան կողմերը
ուղիղ.

Պատասխան.

բ)Թող
- գագաթից վերցված բարձրությունը դեպի կողմը
. Քանի որ
անցնում է մի կետով ուղղահայաց վեկտորին
, ապա կկազմենք ուղիղ գծի հավասարումը հետևյալ բանաձևով

Որտեղ
- ցանկալի գծին ուղղահայաց վեկտորի կոորդինատները,
– այս ուղղին պատկանող կետի կոորդինատները: Գտե՛ք ուղղին ուղղահայաց վեկտորի կոորդինատները
և փոխարինել բանաձևով (5.2)

,
,

.

Գտեք բարձրության երկարությունը Չորպես կետից հեռավորություն դեպի ուղիղ գիծ

,

Որտեղ
- ուղիղ գծի հավասարում
,
- կետի կոորդինատները .

Նախորդ պարբերությունում գտնվել է

Փոխարինելով տվյալները (5.3) բանաձևով, մենք ստանում ենք

,

Նկ. 8 նկարեք եռանկյունին և գտնված բարձրությունը Չ.

Պատասխան. .

Ռ է.

8 V)
միջինը
եռանկյուն
բաժանում է կողմը երկու հավասար մասերի, այսինքն. կետ
հատվածի միջնակետն է
. Դրա հիման վրա դուք կարող եք գտնել կոորդինատները

, ,

Որտեղ
Եվ
Եվ միավորներ

;
.

, որը փոխարինելով (5.4) բանաձևերով, ստանում ենք
միջինը
Միջին հավասարում
Եվ
Գրենք այն որպես կետերով անցնող ուղիղի հավասարում

,

.

Պատասխան.ըստ բանաձևի (5.1)

Ռ (նկ. 9):

է. 9

,
,
.

G)
Եվ
միջինը
Մենք գտնում ենք եռանկյան կողմերի երկարությունները որպես համապատասխան վեկտորների երկարություններ, այսինքն.
.

Պատասխան.Կուսակցություններ
հիմքով հավասարաչափ
;

,
.

դ)Եռանկյան անկյուններ
եկեք գտնենք տրված եռանկյան համապատասխան գագաթներից բխող վեկտորների միջև եղած անկյունները, այսինքն.

,
,
.

Քանի որ եռանկյունը հիմքով հավասարաչափ է
, Դա

,

Մենք հաշվարկում ենք վեկտորների միջև եղած անկյունները՝ օգտագործելով (4.4) բանաձևը, որը պահանջում է վեկտորների սկալյար արտադրյալներ
,
.

Գտնենք անկյունները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ վեկտորների կոորդինատներն ու մեծությունները

,
;

,
,
.

Գտնված տվյալները փոխարինելով (4.4) բանաձևով՝ ստանում ենք

,

Քանի որ գտնված բոլոր անկյունների կոսինուսները դրական են, ուրեմն եռանկյունը
սուր անկյունային է.

Պատասխան.Կուսակցություններ
սուր անկյունային;

,
,
.

ե)Թող

, ապա կոորդինատները
. Դրա հիման վրա դուք կարող եք գտնել կոորդինատները
կարելի է գտնել բանաձևերի միջոցով (5.5)

, ,

Որտեղ
,
Եվ
– համապատասխանաբար կետերի կոորդինատները , Եվ , հետևաբար,

,
.

Պատասխան.
- եռանկյան ծանրության կենտրոն
.

և)Թող - եռանկյան ուղղանկյուն
. Գտեք կետի կոորդինատները որպես եռանկյան բարձրությունների հատման կետի կոորդինատներ։ Բարձրության հավասարում
հայտնաբերվել է բ). Գտնենք բարձրության հավասարումը
:

,
,

.

Քանի որ
, ապա համակարգի լուծումը

կետի կոորդինատներն են , որտեղ մենք գտնում ենք
.

Պատասխան.
- եռանկյան ուղղանկյուն
.

Խնդիր 5.2. Որոշ ապրանքներ արտադրելիս ձեռնարկությունում ֆիքսված ծախսեր ենՖ Վ 0 շփում. արտադրության միավորի հաշվով՝ հասույթովՌ 0 շփում. արտադրված արտադրանքի մեկ միավորի համար: Ստեղծեք շահույթի գործառույթՊ (ք ) (ք

Տարբերակներին համապատասխան խնդրի վիճակի տվյալներ.

Օրինակ 5.2

Որոշ ապրանքներ արտադրելիս ձեռնարկությունում ֆիքսված ծախսեր են
շփում. ամսական, փոփոխական ծախսեր –
շփում. արտադրության միավորի հաշվով՝ հասույթով
շփում. արտադրված արտադրանքի մեկ միավորի համար: Ստեղծեք շահույթի գործառույթՊ (ք ) (ք - արտադրված արտադրանքի քանակը. կառուցիր դրա գրաֆիկը և որոշիր ընդմիջման կետը:

Լուծում

Եկեք հաշվարկենք արտադրության ընդհանուր ծախսերը թողարկումից հետո քորոշ ապրանքների միավորներ

Եթե ​​վաճառվի քարտադրության միավորները, ապա ընդհանուր եկամուտը կլինի

Ընդհանուր եկամտի և ընդհանուր ծախսերի ստացված ֆունկցիաների հիման վրա մենք գտնում ենք շահույթի ֆունկցիան

,

.

Ընդմիջման կետ - այն կետը, երբ շահույթը զրոյական է, կամ այն ​​կետը, երբ ընդհանուր ծախսերը հավասար են ընդհանուր հասույթին

,

,

որտեղի՞ց ենք գտնում:

- խախտել նույնիսկ.

Շահույթի ֆունկցիայի գրաֆիկը (նկ. 10) գծելու համար մենք կգտնենք ևս մեկ կետ

Պատասխան.շահույթի գործառույթ
, խախտել նույնիսկ
.

Խնդիր 5.3. Որոշակի արտադրանքի առաջարկի և պահանջարկի օրենքները համապատասխանաբար որոշվում են հավասարումներովէջ = էջ Դ (ք ), էջ = էջ Ս (ք ), որտեղէջ - ապրանքի գինը,ք - ապրանքների քանակը. Ենթադրվում է, որ պահանջարկը որոշվում է միայն շուկայում ապրանքի գնովէջ ՀԵՏ , իսկ առաջարկը միայն գնովէջ Ս ստացված մատակարարների կողմից: Անհրաժեշտ է

ա) որոշել շուկայական հավասարակշռության կետը.

բ) հավասարակշռության կետը հավասար հարկի ներդրումից հետոտ . Որոշել գնի աճը և հավասարակշռված վաճառքի ծավալի նվազումը.

գ) գտնել սուբսիդիաս , ինչը կհանգեցնի վաճառքի աճի կողմիցք 0 միավորներ բնօրինակի համեմատ (սահմանված է «ա» կետում);

դ) գտնել նոր հավասարակշռության կետ և պետական ​​եկամուտ՝ գնին համաչափ և հավասար հարկ ներմուծելիս.Ն %;

ե) որոշել, թե որքան գումար կծախսի կառավարությունը հավելուրդը գնելու համար նվազագույն գին սահմանելիս էջ 0 .

Լուծման յուրաքանչյուր կետի համար գծեք կոորդինատային համակարգում: Նկարում նշե՛ք առաջադրանքի կետին համապատասխանող գծերն ու կետերը:

Տարբերակներին համապատասխան խնդրի վիճակի տվյալներ.

Երկրաչափության մեջ հաճախ դիտարկվում է «եռանկյունի գագաթ» հասկացությունը: Սա տվյալ գործչի երկու կողմերի հատման կետն է: Այս հայեցակարգը հայտնվում է գրեթե յուրաքանչյուր խնդրի մեջ, ուստի իմաստ ունի այն ավելի մանրամասն դիտարկել:

Եռանկյան գագաթի որոշում

Եռանկյունն ունի երեք կետ, որտեղ կողմերը հատվում են՝ կազմելով երեք անկյուն։ Դրանք կոչվում են գագաթներ, իսկ այն կողմերը, որոնց վրա հենվում են՝ եռանկյան կողմեր։

Բրինձ. 1. Գագաթը եռանկյունու մեջ:

Եռանկյունների գագաթները նշվում են լատինատառ մեծատառերով։ Հետևաբար, մաթեմատիկայի մեջ ամենից հաճախ կողմերը նշվում են երկու մեծ լատինատառ տառերով՝ կողերի մեջ մտնող գագաթների անուններից հետո։ Օրինակ, AB կողմը A և B գագաթները միացնող եռանկյան կողմն է:

Բրինձ. 2. Եռանկյունի գագաթների նշանակումը.

Հայեցակարգի բնութագրերը

Եթե ​​վերցնենք հարթության մեջ կամայականորեն կողմնորոշված ​​եռանկյունին, ապա գործնականում շատ հարմար է արտահայտել դրա երկրաչափական բնութագրերը այս գործչի գագաթների կոորդինատների միջոցով։ Այսպիսով, եռանկյան A գագաթը կարող է արտահայտվել որպես A(x; y) որոշակի թվային պարամետրերով կետ:

Իմանալով եռանկյան գագաթների կոորդինատները՝ կարող եք գտնել միջնամասերի հատման կետերը, նկարի կողմերից մեկին իջեցված բարձրության երկարությունը և եռանկյան մակերեսը։

Դրա համար օգտագործվում են դեկարտյան կոորդինատային համակարգում պատկերված վեկտորների հատկությունները, քանի որ եռանկյան կողմի երկարությունը որոշվում է վեկտորի երկարությամբ այն կետերով, որոնցում գտնվում են այս գործչի համապատասխան գագաթները:

Օգտագործելով եռանկյան գագաթը

Եռանկյան ցանկացած գագաթի համար կարող եք գտնել մի անկյուն, որը կից կլինի տվյալ գործչի ներքին անկյան հետ: Դա անելու համար դուք պետք է երկարացնեք եռանկյունու կողմերից մեկը: Քանի որ յուրաքանչյուր գագաթում կա երկու կողմ, յուրաքանչյուր գագաթում կա երկու արտաքին անկյուն: Արտաքին անկյունը հավասար է եռանկյան երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք նրան հարակից չեն:

Բրինձ. 3. Եռանկյան արտաքին անկյան հատկությունը.

Եթե ​​մեկ գագաթով կառուցեք երկու արտաքին անկյուն, ապա դրանք հավասար կլինեն, ինչպես ուղղահայացները:

Ի՞նչ ենք մենք սովորել:

Երկրաչափության կարևոր հասկացություններից մեկը դիտարկելիս տարբեր տեսակներեռանկյունները գագաթն են: Սա այն կետն է, որտեղ հատվում են տվյալ անկյան երկու կողմերը: երկրաչափական պատկեր. Այն նշվում է լատինական այբուբենի մեծատառերից մեկով։ Եռանկյան գագաթը կարող է արտահայտվել x և y կոորդինատներով, ինչը օգնում է սահմանել եռանկյան կողմի երկարությունը որպես վեկտորի երկարություն:

Թեստ թեմայի շուրջ

Հոդվածների վարկանիշ

Միջին գնահատականը: 4.2. Ստացված ընդհանուր գնահատականները՝ 153։