Թվային տեղեկատվության ներկայացում` օգտագործելով թվային համակարգեր
Թվերն օգտագործվում են օբյեկտների քանակի մասին տեղեկատվություն գրանցելու համար: Թվերը գրվում են հատուկ նշանների համակարգերի միջոցով, որոնք կոչվում են թվային համակարգեր: Թվային համակարգերի այբուբենը բաղկացած է նշաններից, որոնք կոչվում են թվանշաններ։ Օրինակ, տասնորդական թվային համակարգում թվերը գրվում են տասը հայտնի թվանշաններով՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9:
Նշումնշանային համակարգ է, որտեղ թվերը գրվում են որոշակի կանոնների համաձայն՝ օգտագործելով որոշակի այբուբենի նշաններ, որոնք կոչվում են թվեր:
Բոլոր թվային համակարգերը բաժանված են երկու մեծ խմբի. դիրքայինԵվ ոչ դիրքայինթվային համակարգեր. Դիրքային թվային համակարգերում թվանշանի արժեքը կախված է թվի մեջ նրա դիրքից, իսկ ոչ դիրքային թվային համակարգերում դա կախված չէ։
Հռոմեական ոչ դիրքային թվային համակարգ.Ոչ դիրքային թվային համակարգերից ամենատարածվածը հռոմեականն է: Դրանում օգտագործված թվերն են՝ I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000)։
Թվանշանի նշանակությունը կախված չէ թվի մեջ նրա դիրքից։ Օրինակ, XXX (30) թվի մեջ X թիվը հայտնվում է երեք անգամ և յուրաքանչյուր դեպքում նշանակում է նույն արժեքը՝ 10 թիվը, 10-ի երեք թվերը գումարվում են մինչև 30:
Թվի չափը հռոմեական թվային համակարգում սահմանվում է որպես թվի թվանշանների գումար կամ տարբերություն։ Եթե փոքր թիվը մեծից ձախ է, ապա այն հանվում է, եթե աջում՝ գումարվում։ Օրինակ, 1998 տասնորդական թիվը հռոմեական թվային համակարգում գրելը այսպիսին կլինի.
MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1:
Դիրքային թվերի համակարգեր.Առաջին դիրքային թվային համակարգը հայտնագործվել է Հին Բաբելոնում, իսկ բաբելոնյան համարակալումը եղել է սեքսագին, այսինքն՝ օգտագործվում է վաթսուն նիշ: Հետաքրքիր է, որ ժամանակը չափելիս մենք դեռ օգտագործում ենք 60-ի հիմքը (1 րոպեն պարունակում է 60 վայրկյան, իսկ 1 ժամը՝ 60 րոպե):
19-րդ դարում տասներկումատնյա թվերի համակարգը բավականին լայն տարածում գտավ։ Մինչ այժմ մենք հաճախ օգտագործում ենք մեկ տասնյակ (թիվ 12). օրական երկու տասնյակ ժամ կա, շրջանը պարունակում է երեսուն տասնյակ աստիճան և այլն։
Թվանշանի քանակական արժեքը կախված է թվի մեջ նրա դիրքից։
Այսօրվա ամենատարածված դիրքային թվային համակարգերը տասնորդական, երկուական, ութնյակային և տասնորդական են: Յուրաքանչյուր դիրքային համակարգ ունի իր առանձնահատկությունը թվերի այբուբենԵվ հիմք.
IN դիրքային թվային համակարգերՀամակարգի հիմքը հավասար է թվանշանների թվին (նշանները իր այբուբենում) և որոշում է, թե քանի անգամ են տարբերվում թվերի հարակից դիրքերում նույնական թվանշանների արժեքները:
Տասնորդական թվային համակարգն ունի թվերի այբուբեն, որը բաղկացած է տասը հայտնի, այսպես կոչված, արաբերեն թվանշաններից և 10-ի հիմքից, երկուական՝ երկու նիշ և հիմք 2, ութնիշ՝ ութ նիշ և հիմք 8, տասնվեցականը՝ տասնվեց։ թվանշաններ (որպես թվեր օգտագործվում են նաև լատինական այբուբենի տառերը) և 16 հիմքը (Աղյուսակ 1.2):
Տասնորդական թվերի համակարգ.Որպես օրինակ վերցնենք տասնորդական թիվը 5-ը հայտնվում է երեք անգամ, որտեղ ամենաաջից 5-ը ներկայացնում է հինգ տասնյակ, իսկ աջից երկրորդը ներկայացնում է հինգ տասնյակ:
Թվի մեջ թվի դիրքը կոչվում է արտանետում. Թվի թվանշանը մեծանում է աջից ձախ, ցածրից բարձր թվանշան: Տասնորդական համակարգում ամենաաջ դիրքում (նիշ) տեղակայված թվանշանը ցույց է տալիս միավորների թիվը, մեկ դիրքով ձախ տեղափոխված թվանշանը` տասնյակների թիվը, նույնիսկ ավելի ձախ` հարյուրավոր, հետո հազարավոր և այլն: Համապատասխանաբար ունենք միավորների թվանշան, տասնյակների թվանշան և այլն։
555 թիվը գրված է ծանոթ ձևով փաթաթվածձևը. Մենք այնքան ենք վարժվել նշագրման այս ձևին, որ այլևս չենք նկատում, թե ինչպես ենք մտովի բազմապատկում թվերի թվանշանները 10 թվի տարբեր ուժերով։
IN ընդլայնվել էթվի ձև, այդպիսի բազմապատկումը գրված է բացահայտ: Այսպիսով, ընդլայնված ձևով, 555 թիվը տասնորդական համակարգում գրելը կունենա հետևյալ տեսքը.
555 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0:
Ինչպես երևում է օրինակից, դիրքային թվային համակարգում թիվը գրվում է որպես հզորությունների թվային շարքի գումար. հիմքերը(այս դեպքում՝ 10), որի գործակիցներն այս թվի թվերն են։
Բացասական ցուցիչներն օգտագործվում են տասնորդական կոտորակներ գրելու համար: Օրինակ՝ 555.55 թիվը ընդլայնված ձևով գրված է հետևյալ կերպ.
555,55 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0 + 5 × 10 -1 + 5 × 10 -2:
Ընդհանուր առմամբ, տասնորդական թվային համակարգում A 10 թիվը գրելը, որը պարունակում է n ամբողջ թվանշան և m կոտորակային նիշ, այսպիսի տեսք ունի.
A 10 = a n-1 × 10 n-1 + ... + a 0 × 10 0 + a -1 × 10 -1 + ... + a -m × 10 -m
Այս նշման մեջ a i գործակիցները տասնորդական թվի թվերն են, որոնք ծալված ձևով գրվում են հետևյալ կերպ.
A 10 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 ... a -m:
Վերոնշյալ բանաձևերից պարզ է դառնում, որ տասնորդական թիվը 10-ով (հիմքի արժեքը) բազմապատկելը կամ բաժանելը հանգեցնում է տասնորդական կետի շարժմանը, որը բաժանում է ամբողջ մասը կոտորակային մասից համապատասխանաբար մեկ տեղ աջ կամ ձախ: . Օրինակ.
555,55 10 × 10 = 5555,5 10;
555,55 10: 10 = 55,555 10 .
Երկուական թվային համակարգ.Երկուական թվային համակարգում հիմքը 2-ն է, իսկ այբուբենը բաղկացած է երկու թվանշանից (0 և 1): Հետևաբար, երկուական համակարգում ընդլայնված ձևով թվերը գրվում են որպես 2-րդ հիմքի հզորությունների գումար՝ գործակիցներով, որոնք 0 կամ 1 թվերն են։
Օրինակ, ընդլայնված երկուական թիվը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
A 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 -1 + 1 × 2 -2:
Նույն թվի ծալված ձևը՝
A 2 = 101.01 2.
Ընդհանուր առմամբ, երկուական համակարգում A 2 թիվը գրելը, որը պարունակում է n ամբողջ թվանշան և m կոտորակային նիշ, այսպիսի տեսք ունի.
A 2 = a n-1 × 2 n-1 + a n-2 × 2 n-2 + ... + a 0 × 2 0 + a -1 × 2 -1 + ... + a -m × 2 -մ
Այս նշման մեջ a i գործակիցները երկուական թվի թվանշաններն են (0 կամ 1), որոնք ծալված ձևով գրվում են հետևյալ կերպ.
A 2 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 a -2 ... a -m
Վերոնշյալ բանաձևերից պարզ է դառնում, որ երկուական թիվը 2-ով (հիմնական արժեքը) բազմապատկելը կամ բաժանելը հանգեցնում է ստորակետի շարժմանը, որը բաժանում է ամբողջ մասը կոտորակային մասից մեկ թվանշանով համապատասխանաբար աջ կամ ձախ: Օրինակ.
101.01 2 × 2 = 1010.1 2;
101,01 2: 2 = 10,101 2 .
Դիրքային թվային համակարգեր կամայական հիմքով:Հնարավոր է օգտագործել տարբեր դիրքային թվային համակարգեր, որոնց հիմքը հավասար է կամ մեծ է 2-ից: q հիմքով թվային համակարգերում (q-ary թվային համակարգ) ընդլայնված ձևով թվերը գրվում են որպես հզորությունների գումար: q հիմքը գործակիցներով, որոնք 0, 1, q - 1 թվերն են:
A q = a n-1 × q n-1 + a n-2 × q n-2 + ... + a 0 × q 0 + a -1 × q -1 + ... + a -m × q -մ
Այս գրառման մեջ a i գործակիցները q-ary թվային համակարգում գրված թվի թվերն են:
Այսպիսով, օկտալ համակարգում հիմքը հավասար է ութի (q = 8): Այնուհետև A 8 = 673,2 8 օկտալ թիվը, որը գրված է ծալված ձևով, ընդլայնված ձևով կունենա հետևյալ տեսքը.
A 8 = 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1:
Տասնվեցական համակարգում հիմքը տասնվեցն է (q = 16), ապա ծալված ձևով գրված տասնվեցական թիվը A 16 = 8A,F 16 նման կլինի.
A 16 = 8 × 16 1 + A × 16 0 + F × 16 -1:
Եթե վեցանկյուն թվերն արտահայտենք դրանց տասնորդական արժեքների միջոցով (A=10, F=15), ապա թիվը կստանա հետևյալ ձևը.
A 16 = 8 × 16 1 + 10 × 16 0 + 15 × 16 -1:
Հարցեր, որոնք պետք է հաշվի առնել
1. Ինչո՞վ են դիրքային թվային համակարգերը տարբերվում ոչ դիրքայիններից:
2. Կարո՞ղ է տառի նշանը օգտագործվել որպես թիվ:
3. Քանի՞ թվանշան է օգտագործվում q-ary թվային համակարգում:
Քվեստներ
1.6. Գրի՛ր 19.99 10 թվերը; 10.10 2; 64,5 8; 39, F 16 ընդլայնված տեսքով:
1.7. Քանի՞ անգամ կավելանան 10.1 10 թվերը: 10.1 2; 64,5 8; 39,F 16 տասնորդական թիվը մեկ տեղ աջ տեղափոխելիս:
1.8. Երբ տասնորդական կետը տեղափոխվում է երկու տեղ աջ, 11,11 x թիվը մեծանում է 4 անգամ։ Ինչի՞ է հավասար x-ը:
1.9. Ո՞րն է նվազագույն հիմքը, որը կարող է ունենալ թվային համակարգը, եթե այն պարունակում է 23 և 67 թվերը:
1.10. Գրի՛ր 1999 10 թիվը հռոմեական թվային համակարգում։
Կանոններ. (սովորաբար) անընդմեջ մի դրեք ավելի քան երեք միանման թվանշան, եթե ցածր թվանշանը (միայն մեկ!) գտնվում է բարձր թվանշանից ձախ, այն հանվում է գումարից (մասամբ ոչ դիրքային!) Օրինակներ՝ MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644
3999) անհրաժեշտ է մուտքագրել նոր թվանշաններ (V, X, L, C, D, M) ինչպես գրել կոտորակային թվեր: ինչպես կատարել թվաբանական գործողություններ՝ CCCLIX + CLXXIV =? Որտեղ օգտագործվում է. գլուխների համարները գրքերում. դարերի նշանակում. «XX-ի ծովահենները» title=" Թերությունները. մեծ թվեր (>3999) գրելու համար անհրաժեշտ է մուտքագրել նոր թվեր (V, X, L, C, D, M ) Ինչպե՞ս գրել կոտորակային թվեր: Ինչպես կատարել թվաբանական գործողություններ." class="link_thumb"> 9 !}Թերություններ. մեծ թվեր (>3999) գրելու համար անհրաժեշտ է մուտքագրել նոր թվանշաններ (V, X, L, C, D, M) ինչպես գրել կոտորակային թվեր: ինչպես կատարել թվաբանական գործողություններ՝ CCCLIX + CLXXIV =? Որտեղ օգտագործվում է. գլուխների համարները գրքերում. դարերի նշում. «20-րդ դարի ծովահենները» ժամացույց 3999) անհրաժեշտ է մուտքագրել նոր թվանշաններ (V, X, L, C, D, M) ինչպես գրել կոտորակային թվեր: ինչպես կատարել թվաբանական գործողություններ՝ CCCLIX + CLXXIV =? Որտեղ է այն օգտագործվում. գրքերի գլուխների համարները. դարերի նշանակում. «Ծովահեններ XX»> 3999) անհրաժեշտ է մուտքագրել նոր թվեր (V, X, L, C, D, M) ինչպես գրել կոտորակային թվեր: Ինչպե՞ս կատարել Թվաբանական գործողություններ՝ CCCLIX + CLXXIV = Որտեղ օգտագործվում է. գրքերում գլուխների համարները. դարերի նշանակում. «20-րդ դարի ծովահենները» ժամացույցի հավաքում»> 3999) անհրաժեշտ է մուտքագրել նոր թվեր (V, X, L, C, D): , Մ) ինչպե՞ս գրել կոտորակային թվեր: ինչպես կատարել թվաբանական գործողություններ՝ CCCLIX + CLXXIV =? Որտեղ օգտագործվում է. գլուխների համարները գրքերում. դարերի նշանակում. «XX-ի ծովահենները» title=" Թերությունները. մեծ թվեր (>3999) գրելու համար անհրաժեշտ է մուտքագրել նոր թվեր (V, X, L, C, D, M ) Ինչպե՞ս գրել կոտորակային թվեր: Ինչպես կատարել թվաբանական գործողություններ."> title="Թերություններ. մեծ թվեր (>3999) գրելու համար անհրաժեշտ է մուտքագրել նոր թվանշաններ (V, X, L, C, D, M) ինչպես գրել կոտորակային թվեր: ինչպես կատարել թվաբանական գործողություններ՝ CCCLIX + CLXXIV =? Որտեղ օգտագործվում է. գլուխների համարները գրքերում. դարերի նշում. «Ծովահեններ XX"> !}
Դիրքային թվային համակարգում թվանշանի քանակական արժեքը կախված է թվի մեջ նրա դիրքից։ Թվանշանի դիրքը կոչվում է թվանշան: Թվի թվանշանը մեծանում է աջից ձախ։ 555 թվի մեջ առաջին 5-ը հարյուրավորների դիրքում է, երկրորդ 5-ը՝ տասնյակների, իսկ երրորդ 5-ը՝ միավորների դիրքում (555=):
Ա) = 5* * *10 0 բ) = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0
Թվեր գրելու համար նիշերի սահմանափակ քանակ; Թվաբանական գործողություններ կատարելու հեշտությունը. Դիրքային թվային համակարգի հիմքը (q) թիվը գրելու համար օգտագործվող նշանների թիվն է։ Առաջադրանք՝ քանի՞ և ինչ թվանշան է պահանջվում ցանկացած թիվ գրելու համար քառակուսի թվային համակարգում, ութնյակային համակարգում, տասնվեցական թվային համակարգում:
1-ին տարբերակ. 1. Ճի՞շտ է, որ թիվը կարելի է գրել երկուական թվային համակարգում: 2. Ճի՞շտ է, որ այբբենական թվային համակարգերը ոչ դիրքային են: 3. Ճի՞շտ է, որ համակարգիչներն օգտագործում են հռոմեական թվային համակարգ: 4. Ճի՞շտ է, որ բարդ թվաբանական հաշվարկների համար հարմար է օգտագործել հռոմեական թվային համակարգը։ 5. Ճի՞շտ է, որ երկուական թվային համակարգում կա 2 թվանշան: 2-րդ տարբերակ. 1. Ճի՞շտ է, որ քառորդական թվային համակարգում կարելի է թիվ գրել։ 2. Ճի՞շտ է, որ արաբական թվերը հարմար են բարդ թվաբանական հաշվարկների համար: 3. Ճի՞շտ է, որ համակարգչային հիշողությունն օգտագործում է տասնորդական թվային համակարգ: 4. Ճի՞շտ է, որ բոլոր թվային համակարգերը բաժանված են երկու մեծ խմբի։ 5. Ճի՞շտ է, որ տասնորդական թվային համակարգը դիրքային է:
ԸնտրանքՊատասխանել թվերին այո ոչ 2 այո ոչ այո թեստի արդյունքները ստուգելու աղյուսակ «5» - ոչ «4» սխալ - մեկ սխալ «3» - երկու սխալ «2» - երեք սխալ Գնահատման չափանիշներ.
Ամբողջ աշխարհը գիտի, որ մայաների օրացույցն ավարտվում է 2012 թվականի դեկտեմբերի 21-ին։ Բայց ոչ ոք չգիտի, թե ինչու։ Սկսենք նրանից, որ իրականում ավարտվում է ոչ թե օրացույցը, այլ այսպես կոչված Մեծ ցիկլը։ Կամ «Հինգերորդ արևը» մայաների տերմինաբանությամբ՝ 5126 տարի տևողությամբ։ Այս ցիկլի վերջին օրը 2012 թվականի դեկտեմբերի 21-ն է։ Բայց սա աշխարհի վերջը չէ։ 2012 թվականից հետո սկսվում է հաջորդ ցիկլը։ Ըստ գիտնականների հաշվարկների՝ «Հինգերորդ արեգակը» սկսվել է մ.թ.ա. 3113 թվականի օգոստոսի 13-ին։ Ինչո՞ւ այդ դեպքում: Սա ի՞նչ իրադարձության հետ էր կապված։ Ոչ ոք չգիտի։ Անհայտ է նաև, թե որտեղից են նույնիսկ հին մայաները ստացել ժամանակը հաշվելու և այն ցիկլերի բաժանելու իրենց բարդ համակարգը:
Հարց թիվ 2 Թվային տեղեկատվության ներկայացում` օգտագործելով թվային համակարգեր. Դիրքային թվային համակարգեր.
Դ
Թվային համակարգը նշանային համակարգ է, որտեղ թվերը գրվում են որոշակի կանոնների համաձայն՝ օգտագործելով որոշակի այբուբենի նշաններ, որոնք կոչվում են թվեր:
Բոլոր թվային համակարգերը բաժանվում են երկու մեծ խմբի՝ դիրքային և ոչ դիրքային թվային համակարգեր։ Դիրքային թվային համակարգերում թվանշանի արժեքը կախված է թվի մեջ նրա դիրքից, իսկ ոչ դիրքային թվային համակարգերում դա կախված չէ։
Ամենատարածված ոչ դիրքային թվային համակարգը հռոմեական է: Դրանում օգտագործված թվերն են՝ I(1), V(5), X (10), L(50), C(100), D (500), M (1000): Թվանշանի նշանակությունը կախված չէ թվի մեջ նրա դիրքից (XXX (30) - X թվանշանը հայտնվում է երեք անգամ և յուրաքանչյուր դեպքում նշանակում է նույն արժեքը՝ 10): Թվի չափը հռոմեական թվային համակարգում սահմանվում է որպես թվի թվանշանների գումար կամ տարբերություն։ Եթե փոքր թիվը մեծից ձախ է, ապա այն հանվում է, եթե աջում՝ գումարվում։
Դիրքային թվերի համակարգեր.
Պ
Դիրքային թվային համակարգերում թվանշանի քանակական արժեքը կախված է թվի մեջ նրա դիրքից։
Ն
Դիրքային թվային համակարգերում համակարգի հիմքը հավասար է թվանշանների թվին (նշանները իր այբուբենում) և որոշում է, թե քանի անգամ են տարբերվում թվերի հարակից դիրքերում նույնական թվանշանների արժեքները:
|
Համարային համակարգ |
Հիմք |
Թվերի այբուբեն |
|
Տասնորդական |
0,1,2.3,4,5,6,7,8,9 |
|
|
Երկուական | ||
|
Օկտալ | ||
|
Տասնվեցական |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A (10), B(11), C(12),D(13),E(14),F(15) |
Որպես օրինակ դիտարկենք 555 տասնորդական թիվը: Թվի մեջ թվի դիրքը կոչվում է. արտանետում. Թվի թվանշանը մեծանում է աջից ձախ, ցածրից բարձր թվանշան: Տասնորդական համակարգում ամենաաջ դիրքում (նիշ) տեղակայված թվանշանը ցույց է տալիս միավորների թիվը, մեկ դիրքով ձախ տեղափոխված թվանշանը` տասնյակների թիվը, նույնիսկ ավելի ձախ` հարյուրավոր, հետո հազարավոր և այլն: Համապատասխանաբար ունենք միավորների թվանշան, տասնյակների թվանշան և այլն։ 555 թիվը գրված է մեր ծանոթ փլված ձևով։ Ընդլայնված ձևով այն այսպիսի տեսք ունի.
Նշանի դիրքը թվի պատկերում կախված չէ այն արժեքից, որը նա ներկայացնում է։ Թվերի նշման մեջ թվանշանով նշված արժեքը կախված է դրա դիրքից:
Հին եգիպտական տասնորդական Մ. Բոլոր մյուս թվերը կազմվել են այս հիմնական թվերից՝ օգտագործելով գումարման գործողությունը: Նշում Հին Եգիպտոստասնորդական է, բայց ոչ դիրքային և հավելումային։
1. Ինչպես մարդկանց մեծամասնությունը, այնպես էլ եգիպտացիները փայտերով հաշվում էին փոքր քանակությամբ առարկաներ: Եթե անհրաժեշտ է պատկերել մի քանի ձողիկներ, ապա դրանք պատկերված են երկու շարքով, իսկ ներքևի շարքը պետք է ունենա նույն թվով ձողիկներ, ինչ վերևում, կամ ևս մեկ: 10. Եգիպտացիները կովերին կապել են նման կապանքներով, եթե անհրաժեշտ է պատկերել մի քանի տասնյակ, ապա հիերոգլիֆը կրկնվել է անհրաժեշտ քանակությամբ։ Նույնը վերաբերում է մյուս հիերոգլիֆներին։ 100. Սա չափիչ պարան է, որն օգտագործվել է Նեղոսի ջրհեղեղից հետո հողատարածքները չափելու համար: 1000 Դուք երբևէ տեսե՞լ եք ծաղկող լոտոս: Եթե ոչ, ապա դուք երբեք չեք հասկանա, թե ինչու են եգիպտացիները նման նշանակություն տալիս այս ծաղկի կերպարին։ 10,000 «Զգույշ եղեք մեծ թվով»: - ասում է բարձրացրած ցուցամատը։ 100000 Սա շերեփուկ է։ Սովորական գորտի շերեփուկ. 1000 տեսնելով նման թիվ՝ սովորական մարդը շատ կզարմանա ու ձեռքերը կբարձրացնի դեպի երկինք։ Սա այն է, ինչ այս հիերոգլիֆը ներկայացնում է 10000-ը Եգիպտացիները պաշտում էին Ամոն Ռային՝ Արևի աստծուն, և հավանաբար այդ պատճառով նրանք իրենց ամենամեծ թիվը պատկերում էին որպես: ծագող արև
Թվերի թվանշանները գրանցվել են՝ սկսած ամենամեծ արժեքներից և վերջացրած փոքրերով։ Եթե չկար տասնյակ, միավոր կամ այլ թվանշան, ապա մենք անցանք հաջորդ թվանշանին: Փորձեք ավելացնել այս երկու թվերը՝ իմանալով, որ չեք կարող օգտագործել ավելի քան 9 նույնական հիերոգլիֆ, և անմիջապես կհասկանաք, որ այս համակարգի հետ աշխատելու համար անհրաժեշտ է. հատուկ մարդ. Սովորական մարդը չի կարող դա անել։
Ոչ դիրքային թվային համակարգերում թվանշանի դիրքը կախված չէ այն արժեքից, որը նա ներկայացնում է։ Օրինակ է հռոմեական համակարգը: Հռոմեական համակարգում լատինատառերը օգտագործվում են որպես թվեր՝ I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Հռոմեական թվային համակարգում թիվը նշվում է հաջորդական թվանշանների բազմությամբ։ Նման թվանշանի մեջ թվանշանի նշանակությունը կախված չէ թվանշանի մեջ նրա տեղից։
Հռոմեական թվային համակարգում թիվը նշանակվում է հաջորդական թվանշանների բազմությամբ: Թվի արժեքը հավասար է՝ անընդմեջ մի քանի նույնական թվանշանների արժեքների գումարին (առաջին տիպի խումբ). III=3. Երկու թվանշանների արժեքների տարբերությունը, եթե ավելի մեծ թվանշանի ձախ կողմում կա ավելի փոքր (երկրորդ տիպի խումբ): IV=4. ü Ձախ թվանշանը կարող է աջից փոքր լինել առավելագույնը մեկ կարգով. ü միայն X (10) կարող է հայտնվել L(50) և C(100) առաջ; ü առաջ D(500) և M(1000) – միայն C(100); ü V(5)-ից առաջ – միայն I(1): Առաջին և երկրորդ տիպերի խմբերում չներառված խմբերի և թվերի արժեքների գումարը: CLVI=156. Մոտակայքում չպետք է լինի ավելի քան երեք նույնական համար: Թիվ 32 =XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2 Թիվ 444 = CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)= 400+40+4։ Հռոմեական թվային համակարգում 1974 թիվը նման է MCMLXXIV= M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4: MCMXCVIII = 1000+(1000 -100)+(100 -10)+5+1+1+1 = 1998 թ.
Հռոմեական թվերի ծագման մասին հավաստի տեղեկություններ չկան։ Հռոմեական համարակալման մեջ հստակ տեսանելի են հնգապատիկ թվային համակարգի հետքերը։ Հռոմեացիների լեզվում հնգապատիկ համակարգի հետքեր չկան։ Սա նշանակում է, որ այս թվերը հռոմեացիները փոխառել են մեկ այլ ժողովրդից (ամենայն հավանականությամբ՝ էտրուսկներից)։ Այս համարակալումը գերակշռում էր Իտալիայում մինչև 13-րդ դարը և այլ երկրներում Արևմտյան Եվրոպա- մինչև 16-րդ դարը: Սանկտ Պետերբուրգում կա Պետրոս I-ի հուշարձանը, հուշարձանի գրանիտե պատվանդանի վրա կա հռոմեական համար՝ MDCCLXXXII = 1000 + 500 + 100 + 50 + 3*10 + 2 = 1782 թ. Հուշարձանի բացման տարին է։ Հռոմեական թվերը օգտագործվել են շատ երկար ժամանակ: Նույնիսկ 200 տարի առաջ բիզնես թղթերում թվերը պետք է նշվեին հռոմեական թվերով (համարվում էր, որ սովորական արաբական թվերը հեշտ է կեղծել): Բավականին հաճախ ենք հանդիպում առօրյա կյանքում։ Սրանք գրքերի գլուխների համարներն են, դարերի ցուցումները, ժամացույցի թվերը և այլն:
Բաբելոնյան սեքսեզիմալ համակարգ Նրա առաջացման սկիզբը համարվում է մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակը։ ե. Այս համակարգում թվերը կազմված էին երկու տեսակի նշաններից. 60 թիվը և 60-ի մյուս ուժերը նշանակվում էին նույն կերպ, ինչ 1-ը: Թվի արժեքը որոշելու համար նրա գրառումը պետք է բաժանվեր թվերի՝ աջից ձախ։ Նույն թվերի խմբերի հերթափոխը համապատասխանում էր թվանշանների փոփոխությանը. 132= ? ?
Թվի արժեքը որոշվում էր դրա բաղկացուցիչ թվանշանների արժեքներով, սակայն հաշվի առնելով այն փաստը, որ յուրաքանչյուր հաջորդ թվի թվանշանները «կշռում էին» 60 անգամ ավելի, քան նախորդ թվանշանի նույն թվանշանները: Պարզվում է, որ 1-ից մինչև 59 թվերի մեջ թվանշանի նշանակությունը կախված չէր նրա թվից, սակայն 60-ից մեծ կամ հավասար թվերի դեպքում թվանշանի նշանակությունը կախված էր թվային գրառման մեջ նրա դիրքից։ Այստեղ կարող է շփոթություն առաջանալ. միավորի նշանը կարող է մեկնաբանվել որպես 60 թվի ցանկացած հզորություն. թիվը կարող է լինել 92 (60+30+2) կամ 3632 (3600+30+2); կարող է հավասար լինել կամ 444 (7*60+24) կամ 7*3600+24: Դա պայմանավորված էր 0-ի բացակայության պատճառով: Հետագայում բաբելոնացիները նշան դրեցին, որը ցույց էր տալիս բացակայող սեքսեմալ թվանշանը: Բայց այս նշանը սովորաբար չէր դրվում թվի վերջում, ուստի մեր հասկացողությամբ այն զրո չէր: Այս թվային համակարգը առաջինն է՝ հիմնված դիրքային սկզբունքի վրա։ Նրանք նշում են այս թվային համակարգի մեծ դերը մաթեմատիկայի և աստղագիտության մեջ։ Այսպիսով, մենք դեռ ժամը բաժանում ենք 60 րոպեի, իսկ րոպեն՝ 60 վայրկյանի, շրջանագիծը՝ 360 մասի (աստիճանի):
Հին եգիպտական տասնորդական ոչ դիրքային թվային համակարգ Այս համակարգի առաջացումը թվագրվում է մ.թ.ա. III հազարամյակի երկրորդ կեսին: ե. Տասնյակի ուժերը նշելու համար օգտագործել է հատուկ նշաններ՝ 345 թիվը գրվել է այսպես. Թվի յուրաքանչյուր թվանշան չպետք է կրկնվի ավելի քան 9 անգամ: Ձողային և հին եգիպտական թվային համակարգերը հիմնված էին գումարման սկզբունքի վրա, ըստ որի թվի արժեքը հավասար է թիվը գրելու մեջ ներգրավված թվանշանների արժեքների գումարին: Նման թվանշանի մեջ թվանշանի նշանակությունը կախված չէ այն տեղից, որը նա զբաղեցնում է թվանշանի մեջ։
ՀԻՆ Ռուսիա Այս նշանների կիրառման օրինակ Ռուսաստանում. հարկերի վճարման անդորրագրեր (յասակ), որոնք լրացրել և վճարել են հարկահավաքները։
Սլավոնական կիրիլիցա տասնորդական այբբենական այս համարակալումը ստեղծվել է սլավոնական այբբենական համակարգի հետ միասին 9-րդ դարում Կիրիլի և Մեթոդիոսի կողմից Աստվածաշնչի թարգմանության համար: Թվեր գրելու այս ձևը լիովին նման էր հունական թվերի գրությանը։ Մինչև 17-րդ դարը տարածքում թվերի գրանցման այս ձևը պաշտոնական էր ժամանակակից Ռուսաստան, Բելառուս, Ուկրաինա, Բուլղարիա, Հունգարիա, Սերբիա և Խորվաթիա։ Մինչ այժմ ուղղափառ եկեղեցական գրքերն օգտագործում են այս համարակալումը։
Թվերը թվերից գրվում էին նույն կերպ՝ ձախից աջ, մեծից փոքր։ 11-ից 19 թվերը գրվում էին երկու թվանշանով, իսկ միավորը գալիս է տասը նախքան. Մենք կարդում ենք բառացիորեն «տասնչորս»՝ «չորս և տասը»: Ինչպես լսում ենք, գրում ենք՝ ոչ թե 10+4, այլ 4+10, - չորս և տասը։ 21-ից և բարձր թվերը նախ գրվել են լրիվ տասնյակի նշանով։ Թվի նշումը հավելում է, այն օգտագործում է միայն հավելում. «Մարդկային միտքը սրանից ավելին չի կարող հասկանալ». 900-ից մեծ թվեր նշելու համար օգտագործվել են հատուկ պատկերակներ, որոնք ավելացվել են տառին։ Այսպես են ձևավորվել թվերը.
Այբբենական թվային համակարգեր Այբբենական թվային համակարգում տեսանելի են դիրքային համակարգի սկիզբը, քանի որ նույն տառերը օգտագործվել են տարբեր կատեգորիաների միավորներ նշանակելու համար՝ միայն հատուկ նշանակումների ավելացմամբ: Նման թվային համակարգերը անհարմար էին մեծ թվով գործողությունների համար։ Մարդկային հասարակության զարգացման ընթացքում այս համակարգերը իրենց տեղը զիջեցին դիրքայիններին։
Հնդկական բազմապատկման համակարգ Դիրքային թվային համակարգերը միմյանցից անկախ առաջացել են Հին Բաբելոնում, մայաների շրջանում և, վերջապես, Հնդկաստանում։ Նման թվային համակարգերում առաջին անգամ ի հայտ են եկել հատուկ նշումներ, որոնք գումարվել են տասնյակների և հարյուրավորների։ Եթե տասնյակները նշանակենք X-ով, իսկ հարյուրավորները՝ Y-ով, ապա 323 = 3 Y 2 X 3. Ժամանակակից տասնորդական թվային համակարգը առաջացել է մոտ 5-րդ դարում: Ն.ե. Հնդկաստանում։ Այս համակարգի առաջացումը հնարավոր դարձավ զրոյի հայտնվելուց հետո։ Ներկայիս 0 անվանումն առաջին անգամ հայտնվել է Հունաստանում այն բանից հետո, երբ հույն գիտնականները ծանոթացան բաբելոնացիների աստղագիտական դիտարկումներին: Զրոյական կատեգորիան նշանակելու համար հույները սկսեցին օգտագործել O տառը՝ «OUDEN» բառի առաջին տառը՝ ՈՉԻՆՉ: Հնդկացիները միավորել են իրենց բազմապատկման համակարգը հունական զրոյի և Հունաստանում թվեր գրելու այբբենական սկզբունքների հետ։
Բայց այս համակարգը և դրանում օգտագործվող համարները կոչվում են արաբական, քանի որ այդպիսի թվեր արաբ վաճառականներն իրենց ապրանքների հետ միասին «բերել» են Եվրոպա։ Եվրոպայում նման թվային համակարգը լայն տարածում գտավ 12-րդ դարի սկզբից։ Դրա տարածման գործում որոշիչ դեր է խաղացել 9-րդ դարում Խորեզմացու Մուհամմեդի կողմից կազմված ձեռնարկը։ 12-րդ դարում այն թարգմանվել է լատիներեն։ Սյունակով հանելու, բազմապատկելու և բաժանելու կանոնները մշակվել են նաև 9-րդ դարում ականավոր մաթեմատիկոս Մուհամմադ իբն Մուսա ալ Խվարիզմի կողմից։ Նման կանոնները կոչվում են ալգորիթմներ (ալգորիթմներ) նրա անունով։
Նա իտալացի մաթեմատիկոս էր։ Նրա «Liber Abaci» գրքի շնորհիվ Եվրոպան սովորեց հնդ-արաբական թվային համակարգը, որը հետագայում փոխարինեց հռոմեական թվերին:
Դիրքային թվային համակարգը կոչվում է ավանդական, եթե դրա հիմքը կազմված է տերմիններով երկրաչափական առաջընթաց, իսկ թվանշանների իմաստները ոչ բացասական ամբողջ թվեր են։ Թվերի հիմնական հաջորդականություն, որոնցից յուրաքանչյուրը նշում է համապատասխան թվանշանի կշիռը: Երկրաչափական պրոգրեսիայի P հայտարարը, որի անդամները կազմում են ավանդական թվային համակարգի հիմքը, կոչվում է այս թվային համակարգի հիմք։ P հիմքով ավանդական թվային համակարգերն այլ կերպ կոչվում են P-ary:
Թվային համակարգը կամ համարակալումը թվեր գրելու միջոց է։ Նշանները, որոնցով գրվում են թվերը, կոչվում են թվանշաններ, իսկ դրանց համակցությունը՝ թվային համակարգի այբուբեն։ Այբուբենը կազմող թվանշանների թիվը կոչվում է դրա չափ։ Թվային համակարգը կոչվում է դիրքային, եթե թվանշանի քանակական համարժեքը կախված է թվի նշման մեջ նրա դիրքից: Մեզ ծանոթ տասնորդական համակարգում թվի արժեքը ձևավորվում է հետևյալ կերպ. թվանշանների արժեքը բազմապատկվում է համապատասխան թվանշանների «կշռով» և ստացված բոլոր արժեքները գումարվում են: Օրինակ՝ 5047=5*1000+0*100+4*10+7*1։ Թվի արժեքի ձևավորման այս մեթոդը կոչվում է հավելում-բազմապատկիչ։
Որտեղ A-ն ինքնին թիվն է, q-ը՝ թվային համակարգի հիմքը, a-ն՝ տվյալ թվային համակարգի թվանշանները, n-ը՝ թվի ամբողջ մասի թվանշանների թիվը, m-ը՝ կոտորակային մասի թվանշանների թիվը։ թվի։ Օրինակ՝ 32478 = միավոր տասնյակ հարյուր հազարավոր
Թարգմանությունը 10-րդ ՍՍ-ից Թարգմանությունն իրականացվում է թվի ամբողջ թվի համար առանձին և կոտորակային մասի համար: Թարգմանենք, օրինակ, 24.8510 թիվը 2-րդ ՍՍ։ 24 2 0 12 2 2410 = 110002 0 6 2 0 3 2 1 1
Նա 1100 տարեկան էր։ Նա գնաց 101 դասարան: Նա իր պայուսակում կրում էր 100 գիրք: Այս ամենը ճիշտ է, անհեթեթություն չէ: Երբ տասը ոտնաչափ փոշի կա: Նա քայլում էր ճանապարհով, Մի լակոտ միայն մեկ պոչով, բայց հարյուր ոտքով, միշտ վազում էր նրա հետևից, Նա լսում էր ամեն ձայն Իր տասը ականջներով, Եվ 10 արևածաղ ձեռքերը պահում էին պայուսակն ու թոկը: Եվ 10 մուգ կապույտ աչքեր սովորականի պես նայեցին աշխարհով մեկ։ Բայց ամեն ինչ լրիվ սովորական կդառնա, Երբ հասկանաս մեր պատմությունը։ ՊԱՏԱՍԽԱՆ
Նա 12 տարեկան էր։ Նա գնաց 5-րդ դասարան: Նա պայուսակի մեջ կրում էր 4 գիրք։ Այս ամենը ճիշտ է, անհեթեթություն չէ: Երբ տասը ոտնաչափ փոշի կա: Նա քայլում էր ճանապարհով, Մի պոչով, բայց հարյուր ոտքով լակոտ, միշտ վազում էր նրա հետևից, Նա բռնում էր ամեն ձայն Իր տասը ականջներով, Եվ 2 արևածաղ ձեռքերը բռնում էին պայուսակն ու թոկը: Եվ 2 մուգ կապույտ աչքեր սովորականի պես նայեցին աշխարհով մեկ։ Բայց ամեն ինչ լրիվ սովորական կդառնա, Երբ հասկանաս մեր պատմությունը։
