Տրված են մաթեմատիկական ակնկալիքը a=3 և ստանդարտ շեղումը =5 X նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի:
Գրեք հավանականության բաշխման խտությունը և սխեմատիկորեն գծեք այն:
Գտե՛ք հավանականությունը, որ x-ը արժեք կվերցնի (2;10) միջակայքից։
Գտե՛ք հավանականությունը, որ x-ը 10-ից մեծ արժեք կունենա։
Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ սիմետրիկ ինտերվալ, որում x մեծության արժեքները կպարունակվեն =0,95 հավանականությամբ:
1). Կազմենք պատահական X փոփոխականի բաշխման խտության ֆունկցիան ա=3, =5 պարամետրերով՝ օգտագործելով բանաձևը.
. Կառուցենք ֆունկցիայի սխեմատիկ գրաֆիկը 
. Եկեք ուշադրություն դարձնենք այն փաստին, որ նորմալ կորը սիմետրիկ է x = 3 ուղիղ գծի նկատմամբ և ունի max այս կետում հավասար. 
, այսինքն. 
և երկու շեղման կետ 
օրդինատի հետ 
Եկեք կառուցենք գրաֆիկ 
2) Եկեք օգտագործենք բանաձևը. 
Գործառույթների արժեքները հայտնաբերվում են հավելվածի աղյուսակից:
4) Եկեք օգտագործենք բանաձևը 
. Ըստ պայմանի՝ մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ սիմետրիկ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը. 
. Օգտագործելով աղյուսակը՝ մենք գտնում ենք t, որտեղ Ф(t)=0,475, t=2: Միջոցներ 
. Այսպիսով, 
. Պատասխանը՝ x(-1;7):
31-40 խնդիրներին.
Գտեք վստահության միջակայքը գնահատման համար, որի հուսալիությունը 0,95 է անհայտ մաթեմատիկական սպասման a-ի նորմալ բաշխված X բնութագրիչի համար: բնակչությունը, եթե ընդհանուր ստանդարտ շեղումը =5, ապա ընտրանքի միջինը 
իսկ ընտրանքի չափը n=25:
Մենք պետք է վստահության միջակայք գտնենք 
.
Բոլոր քանակությունները, բացի t-ից, հայտնի են: Ֆ(t)=0,95/2=0,475 հարաբերակցությունից գտնենք t։ Օգտվելով հավելվածի աղյուսակից՝ գտնում ենք t=1.96: Փոխարինելով՝ մենք վերջապես ստանում ենք ցանկալի վստահության միջակայքը՝ 12.04 Տեխնիկական հսկողության բաժինը ստուգել է նույնական արտադրանքի 200 խմբաքանակ և ստացել է հետևյալ էմպիրիկ բաշխումը, հաճախականությունը n i - x i ոչ ստանդարտ արտադրանք պարունակող խմբաքանակների քանակը 0,05 նշանակության մակարդակով պահանջվում է ստուգել այն վարկածը, որ թիվը ոչ ստանդարտ արտադրանք X-ը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն: Եկեք գտնենք նմուշի միջինը. Որպես Պուասոնի բաշխման պարամետրի գնահատում, վերցնենք =0.6 միջինը: Հետեւաբար, ենթադրյալ Պուասոնի օրենքը Սահմանելով i=0,1,2,3,4, մենք գտնում ենք i ոչ ստանդարտ արտադրանքի հայտնվելու հավանականությունները 200 խմբաքանակում. Եկեք գտնենք տեսական հաճախականությունները՝ օգտագործելով բանաձևը Եկեք համեմատենք էմպիրիկ և տեսական հաճախականությունները՝ օգտագործելով Pearson թեստը: Դա անելու համար մենք կստեղծենք հաշվարկային աղյուսակ: Միավորենք փոքր հաճախականությունները (4+2=6) և համապատասխան տեսական հաճախականությունները (3.96+0.6=4.56): Գործնականում պատահական փոփոխականների մեծ մասը, որոնց վրա ազդում են մեծ թվով պատահական գործոններ, ենթարկվում են հավանականությունների բաշխման նորմալ օրենքին: Ուստի հավանականությունների տեսության տարբեր կիրառություններում այս օրենքը առանձնահատուկ նշանակություն ունի։ $X$ պատահական փոփոխականը ենթարկվում է հավանականությունների բաշխման նորմալ օրենքին, եթե դրա հավանականության բաշխման խտությունն ունի հետևյալ ձևը. $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$ $f\left(x\right)$ ֆունկցիայի գրաֆիկը սխեմատիկորեն ներկայացված է նկարում և կոչվում է «Գաուսի կոր»։ Այս գրաֆիկի աջ կողմում գերմանական 10 մակնիշի թղթադրամն է, որն օգտագործվել է մինչև եվրոյի ներմուծումը։ Եթե ուշադիր նայեք, ապա այս թղթադրամի վրա կարող եք տեսնել Գաուսի կորը և դրա հայտնաբերողին՝ մեծագույն մաթեմատիկոս Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսին: Եկեք վերադառնանք մեր խտության $f\left(x\right)$ ֆունկցիային և որոշ բացատրություններ տանք բաշխման պարամետրերի վերաբերյալ $a,\ (\sigma )^2$: $a$ պարամետրը բնութագրում է պատահական փոփոխականի արժեքների ցրման կենտրոնը, այսինքն՝ այն ունի մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանակություն։ Երբ $a$ պարամետրը փոխվում է, և $(\sigma )^2$ պարամետրը մնում է անփոփոխ, մենք կարող ենք դիտել $f\left(x\right)$ ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ աբսցիսայի երկայնքով, մինչդեռ խտության գրաֆիկը ինքնին չի փոխում իր ձևը: $(\sigma )^2$ պարամետրը շեղումն է և բնութագրում է $f\left(x\right)$ խտության գրաֆիկի կորի ձևը։ $(\sigma )^2$ պարամետրը $a$ պարամետրով անփոփոխ փոխելիս կարող ենք դիտել, թե ինչպես է խտության գրաֆիկը փոխում իր ձևը՝ սեղմվելով կամ ձգվելով, առանց աբսցիսայի առանցքով շարժվելու։ Ինչպես հայտնի է, $X$ պատահական փոփոխականի՝ $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը կարելի է հաշվարկել $P\left(\alpha):< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула: $$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$ Այստեղ $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ ֆունկցիան Լապլասի ֆունկցիան. Այս ֆունկցիայի արժեքները վերցված են. Կարելի է նշել $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի հետևյալ հատկությունները. 1
. $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, այսինքն՝ $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիան կենտ է։ 2
. $\Phi \left(x\right)$-ը միապաղաղ աճող ֆունկցիա է: 3
. $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ ձախ(x\աջ)\ )=-0,5$: $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի արժեքները հաշվարկելու համար կարող եք նաև օգտագործել $f_x$ մոգ ֆունկցիան Excel-ում՝ $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x): ;0;1;1\աջ)-0,5$: Օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի արժեքները $x=2$-ի համար։ Նորմալ բաշխված պատահական $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\աջ)$ հավանականությունը մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ սիմետրիկ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը. $$P\left(\left|X-a\աջ|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$ Երեք սիգմա կանոն. Գրեթե վստահ է, որ նորմալ բաշխված $X$ պատահական փոփոխականը կընկնի $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ միջակայքում: Օրինակ 1
. Պատահական $X$ փոփոխականը ենթակա է նորմալ հավանականության բաշխման օրենքին՝ $a=2,\ \sigma =3$ պարամետրերով: Գտեք $X$-ի հավանականությունը $\left(0.5;1\right)$ միջակայքում ընկնելու և $\left|X-a\right| անհավասարությունը բավարարելու հավանականությունը:< 0,2$. Օգտագործելով բանաձև $$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$ մենք գտնում ենք $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) ))\աջ)=\Phi \left(-0.33\աջ)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\աջ)-\Phi \ ձախ (0.33\աջ)=0.191- 0,129 = 0,062 դոլար: $$P\left(\left|X-a\աջ|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$ Օրինակ 2
. Ենթադրենք, որ տարվա ընթացքում որոշակի ընկերության բաժնետոմսերի գինը սովորական օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխական է՝ մաթեմատիկական ակնկալիքով, որը հավասար է 50 պայմանական դրամական միավորի և ստանդարտ շեղումը հավասար է 10-ի: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված Քննարկվող ժամանակահատվածի օրը ակցիայի գինը կլինի. ա) ավելի քան 70 սովորական դրամական միավոր. բ) մեկ բաժնետոմսի համար 50-ից ցածր: գ) 45-ից մինչև 58 պայմանական դրամական միավոր մեկ բաժնետոմսի համար: Թող $X$ պատահական փոփոխականը լինի որոշակի ընկերության բաժնետոմսերի գինը: Ըստ պայմանի, $X$-ը ենթակա է նորմալ բաշխման $a=50$ պարամետրերով - մաթեմատիկական ակնկալիք, $\sigma =10$ - ստանդարտ շեղում: Հավանականություն $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле: $$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$ $$а)\ P\left(X>70\աջ)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ ավելի քան (10))\աջ)=0.5-\Phi \ձախ(2\աջ)=0.5-0.4772=0.0228.$$ $$b)\P\ձախ (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$ $$in)\ P\ ձախ (45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$ Առանց չափազանցության այն կարելի է անվանել փիլիսոփայական օրենք։ Դիտարկելով շրջակա աշխարհի տարբեր առարկաներ և գործընթացներ՝ մենք հաճախ հանդիպում ենք այն փաստի, որ ինչ-որ բան բավարար չէ, և որ կա նորմ. Ի՞նչ օրինակներ կարող եք բերել: Նրանց մեջ պարզապես խավար կա: Սա, օրինակ, մարդկանց (և ոչ միայն) հասակը, քաշը, ֆիզիկական ուժը, մտավոր կարողությունները և այլն։ Կա «հիմնական զանգված». (այս կամ այն պատճառով)և երկու ուղղություններով էլ շեղումներ կան։ Սրանք անշունչ առարկաների տարբեր բնութագրիչներ են (նույն չափը, քաշը): Սա պրոցեսների պատահական տեւողություն է, օրինակ՝ հարյուր մետրանոց մրցավազքի ժամանակը կամ խեժը սաթի վերածելը։ Ֆիզիկայից ես հիշեցի օդի մոլեկուլները. դրանցից մի քանիսը դանդաղ են, ոմանք արագ, բայց մեծ մասը շարժվում է «ստանդարտ» արագությամբ: Հաջորդը, մենք կենտրոնից շեղվում ենք ևս մեկ ստանդարտ շեղումով և հաշվարկում ենք բարձրությունը. Նկարչության վրա կետերի նշում (կանաչ)և մենք տեսնում ենք, որ դա բավական է։ Վերջնական փուլում մենք ուշադիր գծում ենք գրաֆիկ և հատկապես ուշադիրարտացոլում է այն ուռուցիկ/գոգավոր! Դե, դուք, հավանաբար, վաղուց հասկացաք, որ x-առանցքն այն է հորիզոնական ասիմպտոտ, և դրա հետևից «բարձրանալը» բացարձակապես արգելված է։ Լուծումը էլեկտրոնային եղանակով ներկայացնելիս հեշտ է Excel-ում գծապատկեր ստեղծելը, և ինձ համար անսպասելիորեն, ես նույնիսկ կարճ տեսանյութ ձայնագրեցի այս թեմայով: Բայց նախ, եկեք խոսենք այն մասին, թե ինչպես է փոխվում նորմալ կորի ձևը ՝ կախված և-ի արժեքներից: «a»-ն մեծացնելիս կամ փոքրացնելիս. (անընդհատ «սիգմայով»)գրաֆիկը պահպանում է իր ձևը և շարժվում է աջ/ձախհամապատասխանաբար. Այսպես, օրինակ, երբ ֆունկցիան ձև է ընդունում «Սիգմայի» փոփոխության դեպքում. («a» հաստատունով), գրաֆիկը «մնում է նույնը», բայց փոխում է ձևը։ Երբ մեծանում է, այն դառնում է ավելի ցածր և երկարաձգվում, ինչպես ութոտնուկը, որը ձգում է իր շոշափուկները։ Եվ, ընդհակառակը, գրաֆիկը նվազեցնելիս դառնում է ավելի նեղ և բարձր- պարզվում է, որ «զարմացած ութոտնուկ» է: Այո, երբ նվազում«sigma» երկու անգամ. նախորդ գրաֆիկը երկու անգամ նեղանում և ձգվում է. Միավոր սիգմա արժեքով նորմալ բաշխումը կոչվում է նորմալացված, և եթե դա նույնպես կենտրոնացած(մեր դեպքը), ապա նման բաշխում կոչվում է ստանդարտ. Այն ունի նույնիսկ ավելի պարզ խտության ֆունկցիա, որն արդեն հայտնաբերվել է Լապլասի տեղական թեորեմը: Դե, հիմա եկեք դիտենք ֆիլմը.
Այո, միանգամայն ճիշտ, ինչ-որ կերպ անարժանապես այն մնաց ստվերում հավանականության բաշխման ֆունկցիա. Եկեք հիշենք նրան սահմանում: Ինտեգրալի ներսում սովորաբար օգտագործվում է այլ տառ, որպեսզի նշման հետ «համընկնումներ» չլինեն, քանի որ այստեղ յուրաքանչյուր արժեք կապված է. ոչ պատշաճ ինտեգրալ Գրեթե բոլոր արժեքները չեն կարող ճշգրիտ հաշվարկվել, բայց ինչպես նոր տեսանք, ժամանակակից հաշվողական հզորությամբ դա դժվար չէ: Այսպիսով, գործառույթի համար =ՆՈՐՄՍԴԻՍՏ(զ) Մեկ, երկու, և դու ավարտեցիր. Հիմա հիշենք թեմայի առանցքային խնդիրներից մեկը, այն է՝ պարզել, թե ինչպես կարելի է գտնել նորմալ պատահական փոփոխականի հավանականությունը. արժեքը կվերցնի միջակայքից. Երկրաչափորեն այս հավանականությունը հավասար է տարածքնորմալ կորի և x-առանցքի միջև համապատասխան հատվածում. ! Նաև հիշում է
, Ինչ Այստեղ դուք կարող եք կրկին օգտագործել Excel-ը, բայց կան մի քանի նշանակալից «բայց». նախ՝ այն միշտ չէ, որ ձեռքի տակ է, և երկրորդ՝ «պատրաստի» արժեքները, ամենայն հավանականությամբ, հարցեր կառաջացնեն ուսուցչի կողմից: Ինչո՞ւ։ Այս մասին ես բազմիցս խոսել եմ նախկինում. ժամանակին (և ոչ շատ վաղուց) սովորական հաշվիչը շքեղություն էր, իսկ խնդրի լուծման «ձեռքով» մեթոդը դեռ պահպանվում է ուսումնական գրականության մեջ։ Դրա էությունն այն է ստանդարտացնել«ալֆա» և «բետա» արժեքները, այսինքն՝ լուծումը իջեցնել ստանդարտ բաշխման. Նշում
: ֆունկցիան հեշտ է ստանալ ընդհանուր դեպքից Ինչու է դա անհրաժեշտ: Փաստն այն է, որ արժեքները մանրակրկիտ հաշվարկվել են մեր նախնիների կողմից և կազմվել հատուկ աղյուսակի մեջ, որը գտնվում է terwer-ի բազմաթիվ գրքերում: Բայց նույնիսկ ավելի հաճախ կա արժեքների աղյուսակ, որին մենք արդեն անդրադարձել ենք Լապլասի ինտեգրալ թեորեմը: Եթե մեր տրամադրության տակ կա Լապլասի ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ Հիշեցնում եմ ձեզ դա Պատասխանելպահանջվում է տրվել որպես տոկոս, ուստի հաշվարկված հավանականությունը պետք է բազմապատկվի 100-ով և արդյունքը տրամադրվի իմաստալից մեկնաբանությամբ. – 5-ից 70 մ թռիչքի դեպքում արկերի մոտավորապես 15,87%-ը կընկնի Մենք ինքնուրույն մարզվում ենք. Օրինակ 3 Գործարանային առանցքակալների տրամագիծը պատահական փոփոխական է, որը սովորաբար բաշխվում է 1,5 սմ մաթեմատիկական ակնկալիքով և 0,04 սմ ստանդարտ շեղումով Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված առանցքակալի չափը տատանվում է 1,4-ից 1,6 սմ: Նմուշի լուծույթում և ստորև ես կօգտագործեմ Լապլասի ֆունկցիան որպես ամենատարածված տարբերակ: Ի դեպ, նշենք, որ ըստ ձեւակերպման՝ այստեղ քննարկման մեջ կարող են ներառվել միջակայքի ծայրերը։ Այնուամենայնիվ, սա կրիտիկական չէ: Եվ արդեն այս օրինակում մենք հանդիպեցինք հատուկ դեպքի, երբ միջակայքը սիմետրիկ է մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ։ Նման իրավիճակում այն կարելի է գրել ձևով և օգտագործելով Լապլասի ֆունկցիայի տարօրինակությունը՝ պարզեցնել աշխատանքային բանաձևը. Լավ է, որ լուծումը տեղավորվում է մեկ տողում :) Այս առաջադրանքի արդյունքը պարզվեց, որ մոտ է միասնությանը, բայց ես կցանկանայի ավելի մեծ հուսալիություն, մասնավորապես, պարզել այն սահմանները, որոնցում գտնվում է տրամագիծը: գրեթե բոլորըառանցքակալներ. Սրա համար կա՞ որևէ չափանիշ: Գոյություն ունի։ Դրված հարցին պատասխանում է այսպես կոչված Դրա էությունն այն է գործնականում հուսալի
այն փաստն է, որ նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականը արժեք կվերցնի միջակայքից Իրոք, ակնկալվող արժեքից շեղման հավանականությունը փոքր է, քան. Առանցքակալների առումով դրանք 9973 հատ են՝ 1,38-ից 1,62 սմ տրամագծով և ընդամենը 27 «անորակ» օրինակ։ Գործնական հետազոտություններում երեք սիգմայի կանոնը սովորաբար կիրառվում է հակառակ ուղղությամբ՝ եթե վիճակագրորենՊարզվել է, որ գրեթե բոլոր արժեքները Ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականընկնում է 6 ստանդարտ շեղումների միջակայքում, ապա կան համոզիչ պատճառներ ենթադրելու, որ այս արժեքը բաշխված է սովորական օրենքի համաձայն: Ստուգումն իրականացվում է տեսության կիրառմամբ վիճակագրական վարկածներ. Մենք շարունակում ենք լուծել խորհրդային դաժան խնդիրները. Օրինակ 4 Կշռման սխալի պատահական արժեքը բաշխվում է նորմալ օրենքի համաձայն՝ զրոյական մաթեմատիկական ակնկալիքով և 3 գրամ ստանդարտ շեղումով։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ հաջորդ կշռումը կատարվի բացարձակ արժեքով 5 գրամը չգերազանցող սխալով։ Լուծումշատ պարզ. Պայմանով մենք անմիջապես նշում ենք, որ հաջորդ կշռման ժամանակ (ինչ-որ բան կամ ինչ-որ մեկը)մենք գրեթե 100% արդյունքը կստանանք 9 գրամ ճշգրտությամբ: Բայց խնդիրը ներառում է ավելի նեղ շեղում և ըստ բանաձևի Պատասխանել: Լուծված խնդիրը սկզբունքորեն տարբերվում է թվացյալ նման խնդրից։ Օրինակ 3մասին դաս միասնական բաշխում. Սխալ է տեղի ունեցել կլորացումչափումների արդյունքները, այստեղ մենք խոսում ենք հենց չափումների պատահական սխալի մասին: Նման սխալներն առաջանում են հենց սարքի տեխնիկական բնութագրերի պատճառով: (ընդունելի սխալների շրջանակը սովորաբար նշվում է նրա անձնագրում), և նաև փորձարարի մեղքով, երբ մենք, օրինակ, «աչքով» ընթերցումներ ենք վերցնում նույն կշեռքի ասեղից: Ի թիվս այլոց, կան նաև այսպես կոչված համակարգվածչափման սխալներ. Դա արդեն ոչ պատահականսխալներ, որոնք տեղի են ունենում սարքի սխալ տեղադրման կամ շահագործման պատճառով: Օրինակ, չկարգավորված հատակի կշեռքները կարող են կայունորեն «ավելացնել» կիլոգրամները, և վաճառողը համակարգված կերպով ծանրաբեռնում է հաճախորդներին: Կամ կարելի է ոչ համակարգված հաշվարկել։ Այնուամենայնիվ, ամեն դեպքում, նման սխալը պատահական չի լինի, և դրա ակնկալիքը տարբերվում է զրոյից: …Ես շտապ մշակում եմ վաճառքի ուսուցման դասընթաց =) Եկեք ինքներս լուծենք հակադարձ խնդիրը. Օրինակ 5 Գլանափաթեթի տրամագիծը պատահական նորմալ բաշխված պատահական փոփոխական է, որի ստանդարտ շեղումը հավասար է մմ: Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ սիմետրիկ միջակայքի երկարությունը, որի մեջ, ամենայն հավանականությամբ, կնվազի գլանափաթեթի տրամագծի երկարությունը: Կետ 5* դիզայնի դասավորությունօգնելու համար։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մաթեմատիկական ակնկալիքն այստեղ հայտնի չէ, բայց դա մեզ ամենևին չի խանգարում լուծել խնդիրը։ Եվ քննական առաջադրանք, որը ես խիստ խորհուրդ եմ տալիս ամրապնդել նյութը. Օրինակ 6 Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականը որոշվում է իր պարամետրերով (մաթեմատիկական ակնկալիք) և (ստանդարտ շեղում): Պահանջվում է: ա) գրեք հավանականության խտությունը և սխեմատիկորեն պատկերեք դրա գրաֆիկը. Նման խնդիրներ առաջարկվում են ամենուր, և տարիների պրակտիկայի ընթացքում ես լուծել եմ դրանցից հարյուրավոր և հարյուրավոր: Համոզվեք, որ փորձեք նկարել ձեռքով և օգտագործելով թղթե սեղաններ;) Դե, ես կանդրադառնամ աճող բարդության օրինակին. Օրինակ 7 Պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման խտությունն ունի ձևը ԼուծումՆախ, նկատենք, որ պայմանը ոչինչ չի ասում պատահական փոփոխականի բնույթի մասին։ Ցուցանիշի առկայությունը ինքնին ոչինչ չի նշանակում. կարող է պարզվել, օրինակ. ցուցիչկամ նույնիսկ կամայական շարունակական բաշխում. Եվ, հետևաբար, բաշխման «նորմալությունը» դեռ պետք է հիմնավորվի. Քանի որ գործառույթը Ահա մենք գնում ենք: Սրա համար ընտրեք ամբողջական քառակուսիև կազմակերպել եռահարկ կոտորակ: Այսպիսով. Հիմա եկեք գտնենք պարամետրի արժեքը: Քանի որ նորմալ բաշխման բազմապատկիչն ունի ձև և , ապա. Եկեք կառուցենք խտության գրաֆիկ. Ինչպես նշվեց ավելի վաղ, հավանականության բաշխման օրինակներ շարունակական պատահական փոփոխական
X-ն են. Ներկայացնենք նորմալ բաշխման օրենքի հայեցակարգը, նման օրենքի բաշխման ֆունկցիան և X պատահական փոփոխականի՝ որոշակի ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը հաշվարկելու կարգը։ Որոշակի մասի X երկարությունը պատահական փոփոխական է, որը բաշխված է նորմալ բաշխման օրենքի համաձայն և ունի միջին արժեքը 20 մմ և ստանդարտ շեղումը 0,2 մմ: Լուծում.
Ա)Մենք գտնում ենք X պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը, որը բաշխված է սովորական օրենքի համաձայն. պայմանով, որ m x =20, σ =0.2: բ)Պատահական փոփոխականի նորմալ բաշխման համար ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը (19.7; 20.3) որոշվում է հետևյալով. V)Մենք գտնում ենք հավանականությունը, որ շեղման բացարձակ արժեքը փոքր է 0,1 դրական թվից. G)Քանի որ 0,1 մմ-ից պակաս շեղման հավանականությունը 0,383 է, հետևում է, որ միջին հաշվով 100-ից 38,3 մասերը կունենան այդպիսի շեղում, այսինքն. 38.3%: դ)Քանի որ այն մասերի տոկոսը, որոնց շեղումը միջինից չի գերազանցում նշված արժեքը, աճել է մինչև 54%, ապա P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27. Օգտագործելով հավելվածը ( աղյուսակ 2
), մենք գտնում ենք δ/σ = 0,74: Հետեւաբար δ = 0,74 * σ = 0,74 * 0,2 = 0,148 մմ: ե)Քանի որ պահանջվող միջակայքը սիմետրիկ է m x = 20 միջին արժեքի նկատմամբ, այն կարող է սահմանվել որպես X-ի արժեքների բազմություն, որը բավարարում է 20 - δ անհավասարությունը:< X < 20 + δ или |x − 20| < δ . Ըստ պայմանի, ցանկալի միջակայքում X գտնելու հավանականությունը 0,95 է, ինչը նշանակում է P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475. Օգտագործելով հավելվածը ( աղյուսակ 2
), մենք գտնում ենք δ/σ = 1,96: Հետեւաբար δ = 1.96*σ = 1.96*0.2 = 0.392: 41-50 խնդիրներին.
կարծես 
.
,
,
,
,
.
. Փոխարինելով հավանականության արժեքները այս բանաձևով, մենք ստանում ենք 
,
,
,
,
.
Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականի՝ տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը
Հավանականությունների բաշխման նորմալ օրենքը
Ահա հիմնական տեսակետը խտության գործառույթներընորմալ հավանականության բաշխում, և ես ողջունում եմ ձեզ այս հետաքրքիր դասում:
և մեր գրաֆիկը «տեղափոխվում է» 3 միավոր դեպի ձախ՝ հենց կոորդինատների սկզբնաղբյուրին. 
Մաթեմատիկական զրոյական ակնկալիքով նորմալ բաշխված մեծությունը ստացել է լիովին բնական անվանում. կենտրոնացած; դրա խտության ֆունկցիան 
– նույնիսկ, իսկ գրաֆիկը սիմետրիկ է օրդինատի նկատմամբ։
Ամեն ինչ լիովին համապատասխանում է գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումներ.
. Ստանդարտ բաշխումը գործնականում լայն կիրառություն է գտել, և շատ շուտով մենք վերջապես կհասկանանք դրա նպատակը։
– հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը կվերցնի ավելի քիչ արժեք, քան այն փոփոխականը, որը «անցնում է» բոլոր իրական արժեքներով մինչև «գումարած» անսահմանություն:
, որը հավասար է ոմանց համարըընդմիջումից.
ստանդարտ բաշխում, Excel-ի համապատասխան ֆունկցիան սովորաբար պարունակում է մեկ փաստարկ.
Գծանկարը հստակ ցույց է տալիս բոլորի իրականացումը բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները, իսկ տեխնիկական նրբություններից այստեղ պետք է ուշադրություն դարձնել հորիզոնական ասիմպտոտներև թեքման կետը:
բայց ամեն անգամ փորձում եմ մոտավոր արժեք ստանալ 
անհիմն է, և, հետևաբար, ավելի ռացիոնալ է օգտագործել «թեթև» բանաձև:
.
օգտագործելով գծային փոխարինումներ. Ապա նաև.
իսկ կատարված փոխարինումից հետևյալ բանաձևը. 
անցում կամայական բաշխման արժեքներից ստանդարտ բաշխման համապատասխան արժեքներին:
, ապա դրա միջոցով լուծում ենք.
Կոտորակային արժեքները ավանդաբար կլորացվում են 4 տասնորդական թվերով, ինչպես արվում է ստանդարտ աղյուսակում: Իսկ վերահսկողության համար կա 5-րդ կետ դասավորությունը.
, և շփոթությունից խուսափելու համար միշտ վերահսկել, ԻՆՉ ֆունկցիայի աղյուսակը ձեր աչքի առաջ է։
Դելտա պարամետրը կոչվում է շեղումմաթեմատիկական ակնկալիքից, և կրկնակի անհավասարությունը կարելի է «փաթեթավորել» օգտագործելով մոդուլ:
– հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականի արժեքը մաթեմատիկական ակնկալիքից կշեղվի ավելի քիչ, քան .
– հավանականությունը, որ պատահականորեն վերցված առանցքակալի տրամագիծը 1,5 սմ-ից տարբերվում է 0,1 սմ-ից ոչ ավելի:երեք սիգմայի կանոն
.
կամ 99.73%
:
– հավանականությունը, որ հաջորդ կշռումը կիրականացվի 5 գրամը չգերազանցող սխալով.
բ) գտեք հավանականությունը, որ այն արժեք կվերցնի միջակայքից 
;
գ) գտնել հավանականությունը, որ բացարձակ արժեքը կշեղվի ոչ ավելի, քան .
դ) օգտագործելով «երեք սիգմա» կանոնը, գտեք պատահական փոփոխականի արժեքները:
. Գտնել, մաթեմատիկական ակնկալիք, դիսպերսիա, բաշխման ֆունկցիա, կառուցել խտության գրաֆիկներ և բաշխման ֆունկցիաներ, գտնել:
որոշված է ցանկացածիրական արժեք, և այն կարող է կրճատվել մինչև ձևի 
, ապա պատահական փոփոխականը բաշխվում է սովորական օրենքի համաձայն։
Համոզվեք, որ ստուգեք՝ ցուցիչը վերադարձնելով իր սկզբնական ձևին.
, ինչը մենք ուզում էինք տեսնել։
- Ըստ լիազորություններով գործողությունների կանոն«կտրել» Եվ այստեղ դուք կարող եք անմիջապես գրել ակնհայտ թվային բնութագրերը. 
, որտեղից մենք արտահայտում և փոխարինում ենք մեր ֆունկցիայի մեջ. 
, որից հետո ևս մեկ անգամ մեր աչքերով կանցնենք ձայնագրությունը և կհամոզվենք, որ ստացված ֆունկցիան ունի ձևը 
.
և բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը 
:
Եթե ձեռքի տակ չունեք Excel կամ նույնիսկ սովորական հաշվիչ, ապա վերջին գրաֆիկը հեշտությամբ կարելի է ձեռքով կառուցել: Այն կետում բաշխման ֆունկցիան ընդունում է արժեքը 
և ահա այն№
Ցուցանիշ Բաշխման նորմալ օրենք Նշում
Սահմանում
Նորմալ է կոչվում
Շարունակական պատահական X փոփոխականի հավանականության բաշխում, որի խտությունն ունի ձև
որտեղ m x-ը X պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքն է, σ x ստանդարտ շեղումը
2
Բաշխման գործառույթ
Հավանականություն
ընկնելը միջակայքում (a;b)
- Լապլասի ինտեգրալ ֆունկցիա
Հավանականություն
այն փաստը, որ շեղման բացարձակ արժեքը փոքր է դրական δ թվից
m x = 0-ում
«Շարունակական պատահական փոփոխականի նորմալ բաշխման օրենքը» թեմայով խնդրի լուծման օրինակ
Առաջադրանք.
Անհրաժեշտ:
ա) գրեք բաշխման խտության արտահայտությունը.
բ) գտնել հավանականությունը, որ մասի երկարությունը կլինի 19,7 և 20,3 մմ;
գ) գտնել հավանականությունը, որ շեղումը չի գերազանցում 0,1 մմ.
դ) որոշել, թե քանի տոկոս են կազմում այն մասերը, որոնց շեղումը միջին արժեքից չի գերազանցում 0,1 մմ-ը.
ե) գտնել, թե ինչ շեղում պետք է սահմանվի այնպես, որ այն մասերի տոկոսը, որոնց շեղումը միջինից չի գերազանցում նշված արժեքը, ավելանա մինչև 54%.
զ) գտնել միջին արժեքի նկատմամբ սիմետրիկ միջակայք, որում X-ը կգտնվի 0,95 հավանականությամբ:
Ф((20.3-20)/0.2) – Ф((19.7-20)/0.2) = Ф(0.3/0.2) – Ф(-0.3/0, 2) = 2Ф(0.3/0.2) = 2Ф(1.5) = 2 * 0,4332 = 0,8664:
Հավելվածներում մենք գտանք Ф(1.5) = 0.4332 արժեքը, Լապլասի ինտեգրալ ֆունկցիայի Ֆ(x) արժեքների աղյուսակում ( աղյուսակ 2
)
Ռ(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Հավելվածներում մենք գտանք Ф(0.5) = 0.1915 արժեքը, Լապլասի ինտեգրալ ֆունկցիայի Ֆ(x) արժեքների աղյուսակում ( աղյուսակ 2
)
Որոնման ընդմիջում
(20 – 0,392; 20 + 0,392) կամ (19,608; 20,392):
