Քառակուսի ձևեր

Քառակուսի ձև n փոփոխականների f(x 1, x 2,...,x n) գումարն է, որի յուրաքանչյուր անդամը կամ փոփոխականներից մեկի քառակուսին է, կամ երկու տարբեր փոփոխականների արտադրյալը՝ վերցված որոշակի գործակցով. f. (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji):

Այս գործակիցներից կազմված A մատրիցը կոչվում է քառակուսի ձևի մատրիցա։ Դա միշտ է սիմետրիկմատրիցա (այսինքն մատրիցա, որը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծի նկատմամբ, a ij = a ji):

Մատրիցային նշումներում քառակուսի ձևը f(X) = X T AX է, որտեղ

Իսկապես

Օրինակ՝ քառակուսի ձևը գրենք մատրիցային տեսքով։

Դա անելու համար մենք գտնում ենք քառակուսի ձևի մատրիցա: Նրա անկյունագծային տարրերը հավասար են քառակուսի փոփոխականների գործակիցներին, իսկ մնացած տարրերը հավասար են քառակուսի ձևի համապատասխան գործակիցների կեսերին։ Ահա թե ինչու

Թող X փոփոխականների մատրից-սյունակը ստացվի Y մատրից-սյունակի ոչ այլասերված գծային փոխակերպմամբ, այսինքն. X = CY, որտեղ C-ն n-րդ կարգի ոչ եզակի մատրից է: Այնուհետև քառակուսի ձևը
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y:

Այսպիսով, C ոչ այլասերված գծային փոխակերպման դեպքում քառակուսի ձևի մատրիցը ստանում է ձև՝ A * = C T AC:

Օրինակ՝ գտնենք f(y 1, y 2) քառակուսի ձևը, որը ստացվել է f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 քառակուսի ձևից գծային փոխակերպմամբ։

Քառակուսի ձևը կոչվում է կանոնական(ունի կանոնական տեսակետ), եթե նրա բոլոր գործակիցները a ij = 0 i ≠ j-ի համար, այսինքն.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Դրա մատրիցը անկյունագծային է:

Թեորեմ(ապացույցն այստեղ ներկայացված չէ): Ցանկացած քառակուսի ձև կարող է վերածվել կանոնական ձևի՝ օգտագործելով ոչ այլասերված գծային փոխակերպումը:

Օրինակ, եկեք կրճատենք քառակուսի ձևը կանոնական ձևի
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3:

Դա անելու համար նախ ընտրեք ամբողջական քառակուսի x 1 փոփոխականով:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3:

Այժմ մենք ընտրում ենք ամբողջական քառակուսի x 2 փոփոխականով.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Այնուհետև ոչ այլասերված գծային փոխակերպումը y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 և y 3 = x 3 բերում է այս քառակուսային ձևը f(y 1, y 2 կանոնական ձևին: , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2:

Նկատի ունեցեք, որ քառակուսի ձևի կանոնական ձևը որոշվում է երկիմաստորեն (նույն քառակուսի ձևը կարող է կրճատվել կանոնական ձևի տարբեր ձևերով) Սակայն ստացված տարբեր ձևերովկանոնական ձևերն ունեն մի շարք ընդհանուր հատկություններ. Մասնավորապես, քառակուսի ձևի դրական (բացասական) գործակիցներով տերմինների քանակը կախված չէ ձևը այս ձևին իջեցնելու մեթոդից (օրինակ, դիտարկված օրինակում միշտ կլինի երկու բացասական և մեկ դրական գործակից): Այս հատկությունը կոչվում է Քառակուսային ձևերի իներցիայի օրենքը.

Եկեք ստուգենք դա՝ նույն քառակուսի ձևը կանոնական ձևի բերելով այլ կերպ։ Սկսենք փոխակերպումը x 2 փոփոխականով.
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, որտեղ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 և y 3 = x 1: Այստեղ կա 2 դրական գործակից y 3-ում և երկու բացասական գործակից (-3) y 1 և y 2-ում (և օգտագործելով մեկ այլ մեթոդ մենք ստացել ենք դրական գործակից 2 y 1-ում և երկու բացասական գործակից - (-5) ժամը y 2 և (-1 /20) y 3-ում):

Հարկ է նաև նշել, որ քառակուսի ձևի մատրիցայի աստիճանը, որը կոչվում է քառակուսի ձևի աստիճան, հավասար է կանոնական ձևի ոչ զրոյական գործակիցների թվին և չի փոխվում գծային փոխակերպումների դեպքում։

f(X) քառակուսի ձևը կոչվում է դրականորեն (բացասական) որոշակի, եթե փոփոխականների բոլոր արժեքների համար, որոնք միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, այն դրական է, այսինքն. f(X) > 0 (բացասական, այսինքն.
f(X)< 0).

Օրինակ՝ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, քանի որ. քառակուսիների գումար է, իսկ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է, քանի որ ներկայացնում է այն կարող է ներկայացվել որպես f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2:

Շատ գործնական իրավիճակներում որոշ չափով ավելի դժվար է քառակուսի ձևի որոշակի նշան հաստատելը, ուստի դրա համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ թեորեմներից մեկը (մենք կձևակերպենք դրանք առանց ապացույցի):

Թեորեմ. Քառակուսի ձևը դրական (բացասական) որոշակի է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա մատրիցայի բոլոր սեփական արժեքները դրական են (բացասական):

Թեորեմ (Սիլվեստրի չափանիշ). Քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս ձևի մատրիցայի բոլոր առաջատար փոքրերը դրական են:

Հիմնական (անկյունային) մինոր N-րդ կարգի A-րդ կարգի մատրիցը կոչվում է մատրիցի որոշիչ, որը կազմված է A մատրիցի առաջին k տողերից և սյունակներից:

Նկատի ունեցեք, որ բացասական հստակ քառակուսի ձևերի համար հիմնական անչափահասների նշանները փոխարինվում են, իսկ առաջին կարգի փոքրը պետք է լինի բացասական:

Օրինակ, եկեք ուսումնասիրենք f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 քառակուսի ձևը նշանի որոշակիության համար:

= (2 - լ)*
*(3 - լ) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Հետևաբար, քառակուսի ձևը դրական որոշակի է:

Մեթոդ 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 մատրիցայի առաջին կարգի հիմնական մինոր D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0: Հետևաբար, ըստ Սիլվեստերի չափանիշի, քառակուսի ձևը. դրական որոշակի.

Մենք ուսումնասիրում ենք նշանի որոշակիության մեկ այլ քառակուսի ձև՝ f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2:

Մեթոդ 1. Կառուցենք A = քառակուսային ձևի մատրիցա: Բնութագրական հավասարումը կունենա ձև = (-2 - լ)*
*(-3 - լ) – 4 = (6 + 2լ + 3լ + լ 2) – 4 = լ 2 + 5լ + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Հետևաբար, քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է:

Քառակուսի ձևեր.
Ձևերի նշանի որոշակիություն: Սիլվեստրի չափանիշ

«Քառակուսի» ածականն անմիջապես հուշում է, որ այստեղ ինչ-որ բան կապված է քառակուսու (երկրորդ աստիճանի) հետ, և շատ շուտով մենք կիմանանք այս «ինչ-որ բանը» և ինչ ձև ունի: Լեզվի պտույտ է ստացվել :)

Բարի գալուստ իմ նոր դասը, և որպես անմիջական տաքացում մենք կանդրադառնանք գծավոր ձևին գծային. Գծային ձև փոփոխականներկանչեց միատարր 1-ին աստիճանի բազմանդամ.

- որոշ կոնկրետ թվեր * (մենք ենթադրում ենք, որ դրանցից առնվազն մեկը զրոյական չէ), a-ն փոփոխականներ են, որոնք կարող են ընդունել կամայական արժեքներ։

* Այս թեմայի շրջանակներում մենք միայն կդիտարկենք իրական թվեր .

Մենք արդեն հանդիպել ենք «միատարր» տերմինի մասին դասում գծային հավասարումների միատարր համակարգեր, և այս դեպքում ենթադրում է, որ բազմանդամը չունի գումարած հաստատուն։

Օրինակ՝ - երկու փոփոխականների գծային ձև

Այժմ ձևը քառակուսի է: Քառակուսի ձև փոփոխականներկանչեց միատարր 2-րդ աստիճանի բազմանդամ, որի յուրաքանչյուր ժամկետըպարունակում է կամ փոփոխականի քառակուսին կամ կրկնապատկվում էփոփոխականների արտադրյալ։ Այսպիսով, օրինակ, երկու փոփոխականների քառակուսի ձևն ունի հետևյալ ձևը.

Ուշադրություն.Սա ստանդարտ մուտք է, և դրա մասին որևէ բան փոխելու կարիք չկա: Չնայած «սարսափելի» տեսքին, այստեղ ամեն ինչ պարզ է. հաստատունների կրկնակի ցուցիչները ազդանշան են տալիս, թե որ փոփոխականները որ տերմինում են ներառված.
– այս տերմինը պարունակում է ապրանքը և (քառակուսի);
- ահա աշխատանքը;
- և ահա աշխատանքը.

– Անմիջապես կոպիտ սխալ եմ ակնկալում, երբ կորցնում են գործակցի «մինուսը»՝ չհասկանալով, որ դա վերաբերում է տերմինին.

Երբեմն ոգով կա «դպրոցական» դիզայնի տարբերակ, բայց միայն երբեմն: Ի դեպ, նշեք, որ հաստատուններն այստեղ մեզ ընդհանրապես ոչինչ չեն ասում, և, հետևաբար, ավելի դժվար է հիշել «հեշտ նշումը»: Հատկապես երբ փոփոխականներն ավելի շատ են։

Եվ երեք փոփոխականների քառակուսի ձևն արդեն պարունակում է վեց տերմին.

...ինչու՞ են «երկու» գործոնները դրվում «խառը» բառերով: Սա հարմար է, և շուտով պարզ կդառնա, թե ինչու։

Այնուամենայնիվ, եկեք գրենք ընդհանուր բանաձևը, որը հարմար է այն գրել «թերթում».

– մենք ուշադիր ուսումնասիրում ենք յուրաքանչյուր տող – դրանում վատ բան չկա:

Քառակուսի ձևը պարունակում է տերմիններ փոփոխականների քառակուսիներով և տերմիններ նրանց զուգակցված արտադրյալներով (սմ. կոմբինատոր համակցման բանաձև) . Ոչինչ ավելին. ոչ «միայնակ X» և ոչ ավելացված հաստատուն (այդ դեպքում դուք կստանաք ոչ թե քառակուսի ձև, այլ տարասեռ 2-րդ աստիճանի բազմանդամ):

Քառակուսային ձևի մատրիցային նշում

Կախված արժեքներից՝ տվյալ ձևը կարող է ընդունել և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ, և նույնը վերաբերում է ցանկացած գծային ձևի. եթե դրա գործակիցներից գոնե մեկը տարբերվում է զրոյից, ապա այն կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական (կախված արժեքներ):

Այս ձևը կոչվում է փոփոխական նշան. Եվ եթե գծային ձևով ամեն ինչ թափանցիկ է, ապա քառակուսի ձևով ամեն ինչ շատ ավելի հետաքրքիր է.

Միանգամայն պարզ է, որ այս ձևը կարող է ընդունել ցանկացած նշանի իմաստ, հետևաբար քառակուսի ձևը կարող է նաև փոփոխական լինել.

Կամ գուցե ոչ.

- միշտ, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ միաժամանակ հավասար է զրոյի:

- որևէ մեկի համար վեկտորբացի զրոյից։

Եվ ընդհանրապես,եթե որևէ մեկի համար ոչ զրոյականվեկտոր , ապա կոչվում է քառակուսի ձև դրական որոշակի; եթե այդպես է, ապա բացասական որոշակի.

Եվ ամեն ինչ լավ կլիներ, բայց քառակուսի ձևի որոշակիությունը տեսանելի է միայն պարզ օրինակներով, և այս տեսանելիությունը կորչում է նույնիսկ մի փոքր բարդության դեպքում.
– ?

Կարելի է ենթադրել, որ ձևը դրական է որոշակի, բայց արդյո՞ք դա իսկապես այդպես է: Իսկ եթե կան արժեքներ, որոնց դեպքում այն ​​զրոյից փոքր է:

Կա մի թեորեմաԵթե ​​ԲՈԼՈՐԸ սեփական արժեքներՔառակուսային ձևի մատրիցները դրական են * , ուրեմն դրական որոշակի է։ Եթե ​​բոլորը բացասական են, ապա բացասական:

* Տեսականորեն ապացուցված է, որ իրական սիմետրիկ մատրիցայի բոլոր սեփական արժեքները վավեր

Գրենք վերը նշված ձևի մատրիցը.
և հավասարից եկեք գտնենք նրան սեփական արժեքներ:

Եկեք լուծենք լավ հինը քառակուսի հավասարում:

, որը նշանակում է ձևը սահմանվում է դրական, այսինքն. ցանկացած ոչ զրոյական արժեքի համար այն մեծ է զրոյից:

Դիտարկված մեթոդը կարծես թե աշխատում է, բայց կա մեկ մեծ ԲԱՅՑ. Արդեն երեքից երեք մատրիցայի համար պատշաճ թվեր փնտրելը երկար և տհաճ խնդիր է. մեծ հավանականությամբ կստանաք 3-րդ աստիճանի բազմանդամ՝ իռացիոնալ արմատներով։

Ի՞նչ անեմ։ Կա ավելի հեշտ ճանապարհ!

Սիլվեստրի չափանիշ

Չէ, ոչ Սիլվեստր Ստալոնե :) Նախ հիշեցնեմ, թե դա ինչ է անկյունային անչափահասներմատրիցներ. Սա որակավորումներ որոնք «աճում» են նրա վերին ձախ անկյունից.

իսկ վերջինը ճիշտ հավասար է մատրիցայի որոշիչին։

Հիմա, փաստորեն, չափանիշ:

1) սահմանվում է քառակուսի ձև դրականորենեթե և միայն, եթե նրա ԲՈԼՈՐ անկյունային փոքրերը մեծ են զրոյից.

2) սահմանվում է քառակուսի ձև բացասականեթե և միայն, եթե նրա անկյունային փոքրերը փոխարինվում են նշանով, իսկ 1-ին փոքրը զրոյից փոքր է. , , եթե – զույգ կամ , եթե – կենտ:

Եթե ​​առնվազն մեկ անկյունային մինոր է հակառակ նշանի, ապա ձևը փոփոխական նշան. Եթե ​​անկյունային անչափահասները «ճիշտ» նշանի են, բայց դրանց մեջ կան զրոներ, ապա սա հատուկ դեպք է, որը ես կքննարկեմ մի փոքր ավելի ուշ՝ ավելի տարածված օրինակներ նայելուց հետո։

Եկեք վերլուծենք մատրիցայի անկյունային մինորները :

Եվ սա անմիջապես մեզ ասում է, որ ձևը բացասաբար չի սահմանվում:

ԵզրակացությունԲոլոր անկյունային փոքրերը զրոյից մեծ են, ինչը նշանակում է ձևը սահմանվում է դրական.

Մեթոդի հետ տարբերություն կա սեփական արժեքներ? ;)

Եկեք գրենք ձևի մատրիցը Օրինակ 1:

առաջինը նրա անկյունային մինորն է, իսկ երկրորդը , որից հետևում է, որ ձևը նշանով փոփոխական է, այսինքն. կախված արժեքներից, այն կարող է ընդունել և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ: Սակայն սա արդեն ակնհայտ է։

Վերցնենք ձևը և դրա մատրիցը Օրինակ 2:

Սա առանց խորաթափանցության պարզելու միջոց չկա: Բայց Սիլվեստրի չափանիշով մեզ չի հետաքրքրում.
, հետևաբար ձևը հաստատ բացասական չէ։

, և հաստատ ոչ դրական (քանի որ բոլոր անկյունային անչափահասները պետք է դրական լինեն).

ԵզրակացությունՁևը փոփոխական է:

Տաքացման օրինակներ համար անկախ որոշում:

Օրինակ 4

Հետազոտեք քառակուսի ձևերը նշանի որոշակիության համար

Ա)

Այս օրինակներում ամեն ինչ հարթ է (տե՛ս դասի վերջը), բայց իրականում նման առաջադրանքն ավարտելու համար Սիլվեստրի չափանիշը կարող է բավարար չլինել.

Բանն այն է, որ կան «եզրային» դեպքեր, մասնավորապես՝ եթե այդպիսիք կան ոչ զրոյականվեկտոր, ապա որոշվում է ձևը ոչ բացասական, եթե – ապա բացասական. Այս ձևերն ունեն ոչ զրոյականվեկտորներ, որոնց համար.

Այստեղ կարող եք մեջբերել հետևյալ «ակորդեոնը».

Ընդգծելով կատարյալ քառակուսի, մենք անմիջապես տեսնում ենք ոչ բացասականձևը՝ , և հավասար կոորդինատներով ցանկացած վեկտորի համար հավասար է զրոյի, օրինակ՝ .

«Հայելի» օրինակ բացասականորոշակի ձև.

և ավելի աննշան օրինակ.
– այստեղ ձևը հավասար է զրոյի ցանկացած վեկտորի համար, որտեղ կամայական թիվ է:

Ինչպե՞ս բացահայտել ոչ բացասական կամ ոչ դրական ձևերը:

Դրա համար մեզ անհրաժեշտ է հայեցակարգը խոշոր անչափահասներ մատրիցներ. Հիմնական մինորը մինորն է, որը կազմված է տարրերից, որոնք կանգնած են նույն թվերով տողերի և սյունակների հատման կետում: Այսպիսով, մատրիցն ունի 1-ին կարգի երկու հիմնական մինոր.
(տարրը գտնվում է 1-ին շարքի և 1-ին սյունակի խաչմերուկում);
(տարրը գտնվում է 2-րդ շարքի և 2-րդ սյունակի խաչմերուկում),

և 2-րդ կարգի մեկ հիմնական մինոր.
- կազմված է 1-ին, 2-րդ շարքի և 1-ին, 2-րդ սյունակի տարրերից:

Մատրիցը «երեքը երեքով» է Կան յոթ հիմնական անչափահասներ, և այստեղ դուք պետք է ծալեք ձեր երկգլուխ մկանները.
- 1-ին կարգի երեք անչափահաս,
երեք 2-րդ կարգի անչափահասներ.
- կազմված է 1-ին, 2-րդ շարքի և 1-ին, 2-րդ սյունակի տարրերից.
- կազմված է 1-ին, 3-րդ շարքի և 1-ին, 3-րդ սյունակի տարրերից.
- կազմված է 2-րդ, 3-րդ շարքի և 2-րդ, 3-րդ սյունակի տարրերից,
և մեկ 3-րդ կարգի անչափահաս.
- կազմված է 1-ին, 2-րդ, 3-րդ շարքի և 1-ին, 2-րդ և 3-րդ սյունակի տարրերից:
Զորավարժություններհասկանալու համար գրեք մատրիցայի բոլոր հիմնական փոքրերը .
Դասի վերջում ստուգում ենք և շարունակում։

Շվարցենեգերի չափանիշը:

1) Սահմանված է ոչ զրոյական* քառակուսի ձև ոչ բացասականեթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա ԲՈԼՈՐ հիմնական անչափահասները ոչ բացասական(զրոյից մեծ կամ հավասար):

* Զրո (դեգեներատ) քառակուսի ձևը բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի.

2) Սահմանվում է մատրիցով ոչ զրոյական քառակուսի ձև բացասականեթե և միայն, եթե.
- 1-ին կարգի խոշոր անչափահասներ ոչ դրական(զրոյից փոքր կամ հավասար);
– 2-րդ կարգի խոշոր անչափահասներ ոչ բացասական;
– 3-րդ կարգի խոշոր անչափահասներ ոչ դրական(սկսվեց փոփոխությունը);
…
– երրորդ կարգի մայոր ոչ դրական, եթե – կենտ կամ ոչ բացասական, եթե – նույնիսկ.

Եթե ​​առնվազն մեկ անչափահաս է հակառակ նշանի, ապա ձևը փոխարինող է:

Տեսնենք, թե ինչպես է գործում չափանիշը վերը նշված օրինակներում.

Եկեք ստեղծենք ձևի մատրիցա և առաջին հերթինԵկեք հաշվարկենք անկյունային անչափահասները, իսկ եթե այն սահմանվում է դրական կամ բացասական:

Ստացված արժեքները չեն բավարարում Sylvester չափանիշին, այլ երկրորդ փոքրին ոչ բացասական, և դա ստիպում է ստուգել 2-րդ չափանիշը (2-րդ չափանիշի դեպքում ինքնաբերաբար չի կատարվի, այսինքն՝ անմիջապես եզրակացություն է արվում ձևի նշանի փոփոխության մասին).

1-ին կարգի հիմնական անչափահասները.
- դրական,
2-րդ կարգի մայոր.
- ոչ բացասական:

Այսպիսով, ԲՈԼՈՐ հիմնական անչափահասները բացասական չեն, ինչը նշանակում է ձևը ոչ բացասական.

Գրենք ձևի մատրիցը , որի համար Սիլվեստրի չափանիշն ակնհայտորեն չի բավարարվում։ Բայց մենք նույնպես հակառակ նշաններ չենք ստացել (քանի որ երկու անկյունային անչափահասները հավասար են զրոյի): Ուստի մենք ստուգում ենք ոչ բացասական/ոչ դրական չափանիշի կատարումը։ 1-ին կարգի հիմնական անչափահասները.
- ոչ դրական,
2-րդ կարգի մայոր.
- ոչ բացասական:

Այսպիսով, ըստ Շվարցենեգերի չափանիշի (կետ 2), ձևը ոչ դրական է սահմանված:

Հիմա եկեք ավելի սերտ նայենք ավելի հետաքրքիր խնդրին.

Օրինակ 5

Քննեք քառակուսի ձևը նշանի որոշակիության համար

Այս ձևը զարդարված է «ալֆա» կարգով, որը կարող է հավասար լինել ցանկացած իրական թվի: Բայց դա միայն ավելի զվարճալի կլինի մենք որոշում ենք.

Նախ, եկեք գրենք ձևի մատրիցը, հավանաբար, շատերն արդեն սովորել են դա անել բանավոր հիմնական անկյունագիծՄենք դնում ենք քառակուսիների գործակիցները, իսկ սիմետրիկ տեղերում դնում ենք համապատասխան «խառը» արտադրյալների գործակիցների կեսը.

Եկեք հաշվարկենք անկյունային փոքրերը.

Ես կընդլայնեմ երրորդ որոշիչը 3-րդ տողում.

Քառակուսային ձևի հայեցակարգը. Քառակուսային ձևի մատրիցա. Քառակուսի ձևի կանոնական ձև. Լագրանժի մեթոդ. Քառակուսի ձևի նորմալ տեսք: Քառակուսային ձևի աստիճան, ինդեքս և ստորագրություն: Դրական որոշակի քառակուսի ձև: Քվադրիկներ.

Քառակուսային ձևի հայեցակարգ.ֆունկցիա վեկտորային տարածության վրա, որը սահմանվում է վեկտորի կոորդինատներում երկրորդ աստիճանի միատարր բազմանդամով։

Քառակուսի ձև ից nանհայտ կոչվում է գումար, որի յուրաքանչյուր անդամ կամ այս անհայտներից մեկի քառակուսին է, կամ երկու տարբեր անհայտների արտադրյալ:

Քառակուսի մատրիցա.Մատրիցը կոչվում է տրված հիմունքներով քառակուսի ձևի մատրիցա: Եթե ​​դաշտի բնութագիրը հավասար չէ 2-ի, ապա կարող ենք ենթադրել, որ քառակուսի ձևի մատրիցը սիմետրիկ է, այսինքն.

Գրեք քառակուսի ձևի մատրիցա.

Հետևաբար,

Վեկտորային մատրիցային ձևով քառակուսի ձևը հետևյալն է.

Ա, որտեղ

Քառակուսի ձևի կանոնական ձև.Քառակուսի ձևը կոչվում է կանոնական, եթե բոլորը այսինքն.

Ցանկացած քառակուսի ձև կարող է վերածվել կանոնական ձևի՝ օգտագործելով գծային փոխակերպումներ։ Գործնականում սովորաբար օգտագործվում են հետևյալ մեթոդները.

Լագրանժի մեթոդ : ամբողջական քառակուսիների հաջորդական ընտրություն. Օրինակ, եթե

Այնուհետև նմանատիպ ընթացակարգ է կատարվում քառակուսի ձևով և այլն։ Եթե քառակուսի ձևով ամեն ինչ բայց է այնուհետև նախնական վերափոխումից հետո գործն անցնում է դիտարկվող ընթացակարգին: Այսպիսով, եթե, օրինակ, ապա մենք ենթադրում ենք

Քառակուսի ձևի նորմալ ձև.Նորմալ քառակուսի ձևը կանոնական քառակուսի ձև է, որտեղ բոլոր գործակիցները հավասար են +1 կամ -1:

Քառակուսային ձևի աստիճան, ինդեքս և ստորագրություն.Քառակուսային ձևի աստիճան Ակոչվում է մատրիցայի աստիճան Ա. Քառակուսային ձևի աստիճանը չի փոխվում անհայտների ոչ այլասերված փոխակերպումների դեպքում:

Բացասական գործակիցների թիվը կոչվում է բացասական ձևի ինդեքս։

Կանոնական ձևով դրական անդամների թիվը կոչվում է քառակուսի ձևի իներցիայի դրական ինդեքս, բացասական անդամների թիվը՝ բացասական ինդեքս։ Դրական և բացասական ինդեքսների տարբերությունը կոչվում է քառակուսի ձևի ստորագրություն

Դրական որոշակի քառակուսի ձև.Իրական քառակուսի ձև կոչվում է դրական որոշակի (բացասական որոշակի), եթե փոփոխականների ցանկացած իրական արժեքների համար, որոնք միաժամանակ զրո չեն,

. (36)

Այս դեպքում մատրիցը կոչվում է նաև դրական որոշակի (բացասական որոշակի):

Դրական որոշիչ (բացասական որոշիչ) ձևերի դասը մտնում է ոչ բացասական (resp. ոչ դրական) ձևերի դասի մեջ։

Quadrics:Քառակուսի - n- ծավալային հիպերմակերեսը ներս n+1-չափ տարածություն, որը սահմանվում է որպես երկրորդ աստիճանի բազմանդամի զրոների բազմություն։ Եթե ​​մուտքագրեք կոորդինատները ( x 1 , x 2 , x n+1) (էվկլիդյան կամ աֆինական տարածության մեջ), քառյակի ընդհանուր հավասարումը հետևյալն է.

Այս հավասարումը կարելի է ավելի կոմպակտ կերպով վերաշարադրել մատրիցային նշումով.

որտեղ x = ( x 1 , x 2 , x n+1) - տողի վեկտոր, x T-ն փոխադրված վեկտոր է, Ք- չափի մատրիցա ( n+1)×( n+1) (ենթադրվում է, որ դրա տարրերից առնվազն մեկը զրոյական չէ), Պշարքի վեկտոր է, և Ռ- մշտական. Առավել հաճախ դիտարկվում են իրական կամ բարդ թվերի նկատմամբ քառակուսիները: Սահմանումը կարող է տարածվել նախագծային տարածության քառակուսիների վրա, տես ստորև:

Ավելի ընդհանուր առմամբ, բազմանդամ հավասարումների համակարգի զրոների բազմությունը հայտնի է որպես հանրահաշվական բազմազանություն։ Այսպիսով, քառյակը երկրորդ աստիճանի (աֆին կամ պրոյեկտիվ) հանրահաշվական բազմազանություն է և 1 կոդիման:

Հարթության և տարածության փոխակերպումներ.

Ինքնաթիռի փոխակերպման սահմանում. Շարժման հայտնաբերում. շարժման հատկությունները. Երկու տեսակի շարժումներ՝ առաջին տեսակի շարժում և երկրորդ տեսակի շարժում։ Շարժումների օրինակներ. Շարժման վերլուծական արտահայտություն. Հարթության շարժումների դասակարգում (կախված ֆիքսված կետերի և անփոփոխ գծերի առկայությունից): Ինքնաթիռի շարժումների խումբ.

Հարթության փոխակերպման սահմանում. Սահմանում.Հարթության փոխակերպումը, որը պահպանում է կետերի միջև հեռավորությունը, կոչվում է շարժումինքնաթիռի (կամ շարժումը): Հարթության փոխակերպումը կոչվում է աֆին, եթե նույն ուղիղի վրա ընկած ցանկացած երեք կետերը վերածում է երեք կետերի, որոնք նույնպես գտնվում են նույն ուղիղի վրա և միևնույն ժամանակ պահպանելով երեք կետերի պարզ կապը։

Շարժման սահմանում.Սրանք ձևի փոխակերպումներ են, որոնք պահպանում են կետերի միջև եղած հեռավորությունները: Եթե ​​երկու ֆիգուրները շարժման միջոցով ճշգրտորեն հավասարեցված են միմյանց, ապա այդ թվերը նույնն են, հավասար:

Շարժման հատկություններ.Ինքնաթիռի կողմնորոշումը պահպանող յուրաքանչյուր շարժում կամ զուգահեռ թարգմանություն է, կամ հարթության պտտում, որը կամ առանցքային սիմետրիա է կամ սահող: Շարժվելիս ուղիղ գծի վրա ընկած կետերը վերածվում են ուղիղ գծի վրա ընկած կետերի, և դրանց կարգը պահպանվում է հարաբերական դիրք. Շարժվելիս պահպանվում են կիսագծերի միջև եղած անկյունները։

Երկու տեսակի շարժումներ՝ առաջին տեսակի շարժում և երկրորդ տեսակի շարժում.Առաջին տեսակի շարժումներն այն շարժումներն են, որոնք պահպանում են որոշակի գործչի հիմքերի կողմնորոշումը։ Դրանք կարող են իրականացվել շարունակական շարժումներով։

Երկրորդ տեսակի շարժումներն այն շարժումներն են, որոնք փոխում են հիմքերի կողմնորոշումը դեպի հակառակը: Դրանք չեն կարող իրականացվել շարունակական շարժումներով։

Առաջին տիպի շարժումների օրինակներն են ուղիղ գծի շուրջ փոխադրումը և պտույտը, իսկ երկրորդ տեսակի շարժումները կենտրոնական և հայելային համաչափություններ են:

Առաջին տեսակի ցանկացած շարժումների կազմը առաջին տեսակի շարժում է:

Երկրորդ տեսակի զույգ թվով շարժումների կազմը 1-ին տեսակի շարժում է, իսկ 2-րդ տեսակի կենտ թվով շարժումների կազմը 2-րդ տեսակի շարժում է:

Շարժումների օրինակներ.Զուգահեռ փոխանցում. Թող a լինի տրված վեկտորը: Զուգահեռ փոխանցումը a վեկտորին հարթության քարտեզագրումն է իր վրա, որում M յուրաքանչյուր կետ քարտեզագրվում է M 1 կետին, այնպես որ MM 1 վեկտորը հավասար է a վեկտորին:

Զուգահեռ թարգմանությունը շարժում է, քանի որ այն հարթության քարտեզագրումն է իր վրա՝ պահպանելով հեռավորությունները: Այս շարժումը տեսողականորեն կարող է ներկայացվել որպես ամբողջ հարթության տեղաշարժ տվյալ վեկտորի a ուղղությամբ իր երկարությամբ:

Պտտել.Նշանակենք O կետը հարթության վրա ( շրջադարձային կենտրոն) և սահմանեք α անկյունը ( ռոտացիայի անկյուն) Օ կետի շուրջ հարթության պտույտը α անկյան տակ հարթության քարտեզագրումն է իր վրա, որում M յուրաքանչյուր կետ գծագրվում է M 1 կետին, այնպես, որ OM = OM 1, իսկ MOM 1 անկյունը հավասար է α-ի: Այս դեպքում O կետը մնում է իր տեղում, այսինքն՝ այն քարտեզագրվում է իր վրա, իսկ մյուս բոլոր կետերը պտտվում են O կետի շուրջը նույն ուղղությամբ՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ կամ հակառակ ուղղությամբ (նկարը ցույց է տալիս ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտույտ):

Պտտումը շարժում է, քանի որ այն ներկայացնում է ինքնաթիռի քարտեզագրում իր վրա, որտեղ պահպանվում են հեռավորությունները:

Շարժման վերլուծական արտահայտություն.Նախապատկերի և կետի պատկերի կոորդինատների վերլուծական կապն ունի (1) ձևը։

Հարթության շարժումների դասակարգում (կախված ֆիքսված կետերի և անփոփոխ գծերի առկայությունից). Սահմանում.

Հարթության վրա կետը անփոփոխ է (ֆիքսված), եթե տրված փոխակերպման դեպքում այն ​​վերածվում է ինքն իրեն:

Օրինակ. Կենտրոնական համաչափությամբ համաչափության կենտրոնի կետը անփոփոխ է: Պտտվելիս պտտման կենտրոնի կետը անփոփոխ է։ Առանցքային համաչափությամբ անփոփոխ գիծը ուղիղ գիծ է - համաչափության առանցքը անփոփոխ կետերի ուղիղ գիծ է:

Թեորեմ. Եթե շարժումը չունի մեկ անփոփոխ կետ, ապա այն ունի առնվազն մեկ անփոփոխ ուղղություն:

Օրինակ՝ զուգահեռ փոխանցում: Իրոք, այս ուղղությանը զուգահեռ ուղիղ գծերը որպես ամբողջություն անփոփոխ են, թեև այն բաղկացած չէ անփոփոխ կետերից:

Թեորեմ. Եթե ճառագայթը շարժվում է, ճառագայթը վերածվում է իր մեջ, ապա այս շարժումը կամ նույնական փոխակերպում է կամ համաչափություն տվյալ ճառագայթ պարունակող ուղիղ գծի նկատմամբ:

Ուստի, ելնելով անփոփոխ կետերի կամ թվերի առկայությունից, հնարավոր է դասակարգել շարժումները։

Շարժման անվանումը	Անփոփոխ կետեր	Անփոփոխ գծեր
Առաջին տեսակի շարժում.
1. - հերթափոխ	(կենտրոն) - 0	Ոչ
2. Ինքնության փոխակերպում	ինքնաթիռի բոլոր կետերը	բոլորը ուղիղ
3. Կենտրոնական համաչափություն	կետ 0 - կենտրոն	0 կետով անցնող բոլոր տողերը
4. Զուգահեռ փոխանցում	Ոչ	բոլորը ուղիղ
Երկրորդ տեսակի շարժում.
5. Սռնու համաչափություն.	միավորների հավաքածու	համաչափության առանցք (ուղիղ) բոլոր ուղիղները

Ինքնաթիռի շարժման խումբ.Երկրաչափության մեջ կարևոր դերխաղում են ինքնակազմակերպվող ֆիգուրների խմբեր: Եթե ​​հարթության վրա (կամ տարածության մեջ) որոշակի կերպար է, ապա մենք կարող ենք դիտարկել հարթության (կամ տարածության) բոլոր այն շարժումների բազմությունը, որոնց ընթացքում պատկերը վերածվում է ինքն իրեն:

Այս հավաքածուն խմբակային է։ Օրինակ, հավասարակողմ եռանկյունու համար հարթության շարժումների խումբը, որը եռանկյունին վերածում է իր մեջ, բաղկացած է 6 տարրից՝ պտույտներ անկյունների միջով կետի շուրջ և համաչափություններ երեք ուղիղների շուրջ։

Դրանք ներկայացված են Նկ. 1 կարմիր գիծ. Կանոնավոր եռանկյան ինքնահաստատման խմբի տարրերը կարելի է տարբեր կերպ նշել։ Դա բացատրելու համար կանոնավոր եռանկյան գագաթները համարակալենք 1, 2, 3 թվերով: Եռանկյան ցանկացած ինքնահաստատում 1, 2, 3 կետերը տանում է նույն կետերին, բայց վերցված այլ հերթականությամբ, այսինքն. կարելի է պայմանականորեն գրել հետևյալ փակագծերից մեկի ձևով.

և այլն:

որտեղ 1, 2, 3 թվերը ցույց են տալիս այն գագաթների թվերը, որոնց մեջ մտնում են 1, 2, 3 գագաթները դիտարկվող շարժման արդյունքում։

Պրոյեկտիվ տարածությունները և դրանց մոդելները.

Պրոյեկտիվ տարածության հայեցակարգը և պրոյեկտիվ տարածության մոդելը: Պրոյեկտիվ երկրաչափության հիմնական փաստերը. O կետում կենտրոնացած գծերի մի փունջ պրոյեկտիվ հարթության մոդել է: Պրոյեկտիվ կետեր. Ընդլայնված հարթությունը պրոեկտիվ հարթության մոդելն է։ Ընդլայնված եռաչափ աֆին կամ էվկլիդյան տարածությունը պրոյեկտիվ տարածության մոդել է։ Հարթ և տարածական ֆիգուրների պատկերներ զուգահեռ ձևավորման մեջ:

Պրոյեկտիվ տարածության հայեցակարգը և պրոյեկտիվ տարածության մոդելը.

Պրոյեկտիվ տարածությունը դաշտի վրա դա տարածություն է, որը բաղկացած է տվյալ դաշտի վրա որոշ գծային տարածության գծերից (միաչափ ենթատարածություններից): Ուղղակի տարածությունները կոչվում են կետերպրոյեկտիվ տարածություն. Այս սահմանումը կարելի է ընդհանրացնել կամայական մարմնին

Եթե ​​այն ունի չափում, ապա պրոյեկտիվ տարածության չափը կոչվում է թիվ, իսկ պրոյեկտիվ տարածությունն ինքնին նշվում և կոչվում է կապված (դա ցույց տալու համար ընդունվում է նշումը):

Չափման վեկտորային տարածությունից դեպի համապատասխան պրոյեկտիվ տարածություն կոչվում է անցում պրոյեկտիվացումտարածություն.

Կետերը կարելի է նկարագրել միատարր կոորդինատների միջոցով:

Պրոյեկտիվ երկրաչափության հիմնական փաստերը.Պրոյեկտիվ երկրաչափությունը երկրաչափության ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է պրոյեկտիվ հարթություններն ու տարածությունները։ Հիմնական առանձնահատկությունըՊրոյեկտիվ երկրաչափությունը հիմնված է երկակիության սկզբունքի վրա, որը նրբագեղ համաչափություն է հաղորդում բազմաթիվ դիզայնի: Պրոյեկտիվ երկրաչափությունը կարելի է ուսումնասիրել և՛ զուտ երկրաչափական, և՛ վերլուծական (միատարր կոորդինատների օգտագործմամբ) և սալգեբրային տեսանկյունից՝ նախագծային հարթությունը դիտարկելով որպես դաշտի վրա գտնվող կառուցվածք։ Հաճախ և պատմականորեն իրական պրոյեկտիվ հարթությունը համարվում է Էվկլիդյան հարթությունը՝ «գիծ անսահմանության մեջ» հավելումով։

Մինչդեռ այն պատկերների հատկությունները, որոնց հետ առնչվում է Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը մետրիկ(անկյունների, հատվածների, տարածքների հատուկ արժեքները), և թվերի համարժեքությունը համարժեք է դրանց համընկնում(այսինքն, երբ թվերը կարող են փոխակերպվել միմյանց շարժման միջոցով՝ պահպանելով մետրային հատկությունները), կան ավելի շատ «խորը ընկած» հատկություններ երկրաչափական ձևեր, որոնք պահպանվում են ավելի քան փոխակերպումների ժամանակ ընդհանուր տեսակքան շարժումը։ Պրոյեկտիվ երկրաչափությունը ուսումնասիրում է թվերի հատկությունները, որոնք դասի տակ անփոփոխ են պրոյեկտիվ փոխակերպումներ, ինչպես նաև հենց այս փոխակերպումները։

Պրոյեկտիվ երկրաչափությունը լրացնում է Էվկլիդեսը՝ ապահովելով գեղեցիկ և պարզ լուծումներզուգահեռ գծերի առկայությամբ բարդացած բազմաթիվ խնդիրների համար: Հատկապես պարզ և էլեգանտ է կոնի հատվածների պրոյեկտիվ տեսությունը։

Պրոյեկտիվ երկրաչափության երեք հիմնական մոտեցում կա՝ անկախ աքսիոմատիզացիա, էվկլիդեսյան երկրաչափության լրացում և դաշտի վրա կառուցվածք։

Աքսիոմատիզացիա

Պրոյեկտիվ տարածությունը կարելի է սահմանել՝ օգտագործելով աքսիոմների տարբեր հավաքածու։

Coxeter-ը տրամադրում է հետևյալը.

1. Կա ուղիղ գիծ, ​​և դրա վրա չկա կետ:

2. Յուրաքանչյուր տող ունի առնվազն երեք կետ:

3. Երկու կետով կարելի է գծել ուղիղ մեկ ուղիղ գիծ։

4. Եթե Ա, Բ, Գ, Եվ Դ- տարբեր կետեր և ԱԲԵվ CDհատվում են, ուրեմն A.C.Եվ ԲԴհատել.

5. Եթե ABCինքնաթիռ է, ուրեմն ինքնաթիռում գոնե մեկ կետ կա ABC.

6. Երկու տարբեր հարթություններ հատում են առնվազն երկու կետ:

7. Ամբողջական քառանկյան երեք անկյունագծային կետերը համագիծ չեն:

8. Եթե երեք կետ գտնվում է գծի վրա X X

Պրոյեկտիվ հարթությունը (առանց երրորդ հարթության) որոշվում է մի փոքր տարբեր աքսիոմներով.

1. Երկու կետերի միջով կարող եք ուղիղ մեկ ուղիղ գիծ գծել։

2. Ցանկացած երկու ուղիղ հատվում են:

3. Կան չորս կետեր, որոնցից երեքը համագիծ չեն:

4. Ամբողջական քառանկյունների երեք անկյունագծային կետերը համագիծ չեն:

5. Եթե երեք կետ մի գծի վրա է Xանփոփոխ են φ-ի պրոյեկտիվության նկատմամբ, այնուհետև բոլոր կետերը Xանփոփոխ՝ φ-ի նկատմամբ։

6. Դեզարգի թեորեմ. Եթե երկու եռանկյունները հեռանկարային են մի կետի միջով, ապա դրանք ուղիղ են:

Երրորդ չափման առկայության դեպքում Դեզարգի թեորեմը կարող է ապացուցվել առանց իդեալական կետի և ուղիղի ներմուծման։

Ընդլայնված ինքնաթիռ - նախագծային ինքնաթիռի մոդել. A3 աֆինային տարածությունում վերցնում ենք S(O) ուղիղների մի կապ, որի կենտրոնը գտնվում է O կետում և հարթություն Π, որը չի անցնում փաթեթի կենտրոնով. O 6∈ Π: Աֆինային տարածության մեջ գծերի փաթեթը պրոեկտիվ հարթության մոդել է: Եկեք սահմանենք Պ հարթության կետերի բազմության քարտեզագրումը միացնող S-ի ուղիղ գծերի վրա (ֆաք, աղոթեք, եթե ստացել եք այս հարցը, ներիր ինձ)

Ընդլայնված եռաչափ աֆին կամ էվկլիդյան տարածություն՝ պրոյեկտիվ տարածության մոդել.

Քարտեզագրման ուրվագիծը դարձնելու համար մենք կրկնում ենք Պ աֆին հարթությունը պաշտոնապես երկարացնելու գործընթացը դեպի պրոյեկտիվ հարթություն, Π՝ լրացնելով Π հարթությունը ոչ պատշաճ կետերով (M∞) այնպես, որ՝ ((M∞)) = P0 (O). Քանի որ քարտեզում S(O) հարթությունների փաթեթի յուրաքանչյուր հարթության հակադարձ պատկերը ուղիղ է d հարթության վրա, ակնհայտ է, որ ընդլայնված հարթության բոլոր ոչ պատշաճ կետերի բազմությունը. Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), ներկայացնում է ընդլայնված հարթության ոչ պատշաճ d∞ ուղիղ, որը Պ0 եզակի հարթության հակադարձ պատկերն է՝ (d∞) = P0(O) (= Π0): (I.23) Համաձայնենք, որ այստեղ և այսուհետ մենք կհասկանանք P0(O) = Π0 վերջին հավասարությունը միավորների բազմությունների հավասարության իմաստով, բայց օժտված այլ կառուցվածքով։ Աֆինային հարթությունը ոչ պատշաճ գծով լրացնելով, մենք համոզվեցինք, որ քարտեզագրումը (I.21) դարձավ բիեկտիվ ընդլայնված հարթության բոլոր կետերի վրա.

Հարթ և տարածական ֆիգուրների պատկերներ զուգահեռ ձևավորման ժամանակ.

Ստերեոմետրիայում ուսումնասիրվում են տարածական պատկերները, սակայն գծագրում դրանք պատկերված են հարթ ֆիգուրների տեսքով։ Ինչպե՞ս պետք է տիեզերական պատկերը պատկերվի հարթության վրա: Սովորաբար երկրաչափության մեջ դրա համար օգտագործվում է զուգահեռ ձևավորում: Թող p լինի ինչ-որ հարթություն, լ- այն հատող ուղիղ գիծ (նկ. 1): կամայական կետի միջոցով Ա, գծին չպատկանող լ, գծեք գծին զուգահեռ գիծ լ. Այս ուղիղի հատման կետը p հարթության հետ կոչվում է կետի զուգահեռ պրոյեկցիա Ադեպի p հարթություն ուղիղ գծի ուղղությամբ լ. Նշանակենք Ա«Եթե կետը Ապատկանում է գծին լ, ապա զուգահեռ պրոյեկցիայի միջոցով Ագծի հատման կետը համարվում է p հարթության վրա լինքնաթիռով p.

Այսպիսով, յուրաքանչյուր կետ Ատարածությունը համեմատվում է դրա պրոյեկցիան Ա«p հարթության վրա: Այս համապատասխանությունը կոչվում է զուգահեռ պրոյեկցիա p հարթության վրա ուղիղ գծի ուղղությամբ: լ.

Պրոյեկտիվ փոխակերպումների խումբ. Դիմում խնդիրների լուծման համար.

Ինքնաթիռի պրոյեկտիվ փոխակերպման հայեցակարգը. Ինքնաթիռի պրոյեկտիվ փոխակերպումների օրինակներ. Պրոյեկտիվ փոխակերպումների հատկությունները. Հոմոլոգիա, հոմոլոգիայի հատկություններ։ Պրոյեկտիվ փոխակերպումների խումբ.

Ինքնաթիռի պրոյեկտիվ փոխակերպման հայեցակարգը.Պրոյեկտիվ փոխակերպման հայեցակարգը ընդհանրացնում է կենտրոնական պրոյեկցիայի հայեցակարգը: Եթե ​​α հարթության կենտրոնական պրոյեկցիան կատարենք α 1 հարթության վրա, ապա α 1-ի պրոյեկցիան α 2-ի վրա, α 2-ը α 3-ի վրա, ... և վերջապես, α որոշ հարթության վրա: nկրկին α 1-ի վրա, ապա այս բոլոր կանխատեսումների կազմը α հարթության պրոյեկտիվ փոխակերպումն է. Նման շղթայի մեջ կարող են ներառվել նաև զուգահեռ կանխատեսումները։

Պրոյեկտիվ հարթության փոխակերպումների օրինակներ.Ավարտված հարթության պրոյեկտիվ փոխակերպումը նրա մեկ առ մեկ քարտեզագրումն է իր վրա, որտեղ պահպանվում է կետերի համագծայինությունը, կամ, այլ կերպ ասած, ցանկացած գծի պատկերը ուղիղ գիծ է: Ցանկացած պրոյեկտիվ փոխակերպում իրենից ներկայացնում է կենտրոնական և զուգահեռ պրոյեկցիաների շղթայի կազմություն: Աֆինային փոխակերպումը պրոյեկտիվ փոխակերպման հատուկ դեպք է, երբ անսահմանության գիծը վերածվում է ինքն իրեն:

Պրոյեկտիվ փոխակերպումների հատկությունները.

Պրոյեկտիվ փոխակերպման ժամանակ գծի վրա չգտնվող երեք կետերը վերածվում են գծի վրա չգտնվող երեք կետերի:

Պրոյեկտիվ փոխակերպման ժամանակ շրջանակը դառնում է շրջանակ։

Պրոյեկտիվ փոխակերպման ժամանակ գիծը անցնում է ուղիղ գծի, իսկ մատիտը՝ մատիտի։

Հոմոլոգիա, հոմոլոգիայի հատկություններ.

Հարթության պրոեկտիվ փոխակերպումը, որն ունի անփոփոխ կետերի ուղիղ, հետևաբար անփոփոխ գծերի մատիտ, կոչվում է հոմոլոգիա:

1. Չհամընկնող համապատասխան հոմոլոգիայի կետերով անցնող ուղիղը անփոփոխ ուղիղ է.

2. Չհամընկնող համապատասխան հոմոլոգիայի կետերով անցնող գծերը պատկանում են նույն մատիտին, որի կենտրոնը անփոփոխ կետ է։

3. Կետը, նրա պատկերը և հոմոոլոգիայի կենտրոնը նույն ուղիղ գծի վրա են։

Պրոյեկտիվ փոխակերպումների խումբ.Դիտարկենք պրոյեկտիվ հարթության նախագծային քարտեզագրումը իր վրա, այսինքն՝ այս հարթության պրոյեկտիվ փոխակերպումը (P 2 = P 2):

Ինչպես և նախկինում, նախագծային հարթության f 1 և f 2 փոխակերպումների f կազմը f 1 և f 2 փոխակերպումների հաջորդական կատարման արդյունք է՝ f = f 2 °f 1:

Թեորեմ 1. Պրոյեկտիվ հարթության բոլոր պրոյեկտիվ փոխակերպումների H բազմությունը խումբ է պրոյեկտիվ փոխակերպումների կազմի նկատմամբ։