ՀԱՄԱՍԵՆ ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Միատարր գծային հավասարումների համակարգը ձևի համակարգ է

Հասկանալի է, որ այս դեպքում , քանի որ Այս որոշիչներում սյունակներից մեկի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի:

Քանի որ անհայտները գտնվում են ըստ բանաձևերի , ապա այն դեպքում, երբ Δ ≠ 0, համակարգն ունի եզակի զրոյական լուծում x = y = զ= 0. Այնուամենայնիվ, շատ խնդիրներում հետաքրքիր հարցն այն է, թե արդյոք համասեռ համակարգը զրոյից տարբեր լուծումներ ունի:

Թեորեմ.Որպեսզի գծային միատարր հավասարումների համակարգն ունենա ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ է և բավարար, որ Δ ≠ 0:

Այսպիսով, եթե Δ ≠ 0 որոշիչը, ապա համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։ Եթե ​​Δ ≠ 0, ապա գծային միատարր հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։

Օրինակներ.

Մատրիցայի սեփական վեկտորները և սեփական արժեքները

Թող տրվի քառակուսի մատրիցա , X– ինչ-որ մատրից-սյունակ, որի բարձրությունը համընկնում է մատրիցայի կարգի հետ Ա. .

Շատ խնդիրների դեպքում մենք պետք է հաշվի առնենք դրա հավասարումը X

որտեղ λ-ն որոշակի թիվ է: Պարզ է, որ ցանկացած λ-ի համար այս հավասարումն ունի զրոյական լուծում:

λ թիվը, որի համար այս հավասարումը ունի ոչ զրոյական լուծումներ, կոչվում է սեփական արժեքմատրիցներ Ա, Ա Xնման λ-ի համար կոչվում է սեփական վեկտորմատրիցներ Ա.

Գտնենք մատրիցայի սեփական վեկտորը Ա. Քանի որ Ե∙X = X, ապա մատրիցային հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես կամ . Ընդլայնված ձևով այս հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես գծային հավասարումների համակարգ: Իսկապես .

Եվ հետևաբար

Այսպիսով, մենք ստացել ենք միատարր գծային հավասարումների համակարգ կոորդինատները որոշելու համար x 1, x 2, x 3վեկտոր X. Որպեսզի համակարգը ունենա ոչ զրոյական լուծումներ, անհրաժեշտ և բավարար է, որ համակարգի որոշիչը հավասար լինի զրոյի, այսինքն.

Սա λ-ի 3-րդ աստիճանի հավասարումն է: Այն կոչվում է բնորոշ հավասարումմատրիցներ Աև ծառայում է λ-ի սեփական արժեքները որոշելու համար։

Յուրաքանչյուր սեփական արժեք λ համապատասխանում է սեփական վեկտորի X, որոնց կոորդինատները որոշվում են համակարգից λ-ի համապատասխան արժեքով։

Օրինակներ.

ՎԵԿՏՈՐ ՀԱՇՎԻ. ՎԵԿՏՈՐԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

Ֆիզիկայի տարբեր ճյուղեր ուսումնասիրելիս կան մեծություններ, որոնք ամբողջությամբ որոշվում են՝ նշելով դրանց թվային արժեքները, օրինակ՝ երկարությունը, մակերեսը, զանգվածը, ջերմաստիճանը և այլն։ Նման մեծությունները կոչվում են սկալյար։ Սակայն դրանցից բացի կան նաև մեծություններ, որոնք որոշելու համար, բացի թվային արժեքից, անհրաժեշտ է նաև իմանալ դրանց ուղղությունը տարածության մեջ, օրինակ՝ մարմնի վրա ազդող ուժը, արագությունն ու արագացումը. մարմինը, երբ այն շարժվում է տարածության մեջ, լարվածություն մագնիսական դաշտտարածության տվյալ կետում և այլն: Նման մեծությունները կոչվում են վեկտորային մեծություններ։

Ներկայացնենք խիստ սահմանում.

Ուղղորդված հատվածԱնվանենք մի հատված, որի ծայրերի նկատմամբ հայտնի է, թե դրանցից որն է առաջինը, որը՝ երկրորդը։

Վեկտորկոչվում է որոշակի երկարություն ունեցող ուղղորդված հատված, այսինքն. Սա որոշակի երկարության հատված է, որտեղ այն սահմանափակող կետերից մեկն ընդունվում է որպես սկիզբ, իսկ երկրորդը՝ վերջ։ Եթե Ա- վեկտորի սկիզբը, Բդրա վերջն է, ապա վեկտորը նշվում է նաև խորհրդանիշով, վեկտորը հաճախ նշվում է մեկ տառով. Նկարում վեկտորը նշված է հատվածով, իսկ ուղղությունը՝ սլաքով:

Մոդուլկամ երկարությունըՎեկտորը կոչվում է ուղղորդված հատվածի երկարություն, որը սահմանում է այն: Նշվում է || կամ ||.

Որպես վեկտորներ կներառենք նաև այսպես կոչված զրոյական վեկտորը, որի սկիզբն ու վերջը համընկնում են։ Նշանակված է. Զրոյական վեկտորը չունի կոնկրետ ուղղություն, և նրա մոդուլը կա հավասար է զրոյի ||=0.

Վեկտորները կոչվում են համագիծ, եթե դրանք գտնվում են նույն կամ զուգահեռ գծերի վրա։ Ավելին, եթե վեկտորները և նույն ուղղությամբ են, մենք կգրենք, հակառակը:

Նույն հարթությանը զուգահեռ ուղիղ գծերի վրա գտնվող վեկտորները կոչվում են համակողմանի.

Երկու վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե դրանք համագիծ են, ունեն նույն ուղղությունը և հավասար են երկարությամբ։ Այս դեպքում գրում են.

Վեկտորների հավասարության սահմանումից հետևում է, որ վեկտորը կարող է փոխադրվել իրեն զուգահեռ՝ տեղադրելով իր ծագումը տարածության ցանկացած կետում։

Օրինակ.

ԳԾԱՅԻՆ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ՎՐԱ

1. Վեկտորը թվով բազմապատկելը.

   Վեկտորի և λ թվի արտադրյալը այնպիսի նոր վեկտոր է, որը.

   Վեկտորի և λ թվի արտադրյալը նշանակվում է .

   

   Օրինակ՝կա վեկտոր, որն ուղղված է վեկտորի նույն ուղղությամբ և ունի վեկտորի երկարության կեսը:

   Ներկայացված օպերացիան ունի հետևյալը հատկությունները:

2. Վեկտորի ավելացում.

   Թող և լինեն երկու կամայական վեկտորներ: Վերցնենք կամայական կետ Օև կառուցել վեկտոր: Դրանից հետո կետից Ամի կողմ դնենք վեկտորը. Առաջին վեկտորի սկիզբը երկրորդի վերջի հետ կապող վեկտորը կոչվում է գումարըայս վեկտորներից և նշվում է .

   

   Վեկտորի ավելացման ձևակերպված սահմանումը կոչվում է զուգահեռագծի կանոն, քանի որ վեկտորների նույն գումարը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ. Կետից հետաձգենք Օվեկտորները և. Այս վեկտորների վրա կառուցենք զուգահեռագիծ OABC. Քանի որ վեկտորները, ապա վեկտորը, որը գագաթից գծված զուգահեռագծի անկյունագիծն է Օ, ակնհայտորեն կլինի վեկտորների գումար:

   

   Հեշտ է ստուգել հետևյալը վեկտորի ավելացման հատկությունները.

3. Վեկտորային տարբերություն.

   Կոչվում է տրված վեկտորի համագիծ վեկտորը, որը հավասար է երկարությամբ և հակառակ ուղղությամբ հակառակըվեկտորը վեկտորի համար և նշանակվում է . Հակառակ վեկտորը կարելի է համարել որպես վեկտորը λ = –1 թվով բազմապատկելու արդյունք:

«Առաջին մասը սահմանում է այն դրույթները, որոնք նվազագույն անհրաժեշտ են քիմիաչափությունը հասկանալու համար, իսկ երկրորդ մասը պարունակում է փաստեր, որոնք դուք պետք է իմանաք բազմաչափ վերլուծության մեթոդները ավելի խորը հասկանալու համար: Ներկայացումը պատկերված է Excel-ի աշխատանքային գրքում արված օրինակներով: Matrix.xls, որն ուղեկցում է այս փաստաթղթին։

Օրինակների հղումները տեղադրվում են տեքստում որպես Excel օբյեկտներ: Այս օրինակները իրենց բնույթով վերացական են, դրանք ոչ մի կերպ կապված չեն անալիտիկ քիմիայի խնդիրների հետ։ Քիմիոմետրիկության մեջ մատրիցային հանրահաշվի կիրառման իրական օրինակները քննարկվում են այլ տեքստերում, որոնք ընդգրկում են մի շարք քիմիաչափական կիրառություններ:

Անալիտիկ քիմիայում կատարված չափումների մեծ մասը ուղղակի չեն, բայց անուղղակի. Սա նշանակում է, որ փորձի ժամանակ ցանկալի անալիտի C արժեքի փոխարեն (կոնցենտրացիան) ստացվում է մեկ այլ արժեք. x(ազդանշան), կապված, բայց ոչ հավասար C-ին, այսինքն. x(C) ≠ C. Որպես կանոն, կախվածության տեսակը x(C) անհայտ է, բայց, բարեբախտաբար, անալիտիկ քիմիայում չափումների մեծ մասը համամասնական է: Սա նշանակում է, որ C-ի կոնցենտրացիայի աճով աանգամ, X ազդանշանը կաճի նույն չափով, այսինքն. x(աԳ) = ա x(C). Բացի այդ, ազդանշանները նաև հավելում են, ուստի նմուշից ստացվող ազդանշանը, որում առկա են C 1 և C 2 կոնցենտրացիաներով երկու նյութեր, հավասար կլինի յուրաքանչյուր բաղադրիչի ազդանշանների գումարին, այսինքն. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C 2): Համաչափությունն ու հավելյալությունը միասին տալիս են գծայինություն. Գծայինության սկզբունքը լուսաբանելու համար կարելի է բերել բազմաթիվ օրինակներ, սակայն բավական է նշել երկու ամենավառ օրինակները՝ քրոմատագրությունը և սպեկտրոսկոպիան։ Երկրորդ հատկանիշը, որը բնորոշ է անալիտիկ քիմիայի փորձին բազմալիքային. Ժամանակակից վերլուծական սարքավորումները միաժամանակ չափում են ազդանշանները բազմաթիվ ալիքների համար: Օրինակ, լույսի հաղորդման ինտենսիվությունը չափվում է միանգամից մի քանի ալիքի երկարությունների համար, այսինքն. սպեկտրը։ Ուստի փորձի ժամանակ մենք գործ ունենք բազմաթիվ ազդանշանների հետ x 1 , x 2 ,...., x n, որը բնութագրում է ուսումնասիրվող համակարգում առկա նյութերի C 1 , C 2 , ..., C m կոնցենտրացիաների բազմությունը։

Բրինձ. 1 Սպեկտրա

Այսպիսով, վերլուծական փորձը բնութագրվում է գծայինությամբ և բազմաչափությամբ: Հետևաբար, հարմար է փորձարարական տվյալները դիտարկել որպես վեկտորներ և մատրիցներ և շահարկել դրանք՝ օգտագործելով մատրիցային հանրահաշվի ապարատը։ Այս մոտեցման արդյունավետությունը ցույց է տրված օրինակով, որը ներկայացնում է երեք սպեկտրներ, որոնք վերցված են 200 ալիքի երկարությամբ 4000-ից մինչև 4796 սմ −1: Առաջինը ( x 1) և երկրորդը ( x 2) սպեկտրները ստացվել են ստանդարտ նմուշների համար, որոնցում հայտնի են A և B երկու նյութերի կոնցենտրացիաները՝ առաջին նմուշում [A] = 0,5, [B] = 0,1, իսկ երկրորդ նմուշում [A] = 0,2, [ B] = 0,6: Ինչ կարելի է ասել նոր, անհայտ նմուշի մասին, որի սպեկտրը նշված է x 3 ?

Դիտարկենք երեք փորձարարական սպեկտր x 1 , x 2 և x 3-ը որպես 200 չափման երեք վեկտոր: Օգտագործելով գծային հանրահաշիվը, կարելի է հեշտությամբ ցույց տալ դա x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, ուստի երրորդ նմուշն ակնհայտորեն պարունակում է միայն A և B նյութերը [A] = 0,5×0,1 + 0,2×0,3 = 0,11 և [B] = 0,1×0,1 + 0,6×0,3 = 0,19 կոնցենտրացիաներում:

1. Հիմնական տեղեկություններ

1.1 Մատրիցներ

Մատրիցակոչվում է թվերի ուղղանկյուն աղյուսակ, օրինակ

Բրինձ. 2 Մատրիցա

Մատրիցները նշվում են մեծատառ տառերով ( Ա), և դրանց տարրերը՝ համապատասխան փոքրատառերով ինդեքսներով, այսինքն. ա ij. Առաջին ինդեքսը համարակալում է տողերը, իսկ երկրորդը՝ սյունակները։ Քիմոմետիկայի մեջ ընդունված է ինդեքսի առավելագույն արժեքը նշել նույն տառով, ինչ ինդեքսը, բայց մեծատառերով։ Հետևաբար մատրիցը Ակարելի է գրել նաև որպես ( ա ij , ես = 1,..., Ի; ժ = 1,..., Ջ) Օրինակի մատրիցայի համար Ի = 4, Ջ= 3 և ա 23 = −7.5.

Զույգ թվեր ԻԵվ Ջկոչվում է մատրիցայի չափ և նշվում է որպես Ի× Ջ. Քիմիոմետրիկայի մեջ մատրիցայի օրինակ է ստացված սպեկտրների բազմությունը Ինմուշներ համար Ջալիքի երկարություններ.

1.2. Ամենապարզ գործողությունները մատրիցներով

Մատրիցները կարող են լինել բազմապատկել թվերով. Այս դեպքում յուրաքանչյուր տարր բազմապատկվում է այս թվով: Օրինակ -

Բրինձ. 3 Մատրիցը թվով բազմապատկելը

Նույն հարթության երկու մատրիցա կարող են լինել տարր առ տարր ծալելԵվ հանել. Օրինակ՝

Բրինձ. 4 Մատրիցայի ավելացում

Թվով բազմապատկելու և գումարման արդյունքում ստացվում է նույն չափի մատրիցա։

Զրոյական մատրիցը զրոյից բաղկացած մատրից է: Նշանակված է Օ. Ակնհայտ է, որ Ա+Օ = Ա, Ա−Ա = Օև 0 Ա = Օ.

Մատրիցը կարող է լինել փոխադրել. Այս գործողության ընթացքում մատրիցը շրջվում է, այսինքն. տողերն ու սյունակները փոխանակվում են: Փոխադրումը նշվում է պարզ նշանով, Ա«կամ ինդեքս Ատ. Այսպիսով, եթե Ա = {ա ij , ես = 1,..., Ի; ժ = 1,...,Ջ), դա Ա t = ( ա ջի , ժ = 1,...,Ջ; i = 1,..., Ի) Օրինակ

Բրինձ. 5 Մատրիցային փոխադրում

Ակնհայտ է, որ ( Ատ) տ = Ա, (Ա+Բ) տ = Ա t+ Բտ.

1.3. Մատրիցային բազմապատկում

Մատրիցները կարող են լինել բազմապատկել, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրանք ունենան համապատասխան չափսեր։ Թե ինչու է դա այդպես, պարզ կլինի սահմանումից: Մատրիցային արտադրանք Ա, չափս Ի× Կ, և մատրիցներ Բ, չափս Կ× Ջ, կոչվում է մատրիցա Գ, չափս Ի× Ջ, որի տարրերը թվերն են

Այսպիսով, արտադրանքի համար ԱԲանհրաժեշտ է, որ ձախ մատրիցայի սյունակների քանակը Ահավասար էր աջ մատրիցի տողերի թվին Բ. Մատրիցային արտադրանքի օրինակ -

Նկ.6 Մատրիցների արտադրյալ

Մատրիցային բազմապատկման կանոնը կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ. Մատրիցային տարր գտնելու համար Գ, կանգնած խաչմերուկում ես-րդ գիծը և ժ-րդ սյունակ ( գ ij) պետք է բազմապատկել տարր առ տարր ես- առաջին մատրիցայի-րդ շարքը Ավրա ժերկրորդ մատրիցայի սյունակը Բև ավելացրեք բոլոր արդյունքները: Այսպիսով, ցույց տրված օրինակում երրորդ տողից և երկրորդ սյունակից տարրը ստացվում է որպես երրորդ շարքի տարրական արտադրյալների գումար։ Աև երկրորդ սյունակ Բ

Նկ.7 Մատրիցների արտադրյալի տարր

Մատրիցների արտադրյալը կախված է հերթականությունից, այսինքն. ԱԲ ≠ Բ.Ա., գոնե ծավալային պատճառներով։ Ասում են՝ ոչ փոխադարձ է։ Այնուամենայնիվ, մատրիցների արտադրյալը ասոցիատիվ է: Սա նշանակում է, որ ABC = (ԱԲ)Գ = Ա(Ք.ա.) Բացի այդ, այն նաև բաշխիչ է, այսինքն. Ա(Բ+Գ) = ԱԲ+A.C.. Ակնհայտ է, որ Ա.Օ. = Օ.

1.4. Քառակուսի մատրիցներ

Եթե ​​մատրիցայի սյունակների թիվը հավասար է նրա տողերի թվին ( Ի = J=N), ապա այդպիսի մատրիցը կոչվում է քառակուսի: Այս բաժնում մենք կքննարկենք միայն այդպիսի մատրիցները: Այս մատրիցներից կարելի է առանձնացնել հատուկ հատկություններով մատրիցներ։

Միայնակմատրիցա (նշված է ես,իսկ երբեմն Ե) մատրից է, որտեղ բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, բացառությամբ անկյունագծերի, որոնք հավասար են 1-ի, այսինքն.

Ակնհայտորեն Ա.Ի. = Ի.Ա. = Ա.

Մատրիցը կոչվում է անկյունագծային, եթե նրա բոլոր տարրերը, բացի անկյունագծերից ( ա ii) հավասար են զրոյի: Օրինակ

Բրինձ. 8 Անկյունագծային մատրիցա

Մատրիցա Ակոչվում է գագաթ եռանկյունաձև, եթե նրա բոլոր տարրերը, որոնք ընկած են անկյունագծից ներքև, հավասար են զրոյի, այսինքն. ա ij= 0, ժամը ես>ժ. Օրինակ

Բրինձ. 9 Վերին եռանկյունի մատրիցա

Ստորին եռանկյունի մատրիցը սահմանվում է նույն կերպ:

Մատրիցա Ականչեց սիմետրիկ, Եթե Ա t = Ա. Այլ կերպ ասած ա ij = ա ջի. Օրինակ

Բրինձ. 10 Սիմետրիկ մատրիցա

Մատրիցա Ականչեց ուղղանկյուն, Եթե

Ատ Ա = Ա.Ա. t = Ի.

Մատրիցը կոչվում է նորմալԵթե

1.5. Հետք և որոշիչ

Հաջորդըքառակուսի մատրիցա Ա(նշվում է Tr-ով Ա) կամ Sp( Ա)) նրա անկյունագծային տարրերի գումարն է,

Օրինակ՝

Բրինձ. 11 Մատրիցային հետք

Ակնհայտ է, որ

Sp(α Ա) = α Sp( Ա) Եվ

Sp( Ա+Բ) = Sp( Ա)+ Sp( Բ).

Կարելի է ցույց տալ, որ

Sp( Ա) = Sp( Ա t), Sp ( Ի) = Ն,

և նաև այն

Sp( ԱԲ) = Sp( Բ.Ա.).

Քառակուսի մատրիցայի մեկ այլ կարևոր բնութագիր այն է որոշիչ(նշվում է det ( Ա)): Ընդհանուր դեպքում որոշիչի որոշումը բավականին դժվար է, ուստի մենք կսկսենք ամենապարզ տարբերակից՝ մատրիցով Աչափս (2×2): Հետո

(3×3) մատրիցայի համար որոշիչը հավասար կլինի

Մատրիցայի դեպքում ( Ն× Ն) որոշիչը հաշվարկվում է որպես գումար 1·2·3· ... · Ն= Ն! պայմաններ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է

Ցուցանիշներ կ 1 , կ 2 ,..., կ Նսահմանվում են որպես բոլոր հնարավոր պատվիրված փոխարկումներ rթվեր հավաքածուում (1, 2, ..., Ն) Մատրիցայի որոշիչի հաշվարկը բարդ ընթացակարգ է, որը գործնականում իրականացվում է հատուկ ծրագրերի միջոցով: Օրինակ՝

Բրինձ. 12 Մատրիցային որոշիչ

Նշենք միայն ակնհայտ հատկությունները.

դետ( Ի) = 1, det( Ա) = det( Ատ),

դետ( ԱԲ) = det( Ա)դեթ( Բ).

1.6. Վեկտորներ

Եթե ​​մատրիցը բաղկացած է միայն մեկ սյունակից ( Ջ= 1), ապա կոչվում է այդպիսի օբյեկտ վեկտոր. Ավելի ճիշտ՝ սյունակ վեկտոր։ Օրինակ

Կարելի է նաև դիտարկել, օրինակ, մեկ տողից բաղկացած մատրիցներ

Այս օբյեկտը նույնպես վեկտոր է, բայց շարքի վեկտոր. Տվյալները վերլուծելիս կարևոր է հասկանալ, թե որ վեկտորների հետ գործ ունենք՝ սյունակների կամ տողերի հետ: Այսպիսով, մեկ նմուշի համար վերցված սպեկտրը կարելի է համարել որպես տող վեկտոր: Այնուհետև բոլոր նմուշների համար որոշակի ալիքի երկարության սպեկտրային ինտենսիվությունների բազմությունը պետք է դիտարկվի որպես սյունակի վեկտոր:

Վեկտորի չափը նրա տարրերի քանակն է։

Հասկանալի է, որ ցանկացած սյունակային վեկտոր կարող է վերածվել տողի վեկտորի փոխադրման միջոցով, այսինքն.

Այն դեպքերում, երբ վեկտորի ձևը հատուկ նշված չէ, այլ պարզապես ասվում է, որ վեկտոր է, ապա դրանք նշանակում են սյունակի վեկտոր: Մենք նույնպես կպահպանենք այս կանոնը. Վեկտորը նշվում է փոքրատառ, ուղիղ, թավ տառով: Զրոյական վեկտորը այն վեկտորն է, որի բոլոր տարրերը զրո են: Նշանակված է 0 .

1.7. Ամենապարզ գործողությունները վեկտորներով

Վեկտորները կարելի է ավելացնել և բազմապատկել թվերով այնպես, ինչպես մատրիցները։ Օրինակ՝

Բրինձ. 13 Վեկտորներով գործողություններ

Երկու վեկտոր xԵվ yկոչվում են համաչափ, եթե կա այնպիսի թիվ α, որ

1.8. Վեկտորների արտադրանք

Նույն հարթության երկու վեկտոր Նկարելի է բազմապատկել։ Թող լինի երկու վեկտոր x = (x 1 , x 2 ,...,xՆ)տ և y = (y 1 , y 2 ,...,y N) տ. Ղեկավարվելով տող առ սյունակ բազմապատկման կանոնով՝ մենք կարող ենք դրանցից կազմել երկու արտադրյալ. xտ yԵվ xyտ. Առաջին աշխատանքը

կանչեց սկալյարկամ ներքին. Դրա արդյունքը մի թիվ է: Այն նաև նշվում է ( x,y)= xտ y. Օրինակ՝

Բրինձ. 14 Ներքին (սկալար) արտադրանք

Երկրորդ կտոր

կանչեց արտաքին. Դրա արդյունքը չափումների մատրիցն է ( Ն× Ն) Օրինակ՝

Բրինձ. 15 Արտաքին աշխատանք

Վեկտորները, որոնց սկալյար արտադրյալը զրո է, կոչվում են ուղղանկյուն.

1.9. Վեկտորային նորմ

Իր հետ վեկտորի սկալյար արտադրյալը կոչվում է սկալյար քառակուսի: Այս արժեքը

սահմանում է քառակուսի երկարությունըվեկտոր x. Երկարությունը նշելու համար (նաև կոչվում է նորմըվեկտոր) օգտագործվում է նշումը

Օրինակ՝

Բրինձ. 16 Վեկտորային նորմ

Միավոր երկարության վեկտոր (|| x|| = 1) կոչվում է նորմալացված: Ոչ զրոյական վեկտոր ( x ≠ 0 ) կարելի է նորմալացնել՝ բաժանելով երկարությամբ, այսինքն. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| ե. Այստեղ ե = x/||x|| - նորմալացված վեկտոր:

Վեկտորները կոչվում են օրթոնորմալ, եթե դրանք բոլորը նորմալացված են և զույգերով ուղղանկյուն:

1.10. Անկյուն վեկտորների միջև

Սկալյար արտադրյալը որոշում է և անկյունφ երկու վեկտորների միջև xԵվ y

Եթե ​​վեկտորները ուղղանկյուն են, ապա cosφ = 0 և φ = π/2, իսկ եթե դրանք համագիծ են, ապա cosφ = 1 և φ = 0:

1.11. Մատրիցայի վեկտորային ներկայացում

Յուրաքանչյուր մատրիցա Աչափը Ի× Ջկարող է ներկայացվել որպես վեկտորների մի շարք

Այստեղ յուրաքանչյուր վեկտոր ա ժէ ժրդ սյունակը և տողի վեկտորը բ եսէ եսմատրիցայի րդ շարքը Ա

1.12. Գծային կախված վեկտորներ

Նույն չափի վեկտորներ ( Ն) կարելի է ավելացնել և բազմապատկել թվով, ինչպես մատրիցները։ Արդյունքը կլինի նույն հարթության վեկտորը: Թող լինեն նույն հարթության մի քանի վեկտորներ x 1 , x 2 ,...,x K և նույնքան թվեր α α 1 , α 2 ,...,α Կ. Վեկտոր

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α Կ x Կ

կանչեց գծային համադրությունվեկտորներ x կ .

Եթե ​​կան այդպիսի ոչ զրոյական α թվեր կ ≠ 0, կ = 1,..., Կ, Ինչ y = 0 , ապա վեկտորների նման հավաքածու x կկանչեց գծային կախված. Հակառակ դեպքում, ասում են, որ վեկտորները գծային անկախ են: Օրինակ՝ վեկտորները x 1 = (2, 2)տ և x 2 = (−1, −1) t գծային կախված են, քանի որ x 1 +2x 2 = 0

1.13. Մատրիցային դասակարգում

Դիտարկենք մի շարք Կվեկտորներ x 1 , x 2 ,...,x Կչափերը Ն. Վեկտորների այս համակարգի աստիճանը գծային անկախ վեկտորների առավելագույն քանակն է: Օրինակ հավաքածուի մեջ

կան միայն երկու գծային անկախ վեկտորներ, օրինակ x 1 և x 2, ուստի նրա վարկանիշը 2 է:

Ակնհայտ է, որ եթե մի շարքում ավելի շատ վեկտորներ կան, քան դրանց չափերը ( Կ>Ն), ապա դրանք անպայմանորեն գծային կախված են։

Մատրիցային աստիճան(նշվում է աստիճանով) Ա)) այն վեկտորների համակարգի աստիճանն է, որից այն բաղկացած է։ Չնայած ցանկացած մատրիցա կարող է ներկայացվել երկու ձևով (սյունակ կամ տող վեկտորներ), դա չի ազդում դասակարգման արժեքի վրա, քանի որ

1.14. Հակադարձ մատրիցա

Քառակուսի մատրիցա Ակոչվում է ոչ այլասերված, եթե ունի եզակի հակադարձմատրիցա Ա-1, պայմանավորված պայմաններով

Ա.Ա. −1 = Ա −1 Ա = Ի.

Հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի բոլոր մատրիցների համար: Ոչ այլասերվելու համար անհրաժեշտ և բավարար պայման է

դետ( Ա) ≠ 0 կամ աստիճան ( Ա) = Ն.

Matrix inversion-ը բարդ ընթացակարգ է, որի համար կան հատուկ ծրագրեր։ Օրինակ՝

Բրինձ. 17 Մատրիցային ինվերսիա

Ներկայացնենք ամենապարզ դեպքի բանաձևերը՝ 2×2 մատրիցա

Եթե ​​մատրիցներ ԱԵվ Բոչ այլասերված են, ուրեմն

(ԱԲ) −1 = Բ −1 Ա −1 .

1.15. Կեղծ հակադարձ մատրիցա

Եթե ​​մատրիցա Աեզակի է, և հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, ապա որոշ դեպքերում կարող եք օգտագործել կեղծ հակադարձմատրիցա, որը սահմանվում է որպես այդպիսի մատրիցա Ա+ դա

Ա.Ա. + Ա = Ա.

Կեղծ հակադարձ մատրիցը միակը չէ, և դրա ձևը կախված է կառուցման մեթոդից: Օրինակ, ուղղանկյուն մատրիցայի համար կարող եք օգտագործել Moore-Penrose մեթոդը:

Եթե ​​սյունակների թիվը տողերի քանակից քիչ է, ապա

Ա + =(Ատ Ա) −1 Ատ

Օրինակ՝

Բրինձ. 17ա մատրիցայի կեղծ ինվերսիա

Եթե ​​սյունակների թիվը տողերի քանակից մեծ է, ապա

Ա + =Ա t( Ա.Ա.տ) −1

1.16. Վեկտորի բազմապատկում մատրիցով

Վեկտոր xկարելի է բազմապատկել մատրիցով Ահարմար չափս. Այս դեպքում սյունակի վեկտորը բազմապատկվում է աջ կողմում Կացին, իսկ վեկտորային տողը ձախ կողմում է xտ Ա. Եթե ​​վեկտորի չափը Ջև մատրիցայի չափը Ի× Ջապա արդյունքը կլինի չափման վեկտոր Ի. Օրինակ՝

Բրինձ. 18 Վեկտորի բազմապատկում մատրիցով

Եթե ​​մատրիցա Ա- քառակուսի ( Ի× Ի), ապա վեկտորը y = Կացինունի նույն չափը, ինչ x. Ակնհայտ է, որ

Ա(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Կացին 1 + α 2 Կացին 2 .

Ուստի մատրիցները կարելի է համարել որպես վեկտորների գծային փոխակերպումներ։ Մասնավորապես Իքս = x, Եզ = 0 .

2. Լրացուցիչ տեղեկություններ

2.1. Գծային հավասարումների համակարգեր

Թող Ա- մատրիցայի չափը Ի× Ջ, Ա բ- հարթության վեկտոր Ջ. Դիտարկենք հավասարումը

Կացին = բ

վեկտորի համեմատ x, չափսեր Ի. Ըստ էության, դա համակարգ է Իհետ գծային հավասարումներ Ջանհայտ x 1 ,...,x Ջ. Լուծումը գոյություն ունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե

կոչում ( Ա) = կոչում ( Բ) = Ռ,

Որտեղ Բչափերի ընդլայնված մատրիցա է Ի×( J+1), որը բաղկացած է մատրիցից Ա, լրացված սյունակով բ, Բ = (Ա բ) Հակառակ դեպքում, հավասարումները անհամապատասխան են:

Եթե Ռ = Ի = Ջ, ապա լուծումը եզակի է

x = Ա −1 բ.

Եթե Ռ < Ի, ապա կան բազմաթիվ տարբեր լուծումներ, որոնք կարող են արտահայտվել գծային համակցության միջոցով Ջ−Ռվեկտորներ. Միատարր հավասարումների համակարգ Կացին = 0 քառակուսի մատրիցով Ա (Ն× Ն) ունի ոչ տրիվիալ լուծում ( x ≠ 0 ) եթե և միայն եթե det( Ա) = 0. Եթե Ռ= կոչում ( Ա)<Ն, ապա կան Ն−Ռգծային անկախ լուծումներ.

2.2. Երկգծային և քառակուսի ձևեր

Եթե Աքառակուսի մատրից է, և xԵվ y- համապատասխան չափման վեկտորը, ապա ձևի սկալյար արտադրյալը xտ Այկանչեց երկգծայինմատրիցով սահմանված ձևը Ա. ժամը x = yարտահայտություն xտ Կացինկանչեց քառակուսիձևը.

2.3. Դրական որոշակի մատրիցներ

Քառակուսի մատրիցա Ականչեց դրական որոշակի, եթե որևէ ոչ զրոյական վեկտորի համար x ≠ 0 ,

xտ Կացին > 0.

Նմանապես սահմանված է բացասական (xտ Կացին < 0), ոչ բացասական (xտ Կացին≥ 0) և բացասական (xտ Կացին≤ 0) որոշակի մատրիցներ.

2.4. Չոլեսկու տարրալուծում

Եթե ​​սիմետրիկ մատրիցը Ադրական որոշակի է, ապա կա եզակի եռանկյունաձև մատրիցա Uդրական տարրերով, որոնց համար

Ա = Uտ U.

Օրինակ՝

Բրինձ. 19 Չոլեսկու տարրալուծում

2.5. Բևեռային տարրալուծում

Թող Աչափումների ոչ եզակի քառակուսի մատրից է Ն× Ն. Այնուհետեւ կա եզակի բևեռայինկատարումը

Ա = Ս.Ռ.

Որտեղ Սոչ բացասական սիմետրիկ մատրից է, և Ռուղղանկյուն մատրիցա է: Մատրիցներ ՍԵվ Ռկարելի է հստակորեն սահմանել.

Ս 2 = Ա.Ա.տ կամ Ս = (Ա.Ա.տ) ½ և Ռ = Ս −1 Ա = (Ա.Ա.տ) −½ Ա.

Օրինակ՝

Բրինձ. 20 Բևեռային տարրալուծում

Եթե ​​մատրիցա Ադեգեներատ է, ապա տարրալուծումը եզակի չէ, մասնավորապես. Սդեռ մենակ, բայց Ռգուցե շատ. Բևեռային տարրալուծումը ներկայացնում է մատրիցը Աորպես սեղմման/ընդլայնման համակցություն Սև շրջվել Ռ.

2.6. Սեփական վեկտորներ և սեփական արժեքներ

Թող Աքառակուսի մատրիցա է: Վեկտոր vկանչեց սեփական վեկտորմատրիցներ Ա, Եթե

Ավ = λ v,

որտեղ կոչվում է λ թիվը սեփական արժեքմատրիցներ Ա. Այսպիսով, փոխակերպումը, որը կատարում է մատրիցը Ավեկտորի վերևում v, հանգում է պարզ ձգման կամ սեղմման λ գործակցով։ Սեփական վեկտորը որոշվում է մինչև բազմապատկումը α ≠ 0 հաստատունով, այսինքն. Եթե vսեփական վեկտոր է, ապա α v- նաև սեփական վեկտոր:

2.7. Սեփական արժեքներ

Մատրիցայում Ա, չափս ( Ն× Ն) չի կարող լինել ավելի քան Նսեփական արժեքներ. Նրանք բավարարում են բնորոշ հավասարում

դետ( Ա − λ Ի) = 0,

որը հանրահաշվական հավասարում է Ն-րդ կարգը. Մասնավորապես, 2×2 մատրիցայի համար բնորոշ հավասարումն ունի ձև

Օրինակ՝

Բրինձ. 21 Սեփական արժեքներ

Սեփական արժեքների բազմություն λ 1 ,..., λ Նմատրիցներ Ականչեց սպեկտրը Ա.

Սպեկտրը տարբեր հատկություններ ունի. Մասնավորապես

դետ( Ա) = λ 1 ×...×λ Ն,Sp( Ա) = λ 1 +...+λ Ն.

Կամայական մատրիցայի սեփական արժեքները կարող են լինել բարդ թվեր, բայց եթե մատրիցը սիմետրիկ է ( Ա t = Ա), ապա դրա սեփական արժեքները իրական են:

2.8. Սեփական վեկտորներ

Մատրիցայում Ա, չափս ( Ն× Ն) չի կարող լինել ավելի քան Նսեփական վեկտորներ, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է իր սեփական արժեքին: Որոշել սեփական վեկտորը v nանհրաժեշտ է լուծել միատարր հավասարումների համակարգ

(Ա − λ n Ի)v n = 0 .

Այն ունի ոչ տրիվիալ լուծում, քանի որ det( Ա -λ n Ի) = 0.

Օրինակ՝

Բրինձ. 22 սեփական վեկտորներ

Սիմետրիկ մատրիցայի սեփական վեկտորները ուղղանկյուն են:

Սեփական արժեքներ (թվեր) և սեփական վեկտորներ.
Լուծումների օրինակներ

Եղեք ինքներդ

Երկու հավասարումներից էլ հետևում է, որ.

Հետո դնենք. .

Արդյունքում. - երկրորդ սեփական վեկտորը:

Կրկնենք կարևոր կետերլուծումներ:

– ստացված համակարգը, անշուշտ, ունի ընդհանուր լուծում (հավասարումները գծային կախված են);

– «y»-ն ընտրում ենք այնպես, որ այն լինի ամբողջ, իսկ առաջին «x» կոորդինատը լինի ամբողջ, դրական և հնարավորինս փոքր:

- մենք ստուգում ենք, որ կոնկրետ լուծումը բավարարում է համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը:

Պատասխանել .

Բավականաչափ միջանկյալ «անցակետեր» կային, ուստի հավասարության ստուգումը, սկզբունքորեն, ավելորդ է։

Տեղեկատվության տարբեր աղբյուրներում սեփական վեկտորների կոորդինատները հաճախ գրվում են ոչ թե սյունակներում, այլ տողերում, օրինակ. (և, ճիշտն ասած, ես ինքս սովոր եմ դրանք տողերով գրել). Այս տարբերակն ընդունելի է, բայց թեմայի լույսի ներքո գծային փոխակերպումներտեխնիկապես ավելի հարմար է օգտագործման համար սյունակի վեկտորներ.

Միգուցե լուծումը ձեզ շատ երկար թվաց, բայց դա միայն այն պատճառով, որ ես շատ մանրամասն մեկնաբանեցի առաջին օրինակը:

Օրինակ 2

Մատրիցներ

Եկեք մարզվենք ինքնուրույն: Վերջնական առաջադրանքի մոտավոր օրինակ դասի վերջում։

Երբեմն դուք պետք է անեք լրացուցիչ առաջադրանք, մասնավորապես.

գրեք կանոնական մատրիցային տարրալուծումը

Ի՞նչ է դա։

Եթե ​​մատրիցայի սեփական վեկտորները ձևավորվեն հիմք, ապա այն կարող է ներկայացվել որպես.

Որտեղ է մատրիցը, որը կազմված է սեփական վեկտորների կոորդինատներից, – անկյունագծայինմատրիցա՝ համապատասխան սեփական արժեքներով։

Այս մատրիցային տարրալուծումը կոչվում է կանոնականկամ անկյունագծային.

Դիտարկենք առաջին օրինակի մատրիցը։ Դրա սեփական վեկտորները գծային անկախ(ոչ գծային) և հիմք են կազմում: Եկեք ստեղծենք դրանց կոորդինատների մատրիցը.

Միացված է հիմնական անկյունագիծմատրիցներ համապատասխան կարգովսեփական արժեքները գտնվում են, իսկ մնացած տարրերը հավասար են զրոյի.
– Ես ևս մեկ անգամ շեշտում եմ կարգի կարևորությունը. «երկու»-ը համապատասխանում է 1-ին վեկտորին և, հետևաբար, գտնվում է 1-ին սյունակում, «երեք»-ը՝ 2-րդ վեկտորին:

Օգտագործելով սովորական ալգորիթմը գտնելու համար հակադարձ մատրիցակամ Գաուս-Հորդանանի մեթոդմենք գտնում ենք . Ոչ, դա տառասխալ չէ: - Քեզնից առաջ հազվագյուտ իրադարձություն է, ինչպես արևի խավարումը, երբ հակառակը համընկավ սկզբնական մատրիցայի հետ:

Մնում է գրել մատրիցայի կանոնական տարրալուծումը.

Համակարգը կարելի է լուծել տարրական փոխակերպումների միջոցով, և հաջորդ օրինակներում մենք կդիմենք այս մեթոդին։ Բայց այստեղ «դպրոցական» մեթոդը շատ ավելի արագ է աշխատում։ 3-րդ հավասարումից արտահայտում ենք՝ – փոխարինել երկրորդ հավասարման.

Քանի որ առաջին կոորդինատը զրո է, մենք ստանում ենք համակարգ, որի յուրաքանչյուր հավասարումից բխում է, որ .

Եվ կրկին ուշադրություն դարձրեք գծային հարաբերությունների պարտադիր առկայությանը. Եթե ​​ստացվի միայն չնչին լուծում , ապա կա՛մ սեփական արժեքը սխալ է հայտնաբերվել, կա՛մ համակարգը կազմվել/լուծվել է սխալմամբ։

Կոմպակտ կոորդինատները տալիս են արժեքը

Սեփական վեկտոր:

Եվ ևս մեկ անգամ ստուգում ենք, որ լուծումը գտնված է բավարարում է համակարգի բոլոր հավասարումները. Հետագա պարբերություններում և հաջորդ առաջադրանքներում ես խորհուրդ եմ տալիս այս ցանկությունն ընդունել որպես պարտադիր կանոն:

2) Սեփական արժեքի համար, օգտագործելով նույն սկզբունքը, ստանում ենք հետևյալ համակարգը.

Համակարգի 2-րդ հավասարումից արտահայտում ենք՝ – փոխարինել երրորդ հավասարման.

Քանի որ «զետա» կոորդինատը զրո է, մենք ստանում ենք համակարգ, որի յուրաքանչյուր հավասարումից հետևում է գծային կախվածություն:

Թող

Ստուգելով, որ լուծումը բավարարում է համակարգի բոլոր հավասարումները:

Այսպիսով, սեփական վեկտորը հետևյալն է.

3) Եվ վերջապես, համակարգը համապատասխանում է սեփական արժեքին.

Երկրորդ հավասարումը թվում է ամենապարզը, ուստի եկեք արտահայտենք այն և փոխարինենք 1-ին և 3-րդ հավասարումներով.

Ամեն ինչ լավ է. առաջացել է գծային հարաբերություն, որը մենք փոխարինում ենք արտահայտությամբ.

Արդյունքում «x»-ը և «y»-ն արտահայտվել են «z»-ի միջոցով. Գործնականում անհրաժեշտ չէ հասնել հենց այդպիսի հարաբերությունների, որոշ դեպքերում ավելի հարմար է արտահայտվել և՛ միջոցով, և՛ միջոցով: Կամ նույնիսկ «գնացք» - օրինակ՝ «X» «I»-ի միջոցով, և «I»՝ «Z»-ի միջոցով:

Հետո դնենք.

Մենք ստուգում ենք, որ լուծումը գտնված է բավարարում է համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը և գրում երրորդ սեփական վեկտորը

Պատասխանելսեփական վեկտորներ:

Երկրաչափորեն այս վեկտորները սահմանում են երեք տարբեր տարածական ուղղություններ («ետ ու առաջ»), ըստ որի գծային փոխակերպումփոխակերպում է ոչ զրոյական վեկտորները (սեփական վեկտորները) կոլգծային վեկտորների:

Եթե ​​պայմանը պահանջում էր գտնել կանոնական տարրալուծումը, ապա դա հնարավոր է այստեղ, քանի որ տարբեր սեփական արժեքները համապատասխանում են տարբեր գծային անկախ սեփական վեկտորներին: Մատրիցայի պատրաստում դրանց կոորդինատներից, անկյունագծային մատրիցա -ից համապատասխանսեփական արժեքներ և գտնել հակադարձ մատրիցա .

Եթե, պայմանով, պետք է գրել գծային փոխակերպման մատրիցա սեփական վեկտորների հիմքում, ապա պատասխանը տալիս ենք ձևով . Տարբերություն կա, և տարբերությունն էական է։Քանի որ այս մատրիցը «դե» մատրիցն է:

Խնդիր ավելիի հետ պարզ հաշվարկներՀամար անկախ որոշում:

Օրինակ 5

Գտե՛ք մատրիցով տրված գծային փոխակերպման սեփական վեկտորները

Ձեր սեփական թվերը գտնելիս աշխատեք մինչև վերջ չգնալ 3-րդ աստիճանի բազմանդամին: Բացի այդ, ձեր համակարգային լուծումները կարող են տարբերվել իմ լուծումներից. այստեղ որոշակիություն չկա. և ձեր գտած վեկտորները կարող են տարբերվել նմուշային վեկտորներից մինչև դրանց համապատասխան կոորդինատների համաչափությունը: Օրինակ, և. Պատասխանը ձևով ներկայացնելն ավելի էսթետիկորեն հաճելի է, բայց նորմալ է, եթե կանգ առնեք երկրորդ տարբերակի վրա: Այնուամենայնիվ, ամեն ինչի համար կան ողջամիտ սահմաններ, տարբերակն այլևս այնքան էլ լավ տեսք չունի:

Դասի վերջում առաջադրանքի մոտավոր վերջնական նմուշ.

Ինչպե՞ս լուծել խնդիրը բազմաթիվ սեփական արժեքների դեպքում:

Ընդհանուր ալգորիթմը մնում է նույնը, բայց այն ունի իր առանձնահատկությունները, և խորհուրդ է տրվում լուծման որոշ մասեր պահել ավելի խիստ ակադեմիական ոճով.

Օրինակ 6

Գտեք սեփական արժեքներ և սեփական վեկտորներ

Լուծում

Իհարկե, մեծատառով գրենք առասպելական առաջին սյունակը.

Եվ քառակուսի եռանկյունը գործակցելուց հետո.

Արդյունքում ստացվում են սեփական արժեքներ, որոնցից երկուսը բազմապատիկ են:

Գտնենք սեփական վեկտորները.

1) Եկեք գործ ունենանք միայնակ զինվորի հետ «պարզեցված» սխեմայի համաձայն.

Վերջին երկու հավասարումներից հստակ երևում է հավասարությունը, որն ակնհայտորեն պետք է փոխարինել համակարգի 1-ին հավասարմամբ.

Դուք չեք գտնի ավելի լավ համադրություն.
Սեփական վեկտոր:

2-3) Այժմ մենք հեռացնում ենք մի քանի պահակ: Այս դեպքում կարող է ստացվել կա՛մ երկու, կա՛մ մեկըսեփական վեկտոր. Անկախ արմատների բազմությունից՝ մենք արժեքը փոխարինում ենք որոշիչով որը մեզ բերում է հաջորդը գծային հավասարումների միատարր համակարգ:

Սեփական վեկտորները հենց վեկտորներ են
լուծումների հիմնարար համակարգ

Իրականում, ամբողջ դասի ընթացքում մենք ոչինչ չարեցինք, բացի հիմնարար համակարգի վեկտորները գտնելուց: Պարզապես այս տերմինն առայժմ առանձնապես պահանջված չէր։ Ի դեպ, այն խելացի ուսանողները, որոնք բաց են թողել թեման կամուֆլյաժ կոստյումներով միատարր հավասարումներ, կստիպեն ծխել այն հիմա։

Միակ գործողությունը ավելորդ գծերի հեռացումն էր։ Արդյունքը մեկ առ երեք մատրից է, որի մեջտեղում կա պաշտոնական «քայլ»:
– հիմնական փոփոխական, – ազատ փոփոխականներ: Կան երկու ազատ փոփոխականներ, հետևաբար, կան նաև հիմնարար համակարգի երկու վեկտորներ.

Հիմնական փոփոխականը արտահայտենք ազատ փոփոխականներով. «X»-ի դիմաց զրոյական գործակիցը թույլ է տալիս նրան ընդունել բացարձակապես ցանկացած արժեք (ինչը հստակ երևում է հավասարումների համակարգից):

Այս խնդրի համատեքստում ավելի հարմար է ընդհանուր լուծումը գրել ոչ թե անընդմեջ, այլ սյունակով.

Զույգը համապատասխանում է սեփական վեկտորին.
Զույգը համապատասխանում է սեփական վեկտորին.

Նշում Բարդ ընթերցողները կարող են բանավոր ընտրել այս վեկտորները՝ պարզապես վերլուծելով համակարգը , բայց այստեղ անհրաժեշտ է որոշակի գիտելիքներ. կան երեք փոփոխականներ. համակարգի մատրիցային դասակարգում- մեկ, ինչը նշանակում է հիմնարար որոշումների համակարգբաղկացած է 3 – 1 = 2 վեկտորից: Այնուամենայնիվ, հայտնաբերված վեկտորները հստակ տեսանելի են նույնիսկ առանց այդ գիտելիքի, զուտ ինտուիտիվ մակարդակով: Այս դեպքում երրորդ վեկտորն էլ ավելի «գեղեցիկ» կգրվի. Այնուամենայնիվ, զգուշացնում եմ ձեզ, որ մեկ այլ օրինակում հնարավոր չէ պարզ ընտրություն կատարել, ինչի պատճառով էլ կետը նախատեսված է փորձառու մարդկանց համար։ Բացի այդ, ինչո՞ւ չընդունել, ասենք, որպես երրորդ վեկտոր։ Ի վերջո, նրա կոորդինատները նույնպես բավարարում են համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը, և վեկտորները գծային անկախ. Այս տարբերակը, սկզբունքորեն, հարմար է, բայց «ծուռ», քանի որ «մյուս» վեկտորը հիմնարար համակարգի վեկտորների գծային համակցություն է:

Պատասխանելսեփական արժեքներ: , սեփական վեկտորներ:

Նմանատիպ օրինակ անկախ լուծման համար.

Օրինակ 7

Գտեք սեփական արժեքներ և սեփական վեկտորներ

Վերջնական ձևավորման մոտավոր նմուշ դասի վերջում:

Հարկ է նշել, որ և՛ 6-րդ, և՛ 7-րդ օրինակներում ստացվում է գծային անկախ սեփական վեկտորների եռակի, և, հետևաբար, սկզբնական մատրիցը ներկայացված է կանոնական տարրալուծման մեջ: Բայց նման ազնվամորիները ոչ բոլոր դեպքերում են լինում.

Օրինակ 8

ԼուծումՍտեղծենք և լուծենք բնորոշ հավասարումը.

Եկեք ընդլայնենք առաջին սյունակի որոշիչը.

Հետագա պարզեցումներ ենք իրականացնում դիտարկված մեթոդաբանության համաձայն՝ խուսափելով 3-րդ աստիճանի բազմանդամից.

- սեփական արժեքներ.

Գտնենք սեփական վեկտորները.

1) Արմատի հետ կապված դժվարություններ չկան.

Մի զարմացեք, բացի հանդերձանքից, կան նաև փոփոխականներ, որոնք օգտագործվում են. այստեղ տարբերություն չկա:

3-րդ հավասարումից այն արտահայտում ենք և փոխարինում 1-ին և 2-րդ հավասարումներով.

Երկու հավասարումներից էլ հետևում է.

Թող ուրեմն.

2-3) Բազմաթիվ արժեքների համար մենք ստանում ենք համակարգը .

Եկեք գրենք համակարգի մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

www.siteթույլ է տալիս գտնել. Կայքը կատարում է հաշվարկը: Մի քանի վայրկյանից սերվերը կտա ճիշտ լուծումը։ Մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկլինի հանրահաշվական արտահայտություն, որը գտնվել է որոշիչի հաշվարկման կանոնի միջոցով մատրիցներ մատրիցներ, մինչդեռ հիմնական անկյունագծի երկայնքով տարբերություններ կլինեն անկյունագծային տարրերի և փոփոխականի արժեքների մեջ: Հաշվարկելիս առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, յուրաքանչյուր տարր մատրիցներկբազմապատկվի համապատասխան այլ տարրերով մատրիցներ. Գտեք ռեժիմում առցանցհնարավոր է միայն քառակուսի համար մատրիցներ. Գործողության որոնում առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումընվազեցնում է տարրերի արտադրյալի հանրահաշվական գումարի հաշվարկը մատրիցներորոշիչը գտնելու արդյունքում մատրիցներ, միայն որոշելու նպատակով առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Այս օպերացիան հատուկ տեղ է գրավում տեսության մեջ մատրիցներ, թույլ է տալիս գտնել սեփական արժեքներ և վեկտորներ՝ օգտագործելով արմատները: Գտնելու խնդիրը առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըբաղկացած է բազմապատկվող տարրերից մատրիցներորին հաջորդում է այս ապրանքների ամփոփումը որոշակի կանոնի համաձայն. www.siteգտնում է մատրիցայի բնորոշ հավասարումըտրված չափը ռեժիմում առցանց. Հաշվարկ առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըհաշվի առնելով դրա չափը՝ սա թվային կամ խորհրդանշական գործակիցներով բազմանդամ գտնելն է, որը գտնվել է ըստ որոշիչի հաշվարկման կանոնի։ մատրիցներ- որպես համապատասխան տարրերի արտադրյալների գումար մատրիցներ, միայն որոշելու նպատակով առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Քառակուսի համար փոփոխականի նկատմամբ բազմանդամ գտնելը մատրիցներ, որպես սահմանում մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, տեսականորեն տարածված մատրիցներ. Բազմանդամի արմատների նշանակությունը առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըօգտագործվում է սեփական վեկտորները և սեփական արժեքները որոշելու համար մատրիցներ. Ընդ որում, եթե որոշիչը մատրիցներհավասար կլինի զրոյի, ապա մատրիցայի բնորոշ հավասարումըդեռ գոյություն կունենա՝ ի տարբերություն հակառակի մատրիցներ. Հաշվարկելու համար մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկամ գտնել միանգամից մի քանիսը մատրիցների բնորոշ հավասարումներ, դուք պետք է շատ ժամանակ և ջանք ծախսեք, մինչդեռ մեր սերվերը կգտնի վայրկյանների ընթացքում բնորոշ հավասարում մատրիցների համար առցանց. Այս դեպքում գտնելու պատասխանը առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկլինի ճիշտ և բավարար ճշգրտությամբ, նույնիսկ եթե թվերը գտնելիս առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըիռացիոնալ կլինի. Կայքում www.siteնիշերի մուտքերը թույլատրվում են տարրերում մատրիցներ, այսինքն բնորոշ հավասարում մատրիցների համար առցանցհաշվարկելիս կարելի է ներկայացնել ընդհանուր սիմվոլիկ ձևով առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Օգտակար է ստուգել ստացված պատասխանը գտնելու խնդիրը լուծելիս առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըօգտագործելով կայքը www.site. Բազմանդամի հաշվարկման գործողություն կատարելիս. մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, այս խնդիրը լուծելիս պետք է զգույշ և չափազանց կենտրոնացած լինել։ Իր հերթին, մեր կայքը կօգնի ձեզ ստուգել ձեր որոշումը թեմայի վերաբերյալ առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Եթե ​​ժամանակ չունեք լուծված խնդիրների երկար ստուգումների համար, ապա www.siteանշուշտ հարմար գործիք կլինի գտնելու և հաշվարկելիս ստուգելու համար առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը.

Հրահանգներ

K թիվը կոչվում է A մատրիցի սեփական արժեք (թիվ), եթե կա x այնպիսի վեկտոր, որ Ax=kx: (1) Այս դեպքում x վեկտորը կոչվում է A մատրիցայի սեփական վեկտոր, որը համապատասխանում է k թվին R^n տարածության մեջ (տե՛ս նկ. 1), A մատրիցը ունի պատկերի ձևը:

Անհրաժեշտ է առաջադրանք դնել A մատրիցի վեկտորները գտնելու համար: X սեփական վեկտորը տրվի կոորդինատներով: Մատրիցային ձևով այն գրվելու է որպես սյունակային մատրիցա, որը հարմարության համար պետք է ներկայացվի որպես փոխադրված տող: X=(x1,x2,…,xn)^T Հիմնվելով (1), Ax-khx=0 կամ Ax-kEx=0 վրա, որտեղ E-ն նույնականացման մատրիցն է (գլխավոր անկյունագծի վրա գտնվողները, մնացած բոլոր տարրերը զրո են: ) Այնուհետև (A-kE)x=0: (2)

Գծային միատարր հանրահաշվական հավասարումների արտահայտությունը (2) ունի ոչ զրոյական լուծում (սեփական վեկտոր): Հետևաբար, (2) համակարգի հիմնական որոշիչը հավասար է զրոյի, այսինքն՝ |A-kE|=0: (3) K սեփական արժեքի վերջին հավասարությունը կոչվում է A մատրիցի բնորոշ հավասարում և ընդլայնված ձևով ունի ձև (տե՛ս նկ. 2):

Հատկանշական հավասարման k արմատը փոխարինելով (2) համակարգով՝ եզակի մատրիցով գծային հավասարումների համասեռ համակարգ (նրա որոշիչը զրո է)։ Այս համակարգի յուրաքանչյուր ոչ զրոյական լուծում A մատրիցի սեփական վեկտորն է, որը համապատասխանում է տվյալ սեփական արժեքին k (այսինքն՝ բնորոշ հավասարման արմատին):

Օրինակ. Գտեք A մատրիցայի սեփական արժեքները և վեկտորները (տես Նկար 3): Բնութագրական հավասարումը ներկայացված է Նկ. 3. Ընդարձակե՛ք որոշիչը և գտե՛ք մատրիցայի սեփական արժեքները, որոնք տրված հավասարումն են (3-k)(-1-k)-5=0, (k-3)(k+1)-5=0. , k^2-2k -8=0 Նրա արմատներն են՝ k1=4, k2=-2

ա) k1=4-ին համապատասխան սեփական վեկտորները հայտնաբերվում են (A-4kE)х=0 համակարգը լուծելով։ Այս դեպքում պահանջվում է դրա հավասարումներից միայն մեկը, քանի որ համակարգի որոշիչն ակնհայտորեն հավասար է զրոյի: Եթե ​​դնենք x=(x1, x2)^T, ապա համակարգի առաջին հավասարումը (1-4)x1+x2=0, -3x1+x2=0 է։ Եթե ​​ընդունենք, որ x1=1 (բայց ոչ զրո), ապա x2=3։ Քանի որ եզակի մատրիցով միատարր համակարգն ունի այնքան ոչ զրոյական լուծումներ, որքան ցանկալի է, ապա առաջին սեփական արժեքին համապատասխանող սեփական վեկտորների ամբողջ բազմությունը x =C1(1, 3), C1=const:

բ) Գտե՛ք k2=-2-ին համապատասխան սեփական վեկտորները: (A+2kE)x=0 համակարգը լուծելիս նրա առաջին հավասարումն է (3+2)x1+x2=0, 5x1+x2=0, եթե դնենք x1=1, ապա x2=-5։ Համապատասխան սեփական վեկտորները x =C2(1, 3), C2=կոնստ. Տրված մատրիցայի բոլոր սեփական վեկտորների ընդհանուր բազմությունը՝ x = C1(1, 3)+ C2(1, 3):

Աղբյուրներ:

• Պիսկունով Ն.Ս. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ: Մ., 1976, - 576 էջ.
• գտնել սեփական արժեքներ և մատրիցային վեկտորներ

Մատրիցները, որոնք տվյալների գրանցման աղյուսակային ձև են, լայնորեն կիրառվում են գծային հավասարումների համակարգերի հետ աշխատելիս։ Ընդ որում, հավասարումների թիվը որոշում է մատրիցայի տողերի թիվը, իսկ փոփոխականների թիվը՝ դրա սյունակների հերթականությունը։ Արդյունքում, գծային համակարգերի լուծումը վերածվում է մատրիցների վրա գործող գործողությունների, որոնցից մեկը մատրիցայի սեփական արժեքների հայտնաբերումն է: Նրանց հաշվարկը կատարվում է օգտագործելով բնորոշ հավասարումը: Սեփական արժեքները կարող են սահմանվել m կարգի քառակուսի մատրիցայի համար:

Հրահանգներ

Գրի՛ր տրված Ա քառակուսին: Նրա սեփական արժեքները գտնելու համար օգտագործի՛ր գծային միատարր համակարգի ոչ տրիվիալ լուծման պայմանից ստացված բնորոշ հավասարումը, որն այս դեպքում ներկայացված է քառակուսի մատրիցով: Ինչպես հետևում է Կրամերից, լուծումը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, եթե դրա որոշիչը հավասար է զրոյի: Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել հավասարումը | A - λE | = 0, որտեղ A-ն տրված արժեքն է, λ-ը՝ պահանջվող թվերը, E-ն նույնական մատրիցն է, որտեղ հիմնական անկյունագծով բոլոր տարրերը հավասար են մեկի, իսկ մնացածը հավասար են զրոյի։

Բազմապատկեք ցանկալի փոփոխականը λ նույնականացման մատրիցով E նույն չափի, ինչ տրված բնօրինակը A: Գործողության արդյունքը կլինի մատրիցա, որտեղ λ-ի արժեքները գտնվում են հիմնական անկյունագծով, մնացած տարրերը մնում են հավասար զրոյի: .