Այս բաժնում մենք կկենտրոնանանք դրական քառակուսի ձևերի հատուկ, բայց կարևոր դասի վրա:

Սահմանում 3. Իրական քառակուսի ձևը կոչվում է ոչ բացասական (ոչ դրական), եթե փոփոխականների որևէ իրական արժեքի համար

. (35)

Այս դեպքում գործակիցների սիմետրիկ մատրիցը կոչվում է դրական կիսաորոշ (բացասական կիսաորոշ):

Սահմանում 4. Իրական քառակուսի ձևը կոչվում է դրական որոշակի (բացասական որոշակի), եթե փոփոխականների ցանկացած իրական արժեքների համար, որոնք միաժամանակ զրո չեն,

. (36)

Այս դեպքում մատրիցը կոչվում է նաև դրական որոշակի (բացասական որոշակի):

Դրական որոշիչ (բացասական որոշիչ) ձևերի դասը մտնում է ոչ բացասական (resp. ոչ դրական) ձևերի դասի մեջ։

Թող տրվի ոչ բացասական ձև: Եկեք պատկերացնենք այն որպես անկախ քառակուսիների գումար.

. (37)

Այս ներկայացման մեջ բոլոր հրապարակները պետք է դրական լինեն.

. (38)

Իրոք, եթե այդպիսիք լինեին, ապա հնարավոր կլիներ ընտրել այդպիսի արժեքներ

Բայց հետո, փոփոխականների այս արժեքներով, ձևը կունենա բացասական արժեք, ինչը պայմանով անհնար է: Ակնհայտորեն, ընդհակառակը, (37) և (38)-ից հետևում է, որ ձևը դրական է։

Այսպիսով, ոչ բացասական քառակուսի ձևը բնութագրվում է հավասարումներով:

Թող հիմա լինի դրական որոշակի ձև: Հետո դա ոչ բացասական ձև է։ Հետևաբար, այն կարող է ներկայացվել (37) ձևով, որտեղ բոլորը դրական են: Ձևի դրական որոշակիությունից հետևում է, որ . Իրոք, այդ դեպքում հնարավոր է ընտրել արժեքներ, որոնք միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, որոնց դեպքում բոլորը կվերածվեն զրոյի: Բայց հետո, (37) ուժով, ժամը , որը հակասում է պայմանին (36):

Հեշտ է տեսնել, որ հակառակը, եթե (37) և բոլորը դրական են, ապա դա դրական որոշակի ձև է:

Այլ կերպ ասած, ոչ բացասական ձևը դրական որոշիչ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն եզակի չէ:

Հետևյալ թեորեմը տալիս է ձևի դրական որոշակիության չափանիշ անհավասարությունների տեսքով, որոնք պետք է բավարարեն ձևի գործակիցները։ Այս դեպքում օգտագործվում է մատրիցայի հաջորդական հիմնական փոքրերի համար նախորդ պարբերություններում արդեն հանդիպող նշումը.

.

Թեորեմ 3. Որպեսզի քառակուսի ձևը լինի դրական որոշիչ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ անհավասարությունները բավարարվեն.

Ապացույց. Պայմանների բավարարությունը (39) ուղղակիորեն բխում է Յակոբիի բանաձևից (28): Պայմանների անհրաժեշտությունը (39) հաստատվում է հետևյալ կերպ. Ձևի դրական որոշակիությունից հետևում է «կտրված» ձևերի դրական որոշակիությունը

.

Բայց հետո այս բոլոր ձևերը պետք է լինեն ոչ եզակի, այսինքն.

Այժմ մենք հնարավորություն ունենք օգտագործելու Jacobi բանաձեւը (28) (at ): Քանի որ այս բանաձևի աջ կողմում բոլոր քառակուսիները պետք է դրական լինեն, ուրեմն

Սա ենթադրում է անհավասարություններ (39): Թեորեմն ապացուցված է.

Քանի որ մատրիցայի ցանկացած հիմնական մինոր, փոփոխականների ճիշտ վերահամարակալմամբ, կարող է տեղադրվել վերին ձախ անկյունում, ապա մենք ունենք.

Հետևանք. Դրական որոշակի քառակուսի ձևով գործակիցների մատրիցի բոլոր հիմնական փոքրերը դրական են.

Մեկնաբանություն. Հերթական հիմնական անչափահասների ոչ բացասականությունից

ձևի ոչ բացասական լինելը չի ​​հետևում. Իրոք, ձևը

,

որում , բավարարում է պայմաններին, բայց ոչ բացասական չէ։

Այնուամենայնիվ, գործում է հետևյալը

Թեորեմ 4. Որպեսզի քառակուսի ձևը լինի ոչ բացասական, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա գործակիցների մատրիցայի բոլոր հիմնական փոքրերը ոչ բացասական լինեն.

Ապացույց. Ներկայացնենք, որ օժանդակ ձևը ոչ դրական էր, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի անհավասարությունները տեղի ունենան.

Դրական որոշակի քառակուսի ձևեր

Սահմանում. Քառակուսի ձև ից nանհայտները կոչվում են դրական որոշակի, եթե նրա աստիճանը հավասար է դրական իներցիայի ցուցանիշին և հավասար է անհայտների թվին։

Թեորեմ.Քառակուսի ձևը դրական որոշակի է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն դրական արժեքներ է ընդունում փոփոխականների արժեքների ցանկացած ոչ զրոյական հավաքածուի վրա:

Ապացույց.Թող քառակուսի ձևը լինի անհայտների ոչ այլասերված գծային փոխակերպում

վերադարձրել է նորմալ

.

Փոփոխական արժեքների ցանկացած ոչ զրոյական բազմության համար՝ թվերից առնվազն մեկը տարբերվում է զրոյից, այսինքն. . Ապացուցված է թեորեմի անհրաժեշտությունը։

Ենթադրենք, որ քառակուսի ձևը դրական արժեքներ է ընդունում փոփոխականների ցանկացած ոչ զրոյական բազմության վրա, բայց դրա դրական իներցիայի ինդեքսը անհայտների ոչ դեգեներատիվ գծային փոխակերպումն է։

Եկեք նորմալ վիճակի բերենք։ Առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել, որ այս նորմալ ձևով վերջին փոփոխականի քառակուսին կա՛մ բացակայում է, կա՛մ ներառված է մինուս նշանով, այսինքն. , որտեղ կամ . Ենթադրենք, որ գծային հավասարումների համակարգի լուծման արդյունքում ստացված փոփոխականների արժեքների ոչ զրոյական հավաքածու է։

Այս համակարգում հավասարումների թիվը հավասար է փոփոխականների թվին, իսկ համակարգի որոշիչը զրոյական չէ։ Համաձայն Քրամերի թեորեմի՝ համակարգն ունի եզակի լուծում, և այն զրոյական չէ։ Այս հավաքածուի համար. Հակասություն պայմանի հետ. Հակասության ենք գալիս այն ենթադրության հետ, որն ապացուցում է թեորեմի բավարարությունը։

Օգտագործելով այս չափանիշը, հնարավոր չէ գործակիցներից որոշել, թե արդյոք քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է: Այս հարցի պատասխանը տալիս է մեկ այլ թեորեմ, որի ձևակերպման համար ներկայացնում ենք մեկ այլ հայեցակարգ. Մատրիցայի հիմնական անկյունագծային փոքրերը– սրանք անչափահասներ են, որոնք գտնվում են նրա վերին ձախ անկյունում.

, , , … , .

Թեորեմ.Քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա բոլոր հիմնական անկյունագծային փոքրերը դրական են:

Ապացույցմենք թվի վրա կիրականացնենք ամբողջական մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը nքառակուսի փոփոխականներ զ.

Ինդուկցիոն վարկած.Ենթադրենք, որ ավելի քիչ փոփոխականներով քառակուսի ձևերի համար nհայտարարությունը ճշմարիտ է.

Դիտարկենք քառակուսի ձևը nփոփոխականներ. Դնենք պարունակող բոլոր տերմինները. Մնացած տերմինները կազմում են փոփոխականների քառակուսի ձևը: Ըստ ինդուկցիոն վարկածի՝ հայտարարությունը ճիշտ է նրա համար։

Ենթադրենք, որ քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է։ Այնուհետև քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է: Եթե ​​ենթադրենք, որ դա այդպես չէ, ապա գոյություն ունի փոփոխական արժեքների ոչ զրոյական հավաքածու , որի համար և, համապատասխանաբար, , և դա հակասում է այն փաստին, որ քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է։ Ինդուկցիոն վարկածի համաձայն, քառակուսի ձևի բոլոր հիմնական անկյունագծային փոքրերը դրական են, այսինքն. քառակուսի ձևի բոլոր առաջին հիմնական անչափահասները զդրական են: Քառակուսային ձևի վերջին հիմնական սկզբունքը – սա նրա մատրիցայի որոշիչն է: Այս որոշիչը դրական է, քանի որ նրա նշանը համընկնում է իր նորմալ ձևի մատրիցայի նշանի հետ, այսինքն. նույնականության մատրիցայի որոշիչի նշանով։

Թող քառակուսի ձևի բոլոր հիմնական անկյունագծային մինորները դրական լինեն . Ինդուկցիոն հիպոթեզով քառակուսի ձևը դրական որոշակի է, ուստի առկա է փոփոխականների ոչ այլասերված գծային փոխակերպում, որը ձևը վերածում է նոր փոփոխականների քառակուսիների գումարի ձևի: Այս գծային փոխակերպումը կարող է տարածվել բոլոր փոփոխականների ոչ այլասերված գծային փոխակերպման վրա՝ սահմանելով . Այս փոխակերպումը նվազեցնում է քառակուսի ձևը ձևի

Քառակուսային ձևի հայեցակարգը. Քառակուսային ձևի մատրիցա. Քառակուսի ձևի կանոնական ձև. Լագրանժի մեթոդ. Քառակուսի ձևի նորմալ տեսք: Քառակուսային ձևի աստիճան, ինդեքս և ստորագրություն: Դրական որոշակի քառակուսի ձև. Քվադրիկներ.

Քառակուսային ձևի հայեցակարգ.ֆունկցիա վեկտորային տարածության վրա, որը սահմանվում է վեկտորի կոորդինատներում երկրորդ աստիճանի միատարր բազմանդամով։

Քառակուսի ձև ից nանհայտ կոչվում է գումար, որի յուրաքանչյուր անդամ կամ այս անհայտներից մեկի քառակուսին է, կամ երկու տարբեր անհայտների արտադրյալ:

Քառակուսի մատրիցա.Մատրիցը կոչվում է տրված հիմունքներով քառակուսի ձևի մատրիցա: Եթե ​​դաշտի բնութագիրը հավասար չէ 2-ի, ապա կարող ենք ենթադրել, որ քառակուսի ձևի մատրիցը սիմետրիկ է, այսինքն.

Գրեք քառակուսի ձևի մատրիցա.

Հետևաբար,

Վեկտորային մատրիցային ձևով քառակուսի ձևը հետևյալն է.

Ա, որտեղ

Քառակուսի ձևի կանոնական ձև.Քառակուսի ձևը կոչվում է կանոնական, եթե բոլորը այսինքն.

Ցանկացած քառակուսի ձև կարող է վերածվել կանոնական ձևի՝ օգտագործելով գծային փոխակերպումներ։ Գործնականում սովորաբար օգտագործվում են հետևյալ մեթոդները.

Լագրանժի մեթոդ : ամբողջական քառակուսիների հաջորդական ընտրություն. Օրինակ, եթե

Այնուհետև նմանատիպ ընթացակարգ է կատարվում քառակուսի ձևով և այլն։ Եթե քառակուսի ձևով ամեն ինչ բայց է այնուհետև նախնական վերափոխումից հետո գործն անցնում է դիտարկվող ընթացակարգին: Այսպիսով, եթե, օրինակ, ապա մենք ենթադրում ենք

Քառակուսի ձևի նորմալ ձև.Նորմալ քառակուսի ձևը կանոնական քառակուսի ձև է, որտեղ բոլոր գործակիցները հավասար են +1 կամ -1:

Քառակուսային ձևի աստիճան, ինդեքս և ստորագրություն.Քառակուսային ձևի աստիճան Ակոչվում է մատրիցայի աստիճան Ա. Քառակուսային ձևի աստիճանը չի փոխվում անհայտների ոչ այլասերված փոխակերպումների դեպքում:

Բացասական գործակիցների թիվը կոչվում է բացասական ձևի ինդեքս։

Կանոնական ձևով դրական անդամների թիվը կոչվում է քառակուսի ձևի իներցիայի դրական ինդեքս, բացասական անդամների թիվը՝ բացասական ինդեքս։ Դրական և բացասական ինդեքսների տարբերությունը կոչվում է քառակուսի ձևի ստորագրություն

Դրական որոշակի քառակուսի ձև.Իրական քառակուսի ձև կոչվում է դրական որոշակի (բացասական որոշակի), եթե փոփոխականների ցանկացած իրական արժեքների համար, որոնք միաժամանակ զրո չեն,

. (36)

Այս դեպքում մատրիցը կոչվում է նաև դրական որոշակի (բացասական որոշակի):

Դրական որոշիչ (բացասական որոշիչ) ձևերի դասը մտնում է ոչ բացասական (resp. ոչ դրական) ձևերի դասի մեջ։

Quadrics:Քառակուսի - n- ծավալային հիպերմակերես ներս n+1-չափ տարածություն, որը սահմանվում է որպես երկրորդ աստիճանի բազմանդամի զրոների բազմություն։ Եթե ​​մուտքագրեք կոորդինատները ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (էվկլիդյան կամ աֆինական տարածության մեջ), քառյակի ընդհանուր հավասարումը.

Այս հավասարումը կարելի է ավելի կոմպակտ կերպով վերաշարադրել մատրիցային նշումով.

որտեղ x = ( x 1 , x 2 , x n+1) - տողի վեկտոր, x T-ն փոխադրված վեկտոր է, Ք- չափի մատրիցա ( n+1)×( n+1) (ենթադրվում է, որ դրա տարրերից առնվազն մեկը զրոյական չէ), Պշարքի վեկտոր է, և Ռ- մշտական. Առավել հաճախ դիտարկվում են իրական կամ բարդ թվերի նկատմամբ քառակուսիները: Սահմանումը կարող է տարածվել նախագծային տարածության քառակուսիների վրա, տես ստորև:

Ավելի ընդհանուր առմամբ, բազմանդամ հավասարումների համակարգի զրոների բազմությունը հայտնի է որպես հանրահաշվական բազմազանություն։ Այսպիսով, քառյակը երկրորդ աստիճանի (աֆին կամ պրոյեկտիվ) հանրահաշվական բազմազանություն է և 1 կոդիման:

Հարթության և տարածության փոխակերպումներ.

Ինքնաթիռի փոխակերպման սահմանում. Շարժման հայտնաբերում. շարժման հատկությունները. Երկու տեսակի շարժումներ՝ առաջին տեսակի շարժում և երկրորդ տեսակի շարժում։ Շարժումների օրինակներ. Շարժման վերլուծական արտահայտություն. Հարթության շարժումների դասակարգում (կախված ֆիքսված կետերի և անփոփոխ գծերի առկայությունից): Ինքնաթիռի շարժումների խումբ.

Հարթության փոխակերպման սահմանում. Սահմանում.Հարթության փոխակերպումը, որը պահպանում է կետերի միջև հեռավորությունը, կոչվում է շարժումըինքնաթիռի (կամ շարժումը): Հարթության փոխակերպումը կոչվում է աֆին, եթե նույն ուղիղի վրա ընկած ցանկացած երեք կետերը վերածում է երեք կետերի, որոնք նույնպես գտնվում են նույն ուղիղի վրա և միևնույն ժամանակ պահպանելով երեք կետերի պարզ կապը։

Շարժման սահմանում.Սրանք ձևի փոխակերպումներ են, որոնք պահպանում են կետերի միջև եղած հեռավորությունները: Եթե ​​երկու ֆիգուրները շարժման միջոցով ճշգրտորեն հավասարեցված են միմյանց, ապա այդ թվերը նույնն են, հավասար:

Շարժման հատկություններ.Ինքնաթիռի կողմնորոշումը պահպանող յուրաքանչյուր շարժում կամ զուգահեռ թարգմանություն է, կամ հարթության պտտում, որը կամ առանցքային սիմետրիա է կամ սահող: Շարժվելիս ուղիղ գծի վրա ընկած կետերը վերածվում են ուղիղ գծի վրա ընկած կետերի, և դրանց կարգը պահպանվում է հարաբերական դիրք. Շարժվելիս պահպանվում են կիսագծերի միջև եղած անկյունները։

Երկու տեսակի շարժումներ՝ առաջին տեսակի շարժում և երկրորդ տեսակի շարժում.Առաջին տեսակի շարժումներն այն շարժումներն են, որոնք պահպանում են որոշակի գործչի հիմքերի կողմնորոշումը։ Դրանք կարող են իրականացվել շարունակական շարժումներով։

Երկրորդ տեսակի շարժումներն այն շարժումներն են, որոնք փոխում են հիմքերի կողմնորոշումը դեպի հակառակը: Դրանք չեն կարող իրականացվել շարունակական շարժումներով։

Առաջին տիպի շարժումների օրինակներն են ուղիղ գծի շուրջ փոխադրումը և պտույտը, իսկ երկրորդ տեսակի շարժումները կենտրոնական և հայելային համաչափություններ են:

Առաջին տեսակի ցանկացած շարժումների կազմը առաջին տեսակի շարժում է:

Երկրորդ տեսակի զույգ թվով շարժումների կազմը 1-ին տեսակի շարժում է, իսկ 2-րդ տեսակի կենտ թվով շարժումների կազմը 2-րդ տեսակի շարժում է:

Շարժումների օրինակներ.Զուգահեռ փոխանցում. Թող a լինի տրված վեկտորը: Զուգահեռ փոխանցումը a վեկտորին հարթության քարտեզագրումն է իր վրա, որում M յուրաքանչյուր կետ քարտեզագրվում է M 1 կետին, այնպես որ MM 1 վեկտորը հավասար է a վեկտորին:

Զուգահեռ թարգմանությունը շարժում է, քանի որ այն հարթության քարտեզագրումն է իր վրա՝ պահպանելով հեռավորությունները: Այս շարժումը տեսողականորեն կարող է ներկայացվել որպես ամբողջ հարթության տեղաշարժ տվյալ վեկտորի a ուղղությամբ իր երկարությամբ:

Պտտել.Նշանակենք O կետը հարթության վրա ( շրջադարձային կենտրոն) և սահմանեք α անկյունը ( ռոտացիայի անկյուն) Օ կետի շուրջ հարթության պտույտը α անկյան տակ հարթության քարտեզագրումն է իր վրա, որում M յուրաքանչյուր կետ գծագրվում է M 1 կետին, այնպես, որ OM = OM 1, իսկ MOM 1 անկյունը հավասար է α-ի: Այս դեպքում O կետը մնում է իր տեղում, այսինքն՝ այն քարտեզագրվում է իր վրա, իսկ մյուս բոլոր կետերը պտտվում են O կետի շուրջը նույն ուղղությամբ՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ կամ հակառակ ուղղությամբ (նկարը ցույց է տալիս ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտույտ):

Պտտումը շարժում է, քանի որ այն ներկայացնում է ինքնաթիռի քարտեզագրում իր վրա, որտեղ պահպանվում են հեռավորությունները:

Շարժման վերլուծական արտահայտություն.Նախապատկերի և կետի պատկերի կոորդինատների վերլուծական կապն ունի (1) ձևը։

Հարթության շարժումների դասակարգում (կախված ֆիքսված կետերի և անփոփոխ գծերի առկայությունից). Սահմանում.

Հարթության վրա կետը անփոփոխ է (ֆիքսված), եթե տրված փոխակերպման դեպքում այն ​​վերածվում է ինքն իրեն:

Օրինակ. Կենտրոնական համաչափությամբ համաչափության կենտրոնի կետը անփոփոխ է: Պտտվելիս պտտման կենտրոնի կետը անփոփոխ է։ Առանցքային համաչափությամբ անփոփոխ գիծը ուղիղ գիծ է - համաչափության առանցքը անփոփոխ կետերի ուղիղ գիծ է:

Թեորեմ. Եթե շարժումը չունի մեկ անփոփոխ կետ, ապա այն ունի առնվազն մեկ անփոփոխ ուղղություն:

Օրինակ՝ զուգահեռ փոխանցում: Իրոք, այս ուղղությանը զուգահեռ ուղիղ գծերը որպես ամբողջություն անփոփոխ են, թեև այն բաղկացած չէ անփոփոխ կետերից:

Թեորեմ. Եթե ճառագայթը շարժվում է, ճառագայթը վերածվում է իր մեջ, ապա այս շարժումը կամ նույնական փոխակերպում է կամ համաչափություն տվյալ ճառագայթ պարունակող ուղիղ գծի նկատմամբ:

Ուստի, ելնելով անփոփոխ կետերի կամ թվերի առկայությունից, հնարավոր է դասակարգել շարժումները։

Շարժման անվանումը	Անփոփոխ կետեր	Անփոփոխ գծեր
Առաջին տեսակի շարժում.
1. - հերթափոխ	(կենտրոն) - 0	Ոչ
2. Ինքնության փոխակերպում	ինքնաթիռի բոլոր կետերը	բոլորը ուղիղ
3. Կենտրոնական համաչափություն	կետ 0 - կենտրոն	0 կետով անցնող բոլոր տողերը
4. Զուգահեռ փոխանցում	Ոչ	բոլորը ուղիղ
Երկրորդ տեսակի շարժում.
5. Սռնու համաչափություն.	միավորների հավաքածու	համաչափության առանցք (ուղիղ) բոլոր ուղիղները

Ինքնաթիռի շարժման խումբ.Երկրաչափության մեջ կարևոր դերխաղում են ինքնակազմակերպվող ֆիգուրների խմբեր: Եթե ​​հարթության վրա (կամ տարածության մեջ) որոշակի կերպար է, ապա մենք կարող ենք դիտարկել հարթության (կամ տարածության) բոլոր այն շարժումների բազմությունը, որոնց ընթացքում պատկերը վերածվում է ինքն իրեն:

Այս հավաքածուն խմբակային է։ Օրինակ, հավասարակողմ եռանկյունու համար հարթության շարժումների խումբը, որը եռանկյունին վերածում է իր մեջ, բաղկացած է 6 տարրից՝ պտույտներ անկյունների միջով կետի շուրջ և համաչափություններ երեք ուղիղների շուրջ։

Դրանք ներկայացված են Նկ. 1 կարմիր գծերով. Կանոնավոր եռանկյան ինքնահաստատման խմբի տարրերը կարելի է տարբեր կերպ նշել։ Դա բացատրելու համար կանոնավոր եռանկյան գագաթները համարակալենք 1, 2, 3 թվերով: Եռանկյան ցանկացած ինքնահաստատում 1, 2, 3 կետերը տանում է նույն կետերին, բայց վերցված այլ հերթականությամբ, այսինքն. կարելի է պայմանականորեն գրել հետևյալ փակագծերից մեկի ձևով.

և այլն:

որտեղ 1, 2, 3 թվերը ցույց են տալիս այն գագաթների թվերը, որոնց մեջ մտնում են 1, 2, 3 գագաթները դիտարկվող շարժման արդյունքում։

Պրոյեկտիվ տարածությունները և դրանց մոդելները.

Պրոյեկտիվ տարածության հայեցակարգը և պրոյեկտիվ տարածության մոդելը: Պրոյեկտիվ երկրաչափության հիմնական փաստերը. O կետում կենտրոնացած գծերի մի փունջ պրոյեկտիվ հարթության մոդել է: Պրոյեկտիվ կետեր. Ընդլայնված հարթությունը պրոեկտիվ հարթության մոդելն է։ Ընդլայնված եռաչափ աֆին կամ էվկլիդյան տարածությունը պրոյեկտիվ տարածության մոդել է։ Հարթ և տարածական ֆիգուրների պատկերներ զուգահեռ ձևավորման մեջ:

Պրոյեկտիվ տարածության հայեցակարգը և պրոյեկտիվ տարածության մոդելը.

Պրոյեկտիվ տարածությունը դաշտի վրա դա տարածություն է, որը բաղկացած է տվյալ դաշտի վրա որոշ գծային տարածության գծերից (միաչափ ենթատարածություններից): Ուղղակի տարածությունները կոչվում են կետերպրոյեկտիվ տարածություն. Այս սահմանումը կարելի է ընդհանրացնել կամայական մարմնին

Եթե ​​այն ունի չափում, ապա պրոյեկտիվ տարածության չափը կոչվում է թիվ, իսկ պրոյեկտիվ տարածությունն ինքնին նշվում և կոչվում է կապված (դա ցույց տալու համար ընդունվում է նշումը):

Չափման վեկտորային տարածությունից դեպի համապատասխան պրոյեկտիվ տարածություն կոչվում է անցում պրոյեկտիվացումտարածություն.

Կետերը կարելի է նկարագրել միատարր կոորդինատների միջոցով:

Պրոյեկտիվ երկրաչափության հիմնական փաստերը.Պրոյեկտիվ երկրաչափությունը երկրաչափության ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է պրոյեկտիվ հարթություններն ու տարածությունները։ Հիմնական առանձնահատկությունըՊրոյեկտիվ երկրաչափությունը հիմնված է երկակիության սկզբունքի վրա, որը նրբագեղ համաչափություն է հաղորդում բազմաթիվ դիզայնի: Պրոյեկտիվ երկրաչափությունը կարելի է ուսումնասիրել և՛ զուտ երկրաչափական, և՛ վերլուծական (միատարր կոորդինատների օգտագործմամբ) և սալգեբրային տեսանկյունից՝ նախագծային հարթությունը դիտարկելով որպես դաշտի վրա գտնվող կառուցվածք։ Հաճախ և պատմականորեն իրական պրոյեկտիվ հարթությունը համարվում է Էվկլիդյան հարթությունը՝ «գիծ անսահմանության մեջ» հավելումով։

Մինչդեռ այն պատկերների հատկությունները, որոնց հետ առնչվում է Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը մետրիկ(անկյունների, հատվածների, տարածքների հատուկ արժեքները), և թվերի համարժեքությունը համարժեք է դրանց համընկնում(այսինքն, երբ թվերը կարող են փոխակերպվել միմյանց շարժման միջոցով՝ պահպանելով մետրային հատկությունները), կան ավելի շատ «խորը ընկած» հատկություններ երկրաչափական ձևեր, որոնք պահպանվում են ավելի քան փոխակերպումների ժամանակ ընդհանուր տեսակքան շարժումը։ Պրոյեկտիվ երկրաչափությունը ուսումնասիրում է այն գործիչների հատկությունները, որոնք դասի տակ անփոփոխ են պրոյեկտիվ փոխակերպումներ, ինչպես նաև հենց այս փոխակերպումները։

Պրոյեկտիվ երկրաչափությունը լրացնում է Էվկլիդեսը՝ ապահովելով գեղեցիկ և պարզ լուծումներզուգահեռ գծերի առկայությամբ բարդացած բազմաթիվ խնդիրների համար: Հատկապես պարզ և էլեգանտ է կոնի հատվածների պրոյեկտիվ տեսությունը։

Պրոյեկտիվ երկրաչափության երեք հիմնական մոտեցում կա՝ անկախ աքսիոմատիզացիա, էվկլիդեսյան երկրաչափության լրացում և դաշտի վրա կառուցվածք։

Աքսիոմատիզացիա

Պրոյեկտիվ տարածությունը կարելի է սահմանել՝ օգտագործելով աքսիոմների տարբեր հավաքածու:

Coxeter-ը տրամադրում է հետևյալը.

1. Կա ուղիղ գիծ, ​​և դրա վրա չկա կետ:

2. Յուրաքանչյուր տող ունի առնվազն երեք կետ:

3. Երկու կետերի միջով կարող եք ուղիղ մեկ ուղիղ գիծ գծել։

4. Եթե Ա, Բ, Գ, Եվ Դ- տարբեր կետեր և ԱԲԵվ CDհատվում են, ուրեմն A.C.Եվ ԲԴհատել.

5. Եթե ABCինքնաթիռ է, ուրեմն ինքնաթիռում գոնե մի կետ կա ABC.

6. Երկու տարբեր հարթություններ հատում են առնվազն երկու կետ:

7. Ամբողջական քառանկյան երեք անկյունագծային կետերը համագիծ չեն:

8. Եթե երեք կետ մի գծի վրա է X X

Պրոյեկտիվ հարթությունը (առանց երրորդ հարթության) որոշվում է մի փոքր տարբեր աքսիոմներով.

1. Երկու կետերի միջով կարող եք ուղիղ մեկ ուղիղ գիծ գծել։

2. Ցանկացած երկու ուղիղ հատվում են:

3. Կան չորս կետեր, որոնցից երեքը համագիծ չեն:

4. Ամբողջական քառանկյունների երեք անկյունագծային կետերը համագիծ չեն:

5. Եթե երեք կետ գտնվում է գծի վրա Xանփոփոխ են φ-ի պրոյեկտիվության նկատմամբ, այնուհետև բոլոր կետերը Xանփոփոխ՝ φ-ի նկատմամբ։

6. Դեզարգի թեորեմ. Եթե երկու եռանկյունները հեռանկարային են մի կետի միջով, ապա դրանք ուղիղ են:

Երրորդ հարթության առկայության դեպքում Դեզարգի թեորեմը կարող է ապացուցվել առանց իդեալական կետի և ուղիղի ներմուծման։

Ընդլայնված ինքնաթիռ - նախագծային ինքնաթիռի մոդել. A3 աֆինային տարածությունում վերցնում ենք S(O) ուղիղների մի կապ, որի կենտրոնը գտնվում է O կետում և հարթություն Π, որը չի անցնում փաթեթի կենտրոնով. O 6∈ Π: Աֆինային տարածության մեջ գծերի փաթեթը պրոեկտիվ հարթության մոդել է: Եկեք սահմանենք Պ հարթության կետերի բազմության քարտեզագրումը միացնող S-ի ուղիղ գծերի վրա (ֆաք, աղոթեք, եթե ստացել եք այս հարցը, ներիր ինձ)

Ընդլայնված եռաչափ աֆին կամ էվկլիդյան տարածություն՝ պրոյեկտիվ տարածության մոդել.

Քարտեզագրման ուրվագիծը դարձնելու համար մենք կրկնում ենք Պ աֆին հարթությունը պաշտոնապես երկարացնելու գործընթացը դեպի պրոյեկտիվ հարթություն, Π՝ լրացնելով Π հարթությունը ոչ պատշաճ կետերով (M∞) այնպես, որ՝ ((M∞)) = P0 (O). Քանի որ քարտեզում S(O) հարթությունների փաթեթի յուրաքանչյուր հարթության հակադարձ պատկերը ուղիղ է d հարթության վրա, ակնհայտ է, որ ընդլայնված հարթության բոլոր ոչ պատշաճ կետերի բազմությունը. Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), ներկայացնում է ընդլայնված հարթության ոչ պատշաճ d∞ ուղիղ, որը Պ0 եզակի հարթության հակադարձ պատկերն է՝ (d∞) = P0(O) (= Π0): (I.23) Համաձայնենք, որ այստեղ և այսուհետ մենք կհասկանանք P0(O) = Π0 վերջին հավասարությունը միավորների բազմությունների հավասարության իմաստով, բայց օժտված այլ կառուցվածքով։ Աֆինային հարթությունը ոչ պատշաճ գծով լրացնելով, մենք համոզվեցինք, որ քարտեզագրումը (I.21) դարձավ բիեկտիվ ընդլայնված հարթության բոլոր կետերի վրա.

Հարթ և տարածական ֆիգուրների պատկերներ զուգահեռ ձևավորման ժամանակ.

Ստերեոմետրիայում ուսումնասիրվում են տարածական պատկերները, սակայն գծագրում դրանք պատկերված են հարթ ֆիգուրների տեսքով։ Ինչպե՞ս պետք է տիեզերական պատկերը պատկերվի հարթության վրա: Սովորաբար երկրաչափության մեջ դրա համար օգտագործվում է զուգահեռ ձևավորում: Թող p լինի ինչ-որ հարթություն, լ- այն հատող ուղիղ գիծ (նկ. 1): կամայական կետի միջոցով Ա, գծին չպատկանող լ, գծեք գծին զուգահեռ գիծ լ. Այս ուղիղի հատման կետը p հարթության հետ կոչվում է կետի զուգահեռ պրոյեկցիա Ադեպի p հարթություն ուղիղ գծի ուղղությամբ լ. Նշանակենք Ա«Եթե կետը Ապատկանում է գծին լ, ապա զուգահեռ պրոյեկցիայի միջոցով Ագծի հատման կետը համարվում է p հարթության վրա լինքնաթիռով պ.

Այսպիսով, յուրաքանչյուր կետ Ատարածությունը համեմատվում է դրա պրոյեկցիան Ա«p հարթության վրա: Այս համապատասխանությունը կոչվում է զուգահեռ պրոյեկցիա p հարթության վրա ուղիղ գծի ուղղությամբ: լ.

Պրոյեկտիվ փոխակերպումների խումբ. Դիմում խնդիրների լուծման համար.

Ինքնաթիռի պրոյեկտիվ փոխակերպման հայեցակարգը. Ինքնաթիռի պրոյեկտիվ փոխակերպումների օրինակներ. Պրոյեկտիվ փոխակերպումների հատկությունները. Հոմոլոգիա, հոմոլոգիայի հատկություններ։ Պրոյեկտիվ փոխակերպումների խումբ.

Ինքնաթիռի պրոյեկտիվ փոխակերպման հայեցակարգը.Պրոյեկտիվ փոխակերպման հայեցակարգը ընդհանրացնում է կենտրոնական պրոյեկցիայի հայեցակարգը: Եթե ​​α հարթության կենտրոնական պրոյեկցիան կատարենք α 1 հարթության վրա, ապա α 1-ի պրոյեկցիան α 2-ի վրա, α 2-ը α 3-ի վրա, ... և վերջապես, α որոշ հարթության վրա: nկրկին α 1-ի վրա, ապա այս բոլոր կանխատեսումների կազմը α հարթության պրոյեկտիվ փոխակերպումն է. Նման շղթայի մեջ կարող են ներառվել նաև զուգահեռ կանխատեսումները։

Պրոյեկտիվ հարթության փոխակերպումների օրինակներ.Ավարտված հարթության պրոյեկտիվ փոխակերպումը նրա մեկ առ մեկ քարտեզագրումն է իր վրա, որտեղ պահպանվում է կետերի համագծայինությունը, կամ, այլ կերպ ասած, ցանկացած գծի պատկերը ուղիղ գիծ է: Ցանկացած պրոյեկտիվ փոխակերպում իրենից ներկայացնում է կենտրոնական և զուգահեռ պրոեկցիաների շղթայի կազմություն: Աֆինային փոխակերպումը պրոյեկտիվ փոխակերպման հատուկ դեպք է, երբ անսահմանության գիծը վերածվում է ինքն իրեն:

Պրոյեկտիվ փոխակերպումների հատկությունները.

Պրոյեկտիվ փոխակերպման ժամանակ գծի վրա չգտնվող երեք կետերը վերածվում են գծի վրա չգտնվող երեք կետերի:

Պրոյեկտիվ փոխակերպման ժամանակ շրջանակը դառնում է շրջանակ։

Պրոյեկտիվ փոխակերպման ժամանակ գիծը անցնում է ուղիղ գծի, իսկ մատիտը՝ մատիտի։

Հոմոլոգիա, հոմոլոգիայի հատկություններ.

Հարթության պրոեկտիվ փոխակերպումը, որն ունի անփոփոխ կետերի ուղիղ, հետևաբար անփոփոխ գծերի մատիտ, կոչվում է հոմոլոգիա:

1. Չհամընկնող համապատասխան հոմոլոգիայի կետերով անցնող ուղիղը անփոփոխ ուղիղ է.

2. Չհամընկնող համապատասխան հոմոլոգիայի կետերով անցնող գծերը պատկանում են նույն մատիտին, որի կենտրոնը անփոփոխ կետ է։

3. Կետը, նրա պատկերը և հոմոոլոգիայի կենտրոնը նույն ուղիղ գծի վրա են։

Պրոյեկտիվ փոխակերպումների խումբ.Դիտարկենք նախագծային հարթության P 2-ի նախագծային քարտեզագրումը իր վրա, այսինքն՝ այս հարթության պրոյեկտիվ փոխակերպումը (P 2 = P 2):

Ինչպես և նախկինում, նախագծային հարթության f 1 և f 2 փոխակերպումների f կազմը f 1 և f 2 փոխակերպումների հաջորդական կատարման արդյունք է՝ f = f 2 °f 1:

Թեորեմ 1. Պրոյեկտիվ հարթության բոլոր պրոյեկտիվ փոխակերպումների H բազմությունը խումբ է պրոյեկտիվ փոխակերպումների կազմի նկատմամբ։

Քառակուսի ձև n փոփոխականների f(x 1, x 2,...,x n) գումար է, որի յուրաքանչյուր անդամ կամ փոփոխականներից մեկի քառակուսին է, կամ երկու տարբեր փոփոխականների արտադրյալը՝ վերցված որոշակի գործակցով. f. (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji):

Այս գործակիցներից կազմված A մատրիցը կոչվում է քառակուսի ձևի մատրիցա։ Դա միշտ է սիմետրիկմատրիցա (այսինքն՝ հիմնական անկյունագծի նկատմամբ սիմետրիկ մատրիցա, a ij =a ji):

Մատրիցային նշումներում քառակուսի ձևը f(X) = X T AX է, որտեղ

Իսկապես

Օրինակ՝ քառակուսի ձևը գրենք մատրիցային տեսքով։

Դա անելու համար մենք գտնում ենք քառակուսի ձևի մատրիցա: Նրա անկյունագծային տարրերը հավասար են քառակուսի փոփոխականների գործակիցներին, իսկ մնացած տարրերը հավասար են քառակուսի ձևի համապատասխան գործակիցների կեսերին։ Ահա թե ինչու

Թող X փոփոխականների մատրից-սյունակը ստացվի Y մատրից-սյունակի ոչ այլասերված գծային փոխակերպմամբ, այսինքն. X = CY, որտեղ C-ն n-րդ կարգի ոչ եզակի մատրից է: Այնուհետև f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y քառակուսի ձևը:

Այսպիսով, C ոչ այլասերված գծային փոխակերպմամբ քառակուսի ձևի մատրիցը ստանում է ձև՝ A * =C T AC:

Օրինակ՝ գտնենք f(y 1, y 2) քառակուսի ձևը, որը ստացվել է f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 քառակուսի ձևից գծային փոխակերպմամբ։

Քառակուսի ձևը կոչվում է կանոնական(ունի կանոնական տեսակետ), եթե նրա բոլոր գործակիցները ij = 0 i≠j-ի համար, այսինքն՝ f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Դրա մատրիցը անկյունագծային է:

Թեորեմ(ապացույցն այստեղ ներկայացված չէ): Ցանկացած քառակուսի ձև կարող է վերածվել կանոնական ձևի՝ օգտագործելով ոչ այլասերված գծային փոխակերպումը:

Օրինակ՝ եկեք կանոնական ձևի բերենք քառակուսի f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3:

Դա անելու համար նախ ընտրեք ամբողջական քառակուսի x 1 փոփոխականով:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3:

Այժմ մենք ընտրում ենք ամբողջական քառակուսի x 2 փոփոխականով.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Այնուհետև ոչ այլասերված գծային փոխակերպումը y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 և y 3 = x 3 բերում է այս քառակուսային ձևը կանոնական ձևի (y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2:

Նկատի ունեցեք, որ քառակուսի ձևի կանոնական ձևը որոշվում է երկիմաստորեն (նույն քառակուսի ձևը կարող է կրճատվել կանոնական ձևի տարբեր ձևերով 1). Սակայն ստացված տարբեր ձևերովկանոնական ձևերն ունեն մի շարք ընդհանուր հատկություններ. Մասնավորապես, քառակուսի ձևի դրական (բացասական) գործակիցներով տերմինների քանակը կախված չէ ձևը այս ձևին իջեցնելու մեթոդից (օրինակ, դիտարկված օրինակում միշտ կլինի երկու բացասական և մեկ դրական գործակից): Այս գույքը կոչվում է Քառակուսային ձևերի իներցիայի օրենքը.

Եկեք ստուգենք դա՝ նույն քառակուսի ձևը կանոնական ձևի բերելով այլ կերպ։ Սկսենք փոխակերպումը x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + փոփոխականով: 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1,y 2,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, որտեղ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 և y 3 = x 1: Այստեղ կա 2 դրական գործակից y 3-ի համար և երկու բացասական գործակից (-3) y 1-ի և y 2-ի համար (և օգտագործելով մեկ այլ մեթոդ՝ մենք ստացել ենք 2 դրական գործակից y 1-ի համար և երկու բացասական գործակից՝ (-5) y 2-ի համար և (-1/20) y 3-ի համար):

Հարկ է նաև նշել, որ քառակուսի ձևի մատրիցայի աստիճանը, որը կոչվում է քառակուսի ձևի աստիճան, հավասար է կանոնական ձևի ոչ զրոյական գործակիցների թվին և չի փոխվում գծային փոխակերպումների դեպքում։

f(X) քառակուսի ձևը կոչվում է դրականորեն(բացասական)որոշակի, եթե փոփոխականների բոլոր արժեքների համար, որոնք միաժամանակ զրո չեն, այն դրական է, այսինքն՝ f(X) > 0 (բացասական, այսինքն՝ f(X)< 0).

Օրինակ՝ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, քանի որ. քառակուսիների գումար է, իսկ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է, քանի որ ներկայացնում է այն կարող է ներկայացվել որպես f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2:

Շատ գործնական իրավիճակներում որոշ չափով ավելի դժվար է քառակուսի ձևի որոշակի նշան հաստատելը, ուստի դրա համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ թեորեմներից մեկը (մենք կձևակերպենք դրանք առանց ապացույցի):

Թեորեմ. Քառակուսի ձևը դրական (բացասական) որոշակի է, եթե և միայն եթե բոլորը սեփական արժեքներդրա մատրիցները դրական են (բացասական):

Թեորեմ (Սիլվեստրի չափանիշ). Քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս ձևի մատրիցայի բոլոր առաջատար փոքրերը դրական են:

Հիմնական (անկյունային) մանր An-րդ կարգի k-րդ կարգի մատրիցները կոչվում են մատրիցի որոշիչ, որը կազմված է A մատրիցի առաջին k տողերից և սյունակներից:

Նկատի ունեցեք, որ բացասական հստակ քառակուսի ձևերի համար հիմնական անչափահասների նշանները փոխարինվում են, իսկ առաջին կարգի փոքրը պետք է լինի բացասական:

Օրինակ, եկեք ուսումնասիրենք f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 քառակուսի ձևը նշանի որոշակիության համար:

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Հետևաբար, քառակուսի ձևը դրական որոշակի է:

Մեթոդ 2. A մատրիցի առաջին կարգի հիմնական մինոր  1 =a 11 = 2 > 0. Երկրորդ կարգի հիմնական մինոր  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Հետևաբար, ըստ Սիլվեստրի չափանիշի, քառակուսի. ձևը դրական է որոշակի.

Եկեք քննենք նշանի որոշակիության մեկ այլ քառակուսի ձև՝ f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2:

Մեթոդ 1. Կառուցենք A = քառակուսային ձևի մատրիցա: Բնութագրական հավասարումը կունենա ձև = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Հետևաբար, քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է:

Մեթոդ 2. A  1 =a 11 = = -2 մատրիցայի առաջին կարգի հիմնական մինոր< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Հետևաբար, ըստ Սիլվեստրի չափանիշի, քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է (գլխավոր անչափահասների նշանները փոխարինվում են՝ սկսած մինուսից):

Եվ որպես մեկ այլ օրինակ, մենք ուսումնասիրում ենք նշանով որոշված ​​քառակուսի ձևը f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2:

Մեթոդ 1. Կառուցենք A = քառակուսային ձևի մատրիցա: Բնութագրական հավասարումը կունենա ձև = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Այս թվերից մեկը բացասական է, մյուսը՝ դրական։ Սեփական արժեքների նշանները տարբեր են. Հետևաբար, քառակուսի ձևը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ էլ դրական որոշիչ, այսինքն. այս քառակուսի ձևը նշանով որոշակի չէ (այն կարող է վերցնել ցանկացած նշանի արժեքներ):

Մեթոդ 2. A մատրիցի առաջին կարգի հիմնական մինոր  1 =a 11 = 2 > 0. Երկրորդ կարգի հիմնական մինոր 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 Քառակուսի ձևը կանոնականի վերածելու դիտարկված մեթոդը հարմար է օգտագործել, երբ փոփոխականների քառակուսիներով հանդիպում են ոչ զրոյական գործակիցներ: Եթե ​​դրանք չկան, դեռ հնարավոր է իրականացնել փոխակերպումը, բայց դուք պետք է օգտագործեք որոշ այլ տեխնիկա: Օրինակ, թող f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, որտեղ y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2:

Քառակուսի ձևեր

Քառակուսի ձև n փոփոխականների f(x 1, x 2,...,x n) գումար է, որի յուրաքանչյուր անդամ կամ փոփոխականներից մեկի քառակուսին է, կամ երկու տարբեր փոփոխականների արտադրյալը՝ վերցված որոշակի գործակցով. f. (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji):

Այս գործակիցներից կազմված A մատրիցը կոչվում է քառակուսի ձևի մատրիցա։ Դա միշտ է սիմետրիկմատրիցա (այսինքն մատրիցա, որը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծի նկատմամբ, a ij = a ji):

Մատրիցային նշումներում քառակուսի ձևը f(X) = X T AX է, որտեղ

Իսկապես

Օրինակ՝ քառակուսի ձևը գրենք մատրիցային տեսքով։

Դա անելու համար մենք գտնում ենք քառակուսի ձևի մատրիցա: Նրա անկյունագծային տարրերը հավասար են քառակուսի փոփոխականների գործակիցներին, իսկ մնացած տարրերը հավասար են քառակուսի ձևի համապատասխան գործակիցների կեսերին։ Ահա թե ինչու

Թող X փոփոխականների մատրից-սյունակը ստացվի Y մատրից-սյունակի ոչ այլասերված գծային փոխակերպմամբ, այսինքն. X = CY, որտեղ C-ն n-րդ կարգի ոչ եզակի մատրից է: Այնուհետև քառակուսի ձևը
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y:

Այսպիսով, C ոչ այլասերված գծային փոխակերպման դեպքում քառակուսի ձևի մատրիցը ստանում է ձև՝ A * = C T AC:

Օրինակ՝ գտնենք f(y 1, y 2) քառակուսի ձևը, որը ստացվել է f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 քառակուսի ձևից գծային փոխակերպմամբ։

Քառակուսի ձևը կոչվում է կանոնական(ունի կանոնական տեսակետ), եթե նրա բոլոր գործակիցները a ij = 0 i ≠ j-ի համար, այսինքն.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Դրա մատրիցը անկյունագծային է:

Թեորեմ(ապացույցն այստեղ ներկայացված չէ): Ցանկացած քառակուսի ձև կարող է վերածվել կանոնական ձևի՝ օգտագործելով ոչ այլասերված գծային փոխակերպումը:

Օրինակ, եկեք կրճատենք քառակուսի ձևը կանոնական ձևի
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3:

Դա անելու համար նախ ընտրեք ամբողջական քառակուսի x 1 փոփոխականով:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3:

Այժմ մենք ընտրում ենք ամբողջական քառակուսի x 2 փոփոխականով.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Այնուհետև ոչ այլասերված գծային փոխակերպումը y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 և y 3 = x 3 բերում է այս քառակուսային ձևը f(y 1, y 2 կանոնական ձևին: , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2:

Նկատի ունեցեք, որ քառակուսի ձևի կանոնական ձևը որոշվում է երկիմաստորեն (միևնույն քառակուսի ձևը կարող է վերածվել կանոնական ձևի տարբեր ձևերով): Այնուամենայնիվ, տարբեր մեթոդներով ստացված կանոնական ձևերը ունեն մի շարք ընդհանուր հատկություններ. Մասնավորապես, քառակուսի ձևի դրական (բացասական) գործակիցներով տերմինների քանակը կախված չէ ձևը այս ձևին իջեցնելու մեթոդից (օրինակ, դիտարկված օրինակում միշտ կլինի երկու բացասական և մեկ դրական գործակից): Այս գույքը կոչվում է Քառակուսային ձևերի իներցիայի օրենքը.

Եկեք ստուգենք դա՝ նույն քառակուսի ձևը կանոնական ձևի բերելով այլ կերպ։ Սկսենք փոխակերպումը x 2 փոփոխականով.
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, որտեղ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 և y 3 = x 1: Այստեղ կա 2 դրական գործակից y 3-ում և երկու բացասական գործակից (-3) y 1 և y 2-ում (և օգտագործելով մեկ այլ մեթոդ մենք ստացել ենք դրական գործակից 2 y 1-ում և երկու բացասական գործակից - (-5) ժամը y 2 և (-1 /20) y 3-ում):

Հարկ է նաև նշել, որ քառակուսի ձևի մատրիցայի աստիճանը, որը կոչվում է քառակուսի ձևի աստիճան, հավասար է կանոնական ձևի ոչ զրոյական գործակիցների թվին և չի փոխվում գծային փոխակերպումների դեպքում։

f(X) քառակուսի ձևը կոչվում է դրականորեն (բացասական) որոշակի, եթե փոփոխականների բոլոր արժեքների համար, որոնք միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, այն դրական է, այսինքն. f(X) > 0 (բացասական, այսինքն.
f(X)< 0).

Օրինակ՝ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, քանի որ. քառակուսիների գումար է, իսկ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է, քանի որ ներկայացնում է այն կարող է ներկայացվել որպես f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2:

Շատ գործնական իրավիճակներում որոշ չափով ավելի դժվար է քառակուսի ձևի որոշակի նշան հաստատելը, ուստի դրա համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ թեորեմներից մեկը (մենք կձևակերպենք դրանք առանց ապացույցի):

Թեորեմ. Քառակուսի ձևը դրական (բացասական) որոշակի է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա մատրիցայի բոլոր սեփական արժեքները դրական են (բացասական):

Թեորեմ (Սիլվեստրի չափանիշ). Քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս ձևի մատրիցայի բոլոր առաջատար փոքրերը դրական են:

Հիմնական (անկյունային) մանր N-րդ կարգի A-րդ կարգի մատրիցը կոչվում է մատրիցի որոշիչ, որը կազմված է A մատրիցի առաջին k տողերից և սյունակներից:

Նկատի ունեցեք, որ բացասական հստակ քառակուսի ձևերի համար հիմնական անչափահասների նշանները փոխարինվում են, իսկ առաջին կարգի փոքրը պետք է լինի բացասական:

Օրինակ, եկեք ուսումնասիրենք f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 քառակուսի ձևը նշանի որոշակիության համար:

= (2 - լ)*
*(3 - լ) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Հետևաբար, քառակուսի ձևը դրական որոշակի է:

Մեթոդ 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 մատրիցայի առաջին կարգի հիմնական մինոր D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0: Հետևաբար, ըստ Սիլվեստերի չափանիշի, քառակուսի ձևը. դրական որոշակի.

Եկեք քննենք նշանի որոշակիության մեկ այլ քառակուսի ձև՝ f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2:

Մեթոդ 1. Կառուցենք A = քառակուսային ձևի մատրիցա: Բնութագրական հավասարումը կունենա ձև = (-2 - լ)*
*(-3 - լ) – 4 = (6 + 2լ + 3լ + լ 2) – 4 = լ 2 + 5լ + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Հետևաբար, քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է: