Théorème de Gauss. Théorème de Gauss pour l'induction électrique (déplacement électrique) Théorème de Gauss pour l'induction du champ électrique

Considérons comment la valeur du vecteur E change à l'interface entre deux milieux, par exemple l'air (ε 1) et l'eau (ε = 81). L’intensité du champ dans l’eau diminue brusquement d’un facteur 81. Ce comportement vectoriel E crée certains inconvénients lors du calcul des champs dans divers environnements. Pour éviter cet inconvénient, un nouveau vecteur est introduit D– vecteur d'induction ou déplacement électrique du champ. Connexion vectorielle D Et E on dirait

D = ε ε 0 E.

Évidemment, pour le champ d’une charge ponctuelle, le déplacement électrique sera égal à

Il est facile de voir que le déplacement électrique est mesuré en C/m2, ne dépend pas des propriétés et est représenté graphiquement par des lignes similaires aux lignes de tension.

La direction des lignes de champ caractérise la direction du champ dans l'espace (les lignes de champ n'existent bien sûr pas, elles sont introduites pour faciliter l'illustration) ou la direction du vecteur d'intensité de champ. À l'aide de lignes de tension, vous pouvez caractériser non seulement la direction, mais également l'ampleur de l'intensité du champ. Pour ce faire, il a été convenu de les réaliser avec une certaine densité, de sorte que le nombre de lignes de tension perçant une surface unitaire perpendiculaire aux lignes de tension soit proportionnel au module vectoriel E(Fig. 78). Alors le nombre de lignes pénétrant l'aire élémentaire dS, la normale à laquelle n forme un angle α avec le vecteur E, est égal à E dScos α = E n dS,

où E n est la composante vectorielle E dans le sens de la normale n. La valeur dФ E = E n dS = E d S appelé flux du vecteur de tension à travers le site d S(d S= dS n).

Pour une surface fermée arbitraire S, le flux vectoriel Eà travers cette surface est égale

Une expression similaire a le flux du vecteur de déplacement électrique Ф D

.

Théorème d'Ostrogradsky-Gauss

Ce théorème nous permet de déterminer le flux des vecteurs E et D à partir de n'importe quel nombre de charges. Prenons une charge ponctuelle Q et définissons le flux du vecteur Eà travers une surface sphérique de rayon r, au centre de laquelle il se trouve.

Pour une surface sphérique α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 et

Ф E = E · 4 πr 2 .

En remplaçant l'expression de E, nous obtenons

Ainsi, de chaque charge ponctuelle émerge un flux de vecteur F E Eégal à Q/ ε 0 . En généralisant cette conclusion au cas général d'un nombre arbitraire de charges ponctuelles, nous donnons la formulation du théorème : le flux total du vecteur Eà travers une surface fermée de forme arbitraire est numériquement égale à la somme algébrique des charges électriques contenues à l'intérieur de cette surface, divisée par ε 0, c'est-à-dire

Pour le flux vectoriel de déplacement électrique D tu peux obtenir une formule similaire

le flux du vecteur induction à travers une surface fermée est égal à la somme algébrique des charges électriques parcourues par cette surface.

Si nous prenons une surface fermée qui n’embrasse pas de charge, alors chaque ligne E Et D traversera cette surface deux fois - à l'entrée et à la sortie, le débit total s'avère donc être égal à zéro. Ici il faut prendre en compte la somme algébrique des lignes entrantes et sortantes.

Application du théorème d'Ostrogradsky-Gauss pour calculer les champs électriques créés par des plans, des sphères et des cylindres

Une surface sphérique de rayon R porte une charge Q, uniformément répartie sur la surface avec une densité surfacique σ

Prenons le point A à l'extérieur de la sphère à une distance r du centre et dessinons mentalement une sphère de rayon r chargée symétriquement (Fig. 79). Son aire est S = 4 πr 2. Le flux du vecteur E sera égal à

D'après le théorème d'Ostrogradsky-Gauss
, ainsi,
en tenant compte de que Q = σ 4 πr 2 , on obtient

Pour les points situés à la surface d'une sphère (R = r)

D Pour les points situés à l’intérieur d’une sphère creuse (il n’y a aucune charge à l’intérieur de la sphère), E = 0.

2 . Surface cylindrique creuse de rayon R et de longueur je chargé avec une densité de charge de surface constante
(Fig. 80). Traçons une surface cylindrique coaxiale de rayon r > R.

Vecteur de flux Eà travers cette surface

Par le théorème de Gauss

En égalant les membres droits des égalités ci-dessus, nous obtenons

.

Si la densité de charge linéaire du cylindre (ou du fil fin) est donnée
Que

3. Champ de plans infinis avec densité de charge de surface σ (Fig. 81).

Considérons le champ créé par un plan infini. Des considérations de symétrie, il s'ensuit que l'intensité en tout point du champ a une direction perpendiculaire au plan.

Aux points symétriques, E sera de même ampleur et de direction opposée.

Construisons mentalement la surface d'un cylindre de base ΔS. Ensuite un flux sortira par chacune des bases du cylindre

F E = E ΔS, et le débit total à travers la surface cylindrique sera égal à F E = 2E ΔS.

À l'intérieur de la surface se trouve une charge Q = σ · ΔS. D'après le théorème de Gauss, cela doit être vrai

où

Le résultat obtenu ne dépend pas de la hauteur du cylindre sélectionné. Ainsi, l’intensité du champ E à n’importe quelle distance est la même en amplitude.

Pour deux plans chargés différemment avec la même densité de charge de surface σ, selon le principe de superposition, en dehors de l'espace entre les plans l'intensité du champ est nulle E = 0, et dans l'espace entre les plans
(Fig. 82a). Si les plans sont chargés de charges similaires avec la même densité de charge de surface, l'image opposée est observée (Fig. 82b). Dans l'espace entre les plans E = 0, et dans l'espace hors des plans
.

La principale tâche appliquée de l'électrostatique est le calcul des champs électriques créés dans divers appareils et appareils. En général, ce problème est résolu en utilisant la loi de Coulomb et le principe de superposition. Toutefois, cette tâche devient très difficile si l’on considère grand nombre charges ponctuelles ou réparties spatialement. Des difficultés encore plus grandes surviennent lorsqu'il y a des diélectriques ou des conducteurs dans l'espace, lorsque sous l'influence d'un champ externe E 0 se produit une redistribution des charges microscopiques, créant leur propre champ supplémentaire E. Par conséquent, pour résoudre pratiquement ces problèmes, des méthodes et techniques auxiliaires sont utilisés qui utilisent des appareils mathématiques complexes. Nous considérerons la méthode la plus simple basée sur l'application du théorème d'Ostrogradsky-Gauss. Pour formuler ce théorème, nous introduisons plusieurs nouveaux concepts :

A) densité de charge

Si le corps chargé est grand, vous devez alors connaître la répartition des charges à l'intérieur du corps.

Densité de charge volumique– mesuré par la charge par unité de volume :

Densité de charge superficielle– mesuré par la charge par unité de surface d'un corps (lorsque la charge est répartie sur la surface) :

Densité de charge linéaire(répartition des charges le long du conducteur) :

b) vecteur d'induction électrostatique

Vecteur d'induction électrostatique (vecteur de déplacement électrique) est une grandeur vectorielle caractérisant le champ électrique.

Vecteur égal au produit du vecteur sur la constante diélectrique absolue du milieu en un point donné :

Vérifions la dimension D en unités SI :

, parce que
,

alors les dimensions D et E ne coïncident pas, et leurs valeurs numériques sont également différentes.

De la définition il s'ensuit que pour le champ vectoriel le même principe de superposition s'applique que pour le champ :

Champ représenté graphiquement par des lignes d'induction, tout comme le champ . Les lignes d'induction sont tracées de manière à ce que la tangente en chaque point coïncide avec la direction , et le nombre de lignes est égal à la valeur numérique de D en un emplacement donné.

Comprendre le sens de l'introduction Regardons un exemple.

V) flux vectoriel d'induction électrostatique

Considérons la surface S dans un champ électrique et choisissons la direction de la normale

1. Si le champ est uniforme, alors le nombre de lignes de champ traversant la surface S :

2. Si le champ n'est pas uniforme, alors la surface est divisée en éléments infinitésimaux dS, qui sont considérés comme plats et le champ autour d'eux est uniforme. Par conséquent, le flux traversant l’élément de surface est : dN = D n dS,

et le débit total à travers n’importe quelle surface est :

(6)

Le flux d'induction N est une quantité scalaire ; en fonction de  peut être > 0 ou< 0, или = 0.

Le plus difficile est d’étudier les phénomènes électriques dans un environnement électrique inhomogène. Dans un tel milieu, ε a des valeurs différentes, changeant brusquement à la limite diélectrique. Supposons que l'on détermine l'intensité du champ à l'interface entre deux milieux : ε 1 =1 (vide ou air) et ε 2 =3 (liquide - huile). À l'interface, lors de la transition du vide au diélectrique, l'intensité du champ diminue trois fois et le flux du vecteur intensité diminue du même montant (Fig. 12.25, a). Un changement brusque du vecteur d'intensité du champ électrostatique à l'interface entre deux milieux crée certaines difficultés lors du calcul des champs. Quant au théorème de Gauss, dans ces conditions il perd généralement son sens.

Étant donné que la polarisabilité et la tension de diélectriques différents sont différentes, le nombre de lignes de champ dans chaque diélectrique sera également différent. Cette difficulté peut être éliminée en introduisant une nouvelle caractéristique physique du champ, l'induction électrique D (ou vecteur déplacement électrique ).

D'après la formule

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const

En multipliant toutes les parties de ces égalités par la constante électrique ε 0 on obtient

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

Introduisons la notation ε 0 εE=D alors l'avant-dernière relation prendra la forme

D 1 = D 2 = D 0 = const

Le vecteur D, égal au produit de l'intensité du champ électrique dans le diélectrique et de sa constante diélectrique absolue, est appelévecteur de déplacement électrique

(12.45)

Unité de déplacement électrique – pendentif au mètre carré(C/m2).

Le déplacement électrique est une quantité vectorielle et peut également être exprimé sous la forme

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Contrairement à la tension E, le déplacement électrique D est constant dans tous les diélectriques (Fig. 12.25, b). Par conséquent, il convient de caractériser le champ électrique dans un milieu diélectrique inhomogène non pas par l'intensité E, mais par le vecteur déplacement D. Le vecteur D décrit le champ électrostatique créé par les charges libres (c'est-à-dire dans le vide), mais avec leur répartition dans l'espace comme en présence d'un diélectrique, puisque les charges liées apparaissant dans les diélectriques peuvent provoquer une redistribution des charges libres créant le champ.

Champ vectoriel est représenté graphiquement par des lignes de déplacement électrique de la même manière que le champ représenté par des lignes de force.

Ligne de déplacement électrique - ce sont des droites dont les tangentes en chaque point coïncident en direction avec le vecteur déplacement électrique.

Les lignes du vecteur E peuvent commencer et se terminer sur n'importe quelle charge - libre et liée, tandis que les lignes du vecteurD- uniquement sur les charges gratuites. Lignes vectoriellesDContrairement aux lignes de tension, elles sont continues.

Puisque le vecteur de déplacement électrique ne connaît pas de discontinuité à l'interface entre deux milieux, toutes les lignes d'induction émanant de charges entourées d'une surface fermée le pénétreront. Ainsi, pour le vecteur déplacement électrique, le théorème de Gauss conserve totalement sa signification pour un milieu diélectrique inhomogène.

Théorème de Gauss pour le champ électrostatique dans un diélectrique : le flux du vecteur déplacement électrique à travers une surface fermée arbitraire est égal à la somme algébrique des charges contenues à l'intérieur de cette surface.

(12.47)

Théorème de Gauss pour l'induction électrique (déplacement électrique)[

Pour un champ dans un milieu diélectrique, le théorème électrostatique de Gauss peut être écrit d'une autre manière (d'une manière alternative) - à travers le flux du vecteur de déplacement électrique (induction électrique). Dans ce cas, la formulation du théorème est la suivante : le flux du vecteur déplacement électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge électrique libre contenue à l'intérieur de cette surface :

Sous forme différentielle :

Théorème de Gauss pour l'induction magnétique

Le flux du vecteur induction magnétique à travers toute surface fermée est nul :

ou sous forme différentielle

Cela équivaut au fait que dans la nature, il n’existe pas de « charges magnétiques » (monopoles) qui créeraient un champ magnétique, de la même manière que les charges électriques créent un champ électrique. En d’autres termes, le théorème de Gauss pour l’induction magnétique montre que le champ magnétique est (complètement) vortex.

Théorème de Gauss pour la gravité newtonienne

Pour l’intensité du champ de gravité newtonienne (accélération gravitationnelle), le théorème de Gauss coïncide pratiquement avec celui de l’électrostatique, à l’exception des seules constantes (qui dépendent toutefois toujours du choix arbitraire du système d’unités) et, surtout, du signe :

Où g- l'intensité du champ gravitationnel, M- charge gravitationnelle (c'est-à-dire masse) à l'intérieur de la surface S, ρ - densité de masse, G- Constante newtonienne.

Conducteurs dans un champ électrique. Champ à l'intérieur d'un conducteur et à sa surface.

Les conducteurs sont des corps à travers lesquels des charges électriques peuvent passer d'un corps chargé à un corps non chargé. La capacité des conducteurs à faire passer des charges électriques à travers eux s'explique par la présence de porteurs de charge libres en eux. Conducteurs - corps métalliques à l'état solide et liquide, solutions liquides d'électrolytes. Les charges libres d'un conducteur introduit dans un champ électrique commencent à se déplacer sous son influence. La redistribution des charges provoque une modification du champ électrique. Lorsque l’intensité du champ électrique dans un conducteur devient nulle, les électrons arrêtent de bouger. Le phénomène de séparation de charges différentes dans un conducteur placé dans un champ électrique est appelé induction électrostatique. À l'intérieur du conducteur champ électrique Non. Ceci est utilisé pour la protection électrostatique - protection utilisant des conducteurs métalliques contre un champ électrique. La surface d'un corps conducteur de n'importe quelle forme dans un champ électrique est une surface équipotentielle.

Condensateurs

Pour obtenir des dispositifs qui, à faible potentiel par rapport au milieu, accumuleraient (condenseraient) des charges notables sur eux-mêmes, ils utilisent le fait que la capacité électrique d'un conducteur augmente à mesure que d'autres corps s'en approchent. En effet, sous l'influence du champ créé par les conducteurs chargés, des charges induites (sur le conducteur) ou associées (sur le diélectrique) apparaissent sur un corps amené à lui (Fig. 15.5). Les charges de signe opposé à la charge du conducteur q sont situées plus près du conducteur que celles du même nom avec q et ont donc une grande influence sur son potentiel.

Par conséquent, lorsqu’un corps est rapproché d’un conducteur chargé, l’intensité du champ diminue et, par conséquent, le potentiel du conducteur diminue. Selon l’équation, cela signifie une augmentation de la capacité du conducteur.

Le condensateur est constitué de deux conducteurs (plaques) (Fig. 15.6), séparés par une couche diélectrique. Lorsqu'une certaine différence de potentiel est appliquée à un conducteur, ses plaques sont chargées de charges égales de signe opposé. La capacité électrique d'un condensateur s'entend comme une grandeur physique proportionnelle à la charge q et inversement proportionnelle à la différence de potentiel entre les plaques.

Déterminons la capacité d'un condensateur plat.

Si la surface de la plaque est S et la charge dessus est q, alors l'intensité du champ entre les plaques

En revanche, la différence de potentiel entre les plaques vient de

Énergie d'un système de charges ponctuelles, d'un conducteur chargé et d'un condensateur.

Tout système de charges possède une certaine énergie d'interaction potentielle, qui est égale au travail consacré à la création de ce système. Énergie d'un système de charges ponctuelles q 1 , q 2 , q 3 ,… q N est défini comme suit :

Où φ 1 – potentiel du champ électrique créé par toutes les charges sauf q 1 au point où se situe la charge q 1, etc Si la configuration du système de charges change, alors l'énergie du système change également. Pour modifier la configuration du système, des travaux doivent être effectués.

L'énergie potentielle d'un système de charges ponctuelles peut être calculée d'une autre manière. Énergie potentielle de charges à deux points q 1 , q 2 à distance l'un de l'autre sont égaux. S'il y a plusieurs charges, alors l'énergie potentielle de ce système de charges peut être définie comme la somme des énergies potentielles de toutes les paires de charges pouvant être composées pour ce système. Ainsi, pour un système de trois charges positives, l’énergie du système est égale à

La densité de charge superficielle sur les plaques du condensateur est égale au rapport entre la quantité de charge qu'elle contient et la surface de la plaque :.

Énergie d'un conducteur solitaire chargé et d'un condensateur Si un conducteur isolé a une charge q, alors il y a un champ électrique autour de lui dont le potentiel à la surface du conducteur est égal à et la capacité est C. Augmentons la charge de la quantité dq. Lors du transfert de charge dq depuis l'infini, le travail doit être effectué égal à

. Mais le potentiel du champ électrostatique d’un conducteur donné à l’infini est nul. Alors

Lors du transfert de charge dq d'un conducteur vers l'infini, le même travail est effectué par les forces du champ électrostatique. Par conséquent, lorsque la charge du conducteur augmente d'une quantité dq, l'énergie potentielle du champ augmente, c'est-à-dire

En intégrant cette expression, on trouve l'énergie potentielle du champ électrostatique d'un conducteur chargé lorsque sa charge augmente de zéro à q :

En appliquant la relation, nous pouvons obtenir les expressions suivantes pour l’énergie potentielle W :