Et pourquoi est-ce nécessaire ? Nous savons déjà ce que sont un système de référence, une relativité du mouvement et un point matériel. Eh bien, il est temps de passer à autre chose ! Ici, nous examinerons les concepts de base de la cinématique, rassemblerons les formules les plus utiles pour les bases de la cinématique et donnerons un exemple pratique de résolution du problème.

Résolvons ce problème : un point se déplace dans un cercle d'un rayon de 4 mètres. La loi de son mouvement est exprimée par l'équation S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. A quel moment l'accélération normale d'un point est-elle égale à 9 m/s^2 ? Trouvez la vitesse, l'accélération tangentielle et totale du point à ce moment précis.

Solution : on sait que pour trouver la vitesse il faut prendre la dérivée première temporelle de la loi du mouvement, et l'accélération normale est égale au quotient du carré de la vitesse et du rayon du cercle le long duquel le point bouge. Forts de ces connaissances, nous trouverons les quantités requises.

Besoin d'aide pour résoudre des problèmes ? Le service professionnel aux étudiants est prêt à le fournir.

La vitesse d'un point se déplaçant en ligne droite. Vitesse instantanée. Trouver les coordonnées en fonction de la dépendance temporelle connue de la vitesse.

La vitesse de déplacement d'un point le long d'une ligne droite ou d'une ligne courbe donnée doit être définie à la fois sur la longueur du chemin parcouru par le point pendant une période de temps quelconque et sur son mouvement pendant le même intervalle ; ces valeurs peuvent ne pas être les mêmes si le mouvement s'est produit dans un sens ou dans l'autre le long du chemin

VITESSE INSTANTANÉE()

– grandeur physique vectorielle égale au rapport du mouvement Δ effectué par la particule dans un laps de temps très court Δt à cette période de temps.

Par période de temps très petite (ou, comme on dit, physiquement infinitésimale), on entend celle pendant laquelle le mouvement peut être considéré comme uniforme et rectiligne avec une précision suffisante.

À chaque instant, la vitesse instantanée est dirigée tangentiellement à la trajectoire le long de laquelle la particule se déplace.

Son unité SI est le mètre par seconde (m/s).

Méthodes vectorielles et coordonnées de mouvement de point. Vitesse et accélération.

La position d'un point dans l'espace peut être spécifiée de deux manières :

1) en utilisant les coordonnées,

2) en utilisant le vecteur rayon.
Dans le premier cas, la position du point est déterminée sur les axes du repère cartésien OX, OY, OZ associé au corps de référence (Fig. 3). Pour ce faire, à partir du point A, il faut abaisser respectivement les perpendiculaires au plan YZ (coordonnée x), XZ (coordonnée / y), XY (coordonnée z). Ainsi, la position d'un point peut être déterminée par les entrées A (x, y, z), et pour le cas illustré sur la Fig. C (x = 6, y = 10, z - 4,5), le point A est désigné comme suit : A (6, 10, 4,5).
Au contraire, si des valeurs spécifiques des coordonnées d'un point dans un système de coordonnées donné sont données, alors pour représenter le point, il est nécessaire de tracer les valeurs des coordonnées sur les axes correspondants et de construire un parallélépipède sur trois perpendiculaires entre elles. segments. Son sommet, opposé à l'origine des coordonnées O et situé sur la diagonale du parallélépipède, est le point A.
Si un point se déplace dans n'importe quel plan, il suffit alors de tracer deux axes de coordonnées OX et OY passant par la référence sélectionnée * au point.

La vitesse est une grandeur vectorielle égale au rapport du mouvement d'un corps au temps pendant lequel ce mouvement s'est produit. Avec un mouvement irrégulier, la vitesse d’un corps change avec le temps. Avec un tel mouvement, la vitesse est déterminée par la vitesse instantanée du corps. Instantané vitesse - vitesse corps à un instant donné ou à un point donné de la trajectoire.

Accélération. Avec un mouvement irrégulier, la vitesse change à la fois en ampleur et en direction. L'accélération est le taux de changement de vitesse. Il est égal au rapport entre la variation de la vitesse du corps et la période de temps pendant laquelle ce mouvement s'est produit.

Mouvement balistique. Mouvement uniforme d’un point matériel autour d’un cercle. Mouvement curviligne d'un point dans l'espace.

Mouvement uniforme en cercle.

Le mouvement d'un corps dans un cercle est curviligne, avec lui deux coordonnées et la direction du mouvement changent. La vitesse instantanée d'un corps en tout point sur une trajectoire curviligne est dirigée tangentiellement à la trajectoire en ce point. Le mouvement le long de toute trajectoire curviligne peut être représenté comme un mouvement le long des arcs de certains cercles. Un mouvement uniforme en cercle est un mouvement avec accélération, bien que la vitesse absolue ne change pas. Un mouvement circulaire uniforme est un mouvement périodique.

Le mouvement balistique curviligne d'un corps peut être considéré comme le résultat de l'addition de deux mouvements rectilignes : un mouvement uniforme le long de l'axe X et mouvement uniformément alterné le long de l'axe à.

L'énergie cinétique d'un système de points matériels, sa relation avec le travail des forces. Théorème de Koenig.

La variation de l'énergie cinétique d'un corps (point matériel) sur une certaine période de temps est égale au travail effectué pendant ce temps par la force agissant sur le corps.

L'énergie cinétique d'un système est l'énergie de mouvement du centre de masse plus l'énergie de mouvement par rapport au centre de masse :

,

où est l’énergie cinétique totale, l’énergie de mouvement du centre de masse et l’énergie cinétique relative.

En d’autres termes, l’énergie cinétique totale d’un corps ou d’un système de corps en mouvement complexe est égale à la somme de l’énergie du système en mouvement de translation et de l’énergie du système en mouvement de rotation par rapport au centre de masse.

Énergie potentielle dans le domaine des forces centrales.

Central est un champ de force dans lequel l'énergie potentielle d'une particule est fonction uniquement de la distance r à un certain point - le centre du champ : U=U(r). La force agissant sur une particule dans un tel champ ne dépend également que de la distance r et est dirigée vers chaque point de l'espace le long du rayon tracé jusqu'à ce point à partir du centre du champ.

Le concept de moment de force et de moment d'impulsion, la connexion entre eux. Loi de conservation du moment cinétique. Le moment de force (synonymes : couple ; couple ; couple) est une grandeur physique qui caractérise l'action rotationnelle d'une force sur un corps solide.

En physique, le moment de force peut être compris comme une « force de rotation ». L'unité SI pour le moment de force est le newton mètre, bien que le centinewton mètre (cN m), le pied-livre (ft lbf), le pouce-livre (lbf in) et le pouce once (ozf in) soient également souvent utilisés pour exprimer le moment de force. . Symbole du moment de force τ (tau). Le moment d'une force est parfois appelé moment de quelques forces, un concept qui trouve son origine dans les travaux d'Archimède sur les leviers. Les analogues rotatifs de la force, de la masse et de l’accélération sont respectivement le moment de force, le moment d’inertie et l’accélération angulaire. La force appliquée au levier, multipliée par la distance à l'axe du levier, est le moment de force. Par exemple, une force de 3 newtons appliquée à un levier dont la distance à l'axe est de 2 mètres équivaut à 1 newton appliqué à un levier dont la distance à l'axe est de 6 mètres. Plus précisément, le moment de force d'une particule est défini comme le produit vectoriel :

où est la force agissant sur la particule et r est le rayon vecteur de la particule.

Le moment angulaire (moment cinétique, moment cinétique, moment orbital, moment cinétique) caractérise l'ampleur du mouvement de rotation. Quantité qui dépend de la quantité de masse en rotation, de la manière dont elle est distribuée par rapport à l'axe de rotation et de la vitesse à laquelle la rotation se produit.

Il convient de noter que la rotation s’entend ici au sens large, et non seulement comme une rotation régulière autour d’un axe. Par exemple, même lorsqu’un corps se déplace en ligne droite au-delà d’un point imaginaire arbitraire, il possède également un moment cinétique. Le moment cinétique joue le plus grand rôle dans la description du mouvement de rotation réel.

Le moment cinétique d'un système en boucle fermée est conservé.

Le moment cinétique d'une particule par rapport à une certaine origine est déterminé par le produit vectoriel de son rayon vecteur et de son moment :

où est le rayon vecteur de la particule par rapport à l'origine sélectionnée et est l'impulsion de la particule.

Dans le système SI, le moment cinétique est mesuré en unités de joule-seconde ; J·s.

De la définition du moment cinétique, il s'ensuit qu'il est additif. Ainsi, pour un système de particules, l’expression suivante est satisfaite :

.

Dans le cadre de la loi de conservation du moment cinétique, une grandeur conservatrice est le moment cinétique de rotation de la masse - il ne change pas en l'absence d'un moment de force ou de couple appliqué - la projection du vecteur force sur le plan de rotation, perpendiculaire au rayon de rotation, multiplié par le levier (distance à l'axe de rotation). L'exemple le plus courant de la loi de conservation du moment cinétique est celui d'un patineur artistique exécutant une figure en rotation avec accélération. L'athlète entre dans la rotation assez lentement, en écartant largement les bras et les jambes, puis, à mesure qu'elle rassemble la masse de son corps plus près de l'axe de rotation, en pressant ses membres plus près de son corps, la vitesse de rotation augmente plusieurs fois en raison de une diminution du moment d'inertie tout en maintenant le moment de rotation. Nous sommes ici clairement convaincus que plus le moment d'inertie est faible, plus la vitesse angulaire est élevée et, par conséquent, plus la période de rotation est courte, qui lui est inversement proportionnelle.

Loi de conservation du moment cinétique : Le moment cinétique d'un système de corps est conservé si le moment résultant des forces externes agissant sur le système est égal à zéro:

.

Si le moment résultant des forces externes n'est pas égal à zéro, mais que la projection de ce moment sur un certain axe est nulle, alors la projection du moment cinétique du système sur cet axe ne change pas.

Moment d'inertie. Théorème de Huygens-Steiner. Moment d'inertie et énergie cinétique de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe.

^ Moment d'inertie d'un point- une valeur égale au produit de la masse m d'un point par le carré de sa plus courte distance r à l'axe (centre) de rotation : J z = m r 2, J = m r 2, kg. m2.

Théorème de Steiner : Le moment d'inertie d'un corps rigide par rapport à n'importe quel axe est égal à la somme du moment d'inertie par rapport à l'axe passant par le centre de masse et le produit de la masse de ce corps par le carré de la distance entre les axes . I=I 0 +md 2. La valeur de I, égale à la somme des produits des masses élémentaires par les carrés de leur distance à un certain axe, est appelée. moment d'inertie du corps par rapport à un axe donné. I=m i R i 2 La sommation est effectuée sur toutes les masses élémentaires en lesquelles le corps peut être divisé.

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Énergie cinétique du mouvement de rotation- l'énergie d'un corps associée à sa rotation.

Les principales caractéristiques cinématiques du mouvement de rotation d'un corps sont sa vitesse angulaire () et son accélération angulaire. Les principales caractéristiques dynamiques du mouvement de rotation - moment cinétique par rapport à l'axe de rotation z :

et énergie cinétique

où I z est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation.

Un exemple similaire peut être trouvé en considérant une molécule en rotation avec des axes d'inertie principaux Je 1, Je 2 Et je 3. L'énergie de rotation d'une telle molécule est donnée par l'expression

Où ω 1, ω 2, Et ω 3- les principales composantes de la vitesse angulaire.

En général, l'énergie lors d'une rotation avec une vitesse angulaire se trouve par la formule :

, où est le tenseur d'inertie

Invariance des lois de la dynamique en ISO. Le système de référence se déplace de manière progressive et accélérée. Le système de référence tourne uniformément. (Le point matériel est au repos dans le NISO, le point matériel se déplace dans le NISO.). Théorème de Coriolis.

Force de Coriolis- l'une des forces d'inertie qui existent dans un système de référence non inertiel en raison de la rotation et des lois d'inertie, se manifestant lors d'un déplacement dans une direction faisant un angle par rapport à l'axe de rotation. Nommé d'après le scientifique français Gustave Gaspard Coriolis, qui l'a décrit pour la première fois. L'accélération de Coriolis a été dérivée par Coriolis en 1833, Gauss en 1803 et Euler en 1765.

La raison de l'apparition de la force de Coriolis est l'accélération de Coriolis (rotative). Dans les référentiels inertiels, la loi de l'inertie opère, c'est-à-dire que chaque corps a tendance à se déplacer en ligne droite et à une vitesse constante. Si l'on considère le mouvement d'un corps, uniforme le long d'un certain rayon de rotation et dirigé à partir du centre, il devient clair que pour qu'il ait lieu, il est nécessaire de conférer une accélération au corps, car plus on s'éloigne du centre, plus la vitesse de rotation tangentielle doit être grande. Cela signifie que du point de vue du référentiel rotatif, une certaine force tentera de déplacer le corps du rayon.

Pour qu’un corps se déplace avec l’accélération de Coriolis, il est nécessaire d’appliquer au corps une force égale à , où est l’accélération de Coriolis. En conséquence, le corps agit selon la troisième loi de Newton avec une force dans la direction opposée. La force qui agit à partir du corps sera appelée force de Coriolis. La force de Coriolis ne doit pas être confondue avec une autre force d'inertie - la force centrifuge, qui est dirigée le long du rayon d'un cercle tournant.

Si la rotation se produit dans le sens des aiguilles d'une montre, alors un corps s'éloignant du centre de rotation aura tendance à quitter le rayon vers la gauche. Si la rotation se produit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors vers la droite.

OSCILLATEUR HARMONIQUE

– un système qui effectue des oscillations harmoniques

Les oscillations sont généralement associées à la transformation alternée de l'énergie d'une forme (type) en énergie d'une autre forme (un autre type). Dans un pendule mécanique, l'énergie cinétique est convertie en énergie potentielle. Dans les circuits électriques LC (c'est-à-dire les circuits inductifs-capacitifs), l'énergie est convertie à partir de énergie électrique capacité (énergie champ électrique condensateur) dans l'énergie magnétique de l'inducteur (énergie champ magnétique solénoïde)

Exemples d'oscillateurs harmoniques (pendule physique, pendule mathématique, pendule de torsion)

Pendule physique- un oscillateur, qui est un corps solide qui oscille dans un champ de forces quelconques par rapport à un point qui n'est pas le centre de masse de ce corps, ou un axe fixe perpendiculaire à la direction d'action des forces et ne passant pas par le centre de masse de ce corps.

Pendule mathématique- un oscillateur, qui est un système mécanique constitué d'un point matériel situé sur un fil inextensible en apesanteur ou sur une tige en apesanteur dans un champ uniforme de forces gravitationnelles [

Pendule de torsion(Aussi pendule de torsion, pendule rotatif) - un système mécanique, qui est un corps suspendu dans un champ gravitationnel sur un fil fin et possédant un seul degré de liberté : rotation autour d'un axe précisé par un fil fixe

Applications

L'effet capillaire est utilisé dans les contrôles non destructifs (ressuage ou contrôle par pénétrant) pour identifier les défauts apparaissant à la surface du produit contrôlé. Permet de détecter des fissures d'une ouverture de 1 micron, invisibles à l'œil nu.

Cohésion(du latin cohaesus - connecté, lié), la cohésion des molécules (ions) d'un corps physique sous l'influence de forces d'attraction. Ce sont les forces d’interaction intermoléculaire, de liaison hydrogène et (ou) d’autres liaisons chimiques. Ils déterminent l'ensemble des propriétés physiques et physico-chimiques d'une substance : état d'agrégation, volatilité, solubilité, propriétés mécaniques, etc. L'intensité des interactions intermoléculaires et interatomiques (et, par conséquent, des forces de cohésion) diminue fortement avec la distance. La cohésion est la plus forte dans les solides et les liquides, c'est-à-dire dans les phases condensées, où la distance entre les molécules (ions) est petite - de l'ordre de plusieurs tailles moléculaires. Dans les gaz, les distances moyennes entre les molécules sont grandes par rapport à leurs tailles, et donc leur cohésion est négligeable. Une mesure de l’intensité de l’interaction intermoléculaire est la densité d’énergie de cohésion. Cela équivaut au travail d'élimination de molécules attirées mutuellement à une distance infiniment grande les unes des autres, ce qui correspond pratiquement à l'évaporation ou à la sublimation d'une substance.

Adhésion(de lat. adhésio- adhésion) en physique - adhésion de surfaces de solides et/ou de liquides différents. L'adhésion est provoquée par une interaction intermoléculaire (van der Waals, polaire, parfois par formation de liaisons chimiques ou diffusion mutuelle) dans la couche superficielle et se caractérise par le travail spécifique nécessaire pour séparer les surfaces. Dans certains cas, l'adhésion peut être plus forte que la cohésion, c'est-à-dire l'adhésion au sein d'un matériau homogène ; dans de tels cas, lorsqu'une force de rupture est appliquée, il se produit une rupture cohésive, c'est-à-dire une rupture dans le volume du moins fort des matériaux ; matériaux en contact.

Le concept de débit de liquide (gaz) et d'équation de continuité. Dérivation de l'équation de Bernoulli.

En hydraulique, un écoulement est considéré comme le mouvement d'une masse lorsque cette masse est limitée :

1) surfaces dures ;

2) surfaces qui séparent différents liquides ;

3) surfaces libres.

En fonction du type de surfaces ou de combinaisons de celles-ci sur lesquelles le fluide en mouvement est limité, on distingue les types d'écoulements suivants :

1) écoulement libre, lorsque l'écoulement est limité par une combinaison de surfaces solides et libres, par exemple une rivière, un canal, une canalisation de section incomplète ;

2) pression, par exemple un tuyau de section complète ;

3) les jets hydrauliques, qui se limitent à un milieu liquide (comme nous le verrons plus loin, de tels jets sont dits inondés) ou gazeux.

Section libre et rayon d'écoulement hydraulique. Équation de continuité sous forme hydraulique

L'équation de Gromeka convient pour décrire le mouvement d'un fluide si les composantes de la fonction de mouvement contiennent une sorte de quantité de vortex. Par exemple, cette quantité de vortex est contenue dans les composantes ωx, ωy, ωz de la vitesse angulaire w.

La condition pour que le mouvement soit stable est l’absence d’accélération, c’est-à-dire la condition que les dérivées partielles de toutes les composantes de la vitesse soient égales à zéro :

Si on ajoute maintenant

alors nous obtenons

Si l'on projette le déplacement d'une valeur infinitésimale dl sur les axes de coordonnées, on obtient :

dx = Uxdt; dy = Uy dt; dz = Uzdt. (3)

Multiplions maintenant chaque équation (3) par dx, dy, dz, respectivement, et ajoutons-les :

En supposant que le membre de droite est nul, ce qui est possible si la deuxième ou la troisième ligne est nulle, on obtient :

Nous avons obtenu l'équation de Bernoulli

Analyse de l'équation de Bernoulli

cette équation n’est rien de plus que l’équation d’une ligne aérodynamique en mouvement constant.

Cela conduit aux conclusions suivantes :

1) si le mouvement est régulier, alors les première et troisième droites de l’équation de Bernoulli sont proportionnelles.

2) les lignes 1 et 2 sont proportionnelles, c'est-à-dire

L'équation (2) est l'équation de la ligne vortex. Les conclusions de (2) sont similaires à celles de (1), seules les lignes de courant remplacent les lignes de vortex. En bref, dans ce cas, la condition (2) est satisfaite pour les lignes vortex ;

3) les termes correspondants des lignes 2 et 3 sont proportionnels, c'est-à-dire

où a est une valeur constante ; si nous substituons (3) dans (2), nous obtenons l'équation simplifiée (1), puisque de (3) elle découle :

ω x = aUx ; ωy = aUy; ω z = aUz. (4)

Suit ici une conclusion intéressante selon laquelle les vecteurs de vitesse linéaire et de vitesse angulaire sont codirectionnels, c’est-à-dire parallèles.

Dans une compréhension plus large, il faut imaginer ce qui suit : puisque le mouvement considéré est constant, il s'avère que les particules du liquide se déplacent en spirale et que leurs trajectoires le long de la spirale forment des lignes aérodynamiques. Par conséquent, les lignes de courant et les trajectoires des particules ne font qu’un. Ce type de mouvement est appelé hélicoïdal.

4) la deuxième ligne du déterminant (plus précisément, les termes de la deuxième ligne) est égale à zéro, c'est-à-dire

ω x = ω y = ω z = 0. (5)

Mais l’absence de vitesse angulaire équivaut à l’absence de mouvement tourbillonnaire.

5) soit la ligne 3 égale à zéro, c'est-à-dire

Ux = Uy = Uz = 0.

Mais telle est, comme nous le savons déjà, la condition de l’équilibre liquide.

L'analyse de l'équation de Bernoulli est terminée.

Transformation galiléenne. Principe mécanique relativité. Postulats de la relativité restreinte (théorie particulière). Transformation de Lorentz et conséquences de celles-ci.

Le principe principal sur lequel repose la mécanique classique est le principe de relativité, formulé sur la base des observations empiriques de G. Galileo. Selon ce principe, il existe une infinité de systèmes de référence dans lesquels un corps libre est au repos ou se déplace avec une vitesse constante en ampleur et en direction. Ces systèmes de référence sont appelés inertiels et se déplacent les uns par rapport aux autres de manière uniforme et rectiligne. Dans tous les systèmes de référence inertiels, les propriétés de l’espace et du temps sont les mêmes et tous les processus des systèmes mécaniques obéissent aux mêmes lois. Ce principe peut également être formulé comme l'absence de systèmes de référence absolus, c'est-à-dire de systèmes de référence qui se distinguent d'une manière ou d'une autre des autres.

Le principe de relativité- un principe physique fondamental selon lequel tous les processus physiques dans les systèmes de référence inertiels se déroulent de la même manière, que le système soit stationnaire ou dans un état de mouvement uniforme et rectiligne.

Théorie spéciale de la relativité (CENT; Aussi théorie spéciale de la relativité) - une théorie qui décrit le mouvement, les lois de la mécanique et les relations espace-temps à des vitesses de mouvement arbitraires inférieures à la vitesse de la lumière dans le vide, y compris celles proches de la vitesse de la lumière. Dans le cadre de la relativité restreinte, la mécanique newtonienne classique est une approximation à faible vitesse. Une généralisation du STR pour les champs gravitationnels est appelée relativité générale.

Les écarts au cours des processus physiques par rapport aux prédictions de la mécanique classique décrites par la théorie de la relativité restreinte sont appelés effets relativistes, et les vitesses auxquelles ces effets deviennent significatifs sont vitesses relativistes

Transformations de Lorentz- les transformations linéaires (ou affines) de l'espace pseudo-euclidien vectoriel (respectivement affine), préservant les longueurs ou, de manière équivalente, le produit scalaire des vecteurs.

Les transformations de Lorentz de l'espace de signature pseudo-euclidien sont largement utilisées en physique, en particulier dans la théorie de la relativité restreinte (STR), où le continuum espace-temps à quatre dimensions (espace de Minkowski) agit comme un espace pseudo-euclidien affine.

Phénomène de transfert.

Dans un gaz en état de non-équilibre, des processus irréversibles appelés phénomènes de transport se produisent. Au cours de ces processus, un transfert spatial de matière (diffusion), d'énergie (conductivité thermique) et une impulsion de mouvement dirigé (frottement visqueux) se produisent. Si le cours d’un processus ne change pas avec le temps, alors un tel processus est dit stationnaire. Sinon, c'est un processus non stationnaire. Les processus stationnaires ne sont possibles que dans des conditions externes stationnaires. Dans un système isolé thermodynamiquement, seuls des phénomènes de transport non stationnaires peuvent se produire, visant à établir un état d'équilibre

Sujet et méthode de la thermodynamique. Notions de base. Première loi de la thermodynamique.

Le principe de la thermodynamique est assez simple. Elle repose sur trois lois expérimentales et l'équation d'état : la première loi (la première loi de la thermodynamique) - la loi de conservation et de transformation de l'énergie ; la deuxième loi (deuxième loi de la thermodynamique) indique la direction dans laquelle les phénomènes naturels se produisent dans la nature ; La troisième loi (troisième loi de la thermodynamique) stipule que la température nulle absolue est inaccessible. La thermodynamique, contrairement à la physique statistique, ne prend pas en compte les modèles moléculaires spécifiques. Sur la base de données expérimentales, des lois fondamentales (principes ou principes) sont formulées. Ces lois et leurs conséquences sont appliquées à des phénomènes physiques spécifiques associés à la transformation de l'énergie de manière macroscopique (sans tenir compte de la structure atomique-moléculaire) et étudient les propriétés de corps de tailles spécifiques. La méthode thermodynamique est utilisée en physique, en chimie et dans un certain nombre de sciences techniques.

Thermodynamique – la doctrine de la connexion et des transformations mutuelles différents types l'énergie, la chaleur et le travail.

Le concept de thermodynamique vient des mots grecs « thermos » – chaleur, chaleur ; "dynamikos" - force, puissance.

En thermodynamique, un corps est compris comme une certaine partie de l'espace remplie de matière. La forme d'un corps, sa couleur et d'autres propriétés sont sans importance pour la thermodynamique ; le concept thermodynamique d'un corps diffère donc du concept géométrique.

Rôle important En thermodynamique, l'énergie interne U joue un rôle.

U est la somme de tous les types d'énergie contenus dans un système isolé (l'énergie de mouvement thermique de toutes les microparticules du système, l'énergie d'interaction des particules, l'énergie des coquilles électriques des atomes et des ions, l'énergie intranucléaire, etc. ).

L'énergie interne est une fonction sans ambiguïté de l'état du système : son évolution DU lors du passage du système de l'état 1 à 2 ne dépend pas du type de processus et est égale à ∆U = U 1 – U 2. Si le système effectue un processus circulaire, alors :

Le changement total de son énergie interne est de 0.

L'énergie interne U du système est déterminée par son état, c'est-à-dire que U du système est fonction des paramètres d'état :

U = f(p,V,T) (1)

Quand pas trop températures élevées, l'énergie interne d'un gaz parfait peut être considérée comme égale à la somme des énergies cinétiques moléculaires du mouvement thermique de ses molécules. L'énergie interne d'un système homogène et, en première approximation, hétérogène est une quantité additive - égale à la somme des énergies internes de toutes ses parties macroscopiques (ou phases du système).

Processus adiabatique. L'équation de Poisson, adiabatique. Processus polytropique, équation polytropique.

L'adiabatique est un processus dans lequel il n'y a pas d'échange thermique

Adiabatique, ou processus adiabatique(du grec ancien ἀδιάβατος - « impénétrable ») - un processus thermodynamique dans un système macroscopique, dans lequel le système n'échange pas d'énergie thermique avec l'espace environnant. Des recherches sérieuses sur les processus adiabatiques ont commencé au XVIIIe siècle.

Un processus adiabatique est un cas particulier de processus polytropique, car la capacité thermique du gaz y est nulle et donc constante. Les processus adiabatiques ne sont réversibles que lorsqu'à chaque instant le système reste en équilibre (par exemple, le changement d'état se produit assez lentement) et qu'il n'y a pas de changement d'entropie. Certains auteurs (en particulier L.D. Landau) ont qualifié d'adiabatiques uniquement les processus adiabatiques quasi-statiques.

Le processus adiabatique d'un gaz parfait est décrit par l'équation de Poisson. La ligne représentant un processus adiabatique sur un diagramme thermodynamique est appelée adiabatique. Les processus d'un certain nombre de phénomènes naturels peuvent être considérés comme adiabatiques. L'équation de Poisson est une équation aux dérivées partielles elliptique qui, entre autres, décrit

• champ électrostatique,
• champ de température stationnaire,
• champ de pression,
• champ potentiel de vitesse en hydrodynamique.

Il porte le nom du célèbre physicien et mathématicien français Siméon Denis Poisson.

Cette équation ressemble à :

où est l'opérateur de Laplace ou Laplacien, et est une fonction réelle ou complexe sur une variété.

Dans un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles, l'équation prend la forme :

Dans le repère cartésien, l'opérateur de Laplace s'écrit et l'équation de Poisson prend la forme :

Si f tend vers zéro, alors l'équation de Poisson se transforme en équation de Laplace (l'équation de Laplace est un cas particulier de l'équation de Poisson) :

L'équation de Poisson peut être résolue à l'aide de la fonction de Green ; voir, par exemple, l'article Équation de Poisson filtrée. Il existe différentes méthodes pour obtenir des solutions numériques. Par exemple, un algorithme itératif est utilisé - la « méthode de relaxation ».

De tels procédés ont également reçu un certain nombre d’applications technologiques.

Processus polytropique, processus polytropique- un processus thermodynamique au cours duquel la capacité thermique spécifique d'un gaz reste inchangée.

Conformément à l'essence du concept de capacité thermique, les phénomènes particuliers limitants d'un processus polytropique sont le processus isotherme () et le processus adiabatique ().

Dans le cas d'un gaz parfait, le processus isobare et le processus isochore sont également polytropiques ?

Équation polytropique. Les processus isochore, isobare, isotherme et adiabatique évoqués ci-dessus ont un propriété commune- avoir une capacité thermique constante.

Idéal moteur thermique et cycle Carnot. Efficacité moteur thermique idéal. Contenu de la deuxième loi du K.P.D. véritable moteur thermique.

Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique idéal. Moteur thermique Carnot, fonctionnant sur ce cycle, a l'efficacité maximale de toutes les machines dans lesquelles les températures maximales et minimales du cycle en cours d'exécution coïncident respectivement avec les températures maximales et minimales du cycle Carnot.

Une efficacité maximale est obtenue avec un cycle réversible. Pour que le cycle soit réversible, il faut en exclure les transferts de chaleur en présence d'une différence de température. Pour prouver ce fait, supposons que le transfert de chaleur se produit avec une différence de température. Ce programme se produit d'un corps plus chaud à un corps plus froid. Si nous supposons que le processus est réversible, cela signifierait la possibilité de transférer la chaleur d’un corps plus froid vers un corps plus chaud, ce qui est impossible et le processus est donc irréversible. En conséquence, la conversion de la chaleur en travail ne peut se produire que de manière isotherme [Comm 4]. Dans ce cas, le retour du moteur au point de départ uniquement par un processus isotherme est impossible, car dans ce cas, tout le travail reçu sera consacré au rétablissement de la position initiale. Puisqu'il a été montré ci-dessus que le processus adiabatique peut être réversible, ce type de processus adiabatique convient pour une utilisation dans le cycle de Carnot.

Au total, deux processus adiabatiques se produisent au cours du cycle de Carnot :

1. Expansion adiabatique (isentropique)(sur la figure - processus 2→3). Le fluide de travail est déconnecté du réchauffeur et continue de se dilater sans échange thermique avec l'environnement. Dans le même temps, sa température diminue jusqu'à la température du réfrigérateur.

2. Compression adiabatique (isentropique)(sur la figure - processus 4→1). Le fluide de travail est déconnecté du réfrigérateur et comprimé sans échange thermique avec l'environnement. Dans le même temps, sa température augmente jusqu'à la température du radiateur.

Conditions aux limites En et Et.

Dans un corps conducteur situé dans un champ électrostatique, tous les points du corps ont le même potentiel, la surface du corps conducteur est une surface équipotentielle et les lignes d'intensité de champ dans le diélectrique lui sont normales. Désignant par E n et E t la normale et la tangente à la surface du conducteur, les composantes du vecteur champ dans le diélectrique proche de la surface du conducteur, ces conditions peuvent s'écrire sous la forme :

Et = 0 ; E = E n = -¶U/¶n ; D = -e*¶U/¶n = s,

où s est la densité surfacique de la charge électrique à la surface du conducteur.

Ainsi, à l'interface entre un corps conducteur et un diélectrique, il n'y a pas de composante tangente à la surface (tangentielle) de l'intensité du champ électrique, et le vecteur déplacement électrique en tout point directement adjacent à la surface d'un corps conducteur est numériquement égale à la densité de charge électrique s à la surface du conducteur

Théorème de Clausius, inégalité de Clausius. L'entropie, sa signification physique. Changement d'entropie au cours de processus irréversibles. Équation de base de la thermodynamique.

la somme des chaleurs réduites lors du passage d'un état à un autre ne dépend pas de la forme (chemin) de la transition dans le cas de processus réversibles. La dernière déclaration s'appelle Théorème de Clausius.

Considérant les processus de conversion de la chaleur en travail, R. Clausius a formulé l'inégalité thermodynamique qui porte son nom.

"La quantité réduite de chaleur reçue par le système au cours d'un processus circulaire arbitraire ne peut pas être supérieure à zéro"

où dQ est la quantité de chaleur reçue par le système à la température T, dQ 1 est la quantité de chaleur reçue par le système depuis les sections environnement avec température T 1, dQ ¢ 2 – la quantité de chaleur dégagée par le système vers les zones de l'environnement à température T 2. L'inégalité de Clausius nous permet de fixer une limite supérieure à l'efficacité thermique. aux températures variables du radiateur et du réfrigérateur.

De l'expression d'un cycle de Carnot réversible, il résulte que ou , c'est-à-dire pour un cycle réversible, l'inégalité de Clausius devient une égalité. Cela signifie que la quantité réduite de chaleur reçue par le système au cours d'un processus réversible ne dépend pas du type de processus, mais est déterminée uniquement par les états initial et final du système. Par conséquent, la quantité réduite de chaleur reçue par le système au cours d'un processus réversible sert de mesure du changement dans l'état de fonction du système, appelé entropie.

L'entropie d'un système est fonction de son état, déterminé à une constante arbitraire près. L'incrément d'entropie est égal à la quantité réduite de chaleur qu'il faut communiquer au système pour le transférer de l'état initial à l'état final selon tout processus réversible.

, .

Une caractéristique importante de l'entropie est son augmentation des

La vitesse d'un point est un vecteur qui détermine à un instant donné la vitesse et la direction de déplacement du point.

La vitesse de mouvement uniforme est déterminée par le rapport entre le chemin parcouru par un point dans une certaine période de temps et la valeur de cette période de temps.

Vitesse; Chemin S ; t-temps.

La vitesse est mesurée en unités de longueur divisées par l'unité de temps : m/s ; cm/s; km/h, etc.

Dans le cas d'un mouvement rectiligne, le vecteur vitesse est dirigé le long de la trajectoire dans la direction de son mouvement.

Si un point parcourt des chemins inégaux dans des périodes de temps égales, alors ce mouvement est appelé inégal. La vitesse est une quantité variable et dépend du temps.

La vitesse moyenne d'un point sur une période de temps donnée est la vitesse d'un mouvement rectiligne uniforme à laquelle le point pendant cette période de temps recevrait le même déplacement que dans son mouvement considéré.

Considérons le point M, qui se déplace le long d'une trajectoire curviligne spécifiée par la loi

Sur une période de temps ?t, le point M se déplacera vers la position M1 le long de l'arc MM 1. Si la période de temps ?t est petite, alors l'arc MM 1 peut être remplacé par une corde et, en première approximation, trouver la moyenne vitesse du point

Cette vitesse est dirigée le long de la corde du point M au point M 1. On trouve la vraie vitesse en allant jusqu'à la limite à?t>0

Lorsque ?t > 0, la direction de la corde dans la limite coïncide avec la direction de la tangente à la trajectoire au point M.

Ainsi, la valeur de la vitesse d'un point est définie comme la limite du rapport de l'incrément du trajet à la période de temps correspondante lorsque cette dernière tend vers zéro. La direction de la vitesse coïncide avec la tangente à la trajectoire en un point donné.

Accélération ponctuelle

Notez que dans le cas général, lors d'un déplacement le long d'une trajectoire courbe, la vitesse d'un point change à la fois en direction et en ampleur. Le changement de vitesse par unité de temps est déterminé par l'accélération. En d’autres termes, l’accélération d’un point est une grandeur qui caractérise le taux de variation de la vitesse au fil du temps. Si pendant l'intervalle de temps, la vitesse change d'une certaine quantité, alors l'accélération moyenne

La véritable accélération d'un point à un instant donné t est la valeur vers laquelle tend l'accélération moyenne à ?t> 0, c'est-à-dire

À mesure que l'intervalle de temps tend vers zéro, le vecteur d'accélération changera à la fois en ampleur et en direction, tendant vers sa limite.

Dimension d'accélération

L'accélération peut être exprimée en m/s 2 ; cm/s 2, etc.

Dans le cas général, lorsque le mouvement d'un point est donné de manière naturelle, le vecteur accélération est généralement décomposé en deux composantes, dirigées tangentiellement et normales à la trajectoire du point.

Alors l'accélération du point au temps t peut être représentée comme suit

Notons les limites des composants par et.

La direction du vecteur ne dépend pas de la valeur de l'intervalle de temps ?t.

Cette accélération coïncide toujours avec la direction de la vitesse, c'est-à-dire qu'elle est dirigée tangentiellement à la trajectoire du point et est donc appelée accélération tangentielle ou tangentielle.

La deuxième composante de l'accélération d'un point est dirigée perpendiculairement à la tangente à la trajectoire en un point donné vers la concavité de la courbe et affecte le changement de direction du vecteur vitesse. Cette composante de l’accélération est appelée accélération normale.

Puisque la valeur numérique du vecteur est égale à l'incrément de la vitesse du point sur la période de temps considérée, alors la valeur numérique de l'accélération tangentielle

La valeur numérique de l'accélération tangentielle d'un point est égale à la dérivée temporelle de la valeur numérique de la vitesse. La valeur numérique de l’accélération normale d’un point est égale au carré de la vitesse du point divisé par le rayon de courbure de la trajectoire au point correspondant de la courbe.

L'accélération totale lors d'un mouvement curviligne irrégulier d'un point est composée géométriquement des accélérations tangentielles et normales.

Méthodes pour spécifier le mouvement d'un point.

Mouvement du point de consigne - cela signifie indiquer une règle par laquelle à tout moment on peut déterminer sa position dans un référentiel donné.

L'expression mathématique de cette règle s'appelle loi du mouvement , ou équation du mouvement points.

Il existe trois manières de spécifier le mouvement d'un point :

vecteur;

coordonner;

naturel.

À définir le mouvement de manière vectorielle, il faut :

à sélectionner un centre fixe ;

à déterminer la position du point à l'aide du rayon vecteur, commençant au centre stationnaire et se terminant au point mobile M ;

à définir ce rayon vecteur en fonction du temps t : .

Expression

appelé loi vectorielle du mouvement des points, ou équation vectorielle du mouvement.

!! Vecteur de rayon – c'est la distance (module vectoriel) + direction du centre O au point M, qui peut être déterminée de différentes manières, par exemple par des angles de directions données.

Pour définir le mouvement méthode de coordonnées , il faut :

à sélectionner et fixer un système de coordonnées (n'importe lequel : cartésien, polaire, sphérique, cylindrique, etc.) ;

à déterminer la position d'un point à l'aide des coordonnées appropriées ;

à fixer ces coordonnées en fonction du temps t.

Dans le système de coordonnées cartésiennes, il est donc nécessaire d'indiquer les fonctions

Dans le système de coordonnées polaires, le rayon polaire et l'angle polaire doivent être définis en fonction du temps :

En général, avec la méthode de spécification des coordonnées, les coordonnées avec lesquelles la position actuelle du point est déterminée doivent être spécifiées en fonction du temps.

Pouvoir paramétrer le mouvement d'un point de manière naturelle, tu dois le savoir trajectoire . Écrivons la définition de la trajectoire d'un point.

Trajectoire les points sont appelés l'ensemble de ses positions sur une période de temps quelconque(généralement de 0 à +¥).

Dans l'exemple d'une roue roulant sur la route, la trajectoire du point 1 est cycloïde, et les points 2 – roulette; dans le repère associé au centre de la roue, les trajectoires des deux points sont cercle.

Pour régler le mouvement d'un point de manière naturelle, il vous faut :

à connaître la trajectoire du point ;

à sur la trajectoire, sélectionner l'origine et la direction positive ;

à déterminer la position courante d'un point par la longueur de l'arc de trajectoire depuis l'origine jusqu'à cette position courante ;

à indiquer cette durée en fonction du temps.

L'expression définissant la fonction ci-dessus est

appelé loi du mouvement d'un point le long d'une trajectoire, ou équation naturelle du mouvement points.

Selon le type de fonction (4), un point le long d'une trajectoire peut se déplacer de différentes manières.

3. Trajectoire d'un point et sa définition.

La définition de la notion « trajectoire d'un point » a été donnée plus haut à la question 2. Considérons la question de la détermination de la trajectoire d'un point lorsque de différentes manières tâches de mouvement.

La manière naturelle: La trajectoire doit être donnée, il n'est donc pas nécessaire de la trouver.

Méthode vectorielle: il faut passer à la méthode des coordonnées selon les égalités

Méthode de coordonnées: il faut exclure le temps t des équations du mouvement (2), ou (3).

Les équations de coordonnées du mouvement définissent la trajectoire paramétriquement, via le paramètre t (temps). Pour obtenir une équation explicite pour la courbe, le paramètre doit être exclu des équations.

Après avoir éliminé le temps des équations (2), deux équations de surfaces cylindriques sont obtenues, par exemple sous la forme

L'intersection de ces surfaces sera la trajectoire du point.

Lorsqu'un point se déplace le long d'un plan, le problème devient plus simple : après avoir éliminé le temps des deux équations

L’équation de trajectoire sera obtenue sous l’une des formes suivantes :

Quand sera , donc la trajectoire du point sera la branche droite de la parabole :

Des équations du mouvement, il résulte que

donc la trajectoire du point sera la partie de la parabole située dans le demi-plan droit :

Ensuite, nous obtenons

Puisque l’ellipse entière sera la trajectoire du point.

À le centre de l'ellipse sera à l'origine O ; à nous obtenons un cercle; le paramètre k n'affecte pas la forme de l'ellipse ; la vitesse de déplacement du point le long de l'ellipse en dépend. Si vous échangez cos et sin dans les équations, alors la trajectoire ne changera pas (la même ellipse), mais la position initiale du point et la direction du mouvement changeront.

La vitesse d'un point caractérise la « vitesse » d'évolution de sa position. Officiellement: vitesse – déplacement d'un point par unité de temps.

Définition précise.

Alors Attitude

1.2. Mouvement en ligne droite

1.2.4. Vitesse moyenne

Un point matériel (corps) conserve sa vitesse inchangée uniquement avec un mouvement linéaire uniforme. Si le mouvement est inégal (y compris uniformément variable), alors la vitesse du corps change. Ce mouvement est caractérisé par une vitesse moyenne. Une distinction est faite entre la vitesse moyenne de déplacement et la vitesse moyenne au sol.

Vitesse de déplacement moyenne est une grandeur physique vectorielle, déterminée par la formule

v → r = Δ r → Δ t,

où Δ r → est le vecteur déplacement ; ∆t est l'intervalle de temps pendant lequel ce mouvement s'est produit.

Vitesse au sol moyenne est une quantité physique scalaire et est calculée par la formule

v s = S total t total,

où S total = S 1 + S 1 + ... + S n ; ttot = t 1 + t 2 + ... + t N .

Ici S 1 = v 1 t 1 - la première section du chemin ; v 1 - vitesse de passage du premier tronçon du chemin (Fig. 1.18) ; t 1 - temps de déplacement sur le premier tronçon de l'itinéraire, etc.

Riz. 1.18

Exemple 7. Un quart du trajet, le bus se déplace à une vitesse de 36 km/h, le deuxième quart du trajet - 54 km/h, le reste du trajet - à une vitesse de 72 km/h. Calculez la vitesse au sol moyenne du bus.

Solution. On note S le trajet total parcouru par le bus :

Stot = S.

S 1 = S /4 - le trajet parcouru par le bus sur le premier tronçon,

S 2 = S /4 - le trajet parcouru par le bus sur le deuxième tronçon,

S 3 = S /2 - le trajet parcouru par le bus dans le troisième tronçon.

Le temps de trajet en bus est déterminé par les formules :

• dans la première section (S 1 = S /4) -

  t 1 = S 1 contre 1 = S 4 contre 1 ;

• dans la deuxième section (S 2 = S /4) -

  t 2 = S 2 contre 2 = S 4 contre 2 ;

• dans la troisième section (S 3 = S /2) -

  t 3 = S 3 contre 3 = S 2 contre 3 .

La durée totale du trajet du bus est de :

t total = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 contre 1 + S 4 contre 2 + S 2 contre 3 = S (1 4 contre 1 + 1 4 contre 2 + 1 2 contre 3) .

v s = S total t total = S S (1 4 contre 1 + 1 4 contre 2 + 1 2 contre 3) =

1 (1 4 contre 1 + 1 4 contre 2 + 1 2 contre 3) = 4 contre 1 contre 2 contre 3 contre 2 contre 3 + v 1 contre 3 + 2 contre 1 contre 2 .

v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 km/h.

Exemple 8. Un bus urbain passe un cinquième de son temps à s'arrêter, le reste du temps il se déplace à une vitesse de 36 km/h. Déterminez la vitesse au sol moyenne du bus.

Solution. Notons t le temps de trajet total du bus sur le trajet :

ttot = t.

t 1 = t /5 - temps passé à l'arrêt,

t 2 = 4t /5 - temps de trajet en bus.

Distance parcourue par le bus :

• pendant le temps t 1 = t /5 -

  S 1 = v 1 t 1 = 0,

puisque la vitesse du bus v 1 à un intervalle de temps donné est nulle (v 1 = 0) ;

• pendant le temps t 2 = 4t /5 -

  S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t ,

  où v 2 est la vitesse du bus à un intervalle de temps donné (v 2 = 36 km/h).

L'itinéraire général du bus est le suivant :

S total = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t.

Nous calculerons la vitesse au sol moyenne du bus en utilisant la formule

v s = S total t total = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .

Le calcul donne la valeur de la vitesse sol moyenne :

v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 km/h.

Exemple 9. L'équation du mouvement d'un point matériel a la forme x (t) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) m, où la coordonnée est donnée en mètres, le temps en secondes. Déterminez la vitesse moyenne au sol et la vitesse moyenne de déplacement d'un point matériel au cours des trois premières secondes de mouvement.

Solution. Pour déterminer vitesse de déplacement moyenne il faut calculer le déplacement d'un point matériel. Le module de mouvement d'un point matériel dans l'intervalle de temps de t 1 = 0 s à t 2 = 3,0 s sera calculé comme la différence de coordonnées :

| Δ r → | = | X (t 2) − X (t 1) | ,

La substitution des valeurs dans la formule pour calculer le module de déplacement donne :

| Δ r → | = | X (t 2) − X (t 1) | = 9,0 - 9,0 = 0 m.

Ainsi, le déplacement du point matériel est nul. Par conséquent, le module de la vitesse moyenne de déplacement est également nul :

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 m/s.

Pour déterminer vitesse moyenne au sol vous devez calculer le chemin parcouru par un point matériel pendant l'intervalle de temps de t 1 = 0 s à t 2 = 3,0 s. Le mouvement du point est uniformément lent, il est donc nécessaire de savoir si le point d'arrêt se situe dans l'intervalle spécifié.

Pour ce faire, on écrit la loi d'évolution de la vitesse d'un point matériel au cours du temps sous la forme :

v X = v 0 X + a X t = − 6,0 + 4,0 t ,

où v 0 x = −6,0 m/s est la projection de la vitesse initiale sur l'axe Ox ; a x = = 4,0 m/s 2 - projection de l'accélération sur l'axe indiqué.

Trouvons le point d'arrêt à partir de la condition

v (τ reste) = 0,

ceux.

τ repos = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 s.

Le point d'arrêt se situe dans l'intervalle de temps de t 1 = 0 s à t 2 = 3,0 s. Ainsi, on calcule la distance parcourue à l'aide de la formule

S = S 1 + S 2,

où S 1 = | x (τ reste) − x (t 1) | - le chemin parcouru par le point matériel jusqu'à l'arrêt, c'est-à-dire pendant le temps allant de t 1 = 0 s à τ repos = 1,5 s ; S2 = | x (t 2) − x (τ reste) | - le chemin parcouru par le point matériel après l'arrêt, c'est-à-dire pendant le temps allant de τ repos = 1,5 s à t 1 = 3,0 s.

Calculons les valeurs des coordonnées aux instants spécifiés :

x (t 1) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 m ;

x (τ repos) = 9,0 − 6,0 τ repos + 2,0 τ repos 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 m ;

x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 m .

Les valeurs de coordonnées permettent de calculer les chemins S 1 et S 2 :

S1 = | x (τ reste) − x (t 1) | = | 4,5 - 9,0 | = 4,5 m ;

S2 = | x (t 2) − x (τ reste) | = | 9,0 - 4,5 | = 4,5 m,

ainsi que la distance totale parcourue :

S = S 1 + S 2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 m.

Par conséquent, la valeur souhaitée de la vitesse sol moyenne du point matériel est égale à

v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 m/s.

Exemple 10. Le graphique de la projection de la vitesse d'un point matériel en fonction du temps est une ligne droite et passe par les points (0 ; 8,0) et (12 ; 0), où la vitesse est donnée en mètres par seconde, le temps en secondes. Combien de fois la vitesse moyenne au sol pendant 16 secondes de mouvement dépasse-t-elle la vitesse moyenne de mouvement pendant la même durée ?

Solution. Un graphique de la projection de la vitesse du corps en fonction du temps est présenté sur la figure.

Pour calculer graphiquement le chemin parcouru par un point matériel et le module de son mouvement, il faut déterminer la valeur de la projection de vitesse à un temps égal à 16 s.

Il existe deux manières de déterminer la valeur de v x à un instant donné : analytique (par l'équation d'une ligne droite) et graphique (par la similitude de triangles). Pour trouver v x, on utilise la première méthode et on établit une équation d'une droite en utilisant deux points :

t - t 1 t 2 - t 1 = v x - v x 1 v x 2 - v x 1 ,

où (t 1 ; v x 1) - coordonnées du premier point ; (t 2 ; v x 2) - coordonnées du deuxième point. Selon les conditions du problème : t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. Compte tenu des valeurs de coordonnées spécifiques, cette équation prend la forme :

t − 0 12 − 0 = v X − 8,0 0 − 8,0 ,

v X = 8,0 − 2 3 t .

À t = 16 s, la valeur de projection de vitesse est

| vx | = 8 3 m/s.

Cette valeur peut également être obtenue à partir de la similitude des triangles.

• Calculons le chemin parcouru par le point matériel comme la somme des valeurs S 1 et S 2 :

  S = S 1 + S 2,

  où S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 m - le chemin parcouru par le point matériel pendant l'intervalle de temps de 0 s à 12 s ; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | vx | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 m - le chemin parcouru par un point matériel pendant l'intervalle de temps de 12 s à 16 s.

La distance totale parcourue est

S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 m.

La vitesse sol moyenne d’un point matériel est égale à

v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 m/s.

• Calculons la valeur du mouvement d'un point matériel comme le module de la différence entre les valeurs S 1 et S 2 :

  S = | S1 - S2 | = | 48-16 3 | = 128 3 m.

La vitesse moyenne de déplacement est

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 m/s.

Le rapport de vitesse requis est

contre s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25.

La vitesse moyenne au sol d'un point matériel est 1,25 fois supérieure au module de la vitesse moyenne de déplacement.