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Intégrales de fonctions trigonométriques.
Exemples de solutions

Dans cette leçon, nous examinerons les intégrales des fonctions trigonométriques, c'est-à-dire que le remplissage des intégrales sera constitué de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes dans diverses combinaisons. Tous les exemples seront analysés en détail, accessibles et compréhensibles même pour une théière.

Pour réussir à étudier les intégrales des fonctions trigonométriques, vous devez avoir une bonne compréhension des intégrales les plus simples, ainsi que maîtriser certaines techniques d'intégration. Vous pouvez vous familiariser avec ces matériaux lors de conférences Intégrale indéfinie. Exemples de solutions Et .

Et maintenant nous avons besoin de : Tableau des intégrales, Tableau des dérivés Et Répertoire des formules trigonométriques. Tous les supports pédagogiques sont à retrouver sur la page Formules et tableaux mathématiques. Je recommande de tout imprimer. Je me concentre particulièrement sur formules trigonométriques, ils devraient être devant tes yeux– sans cela, l’efficacité du travail diminuera sensiblement.

Mais d’abord, à propos de ce que sont les intégrales dans cet article Non. Il n'y a pas d'intégrales de la forme , - cosinus, sinus, multiplié par un polynôme (moins souvent quelque chose avec une tangente ou une cotangente). De telles intégrales sont intégrées par parties, et pour apprendre la méthode, visitez la leçon Intégration par parties. Exemples de solutions. Ici aussi, il n'y a pas d'intégrales avec des « arcs » - arctangente, arc sinus, etc., elles sont aussi le plus souvent intégrées par parties.

Lors de la recherche d'intégrales de fonctions trigonométriques, un certain nombre de méthodes sont utilisées :

(4) Nous utilisons la formule tabulaire , la seule différence est qu’au lieu de « X », nous avons une expression complexe.

Exemple 2

Exemple 3

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Un classique du genre pour ceux qui se noient sous la concurrence. Comme vous l'avez probablement remarqué, dans le tableau des intégrales, il n'y a pas d'intégrale de tangente et de cotangente, mais de telles intégrales peuvent néanmoins être trouvées.

(1) On utilise la formule trigonométrique

(2) On place la fonction sous le signe différentiel.

(3) On utilise l'intégrale de table .

Exemple 4

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple pour décision indépendante, la solution complète et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Nos diplômes augmenteront progressivement =).
D'abord la solution :

(1) On utilise la formule

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique principale , d'où il résulte que .

(3) Divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(4) Nous utilisons la propriété de linéarité de l'intégrale indéfinie.

(5) Nous intégrons à l'aide du tableau.

Exemple 6

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple de solution indépendante, la solution complète et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Il existe également des intégrales de tangentes et de cotangentes, qui sont dans des puissances supérieures. L'intégrale de la tangente au cube est discutée dans la leçon Comment calculer l'aire d'une figure plate ? Les intégrales de tangente (cotangente) aux puissances quatrième et cinquième peuvent être obtenues sur la page Intégrales complexes.

Réduire le degré de l'intégrande

Cette technique fonctionne lorsque les fonctions intégrandes sont remplies de sinus et de cosinus dans même degrés. Pour réduire le degré, utilisez des formules trigonométriques , et , et la dernière formule est souvent utilisée dans le sens inverse : .

Exemple 7

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Solution:

En principe, il n'y a rien de nouveau ici, si ce n'est que nous avons appliqué la formule (diminution du degré de l'intégrande). Veuillez noter que j'ai raccourci la solution. Au fur et à mesure que vous gagnez en expérience, l'intégrale de peut être trouvée oralement ; cela fait gagner du temps et est tout à fait acceptable lors de la réalisation des devoirs. Dans ce cas, il est conseillé de ne pas décrire la règle , on prend d'abord verbalement l'intégrale de 1, puis de .

Exemple 8

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple de solution indépendante, la solution complète et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Voici l’augmentation de diplôme promise :

Exemple 9

Trouvez l'intégrale indéfinie.

D'abord la solution, puis les commentaires :

(1) Préparez l'intégrande pour appliquer la formule .

(2) Nous appliquons effectivement la formule.

(3) Nous mettons le dénominateur au carré et retirons la constante du signe intégral. Cela aurait pu être fait un peu différemment, mais, à mon avis, c'était plus pratique.

(4) On utilise la formule

(5) Au troisième terme, nous réduisons à nouveau le degré, mais en utilisant la formule .

(6) Nous présentons des termes similaires (ici j'ai divisé terme par terme et j'ai fait l'ajout).

(7) En fait, on prend l'intégrale, la règle de linéarité et la méthode de subsumation d'une fonction sous le signe différentiel est effectuée oralement.

(8) Peigner la réponse.

! Dans une intégrale indéfinie, la réponse peut souvent s'écrire de plusieurs manières

Dans l'exemple que nous venons de considérer, la réponse finale aurait pu être écrite différemment - en ouvrant les parenthèses et même en le faisant avant d'intégrer l'expression, c'est-à-dire que la fin suivante de l'exemple est tout à fait acceptable :

Il est fort possible que cette option soit encore plus pratique, je viens de l'expliquer comme j'avais l'habitude de la résoudre moi-même). Voici un autre exemple typique de solution indépendante :

Exemple 10

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Cet exemple peut être résolu de deux manières et vous pouvez réussir deux réponses complètement différentes(plus précisément, ils seront complètement différents, mais d'un point de vue mathématique ils seront équivalents). Très probablement, vous ne verrez pas la méthode la plus rationnelle et souffrirez de l'ouverture des parenthèses et de l'utilisation d'autres formules trigonométriques. La solution la plus efficace est donnée à la fin de la leçon.

Pour résumer le paragraphe, nous concluons : toute intégrale de la forme , où et – même nombres, est résolu par la méthode de réduction du degré de l’intégrande.
Dans la pratique, je suis tombé sur des intégrales de 8 et 10 degrés, et j'ai dû résoudre leur terrible désordre en abaissant le degré plusieurs fois, ce qui a donné lieu à de très longues réponses.

Méthode de remplacement variable

Comme mentionné dans l'article Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie, la principale condition préalable à l'utilisation de la méthode de remplacement est le fait que dans l'intégrande il y ait une certaine fonction et sa dérivée :
(les fonctions ne sont pas forcément dans le produit)

Exemple 11

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Nous regardons le tableau des dérivées et remarquons les formules, , c'est-à-dire que dans notre intégrande il y a une fonction et sa dérivée. Cependant, on voit que lors de la différenciation, cosinus et sinus se transforment mutuellement, et la question se pose : comment effectuer un changement de variable et qu'entend-on par sinus ou cosinus ?! La question peut être résolue par des recherches scientifiques : si nous effectuons le remplacement de manière incorrecte, il n'en sortira rien de bon.

Une ligne directrice générale : dans des cas similaires, il faut désigner la fonction qui est au dénominateur.

Nous interrompons la solution et effectuons un remplacement


Tout va bien au dénominateur, tout ne dépend que de , reste maintenant à savoir ce que cela va devenir.
Pour ce faire, on retrouve le différentiel :

Ou, en bref :
A partir de l'égalité résultante, en utilisant la règle de proportion, nous exprimons l'expression dont nous avons besoin :

Donc:

Maintenant, notre intégrande entière dépend uniquement de et nous pouvons continuer à résoudre

Prêt. Je vous rappelle que le but du remplacement est de simplifier l'intégrande ; dans ce cas, tout se résumait à l'intégration ; fonction de puissance selon le tableau.

Ce n'est pas un hasard si j'ai décrit cet exemple avec autant de détails ; cela a été fait dans le but de répéter et de renforcer le matériel de cours. Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Et maintenant deux exemples pour votre propre solution :

Exemple 12

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Exemple 13

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Solutions complètes et réponses à la fin de la leçon.

Exemple 14

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Là encore, dans l'intégrande, il y a sinus et cosinus (une fonction avec une dérivée), mais dans un produit, et un dilemme se pose : qu'entend-on par sinus ou cosinus ?

Vous pouvez essayer d'effectuer un remplacement à l'aide du piquage scientifique, et si rien ne fonctionne, alors le désigner comme une autre fonction, mais il y a :

Ligne directrice générale : il faut désigner la fonction qui, au sens figuré, est dans une « position inconfortable ».

Nous voyons que dans cet exemple, le cosinus étudiant « souffre » du degré, et le sinus repose librement, tout seul.

Faisons donc un remplacement :

Si quelqu'un a encore des difficultés avec l'algorithme permettant de remplacer une variable et de trouver la différentielle, alors vous devriez revenir à la leçon Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Exemple 15

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Analysons l'intégrande, que faut-il désigner par ?
Rappelons nos lignes directrices :
1) La fonction est très probablement au dénominateur ;
2) La fonction est dans une « position inconfortable ».

Soit dit en passant, ces directives ne s'appliquent pas uniquement aux fonctions trigonométriques.

Le sinus répond aux deux critères (surtout au second), donc un remplacement s'impose. En principe, le remplacement peut déjà être effectué, mais il serait d'abord bien de savoir quoi faire ? Tout d’abord, nous « pinçons » un cosinus :

Nous nous réservons pour notre « futur » différentiel

Et nous l'exprimons par sinus en utilisant l'identité trigonométrique de base :

Voici maintenant le remplacement :

Règle générale: Si dans l'intégrande une des fonctions trigonométriques (sinus ou cosinus) est en impair degré, alors vous devez « arracher » une fonction du degré impair et désigner une autre fonction derrière elle. Nous ne parlons que d'intégrales où il y a des cosinus et des sinus.

Dans l’exemple considéré, nous avions un cosinus à une puissance impaire, nous avons donc extrait un cosinus de la puissance et l’avons désigné comme sinus.

Exemple 16

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Les diplômes décollent =).
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Substitution trigonométrique universelle

La substitution trigonométrique universelle est un cas courant de méthode de remplacement de variable. Vous pouvez essayer de l’utiliser lorsque vous « ne savez pas quoi faire ». Mais en fait, il existe quelques lignes directrices pour son application. Les intégrales typiques où la substitution trigonométrique universelle doit être appliquée sont les intégrales suivantes : , , , etc.

Exemple 17

Trouvez l'intégrale indéfinie.

La substitution trigonométrique universelle dans ce cas est mise en œuvre de la manière suivante. Remplaçons : . Je n'utilise pas la lettre , mais la lettre , ce n'est pas une sorte de règle, c'est juste que, encore une fois, j'ai l'habitude de résoudre les choses de cette façon.

Ici il est plus commode de trouver la différentielle ; pour cela, à partir de l'égalité, j'exprime :
J'attache une arctangente aux deux parties :

Arctangente et tangente s'annulent :

Ainsi:

En pratique, vous n’êtes pas obligé de le décrire avec autant de détails, mais utilisez simplement le résultat final :

! L’expression n’est valable que si sous les sinus et cosinus on a simplement des « X », pour l’intégrale (dont nous parlerons plus tard) tout sera un peu différent !

Lors du remplacement, les sinus et les cosinus se transforment en fractions suivantes :
, , ces égalités sont basées sur des formules trigonométriques bien connues : ,

Ainsi, le design final pourrait ressembler à ceci :

Effectuons une substitution trigonométrique universelle :

Tableau des primitives ("intégrales"). Tableau des intégrales. Intégrales indéfinies tabulaires. (Les intégrales les plus simples et les intégrales avec un paramètre). Formules d'intégration par parties. Formule de Newton-Leibniz.

Tableau des primitives ("intégrales").

Intégrales indéfinies tabulaires.

Intégrales indéfinies tabulaires.

(Les intégrales les plus simples et les intégrales avec un paramètre).

Intégrale d'une fonction puissance.

Une intégrale qui se réduit à l'intégrale d'une fonction puissance si x est piloté sous le signe différentiel.

Intégrale d'une exponentielle, où a est un nombre constant.

Intégrale d'une fonction exponentielle complexe.

Intégrale d'une fonction exponentielle.

Intégrale d'une fonction exponentielle.

Une intégrale égale au logarithme népérien.

Intégrale : "Logarithme long".

Une intégrale égale au logarithme népérien.

Intégrale : "Logarithme élevé".

Une intégrale, où x au numérateur est placé sous le signe différentiel (la constante sous le signe peut être soit ajoutée, soit soustraite), est finalement similaire à une intégrale égale au logarithme népérien.

Cosinus intégral.

Intégrale sinusoïdale.

Intégrale égale à la tangente.

Intégrale égale à la cotangente.

Intégrale égale à l'arc sinus et à l'arc cosinus

Une intégrale égale à la fois à l’arc sinus et à l’arc cosinus.

Une intégrale égale à la fois à l'arctangente et à l'arccotangente.

Intégrale égale à cosécante.

Intégrale égale à sécante.

Intégrale égale à cosécante.

Intégrale égale à cosécante.

Intégrale égale à arcsécante.

Intégrale égale à arccosécante.

Intégrale égale au sinus hyperbolique.

Intégrale égale au cosinus hyperbolique.

Intégrale égale au sinus hyperbolique, où sinhx est le sinus hyperbolique dans la version anglaise.

Intégrale égale au cosinus hyperbolique, où sinhx est le sinus hyperbolique dans la version anglaise.

Intégrale égale à la tangente hyperbolique.

Intégrale égale à la cotangente hyperbolique.

Intégrale égale à la sécante hyperbolique.

Formules d'intégration par parties. Formule de Newton-Leibniz. Règles d'intégration.

Intégrer un produit (fonction) par une constante :

Intégration de la somme des fonctions :

intégrales indéfinies :

Formule d'intégration par parties

intégrales définies :

Formule de Newton-Leibniz

intégrales définies :

Où F(a),F(b) sont les valeurs des primitives aux points b et a, respectivement.

Tableau des dérivés. Dérivés tabulaires. Dérivé du produit. Dérivée du quotient. Dérivée d'une fonction complexe.

Si x est une variable indépendante, alors :

Tableau des dérivés. Dérivés tabulaires."dérivé de table" - ​​oui, malheureusement, c'est exactement ainsi qu'ils sont recherchés sur Internet

Dérivée d'une fonction puissance

Dérivée de l'exposant

Dérivée d'une fonction exponentielle complexe

Dérivée de la fonction exponentielle

Dérivée d'une fonction logarithmique

Dérivée du logarithme népérien

Dérivée du logarithme népérien d'une fonction

Dérivée du sinus

Dérivée du cosinus

Dérivé de cosécante

Dérivé d'une sécante

Dérivée de l'arc sinus

Dérivée de l'arc cosinus

Dérivée de l'arc sinus

Dérivée de l'arc cosinus

Dérivée tangente

Dérivée de cotangente

Dérivée de l'arctangente

Dérivée d'arc cotangente

Dérivée de l'arctangente

Dérivée d'arc cotangente

Dérivé d'arcsécant

Dérivé de arccosécant

Dérivé d'arcsécant

Dérivé de arccosécant

Dérivée du sinus hyperbolique

Dérivée du sinus hyperbolique dans la version anglaise

Dérivé du cosinus hyperbolique

Dérivée du cosinus hyperbolique en version anglaise

Dérivée de la tangente hyperbolique

Dérivée de la cotangente hyperbolique

Dérivée de la sécante hyperbolique

Dérivé de la cosécante hyperbolique

Règles de différenciation. Dérivé du produit. Dérivée du quotient.

Dérivée d'une fonction complexe.

Dérivée d'un produit (fonction) par une constante :

Dérivée de somme (fonctions) :

Dérivé du produit (fonctions) :

Dérivée du quotient (des fonctions) :

Dérivée d'une fonction complexe :

Propriétés des logarithmes. Formules de base pour les logarithmes. Logarithmes décimaux (lg) et naturels (ln).

Identité logarithmique de base

Montrons comment toute fonction de la forme a b peut être rendue exponentielle. Puisqu'une fonction de la forme e x est appelée exponentielle, alors

Toute fonction de la forme a b peut être représentée comme une puissance de dix

Logarithme népérien ln (logarithme en base e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Série Taylor. Expansion en série de Taylor d'une fonction. Il s'avère que la majorité les fonctions mathématiques peuvent être représentées avec n'importe quelle précision au voisinage d'un certain point sous la forme de séries de puissances contenant les puissances d'une variable par ordre croissant. Par exemple, au voisinage du point x=1 :

Lorsque vous utilisez une série appelée Les rangées de Taylor les fonctions mixtes contenant, par exemple, des fonctions algébriques, trigonométriques et exponentielles peuvent être exprimées sous forme de fonctions purement algébriques. En utilisant des séries, vous pouvez souvent effectuer rapidement une différenciation et une intégration.

La série de Taylor au voisinage du point a a la forme :

1) , où f(x) est une fonction qui a des dérivées de tous ordres à x = a. R n - le terme restant de la série de Taylor est déterminé par l'expression

2)

Le k-ème coefficient (à x k) de la série est déterminé par la formule

3) Un cas particulier de la série Taylor est la série Maclaurin (=McLaren) (l'expansion se produit autour du point a=0)

à a=0

les membres de la série sont déterminés par la formule

Conditions d'utilisation des séries Taylor.

1. Pour que la fonction f(x) soit développée en une série de Taylor sur l'intervalle (-R;R), il est nécessaire et suffisant que le terme restant dans la formule de Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pour cela la fonction tend vers zéro lorsque k →∞ sur l'intervalle spécifié (-R;R).

2. Il faut qu'il y ait des dérivées pour une fonction donnée au point au voisinage duquel on va construire la série de Taylor.

Propriétés de la série de Taylor.

    Si f est une fonction analytique, alors sa série de Taylor en tout point a dans le domaine de définition de f converge vers f dans un certain voisinage de a.

    Il existe des fonctions infiniment différentiables dont la série de Taylor converge, mais diffère en même temps de la fonction dans n'importe quel voisinage de a. Par exemple:

Les séries de Taylor sont utilisées en approximation (l'approximation est une méthode scientifique qui consiste à remplacer certains objets par d'autres, dans un sens ou dans un autre proches de ceux d'origine, mais plus simples) d'une fonction par des polynômes. En particulier, la linéarisation ((de Linearis - linéaire), une des méthodes de représentation approximative des systèmes non linéaires fermés, dans laquelle l'étude d'un système non linéaire est remplacée par l'analyse d'un système linéaire, en quelque sorte équivalent à l'original .) Les équations se produisent en se développant dans une série de Taylor et en supprimant tous les termes supérieurs au premier ordre.

Ainsi, presque toutes les fonctions peuvent être représentées sous forme de polynôme avec une précision donnée.

Exemples de quelques développements courants de fonctions puissance dans les séries de Maclaurin (=McLaren, Taylor au voisinage du point 0) et de Taylor au voisinage du point 1. Les premiers termes de développements des fonctions principales dans les séries de Taylor et McLaren.

Exemples de quelques extensions courantes de fonctions puissance dans les séries de Maclaurin (=McLaren, Taylor au voisinage du point 0)

Exemples de quelques développements courants de la série de Taylor à proximité du point 1

Pour intégrer des fonctions rationnelles de la forme R(sin x, cos x), une substitution est utilisée, appelée substitution trigonométrique universelle. Alors . La substitution trigonométrique universelle entraîne souvent des calculs volumineux. Par conséquent, dans la mesure du possible, utilisez les substitutions suivantes.

Intégration de fonctions rationnellement dépendantes de fonctions trigonométriques

1. Intégrales de la forme ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) Si n est impair, alors une puissance de sinx (ou cosx) doit être entrée sous le signe du différentiel, et de la puissance paire restante doit être transmise à la fonction opposée.
b) Si n est pair, alors on utilise des formules pour réduire le degré
2. Intégrales de la forme ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , où n est un entier.
Des formules doivent être utilisées

3. Intégrales de la forme ∫ sin n x cos m x dx
a) Soient m et n de parités différentes. On utilise la substitution t=sin x si n est impair ou t=cos x si m est impair.
b) Si m et n sont pairs, alors on utilise des formules pour réduire le degré
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Intégrales de la forme
Si les nombres m et n sont de même parité, alors on utilise la substitution t=tg x. Il est souvent pratique d’utiliser la technique des unités trigonométriques.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Utilisons les formules pour convertir le produit des fonctions trigonométriques en leur somme :

  • sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
  • cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
  • péché α péché β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Exemples
1. Calculez l'intégrale ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
On fait le remplacement cos(x)=t. Alors ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Calculez l'intégrale.
En faisant le remplacement sin x=t , on obtient


3. Trouvez l'intégrale.
Nous effectuons le remplacement tg(x)=t . En substituant, on obtient


Intégration d'expressions de la forme R(sinx, cosx)

Exemple n°1. Calculer les intégrales :

Solution.
a) L'intégration des expressions de la forme R(sinx, cosx), où R est une fonction rationnelle de sin x et cos x, sont converties en intégrales de fonctions rationnelles en utilisant la substitution trigonométrique universelle tg(x/2) = t.
Ensuite nous avons


Une substitution trigonométrique universelle permet de passer d'une intégrale de la forme ∫ R(sinx, cosx) dx à une intégrale d'une fonction rationnelle fractionnaire, mais souvent une telle substitution conduit à des expressions lourdes. Sous certaines conditions, des substitutions plus simples sont efficaces :
  • Si l'égalité R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx est satisfaite, alors la substitution cos x = t est appliquée.
  • Si l'égalité R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx est vraie, alors la substitution sin x = t.
  • Si l'égalité R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx est vraie, alors la substitution tgx = t ou ctg x = t.
Dans ce cas, pour trouver l’intégrale
Appliquons la substitution trigonométrique universelle tg(x/2) = t.
Alors répondez :

On examine en détail des exemples de solutions d'intégrales par parties dont l'intégrande est le produit d'un polynôme par une exponentielle (e à la puissance x) ou par un sinus (sin x) ou un cosinus (cos x).

Contenu

Voir aussi : Méthode d'intégration par parties
Tableau des intégrales indéfinies
Méthodes de calcul d'intégrales indéfinies
Fonctions élémentaires de base et leurs propriétés

Formule d'intégration par parties

Lors de la résolution des exemples de cette section, la formule d'intégration par parties est utilisée :
;
.

Exemples d'intégrales contenant le produit d'un polynôme et sin x, cos x ou e x

Voici des exemples de telles intégrales :
, , .

Pour intégrer de telles intégrales, le polynôme est noté u et la partie restante par v dx.

Ensuite, appliquez la formule d’intégration par parties.

Vous trouverez ci-dessous une solution détaillée à ces exemples.

Exemples de résolution d'intégrales

Exemple avec exposant, e à la puissance x
.

Déterminer l'intégrale :
Introduisons l'exposant sous le signe différentiel :.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Intégrons par parties.
.
Ici
.
.
.
Nous intégrons également l'intégrale restante par parties.
.

Finalement nous avons :

Un exemple de définition d'une intégrale avec sinus
.

Calculez l'intégrale :

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Introduisons le sinus sous le signe différentiel : ici u = x 2 , v = cos(2x+3) ( , du = )′ x2

dx


Nous intégrons également l'intégrale restante par parties. Pour ce faire, introduisez le cosinus sous le signe différentiel. ici u = x, v = péché(2 x+3)

Nous intégrons également l'intégrale restante par parties.

, du = dx

Un exemple de définition d'une intégrale avec sinus
.

Exemple du produit d'un polynôme et d'un cosinus

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Introduisons le cosinus sous le signe différentiel : ici tu = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2x+3) ( péché 2 x )′ x2



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