Objectifs de la leçon :
- apprendre aux étudiants à résoudre des équations de degrés supérieurs en utilisant le schéma de Horner ;
- développer la capacité de travailler en binôme ;
- créer, en lien avec les principales sections du cours, une base pour développer les capacités des étudiants ;
- aider l'élève à évaluer son potentiel, à développer son intérêt pour les mathématiques, sa capacité de réflexion et à s'exprimer sur le sujet.
Équipement: cartes pour le travail de groupe, affiche avec le diagramme de Horner.
Méthode d'enseignement : conférence, histoire, explication, réalisation d'exercices de formation.
Formulaire de contrôle : vérification des tâches décision indépendante, travail indépendant.
Progression de la leçon
1. Moment organisationnel
2. Actualiser les connaissances des étudiants
Quel théorème permet de déterminer si un nombre est la racine d'une équation donnée (formuler un théorème) ?
Théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme P(x) par le binôme x-c est égal à P(c), le nombre c est appelé racine du polynôme P(x) si P(c)=0. Le théorème permet, sans effectuer l'opération de division, de déterminer si un nombre donné est la racine d'un polynôme.
Quelles affirmations facilitent la recherche de racines ?
a) Si le coefficient dominant du polynôme égal à un, alors les racines du polynôme doivent être recherchées parmi les diviseurs du terme libre.
b) Si la somme des coefficients d'un polynôme est 0, alors l'une des racines est 1.
c) Si la somme des coefficients aux endroits pairs est égale à la somme des coefficients aux endroits impairs, alors une des racines est égale à -1.
d) Si tous les coefficients sont positifs, alors les racines du polynôme sont des nombres négatifs.
e) Un polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.
3. Apprendre du nouveau matériel
Lors de la résolution d'équations algébriques entières, vous devez trouver les valeurs des racines des polynômes. Cette opération peut être considérablement simplifiée si les calculs sont effectués à l'aide d'un algorithme spécial appelé schéma de Horner. Ce circuit porte le nom du scientifique anglais William George Horner. Le schéma de Horner est un algorithme permettant de calculer le quotient et le reste de la division du polynôme P(x) par x-c. En bref comment ça marche.
Soit un polynôme arbitraire P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. La division de ce polynôme par x-c est sa représentation sous la forme P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Partiel g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +…+in n-2 x + in n-1, où in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n =1,2,3,…n-1. Reste r(x)= st n-1 +a n. Cette méthode de calcul est appelée schéma de Horner. Le mot « schéma » dans le nom de l'algorithme est dû au fait que sa mise en œuvre est généralement formatée comme suit. Tout d’abord, dessinez le tableau 2(n+2). Dans la cellule inférieure gauche, écrivez le nombre c et dans la ligne du haut les coefficients du polynôme P(x). Dans ce cas, la cellule supérieure gauche reste vide.
en 0 =a 0 |
en 1 =st 1 +a 1 |
en 2 = sv 1 + UN 2 |
en n-1 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
Le nombre qui, après exécution de l'algorithme, s'avère être écrit dans la cellule inférieure droite est le reste de la division du polynôme P(x) par x-c. Les autres nombres en 0, en 1, en 2,... dans la ligne du bas sont les coefficients du quotient.
Par exemple : Divisez le polynôme P(x)= x 3 -2x+3 par x-2.
On obtient que x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.
4. Consolidation du matériel étudié
Exemple 1 : Factorisez le polynôme P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 en facteurs à coefficients entiers.
On recherche des racines entières parmi les diviseurs du terme libre -1 : 1 ; -1. Faisons un tableau :
X = -1 – racine
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
Vérifions 1/2.
X=1/2 - racine |
Par conséquent, le polynôme P(x) peut être représenté sous la forme
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Exemple 2 : Résolvez l'équation 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Puisque la somme des coefficients du polynôme écrit du côté gauche de l’équation est égale à zéro, alors l’une des racines est 1. Utilisons le schéma de Horner :
X=1 - racine |
On obtient P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Nous chercherons des racines parmi les diviseurs du terme libre 2.
Nous avons découvert qu’il n’y avait plus de racines intactes. Vérifions 1/2 ; -1/2.
X= -1/2 - racine |
Réponse : 1 ; -1/2.
Exemple 3 : Résolvez l'équation 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.
Nous chercherons les racines de cette équation parmi les diviseurs du terme libre 5 : 1;-1;5;-5. x=1 est la racine de l'équation, puisque la somme des coefficients est nulle. Utilisons le schéma de Horner :
Présentons l'équation comme le produit de trois facteurs : (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. En résolvant l'équation quadratique 5x 2 -7x+5=0, nous obtenons D=49-100=-51, il n'y a pas de racines.
Carte 1
- Factoriser le polynôme : x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Résolvez l'équation : 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Carte 2
- Factoriser le polynôme : x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Résolvez l'équation : x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Carte 3
- Prendre en compte : 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Résolvez l'équation : x 3 -2x 2 +4x-8=0
Carte 4
- Factoriser en : 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Résolvez l'équation : x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Résumé
Le test des connaissances lors de la résolution par paires s'effectue en classe en reconnaissant la méthode d'action et le nom de la réponse.
Devoirs:
Résolvez les équations :
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
Littérature
- N. Ya. Vilenkin et al., Algèbre et débuts de l'analyse, 10e année (étude approfondie des mathématiques) : Enlightenment, 2005.
- U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Solution d'équations de degrés supérieurs : Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, Les systèmes numériques et leur application.
Diapositive 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) - mathématicien anglais. Né à Bristol. Il y étudie et travaille, puis dans les écoles de Bath. Travaux de base sur l'algèbre. En 1819 a publié une méthode de calcul approximatif des racines réelles d'un polynôme, qui s'appelle maintenant la méthode de Ruffini-Horner (cette méthode était connue des Chinois au XIIIe siècle. Le schéma de division d'un polynôme par le binôme x-a est nommé). après Horner.
Diapositive 4
SCHÉMA HORNER
Une méthode de division d'un polynôme du nième degré par un binôme linéaire - a, basée sur le fait que les coefficients du quotient incomplet et le reste sont liés aux coefficients du polynôme divisé et aux formules :
Diapositive 5
Les calculs selon le schéma de Horner sont placés dans le tableau :
Exemple 1. Diviser Le quotient partiel est x3-x2+3x - 13 et le reste est 42=f(-3).
Diapositive 6
Le principal avantage de cette méthode est la compacité de la notation et la possibilité de diviser rapidement un polynôme en un binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.
Diapositive 7
Exemple 2.
Montrons que le polynôme P(x)=x4-6x3+7x-392 est divisible par x-7, et trouvons le quotient de la division. Solution. En utilisant le schéma de Horner, nous trouvons P(7) : De là, nous obtenons P(7)=0, c'est-à-dire le reste lors de la division d'un polynôme par x-7 est égal à zéro et, par conséquent, le polynôme P(x) est un multiple de (x-7). De plus, les nombres de la deuxième ligne du tableau sont les coefficients du. Quotient de P(x) divisé par (x-7), donc P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).
Diapositive 8
Factorisez le polynôme x3 – 5x2 – 2x + 16.
Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), où Q(x) est un polynôme du deuxième degré
Diapositive 9
Les nombres résultants 1, −3, −8 sont les coefficients du polynôme, obtenu en divisant le polynôme d'origine par x – 2. Cela signifie que le résultat de la division est : 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Le degré d'un polynôme résultant de la division est toujours inférieur de 1 au degré de celui d'origine. Donc : x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Description de l'algorithme
Étant donné un polynôme :
.Supposons qu'il soit nécessaire de calculer la valeur d'un polynôme donné pour une valeur fixe. Représentons le polynôme sous la forme suivante :
.Définissons la séquence suivante :
… …Valeur de recherche. Montrons qu'il en est ainsi.
Remplaçons la forme de notation résultante et calculons la valeur de l'expression, en partant des parenthèses intérieures. Pour ce faire, nous remplacerons les sous-expressions par :
Utiliser le diagramme de Horner pour diviser un polynôme par un binôme
Lorsqu’un polynôme est divisé par, le résultat est un polynôme avec un reste.
Dans ce cas, les coefficients du polynôme résultant satisfont les relations de récurrence :
, .De la même manière, vous pouvez déterminer la multiplicité des racines (utilisez le schéma de Horner pour le nouveau polynôme). Le schéma peut également être utilisé pour trouver des coefficients lors du développement d'un polynôme en puissances :
Remarques
Voir aussi
Littérature
- Ananiy V. Levitin Chapitre 6. Méthode de conversion : schéma de Horner et exponentiation// Algorithmes : Introduction à la conception et à l'analyse = Introduction à la conception et à l'analyse des algorithmes. - M. : « Williams », 2006. - P. 284-291. -ISBN0-201-74395-7
- Volkov E.A.§ 2. Calcul des valeurs polynomiales. Schéma Horner // Méthodes numériques. - Manuel manuel pour les universités. - 2e éd., rév. - M. : Nauka, 1987. - 248 p.
- S.B. Gachkov§14. Schéma de Horner et traduction d'un système positionnel à un autre // Systèmes numériques et leur application. - M. : MTsNMO, 2004. - pp. - (Bibliothèque « Éducation mathématique »). -ISBN5-94057-146-8
Links
- Calcul de polynômes multidimensionnels - une généralisation du schéma de Horner au cas d'un polynôme à plusieurs variables.
Fondation Wikimédia.
- 2010.
- Chlorquinaldol
Shtilmark, Alexandre Robertovitch
Voyez ce qu'est le « Schéma Horner » dans d'autres dictionnaires :- une technique pour trouver le quotient incomplet et le reste lors de la division d'un polynôme par un binôme, où tous les coefficients se situent dans un certain domaine, par exemple dans le domaine des nombres complexes. Nous ne pouvons représenter n'importe quel polynôme de la seule manière sous la forme où il existe un quotient incomplet,... ... Encyclopédie mathématique
Méthode Horner- Le schéma de Horner (ou règle de Horner, méthode de Horner) est un algorithme permettant de calculer la valeur d'un polynôme, écrit sous la forme d'une somme de monômes, pour une valeur donnée d'une variable. La méthode de Horner permet de trouver les racines d'un polynôme, ainsi que de calculer les dérivées... ... Wikipédia
Racine d'un polynôme- Ce terme a d'autres significations, voir Racine (significations). La racine d'un polynôme (pas identiquement nul) sur le corps k est un élément tel que les deux conditions équivalentes suivantes sont satisfaites : le polynôme donné est divisible par un polynôme ... ... Wikipédia ;
Division en colonnes des polynômes- En algèbre, diviser des polynômes par une colonne est un algorithme permettant de diviser un polynôme par un polynôme dont le degré est inférieur ou égal au degré du polynôme. L'algorithme est une forme généralisée de division de nombres par colonne, qui peut être facilement mise en œuvre manuellement. Pour... ... Wikipédia
Horner, William George- William George Horner (1786, Bristol 22 septembre 1837) mathématicien britannique. Né en 1786 dans la ville de Bristol en Angleterre. Il a fait ses études à la Kingstwood School de Bristol. À l'âge de 14 ans, il devient assistant réalisateur chez... ... Wikipédia
Plexus brachial- I Plexus brachial (plexus brachialis) plexus de fibres nerveuses des branches antérieures de 4 8 nerfs cervicaux et 1 2 nerfs rachidiens thoraciques en plusieurs troncs et faisceaux, à la suite de la division ultérieure desquelles se forment des nerfs courts et longs. ... Encyclopédie médicale
RADICULITE- (du latin radix root), maladies des racines des nerfs spinaux, terme établi au début du XXe siècle. grâce au travail de Dejerine et de son école. R. est basé sur un processus dégénératif inflammatoire au niveau des racines [voir. tableau séparé (article 255... ...
GLANDE THYROÏDE- (gl. thyreoidea, syn. corpus thyreoideum), l'une des glandes endocrines les plus importantes des vertébrés. Dans le développement embryonnaire de Shch. naît de l'épithélium de la paroi inférieure de la partie branchiale de l'intestin ; chez les larves de poissons cyclostome, il a également la forme... ... Grande encyclopédie médicale
Radiculite- I Radiculite (radiculite ; lat. racine de la radicula + ite) lésions inflammatoires et par compression des racines des nerfs spinaux. Les atteintes combinées des racines antérieures et postérieures au niveau de leur connexion en un cordon commun (Fig.) étaient auparavant désignées... ... Encyclopédie médicale
Circulation vertébrale- (synonyme de circulation céphalo-rachidienne) Il a été établi que plusieurs segments cervicaux supérieurs de la moelle épinière sont alimentés en sang par les artères spinales antérieures et postérieures, qui proviennent de artères vertébrales. Segments situés en dessous des segments CIII CIV... ... Encyclopédie médicale
Lors de la résolution d’équations et d’inéquations, il est souvent nécessaire de factoriser un polynôme dont le degré est trois ou plus. Dans cet article, nous examinerons la manière la plus simple de procéder.
Comme d'habitude, tournons-nous vers la théorie pour obtenir de l'aide.
Théorème de Bezout déclare que le reste lors de la division d'un polynôme par un binôme est .
Mais ce qui est important pour nous, ce n'est pas le théorème lui-même, mais corollaire de celui-ci :
Si le nombre est la racine d’un polynôme, alors le polynôme est divisible par le binôme sans reste.
Nous sommes confrontés à la tâche de trouver d'une manière ou d'une autre au moins une racine du polynôme, puis de diviser le polynôme par , où est la racine du polynôme. En conséquence, nous obtenons un polynôme dont le degré est inférieur de un au degré d'origine. Et puis, si nécessaire, vous pouvez répéter le processus.
Cette tâche se décompose en deux : comment trouver la racine d'un polynôme et comment diviser un polynôme par un binôme.
Examinons ces points de plus près.
1. Comment trouver la racine d'un polynôme.
Nous vérifions d’abord si les nombres 1 et -1 sont des racines du polynôme.
Les faits suivants nous aideront ici :
Si la somme de tous les coefficients d’un polynôme est nulle, alors le nombre est la racine du polynôme.
Par exemple, dans un polynôme la somme des coefficients est nulle : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.
Si la somme des coefficients d’un polynôme aux puissances paires est égale à la somme des coefficients aux puissances impaires, alors le nombre est la racine du polynôme. Le terme libre est considéré comme un coefficient pour un degré pair, puisque , a est un nombre pair.
Par exemple, dans un polynôme, la somme des coefficients des puissances paires est : , et la somme des coefficients des puissances impaires est : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.
Si ni 1 ni -1 ne sont des racines du polynôme, alors nous passons à autre chose.
Pour un polynôme de degré réduit (c'est-à-dire un polynôme dans lequel le coefficient dominant - le coefficient à - est égal à l'unité), la formule de Vieta est valable :
Où sont les racines du polynôme.
Il existe également des formules Vieta concernant les coefficients restants du polynôme, mais celle-ci nous intéresse.
De cette formule Vieta, il s'ensuit que si les racines d’un polynôme sont des nombres entiers, alors elles sont des diviseurs de son terme libre, qui est aussi un nombre entier.
Sur cette base, nous devons factoriser le terme libre du polynôme et, séquentiellement, du plus petit au plus grand, vérifier lequel des facteurs est la racine du polynôme.
Prenons par exemple le polynôme
Diviseurs du terme libre : ;
;
;
La somme de tous les coefficients du polynôme est égale à , donc le nombre 1 n'est pas la racine du polynôme.
Somme des coefficients pour puissances paires :
Somme des coefficients pour les puissances impaires :
Par conséquent, le nombre -1 n’est pas non plus une racine du polynôme.
Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme : le nombre 2 est donc la racine du polynôme. Cela signifie que, selon le théorème de Bezout, le polynôme est divisible par un binôme sans reste.
2. Comment diviser un polynôme en un binôme.
Un polynôme peut être divisé en binôme par une colonne.
Divisez le polynôme par un binôme à l'aide d'une colonne : Il existe une autre façon de diviser un polynôme par un binôme : le schéma de Horner.
Regardez cette vidéo pour comprendre
comment diviser un polynôme par un binôme avec une colonne, et en utilisant le schéma de Horner.
Je remarque que si, lors de la division par colonne, un certain degré d'inconnu manque dans le polynôme d'origine, nous écrivons 0 à sa place - de la même manière que lors de la compilation d'un tableau pour le schéma de Horner. Ainsi, si nous devons diviser un polynôme par un binôme et que, à la suite de la division, nous obtenons un polynôme, nous pouvons alors trouver les coefficients du polynôme en utilisant le schéma de Horner : Nous pouvons également utiliser
Schéma Horner
afin de vérifier si un nombre donné est la racine d'un polynôme : si le nombre est la racine d'un polynôme, alors le reste en divisant le polynôme par est égal à zéro, c'est-à-dire dans la dernière colonne de la deuxième ligne de Avec le diagramme de Horner, nous obtenons 0. En utilisant le schéma de Horner, on « fait d'une pierre deux coups » : on vérifie simultanément si le nombre est la racine d'un polynôme et on divise ce polynôme par un binôme.
Exemple.
Résolvez l'équation :
1. Écrivons les diviseurs du terme libre et cherchons les racines du polynôme parmi les diviseurs du terme libre.
Diviseurs de 24 :
2. Vérifions si le nombre 1 est la racine du polynôme.
La somme des coefficients d'un polynôme, donc le nombre 1 est la racine du polynôme.
3. Divisez le polynôme d'origine en un binôme en utilisant le schéma de Horner.
A) Écrivons les coefficients du polynôme d’origine dans la première ligne du tableau.
Dans la dernière colonne, comme prévu, nous avons obtenu zéro ; nous avons divisé le polynôme d'origine par un binôme sans reste. Les coefficients du polynôme issu de la division sont indiqués en bleu dans la deuxième ligne du tableau :
Il est facile de vérifier que les nombres 1 et -1 ne sont pas des racines du polynôme
B) Continuons le tableau. Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme :
Ainsi, le degré du polynôme, obtenu à la suite d'une division par un, est inférieur au degré du polynôme d'origine, par conséquent, le nombre de coefficients et le nombre de colonnes sont un de moins.
Dans la dernière colonne, nous avons -40 - un nombre qui n'est pas égal à zéro, donc le polynôme est divisible par un binôme avec un reste et le nombre 2 n'est pas la racine du polynôme.
C) Vérifions si le nombre -2 est la racine du polynôme. La tentative précédente ayant échoué, pour éviter toute confusion avec les coefficients, j'effacerai la ligne correspondant à cette tentative :
Super! Nous avons obtenu zéro comme reste, donc le polynôme a été divisé en un binôme sans reste, donc le nombre -2 est la racine du polynôme. Les coefficients du polynôme obtenu en divisant un polynôme par un binôme sont indiqués en vert dans le tableau.
À la suite de la division, nous obtenons un trinôme quadratique 
, dont les racines peuvent facilement être trouvées à l’aide du théorème de Vieta :
Ainsi, les racines de l’équation originale sont :
{
}
Répondre: ( 
}
Schéma de Horner - une méthode de division d'un polynôme
$$P_n(x)=\somme\limites_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
sur le binôme $x-a$. Vous devrez travailler avec un tableau dont la première ligne contient les coefficients d'un polynôme donné. Le premier élément de la deuxième ligne sera le nombre $a$, tiré du binôme $x-a$ :
Après avoir divisé un polynôme de nième degré par un binôme $x-a$, on obtient un polynôme dont le degré est inférieur de un à celui d'origine, c'est-à-dire est égal à $n-1$. L’application directe du schéma de Horner est plus facile à démontrer à l’aide d’exemples.
Exemple n°1
Divisez $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$ en utilisant le schéma de Horner.
Faisons un tableau de deux lignes : dans la première ligne nous notons les coefficients du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$, classés par ordre décroissant des puissances de la variable $x$. Notez que ce polynôme ne contient pas $x$ au premier degré, c'est-à-dire le coefficient de $x$ à la première puissance est 0. Puisque nous divisons par $x-1$, nous écrivons un dans la deuxième ligne :
Commençons par remplir les cellules vides de la deuxième ligne. Dans la deuxième cellule de la deuxième ligne, écrivez le nombre $5$ en le déplaçant simplement de la cellule correspondante de la première ligne :
Remplissons la cellule suivante selon ce principe : $1\cdot 5+5=10$ :
Remplissons la quatrième cellule de la deuxième ligne de la même manière : $1\cdot 10+1=11$ :
Pour la cinquième cellule on obtient : $1\cdot 11+0=11$ :
Et enfin, pour la dernière, sixième cellule, nous avons : $1\cdot 11+(-11)=0$ :
Le problème est résolu, il ne reste plus qu'à écrire la réponse :
Comme vous pouvez le constater, les nombres situés sur la deuxième ligne (entre un et zéro) sont les coefficients du polynôme obtenu après avoir divisé $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$. Naturellement, puisque le degré du polynôme d'origine $5x^4+5x^3+x^2-11$ était égal à quatre, le degré du polynôme résultant $5x^3+10x^2+11x+11$ est un moins, c'est à dire. est égal à trois. Le dernier nombre de la deuxième ligne (zéro) signifie le reste lorsque l'on divise le polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$. Dans notre cas, le reste est nul, c'est-à-dire les polynômes sont également divisibles. Ce résultat peut également être caractérisé comme suit : la valeur du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ pour $x=1$ est égale à zéro.
La conclusion peut aussi être formulée sous cette forme : puisque la valeur du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ à $x=1$ est égale à zéro, alors l'unité est la racine du polynôme 5 $^4+5x^3+ x^2-11 $.
Exemple n°2
Divisez le polynôme $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ par $x+3$ en utilisant le schéma de Horner.
Précisons immédiatement que l'expression $x+3$ doit être représentée sous la forme $x-(-3)$. Le projet de Horner impliquera exactement -3$. Puisque le degré du polynôme d'origine $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ est égal à quatre, alors par division nous obtenons un polynôme du troisième degré :
Le résultat signifie que
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Dans cette situation, le reste en divisant $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ par $x+3$ est de 4$. Ou, ce qui revient au même, la valeur du polynôme $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ pour $x=-3$ est égale à $4$. À propos, il est facile de vérifier en remplaçant directement $x=-3$ dans le polynôme donné :
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Ceux. Le schéma de Horner peut être utilisé si vous devez trouver la valeur d'un polynôme pour une valeur donnée d'une variable. Si notre objectif est de trouver toutes les racines d’un polynôme, alors le schéma de Horner peut être appliqué plusieurs fois de suite jusqu’à ce que nous ayons épuisé toutes les racines, comme indiqué dans l’exemple n°3.
Exemple n°3
Trouvez toutes les racines entières du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ en utilisant le schéma de Horner.
Les coefficients du polynôme en question sont des nombres entiers et le coefficient de la puissance la plus élevée de la variable (c'est-à-dire $x^6$) est égal à un. Dans ce cas, les racines entières du polynôme doivent être recherchées parmi les diviseurs du terme libre, c'est-à-dire parmi les diviseurs du nombre 45. Pour un polynôme donné, ces racines peuvent être les nombres $45 ; \; 15 ; \; 9 ; \; 5 ; \; 3 ; \; 1$ et -45$; \; -15 ; \; -9 ; \; -5 ; \; -3 ; \; -1$. Vérifions, par exemple, le nombre $1$ :
Comme vous pouvez le voir, la valeur du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ avec $x=1$ est égale à $192$ (le dernier nombre dans la deuxième ligne), et non $0 $, donc l'unité n'est pas la racine de ce polynôme. Puisque la vérification a échoué, vérifions la valeur $x=-1$. Nous ne créerons pas de nouvelle table pour cela, mais continuerons à utiliser la table. N° 1, en y ajoutant une nouvelle (troisième) ligne. La deuxième ligne, dans laquelle la valeur de $1$ a été cochée, sera surlignée en rouge et ne sera plus utilisée dans les discussions ultérieures.
Vous pouvez bien sûr simplement réécrire le tableau, mais le remplir manuellement prendra beaucoup de temps. De plus, il peut y avoir plusieurs nombres dont la vérification échouera, et il est difficile d'écrire un nouveau tableau à chaque fois. Lors du calcul « sur papier », les lignes rouges peuvent simplement être barrées.
Ainsi, la valeur du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ à $x=-1$ est égale à zéro, c'est-à-dire le nombre $-1$ est la racine de ce polynôme. Après avoir divisé le polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ par le binôme $x-(-1)=x+1$ on obtient le polynôme $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, dont les coefficients sont tirés de la troisième ligne du tableau. N°2 (voir exemple n°1). Le résultat des calculs peut également être présenté sous cette forme :
\begin(équation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\fin(équation)
Continuons la recherche de racines entières. Nous devons maintenant rechercher les racines du polynôme $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Là encore, les racines entières de ce polynôme sont recherchées parmi les diviseurs de son terme libre, les nombres $45$. Essayons de vérifier à nouveau le nombre $-1$. Nous ne créerons pas de nouveau tableau, mais continuerons à utiliser le tableau précédent. N ° 2, c'est-à-dire Ajoutons-y une ligne supplémentaire :
Ainsi, le nombre $-1$ est la racine du polynôme $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ce résultat peut s’écrire ainsi :
\begin(équation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(équation)
Compte tenu de l'égalité (2), l'égalité (1) peut être réécrite sous la forme suivante :
\begin(équation)\begin(aligné) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\fin(aligné)\fin(équation)
Il faut maintenant chercher les racines du polynôme $x^4-22x^2+24x+45$, naturellement, parmi les diviseurs de son terme libre (les nombres $45$). Vérifions à nouveau le nombre $-1$ :
Le nombre $-1$ est la racine du polynôme $x^4-22x^2+24x+45$. Ce résultat peut s’écrire ainsi :
\begin(équation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(équation)
Compte tenu de l'égalité (4), on réécrit l'égalité (3) sous la forme suivante :
\begin(équation)\begin(aligné) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\fin(aligné)\fin(équation)
Nous recherchons maintenant les racines du polynôme $x^3-x^2-21x+45$. Vérifions à nouveau le nombre $-1$ :
Le contrôle s'est soldé par un échec. Soulignons la sixième ligne en rouge et essayons de vérifier un autre nombre, par exemple le nombre $3$ :
Le reste est nul, donc le nombre $3$ est la racine du polynôme en question. Donc $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Maintenant, l'égalité (5) peut être réécrite comme suit.
