Cette incertitude est « servie » deuxième merveilleuse limite , et dans la deuxième partie de cette leçon, nous avons examiné en détail des exemples standards de solutions que l'on trouve dans la pratique dans la plupart des cas. Maintenant, le tableau avec les exposants sera complété, de plus, les tâches finales de la leçon seront consacrées aux « fausses » limites, dans lesquelles il SEMBLE qu'il faut appliquer la 2ème limite merveilleuse, bien que ce ne soit pas du tout la cas.
L'inconvénient des deux formules de travail pour la 2ème limite remarquable est que l'argument doit tendre vers « plus l'infini » ou vers zéro. Mais que se passe-t-il si l’argument tend vers un nombre différent ?
Une formule universelle vient à la rescousse (qui est en fait une conséquence de la deuxième limite remarquable) :
L'incertitude peut être éliminée à l'aide de la formule :
Quelque part, je pense avoir déjà expliqué ce que signifient les crochets. Rien de spécial, les parenthèses ne sont que des parenthèses. Ils sont généralement utilisés pour mettre plus clairement en évidence la notation mathématique.
Soulignons les points essentiels de la formule :
1) Il s'agit de seulement une question de certitude et rien d'autre.
2) L’argument « x » peut tendre à valeur arbitraire(et pas seulement à zéro ou), en particulier, à « moins l'infini » ou à n'importe qui nombre fini.
En utilisant cette formule, vous pouvez résoudre tous les exemples de la leçon. Des limites merveilleuses, qui appartiennent à la 2ème limite remarquable. Par exemple, calculons la limite :
Dans ce cas 
, et selon la formule 
:
Certes, je ne recommande pas de faire cela ; la tradition est de continuer à utiliser la conception « habituelle » de la solution, si elle peut être appliquée. Cependant en utilisant la formule, il est très pratique de vérifier exemples "classiques" à la 2ème limite remarquable.
Tout cela est bon et correct, mais maintenant il y a des clichés plus intéressants dans le cadre :
Exemple 18
Calculer la limite 
Dans un premier temps, je ne me lasserai pas de le répéter, on substitue la valeur de « x » dans l'expression sous le signe limite. Et s’il n’y avait aucune incertitude ? Ça arrive ! Mais pas cette fois. En substituant les « trois », nous arrivons à la conclusion qu'il y a ici une incertitude
Nous utilisons la formule
Afin de ne pas traîner la lettre « e » avec vous et de ne pas la réduire, l'indicateur 
Il est plus pratique de calculer séparément :
Dans ce cas: 
Ainsi:
Du point de vue de la technologie de calcul, tout est routinier : on réduit d'abord le premier terme à un dénominateur commun, puis on retire les constantes et on effectue des réductions, en éliminant l'incertitude 0:0.
Par conséquent: 
Cadeau promis avec différence logarithmique et incertitude :
Exemple 19
Calculer la limite
D'abord la solution complète, puis les commentaires : 
(1)-(2) Dans les deux premières étapes, nous utilisons les formules 
. U dérivés complexes nous « désintégrons » les logarithmes, mais ici, au contraire, il faut les « assembler ».
(3) Déplacez l'icône de limite sous le logarithme. Cela peut être fait car ce logarithme continuà "moins l'infini". De plus, la limite fait référence au « remplissage » du logarithme.
(4)-(5) Technique standard abordée dans la leçon de base sur merveilleuses limites, nous transformons l'incertitude en la forme .
(6) On utilise la formule .
(7) Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont mutuellement fonctions inverses, donc « e » et le logarithme peuvent être supprimés. En effet, d'après la propriété du logarithme : . On ajoute le moins avant la fraction au dénominateur : 
(8) Pas de commentaires =)
Le type de limite envisagé n'est pas si rare ; j'en ai trouvé 30 à 40 exemples.
Exemple 20
Calculer la limite 
Ceci est un exemple pour décision indépendante. En plus d'utiliser la formule, vous pouvez représenter la limite comme 
et par remplacement réduire la solution au cas 
.
En conclusion, regardons les « fausses » limites.
Revenons à l'incertitude. Cette incertitude pas toujours peut être réduit à l’incertitude et utiliser la deuxième limite remarquable ou formule corollaire. La transformation est réalisable si numérateur et dénominateur de la base - équivalent fonctions infiniment grandes. Par exemple: .
Faisons une pause avec l'indicateur et calculons la limite de la base : 
Dans la limite obtenue unité, ce qui signifie le numérateur et le dénominateur non seulement du même ordre de croissance, mais également équivalent. En classe Des limites remarquables. Exemples de solutions Nous avons facilement réduit cet exemple à l’incertitude et avons obtenu la réponse.
Vous pouvez proposer de nombreuses limites similaires :
etc.
Les fractions de ces exemples sont unies par la caractéristique ci-dessus : . Dans d'autres cas, s'il existe une incertitude La 2ème limite remarquable ne s'applique pas.
Exemple 21
Trouver des limites
Quels que soient vos efforts, l’incertitude ne peut pas se transformer en incertitude.
Voici les numérateurs et dénominateurs des bases même ordre de croissance, mais pas équivalent: 
.
Ainsi, la deuxième limite remarquable et, surtout la formule, NE PEUT PAS ÊTRE APPLIQUÉ.
! Note: A ne pas confondre avec l'exemple #18, dans lequel le numérateur et le dénominateur de la base ne sont pas équivalents. Il existe une incertitude toute faite, mais nous parlons ici d’incertitude.
La méthode pour résoudre les « fausses » limites est simple et signe : il faut un numérateur et un dénominateur terrains diviser par « x » au plus haut degré (quel que soit l’exposant) :
Si le numérateur et le dénominateur de la base sont d'ordre de croissance différent, alors la solution est exactement la même :
Exemple 22
Trouver des limites 
Ce sont de courts exemples pour l’auto-apprentissage
Parfois il n'y a peut-être aucune incertitude:
De telles astuces sont particulièrement appréciées des compilateurs de la collection de Kuznetsov. C'est pourquoi il est très important de TOUJOURS remplacer « x » dans l'expression sous le signe limite lors de la première étape !
Exemple 2
Degré majeur du numérateur : 2 ; degré le plus élevé du dénominateur : 3.
:
Exemple 4
Divisez le numérateur et le dénominateur par :
Note
: la toute dernière action consistait à multiplier le numérateur et le dénominateur par se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur.
Exemple 6
Divisez le numérateur et le dénominateur par :
Exemple 8
Divisez le numérateur et le dénominateur par :
Note
: terme tendent vers zéro plus lentement que , c'est pourquoi est le zéro « principal » du dénominateur.
.
Exemple 22
Note
: sans fin petite fonction
tend vers zéro plus lentement que , donc le zéro « plus grand » du dénominateur joue un rôle décisif :
La dérivée de la fonction ne tombe pas très loin, et dans le cas des règles de L'Hôpital, elle se situe exactement au même endroit où se situe la fonction originale. Cette circonstance aide à révéler les incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞ et certaines autres incertitudes qui surviennent lors du calcul limite la relation de deux fonctions infinitésimales ou infiniment grandes. Le calcul est grandement simplifié en utilisant cette règle (en fait deux règles et leurs notes) :
Comme le montre la formule ci-dessus, lors du calcul de la limite du rapport de deux fonctions infinitésimales ou infiniment grandes, la limite du rapport de deux fonctions peut être remplacée par la limite du rapport de leurs produits dérivés et ainsi obtenir un certain résultat.
Passons à des formulations plus précises des règles de L'Hôpital.
Règle de L'Hôpital pour le cas de la limite de deux quantités infinitésimales. Laissez les fonctions f(x) Et g(x un. Et au moment même un un dérivée d'une fonction g(x) n'est pas nul ( g"(x un sont égaux entre eux et égaux à zéro :
.
Règle de L'Hôpital pour le cas de la limite de deux quantités infiniment grandes. Laissez les fonctions f(x) Et g(x) ont des dérivées (c'est-à-dire différentiables) dans un certain voisinage du point un. Et au moment même un ils ne peuvent pas avoir de produits dérivés. De plus, à proximité du point un dérivée d'une fonction g(x) n'est pas nul ( g"(x)≠0) et les limites de ces fonctions lorsque x tend vers la valeur de la fonction au point un sont égaux entre eux et égaux à l'infini :
.
Alors la limite du rapport de ces fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées :
Autrement dit, pour des incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞, la limite du rapport de deux fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées, si cette dernière existe (finie, c'est-à-dire égale à un certain nombre, ou infini, c'est-à-dire égal à l'infini).
Remarques.
1. Les règles de L'Hôpital sont également applicables lorsque les fonctions f(x) Et g(x) ne sont pas définis lorsque x = un.
2. Si, lors du calcul de la limite du rapport des dérivées des fonctions f(x) Et g(x) on revient à une incertitude de la forme 0/0 ou ∞/∞, alors les règles de L'Hôpital doivent être appliquées de manière répétée (au moins deux fois).
3. Les règles de L'Hôpital sont également applicables lorsque l'argument des fonctions (x) ne tend pas vers un nombre fini un, et à l'infini ( x → ∞).
Les incertitudes d'autres types peuvent également être réduites à des incertitudes des types 0/0 et ∞/∞.
Divulgation des incertitudes de type « zéro divisé par zéro » et « infini divisé par l'infini »
Exemple 1.
x=2 conduit à une incertitude de la forme 0/0. On obtient donc la dérivée de chaque fonction
La dérivée du polynôme a été calculée au numérateur et au dénominateur - dérivée d'une fonction logarithmique complexe. Avant le dernier signe égal, l'habituel limite, en remplaçant un deux par un X.
Exemple 2. Calculez la limite du rapport de deux fonctions à l'aide de la règle de L'Hôpital :
Solution. Substituer une valeur dans une fonction donnée x
Exemple 3. Calculez la limite du rapport de deux fonctions à l'aide de la règle de L'Hôpital :
Solution. Substituer une valeur dans une fonction donnée x=0 conduit à une incertitude de la forme 0/0. Par conséquent, nous calculons les dérivées des fonctions au numérateur et au dénominateur et obtenons :
Exemple 4. Calculer
Solution. Remplacer la valeur x égale à plus l'infini dans une fonction donnée conduit à une incertitude de la forme ∞/∞. Nous appliquons donc la règle de L'Hôpital :
Commentaire. Passons aux exemples dans lesquels la règle de L'Hôpital doit être appliquée deux fois, c'est-à-dire pour arriver à la limite du rapport des dérivées secondes, puisque la limite du rapport des dérivées premières est une incertitude de la forme 0 /0 ou ∞/∞.
Divulgation des incertitudes de la forme « zéro fois l'infini »
Exemple 12. Calculer
.
Solution. Nous obtenons
Cet exemple utilise l'identité trigonométrique.
Divulgation des incertitudes de type « zéro à la puissance zéro », « l'infini à la puissance zéro » et « un à la puissance l'infini »
Les incertitudes de la forme , ou sont généralement réduites à la forme 0/0 ou ∞/∞ en prenant le logarithme d'une fonction de la forme
Pour calculer la limite d'une expression, il faut utiliser l'identité logarithmique, dont un cas particulier est la propriété du logarithme 
.
En utilisant l'identité logarithmique et la propriété de continuité d'une fonction (passer le signe limite), la limite doit être calculée comme suit :
Séparément, vous devriez trouver la limite de l'expression dans l'exposant et construire e au degré trouvé.
Exemple 13.
Solution. Nous obtenons
.
.
Exemple 14. Calculer en utilisant la règle de L'Hôpital
Solution. Nous obtenons
Calculer la limite d'une expression en exposant
.
.
Exemple 15. Calculer en utilisant la règle de L'Hôpital
Dans l’article précédent, nous avons expliqué comment calculer correctement les limites des fonctions élémentaires. Si nous prenons plus fonctions complexes, alors nous aurons des expressions avec une valeur indéfinie dans nos calculs. On les appelle des incertitudes.
On distingue les principaux types d’incertitudes suivants :
- Divisez 0 par 0 0 0 ;
- Diviser un infini par un autre ∞ ∞ ;
- l'infini élevé à la puissance zéro ∞ 0 .
0 élevé à la puissance zéro 0 0 ;
Nous avons répertorié toutes les principales incertitudes. D'autres expressions peuvent prendre des valeurs finies ou infinies dans des conditions différentes et ne peuvent donc pas être considérées comme des incertitudes.
Découvrir les incertitudes
L'incertitude peut être résolue par :
- En simplifiant la forme de la fonction (à l'aide de formules de multiplication abrégées, formules trigonométriques, multiplication supplémentaire par expressions conjuguées et réduction ultérieure, etc.) ;
Avec l'aide de merveilleuses limites ;
Utiliser la règle de L'Hôpital ;
En remplaçant une expression infinitésimale par une expression équivalente (généralement cette action est effectuée à l'aide d'un tableau d'expressions infinitésimales).
Toutes les informations présentées ci-dessus peuvent être clairement présentées sous forme de tableau. Sur le côté gauche, il montre le type d'incertitude, sur la droite, une méthode appropriée pour la révéler (trouver la limite). Ce tableau est très pratique à utiliser dans les calculs liés à la recherche de limites.
| Incertitude | Méthode de divulgation des incertitudes |
| 1. Divisez 0 par 0 | Transformation et simplification ultérieure d'une expression. Si l'expression est sin (k x) k x ou k x sin (k x), alors vous devez utiliser la première limite remarquable. Si cette solution ne convient pas, on utilise la règle de L'Hôpital ou un tableau d'expressions infinitésimales équivalentes |
| 2. Diviser l'infini par l'infini | Transformer et simplifier une expression ou utiliser la règle de L'Hôpital |
| 3. Multiplier zéro par l'infini ou trouver la différence entre deux infinis | Conversion en 0 0 ou ∞ ∞ suivie de l'application de la règle de L'Hôpital |
| 4. Unité à la puissance de l'infini | Utiliser la deuxième grande limite |
| 5. Élever zéro ou l'infini à la puissance zéro | Prendre le logarithme d'une expression utilisant l'égalité lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x) |
Examinons quelques problèmes. Ces exemples sont assez simples : la réponse y est obtenue immédiatement après la substitution des valeurs et il n'y a aucune incertitude.
Exemple 1
Calculez la limite lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .
Solution
Nous effectuons une substitution de valeur et obtenons la réponse.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Répondre: lim X → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Exemple 2
Calculez la limite lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .
Solution
Nous avons une fonction puissance exponentielle, dans la base de laquelle nous devons substituer x = 0.
(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5
Cela signifie que nous pouvons transformer la limite dans l’expression suivante :
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2
Regardons maintenant l'indicateur - la fonction puissance 1 x 2 = x - 2. Regardons le tableau des limites pour fonctions de puissance avec un exposant inférieur à zéro et on obtient ce qui suit : lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ et lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞
Ainsi, on peut écrire que lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.
Prenons maintenant le tableau des limites des fonctions exponentielles de bases supérieures à 0, et nous obtenons :
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞
Répondre: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .
Exemple 3
Calculez la limite lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .
Solution
Nous effectuons une substitution de valeur.
limite x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
En conséquence, nous nous sommes retrouvés dans l’incertitude. Utilisez le tableau ci-dessus pour sélectionner une méthode de solution. Cela indique que vous devez simplifier l'expression.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
Comme nous pouvons le constater, la simplification a conduit à la révélation de l’incertitude.
Répondre: limite x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
Exemple 4
Calculez la limite lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .
Solution
Nous substituons la valeur et obtenons l'entrée suivante.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
Nous en sommes arrivés à la nécessité de diviser zéro par zéro, ce qui constitue une incertitude. Regardons la méthode de solution requise dans le tableau - il s'agit d'une simplification et d'une transformation de l'expression. Multiplions en outre le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée 12 - x + 6 + x :
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
Le dénominateur est multiplié afin que vous puissiez ensuite utiliser la formule de multiplication abrégée (différence des carrés) pour effectuer la réduction.
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
Comme nous pouvons le constater, grâce à ces actions, nous avons pu nous débarrasser de l’incertitude.
Répondre: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .
Il est important de noter que l’approche multiplication est très souvent utilisée pour résoudre des problèmes comme celui-ci, nous vous conseillons donc de vous rappeler exactement comment cela est fait.
Exemple 5
Calculez la limite lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .
Solution
Nous effectuons la substitution.
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0
En conséquence, nous nous sommes retrouvés dans l’incertitude. La manière recommandée pour résoudre le problème dans ce cas est de simplifier l’expression. Puisque à la valeur de x, égal à un, le numérateur et le dénominateur deviennent 0, on peut alors les factoriser puis les réduire de x - 1, et alors l'incertitude disparaîtra.
On factorise le numérateur :
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
Maintenant, nous faisons la même chose avec le dénominateur :
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
Nous avons une limite de la forme suivante :
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4
Comme nous pouvons le constater, au cours de la transformation, nous avons réussi à nous débarrasser de l’incertitude.
Répondre: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .
Nous devons ensuite considérer les cas de limites à l’infini à partir d’expressions de puissance. Si les exposants de ces expressions sont supérieurs à 0, alors la limite à l'infini sera également infinie. Dans ce cas, le degré le plus élevé est primordial et le reste peut être ignoré.
Par exemple, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ ou lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.
Si sous le signe limite nous avons une fraction avec des expressions de puissance au numérateur et au dénominateur, alors comme x → ∞ nous avons une incertitude de la forme ∞ ∞. Pour se débarrasser de cette incertitude, nous devons diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par x m a x (m, n). Donnons un exemple de résolution d'un tel problème.
Exemple 6
Calculez la limite lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .
Solution
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
Les puissances du numérateur et du dénominateur sont égales à 7. Divisez-les par x 7 et obtenez :
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
Répondre: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .
Exemple 7
Calculez la limite lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .
Solution
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
Le numérateur a une puissance de 8 3 et le dénominateur a une puissance de 2. Divisons le numérateur et le dénominateur par x 8 3 :
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Répondre: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
Exemple 8
Calculez la limite lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .
Solution
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
Nous avons un numérateur à la puissance 3 et un dénominateur à la puissance 10 3 . Cela signifie que nous devons diviser le numérateur et le dénominateur par x 10 3 :
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Répondre: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .
Conclusions
Dans le cas d’une limite de ratio, il existe trois options principales :
Si le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, alors la limite sera égale au rapport des coefficients des puissances supérieures.
Si le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, alors la limite sera égale à l'infini.
Si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, alors la limite sera zéro.
Nous discuterons d'autres méthodes de divulgation des incertitudes dans des articles séparés.
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
LEÇON 20
20.1 DIVULGATION DE L'INCERTITUDE SUR LES ESPÈCES
Exemple 1
Résoudre la limite 
Tout d'abord, essayons de remplacer -1 dans la fraction : 
Dans ce cas, ce qu'on appelle l'incertitude est obtenu.
Règle générale : si le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes et qu'il y a une incertitude sur la forme, alors pour le révéler il faut prendre en compte le numérateur et le dénominateur.
Pour ce faire, vous devez le plus souvent résoudre une équation quadratique et/ou utiliser des formules de multiplication abrégées.
Factorisons le numérateur. 
Exemple 2
Calculer la limite 
Factorisons le numérateur et le dénominateur.
Numérateur : Dénominateur : 
,
Méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée
Nous continuons à considérer l'incertitude de la forme
Le type de limites suivant est similaire au type précédent. La seule chose, en plus des polynômes, nous ajouterons des racines.
Exemple 3
Trouver la limite 
Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée.
20.2 DIVULGATION DE L'INCERTITUDE SUR LES ESPÈCES
Nous allons maintenant considérer le groupe de limites quand , et la fonction est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes
Exemple 4
Calculer la limite 
Selon notre règle, nous essaierons de substituer l'infini dans la fonction. Qu'obtient-on au sommet ? Infini. Et que se passe-t-il ci-dessous ? L'infini aussi. Nous avons donc ce qu’on appelle l’incertitude des espèces. On pourrait penser que la réponse est prête, mais dans le cas général, ce n'est pas du tout le cas, et il est nécessaire d'appliquer une technique de solution, que nous allons maintenant considérer.
Comment résoudre des limites de ce type ?
Nous regardons d’abord le numérateur et trouvons la puissance la plus élevée : 
La puissance principale au numérateur est deux.
Maintenant, regardons le dénominateur et trouvons-le également à la puissance la plus élevée : 
Le plus haut degré du dénominateur est deux.
Ensuite, on choisit la puissance la plus élevée du numérateur et du dénominateur : dans cet exemple, ils sont identiques et égaux à deux.
Ainsi, la méthode de résolution est la suivante : révéler l'incertitudeil faut diviser le numérateur et le dénominateur parau diplôme supérieur.
Divisez le numérateur et le dénominateur par 
La voici, la réponse, et pas du tout l'infini.
Qu’est-ce qui est fondamentalement important dans la conception d’une décision ?
Premièrement, nous indiquons l’incertitude, le cas échéant.
Deuxièmement, il convient d'interrompre la solution pour des explications intermédiaires. J'utilise habituellement le signe, il n'a aucune signification mathématique, mais signifie que la solution est interrompue pour une explication intermédiaire.
Troisièmement, dans la limite, il est conseillé de marquer ce qui va où. Lorsque l'ouvrage est rédigé à la main, il est plus pratique de procéder ainsi : 
Il est préférable d'utiliser un simple crayon pour les notes.
Bien sûr, vous n’êtes pas obligé de faire quoi que ce soit de tout cela, mais peut-être que l’enseignant signalera les lacunes de la solution ou commencera à poser des questions supplémentaires sur le devoir. En avez-vous besoin ?
Exemple 5
Trouver la limite 
Toujours au numérateur et au dénominateur on retrouve au plus haut degré : 
Degré maximum au numérateur : 3 Degré maximum au dénominateur : 4 Sélectionner le plus grand valeur, dans ce cas quatre. Selon notre algorithme, pour révéler l'incertitude, nous divisons le numérateur et le dénominateur par. Le devoir complet pourrait ressembler à ceci :
Exemple 6
Trouver la limite 
Degré maximum de « X » au numérateur : 2 Degré maximum de « X » au dénominateur : 1 (peut s'écrire) Pour révéler l'incertitude, il est nécessaire de diviser le numérateur et le dénominateur par. La solution finale pourrait ressembler à ceci :
Divisez le numérateur et le dénominateur par
La notation ne signifie pas division par zéro (on ne peut pas diviser par zéro), mais division par un nombre infinitésimal.
Ainsi, en découvrant l'incertitude relative aux espèces, nous pourrons peut-être numéro final, zéro ou l'infini.
PRATIQUE 20
TÂCHE N°1
Solution: Si à la place de la variable on met la valeur 7 vers laquelle elle tend, alors on obtient une incertitude de la forme 
TÂCHE N°2Sujet : Divulgation des incertitudes de type « zéro à zéro »
Solution: Si au lieu d'une variable on met la valeur 0 vers laquelle elle tend, alors on obtient une incertitude de la forme
TÂCHE N°3Sujet : Divulgation des incertitudes de type « zéro à zéro »
Solution: Si à la place de la variable on met la valeur 6 vers laquelle elle tend, alors on obtient une incertitude de la forme
TÂCHE N°4
Solution: Parce que 
Et 
TÂCHE N°5Sujet : Divulgation de l'incertitude de la forme « de l'infini à l'infini »
Solution: Parce que 
Et 
alors il y a une incertitude sur la forme. Pour la révéler, vous devez diviser chaque terme du numérateur et du dénominateur par. Ensuite, sachant ce que nous obtenons : 
TRAVAIL INDÉPENDANT 20
TÂCHE N°1Sujet : Divulgation des incertitudes de type « zéro à zéro »
TÂCHE N°2Sujet : Divulgation des incertitudes de type « zéro à zéro »
TÂCHE N°3Sujet : Divulgation des incertitudes de type « zéro à zéro »
TÂCHE N°4Sujet : Divulgation de l'incertitude de la forme « de l'infini à l'infini »
TÂCHE N°5Sujet : Divulgation de l'incertitude de la forme « de l'infini à l'infini » Limite de fonction 
égal...
TÂCHE N°6Sujet : Divulgation de l'incertitude de la forme « de l'infini à l'infini »
Les limites posent beaucoup de problèmes à tous les étudiants en mathématiques. Pour résoudre une limite, vous devez parfois utiliser de nombreuses astuces et choisir parmi une variété de méthodes de solution exactement celle qui convient à un exemple particulier.
Dans cet article, nous ne vous aiderons pas à comprendre les limites de vos capacités ou à comprendre les limites du contrôle, mais nous essaierons de répondre à la question : comment comprendre les limites en mathématiques supérieures ? La compréhension vient avec l'expérience, c'est pourquoi nous donnerons en même temps plusieurs exemples détaillés de résolution de limites avec des explications.
Le concept de limite en mathématiques
La première question est : quelle est cette limite et la limite de quoi ? On peut parler des limites des séquences numériques et des fonctions. Nous nous intéressons à la notion de limite d’une fonction, puisque c’est celle que rencontrent le plus souvent les étudiants. Mais d’abord, la définition la plus générale d’une limite :
Disons qu'il y a une valeur variable. Si cette valeur en cours de changement s'approche de manière illimitée d'un certain nombre un , Que un – la limite de cette valeur.
Pour une fonction définie dans un certain intervalle f(x)=y un tel nombre s'appelle une limite UN , vers lequel tend la fonction lorsque X , tendant vers un certain point UN . Point UN appartient à l'intervalle sur lequel la fonction est définie.
Cela semble fastidieux, mais c'est écrit très simplement :
Lim- de l'anglais limite- limite.
Il existe également une explication géométrique pour déterminer la limite, mais ici nous n'entrerons pas dans la théorie, car nous nous intéressons davantage à l'aspect pratique que théorique de la question. Quand on dit ça X tend vers une certaine valeur, cela signifie que la variable ne prend pas la valeur d'un nombre, mais s'en rapproche infiniment.
Donnons un exemple précis. La tâche est de trouver la limite.
Pour résoudre cet exemple, nous substituons la valeur x=3 dans une fonction. On obtient :
À propos, si vous êtes intéressé par les opérations de base sur les matrices, lisez un article séparé sur ce sujet.
Dans les exemples X peut tendre vers n’importe quelle valeur. Il peut s'agir de n'importe quel nombre ou de l'infini. Voici un exemple quand X tend vers l'infini :
Intuitivement, plus le nombre au dénominateur est grand, plus la valeur que prendra la fonction sera petite. Donc, avec une croissance illimitée X signification 1/x diminuera et se rapprochera de zéro.
Comme vous pouvez le voir, pour résoudre la limite, il vous suffit de substituer la valeur recherchée dans la fonction X . Il s’agit cependant du cas le plus simple. Souvent, trouver la limite n’est pas si évident. Dans les limites, il existe des incertitudes du type 0/0 ou l'infini/l'infini . Que faire dans de tels cas ? Recourez à des astuces !
Incertitudes au sein
Incertitude de la forme infini/infini
Qu'il y ait une limite :
Si nous essayons de substituer l’infini dans la fonction, nous obtiendrons l’infini à la fois au numérateur et au dénominateur. En général, il convient de dire qu'il y a une certaine part d'art dans la résolution de telles incertitudes : il faut remarquer comment transformer la fonction de manière à ce que l'incertitude disparaisse. Dans notre cas, on divise le numérateur et le dénominateur par X au diplôme supérieur. Que va-t-il se passer ?
D'après l'exemple déjà évoqué ci-dessus, nous savons que les termes contenant x au dénominateur tendront vers zéro. Alors la solution à la limite est :
Pour résoudre les incertitudes de type l'infini/l'infini diviser le numérateur et le dénominateur par X au plus haut degré.
D'ailleurs! Pour nos lecteurs, il y a désormais une réduction de 10 % sur tout type de travail
Autre type d'incertitude : 0/0
Comme toujours, remplacer des valeurs dans la fonction x=-1 donne 0 au numérateur et au dénominateur. Regardez d’un peu plus près et vous remarquerez que nous avons une équation quadratique au numérateur. Trouvons les racines et écrivons :
Réduisons et obtenons :
Donc, si vous êtes confronté à une incertitude de type 0/0 – factoriser le numérateur et le dénominateur.
Pour vous faciliter la résolution des exemples, nous vous présentons un tableau avec les limites de certaines fonctions :
La règle de l'Hôpital à l'intérieur
Un autre moyen puissant, permettant d'éliminer les incertitudes des deux types. Quelle est l’essence de la méthode ?
S'il y a une incertitude sur la limite, prenez la dérivée du numérateur et du dénominateur jusqu'à ce que l'incertitude disparaisse.
La règle de L'Hôpital ressemble à ceci :
Point important : la limite dans laquelle se situent les dérivées du numérateur et du dénominateur au lieu du numérateur et du dénominateur doit exister.
Et maintenant - un exemple réel :
Il existe une incertitude typique 0/0 . Prenons les dérivées du numérateur et du dénominateur :
Voilà, l’incertitude est résolue rapidement et avec élégance.
Nous espérons que vous pourrez appliquer utilement ces informations dans la pratique et trouver la réponse à la question « comment résoudre les limites en mathématiques supérieures ». Si vous avez besoin de calculer la limite d'une séquence ou la limite d'une fonction en un point, mais que vous n'avez absolument pas le temps pour ce travail, contactez un service étudiant professionnel pour une solution rapide et détaillée.
