Exécuté pour toutes les valeurs de l'argument (de la portée générale).
Formules de substitution universelles.
Avec ces formules, il est facile de transformer n'importe quelle expression contenant différentes fonctions trigonométriques d'un argument en une expression rationnelle d'une fonction. tg (α /2):
Formules pour convertir des sommes en produits et des produits en sommes.
Auparavant, les formules ci-dessus étaient utilisées pour simplifier les calculs. Ils ont calculé à l'aide de tableaux logarithmiques, et plus tard - d'une règle à calcul, car les logarithmes sont les mieux adaptés pour multiplier des nombres. C'est pourquoi chaque expression originale a été réduite à une forme qui se prêterait à la logarithmisation, c'est-à-dire aux produits Par exemple:
2 péché α péché b = parce que (α - b) - parce que (α + b);
2 parce que α parce que b = parce que (α - b) + parce que (α + b);
2 péché α parce que b = péché (α - b) + péché (α + b).
où est l'angle pour lequel, en particulier,
Les formules pour les fonctions tangente et cotangente sont facilement obtenues à partir de ce qui précède.
Formules de réduction de diplôme.
|
péché 2 α = (1 - cos 2α)/2 ; |
cos 2 α = (1 + cos 2α)/2 ; |
|
péché 3α = (3 péchéα - péché 3α )/4; |
cos 3 une = (3 cosα + parce que 3α )/4. |
En utilisant ces formules, les équations trigonométriques sont facilement réduites à des équations de puissances inférieures. Les formules de réduction pour les diplômes supérieurs sont dérivées de la même manière péché Et parce que.
Exprimer des fonctions trigonométriques à travers l'une d'elles du même argument.
Le signe devant la racine dépend de l'emplacement du quart d'angle α .
Les relations entre les fonctions trigonométriques de base - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont données formules trigonométriques. Et comme il existe de nombreuses connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - des fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent de réduire le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.
Dans cet article, nous listerons dans l'ordre toutes les formules trigonométriques de base, suffisantes pour résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons par objectif et les saisirons dans des tableaux.
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Identités trigonométriques de base
Identités trigonométriques de base définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique par rapport à une autre.
Pour une description détaillée de ces formules trigonométriques, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.
Formules de réduction
Formules de réduction découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage par angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.
La justification de ces formules, une règle mnémotechnique pour leur mémorisation et des exemples de leur application peuvent être étudiés dans l'article.
Formules d'addition
Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.
Formules pour double, triple, etc. angle
Formules pour double, triple, etc. L'angle (on les appelle aussi formules d'angles multiples) montre comment les fonctions trigonométriques du double, du triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur calcul est basé sur des formules d'addition.
Des informations plus détaillées sont collectées dans l'article formules pour double, triple, etc. angle
Formules demi-angle
Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en termes de cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.
Leur conclusion et des exemples d'application peuvent être trouvés dans l'article.
Formules de réduction de diplôme
Formules trigonométriques pour réduire les degrés sont conçus pour faciliter la transition des puissances naturelles des fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. Autrement dit, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques au premier.
Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques
Objectif principal formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier des expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques, car elles permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.
Formules pour le produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus
Le passage du produit de fonctions trigonométriques à une somme ou une différence s'effectue à l'aide des formules du produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus.
Substitution trigonométrique universelle
Nous complétons notre revue des formules de base de la trigonométrie avec des formules exprimant des fonctions trigonométriques en termes de tangente à un demi-angle. Ce remplacement s'appelait substitution trigonométrique universelle. Sa commodité réside dans le fait que toutes les fonctions trigonométriques sont exprimées rationnellement en termes de tangente à un demi-angle sans racines.
Références.
- Algèbre: Manuel pour la 9ème année. moy. école/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova ; Éd. S. A. Telyakovsky - M. : Éducation, 1990. - 272 pp. : ill. - ISBN 5-09-002727-7.
- Bashmakov M.I. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel. pour les classes 10-11. moy. école - 3e éd. - M. : Éducation, 1993. - 351 p. : ill. - ISBN5-09-004617-4.
- Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov - 14e éd. - M. : Éducation, 2004. - 384 pp. : ill.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.
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DANS transformations identitaires expressions trigonométriques les techniques algébriques suivantes peuvent être utilisées : addition et soustraction de termes identiques ; mettre le facteur commun entre parenthèses ; multiplication et division par la même quantité ; application de formules de multiplication abrégées ; sélectionner un carré complet ; factoriser un trinôme quadratique ; introduction de nouvelles variables pour simplifier les transformations.
Lors de la conversion d'expressions trigonométriques contenant des fractions, vous pouvez utiliser les propriétés de proportion, réduire les fractions ou convertir des fractions en un dénominateur commun. De plus, vous pouvez utiliser la sélection de la partie entière de la fraction, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le même montant, et aussi, si possible, prendre en compte l'homogénéité du numérateur ou du dénominateur. Si nécessaire, vous pouvez représenter une fraction comme la somme ou la différence de plusieurs fractions plus simples.
De plus, lors de l'application de toutes les méthodes nécessaires à la conversion d'expressions trigonométriques, il est nécessaire de constamment prendre en compte la plage de valeurs admissibles des expressions converties.
Regardons quelques exemples.
Exemple 1.
Calculer A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+
péché (3π/2 – x) péché (2x –5π/2))2
Solution.
Des formules de réduction, il résulte :
péché (2x – π) = -sin 2x ; cos (3π – x) = -cos x ;
péché (2x – 9π/2) = -cos 2x ; cos (x + π/2) = -sin x ;
cos (x – π/2) = péché x ; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x ;
péché (3π/2 – x) = -cos x ; péché (2x – 5π/2) = -cos 2x.
D'où, grâce aux formules d'addition d'arguments et à l'identité trigonométrique principale, on obtient
A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= péché 2 3x + cos 2 3x = 1
Réponse : 1.
Exemple 2.
Convertissez l'expression M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ en un produit.
Solution.
À partir des formules d'ajout d'arguments et des formules de conversion de la somme des fonctions trigonométriques en produit après regroupement approprié, nous avons
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + y)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).
Réponse : M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
Exemple 3.
Montrer que l’expression A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) prend un pour tout x de R et le même sens. Trouvez cette valeur.
Solution.
Voici deux façons de résoudre ce problème. En appliquant la première méthode, en isolant un carré complet et en utilisant les formules trigonométriques de base correspondantes, on obtient
A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
En résolvant le problème de la deuxième manière, considérez A en fonction de x à partir de R et calculez sa dérivée. Après transformations on obtient
А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =
Péché 2(x + π/6) + péché ((x + π/6) + (x – π/6)) – péché 2(x – π/6) =
Péché 2x – (péché (2x + π/3) + péché (2x – π/3)) =
Péché 2x – 2péché 2x · cos π/3 = péché 2x – péché 2x ≡ 0.
Ainsi, du fait du critère de constance d’une fonction différentiable sur un intervalle, on conclut que
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
Réponse : A = 3/4 pour x € R.
Les principales techniques pour prouver les identités trigonométriques sont :
UN) réduire le côté gauche de l’identité vers la droite grâce à des transformations appropriées ;
b) réduire le côté droit de l’identité vers la gauche ;
V) réduire les côtés droit et gauche de l’identité à la même forme ;
g) réduire à zéro la différence entre les côtés gauche et droit de l'identité à prouver.
Exemple 4.
Vérifiez que cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
Solution.
En transformant le membre de droite de cette identité à l'aide des formules trigonométriques correspondantes, nous avons
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.
Le côté droit de l'identité est réduit à gauche.
Exemple 5.
Montrer que sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 si α, β, γ sont les angles intérieurs d'un triangle.
Solution.
Considérant que α, β, γ sont les angles intérieurs d’un triangle, on obtient que
α + β + γ = π et donc γ = π – α – β.
péché 2 α + péché 2 β + péché 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =
Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
L'égalité originelle a été prouvée.
Exemple 6.
Montrer que pour que l'un des angles α, β, γ du triangle soit égal à 60°, il faut et il suffit que sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Solution.
La condition de ce problème consiste à prouver à la fois la nécessité et la suffisance.
Prouvons d'abord nécessité.
On peut montrer que
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
Ainsi, en tenant compte du fait que cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, on obtient que si l'un des angles α, β ou γ est égal à 60°, alors
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 et donc sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Prouvons maintenant adéquation l'état spécifié.
Si sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, alors cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, et donc
soit cos (3α/2) = 0, soit cos (3β/2) = 0, soit cos (3γ/2) = 0.
Ainsi,
ou 3α/2 = π/2 + πk, c'est-à-dire α = π/3 + 2πk/3, 
ou 3β/2 = π/2 + πk, c'est-à-dire β = π/3 + 2πk/3,
ou 3γ/2 = π/2 + πk,
ceux. γ = π/3 + 2πk/3, où k ϵ Z.
Du fait que α, β, γ sont les angles d’un triangle, on a
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
Par conséquent, pour α = π/3 + 2πk/3 ou β = π/3 + 2πk/3 ou
γ = π/3 + 2πk/3 de tous les kϵZ seul k = 0 convient.
Il s’ensuit que soit α = π/3 = 60°, soit β = π/3 = 60°, soit γ = π/3 = 60°.
La déclaration a été prouvée.
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