Comment calculer l'aire d'un segment de cercle. Comment calculer l'aire d'un segment et l'aire d'un segment d'une sphère. Étant donné le diamètre D et la hauteur du segment H

Le cercle, ses parties, leurs tailles et leurs relations sont des choses auxquelles un bijoutier est constamment confronté. Bagues, bracelets, castes, tubes, boules, spirales - il faut fabriquer beaucoup de choses rondes. Comment calculer tout cela, surtout si vous avez eu la chance de sauter les cours de géométrie à l'école ?

Voyons d'abord quelles sont les parties d'un cercle et comment elles s'appellent.

Un cercle est une ligne qui entoure un cercle.
Un arc est une partie d'un cercle.
Le rayon est un segment reliant le centre d'un cercle à n'importe quel point du cercle.
Une corde est un segment reliant deux points sur un cercle.
Un segment est une partie d'un cercle délimité par une corde et un arc.
Un secteur est une partie d'un cercle délimité par deux rayons et un arc.

Les quantités qui nous intéressent et leurs désignations :

Voyons maintenant quels problèmes liés aux parties d'un cercle doivent être résolus.

Trouvez la longueur du développement de n'importe quelle partie de la bague (bracelet). Étant donné le diamètre et la corde (option : diamètre et angle au centre), trouvez la longueur de l'arc.
Il y a un dessin sur un plan, il faut connaître sa taille en projection après l'avoir plié en arc de cercle. Étant donné la longueur et le diamètre de l’arc, trouvez la longueur de la corde.
Découvrez la hauteur de la pièce obtenue en pliant une pièce plate en arc de cercle. Options de données sources : longueur et diamètre de l'arc, longueur de l'arc et corde ; trouver la hauteur du segment.

La vie vous donnera d'autres exemples, mais je ne les ai donnés que pour montrer la nécessité de définir deux paramètres pour trouver tous les autres. C'est ce que nous ferons. A savoir, nous prendrons cinq paramètres du segment : D, L, X, φ et H. Ensuite, en choisissant parmi eux toutes les paires possibles, nous les considérerons comme des données initiales et trouverons tout le reste par brainstorming.

Afin de ne pas alourdir inutilement le lecteur, je ne donnerai pas de solutions détaillées, mais présenterai uniquement les résultats sous forme de formules (les cas où il n'y a pas de solution formelle, j'en discuterai en cours de route).

Et encore une remarque : à propos des unités de mesure. Toutes quantités sauf angle central, sont mesurés dans les mêmes unités abstraites. Cela signifie que si, par exemple, vous spécifiez une valeur en millimètres, l'autre n'a pas besoin d'être spécifiée en centimètres et les valeurs résultantes seront mesurées dans les mêmes millimètres (et les surfaces en millimètres carrés). La même chose peut être dite pour les pouces, les pieds et les milles marins.

Et seul l’angle au centre est dans tous les cas mesuré en degrés et rien d’autre. Parce que, en règle générale, les personnes qui conçoivent quelque chose de rond n’ont pas tendance à mesurer les angles en radians. L'expression « angle pi de quatre » en confond beaucoup, tandis que « angle de quarante-cinq degrés » est compréhensible pour tout le monde, puisqu'il n'est que de cinq degrés plus élevé que la normale. Cependant, dans toutes les formules, il y aura un angle supplémentaire - α - présent comme valeur intermédiaire. En termes de sens, il s'agit de la moitié de l'angle central, mesuré en radians, mais vous ne pouvez pas approfondir cette signification en toute sécurité.

1. Étant donné le diamètre D et la longueur de l'arc L

; longueur de corde ;
hauteur des segments ; angle central .

2. Étant donné le diamètre D et la longueur de corde X

; longueur de l'arc ;
hauteur des segments ; angle central .

Puisque la corde divise le cercle en deux segments, ce problème n’a pas une, mais deux solutions. Pour obtenir le second, vous devez remplacer l'angle α dans les formules ci-dessus par l'angle .

3. Étant donné le diamètre D et l'angle au centre φ

; longueur de l'arc ;
longueur de corde ; hauteur des segments .

4. Étant donné le diamètre D et la hauteur du segment H

; longueur de l'arc ;
longueur de corde ; angle central .

6. Compte tenu de la longueur de l'arc L et de l'angle au centre φ

; diamètre ;
longueur de corde ; hauteur des segments .

8. Étant donné la longueur de corde X et l'angle au centre φ

; longueur de l'arc ;
diamètre ; hauteur des segments .

9. Étant donné la longueur de la corde X et la hauteur du segment H

; longueur de l'arc ;
diamètre ; angle central .

10. Étant donné l'angle au centre φ et la hauteur du segment H

; diamètre ;
longueur de l'arc ; longueur de corde .

Le lecteur attentif n'a pu s'empêcher de remarquer que j'ai raté deux options :

5. Compte tenu de la longueur de l'arc L et de la longueur de la corde X

7. Étant donné la longueur de l'arc L et la hauteur du segment H

Ce ne sont que ces deux cas désagréables où le problème n’a pas de solution qui pourrait être écrite sous la forme d’une formule. Et la tâche n’est pas si rare. Par exemple, vous avez un morceau plat de longueur L et vous souhaitez le plier pour que sa longueur devienne X (ou que sa hauteur devienne H). Quel diamètre dois-je prendre le mandrin (crossbar) ?

Ce problème revient à résoudre les équations :
; - dans l'option 5
; - dans l'option 7
et bien qu’ils ne puissent pas être résolus analytiquement, ils peuvent être facilement résolus par programmation. Et je sais même où se procurer un tel programme : sur ce même site, sous le nom . Tout ce que je vous raconte ici en détail, elle le fait en microsecondes.

Pour compléter le tableau, ajoutons aux résultats de nos calculs la circonférence et trois valeurs d'aire - cercle, secteur et segment. (Les surfaces nous aideront beaucoup lors du calcul de la masse de toutes les pièces rondes et semi-circulaires, mais nous en parlerons plus à ce sujet dans un article séparé.) Toutes ces quantités sont calculées à l'aide des mêmes formules :

circonférence;
aire d'un cercle ;
zone de secteur ;
zone de segmentation ;

Et en conclusion, permettez-moi de vous rappeler encore une fois l'existence d'absolument programme gratuit, qui effectue tous les calculs ci-dessus, vous évitant ainsi d'avoir à vous rappeler ce qu'est une arctangente et où la chercher.

La valeur mathématique de la surface est connue depuis l'époque Grèce antique. Même à cette époque lointaine, les Grecs ont découvert qu'une zone est une partie continue d'une surface, limitée de tous côtés par un contour fermé. Il s'agit d'une valeur numérique mesurée en unités carrées. L'aire est une caractéristique numérique des figures géométriques plates (planimétriques) et des surfaces des corps dans l'espace (volumétrique).

Actuellement, on le retrouve non seulement dans le programme scolaire dans les cours de géométrie et de mathématiques, mais aussi dans l'astronomie, la vie quotidienne, la construction, le développement du design, la fabrication et bien d'autres matières humaines. Très souvent, nous avons recours au calcul des aires des segments en utilisant intrigue personnelle lors de la conception d'un espace paysager ou lors de travaux de rénovation de pièces au design ultramoderne. Par conséquent, la connaissance des méthodes de calcul de diverses superficies sera utile à tout moment et partout.

Pour calculer l'aire d'un segment circulaire et d'un segment de sphère, vous devez comprendre les termes géométriques qui seront nécessaires pendant le processus de calcul.

Tout d'abord, un segment de cercle est un fragment d'une figure plate de cercle, situé entre l'arc de cercle et la corde qui le coupe. Cette notion ne doit pas être confondue avec le chiffre sectoriel. Ce sont des choses complètement différentes.

Une corde est un segment qui relie deux points situés sur un cercle.

L'angle central est formé entre deux segments - rayons. Elle se mesure en degrés par l'arc sur lequel elle repose.

Un segment de sphère est formé lorsqu'une partie est coupée par un plan. Dans ce cas, la base du segment sphérique est un cercle et la hauteur est la perpendiculaire partant du centre du cercle jusqu'à l'intersection avec la surface. de la sphère. Ce point d'intersection est appelé sommet du segment de balle.

Afin de déterminer l'aire d'un segment de sphère, vous devez connaître le cercle de coupure et la hauteur du segment sphérique. Le produit de ces deux composantes sera l'aire du segment de sphère : S=2πRh, où h est la hauteur du segment, 2πR est la circonférence et R est le rayon du grand cercle.

Afin de calculer l'aire d'un segment de cercle, vous pouvez recourir aux formules suivantes :

1. Pour trouver l'aire d'un segment au maximum d'une manière simple, il faut calculer la différence entre l'aire du secteur dans lequel le segment est inscrit, et dont la base est la corde du segment : S1=S2-S3, où S1 est l'aire du segment, S2 est l'aire du secteur et S3 est l'aire du triangle.

Vous pouvez utiliser une formule approximative pour calculer l'aire d'un segment circulaire : S=2/3*(a*h), où a est la base du triangle ou h est la hauteur du segment, ce qui est le résultat de la différence entre le rayon du cercle et

2. L'aire d'un segment différent d'un demi-cercle est calculée comme suit : S = (π R2:360)*α ± S3, où π R2 est l'aire du cercle, α est la mesure en degrés de l'angle central, qui contient l'arc du segment de cercle, S3 est l'aire du triangle qui s'est formé entre les deux rayons de le cercle et la corde, qui a un angle au point central du cercle et deux sommets aux points de contact des rayons avec le cercle.

Si l'angle α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 degrés, signe plus appliqué.

3. Vous pouvez calculer l'aire d'un segment en utilisant d'autres méthodes utilisant la trigonométrie. En règle générale, un triangle est pris comme base. Si l'angle au centre est mesuré en degrés, alors la formule suivante est acceptable : S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, où R2 est le carré du rayon du cercle, α est le mesure en degré de l'angle central.

4. Pour calculer l'aire d'un segment en utilisant fonctions trigonométriques, vous pouvez utiliser une autre formule, à condition que l'angle au centre soit mesuré en radians : S= R2 * (α - sin α)/2, où R2 est le carré du rayon du cercle, α est la mesure en degrés du centre angle.

Définir un segment de cercle

Segment- Ce figure géométrique, qui s'obtient en coupant une partie du cercle avec une corde.

Calculateur en ligne

Cette figure se situe entre la corde et l'arc de cercle.

Accord

Il s'agit d'un segment situé à l'intérieur d'un cercle et reliant deux points arbitrairement choisis.

Lorsqu'on coupe une partie d'un cercle avec une corde, on peut considérer deux figures : c'est notre segment et un triangle isocèle dont les côtés sont les rayons du cercle.

L'aire d'un segment peut être trouvée comme la différence entre les aires d'un secteur de cercle et de ce triangle isocèle.

L'aire d'un segment peut être trouvée de plusieurs manières. Examinons-les plus en détail.

Formule pour l'aire d'un segment de cercle utilisant le rayon et la longueur de l'arc du cercle, la hauteur et la base du triangle

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ⋅ R⋅s −2 1 ⋅ h⋅un

R R R.- rayon du cercle ;
s s s- longueur de l'arc ;
h h h- hauteur d'un triangle isocèle ;
un un un- la longueur de la base de ce triangle.

Exemple

Étant donné un cercle, son rayon est numériquement égal à 5 (cm), la hauteur, qui est tirée jusqu'à la base du triangle, est égale à 2 (cm), la longueur de l'arc est de 10 (cm). Trouvez l'aire d'un segment de cercle.

Solution

R=5 R=5 R=5
h = 2 h=2 h =2
s = 10 s=10 s =1 0

Pour calculer l’aire, nous n’avons besoin que de la base du triangle. Trouvons-le en utilisant la formule :

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ carré(2\cdot(2\cdot 5-2))=8une =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8

Vous pouvez maintenant calculer l'aire du segment :

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ⋅ R⋅s −2 1 ⋅ h⋅une =2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (voir sq.)

Répondre: 17 cm².

Formule pour l'aire d'un segment de cercle étant donné le rayon du cercle et l'angle au centre

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R. 2 ⋅ (α − péché(α))

R R R.- rayon du cercle ;
α\alpha α - l'angle au centre entre deux rayons sous-tendant la corde, mesuré en radians.

Exemple

Trouvez l'aire d'un segment de cercle si le rayon du cercle est de 7 (cm) et l'angle au centre est de 30 degrés.

Solution

R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Convertissons d'abord l'angle en degrés en radians. Depuis π\pi π Un radian est égal à 180 degrés, alors :
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π = 6 π radian. Alors l’aire du segment est :

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\environ0,57S=2 R. 2 ⋅ (α − péché(α)) =2 4 9 ⋅ ( 6 π − péché ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (voir sq.)

Répondre: 0,57 cm².

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L'aire d'un segment circulaire est égale à la différence entre l'aire du secteur circulaire correspondant et l'aire du triangle formé par les rayons du secteur correspondant au segment et la corde limitant le segment.

Exemple 1

La longueur de la corde qui sous-tend le cercle est égale à la valeur a. La mesure en degrés de l'arc correspondant à la corde est de 60°. Trouvez l'aire du segment circulaire.

Solution

Un triangle formé de deux rayons et d'une corde est isocèle, donc la hauteur tirée du sommet de l'angle central jusqu'au côté du triangle formé par la corde sera également la bissectrice de l'angle central, le divisant en deux, et le médiane, divisant la corde en deux. Sachant que le sinus de l'angle est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse, on peut calculer le rayon :

Péché 30°= a/2 :R = 1/2 ;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, où h est la hauteur tirée du sommet de l'angle central à la corde. D'après le théorème de Pythagore h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

En conséquence, S▲=√3/4*a².

L'aire du segment, calculée comme Sreg = Sc - S▲, est égale à :

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

En remplaçant la valeur de a par une valeur numérique, vous pouvez facilement calculer la valeur numérique de l'aire du segment.

Exemple 2

Le rayon du cercle est égal à a. La mesure en degrés de l'arc correspondant au segment est de 60°. Trouvez l'aire du segment circulaire.

Solution:

L'aire du secteur correspondant à un angle donné peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

Sc = πa²/360°*60° = πa²/6,

L'aire du triangle correspondant au secteur est calculée comme suit :

S▲=1/2*ah, où h est la hauteur tirée du sommet de l'angle central à la corde. D'après le théorème de Pythagore h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.