Déjà dans Egypte ancienne connaissait non seulement l'arithmétique, mais aussi la progression géométrique. Voici, par exemple, un problème tiré du papyrus Rhind : « Sept visages ont sept chats ; Chaque chat mange sept souris, chaque souris mange sept épis de maïs et chaque épi d'orge peut produire sept mesures d'orge. Quelle est la taille des nombres de cette série et leur somme ?
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Riz. 1. Problème de progression géométrique de l’Égypte ancienne |
Cette tâche a été répétée à plusieurs reprises avec des variations différentes selon les autres peuples à d'autres moments. Par exemple, écrit au XIIIe siècle. "Le Livre du Boulier" de Léonard de Pise (Fibonacci) présente un problème dans lequel apparaissent 7 vieilles femmes en route vers Rome (évidemment des pèlerins), chacune avec 7 mules, chacune avec 7 sacs, chacune avec contient 7 pains comportant chacun 7 couteaux dont chacun comporte 7 étuis. Le problème demande combien il y a d’objets.
La somme des n premiers termes de la progression géométrique S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Cette formule peut être prouvée, par exemple, comme ceci : S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Ajoutez le nombre b 1 q n à S n et obtenez :
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De là S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), et nous obtenons la formule nécessaire.
Déjà sur l'une des tablettes d'argile de l'ancienne Babylone, datant du VIe siècle. Colombie-Britannique e., contient la somme 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Certes, comme dans un certain nombre d'autres cas, nous ne savons pas comment ce fait était connu des Babyloniens .
L'augmentation rapide de la progression géométrique dans un certain nombre de cultures, notamment indiennes, est utilisée à plusieurs reprises comme symbole visuel de l'immensité de l'univers. Dans la célèbre légende sur l'apparition des échecs, le dirigeant donne à son inventeur la possibilité de choisir lui-même la récompense, et il demande le nombre de grains de blé qui seraient obtenus s'il en était placé sur la première case. échiquier, deux pour le deuxième, quatre pour le troisième, huit pour le quatrième, etc., chaque fois que le nombre double. Vladyka pensait qu'il s'agissait tout au plus de quelques sacs, mais il a mal calculé. Il est facile de voir que pour les 64 cases de l'échiquier, l'inventeur devrait recevoir (2 64 – 1) grains, qui sont exprimés sous la forme d'un nombre à 20 chiffres ; même si toute la surface de la Terre était ensemencée, il faudrait au moins 8 ans pour récolter la quantité de grains requise. Cette légende est parfois interprétée comme indiquant les possibilités pratiquement illimitées cachées dans le jeu d'échecs.
Il est facile de voir que ce numéro est en réalité composé de 20 chiffres :
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un calcul plus précis donne 1,84∙10 19). Mais je me demande si vous pouvez savoir par quel chiffre se termine ce numéro ?
Une progression géométrique peut être croissante si le dénominateur est supérieur à 1, ou décroissante s'il est inférieur à un. Dans ce dernier cas, le nombre q n pour n suffisamment grand peut devenir arbitrairement petit. Alors que la progression géométrique croissante augmente d’une manière inattendue et rapide, la progression géométrique décroissante diminue tout aussi rapidement.
Plus n est grand, plus le nombre q n diffère de zéro et plus la somme des n termes de la progression géométrique S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) est proche du nombre S = b 1 / ( 1-q). (Par exemple, F. Viet raisonnait ainsi). Le nombre S est appelé la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante. Cependant, pendant de nombreux siècles, la question de savoir quel est le sens de la somme de la progression géométrique ENTIÈRE, avec son nombre infini de termes, n'était pas assez claire pour les mathématiciens.
Une progression géométrique décroissante peut être observée, par exemple, dans les apories de Zénon « Demi-division » et « Achille et la tortue ». Dans le premier cas, il est clairement montré que la route entière (en supposant une longueur 1) est la somme nombre infini segments 1/2, 1/4, 1/8, etc. Il en va de même, bien sûr, du point de vue des idées sur la somme finie d'une progression géométrique infinie. Et pourtant, comment est-ce possible ?
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Riz. 2. Progression avec un coefficient de 1/2 |
Dans l'aporie d'Achille, la situation est un peu plus compliquée, car ici le dénominateur de la progression n'est pas 1/2, mais un autre nombre. Supposons, par exemple, qu'Achille coure à la vitesse v, que la tortue se déplace à la vitesse u et que la distance initiale qui les sépare est l. Achille parcourra cette distance en temps l/v, et pendant ce temps la tortue parcourra une distance lu/v. Lorsqu'Achille parcourt ce segment, la distance entre lui et la tortue deviendra égale à l (u /v) 2, etc. Il s'avère que rattraper la tortue signifie trouver la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante avec le premier terme l et le dénominateur u /v. Cette somme - le segment qu'Achille finira par parcourir jusqu'au lieu de rencontre avec la tortue - est égale à l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Mais, encore une fois, comment ce résultat doit-il être interprété et pourquoi a-t-il un sens ? pendant longtemps ce n'était pas très clair.
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Riz. 3. Progression géométrique avec un coefficient de 2/3 |
Archimède a utilisé la somme d'une progression géométrique pour déterminer l'aire d'un segment de parabole. Laisser ce segment de la parabole est délimitée par la corde AB et que la tangente au point D de la parabole soit parallèle à AB. Soit C le milieu de AB, E le milieu de AC, F le milieu de CB. Traçons des lignes parallèles à DC passant par les points A, E, F, B ; Laissez la tangente tracée au point D couper ces lignes aux points K, L, M, N. Dessinons également les segments AD et DB. Laissez la droite EL couper la droite AD au point G et la parabole au point H ; la ligne FM coupe la ligne DB au point Q et la parabole au point R. Selon la théorie générale des sections coniques, DC est le diamètre d'une parabole (c'est-à-dire un segment parallèle à son axe) ; lui et la tangente au point D peuvent servir d'axes de coordonnées x et y, dans lesquels l'équation de la parabole s'écrit y 2 = 2px (x est la distance de D à n'importe quel point d'un diamètre donné, y est la longueur de un segment parallèle à une tangente donnée depuis ce point de diamètre jusqu'à un point de la parabole elle-même).
En vertu de l'équation de la parabole, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, et puisque DK = 2DL, alors KA = 4LH. Parce que KA = 2LG, LH = HG. L'aire du segment ADB d'une parabole est égale à l'aire du triangle ΔADB et aux aires des segments AHD et DRB réunies. À son tour, l'aire du segment AHD est également égale à l'aire du triangle AHD et des segments restants AH et HD, avec chacun desquels vous pouvez effectuer la même opération - diviser en un triangle (Δ) et les deux segments restants (), etc. :
L'aire du triangle ΔAHD est égale à la moitié de l'aire du triangle ΔALD (ils ont une base commune AD et les hauteurs diffèrent de 2 fois), qui, à son tour, est égale à la moitié de l'aire de le triangle ΔAKD, et donc la moitié de l'aire du triangle ΔACD. Ainsi, l'aire du triangle ΔAHD est égale au quart de l'aire du triangle ΔACD. De même, l'aire du triangle ΔDRB est égale au quart de l'aire du triangle ΔDFB. Ainsi, les aires des triangles ΔAHD et ΔDRB, prises ensemble, sont égales au quart de l'aire du triangle ΔADB. Répéter cette opération lorsqu'elle est appliquée aux segments AH, HD, DR et RB en sélectionnera des triangles dont l'aire, pris ensemble, sera 4 fois inférieure à l'aire des triangles ΔAHD et ΔDRB, pris ensemble, et donc 16 fois moins, que l'aire du triangle ΔADB. Et ainsi de suite:
Ainsi Archimède prouva que « tout segment compris entre une droite et une parabole constitue les quatre tiers d’un triangle ayant la même base et la même hauteur ».
Considérons une certaine série.
7 28 112 448 1792...
Il est absolument clair que la valeur de l’un de ses éléments est exactement quatre fois supérieure à celle du précédent. Cela signifie que cette série est une progression.
Une progression géométrique est une séquence infinie de nombres. caractéristique principale c'est-à-dire que le nombre suivant est obtenu à partir du précédent en multipliant par un nombre spécifique. Ceci est exprimé par la formule suivante.
a z +1 =a z ·q, où z est le numéro de l'élément sélectionné.
Par conséquent, z ∈ N.
La période pendant laquelle la progression géométrique est étudiée à l'école est la 9e année. Des exemples vous aideront à comprendre le concept :
0.25 0.125 0.0625...
Sur la base de cette formule, le dénominateur de la progression peut être trouvé comme suit :
Ni q ni b z ne peuvent être nuls. Aussi, chacun des éléments de la progression ne doit pas être égal à zéro.
Par conséquent, pour connaître le nombre suivant d'une série, vous devez multiplier le dernier par q.
Pour définir cette progression, vous devez spécifier son premier élément et son dénominateur. Après cela, il est possible de trouver n’importe lequel des termes suivants et leur somme.
Variétés
En fonction de q et a 1, cette progression se divise en plusieurs types :
- Si a 1 et q sont tous deux supérieurs à un, alors une telle séquence est une progression géométrique augmentant avec chaque élément suivant. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.
Exemple : a 1 =3, q=2 - les deux paramètres sont supérieurs à un.
Alors la suite de nombres peut s’écrire comme ceci :
3 6 12 24 48 ...
- Si |q| est inférieur à un, c'est-à-dire que la multiplication par lui équivaut à la division, alors une progression avec des conditions similaires est une progression géométrique décroissante. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.
Exemple : a 1 =6, q=1/3 - a 1 est supérieur à un, q est inférieur.
Alors la suite de nombres peut s’écrire comme suit :
6 2 2/3 ... - tout élément est 3 fois plus grand que l'élément qui le suit.
- Signe alterné. Si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Exemple : a 1 = -3, q = -2 - les deux paramètres sont inférieurs à zéro.
Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :
3, 6, -12, 24,...
Formules
Il existe de nombreuses formules pour une utilisation pratique des progressions géométriques :
- Formule du terme Z. Vous permet de calculer un élément sous un nombre spécifique sans calculer les nombres précédents.
Exemple:q = 3, un 1 = 4. Il faut compter le quatrième élément de la progression.
Solution:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- La somme des premiers éléments dont le nombre est égal à z. Permet de calculer la somme de tous les éléments d'une séquence jusqu'àun zcompris.
Depuis (1-q) est au dénominateur, alors (1 - q)≠ 0, donc q n'est pas égal à 1.
Remarque : si q=1, alors la progression serait une série de nombres répétitifs à l'infini.
Somme de progression géométrique, exemples :un 1 = 2, q= -2. Calculez S5.
Solution:S 5 = 22 - calcul à l'aide de la formule.
- Montant si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Exemple:un 1 = 2 , q= 0,5. Trouvez le montant.
Solution:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Quelques propriétés :
- Propriété caractéristique. Si la condition suivante fonctionne pour n'importe quelz, alors la série de nombres donnée est une progression géométrique :
un z 2 = un z -1 · unz+1
- De plus, le carré de n'importe quel nombre dans une progression géométrique est trouvé en additionnant les carrés de deux autres nombres quelconques dans une série donnée, s'ils sont équidistants de cet élément.
un z 2 = un z - t 2 + un z + t 2 , Oùt- la distance entre ces nombres.
- Élémentsdiffèrent en qune fois.
- Les logarithmes des éléments d'une progression forment également une progression, mais arithmétique, c'est-à-dire que chacun d'eux est supérieur au précédent d'un certain nombre.
Exemples de quelques problèmes classiques
Pour mieux comprendre ce qu'est une progression géométrique, des exemples avec des solutions pour la classe 9 peuvent vous aider.
- Conditions:un 1 = 3, un 3 = 48. Trouverq.
Solution : chaque élément suivant est supérieur au précédent dansq une fois.Il est nécessaire d'exprimer certains éléments par rapport à d'autres à l'aide d'un dénominateur.
Ainsi,un 3 = q 2 · un 1
Lors du remplacementq= 4
- Conditions:un 2 = 6, un 3 = 12. Calculez S 6.
Solution:Pour ce faire, trouvez simplement q, le premier élément et remplacez-le dans la formule.
un 3 = q· un 2 , ainsi,q= 2
une 2 = q · un 1 ,C'est pourquoi un 1 = 3
S6 = 189
- · un 1 = 10, q= -2. Trouvez le quatrième élément de la progression.
Solution : pour ce faire, il suffit d'exprimer le quatrième élément par le premier et par le dénominateur.
une 4 = q 3· un 1 = -80
Exemple d'application :
- Un client de la banque a effectué un dépôt d'un montant de 10 000 roubles, aux termes duquel chaque année, le client verra 6 % de ce montant ajouté au montant principal. Combien d’argent y aura-t-il sur le compte après 4 ans ?
Solution : Le montant initial est de 10 000 roubles. Cela signifie qu'un an après l'investissement, le compte aura un montant égal à 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06
Ainsi, le montant du compte après une autre année sera exprimé comme suit :
(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000
Autrement dit, chaque année, le montant augmente de 1,06 fois. Cela signifie que pour retrouver le montant des fonds sur le compte après 4 ans, il suffit de trouver le quatrième élément de progression, qui est donné par le premier élément égal à 10 mille et le dénominateur égal à 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625
Exemples de problèmes de calcul de sommes :
La progression géométrique est utilisée dans divers problèmes. Un exemple pour trouver la somme peut être donné comme suit :
un 1 = 4, q= 2, calculezS5.
Solution : toutes les données nécessaires au calcul sont connues, il suffit de les substituer dans la formule.
S 5 = 124
- un 2 = 6, un 3 = 18. Calculez la somme des six premiers éléments.
Solution:
En géom. progression, chaque élément suivant est q fois supérieur au précédent, c'est-à-dire que pour calculer la somme, vous devez connaître l'élémentun 1 et le dénominateurq.
un 2 · q = un 3
q = 3
De même, vous devez trouverun 1 , sachantun 2 Etq.
un 1 · q = un 2
un 1 =2
S 6 = 728.
La progression géométrique, ainsi que la progression arithmétique, est une série de nombres importante qui est étudiée dans le cours d'algèbre scolaire en 9e année. Dans cet article, nous examinerons le dénominateur d'une progression géométrique et comment sa valeur affecte ses propriétés.
Définition de la progression géométrique
Commençons par donner la définition de cette série de nombres. Une progression géométrique est une série de nombres rationnels formés en multipliant séquentiellement son premier élément par un nombre constant appelé dénominateur.
Par exemple, les nombres de la série 3, 6, 12, 24, ... sont une progression géométrique, car si vous multipliez 3 (le premier élément) par 2, vous obtenez 6. Si vous multipliez 6 par 2, vous obtenez 12, et ainsi de suite.
Les membres de la séquence considérée sont généralement désignés par le symbole ai, où i est un nombre entier indiquant le numéro de l'élément dans la série.
La définition ci-dessus de la progression peut être écrite en langage mathématique comme suit : an = bn-1 * a1, où b est le dénominateur. Il est facile de vérifier cette formule : si n = 1, alors b1-1 = 1, et on obtient a1 = a1. Si n = 2, alors an = b * a1, et on revient à la définition de la série de nombres en question. Un raisonnement similaire peut être poursuivi pour de grandes valeurs de n.
Dénominateur de progression géométrique
Le nombre b détermine complètement le caractère qu’aura toute la série de nombres. Le dénominateur b peut être positif, négatif ou supérieur ou inférieur à un. Toutes les options ci-dessus conduisent à différentes séquences :
- b > 1. Il existe une série croissante de nombres rationnels. Par exemple, 1, 2, 4, 8, ... Si l'élément a1 est négatif, alors toute la séquence n'augmentera qu'en valeur absolue, mais diminuera en fonction du signe des nombres.
- b = 1. Souvent, ce cas n'est pas appelé progression, puisqu'il existe une série ordinaire de nombres rationnels identiques. Par exemple, -4, -4, -4.
Formule pour le montant
Avant de passer à la révision tâches spécifiques En utilisant le dénominateur du type de progression considéré, une formule importante doit être donnée pour la somme de ses n premiers éléments. La formule ressemble à : Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Vous pouvez obtenir cette expression vous-même si vous considérez la séquence récursive des termes de la progression. Notez également que dans la formule ci-dessus, il suffit de connaître uniquement le premier élément et le dénominateur pour trouver la somme d'un nombre arbitraire de termes.
Séquence infiniment décroissante
Une explication a été donnée ci-dessus de ce dont il s’agit. Maintenant, connaissant la formule de Sn, appliquons-la à cette série de nombres. Puisque tout nombre dont le module ne dépasse pas 1 tend vers zéro lorsqu'il est élevé à de grandes puissances, c'est-à-dire b∞ => 0 si -1
Puisque la différence (1 - b) sera toujours positive, quelle que soit la valeur du dénominateur, le signe de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante S∞ est uniquement déterminé par le signe de son premier élément a1.
Examinons maintenant plusieurs problèmes dans lesquels nous montrerons comment appliquer les connaissances acquises à des nombres spécifiques.
Tâche n°1. Calcul des éléments inconnus de progression et de somme
Étant donné une progression géométrique, le dénominateur de la progression est 2 et son premier élément est 3. À quoi seront égaux ses 7e et 10e termes et quelle est la somme de ses sept éléments initiaux ?
La condition du problème est assez simple et implique l’utilisation directe des formules ci-dessus. Ainsi, pour calculer le numéro d'élément n, on utilise l'expression an = bn-1 * a1. Pour le 7ème élément on a : a7 = b6 * a1, en substituant les données connues, on obtient : a7 = 26 * 3 = 192. On fait de même pour le 10ème terme : a10 = 29 * 3 = 1536.
Utilisons la formule bien connue de la somme et déterminons cette valeur pour les 7 premiers éléments de la série. On a : S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problème n°2. Déterminer la somme des éléments arbitraires d'une progression
Soit -2 égal au dénominateur de la progression géométrique bn-1 * 4, où n est un nombre entier. Il faut déterminer la somme du 5ème au 10ème élément de cette série inclus.
Le problème posé ne peut être résolu directement à l'aide de formules connues. Il peut être résolu en utilisant 2 méthodes différentes. Pour que la présentation du sujet soit complète, nous présentons les deux.
Méthode 1. L'idée est simple : il faut calculer les deux sommes correspondantes des premiers termes, puis soustraire l'autre de l'un. On calcule le plus petit montant : S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Maintenant, nous calculons la plus grande somme : S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Notez que dans la dernière expression, seuls 4 termes ont été additionnés, puisque le 5ème est déjà inclus dans le montant qui doit être calculé en fonction des conditions du problème. Finalement, on prend la différence : S510 = S10 – S4 = -1364 – (-20) = -1344.
Méthode 2. Avant de substituer des nombres et de compter, vous pouvez obtenir une formule pour la somme entre les m et n termes de la série en question. On fait exactement la même chose que dans la méthode 1, sauf qu'on travaille d'abord avec la représentation symbolique du montant. On a : Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Vous pouvez remplacer des nombres connus dans l'expression résultante et calculer le résultat final : S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Problème n°3. Quel est le dénominateur ?
Soit a1 = 2, trouvons le dénominateur de la progression géométrique, à condition que sa somme infinie soit 3, et on sait qu'il s'agit d'une série décroissante de nombres.
En fonction des conditions du problème, il n'est pas difficile de deviner quelle formule doit être utilisée pour le résoudre. Bien entendu, pour la somme de la progression infiniment décroissante. On a : S∞ = a1 / (1 - b). D'où on exprime le dénominateur : b = 1 - a1 / S∞. Il reste à substituer les valeurs connues et à obtenir le nombre requis : b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ou -0,333(3). On peut vérifier qualitativement ce résultat si l'on rappelle que pour ce type de séquence le module b ne doit pas dépasser 1. Comme on peut le voir, |-1 / 3|
Tâche n°4. Restaurer une série de nombres
Soit 2 éléments d'une série de nombres, par exemple, le 5ème est égal à 30 et le 10ème est égal à 60. Il faut reconstruire la série entière à partir de ces données, sachant qu'elle satisfait aux propriétés d'une progression géométrique.
Pour résoudre le problème, vous devez d’abord écrire l’expression correspondante à chaque terme connu. On a : a5 = b4 * a1 et a10 = b9 * a1. Divisons maintenant la deuxième expression par la première, nous obtenons : a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. À partir de là, nous déterminons le dénominateur en prenant la racine cinquième du rapport des termes connus dans l'énoncé du problème, b = 1,148698. Nous substituons le nombre résultant dans l'une des expressions de l'élément connu, nous obtenons : a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Ainsi, nous avons trouvé le dénominateur de la progression bn, et la progression géométrique bn-1 * 17,2304966 = an, où b = 1,148698.
Où sont utilisées les progressions géométriques ?
S'il n'y avait pas d'application pratique de cette série de nombres, son étude serait alors réduite à un intérêt purement théorique. Mais une telle application existe.
Ci-dessous les 3 exemples les plus connus :
- Le paradoxe de Zénon, dans lequel l'agile Achille ne peut pas rattraper la lente tortue, est résolu en utilisant le concept d'une séquence de nombres infiniment décroissante.
- Si vous placez des grains de blé sur chaque case d'un échiquier de manière à ce que sur la 1ère case vous mettiez 1 grain, sur la 2ème - 2, sur la 3ème - 3, et ainsi de suite, alors pour remplir toutes les cases de l'échiquier vous aurez besoin 18446744073709551615 grains !
- Dans le jeu "Tower of Hanoi", pour déplacer des disques d'une tige à une autre, il faut effectuer 2n - 1 opérations, c'est-à-dire que leur nombre augmente de façon exponentielle avec le nombre n de disques utilisés.
Les mathématiques, c'est quoiles gens contrôlent la nature et eux-mêmes.
Mathématicien soviétique, académicien A.N. Kolmogorov
Progression géométrique.
Outre les problèmes sur les progressions arithmétiques, les problèmes liés au concept de progression géométrique sont également courants dans les examens d'entrée en mathématiques. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, vous devez connaître les propriétés des progressions géométriques et posséder de bonnes compétences pour les utiliser.
Cet article est consacré à la présentation des propriétés fondamentales de la progression géométrique. Des exemples de résolution de problèmes typiques sont également fournis ici., emprunté aux tâches des examens d'entrée en mathématiques.
Notons d'abord les propriétés de base de la progression géométrique et rappelons les formules et énoncés les plus importants, associés à cette notion.
Définition. Une suite de nombres est appelée progression géométrique si chaque nombre, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Le nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.
Pour progression géométriqueles formules sont valables
, (1)
Où . La formule (1) est appelée formule du terme général d'une progression géométrique, et la formule (2) représente la propriété principale d'une progression géométrique : chaque terme de la progression coïncide avec la moyenne géométrique de ses termes voisins et .
Note, que c'est précisément à cause de cette propriété que la progression en question est dite « géométrique ».
Les formules (1) et (2) ci-dessus sont généralisées comme suit :
, (3)
Pour calculer le montant d'abord membres d'une progression géométriquela formule s'applique
Si nous notons , alors
Où . Puisque , la formule (6) est une généralisation de la formule (5).
Dans le cas où et progression géométriqueest infiniment décroissant. Pour calculer le montantde tous les termes d'une progression géométrique infiniment décroissante, la formule est utilisée
. (7)
Par exemple , en utilisant la formule (7), nous pouvons montrer, Quoi
Où . Ces égalités sont obtenues à partir de la formule (7) sous la condition que , (première égalité) et , (deuxième égalité).
Théorème. Si, alors
Preuve. Si, alors
Le théorème a été prouvé.
Passons maintenant à des exemples de résolution de problèmes sur le thème « Progression géométrique ».
Exemple 1.Étant donné : , et . Trouver .
Solution. Si nous appliquons la formule (5), alors
Répondre: .
Exemple 2. Qu'il en soit ainsi. Trouver .
Solution. Puisque et , on utilise les formules (5), (6) et obtenons un système d'équations
Si la deuxième équation du système (9) est divisée par la première, alors ou . Il en résulte que . Considérons deux cas.
1. Si, alors à partir de la première équation du système (9) on a.
2. Si , alors .
Exemple 3. Laissez , et . Trouver .
Solution. De la formule (2), il résulte que ou . Depuis , alors ou .
Selon l'état. Cependant, donc. Depuis et alors nous avons ici un système d'équations
Si la deuxième équation du système est divisée par la première, alors ou .
Depuis, l’équation a une racine appropriée unique. Dans ce cas, cela découle de la première équation du système.
En tenant compte de la formule (7), on obtient.
Répondre: .
Exemple 4.Étant donné : et . Trouver .
Solution. Depuis lors.
Depuis, alors ou
D'après la formule (2), nous avons . À cet égard, à partir de l’égalité (10) nous obtenons ou .
Mais par condition, donc.
Exemple 5. Cela est connu. Trouver .
Solution. D'après le théorème, nous avons deux égalités
Depuis , alors ou . Parce que, alors.
Répondre: .
Exemple 6.Étant donné : et . Trouver .
Solution. En tenant compte de la formule (5), on obtient
Depuis lors. Depuis , et , alors .
Exemple 7. Qu'il en soit ainsi. Trouver .
Solution. D'après la formule (1) on peut écrire
Nous avons donc ou . On sait que et , donc et .
Répondre: .
Exemple 8. Trouver le dénominateur d'une progression géométrique décroissante infinie si
Et .
Solution. De la formule (7) il résulte Et . De là et à partir des conditions du problème on obtient un système d'équations
Si la première équation du système est au carré, puis divisez l'équation résultante par la deuxième équation, alors on obtient
Ou .
Répondre: .
Exemple 9. Trouvez toutes les valeurs pour lesquelles la séquence , , est une progression géométrique.
Solution. Laissez , et . D'après la formule (2), qui définit la propriété principale d'une progression géométrique, on peut écrire ou .
De là, nous obtenons l'équation quadratique, dont les racines sont Et .
Vérifions : si, puis , et ;
si , alors et . Dans le premier cas nous avons
et , et dans le second – et .
Répondre: , .Exemple 10.
, (11)
Résoudre l'équation
où et .
De la formule (7) il résulte, Quoi Solution. Le côté gauche de l'équation (11) est la somme d'une progression géométrique décroissante infinie, dans laquelle et , sous réserve de : et .. À cet égard, l'équation (11) prend la forme ou . Racine appropriée
Répondre: .
l'équation quadratique est Exemple 11. P.séquence de nombres positifs forme une progression arithmétique , UN– progression géométrique
Solution., et ici. Trouver . Parce que séquence arithmétique , Que (propriété principale progression arithmétique). Depuis , alors ou . Il en résulte,que la progression géométrique a la forme. D'après la formule (2)
, puis nous l'écrivons . Depuis et , alors. Dans ce cas, l'expression prend la forme ou . Selon l'état,donc d'après l'équation. nous obtenons une solution unique au problème considéré
Répondre: .
, c'est-à-dire . Exemple 12.
. (12)
Solution. Calculer la somme
Multipliez les deux côtés de l'égalité (12) par 5 et obtenez séquence arithmétique
Si nous soustrayons (12) de l’expression résultante
ou .
Répondre: .
Pour calculer, nous substituons les valeurs dans la formule (7) et obtenons . Depuis lors., Les exemples de résolution de problèmes donnés ici seront utiles aux candidats lors de la préparation des examens d'entrée. Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution de problèmes, lié à la progression géométrique peut être utilisé matériel pédagogique
de la liste de la littérature recommandée.
1. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Mir et Education, 2013. – 608 p. 2. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : sections supplémentaires du programme scolaire. – M. : Lénand / URSS
, 2014. – 216 p. 3. Medynski M.M. Un cours complet de mathématiques élémentaires en problèmes et exercices. Livre 2 : Séquences de nombres et progressions. – M. : Editus
, 2015. – 208 p.
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Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :
Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.
Par exemple, pour notre séquence :
Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.
Le nombre avec le nombre est appelé le nième membre de la séquence.
Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .
Dans notre cas :
Les types de progression les plus courants sont l’arithmétique et la géométrique. Dans ce sujet, nous parlerons du deuxième type - progression géométrique.
Pourquoi la progression géométrique est-elle nécessaire et son histoire ?
Même dans les temps anciens, le moine mathématicien italien Léonard de Pise (mieux connu sous le nom de Fibonacci) s'occupait des besoins pratiques du commerce. Le moine avait pour tâche de déterminer quel est le plus petit nombre de poids pouvant être utilisé pour peser un produit ? Dans ses travaux, Fibonacci prouve qu'un tel système de poids est optimal : C'est l'une des premières situations dans lesquelles des personnes ont été confrontées à une progression géométrique, dont vous avez probablement déjà entendu parler et avez au moins notion générale. Une fois que vous avez parfaitement compris le sujet, réfléchissez à la raison pour laquelle un tel système est optimal ?
Actuellement, dans la pratique de la vie, une progression géométrique se manifeste lors de l'investissement d'argent dans une banque, lorsque le montant des intérêts s'accumule sur le montant accumulé sur le compte pour la période précédente. En d'autres termes, si vous placez de l'argent sur un dépôt à terme dans une caisse d'épargne, après un an, le dépôt augmentera du montant initial, c'est-à-dire le nouveau montant sera égal à la cotisation multipliée par. Dans une autre année, ce montant augmentera de, c'est-à-dire le montant obtenu à ce moment-là sera à nouveau multiplié par et ainsi de suite. Une situation similaire est décrite dans les problèmes de calcul de ce qu'on appelle intérêts composés- le pourcentage est prélevé à chaque fois sur le montant qui se trouve sur le compte, en tenant compte des intérêts antérieurs. Nous parlerons de ces tâches un peu plus tard.
Il existe de nombreux cas plus simples où une progression géométrique est appliquée. Par exemple, la propagation de la grippe : une personne a infecté une autre personne, elle a, à son tour, infecté une autre personne, et donc la deuxième vague d'infection est une personne, et elle, à son tour, en a infecté une autre... et ainsi de suite. .
D'ailleurs, une pyramide financière, le même MMM, est un calcul simple et sec basé sur les propriétés d'une progression géométrique. Intéressant? Voyons cela.
Progression géométrique.
Disons que nous avons une séquence de nombres :
Vous répondrez immédiatement que c'est facile et que le nom d'une telle séquence est à la différence de ses membres. Que diriez-vous de ceci :
Si vous soustrayez le nombre précédent du nombre suivant, vous verrez qu'à chaque fois vous obtenez une nouvelle différence (et ainsi de suite), mais la séquence existe définitivement et est facile à remarquer - chaque nombre suivant est plusieurs fois plus grand que le précédent !
Ce type de séquence de nombres est appelé progression géométrique et est désigné.
La progression géométrique () est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.
Les restrictions selon lesquelles le premier terme ( ) n'est pas égal et ne sont pas aléatoires. Supposons qu'ils ne soient pas là, et que le premier terme soit toujours égal, et q est égal à, hmm... qu'il en soit ainsi, alors il s'avère :
Convenez que ce n'est plus une progression.
Comme vous le comprenez, nous obtiendrons les mêmes résultats s'il y a un nombre autre que zéro, a. Dans ces cas, il n'y aura tout simplement pas de progression, puisque toute la série de nombres sera soit composée uniquement de zéros, soit d'un seul nombre, et tout le reste sera constitué de zéros.
Parlons maintenant plus en détail du dénominateur de la progression géométrique, c'est-à-dire o.
Répétons : - c'est le numéro combien de fois chaque terme suivant change-t-il ? progression géométrique.
Selon vous, qu'est-ce que cela pourrait être ? C'est vrai, positif et négatif, mais pas nul (nous en avons parlé un peu plus haut).
Supposons que le nôtre soit positif. Soit dans notre cas, a. Quelle est la valeur du deuxième terme et ? Vous pouvez facilement répondre à cela :
C'est exact. En conséquence, si, alors tous les termes ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs.
Et si c'est négatif ? Par exemple, un. Quelle est la valeur du deuxième terme et ?
C'est une histoire complètement différente
Essayez de compter les termes de cette progression. Combien as-tu reçu ? J'ai. Ainsi, si, alors les signes des termes de la progression géométrique alternent. Autrement dit, si vous voyez une progression avec des signes alternés pour ses membres, alors son dénominateur est négatif. Ces connaissances peuvent vous aider à vous tester lors de la résolution de problèmes sur ce sujet.
Pratiquons maintenant un peu : essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression géométrique et lesquelles sont une progression arithmétique :
J'ai compris? Comparons nos réponses :
- Progression géométrique - 3, 6.
- Progression arithmétique - 2, 4.
- Ce n'est ni une progression arithmétique ni géométrique - 1, 5, 7.
Revenons à notre dernière progression et essayons de trouver son membre, tout comme dans celle arithmétique. Comme vous l'avez peut-être deviné, il existe deux façons de le trouver.
On multiplie successivement chaque terme par.
Ainsi, le ème terme de la progression géométrique décrite est égal à.
Comme vous l'avez déjà deviné, vous allez maintenant dériver vous-même une formule qui vous aidera à trouver n'importe quel membre de la progression géométrique. Ou l'avez-vous déjà développé pour vous-même, décrivant comment trouver le ème membre étape par étape ? Si tel est le cas, vérifiez l’exactitude de votre raisonnement.
Illustrons cela avec l'exemple de la recherche du ième terme de cette progression :
Autrement dit:
Trouvez vous-même la valeur du terme de la progression géométrique donnée.
Est-ce que ça a marché ? Comparons nos réponses :
Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons multiplié séquentiellement par chaque terme précédent de la progression géométrique.
Essayons de « dépersonnaliser » cette formule - mettons-la sous forme générale et obtenons :
La formule dérivée est vraie pour toutes les valeurs, positives et négatives. Vérifiez-le vous-même en calculant les termes de la progression géométrique avec les conditions suivantes : , a.
As-tu compté ? Comparons les résultats :
Convenez qu'il serait possible de trouver le terme d'une progression de la même manière qu'un terme, cependant, il existe une possibilité de calcul incorrect. Et si on a déjà trouvé le ième terme de la progression géométrique, alors quoi de plus simple que d'utiliser la partie « tronquée » de la formule.
Progression géométrique infiniment décroissante.
Plus récemment, nous avons parlé du fait qu'il peut être supérieur ou inférieur à zéro, cependant, il existe des valeurs spéciales pour lesquelles la progression géométrique est appelée infiniment décroissant.
Pourquoi pensez-vous que ce nom est donné ?
Tout d’abord, écrivons une progression géométrique composée de termes.
Disons alors :
Nous voyons que chaque terme suivant est inférieur au précédent d'un facteur, mais y aura-t-il un nombre ? Vous répondrez immédiatement - « non ». C'est pourquoi il diminue infiniment - il diminue et diminue, mais ne devient jamais nul.
Pour comprendre clairement à quoi cela ressemble visuellement, essayons de tracer un graphique de notre progression. Ainsi, dans notre cas, la formule prend la forme suivante :
Sur les graphiques, nous avons l'habitude de tracer la dépendance, donc :
L'essence de l'expression n'a pas changé : dans la première entrée nous avons montré la dépendance de la valeur d'un membre d'une progression géométrique sur son nombre ordinal, et dans la deuxième entrée nous avons simplement pris la valeur d'un membre d'une progression géométrique comme , et a désigné le nombre ordinal non pas comme, mais comme. Il ne reste plus qu'à construire un graphique.
Voyons ce que tu as. Voici le graphique que j'ai obtenu :
Voyez-vous ? La fonction décroît, tend vers zéro, mais ne le franchit jamais, elle décroît donc infiniment. Marquons nos points sur le graphique, et en même temps quelles sont leurs coordonnées et leur signification :
Essayez de représenter schématiquement un graphique d'une progression géométrique si son premier terme est également égal. Analysez quelle est la différence avec notre graphique précédent ?
Avez-vous réussi ? Voici le graphique que j'ai obtenu :
Maintenant que vous avez bien compris les bases du sujet de la progression géométrique : vous savez ce que c'est, vous savez comment trouver son terme, et vous savez aussi ce qu'est une progression géométrique infiniment décroissante, passons à sa propriété principale.
Propriété de progression géométrique.
Vous souvenez-vous de la propriété des termes d'une progression arithmétique ? Oui, oui, comment trouver la valeur d'un certain nombre d'une progression lorsqu'il existe des valeurs précédentes et ultérieures des termes de cette progression. Vous souvenez-vous? C'est ici:
Nous sommes maintenant confrontés exactement à la même question concernant les termes d’une progression géométrique. Pour dériver une telle formule, commençons par dessiner et raisonner. Vous verrez, c'est très simple, et si vous oubliez, vous pourrez le sortir vous-même.
Prenons une autre progression géométrique simple, dans laquelle nous connaissons et. Comment trouver ? Avec la progression arithmétique, c'est facile et simple, mais qu'en est-il ici ? En fait, il n'y a rien de compliqué non plus en géométrique - il suffit d'écrire chaque valeur qui nous est donnée selon la formule.
Vous vous demandez peut-être : que devrions-nous faire maintenant ? Oui, très simple. Tout d'abord, représentons ces formules dans une image et essayons de faire diverses manipulations avec elles afin d'arriver à une valeur.
Faisons abstraction des nombres qui nous sont donnés, concentrons-nous uniquement sur leur expression à travers la formule. Nous devons trouver la valeur surlignée en orange, en connaissant les termes qui lui sont adjacents. Essayons d'effectuer diverses actions avec eux, grâce auxquelles nous pouvons obtenir.
Ajout.
Essayons d'ajouter deux expressions et nous obtenons :
À partir de cette expression, comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons en aucun cas l'exprimer, nous allons donc essayer une autre option - la soustraction.
Soustraction.
Comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons pas non plus exprimer cela, essayons donc de multiplier ces expressions les unes par les autres.
Multiplication.
Maintenant, regardez bien ce que nous avons en multipliant les termes de la progression géométrique qui nous sont donnés par rapport à ce qu'il faut trouver :
Devinez de quoi je parle ? Correctement, pour trouver, nous devons prendre la racine carrée des nombres de progression géométrique adjacents à celui souhaité multiplié les uns par les autres :
Voici. Vous avez vous-même dérivé la propriété de progression géométrique. Essayez d'écrire cette formule dans vue générale. Est-ce que ça a marché ?
Vous avez oublié la condition pour ? Réfléchissez aux raisons pour lesquelles c'est important, par exemple, essayez de le calculer vous-même. Que se passera-t-il dans ce cas ? C'est vrai, c'est complètement absurde car la formule ressemble à ceci :
N'oubliez donc pas cette limitation.
Maintenant calculons ce que cela équivaut
La bonne réponse est ! Si vous n'avez pas oublié la deuxième valeur possible lors du calcul, alors tout va bien et vous pouvez immédiatement passer à l'entraînement. Si vous avez oublié, lisez ce qui est discuté ci-dessous et faites attention à la raison pour laquelle les deux racines doivent être écrites dans la réponse.
Traçons nos deux progressions géométriques - l'une avec une valeur et l'autre avec une valeur et vérifions si les deux ont le droit d'exister :
Afin de vérifier si une telle progression géométrique existe ou non, il faut voir si tous ses termes donnés sont les mêmes ? Calculez q pour les premier et deuxième cas.
Vous voyez pourquoi nous devons écrire deux réponses ? Car le signe du terme que vous recherchez dépend s’il est positif ou négatif ! Et comme nous ne savons pas ce que c’est, nous devons écrire les deux réponses avec un plus et un moins.
Maintenant que vous avez maîtrisé les points principaux et dérivé la formule de la propriété de progression géométrique, trouvez, connaissez et
Comparez vos réponses avec les bonnes :
Qu'en pensez-vous, et si on nous donnait non pas les valeurs des termes de la progression géométrique adjacentes au nombre souhaité, mais à équidistance de celui-ci. Par exemple, nous devons trouver, et donné et. Pouvons-nous utiliser la formule que nous avons dérivée dans ce cas ? Essayez de confirmer ou d'infirmer cette possibilité de la même manière, en décrivant en quoi consiste chaque valeur, comme vous l'avez fait lorsque vous avez initialement dérivé la formule.
Qu'as-tu obtenu ?
Maintenant, regardez à nouveau attentivement.
et, en conséquence :
De là, nous pouvons conclure que la formule fonctionne non seulement avec les voisins avec les termes souhaités de la progression géométrique, mais aussi avec équidistant de ce que recherchent les membres.
Ainsi, notre formule initiale prend la forme :
Autrement dit, si dans le premier cas nous disions cela, maintenant nous disons qu'il peut être égal à n'importe quel nombre naturel, qui est plus petit. L'essentiel est que ce soit le même pour les deux nombres donnés.
Entraînez-vous avec des exemples précis, mais soyez extrêmement prudent !
- , . Trouver.
- , . Trouver.
- , . Trouver.
Décidé? J'espère que vous avez été extrêmement attentif et que vous avez remarqué un petit problème.
Comparons les résultats.
Dans les deux premiers cas, on applique sereinement la formule ci-dessus et on obtient les valeurs suivantes :
Dans le troisième cas, après examen attentif des numéros d'ordre des numéros qui nous sont donnés, on comprend qu'ils ne sont pas équidistants du numéro que l'on recherche : c'est le numéro précédent, mais il est retiré à une position, il est donc impossible d'appliquer la formule.
Comment le résoudre ? Ce n’est en fait pas aussi difficile qu’il y paraît ! Écrivons en quoi consiste chaque numéro qui nous est donné et le numéro que nous recherchons.
Nous avons donc et. Voyons ce que nous pouvons faire avec eux ? Je suggère de diviser par. On obtient :
Nous substituons nos données dans la formule :
La prochaine étape que nous pouvons trouver est la suivante : pour cela, nous devons prendre la racine cubique du nombre résultant.
Maintenant, regardons à nouveau ce que nous avons. Nous l'avons, mais nous devons le trouver, et il est à son tour égal à :
Nous avons trouvé toutes les données nécessaires au calcul. Remplacez dans la formule :
Notre réponse : .
Essayez de résoudre vous-même un autre problème similaire :
Donné: ,
Trouver:
Combien as-tu reçu ? J'ai - .
Comme vous pouvez le constater, vous avez essentiellement besoin souviens-toi d'une seule formule- . Vous pouvez retirer vous-même tout le reste sans aucune difficulté et à tout moment. Pour ce faire, écrivez simplement la progression géométrique la plus simple sur une feuille de papier et notez à quoi chacun de ses nombres est égal, selon la formule décrite ci-dessus.
La somme des termes d'une progression géométrique.
Regardons maintenant les formules qui permettent de calculer rapidement la somme des termes d'une progression géométrique dans un intervalle donné :
Pour dériver la formule de la somme des termes d'une progression géométrique finie, multipliez toutes les parties de l'équation ci-dessus par. On obtient :
Regardez bien : quel est le point commun entre les deux dernières formules ? C'est vrai, les membres communs, par exemple, et ainsi de suite, à l'exception du premier et du dernier membre. Essayons de soustraire la 1ère de la 2ème équation. Qu'as-tu obtenu ?
Exprimez maintenant le terme de la progression géométrique à travers la formule et remplacez l'expression résultante dans notre dernière formule :
Regroupez l’expression. Vous devriez obtenir :
Il ne reste plus qu'à exprimer :
En conséquence, dans ce cas.
Et si? Quelle formule fonctionne alors ? Imaginez une progression géométrique à. Comment est-elle ? Une série de nombres identiques est correcte, donc la formule ressemblera à ceci :
Il existe de nombreuses légendes sur la progression arithmétique et géométrique. L'une d'elles est la légende de Seth, le créateur des échecs.
Beaucoup de gens savent que le jeu d’échecs a été inventé en Inde. Lorsque le roi hindou la rencontra, il fut ravi de son esprit et de la variété des positions possibles en elle. Ayant appris qu'il avait été inventé par l'un de ses sujets, le roi décida de le récompenser personnellement. Il convoqua l'inventeur chez lui et lui ordonna de lui demander tout ce qu'il voulait, promettant de réaliser même le désir le plus habile.
Seta demanda du temps pour réfléchir, et lorsque le lendemain Seta apparut devant le roi, il surprit le roi par la modestie sans précédent de sa demande. Il demanda de donner un grain de blé pour la première case de l'échiquier, un grain de blé pour la deuxième, un grain de blé pour la troisième, une quatrième, etc.
Le roi était en colère et chassa Seth, disant que la demande du serviteur était indigne de la générosité du roi, mais il promit que le serviteur recevrait ses grains pour toutes les cases du plateau.
Et maintenant la question : en utilisant la formule de la somme des termes d'une progression géométrique, calculer combien de grains Seth devrait recevoir ?
Commençons par raisonner. Puisque, selon la condition, Seth a demandé un grain de blé pour la première case de l'échiquier, pour la deuxième, pour la troisième, pour la quatrième, etc., alors on voit que le problème concerne une progression géométrique. A quoi cela équivaut-il dans ce cas ?
Droite.
Total des carrés de l'échiquier. Respectivement, . Nous avons toutes les données, il ne reste plus qu'à les brancher sur la formule et à calculer.
Pour imaginer au moins approximativement « l'échelle » d'un nombre donné, on transforme en utilisant les propriétés du degré :
Bien sûr, si vous le souhaitez, vous pouvez prendre une calculatrice et calculer le nombre auquel vous obtenez, et sinon, vous devrez me croire sur parole : la valeur finale de l'expression sera.
C'est-à-dire:
quintillion quadrillion billion milliards millions milliers.
Ouf) Si vous voulez imaginer l’énormité de ce nombre, estimez la taille d’une grange qui serait nécessaire pour accueillir toute la quantité de céréales.
Si la grange mesure m de haut et m de large, sa longueur devrait s'étendre sur km, c'est-à-dire deux fois plus loin de la Terre au Soleil.
Si le roi avait été fort en mathématiques, il aurait pu inviter lui-même le scientifique à compter les grains, car pour compter un million de grains, il lui faudrait au moins une journée de comptage infatigable, et étant donné qu'il faut compter des quintillions, le il faudrait compter les grains tout au long de sa vie.
Résolvons maintenant un problème simple impliquant la somme des termes d’une progression géométrique.
Vasya, un élève de la classe 5A, a contracté la grippe, mais continue d'aller à l'école. Chaque jour, Vasya infecte deux personnes qui, à leur tour, infectent deux autres personnes, et ainsi de suite. Il n'y a que des gens dans la classe. Dans combien de jours toute la classe aura-t-elle la grippe ?
Ainsi, le premier terme de la progression géométrique est Vasya, c'est-à-dire une personne. Le ème terme de la progression géométrique correspond aux deux personnes qu'il a infectées le premier jour de son arrivée. La somme totale des termes de progression est égale au nombre d'élèves de 5A. On parle ainsi d’une progression dans laquelle :
Remplaçons nos données dans la formule de la somme des termes d'une progression géométrique :
Toute la classe tombera malade dans quelques jours. Vous ne croyez pas aux formules et aux chiffres ? Essayez de décrire vous-même « l’infection » des étudiants. Est-ce que ça a marché ? Regardez à quoi ça ressemble pour moi :
Calculez vous-même combien de jours il faudrait aux élèves pour contracter la grippe si chacun d'eux infectait une personne et qu'il n'y avait qu'une seule personne dans la classe.
Quelle valeur as-tu obtenu ? Il s’est avéré que tout le monde a commencé à tomber malade au bout d’une journée.
Comme vous pouvez le constater, une telle tâche et son dessin ressemblent à une pyramide dans laquelle chacune des tâches suivantes « amène » de nouvelles personnes. Cependant, tôt ou tard, il arrive un moment où ce dernier ne peut attirer personne. Dans notre cas, si l'on imagine que la classe est isolée, la personne de ferme la chaîne (). Ainsi, si une personne était impliquée dans une pyramide financière dans laquelle de l'argent était donné si vous ameniez deux autres participants, alors la personne (ou en général) n'amènerait personne et perdrait donc tout ce qu'elle a investi dans cette arnaque financière.
Tout ce qui a été dit ci-dessus fait référence à une progression géométrique décroissante ou croissante, mais, comme vous vous en souvenez, nous avons un type spécial - une progression géométrique infiniment décroissante. Comment calculer la somme de ses membres ? Et pourquoi ce type de progression présente-t-il certaines caractéristiques ? Voyons cela ensemble.
Alors, tout d’abord, regardons à nouveau ce dessin d’une progression géométrique infiniment décroissante à partir de notre exemple :
Regardons maintenant la formule de la somme d'une progression géométrique, dérivée un peu plus tôt :
ou
Vers quoi recherchons-nous ? C'est vrai, le graphique montre qu'il tend vers zéro. C'est-à-dire que at sera presque égal, respectivement, lors du calcul de l'expression que nous obtiendrons presque. À cet égard, nous pensons que lors du calcul de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, cette parenthèse peut être négligée, puisqu'elle sera égale.
- la formule est la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.
IMPORTANT! Nous utilisons la formule de la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme infini nombre de membres.
Si un nombre spécifique n est spécifié, alors nous utilisons la formule pour la somme de n termes, même si ou.
Maintenant, pratiquons.
- Trouver la somme des premiers termes de la progression géométrique avec et.
- Trouver la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante avec et.
J'espère que vous avez été extrêmement prudent. Comparons nos réponses :
Vous savez désormais tout sur la progression géométrique et il est temps de passer de la théorie à la pratique. Les problèmes de progression géométrique les plus courants rencontrés lors de l’examen sont les problèmes de calcul des intérêts composés. Ce sont de ceux-là dont nous parlerons.
Problèmes de calcul des intérêts composés.
Vous avez probablement entendu parler de la formule dite des intérêts composés. Comprenez-vous ce que cela signifie ? Sinon, essayons de comprendre, car une fois que vous aurez compris le processus lui-même, vous comprendrez immédiatement ce que la progression géométrique a à voir avec cela.
Nous allons tous à la banque et savons qu'il existe différentes conditions pour les dépôts : cela comprend une durée, des services supplémentaires et des intérêts à deux de diverses manières ses calculs - simples et complexes.
AVEC intérêts simples tout est plus ou moins clair : les intérêts sont courus une seule fois à la fin de la durée du dépôt. Autrement dit, si nous disons que nous déposons 100 roubles par an, ils ne seront crédités qu'à la fin de l'année. En conséquence, à la fin du dépôt, nous recevrons des roubles.
Intérêts composés- c'est une option dans laquelle cela se produit capitalisation des intérêts, c'est-à-dire leur ajout au montant du dépôt et le calcul ultérieur du revenu non pas à partir du montant initial, mais à partir du montant du dépôt accumulé. La capitalisation ne se produit pas constamment, mais avec une certaine fréquence. En règle générale, ces périodes sont égales et les banques utilisent le plus souvent un mois, un trimestre ou une année.
Supposons que nous déposions les mêmes roubles chaque année, mais avec une capitalisation mensuelle du dépôt. Que faisons-nous ?
Vous comprenez tout ici ? Sinon, voyons cela étape par étape.
Nous avons apporté des roubles à la banque. À la fin du mois, nous devrions avoir sur notre compte un montant composé de nos roubles plus les intérêts sur ceux-ci, soit :
Accepter?
On peut le sortir des parenthèses et on obtient alors :
D'accord, cette formule ressemble déjà plus à ce que nous avons écrit au début. Il ne reste plus qu'à calculer les pourcentages
Dans l'énoncé du problème, on nous parle des taux annuels. Comme vous le savez, nous ne multiplions pas par - nous convertissons les pourcentages en fractions décimales, c'est-à-dire :
Droite? Maintenant, vous vous demandez peut-être d’où vient ce numéro ? Très simple !
Je le répète : l'énoncé du problème parle de ANNUEL les intérêts qui courent MENSUEL. Comme vous le savez, dans un an de mois, la banque nous facturera donc une partie des intérêts annuels par mois :
Vous l'avez compris ? Essayez maintenant d’écrire à quoi ressemblerait cette partie de la formule si je disais que les intérêts sont calculés quotidiennement.
Avez-vous réussi ? Comparons les résultats :
Bien joué! Revenons à notre tâche : écrivez combien sera crédité sur notre compte au cours du deuxième mois, en tenant compte du fait que des intérêts sont courus sur le montant du dépôt accumulé.
Voici ce que j'ai obtenu :
Ou, en d'autres termes :
Je pense que vous avez déjà remarqué une tendance et vu une progression géométrique dans tout cela. Écrivez à quoi sera égal son membre ou, en d'autres termes, quelle somme d'argent nous recevrons à la fin du mois.
A fait? Vérifions !
Comme vous pouvez le constater, si vous mettez de l'argent dans une banque pendant un an à un taux d'intérêt simple, vous recevrez des roubles, et si à un taux d'intérêt composé, vous recevrez des roubles. Le bénéfice est faible, mais cela n'arrive qu'au cours de la ème année, mais sur une période plus longue, la capitalisation est beaucoup plus rentable :
Considérons un autre type de problème : intérêts composés. Après ce que vous avez compris, ce sera élémentaire pour vous. Donc, la tâche :
La société Zvezda a commencé à investir dans le secteur en 2000, avec un capital en dollars. Chaque année depuis 2001, elle perçoit un bénéfice égal au capital de l'année précédente. Quel bénéfice la société Zvezda recevra-t-elle à la fin de 2003 si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?
Capital de la société Zvezda en 2000.
- capital de la société Zvezda en 2001.
- capital de la société Zvezda en 2002.
- capital de la société Zvezda en 2003.
Ou nous pouvons écrire brièvement :
Pour notre cas :
2000, 2001, 2002 et 2003.
Respectivement:
roubles
Veuillez noter que dans ce problème nous n'avons pas de division ni par ni par, puisque le pourcentage est donné ANNUELLEMENT et il est calculé ANNUELLEMENT. Autrement dit, lorsque vous lisez un problème sur les intérêts composés, faites attention au pourcentage donné et à la période pendant laquelle il est calculé, puis procédez ensuite aux calculs.
Vous savez désormais tout sur la progression géométrique.
Entraînement.
- Trouver le terme de la progression géométrique si on le sait, et
- Trouver la somme des premiers termes de la progression géométrique si l'on sait cela, et
- La société MDM Capital a commencé à investir dans le secteur en 2003, avec des capitaux en dollars. Chaque année depuis 2004, elle perçoit un bénéfice égal au capital de l'année précédente. La société MSK Cash Flows a commencé à investir dans l'industrie en 2005 pour un montant de 10 000 $ et a commencé à réaliser un bénéfice en 2006 pour un montant de. De combien de dollars le capital d'une entreprise serait-il supérieur à celui de l'autre à la fin de 2007, si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?
Réponses :
- Puisque l'énoncé du problème ne dit pas que la progression est infinie et qu'il faut trouver la somme d'un nombre précis de ses termes, le calcul est effectué selon la formule :
Société de Capital MDM :2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- augmente de 100%, soit 2 fois.
Respectivement:
roubles
Société MSK Cash Flows :2005, 2006, 2007.
- augmente de, c'est-à-dire de fois.
Respectivement:
roubles
roubles
Résumons.
1) La progression géométrique ( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.
2) L'équation des termes de la progression géométrique est .
3) peut prendre n'importe quelle valeur sauf et.
- si, alors tous les termes ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs;
- si, alors tous les termes ultérieurs de la progression signes alternatifs ;
- quand - la progression est dite infiniment décroissante.
4) , avec - propriété de progression géométrique (termes adjacents)
ou
, à (termes équidistants)
Quand tu le trouveras, ne l'oublie pas il devrait y avoir deux réponses.
Par exemple,
5) La somme des termes de la progression géométrique est calculée par la formule :
ou
ou
IMPORTANT! Nous utilisons la formule pour la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme d'un nombre infini de termes.
6) Les problèmes sur les intérêts composés sont également calculés à l'aide de la formule du ème terme d'une progression géométrique, à condition que les fonds n'aient pas été retirés de la circulation :
PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES
Progression géométrique( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce numéro s'appelle dénominateur d’une progression géométrique.
Dénominateur de progression géométrique peut prendre n’importe quelle valeur sauf et.
- Si, alors tous les termes suivants de la progression ont le même signe - ils sont positifs ;
- si, alors tous les membres suivants de la progression alternent les signes ;
- quand - la progression est dite infiniment décroissante.
Équation des termes de progression géométrique - .
Somme des termes d'une progression géométrique calculé par la formule :
ou
Si la progression est infiniment décroissante, alors :
Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.
Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !
Maintenant, le plus important.
Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.
Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...
Pour quoi?
Pour avoir réussi l'examen d'État unifié, pour entrer à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, pour la vie.
Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...
Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.
Mais ce n’est pas l’essentiel.
L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...
Mais pensez par vous-même...
Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen d'État unifié et finalement être... plus heureux ?
GAGNEZ VOTRE MAIN EN RÉSOUDANT DES PROBLÈMES SUR CE SUJET.
Aucune théorie ne vous sera demandée lors de l'examen.
Vous aurez besoin résoudre des problèmes contre le temps.
Et si vous ne les avez pas résolus (BEAUCOUP !), vous ferez certainement une erreur stupide quelque part ou vous n’aurez tout simplement pas le temps.
C'est comme dans le sport : il faut répéter plusieurs fois pour gagner avec certitude.
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Vous pouvez utiliser nos tâches (facultatif) et nous les recommandons bien sûr.
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Et en conclusion...
Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.
« Compris » et « Je peux résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.
Trouvez les problèmes et résolvez-les !
