Tout d'abord, comprenons la différence entre un cercle et un cercle. Pour voir cette différence, il suffit de considérer quels sont les deux chiffres. Il s'agit d'un nombre infini de points sur le plan, situés à égale distance d'un seul point central. Mais si le cercle est également constitué d'espace interne, alors il n'appartient pas au cercle. Il s'avère qu'un cercle est à la fois un cercle qui le limite (cercle(r)) et un nombre incalculable de points qui se trouvent à l'intérieur du cercle.
Pour tout point L situé sur le cercle, l'égalité OL=R s'applique. (La longueur du segment OL est égale au rayon du cercle).
Un segment qui relie deux points sur un cercle est son accord.
Une corde passant directement par le centre d'un cercle est diamètre ce cercle (D). Le diamètre peut être calculé à l'aide de la formule : D=2R
Circonférence calculé par la formule : C=2\pi R
Aire d'un cercle: S=\piR^(2)
Arc de cercle s'appelle la partie qui se situe entre ses deux points. Ces deux points définissent deux arcs de cercle. L'accord CD sous-tend deux arcs : CMD et CLD. Des accords identiques sous-tendent des arcs égaux.
Angle central Un angle compris entre deux rayons est appelé.
Longueur de l'arc peut être trouvé en utilisant la formule :
- Utilisation de la mesure du degré : CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- En utilisant la mesure du radian : CD = \alpha R
Le diamètre, perpendiculaire à la corde, divise en deux la corde et les arcs qu'elle contracte.
Si les cordes AB et CD du cercle se coupent au point N, alors les produits des segments des cordes séparés par le point N sont égaux entre eux.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangente à un cercle
Tangente à un cercle Il est d'usage d'appeler une ligne droite ayant un point commun avec un cercle.
Si une droite a deux points communs, on l'appelle sécante.
Si vous dessinez le rayon au point tangent, il sera perpendiculaire à la tangente au cercle.
Traçons deux tangentes de ce point à notre cercle. Il s'avère que les segments tangents seront égaux les uns aux autres et que le centre du cercle sera situé sur la bissectrice de l'angle avec le sommet en ce point.
CA = CB
Traçons maintenant une tangente et une sécante au cercle à partir de notre point. On obtient que le carré de la longueur du segment tangent sera égal au produit de l'ensemble du segment sécant et de sa partie extérieure.
AC^(2) = CD \cdot BC
On peut conclure : le produit d'un segment entier de la première sécante et de sa partie externe est égal au produit d'un segment entier de la deuxième sécante et de sa partie externe.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Angles dans un cercle
Les mesures en degrés de l'angle au centre et de l'arc sur lequel il repose sont égales.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés contiennent des cordes.
Vous pouvez le calculer en connaissant la taille de l'arc, puisqu'elle est égale à la moitié de cet arc.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Basé sur un diamètre, un angle inscrit, un angle droit.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Les angles inscrits qui sous-tendent le même arc sont identiques.
Les angles inscrits reposant sur une corde sont identiques ou leur somme est égale à 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Sur un même cercle se trouvent les sommets de triangles ayant des angles identiques et une base donnée.
Un angle dont le sommet est à l'intérieur du cercle et situé entre deux cordes est identique à la moitié de la somme des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus dans les angles donnés et verticaux.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Un angle dont le sommet est extérieur au cercle et situé entre deux sécantes est identique à la moitié de la différence des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus à l'intérieur de l'angle.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Cercle inscrit
Cercle inscrit est un cercle tangent aux côtés d'un polygone.
Au point d'intersection des bissectrices des coins d'un polygone, se trouve son centre.
Un cercle ne peut pas être inscrit dans chaque polygone.
L'aire d'un polygone avec un cercle inscrit se trouve par la formule :
S = pr,
p est le demi-périmètre du polygone,
r est le rayon du cercle inscrit.
Il s'ensuit que le rayon du cercle inscrit est égal à :
r = \frac(S)(p)
Sommes de longueurs côtés opposés sera identique si le cercle est inscrit dans un quadrilatère convexe. Et vice versa : un cercle s'inscrit dans un quadrilatère convexe si les sommes des longueurs des côtés opposés sont identiques.
AB + DC = AD + BC
Il est possible d'inscrire un cercle dans n'importe lequel des triangles. Un seul. Au point d'intersection des bissectrices des angles internes de la figure, se trouvera le centre de ce cercle inscrit.
Le rayon du cercle inscrit est calculé par la formule :
r = \frac(S)(p) ,
où p = \frac(a + b + c)(2)
Circoncercle
Si un cercle passe par chaque sommet d'un polygone, alors un tel cercle est généralement appelé décrit à propos d'un polygone.
Au point d'intersection des médiatrices des côtés de cette figure sera le centre du cercle circonscrit.
Le rayon peut être trouvé en le calculant comme le rayon du cercle circonscrit au triangle défini par 3 sommets quelconques du polygone.
On a la condition suivante : un cercle ne peut être décrit autour d'un quadrilatère que si la somme de ses angles opposés est égale à 180^( \circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
Autour de n'importe quel triangle, vous pouvez décrire un cercle, et un seul. Le centre d'un tel cercle sera situé au point d'intersection des médiatrices perpendiculaires des côtés du triangle.
Le rayon du cercle circonscrit peut être calculé à l'aide des formules :
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c sont les longueurs des côtés du triangle,
S est l'aire du triangle.
Théorème de Ptolémée
Enfin, considérons le théorème de Ptolémée.
Le théorème de Ptolémée stipule que le produit des diagonales est identique à la somme des produits des côtés opposés d'un quadrilatère cyclique.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Le cercle, ses parties, leurs tailles et leurs relations sont des choses auxquelles un bijoutier est constamment confronté. Bagues, bracelets, castes, tubes, boules, spirales - il faut fabriquer beaucoup de choses rondes. Comment calculer tout cela, surtout si vous avez eu la chance de sauter les cours de géométrie à l'école ?
Voyons d'abord quelles sont les parties d'un cercle et comment elles s'appellent.
- Un cercle est une ligne qui entoure un cercle.
- Un arc est une partie d'un cercle.
- Le rayon est un segment reliant le centre d'un cercle à n'importe quel point du cercle.
- Une corde est un segment reliant deux points sur un cercle.
- Un segment est une partie d'un cercle délimité par une corde et un arc.
- Un secteur est une partie d'un cercle délimité par deux rayons et un arc.
Les quantités qui nous intéressent et leurs désignations :
Voyons maintenant quels problèmes liés aux parties d'un cercle doivent être résolus.
- Trouvez la longueur du développement de n'importe quelle partie de la bague (bracelet). Le diamètre et la corde sont précisés (option : diamètre et angle central), trouvez la longueur de l’arc.
- Il y a un dessin sur un plan, il faut connaître sa taille en projection après l'avoir plié en arc de cercle. Étant donné la longueur et le diamètre de l’arc, trouvez la longueur de la corde.
- Découvrez la hauteur de la pièce obtenue en pliant une pièce plate en arc de cercle. Options de données sources : longueur et diamètre de l'arc, longueur de l'arc et corde ; trouver la hauteur du segment.
La vie vous donnera d'autres exemples, mais je ne les ai donnés que pour montrer la nécessité de définir deux paramètres pour trouver tous les autres. C'est ce que nous ferons. A savoir, nous prendrons cinq paramètres du segment : D, L, X, φ et H. Ensuite, en choisissant parmi eux toutes les paires possibles, nous les considérerons comme des données initiales et trouverons tout le reste par brainstorming.
Afin de ne pas alourdir inutilement le lecteur, je ne donnerai pas de solutions détaillées, mais présenterai uniquement les résultats sous forme de formules (les cas où il n'y a pas de solution formelle, j'en discuterai en cours de route).
Et encore une remarque : à propos des unités de mesure. Toutes les grandeurs, à l'exception de l'angle au centre, sont mesurées dans les mêmes unités abstraites. Cela signifie que si, par exemple, vous spécifiez une valeur en millimètres, l'autre n'a pas besoin d'être spécifiée en centimètres et les valeurs résultantes seront mesurées dans les mêmes millimètres (et les surfaces en millimètres carrés). La même chose peut être dite pour les pouces, les pieds et les milles marins.
Et seul l’angle au centre est dans tous les cas mesuré en degrés et rien d’autre. Parce que, en règle générale, les personnes qui conçoivent quelque chose de rond n’ont pas tendance à mesurer les angles en radians. L'expression « angle pi de quatre » en confond beaucoup, tandis que « angle de quarante-cinq degrés » est compréhensible pour tout le monde, puisqu'il n'est que de cinq degrés plus élevé que la normale. Cependant, dans toutes les formules, il y aura un angle supplémentaire - α - présent comme valeur intermédiaire. En termes de sens, il s'agit de la moitié de l'angle central, mesuré en radians, mais vous ne pouvez pas approfondir cette signification en toute sécurité.
1. Étant donné le diamètre D et la longueur de l'arc L
; longueur de corde 
;
hauteur des segments 
; angle central 
.
2. Étant donné le diamètre D et la longueur de corde X
; longueur de l'arc ;
hauteur des segments ; angle central 
.
Puisque la corde divise le cercle en deux segments, ce problème n’a pas une, mais deux solutions. Pour obtenir le second, vous devez remplacer l'angle α dans les formules ci-dessus par l'angle .
3. Étant donné le diamètre D et l'angle au centre φ
; longueur de l'arc ;
longueur de corde ; hauteur des segments .
4. Étant donné le diamètre D et la hauteur du segment H
; longueur de l'arc ;
longueur de corde ; angle central .
6. Compte tenu de la longueur de l'arc L et de l'angle au centre φ
; diamètre ;
longueur de corde ; hauteur des segments .
8. Étant donné la longueur de corde X et l'angle au centre φ
; longueur de l'arc 
;
diamètre ; hauteur des segments .
9. Étant donné la longueur de la corde X et la hauteur du segment H
; longueur de l'arc ;
diamètre ; angle central .
10. Étant donné l'angle au centre φ et la hauteur du segment H
; diamètre 
;
longueur de l'arc ; longueur de corde .
Le lecteur attentif n'a pu s'empêcher de remarquer que j'ai raté deux options :
5. Compte tenu de la longueur de l'arc L et de la longueur de la corde X
7. Étant donné la longueur de l'arc L et la hauteur du segment H
Ce ne sont que ces deux cas désagréables où le problème n’a pas de solution qui pourrait être écrite sous la forme d’une formule. Et la tâche n’est pas si rare. Par exemple, vous avez un morceau plat de longueur L et vous souhaitez le plier pour que sa longueur devienne X (ou que sa hauteur devienne H). Quel diamètre dois-je prendre le mandrin (crossbar) ?
Ce problème revient à résoudre les équations : 
; - dans l'option 5
; - dans l'option 7
et bien qu’ils ne puissent pas être résolus analytiquement, ils peuvent être facilement résolus par programmation. Et je sais même où se procurer un tel programme : sur ce même site, sous le nom . Tout ce que je vous raconte ici en détail, elle le fait en microsecondes.
Pour compléter le tableau, ajoutons aux résultats de nos calculs la circonférence et trois valeurs d'aire - cercle, secteur et segment. (Les surfaces nous aideront beaucoup lors du calcul de la masse de toutes les pièces rondes et semi-circulaires, mais nous en parlerons plus à ce sujet dans un article séparé.) Toutes ces quantités sont calculées à l'aide des mêmes formules :
circonférence;
aire d'un cercle 
;
zone de secteur 
;
zone de segmentation 
;
Et en conclusion, permettez-moi de vous rappeler encore une fois l'existence d'absolument programme gratuit, qui effectue tous les calculs ci-dessus, vous évitant ainsi d'avoir à vous rappeler ce qu'est une arctangente et où la chercher.
Problèmes pour trouver l'aire d'un cercle - obligatoire partie de l'examen d'État unifié en mathématiques. En règle générale, ce sujet est attribué à plusieurs tâches à la fois dans le test de certification. Tous les lycéens, quel que soit leur niveau de préparation, doivent comprendre l'algorithme permettant de trouver la circonférence et l'aire d'un cercle.
Si de telles tâches planimétriques vous posent des difficultés, nous vous recommandons de vous tourner vers le portail pédagogique Shkolkovo. Avec nous, vous pouvez combler vos lacunes en matière de connaissances.
La section correspondante du site présente un large choix de problèmes pour trouver la circonférence et l'aire d'un cercle, similaires à ceux inclus dans l'examen d'État unifié. Ayant appris à les exécuter correctement, le diplômé sera en mesure de réussir l'examen.
Points forts
Les problèmes qui nécessitent l’utilisation de formules d’aire peuvent être directs ou inverses. Dans le premier cas, les paramètres des éléments de la figure sont connus. Dans ce cas, la quantité requise est la surface. Dans le second cas, au contraire, l'aire est connue, et il faut retrouver un élément de la figure. L'algorithme permettant de calculer la bonne réponse dans de telles tâches ne diffère que par l'ordre dans lequel les formules de base sont appliquées. C'est pourquoi, lorsqu'on commence à résoudre de tels problèmes, il est nécessaire de répéter le matériel théorique.
Sur portail éducatif"Shkolkovo" présente toutes les informations de base sur le thème "Trouver la longueur d'un cercle ou d'un arc et l'aire d'un cercle", ainsi que sur d'autres sujets, par exemple, nos spécialistes l'ont préparé et présenté dans le plus formulaire accessible.
Après avoir mémorisé les formules de base, les étudiants peuvent commencer à résoudre en ligne des problèmes pour trouver l'aire d'un cercle, similaires à ceux inclus dans l'examen d'État unifié. Pour chaque exercice, le site propose une solution détaillée et la bonne réponse. Si nécessaire, n'importe quelle tâche peut être enregistrée dans la section « Favoris » afin d'y revenir ultérieurement et d'en discuter avec l'enseignant.
Le cours vidéo « Obtenez un A » comprend tous les sujets nécessaires pour réussir l'examen d'État unifié en mathématiques avec 60 à 65 points. Complètement tous les problèmes 1-13 Profil Examen d'État unifié en mathématiques. Convient également pour réussir l'examen d'État unifié de base en mathématiques. Si vous souhaitez réussir l'examen d'État unifié avec 90 à 100 points, vous devez résoudre la partie 1 en 30 minutes et sans erreurs !
Cours de préparation à l'examen d'État unifié pour les classes 10-11, ainsi que pour les enseignants. Tout ce dont vous avez besoin pour résoudre la partie 1 de l'examen d'État unifié en mathématiques (les 12 premiers problèmes) et le problème 13 (trigonométrie). Et cela représente plus de 70 points à l'examen d'État unifié, et ni un étudiant de 100 points ni un étudiant en sciences humaines ne peuvent s'en passer.
Toute la théorie nécessaire. Solutions rapides, pièges et secrets de l'examen d'État unifié. Toutes les tâches actuelles de la partie 1 de la banque de tâches FIPI ont été analysées. Le cours est entièrement conforme aux exigences de l'examen d'État unifié 2018.
Le cours contient 5 grands sujets de 2,5 heures chacun. Chaque sujet est donné de toutes pièces, simplement et clairement.
Des centaines de tâches d'examen d'État unifié. Problèmes de mots et théorie des probabilités. Algorithmes simples et faciles à retenir pour résoudre des problèmes. Géométrie. Théorie, matériel de référence, analyse de tous types de tâches d'examen d'État unifié. Stéréométrie. Solutions délicates, aide-mémoire utiles, développement de l'imagination spatiale. Trigonométrie de zéro au problème 13. Comprendre au lieu de bachoter. Explications claires de concepts complexes. Algèbre. Racines, puissances et logarithmes, fonction et dérivée. Base de solution tâches complexes 2 parties de l'examen d'État unifié.
