Types de fonctions de puissance, leurs propriétés et graphiques. Fonctions élémentaires de base : leurs propriétés et graphiques. Dérivée d'une fonction exponentielle

Sur le domaine de définition de la fonction puissance y = x p les formules suivantes sont valables :
; ;
;
; ;
; ;
; .

Propriétés des fonctions puissance et leurs graphiques

Fonction puissance avec exposant égal à zéro, p = 0

Si l'exposant de la fonction puissance y = x p est égal à zéro, p = 0, alors la fonction puissance est définie pour tout x ≠ 0 et est une constante égale à un :
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Fonction puissance avec exposant impair naturel, p = n = 1, 3, 5, ...

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant impair naturel n = 1, 3, 5, ... .

Cet indicateur peut également s'écrire sous la forme : n = 2k + 1, où k = 0, 1, 2, 3, ... est un entier non négatif. Vous trouverez ci-dessous les propriétés et les graphiques de ces fonctions.

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Portée: -∞ < y < ∞
Significations multiples : Parité:
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non
Convexe:< x < 0 выпукла вверх
à -∞< x < ∞ выпукла вниз
à 0 Points d'inflexion :
Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
;
Limites :
Valeurs privées :
à x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
à x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = 1, la fonction est son inverse : x = y pour n ≠ 1, fonction inverse

est la racine du degré n :

Fonction puissance avec exposant pair naturel, p = n = 2, 4, 6, ...

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant pair naturel n = 2, 4, 6, ... .

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Portée: Cet indicateur peut aussi s'écrire sous la forme : n = 2k, où k = 1, 2, 3, ... - naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.< ∞
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
0 ≤ oui
pair, y(-x) = y(x)
augmente de façon monotone pour x ≤ 0 diminue de façon monotone
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
;
Limites :
convexe vers le bas Points d'intersection avec axes de coordonnées :
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
à x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
pour n = 2, racine carrée :
pour n ≠ 2, racine du degré n :

Fonction puissance avec exposant entier négatif, p = n = -1, -2, -3, ...

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant entier négatif n = -1, -2, -3, ... .

Si nous mettons n = -k, où k = 1, 2, 3, ... est un nombre naturel, alors il peut être représenté comme suit :

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant entier négatif pour différentes valeurs de l'exposant n = -1, -2, -3, ....

Exposant impair, n = -1, -3, -5, ...

à n

Exposant pair, n = -2, -4, -6, ...

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif impair n = -1, -3, -5, ....
Portée: Ci-dessous se trouvent les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
diminue de façon monotone< 0 : монотонно возрастает
y > 0
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Extrêmes :
pour x > 0 : convexe vers le bas Ci-dessous se trouvent les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Limites :
à x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
pour x > 0 : diminue de façon monotone
quand n = -1,< -2 ,

à n = -2,

Fonction puissance avec exposant rationnel (fractionnaire)

Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel (fractionnaire), où n est un nombre entier, m > 1 est un nombre naturel. De plus, n, m n’ont pas de diviseurs communs.

Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est impair

Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire impair : m = 3, 5, 7, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p est définie pour les valeurs positives et négatives de l'argument x.< 0

Considérons les propriétés de telles fonctions puissance lorsque l'exposant p se situe dans certaines limites.

La valeur p est négative, p

Soit l'exposant rationnel (de dénominateur impair m = 3, 5, 7, ...) inférieur à zéro : .

Graphiques de fonctions puissance avec un exposant rationnel négatif pour différentes valeurs de l'exposant, où m = 3, 5, 7, ... - impair.

Nous présentons les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel négatif, où n = -1, -3, -5, ... est un entier négatif impair, m = 3, 5, 7 ... est un entier naturel impair.

à x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif impair n = -1, -3, -5, ....
Portée: Ci-dessous se trouvent les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
diminue de façon monotone< 0 : монотонно возрастает
y > 0
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Extrêmes :
pour x > 0 : convexe vers le bas Ci-dessous se trouvent les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Limites :
Numérateur pair, n = -2, -4, -6, ...
à x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

Propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel négatif, où n = -2, -4, -6, ... est un entier négatif pair, m = 3, 5, 7 ... est un entier naturel impair .< p < 1

à x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

La valeur p est positive, inférieure à un, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Portée: -∞ < y < +∞
Significations multiples : Parité:
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non
diminue de façon monotone< 0 : выпукла вниз
Graphique d'une fonction puissance avec exposant rationnel (0
à 0 Points d'inflexion :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
pour x > 0 : convexe vers le bas
diminue de façon monotone< 0, y < 0
Signe:
x = 0, y = 0
;
Limites :
Numérateur impair, n = 1, 3, 5, ...
pour x > 0 : convexe vers le haut
à x = -1, y(-1) = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

Numérateur pair, n = 2, 4, 6, ...

Les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel compris entre 0 sont présentées< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Portée: Cet indicateur peut aussi s'écrire sous la forme : n = 2k, où k = 1, 2, 3, ... - naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.< +∞
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
diminue de façon monotone< 0 : монотонно убывает
pour x > 0 : augmente de façon monotone
augmente de façon monotone minimum à x = 0, y = 0
Non convexe vers le haut pour x ≠ 0
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
pour x > 0 : convexe vers le bas pour x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Limites :
à x = -1, y(-1) = 1
pour x > 0 : convexe vers le haut
à x = -1, y(-1) = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

L'indice p est supérieur à un, p > 1

Graphique d'une fonction puissance avec un exposant rationnel (p > 1) pour différentes valeurs de l'exposant, où m = 3, 5, 7, ... est impair.

Numérateur impair, n = 5, 7, 9, ...

Propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel supérieur à un : .

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Portée: -∞ < y < ∞
Significations multiples : Parité:
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non
Convexe:< x < 0 выпукла вверх
à -∞< x < ∞ выпукла вниз
à 0 Points d'inflexion :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
;
Limites :
Numérateur impair, n = 1, 3, 5, ...
pour x > 0 : convexe vers le haut
à x = -1, y(-1) = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

Où n = 5, 7, 9, ... - naturel impair, m = 3, 5, 7 ... - naturel impair.

Numérateur pair, n = 4, 6, 8, ...

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Portée: Cet indicateur peut aussi s'écrire sous la forme : n = 2k, où k = 1, 2, 3, ... - naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.< ∞
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
diminue de façon monotone< 0 монотонно убывает
Propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel supérieur à un : .
augmente de façon monotone minimum à x = 0, y = 0
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
;
Limites :
à x = -1, y(-1) = 1
pour x > 0 : convexe vers le haut
à x = -1, y(-1) = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

Où n = 4, 6, 8, ... - pair naturel, m = 3, 5, 7 ... - impair naturel.

pour x > 0 augmente de façon monotone

Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est pair

Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire pair : m = 2, 4, 6, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p n'est pas définie pour les valeurs négatives de l'argument. Ses propriétés coïncident avec les propriétés d’une fonction puissance à exposant irrationnel (voir la section suivante).

Fonction puissance avec exposant irrationnel

Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant irrationnel p.< 0

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Les propriétés de ces fonctions diffèrent de celles évoquées ci-dessus en ce sens qu'elles ne sont pas définies pour les valeurs négatives de l'argument x.
Portée: Ci-dessous se trouvent les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
impair, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Extrêmes :
x = 0, y = 0 ;
Pour les valeurs positives de l'argument, les propriétés dépendent uniquement de la valeur de l'exposant p et ne dépendent pas du fait que p soit entier, rationnel ou irrationnel. y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p.

Fonction puissance avec exposant négatif p

x > 0< p < 1

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Signification privée :
Portée: Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
Non Fonction puissance avec exposant positif p > 0
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
Limites : Indicateur inférieur à un 0
y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p.

x ≥ 0

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Signification privée :
Portée: Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
Limites : Indicateur inférieur à un 0
y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p.

y ≥ 0
convexe vers le haut

Pour x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

L'indicateur est supérieur à un p > 1 Littérature utilisée : DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

L'article ci-dessous fournit des éléments clés sur le thème des fonctions élémentaires de base. Nous allons introduire des termes, leur donner des définitions ; Étudions en détail chaque type de fonctions élémentaires et analysons leurs propriétés.

On distingue les types de fonctions élémentaires de base suivants :

Définition 1

fonction constante (constante);
nième racine;
fonction de puissance ;
fonction exponentielle ;
fonction logarithmique ;
fonctions trigonométriques;
fonctions trigonométriques fraternelles.

Une fonction constante est définie par la formule : y = C (C est un certain nombre réel) et a également un nom : constante. Cette fonction détermine la correspondance de toute valeur réelle de la variable indépendante x avec la même valeur de la variable y - la valeur de C.

Le graphique d'une constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par un point de coordonnées (0, C). Pour plus de clarté, nous présentons des graphiques de fonctions constantes y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (indiquées respectivement en noir, rouge et bleu dans le dessin).

Définition 2

Cette fonction élémentaire est définie par la formule y = x n (n est un nombre naturel supérieur à un).

Considérons deux variantes de la fonction.

nième racine, n – nombre pair

Pour plus de clarté, nous indiquons un dessin qui montre des graphiques de telles fonctions : y = x, y = x 4 et y = x8. Ces caractéristiques sont codées par couleur : respectivement noir, rouge et bleu.

Les graphiques d'une fonction de degré pair ont une apparence similaire pour d'autres valeurs de l'exposant.

Définition 3

Propriétés de la nième fonction racine, n est un nombre pair

domaine de définition – l'ensemble de tous les nombres réels non négatifs [ 0 , + ∞) ;
lorsque x = 0, la fonction y = x n a une valeur égale à zéro ;
donné fonction-fonction vue générale(n'est ni pair ni impair) ;
plage : [ 0 , + ∞) ;
cette fonction y = x n avec des exposants racine pairs augmente dans tout le domaine de définition ;
la fonction a une convexité avec une direction ascendante dans tout le domaine de définition ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
le graphique de la fonction pour n pair passe par les points (0 ; 0) et (1 ; 1).

nième racine, n – nombre impair

Une telle fonction est définie sur l’ensemble des nombres réels. Pour plus de clarté, considérons les graphiques des fonctions y = x 3 , y = x 5 et x9. Sur le dessin, ils sont indiqués par des couleurs : noir, rouge et bleu et courbes respectivement.

D'autres valeurs impaires de l'exposant racine de la fonction y = x n donneront un graphique d'un type similaire.

Définition 4

Propriétés de la nième fonction racine, n est un nombre impair

domaine de définition – l'ensemble de tous les nombres réels ;
cette fonction est étrange ;
plage de valeurs – l'ensemble de tous les nombres réels ;
la fonction y = x n pour les exposants racine impairs augmente sur tout le domaine de définition ;
la fonction a une concavité sur l'intervalle (- ∞ ; 0 ] et une convexité sur l'intervalle [ 0 , + ∞) ;
le point d'inflexion a des coordonnées (0 ; 0) ;
il n'y a pas d'asymptote ;
Le graphique de la fonction pour n impair passe par les points (- 1 ; - 1), (0 ; 0) et (1 ; 1).

Fonction d'alimentation

Définition 5

La fonction puissance est définie par la formule y = x a.

L'apparence des graphiques et les propriétés de la fonction dépendent de la valeur de l'exposant.

lorsqu'une fonction puissance a un exposant entier a, alors le type de graphique de la fonction puissance et ses propriétés dépendent du fait que l'exposant soit pair ou impair, ainsi que du signe de l'exposant. Examinons tous ces cas particuliers plus en détail ci-dessous ;
l'exposant peut être fractionnaire ou irrationnel - en fonction de cela, le type de graphiques et les propriétés de la fonction varient également. Nous analyserons des cas particuliers en posant plusieurs conditions : 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
une fonction puissance peut avoir un exposant nul ; nous analyserons également ce cas plus en détail ci-dessous.

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque a est un nombre positif impair, par exemple a = 1, 3, 5...

Pour plus de clarté, nous indiquons les graphiques de telles fonctions puissance : y = x (couleur graphique noir), y = x 3 (couleur bleue du graphique), y = x 5 (couleur rouge du graphique), y = x 7 (couleur graphique vert). Lorsque a = 1, on obtient la fonction linéaire y = x.

Définition 6

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est impair positif

la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
la fonction a une convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] et une concavité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) (hors fonction linéaire) ;
le point d'inflexion a des coordonnées (0 ; 0) (hors fonction linéaire) ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque a est un nombre pair positif, par exemple a = 2, 4, 6...

Pour plus de clarté, nous indiquons les graphiques de ces fonctions de puissance : y = x 2 (couleur graphique noir), y = x 4 (couleur bleue du graphique), y = x 8 (couleur rouge du graphique). Lorsque a = 2, on obtient une fonction quadratique dont le graphique est une parabole quadratique.

Définition 7

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est même positif :

domaine de définition : x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
décroissant pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
la fonction a une concavité pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de fonction de puissance y = x a lorsque a est un nombre négatif impair : y = x - 9 (couleur graphique noir) ; y = x - 5 (couleur bleue du graphique) ; y = x - 3 (couleur rouge du graphique) ; y = x - 1 (couleur graphique vert). Lorsque a = - 1, on obtient une proportionnalité inverse dont le graphique est une hyperbole.

Définition 8

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est impair négatif :

Lorsque x = 0, on obtient une discontinuité de seconde espèce, puisque lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pour a = - 1, - 3, - 5, …. Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

plage : y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
la fonction est impaire car y (- x) = - y (x) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
la fonction a une convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0) et une concavité pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, quand a = - 1, - 3, - 5, . . . .

points de passage de la fonction : (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de la fonction puissance y = x a lorsque a est un nombre pair négatif : y = x - 8 (couleur graphique noir) ; y = x - 4 (couleur bleue du graphique) ; y = x - 2 (couleur rouge du graphique).

Définition 9

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est pair négatif :

domaine de définition : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Lorsque x = 0, on obtient une discontinuité de seconde espèce, puisque lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pour a = - 2, - 4, - 6, …. Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

la fonction est paire car y(-x) = y(x);
la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; 0) et décroissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction a une concavité en x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0, car :

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quand a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

points de passage de la fonction : (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Dès le début, faites attention à l'aspect suivant : dans le cas où a est une fraction positive de dénominateur impair, certains auteurs prennent l'intervalle - ∞ comme domaine de définition de cette fonction puissance ; + ∞ , stipulant que l'exposant a est une fraction irréductible. À l'heure actuelle, les auteurs de nombreuses publications pédagogiques sur l'algèbre et les principes d'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance, où l'exposant est une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. De plus, nous respecterons exactement cette position : nous prendrons l'ensemble [ 0 ; + ∞) . Recommandation aux étudiants : renseignez-vous sur l’avis de l’enseignant sur ce point afin d’éviter les désaccords.

Alors, regardons la fonction puissance y = x a , lorsque l'exposant est un nombre rationnel ou irrationnel, à condition que 0< a < 1 .

Illustrons les fonctions puissance avec des graphiques y = x a lorsque a = 11 12 (couleur graphique noir) ; a = 5 7 (couleur rouge du graphique) ; a = 1 3 (couleur bleue du graphique) ; a = 2 5 (couleur verte du graphique).

Autres valeurs de l'exposant a (à condition de 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Définition 10

Propriétés de la fonction puissance à 0< a < 1:

plage : y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction est croissante pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction est convexe pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque l'exposant est un nombre rationnel ou irrationnel non entier, à condition que a > 1.

Illustrons avec des graphiques la fonction puissance y = x a dans des conditions données en utilisant les fonctions suivantes comme exemple : y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (graphiques noir, rouge, bleu, vert, respectivement).

D'autres valeurs de l'exposant a, à condition que a > 1, donneront un graphique similaire.

Définition 11

Propriétés de la fonction puissance pour a > 1 :

domaine de définition : x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
plage : y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction est croissante pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction a une concavité pour x ∈ (0 ; + ∞) (quand 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Attention ! Lorsque a est une fraction négative avec un dénominateur impair, dans les travaux de certains auteurs, il existe une opinion selon laquelle le domaine de définition dans ce cas est l'intervalle - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) avec la mise en garde que l'exposant a est une fraction irréductible. Actuellement les auteurs matériel pédagogique en algèbre et principes d'analyse, les fonctions puissance avec un exposant sous forme de fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument ne sont PAS DÉTERMINÉES. De plus, nous adhérons exactement à ce point de vue : nous prenons l’ensemble (0 ; + ∞) comme domaine de définition des fonctions puissance à exposants fractionnaires négatifs. Recommandation aux étudiants : Clarifiez la vision de votre professeur à ce stade pour éviter les désaccords.

Continuons le sujet et analysons la fonction puissance y = x a à condition : - 1< a < 0 .

Présentons un dessin de graphiques des fonctions suivantes : y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (couleur noir, rouge, bleu, vert de les lignes, respectivement).

Définition 12

Propriétés de la fonction puissance à - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quand - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

plage : y ∈ 0 ; + ∞ ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;

Le dessin ci-dessous montre des graphiques des fonctions puissance y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (noir, rouge, bleu, couleurs vertes courbes respectivement).

Définition 13

Propriétés de la fonction puissance pour un< - 1:

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quand a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction a une concavité pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – ligne droite y = 0 ;
point de passage de la fonction : (1 ; 1) .

Lorsque a = 0 et x ≠ 0, on obtient la fonction y = x 0 = 1, qui définit la droite dont le point (0 ; 1) est exclu (il a été convenu que l'expression 0 0 n'aura aucun sens ).

La fonction exponentielle a la forme y = a x, où a > 0 et a ≠ 1, et le graphique de cette fonction semble différent en fonction de la valeur de la base a. Considérons des cas particuliers.

Tout d'abord, regardons la situation où la base de la fonction exponentielle a une valeur de zéro à un (0< a < 1) . Un bon exemple sont les graphiques des fonctions pour a = 1 2 (couleur bleue de la courbe) et a = 5 6 (couleur rouge de la courbe).

Les graphiques de la fonction exponentielle auront une apparence similaire pour les autres valeurs de la base sous la condition 0< a < 1 .

Définition 14

Propriétés de la fonction exponentielle lorsque la base est inférieure à un :

plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
une fonction exponentielle dont la base est inférieure à un est décroissante sur tout le domaine de définition ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0 avec variable x tendant vers + ∞ ;

Considérons maintenant le cas où la base de la fonction exponentielle est supérieure à un (a > 1).

Illustrons ce cas particulier avec un graphique de fonctions exponentielles y = 3 2 x (couleur bleue de la courbe) et y = e x (couleur rouge du graphique).

D'autres valeurs de la base, des unités plus grandes, donneront un aspect similaire au graphique de la fonction exponentielle.

Définition 15

Propriétés de la fonction exponentielle lorsque la base est supérieure à un :

domaine de définition – l'ensemble des nombres réels ;
plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
une fonction exponentielle dont la base est supérieure à un augmente à mesure que x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
la fonction a une concavité en x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0 avec variable x tendant vers - ∞ ;
point de passage de la fonction : (0 ; 1) .

La fonction logarithmique a la forme y = log a (x), où a > 0, a ≠ 1.

Une telle fonction n'est définie que pour les valeurs positives de l'argument : pour x ∈ 0 ; + ∞ .

Le graphique d'une fonction logarithmique a genre différent, basé sur la valeur de la base a.

Considérons d'abord la situation où 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

D'autres valeurs de base, et non des unités plus grandes, donneront un type de graphique similaire.

Définition 16

Propriétés d'une fonction logarithmique lorsque la base est inférieure à un :

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ . Comme x tend vers zéro à partir de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers +∞ ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
logarithmique
la fonction a une concavité pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;

Regardons maintenant le cas particulier où la base de la fonction logarithmique est supérieure à un : a > 1 . Le dessin ci-dessous montre des graphiques des fonctions logarithmiques y = log 3 2 x et y = ln x (couleurs bleue et rouge des graphiques, respectivement).

D'autres valeurs de base supérieures à un donneront un type de graphique similaire.

Définition 17

Propriétés d'une fonction logarithmique lorsque la base est supérieure à un :

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ . Comme x tend vers zéro à partir de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers - ∞ ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ (l'ensemble des nombres réels) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction logarithmique est croissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction est convexe pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
point de passage de la fonction : (1 ; 0) .

Les fonctions trigonométriques sont sinus, cosinus, tangente et cotangente. Regardons les propriétés de chacun d'eux et les graphiques correspondants.

En général, toutes les fonctions trigonométriques sont caractérisées par la propriété de périodicité, c'est-à-dire lorsque les valeurs des fonctions sont répétées pour différentes valeurs de l'argument, différant les unes des autres par la période f (x + T) = f (x) (T est la période). Ainsi, l'item « plus petite période positive » est ajouté à la liste des propriétés des fonctions trigonométriques. De plus, nous indiquerons les valeurs de l'argument pour lesquelles la fonction correspondante devient nulle.

Fonction sinus : y = sin(x)

Le graphique de cette fonction est appelé onde sinusoïdale.

Définition 18

Propriétés de la fonction sinus :

domaine de définition : l'ensemble des nombres réels x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
la fonction disparaît lorsque x = π · k, où k ∈ Z (Z est l'ensemble des nombres entiers) ;
la fonction est croissante pour x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z et décroissant pour x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ;
la fonction sinusoïdale a des maxima locaux aux points π 2 + 2 π · k ; 1 et minima locaux aux points - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈Z;
la fonction sinus est concave lorsque x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z et convexe lorsque x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z ;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction cosinus : y = cos(x)

Le graphique de cette fonction est appelé une onde cosinusoïdale.

Définition 19

Propriétés de la fonction cosinus :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plus petite période positive : T = 2 π ;
plage de valeurs : y ∈ - 1 ; 1 ;
cette fonction est paire, puisque y (- x) = y (x) ;
la fonction est croissante pour x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z et décroissant pour x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z ;
la fonction cosinus a des maxima locaux aux points 2 π · k ; 1, k ∈ Z et minima locaux aux points π + 2 π · k ; - 1, k ∈z;
la fonction cosinus est concave lorsque x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z et convexe lorsque x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈Z
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction tangente : y = t g (x)

Le graphique de cette fonction s'appelle tangente.

Définition 20

Propriétés de la fonction tangente :

domaine de définition : x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, où k ∈ Z (Z est l'ensemble des nombres entiers) ;
Comportement de la fonction tangente sur la frontière du domaine de définition lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Ainsi, les droites x = π 2 + π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;
la fonction disparaît lorsque x = π · k pour k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction augmente comme - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z ;
la fonction tangente est concave pour x ∈ [π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z et convexe pour x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Fonction cotangente : y = c t g (x)

Le graphique de cette fonction est appelé cotangentoïde. .

Définition 21

Propriétés de la fonction cotangente :

domaine de définition : x ∈ (π · k ; π + π · k) , où k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;

Comportement de la fonction cotangente sur la frontière du domaine de définition lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Ainsi, les droites x = π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;

plus petite période positive : T = π ;
la fonction disparaît lorsque x = π 2 + π · k pour k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z ;
la fonction cotangente est concave pour x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z et convexe pour x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
Il n’y a pas d’asymptote oblique ou horizontale.

Les fonctions trigonométriques inverses sont l'arc sinus, l'arc cosinus, l'arc tangente et l'arc cotangente. Souvent, en raison de la présence du préfixe « arc » dans le nom, les fonctions trigonométriques inverses sont appelées fonctions d'arc. .

Fonction arc sinus : y = a r c sin (x)

Définition 22

Propriétés de la fonction arc sinus :

cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction arc sinus a une concavité en x ∈ 0 ; 1 et convexité pour x ∈ - 1 ; 0 ;
les points d'inflexion ont des coordonnées (0 ; 0), qui sont également le zéro de la fonction ;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction arc cosinus : y = a r c cos (x)

Définition 23

Propriétés de la fonction arc cosinus :

domaine de définition : x ∈ - 1 ; 1 ;
plage : y ∈ 0 ; π ;
cette fonction est de forme générale (ni paire, ni impaire) ;
la fonction est décroissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arc cosinus a une concavité en x ∈ - 1 ; 0 et convexité pour x ∈ 0 ; 1 ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées 0 ; π2;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction arctangente : y = a r c t g (x)

Définition 24

Propriétés de la fonction arctangente :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plage de valeurs : y ∈ - π 2 ; π2;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction est croissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arctangente a une concavité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] et une convexité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
le point d'inflexion a pour coordonnées (0 ; 0), qui est aussi le zéro de la fonction ;
les asymptotes horizontales sont des droites y = - π 2 comme x → - ∞ et y = π 2 comme x → + ∞ (sur la figure, les asymptotes sont des lignes vertes).

Fonction arc tangente : y = a r c c t g (x)

Définition 25

Propriétés de la fonction arccotangente :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plage : y ∈ (0; π) ;
cette fonction est d'une forme générale ;
la fonction est décroissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arc cotangente a une concavité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) et convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
le point d'inflexion a pour coordonnées 0 ; π2;
les asymptotes horizontales sont des droites y = π en x → - ∞ (ligne verte sur le dessin) et y = 0 en x → + ∞.

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10e année

FONCTION DE PUISSANCE

Pouvoir appeléfonction donnée par la formuleOù, p – un nombre réel.

je . Indicateur- un nombre naturel pair. Alors la fonction puissance Oùn

D ( oui )= (−; +).

2) La plage de valeurs d'une fonction est un ensemble de nombres non négatifs, si :

ensemble de nombres non positifs si :

3) ) . Donc la fonctionOy .

4) Si, alors la fonction diminue à mesure queX (- ; 0] et augmente avecX et diminue àX \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graphique (Fig.2).

Figure 2. Graphique de la fonction $f\left(x\right)=x^(2n)$

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant impair naturel

Le domaine de définition est constitué de tous les nombres réels.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- la fonction est impaire.

$f(x)$ est continu sur tout le domaine de définition.

La plage est constituée de nombres réels.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

La fonction augmente sur tout le domaine de définition.

$f\left(x\right)0$, pour $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \gauche(2n-1\droite)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

La fonction est concave pour $x\in (-\infty ,0)$ et convexe pour $x\in (0,+\infty)$.

Graphique (Fig. 3).

Figure 3. Graphique de la fonction $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fonction puissance avec exposant entier

Commençons par introduire le concept de degré avec un exposant entier.

Définition 3

La puissance d'un nombre réel $a$ d'exposant entier $n$ est déterminée par la formule :

Graphique 4.

Considérons maintenant une fonction puissance avec un exposant entier, ses propriétés et son graphique.

Définition 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ est appelé une fonction puissance avec un exposant entier.

Si le degré est supérieur à zéro, on arrive alors au cas d'une fonction puissance avec un exposant naturel. Nous en avons déjà parlé ci-dessus. Pour $n=0$ nous obtenons une fonction linéaire $y=1$. Nous laisserons sa réflexion au lecteur. Il reste à considérer les propriétés d'une fonction puissance avec un exposant entier négatif

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant entier négatif

Le domaine de définition est $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Si l'exposant est pair, alors la fonction est paire ; s'il est impair, alors la fonction est impaire.

$f(x)$ est continu sur tout le domaine de définition.

Portée:

Si l'exposant est pair, alors $(0,+\infty)$ ; s'il est impair, alors $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Pour un exposant impair, la fonction décroît comme $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Si l'exposant est pair, la fonction décroît comme $x\in (0,+\infty)$. et augmente comme $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ sur tout le domaine de définition

Connaissez-vous les fonctions y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x etc. Toutes ces fonctions sont des cas particuliers de la fonction puissance, c'est à dire la fonction y=xp, où p est un nombre réel donné.
Les propriétés et le graphique d'une fonction puissance dépendent significativement des propriétés d'une puissance à exposant réel, et notamment des valeurs pour lesquelles x Et p le diplôme a du sens x p. Procédons à un examen similaire de divers cas selon
exposant p.

Indicateur p=2n-un nombre naturel pair.

y=x2n, Où n- un nombre naturel, a la forme suivante

propriétés:

domaine de définition - tous les nombres réels, c'est-à-dire l'ensemble R ;
ensemble de valeurs - nombres non négatifs, c'est-à-dire y est supérieur ou égal à 0 ;
fonction y=x2n même, parce que x2n=(- x)2n
la fonction est décroissante sur l'intervalle x<0 et augmentant sur l'intervalle x>0.

Graphique d'une fonction y=x2n a la même forme que, par exemple, le graphique d'une fonction y = x 4.

2. Indicateur p=2n-1- nombre naturel impair
Dans ce cas, la fonction puissance y=x2n-1, où est un nombre naturel, a les propriétés suivantes :

domaine de définition - ensemble R ;
ensemble de valeurs - définir R ;
fonction y=x2n-1étrange, puisque (- x) 2n-1=x2n-1 ;
la fonction est croissante sur tout l'axe réel.

Graphique d'une fonction y = x 2n-1 a la même forme que, par exemple, le graphe de la fonction y = x 3 .

3.Indicateur p=-2n, Où n- nombre naturel.

Dans ce cas, la fonction puissance y=x -2n =1/x2n a les propriétés suivantes :

domaine de définition - définir R, sauf x=0 ;
ensemble de valeurs - nombres positifs y>0 ;
fonction y =1/x2n même, parce que 1/(-x)2n=1/x2n;
la fonction est croissante sur l'intervalle x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Graphique de la fonction y =1/x2n a la même forme que, par exemple, le graphique de la fonction y =1/x2.