Formule pour calculer la longueur d'un arc de cercle. Cercle. Angle central et inscrit

Le cercle, ses parties, leurs tailles et leurs relations sont des choses auxquelles un bijoutier est constamment confronté. Bagues, bracelets, castes, tubes, boules, spirales - il faut fabriquer beaucoup de choses rondes. Comment calculer tout cela, surtout si vous avez eu la chance de sauter les cours de géométrie à l'école ?

Voyons d'abord quelles sont les parties d'un cercle et comment elles s'appellent.

• Un cercle est une ligne qui entoure un cercle.
• Un arc est une partie d'un cercle.
• Le rayon est un segment reliant le centre d'un cercle à n'importe quel point du cercle.
• Une corde est un segment reliant deux points sur un cercle.
• Un segment est une partie d'un cercle délimité par une corde et un arc.
• Un secteur est une partie d'un cercle délimité par deux rayons et un arc.

Les quantités qui nous intéressent et leurs désignations :

Voyons maintenant quels problèmes liés aux parties d'un cercle doivent être résolus.

• Trouvez la longueur du développement de n'importe quelle partie de la bague (bracelet). Étant donné le diamètre et la corde (option : diamètre et angle au centre), trouvez la longueur de l'arc.
• Il y a un dessin sur un plan, il faut connaître sa taille en projection après l'avoir plié en arc de cercle. Étant donné la longueur et le diamètre de l’arc, trouvez la longueur de la corde.
• Découvrez la hauteur de la pièce obtenue en pliant une pièce plate en arc de cercle. Options de données sources : longueur et diamètre de l'arc, longueur de l'arc et corde ; trouver la hauteur du segment.

La vie vous donnera d'autres exemples, mais je ne les ai donnés que pour montrer la nécessité de définir deux paramètres pour trouver tous les autres. C'est ce que nous ferons. A savoir, nous prendrons cinq paramètres du segment : D, L, X, φ et H. Ensuite, en choisissant parmi eux toutes les paires possibles, nous les considérerons comme des données initiales et trouverons tout le reste par brainstorming.

Afin de ne pas alourdir inutilement le lecteur, je ne donnerai pas de solutions détaillées, mais présenterai uniquement les résultats sous forme de formules (les cas où il n'y a pas de solution formelle, j'en discuterai en cours de route).

Et encore une remarque : à propos des unités de mesure. Toutes les grandeurs, à l'exception de l'angle au centre, sont mesurées dans les mêmes unités abstraites. Cela signifie que si, par exemple, vous spécifiez une valeur en millimètres, l'autre n'a pas besoin d'être spécifiée en centimètres et les valeurs résultantes seront mesurées dans les mêmes millimètres (et les surfaces en millimètres carrés). La même chose peut être dite pour les pouces, les pieds et les milles marins.

Et seul l’angle au centre est dans tous les cas mesuré en degrés et rien d’autre. Parce que, en règle générale, les personnes qui conçoivent quelque chose de rond n’ont pas tendance à mesurer les angles en radians. L'expression « angle pi de quatre » en confond beaucoup, tandis que « angle de quarante-cinq degrés » est compréhensible pour tout le monde, puisqu'il n'est que de cinq degrés plus élevé que la normale. Cependant, dans toutes les formules, il y aura un angle supplémentaire - α - présent comme valeur intermédiaire. En termes de sens, il s'agit de la moitié de l'angle central, mesuré en radians, mais vous ne pouvez pas approfondir cette signification en toute sécurité.

1. Étant donné le diamètre D et la longueur de l'arc L

; longueur de corde ;
hauteur des segments ; angle central .

2. Étant donné le diamètre D et la longueur de corde X

; longueur de l'arc ;
hauteur des segments ; angle central .

Puisque la corde divise le cercle en deux segments, ce problème n’a pas une, mais deux solutions. Pour obtenir le second, vous devez remplacer l'angle α dans les formules ci-dessus par l'angle .

3. Étant donné le diamètre D et l'angle au centre φ

; longueur de l'arc ;
longueur de corde ; hauteur des segments .

4. Étant donné le diamètre D et la hauteur du segment H

; longueur de l'arc ;
longueur de corde ; angle central .

6. Compte tenu de la longueur de l'arc L et de l'angle au centre φ

; diamètre ;
longueur de corde ; hauteur des segments .

8. Étant donné la longueur de corde X et l'angle au centre φ

; longueur de l'arc ;
diamètre ; hauteur des segments .

9. Étant donné la longueur de la corde X et la hauteur du segment H

; longueur de l'arc ;
diamètre ; angle central .

10. Étant donné l'angle au centre φ et la hauteur du segment H

; diamètre ;
longueur de l'arc ; longueur de corde .

Le lecteur attentif n'a pu s'empêcher de remarquer que j'ai raté deux options :

5. Compte tenu de la longueur de l'arc L et de la longueur de la corde X

7. Étant donné la longueur de l'arc L et la hauteur du segment H

Ce ne sont que ces deux cas désagréables où le problème n’a pas de solution qui pourrait être écrite sous la forme d’une formule. Et la tâche n’est pas si rare. Par exemple, vous avez un morceau plat de longueur L et vous souhaitez le plier pour que sa longueur devienne X (ou que sa hauteur devienne H). Quel diamètre dois-je prendre le mandrin (crossbar) ?

Ce problème revient à résoudre les équations :
; - dans l'option 5
; - dans l'option 7
et bien qu’ils ne puissent pas être résolus analytiquement, ils peuvent être facilement résolus par programmation. Et je sais même où se procurer un tel programme : sur ce même site, sous le nom . Tout ce que je vous raconte ici en détail, elle le fait en microsecondes.

Pour compléter le tableau, ajoutons aux résultats de nos calculs la circonférence et trois valeurs d'aire - cercle, secteur et segment. (Les surfaces nous aideront beaucoup lors du calcul de la masse de toutes les pièces rondes et semi-circulaires, mais nous en parlerons plus à ce sujet dans un article séparé.) Toutes ces quantités sont calculées à l'aide des mêmes formules :

circonférence;
aire d'un cercle ;
zone de secteur ;
zone de segmentation ;

Et en conclusion, permettez-moi de vous rappeler encore une fois l'existence d'absolument programme gratuit, qui effectue tous les calculs ci-dessus, vous évitant ainsi d'avoir à vous rappeler ce qu'est une arctangente et où la chercher.

Dans quelle mesure vous souvenez-vous de tous les noms associés au cercle ? Au cas où, rappelons-le - regardez les photos - rafraîchissez vos connaissances.

Eh bien, tout d'abord - Le centre d'un cercle est un point à partir duquel les distances de tous les points du cercle sont les mêmes.

Deuxièmement - rayon - un segment de droite reliant le centre et un point du cercle.

Il y a beaucoup de rayons (autant qu'il y a de points sur le cercle), mais Tous les rayons ont la même longueur.

Parfois pour faire court rayon ils l'appellent exactement longueur du segment« le centre est un point du cercle » et non le segment lui-même.

Et voici ce qui se passe si vous connectez deux points sur un cercle? Également un segment ?

Ce segment s’appelle donc "accord".

Tout comme dans le cas du rayon, le diamètre est souvent la longueur d'un segment reliant deux points d'un cercle et passant par le centre. Au fait, quel est le rapport entre le diamètre et le rayon ? Regardez attentivement. Bien sûr le rayon est égal à la moitié du diamètre.

En plus des accords, il y a aussi sécantes.

Vous vous souvenez de la chose la plus simple ?

L'angle au centre est l'angle entre deux rayons.

Et maintenant - l'angle inscrit

Angle inscrit - l'angle entre deux cordes qui se coupent en un point d'un cercle.

Dans ce cas, on dit que l'angle inscrit repose sur un arc (ou sur une corde).

Regardez la photo :

Mesures d'arcs et d'angles.

Circonférence. Les arcs et les angles sont mesurés en degrés et en radians. Tout d’abord, à propos des diplômes. Il n'y a aucun problème pour les angles - vous devez apprendre à mesurer l'arc en degrés.

La mesure en degrés (taille de l'arc) est la valeur (en degrés) de l'angle central correspondant

Que signifie ici le mot « approprié » ? Regardons attentivement :

Voyez-vous deux arcs et deux angles centraux ? Eh bien, un arc plus grand correspond à un angle plus grand (et ce n’est pas grave s’il est plus grand), et un arc plus petit correspond à un angle plus petit.

Nous sommes donc d’accord : l’arc contient le même nombre de degrés que l’angle au centre correspondant.

Et maintenant, parlons de ce qui fait peur : les radians !

Quel genre de bête est ce « radian » ?

Imaginer: Les radians sont une façon de mesurer les angles... en rayons !

Un angle en radians est un angle au centre dont la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle.

Alors la question se pose : combien y a-t-il de radians dans un angle droit ?

En d’autres termes : combien de rayons « tiennent » dans un demi-cercle ? Ou d'une autre manière : combien de fois la longueur d'un demi-cercle est-elle supérieure au rayon ?

Les scientifiques ont posé cette question dès la Grèce antique.

Et ainsi, après une longue recherche, ils ont découvert que le rapport entre la circonférence et le rayon ne voulait pas être exprimé en nombres « humains » comme, etc.

Et il n’est même pas possible d’exprimer cette attitude à travers les racines. Autrement dit, il s'avère qu'il est impossible de dire qu'un demi-cercle est plusieurs fois ou plusieurs fois plus grand que le rayon ! Pouvez-vous imaginer à quel point c'était incroyable pour les gens de découvrir cela pour la première fois ?! Pour le rapport entre la longueur d'un demi-cercle et le rayon, les nombres « normaux » n'étaient pas suffisants. J'ai dû saisir une lettre.

Donc, c'est un nombre exprimant le rapport entre la longueur du demi-cercle et le rayon.

Nous pouvons maintenant répondre à la question : combien y a-t-il de radians dans un angle droit ? Il contient des radians. Précisément parce que la moitié du cercle est plusieurs fois plus grande que le rayon.

Des peuples anciens (et moins anciens) à travers les siècles (!) a essayé de calculer plus précisément ce nombre mystérieux, de mieux l'exprimer (au moins approximativement) à travers des nombres « ordinaires ». Et maintenant, nous sommes incroyablement paresseux - deux signes après une journée bien remplie nous suffisent, nous avons l'habitude de

Pensez-y, cela signifie, par exemple, que la longueur d'un cercle de rayon un est à peu près égale, mais cette longueur exacte est tout simplement impossible à écrire avec un nombre « humain » - vous avez besoin d'une lettre. Et puis cette circonférence sera égale. Et bien sûr, la circonférence du rayon est égale.

Revenons aux radians.

Nous avons déjà découvert qu'un angle droit contient des radians.

Ce que nous avons :

Cela signifie que je suis content, c'est-à-dire que je suis content. De la même manière, on obtient une plaque avec les angles les plus populaires.

La relation entre les valeurs des angles inscrits et centraux.

Il y a un fait étonnant :

L'angle inscrit est la moitié de la taille de l'angle central correspondant.

Regardez à quoi ressemble cette déclaration sur l’image. Un angle central « correspondant » est un angle dont les extrémités coïncident avec les extrémités de l’angle inscrit et dont le sommet est au centre. Et en même temps, l'angle central « correspondant » doit « regarder » la même corde () que l'angle inscrit.

Pourquoi est-ce ainsi ? Examinons d'abord un cas simple. Laissez l'un des accords passer par le centre. Ça arrive comme ça parfois, non ?

Que se passe-t-il ici ? Considérons. Il est isocèle - après tout, et - rayons. Alors, (les a étiquetés).

Maintenant, regardons. C'est le coin extérieur pour ! On rappelle qu'un angle extérieur est égal à la somme de deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents, et écrivons :

C'est! Effet inattendu. Mais il y a aussi un angle central pour l’inscrit.

Cela signifie que dans ce cas, ils ont prouvé que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit. Mais c’est un cas douloureusement particulier : n’est-il pas vrai que l’accord ne passe pas toujours directement par le centre ? Mais ce n’est pas grave, maintenant ce cas particulier va beaucoup nous aider. Regardez : deuxième cas : laissez le centre se trouver à l'intérieur.

Faisons ceci : dessinez le diamètre. Et puis... nous voyons deux images qui ont déjà été analysées dans le premier cas. Donc nous l'avons déjà

Cela signifie (sur le dessin, a)

Bon, cela laisse le dernier cas : le centre est à l’extérieur du coin.

Nous faisons la même chose : dessinons le diamètre passant par la pointe. Tout est pareil, mais au lieu d’une somme, il y a une différence.

C'est ça!

Tirons maintenant deux conséquences principales et très importantes de l'affirmation selon laquelle l'angle inscrit est la moitié de l'angle central.

Corollaire 1

Tous les angles inscrits basés sur un arc sont égaux les uns aux autres.

Nous illustrons :

Il existe d'innombrables angles inscrits basés sur le même arc (nous avons cet arc), ils peuvent paraître complètement différents, mais ils ont tous le même angle central (), ce qui signifie que tous ces angles inscrits sont égaux entre eux.

Corollaire 2

L'angle sous-tendu par le diamètre est un angle droit.

Regardez : quel angle est central ?

Certainement, . Mais il est égal ! Eh bien, donc (ainsi que de nombreux autres angles inscrits reposant sur) et est égal.

Angle entre deux cordes et sécantes

Mais que se passe-t-il si l'angle qui nous intéresse n'est PAS inscrit ni central, mais, par exemple, comme ceci :

ou comme ça ?

Est-il possible de l’exprimer d’une manière ou d’une autre à travers certains angles centraux ? Il s'avère que c'est possible. Regardez : nous sommes intéressés.

a) (comme coin extérieur pour). Mais - inscrit, repose sur l'arc -. - inscrit, repose sur l'arc - .

Pour la beauté, ils disent :

L'angle entre les cordes est égal à la moitié de la somme des valeurs angulaires des arcs compris dans cet angle.

Ils écrivent ceci par souci de concision, mais bien sûr, lorsque vous utilisez cette formule, vous devez garder à l'esprit les angles centraux.

b) Et maintenant - « dehors » ! Comment est-ce possible ? Oui, presque pareil ! Seulement maintenant (encore une fois, nous appliquons la propriété de l'angle externe pour). C'est maintenant.

Et ça veut dire... Apportons beauté et brièveté aux notes et au libellé :

L'angle entre les sécantes est égal à la moitié de la différence des valeurs angulaires des arcs compris dans cet angle.

Eh bien, vous disposez désormais de toutes les connaissances de base sur les angles liés à un cercle. Allez-y, relevez les défis !

CERCLE ET ANGLE INSINALÉ. NIVEAU MOYEN

Même un enfant de cinq ans sait ce qu'est un cercle, n'est-ce pas ? Les mathématiciens, comme toujours, ont une définition abstruse à ce sujet, mais nous ne la donnerons pas (voir), mais rappelons plutôt comment s'appellent les points, les droites et les angles associés à un cercle.

Conditions importantes

Eh bien, tout d'abord :

centre du cercle- un point dont tous les points du cercle sont à la même distance.

Deuxièmement:

Il existe une autre expression acceptée : « la corde contracte l’arc ». Ici, sur la figure, par exemple, la corde sous-tend l'arc. Et si une corde passe soudainement par le centre, alors elle porte un nom spécial : « diamètre ».

Au fait, quel est le rapport entre le diamètre et le rayon ? Regardez attentivement. Bien sûr

Et maintenant – les noms des coins.

Naturel, n'est-ce pas ? Les côtés de l’angle s’étendent à partir du centre, ce qui signifie que l’angle est central.

C'est là que des difficultés surgissent parfois. Faites attention - AUCUN angle à l’intérieur d’un cercle n’est inscrit, mais seulement un dont le sommet « repose » sur le cercle lui-même.

Voyons la différence sur les photos :

Une autre façon de dire :

Il y a ici un point délicat. Quel est l’angle central « correspondant » ou « propre » ? Juste un angle avec le sommet au centre du cercle et les extrémités aux extrémités de l'arc ? Pas vraiment. Regardez le dessin.

Cependant, l’un d’eux ne ressemble même pas à un coin : il est plus grand. Mais un triangle ne peut pas avoir plus d’angles, mais un cercle le peut très bien ! Donc : le plus petit arc AB correspond à un angle plus petit (orange), et le plus grand arc correspond à un plus grand. Juste comme ça, n'est-ce pas ?

La relation entre les grandeurs des angles inscrit et central

Souvenez-vous de cette déclaration très importante :

Dans les manuels scolaires, ils aiment écrire ce même fait comme ceci :

N'est-il pas vrai que la formulation est plus simple avec un angle central ?

Mais quand même, trouvons une correspondance entre les deux formulations, et apprenons en même temps à retrouver dans les dessins l'angle central « correspondant » et l'arc sur lequel « repose » l'angle inscrit.

Regardez : voici un cercle et un angle inscrit :

Où est son angle central « correspondant » ?

Regardons à nouveau :

Quelle est la règle ?

Mais! Dans ce cas, il est important que les angles inscrits et centraux « regardent » l'arc d'un côté. Ici par exemple :

Bizarrement, le bleu ! Parce que l’arc est long, plus long que la moitié du cercle ! Alors ne vous trompez jamais !

Quelle conséquence peut-on déduire de la « moitié » de l’angle inscrit ?

Mais par exemple :

Angle sous-tendu par diamètre

Avez-vous déjà remarqué que les mathématiciens aiment parler de la même chose avec des mots différents ? Pourquoi ont-ils besoin de ça ? Vous voyez, le langage mathématique, bien que formel, est vivant et donc, comme dans le langage ordinaire, vous voulez à chaque fois le dire d'une manière plus pratique. Eh bien, nous avons déjà vu ce que signifie « un angle repose sur un arc ». Et imaginez, la même image s’appelle « un angle repose sur une corde ». Lequel? Oui, bien sûr, à celui qui resserre cet arc !

Quand est-il plus pratique de s'appuyer sur une corde que sur un arc ?

Eh bien, en particulier lorsque cette corde est un diamètre.

Il existe une déclaration étonnamment simple, belle et utile pour une telle situation !

Regardez : voici le cercle, le diamètre et l'angle qui repose dessus.

CERCLE ET ANGLE INSINALÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

1. Concepts de base.

3. Mesures des arcs et des angles.

Un angle en radians est un angle au centre dont la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle.

C'est un nombre qui exprime le rapport entre la longueur d'un demi-cercle et son rayon.

La circonférence du rayon est égale à.

4. La relation entre les valeurs des angles inscrits et centraux.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

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La partie d'une figure qui forme un cercle dont les points sont équidistants est appelée un arc. Si nous dessinons des rayons depuis le centre du cercle jusqu'aux points coïncidant avec les extrémités de l'arc, son angle central sera formé.

Détermination de la longueur de l'arc

Produit selon la formule suivante :

où L est la longueur d'arc souhaitée, π = 3,14, r est le rayon du cercle, α est l'angle au centre.

L

3,14 x 10 x 85

14,82

Répondre:

La longueur de l'arc de cercle est de 14,82 centimètres.

En géométrie élémentaire, un arc est compris comme un sous-ensemble d'un cercle situé entre deux points situés sur celui-ci. En pratique, résoudre des problèmes dans définition son longueur les ingénieurs et les architectes doivent le faire assez souvent, car cet élément géométrique est répandu dans une grande variété de conceptions.

Les premiers à affronter cette tâche furent peut-être les architectes antiques, qui devaient d'une manière ou d'une autre déterminer ce paramètre pour la construction de voûtes, largement utilisées pour combler les espaces entre les supports dans les bâtiments ronds, polygonaux ou elliptiques. Si vous examinez de près les chefs-d'œuvre de l'architecture grecque antique, romaine et surtout arabe qui ont survécu jusqu'à nos jours, vous remarquerez que les arcs et les voûtes sont extrêmement courants dans leurs conceptions. Les créations des architectes modernes n’en sont pas si riches, mais ces éléments géométriques y sont bien entendu présents.

Longueur divers arc doit être calculé lors de la construction d'une automobile et chemins de fer, ainsi que les autodromes, et dans de nombreux cas, la sécurité routière dépend en grande partie de l'exactitude et de la précision des calculs. Le fait est que de nombreux virages d'autoroutes, d'un point de vue géométrique, sont précisément des arcs et qu'à mesure qu'ils se déplacent le long d'eux, diverses forces physiques agissent sur les véhicules. Les paramètres de leur résultante sont largement déterminés par la longueur de l'arc, ainsi que par son angle central et son rayon.

Les concepteurs de machines et de mécanismes doivent calculer les longueurs des différents arcs pour assurer la disposition correcte et précise des composants des différentes unités. Dans ce cas, les erreurs de calcul sont lourdes du fait que des pièces importantes et critiques interagiront de manière incorrecte les unes avec les autres et que le mécanisme ne pourra tout simplement pas fonctionner comme le prévoient ses créateurs. Des exemples de structures remplies d'éléments géométriques tels que des arcs comprennent les moteurs à combustion interne, les boîtes de vitesses, les équipements de travail du bois et des métaux, les parties de carrosserie de voitures et de camions, etc.

Arcs Ils sont assez courants en médecine, notamment en dentisterie. Par exemple, ils sont utilisés pour corriger des malocclusions. Les éléments correcteurs appelés appareils orthodontiques (ou systèmes de brackets) et ayant la forme appropriée, sont constitués d'alliages spéciaux et sont installés de manière à modifier la position des dents. Il va sans dire que pour que le traitement réussisse, ces arcs doivent être calculés avec une grande précision. De plus, les arcs sont très largement utilisés en traumatologie, et l'exemple le plus frappant en est peut-être le célèbre appareil Ilizarov, inventé par un médecin russe en 1951 et utilisé avec beaucoup de succès à ce jour. Ses parties intégrantes sont des arcs métalliques, équipés de trous à travers lesquels sont enfilées des aiguilles à tricoter spéciales, et qui constituent les principaux supports de toute la structure.