Qu'est-ce qu'un angle adjacent
Coin- Ce figure géométrique(Fig. 1), formé de deux rayons OA et OB (côtés de l'angle), émanant d'un point O (sommet de l'angle).
COINS ADJACENTS- deux angles dont la somme est de 180°. Chacun de ces angles complète l’autre jusqu’à l’angle complet.
Angles adjacents- (Agles adjacets) ceux qui ont un sommet commun et un côté commun. La plupart du temps, ce nom fait référence à des angles dont les deux côtés restants se trouvent dans des directions opposées d’une ligne droite traversée.
Deux angles sont dits adjacents s'ils ont un côté en commun, et les autres côtés de ces angles sont des demi-droites complémentaires.
riz. 2
Sur la figure 2, les angles a1b et a2b sont adjacents. Ils ont un côté commun b, et les côtés a1, a2 sont des demi-lignes supplémentaires.
riz. 3
La figure 3 montre la droite AB, le point C est situé entre les points A et B. Le point D est un point qui ne se trouve pas sur la droite AB. Il s’avère que les angles BCD et ACD sont adjacents. Ils ont un côté commun CD, et les côtés CA et CB sont des demi-droites supplémentaires de la droite AB, puisque les points A, B sont séparés par le point de départ C.
Théorème de l'angle adjacent
Théorème: la somme des angles adjacents est de 180°
Preuve:
Les angles a1b et a2b sont adjacents (voir Fig. 2). Le rayon b passe entre les côtés a1 et a2 de l'angle déplié. La somme des angles a1b et a2b est donc égale à l’angle développé, soit 180°. Le théorème a été prouvé.
Un angle égal à 90° est appelé angle droit. Du théorème sur la somme des angles adjacents, il s'ensuit qu'un angle adjacent à un angle droit est également un angle droit. Un angle inférieur à 90° est dit aigu et un angle supérieur à 90° est dit obtus. Puisque la somme des angles adjacents est de 180°, alors l’angle adjacent à un angle aigu est un angle obtus. Un angle adjacent à un angle obtus est un angle aigu.
Angles adjacents- deux angles avec un sommet commun, dont l'un des côtés est commun, et les côtés restants se trouvent sur la même ligne droite (ne coïncident pas). La somme des angles adjacents est de 180°.
Définition 1. Un angle est une partie d’un plan délimitée par deux rayons d’origine commune.
Définition 1.1. Un angle est une figure constituée d'un point - le sommet de l'angle - et de deux demi-droites différentes émanant de ce point - les côtés de l'angle.
Par exemple, l'angle BOC sur la figure 1. Considérons d'abord deux lignes sécantes. Lorsque des lignes droites se croisent, elles forment des angles. Il existe des cas particuliers :
Définition 2. Si les côtés d'un angle sont des demi-lignes supplémentaires d'une ligne droite, alors l'angle est appelé développé.
Définition 3. Un angle droit est un angle mesurant 90 degrés.
Définition 4. Un angle inférieur à 90 degrés est appelé angle aigu.
Définition 5. Un angle supérieur à 90 degrés et inférieur à 180 degrés est appelé angle obtus.
lignes qui se croisent.
Définition 6. Deux angles dont un côté est commun et dont les autres côtés se trouvent sur la même ligne droite sont dits adjacents.
Définition 7. Les angles dont les côtés se prolongent sont appelés angles verticaux.
Dans la figure 1 :
adjacents : 1 et 2 ; 2 et 3 ; 3 et 4 ; 4 et 1
verticale : 1 et 3 ; 2 et 4
Théorème 1. La somme des angles adjacents est de 180 degrés.
Pour preuve, considérons sur la Fig. 4 angles adjacents AOB et BOC. Leur somme est l'angle développé AOC. La somme de ces angles adjacents est donc de 180 degrés.
riz. 4
Le lien entre les mathématiques et la musique
« En pensant à l'art et à la science, à leurs liens mutuels et à leurs contradictions, je suis arrivé à la conclusion que les mathématiques et la musique sont aux pôles extrêmes de l'esprit humain, que toute activité spirituelle créatrice de l'homme est limitée et déterminée par ces deux antipodes et que tout est entre eux. ce que l’humanité a créé dans les domaines de la science et de l’art.
G. Neuhaus
Il semblerait que l’art soit un domaine très abstrait des mathématiques. Cependant, le lien entre les mathématiques et la musique est déterminé à la fois historiquement et en interne, malgré le fait que les mathématiques sont la plus abstraite des sciences et que la musique est la forme d'art la plus abstraite.
La consonance détermine le son agréable d'une corde
Ce système musical reposait sur deux lois qui portent les noms de deux grands scientifiques : Pythagore et Archytas. Voici les lois :
1. Deux cordes sonores déterminent la consonance si leurs longueurs sont liées comme des nombres entiers formant le nombre triangulaire 10=1+2+3+4, c'est-à-dire comme 1:2, 2:3, 3:4. De plus, plus le nombre n dans le rapport n:(n+1) (n=1,2,3) est petit, plus l'intervalle résultant est consonant.
2. La fréquence de vibration w de la corde sonore est inversement proportionnelle à sa longueur l.
w = a: l,
où a est un coefficient caractérisant les propriétés physiques de la chaîne.
Je vais aussi vous proposer une parodie amusante sur une dispute entre deux mathématiciens =)
La géométrie autour de nous
La géométrie dans notre vie n'a pas une petite importance. En effet, lorsque vous regardez autour de vous, il ne sera pas difficile de remarquer que nous sommes entourés de diverses formes géométriques. Nous les rencontrons partout : dans la rue, en classe, à la maison, au parc, au gymnase, à la cafétéria de l’école, pratiquement partout où nous sommes. Mais le sujet de la leçon d'aujourd'hui concerne les charbons adjacents. Alors regardons autour de nous et essayons de trouver des angles dans cet environnement. Si vous regardez attentivement la fenêtre, vous remarquerez que certaines branches d'arbres forment des coins adjacents, et dans les cloisons du portail, vous pouvez voir de nombreux angles verticaux. Donnez vos propres exemples d’angles adjacents que vous observez dans votre environnement.
Tâche 1.
1. Il y a un livre sur la table, sur un pupitre. Quel angle forme-t-il ?
2. Mais l’étudiant travaille sur un ordinateur portable. Sous quel angle voyez-vous ici ?
3. Quel angle forme le cadre photo sur le support ?
4. Pensez-vous qu’il est possible que deux angles adjacents soient égaux ?
Tâche 2.
Devant vous se trouve une figure géométrique. De quel genre de personnage s'agit-il, nommez-le ? Nommez maintenant tous les angles adjacents que vous pouvez voir sur cette figure géométrique.
Tâche 3.
Voici une image d'un dessin et d'une peinture. Regardez-les attentivement et dites-moi quels types de poissons vous voyez sur la photo et sous quels angles vous voyez sur la photo.
Résolution de problèmes
1) Étant donné deux angles liés l'un à l'autre comme 1 : 2 et adjacents à eux - comme 7 : 5. Vous devez trouver ces angles.2) On sait que l’un des angles adjacents est 4 fois plus grand que l’autre. A quoi sont égaux les angles adjacents ?
3) Il faut trouver des angles adjacents, à condition que l'un d'eux soit supérieur de 10 degrés au second.
Dictée mathématique pour revoir le matériel appris précédemment
1) Complétez le dessin : les lignes droites a I b se coupent au point A. Marquez le plus petit des angles formés avec le chiffre 1 et les angles restants - séquentiellement avec les chiffres 2,3,4 ; les rayons complémentaires de la ligne a passent par a1 et a2, et la ligne b passe par b1 et b2.2) À l'aide du dessin terminé, inscrivez les significations et explications nécessaires dans les espaces du texte :
a) angle 1 et angle .... adjacent parce que...
b) angle 1 et angle…. vertical parce que...
c) si angle 1 = 60°, alors angle 2 = ..., car...
d) si l'angle 1 = 60°, alors l'angle 3 = ..., car...
Résoudre les problèmes :
1. La somme de 3 angles formés par l’intersection de 2 droites peut-elle être égale à 100° ? 370° ?
2. Sur la figure, trouvez toutes les paires d’angles adjacents. Et maintenant les angles verticaux. Nommez ces angles.
3. Vous devez trouver un angle lorsqu'il est trois fois plus grand que celui adjacent.
4. Deux lignes droites se croisent. À la suite de cette intersection, quatre coins se sont formés. Déterminez la valeur de l’un d’entre eux, à condition que :
a) la somme de 2 angles sur quatre est 84° ;
b) la différence entre 2 angles est de 45° ;
c) un angle est 4 fois plus petit que le second ;
d) la somme de trois de ces angles est 290°.
Résumé de la leçon
1. nommer les angles qui se forment lorsque 2 lignes droites se coupent ?
2. Nommez toutes les paires d’angles possibles dans la figure et déterminez leur type.
Devoirs:
1. Trouvez le rapport des mesures en degrés des angles adjacents lorsque l’un d’eux est supérieur de 54° au second.
2. Trouvez les angles qui se forment lorsque 2 droites se coupent, à condition que l'un des angles soit égal à la somme de 2 autres angles qui lui sont adjacents.
3. Il faut trouver des angles adjacents lorsque la bissectrice de l’un d’eux forme avec le côté de la seconde un angle supérieur de 60° au deuxième angle.
4. La différence entre 2 angles adjacents est égale au tiers de la somme de ces deux angles. Déterminez les valeurs de 2 angles adjacents.
5. La différence et la somme de 2 angles adjacents sont respectivement dans le rapport 1:5. Trouvez les angles adjacents.
6. La différence entre deux adjacents est de 25 % de leur somme. Quel est le rapport entre les valeurs de 2 angles adjacents ? Déterminez les valeurs de 2 angles adjacents.
Questions :
- Qu'est-ce qu'un angle ?
- Quels types d’angles existe-t-il ?
- Quelle est la propriété des angles adjacents ?
Question 1. Quels angles sont dits adjacents ?
Répondre. Deux angles sont dits adjacents s'ils ont un côté en commun, et les autres côtés de ces angles sont des demi-droites complémentaires.
Sur la figure 31, les angles (a 1 b) et (a 2 b) sont adjacents. Ils ont le côté b en commun et les côtés a 1 et a 2 sont des demi-lignes supplémentaires.
Question 2. Montrer que la somme des angles adjacents est de 180°.
Répondre. Théorème 2.1. La somme des angles adjacents est de 180°.
Preuve. Soit l'angle (a 1 b) et l'angle (a 2 b) des angles adjacents (voir Fig. 31). Le rayon b passe entre les côtés a 1 et a 2 d'un angle droit. La somme des angles (a 1 b) et (a 2 b) est donc égale à l'angle déplié, soit 180°. Q.E.D.
Question 3. Montrer que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont également égaux.
Répondre.
Du théorème 2.1
Il s’ensuit que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont égaux.
Disons que les angles (a 1 b) et (c 1 d) sont égaux. Nous devons prouver que les angles (a 2 b) et (c 2 d) sont également égaux.
La somme des angles adjacents est de 180°. Il en résulte que a 1 b + a 2 b = 180° et c 1 d + c 2 d = 180°. Donc a 2 b = 180° - a 1 b et c 2 d = 180° - c 1 d. Puisque les angles (a 1 b) et (c 1 d) sont égaux, on obtient que a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Par la propriété de transitivité du signe égal, il s'ensuit que a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
Question 4. Quel angle est appelé droit (aigu, obtus) ?
Répondre. Un angle égal à 90° est appelé angle droit.
Un angle inférieur à 90° est appelé angle aigu.
Un angle supérieur à 90° et inférieur à 180° est dit obtus.
Question 5. Montrer qu’un angle adjacent à un angle droit est un angle droit.
Répondre. Du théorème sur la somme des angles adjacents il résulte qu'un angle adjacent à un angle droit est un angle droit : x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Question 6. Quels angles sont appelés verticaux ?
Répondre. Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont des demi-lignes complémentaires des côtés de l’autre.
Question 7. Montrer que les angles verticaux sont égaux.
Répondre. Théorème 2.2. Les angles verticaux sont égaux.
Preuve. Soient (a 1 b 1) et (a 2 b 2) les angles verticaux donnés (Fig. 34). L'angle (a 1 b 2) est adjacent à l'angle (a 1 b 1) et à l'angle (a 2 b 2). De là, en utilisant le théorème sur la somme des angles adjacents, on conclut que chacun des angles (a 1 b 1) et (a 2 b 2) complète l'angle (a 1 b 2) à 180°, c'est-à-dire les angles (a 1 b 1) et (a 2 b 2) sont égaux. Q.E.D.
Question 8. Montrer que si, lorsque deux droites se coupent, l’un des angles est droit, alors les trois autres angles sont également droits.
Répondre. Supposons que les droites AB et CD se coupent au point O. Supposons que l’angle AOD soit de 90°. Puisque la somme des angles adjacents est de 180°, on obtient que AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. L'angle COB est vertical à l'angle AOD, ils sont donc égaux. Autrement dit, l'angle COB = 90°. L'angle COA est vertical à l'angle BOD, ils sont donc égaux. Autrement dit, l'angle BOD = 90°. Ainsi, tous les angles sont égaux à 90°, c’est-à-dire qu’ils sont tous droits. Q.E.D.
Question 9. Quelles droites sont dites perpendiculaires ? Quel signe est utilisé pour indiquer la perpendiculaire des lignes ?
Répondre. Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.
La perpendiculaire des lignes est indiquée par le signe \(\perp\). L'entrée \(a\perp b\) se lit comme suit : "La ligne a est perpendiculaire à la ligne b."
Question 10. Montrer que par n'importe quel point d'une droite, on peut tracer une droite perpendiculaire à celle-ci, et une seule.
Répondre. Théorème 2.3.À travers chaque ligne, vous pouvez tracer une ligne perpendiculaire à celle-ci, et une seule.
Preuve. Soit a une ligne donnée et A un point donné sur celle-ci. Notons a 1 l'une des demi-droites de la droite a de point de départ A (Fig. 38). Soustrayons de la demi-droite a 1 un angle (a 1 b 1) égal à 90°. Alors la droite contenant le rayon b 1 sera perpendiculaire à la droite a.
Supposons qu’il existe une autre droite passant également par le point A et perpendiculaire à la droite a. Notons c 1 la demi-droite de cette droite située dans le même demi-plan que le rayon b 1 .
Les angles (a 1 b 1) et (a 1 c 1), chacun égal à 90°, sont disposés dans un demi-plan à partir de la demi-droite a 1. Mais à partir de la demi-droite a 1, un seul angle égal à 90° peut être mis dans un demi-plan donné. Il ne peut donc y avoir une autre droite passant par le point A et perpendiculaire à la droite a. Le théorème a été prouvé.
Question 11. Qu'est-ce qui est perpendiculaire à une ligne ?
Répondre. Une perpendiculaire à une droite donnée est un segment de droite perpendiculaire à une droite donnée, dont l'une de ses extrémités est à leur point d'intersection. Cette extrémité du segment est appelée base perpendiculaire.
Question 12. Expliquez en quoi consiste la preuve par contradiction.
Répondre. La méthode de preuve que nous avons utilisée dans le théorème 2.3 est appelée preuve par contradiction. Cette méthode de preuve consiste à faire d’abord une hypothèse opposée à celle énoncée par le théorème. Puis, en raisonnant, en s'appuyant sur des axiomes et des théorèmes prouvés, on arrive à une conclusion qui contredit soit les conditions du théorème, soit l'un des axiomes, soit un théorème préalablement prouvé. Sur cette base, nous concluons que notre hypothèse était incorrecte et que l’énoncé du théorème est donc vrai.
Question 13. Qu'est-ce que la bissectrice d'un angle ?
Répondre. La bissectrice d'un angle est le rayon qui émane du sommet de l'angle, passe entre ses côtés et divise l'angle en deux.
La géométrie est une science aux multiples facettes. Il développe la logique, l'imagination et l'intelligence. Bien sûr, en raison de sa complexité et du grand nombre de théorèmes et d'axiomes, les écoliers ne l'aiment pas toujours. De plus, il est nécessaire de prouver constamment vos conclusions en utilisant des normes et des règles généralement acceptées.
Les angles adjacents et verticaux font partie intégrante de la géométrie. De nombreux écoliers les adorent sûrement simplement parce que leurs propriétés sont claires et faciles à prouver.
Formation de coins
Tout angle est formé en coupant deux lignes droites ou en traçant deux rayons à partir d'un point. Ils peuvent être appelés soit une lettre, soit trois, qui désignent séquentiellement les points auxquels l'angle est construit.
Les angles sont mesurés en degrés et peuvent (en fonction de leur valeur) être appelés différemment. Il existe donc un angle droit, aigu, obtus et déplié. Chacun des noms correspond à une certaine mesure de degré ou à son intervalle.
Un angle aigu est un angle dont la mesure ne dépasse pas 90 degrés.
Un angle obtus est un angle supérieur à 90 degrés.
Un angle est dit droit lorsque sa mesure en degrés est de 90.
Dans le cas où il est formé par une ligne droite continue et que sa mesure en degrés est de 180, on l'appelle étendu.
Les angles qui ont un côté commun, dont le deuxième côté se prolonge, sont appelés adjacents. Ils peuvent être pointus ou contondants. L'intersection de la ligne forme des angles adjacents. Leurs propriétés sont les suivantes :
- La somme de ces angles sera égale à 180 degrés (il existe un théorème qui le prouve). On peut donc facilement calculer l’un d’eux si l’autre est connu.
- Du premier point il résulte que des angles adjacents ne peuvent être formés par deux angles obtus ou deux angles aigus.
Grâce à ces propriétés, il est toujours possible de calculer la mesure en degrés d'un angle étant donné la valeur d'un autre angle, ou du moins le rapport entre eux.
Angles verticaux
Les angles dont les côtés sont le prolongement les uns des autres sont appelés verticaux. N'importe laquelle de leurs variétés peut agir comme une telle paire. Les angles verticaux sont toujours égaux les uns aux autres.
Ils se forment lorsque des lignes droites se croisent. A côté d'eux, les angles adjacents sont toujours présents. Un angle peut être à la fois adjacent pour l'un et vertical pour un autre.
Lors du franchissement d’une ligne arbitraire, plusieurs autres types d’angles sont également pris en compte. Une telle ligne est appelée ligne sécante et forme des angles correspondants, unilatéraux et transversaux. Ils sont égaux les uns aux autres. Ils peuvent être visualisés à la lumière des propriétés des angles verticaux et adjacents.
Ainsi, le sujet des angles semble assez simple et compréhensible. Toutes leurs propriétés sont faciles à retenir et à prouver. Résoudre des problèmes n’est pas difficile tant que les angles ont une valeur numérique. Plus tard, lorsque l'étude du péché et du cos commencera, vous devrez mémoriser de nombreuses formules complexes, leurs conclusions et leurs conséquences. En attendant, vous pouvez simplement profiter de puzzles faciles dans lesquels vous devez trouver des angles adjacents.
Chaque angle, selon sa taille, a son propre nom :
| Type d'angle | Taille en degrés | Exemple |
|---|---|---|
| Épicé | Moins de 90° | |
| Direct | Égal à 90°. Dans un dessin, un angle droit est généralement désigné par un symbole dessiné d'un côté à l'autre de l'angle. |
 |
| Émoussé | Plus de 90° mais moins de 180° |  |
| Étendu | Égal à 180° Un angle droit est égal à la somme de deux angles droits et un angle droit est la moitié d'un angle droit. |
 |
| Convexe | Plus de 180° mais moins de 360° |  |
| Complet | Égal à 360° |  |
Les deux angles sont appelés adjacent, s'ils ont un côté en commun et que les deux autres côtés forment une ligne droite :
Angles SERPILLIÈRE Et PON adjacent, puisque la poutre PO- le côté commun, et les deux autres côtés - OM Et SUR former une ligne droite.
Le côté commun des angles adjacents est appelé oblique à droit, sur lequel se trouvent les deux autres côtés, uniquement dans le cas où les angles adjacents ne sont pas égaux entre eux. Si les angles adjacents sont égaux, alors leur côté commun sera perpendiculaire.
La somme des angles adjacents est de 180°.
Les deux angles sont appelés verticale, si les côtés d'un angle complètent les côtés de l'autre angle en lignes droites :
Les angles 1 et 3, ainsi que les angles 2 et 4, sont verticaux.
Les angles verticaux sont égaux.
Montrons que les angles verticaux sont égaux :
La somme de ∠1 et ∠2 est un angle droit. Et la somme de ∠3 et ∠2 est un angle droit. Ces deux montants sont donc égaux :
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
Dans cette égalité, il existe un terme identique à gauche et à droite - ∠2. L'égalité ne sera pas violée si ce terme à gauche et à droite est omis. Ensuite, nous comprenons.
Angles dont un côté est commun et les autres côtés se trouvent sur la même ligne droite (sur la figure, les angles 1 et 2 sont adjacents). Riz. à l'art. Coins adjacents... Grande Encyclopédie Soviétique
COINS ADJACENTS- des angles qui ont un sommet commun et un côté commun, et dont les deux autres côtés se trouvent sur la même droite... Grande encyclopédie polytechnique
Voir Angle... Grand dictionnaire encyclopédique
ANGLES ADJACENTS, deux angles dont la somme est 180°. Chacun de ces angles complète l'autre jusqu'à l'angle complet... Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique
Voir Angle. * * * COINS ADJACENTS COINS ADJACENTS, voir Angle (voir ANGLE)... Dictionnaire encyclopédique
- (Angles adjacents) ceux qui ont un sommet commun et un côté commun. La plupart du temps, ce nom fait référence à de tels angles C., dont les deux autres côtés se trouvent dans des directions opposées d'une ligne droite passant par le sommet... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron
Voir Angle... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique
Deux lignes droites se croisent pour créer une paire d'angles verticaux. Une paire est constituée des angles A et B, l'autre de C et D. En géométrie, deux angles sont dits verticaux s'ils sont créés par l'intersection de deux... Wikipédia
Une paire d'angles complémentaires qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Les angles complémentaires sont une paire d'angles qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Si deux angles complémentaires sont adjacents (c'est-à-dire qu'ils ont un sommet commun et ne sont séparés que... ... Wikipédia
Une paire d'angles complémentaires qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Les angles complémentaires sont une paire d'angles qui se complètent jusqu'à 90 degrés. Si deux angles complémentaires sont avec... Wikipédia
Livres
- À propos de la preuve en géométrie, A.I. Fetisov. Une fois, au tout début de l'année scolaire, j'ai entendu une conversation entre deux filles. L'aîné d'entre eux est passé en sixième, le plus jeune en cinquième. Les filles ont partagé leurs impressions sur les cours...
- Géométrie. 7e année. Cahier complet pour le contrôle des connaissances, I. S. Markova, S. P. Babenko. Le manuel présente des matériaux de contrôle et de mesure (CMM) en géométrie pour effectuer le contrôle qualité actuel, thématique et final des connaissances des élèves de 7e année. Contenu du manuel...
