Théorie des probabilités mathématiques. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques

Maman a lavé le cadre

À la fin d'une longue période vacances d'été il est temps de revenir lentement aux mathématiques supérieures et d'ouvrir solennellement le fichier Verdov vide pour commencer à créer une nouvelle section - . J'avoue, les premières lignes ne sont pas faciles, mais la première étape est à mi-chemin, je suggère donc à chacun d'étudier attentivement l'article d'introduction, après quoi maîtriser le sujet sera 2 fois plus facile ! Je n'exagère pas du tout. …A la veille du 1er septembre prochain, je me souviens de la première année et du primaire…. Les lettres forment des syllabes, les syllabes forment des mots, les mots forment des phrases courtes - Maman a lavé le cadre. Maîtriser le Turver et les statistiques mathématiques est aussi simple que d'apprendre à lire ! Cependant, pour cela, vous devez connaître les termes, concepts et désignations clés, ainsi que certaines règles spécifiques, qui font l'objet de cette leçon.

Mais d'abord, veuillez accepter mes félicitations pour le début (poursuite, achèvement, note le cas échéant) de l'année scolaire et acceptez le cadeau. Le meilleur cadeau- c'est un livre, et pour travail indépendant Je recommande la littérature suivante :

1) Gmurman V.E. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques

Un manuel légendaire qui a fait l'objet de plus de dix réimpressions. Il se distingue par son intelligibilité et sa présentation extrêmement simple du matériel, et les premiers chapitres sont entièrement accessibles, je pense, déjà pour les élèves de la 6e à la 7e année.

2) Gmurman V.E. Un guide pour résoudre des problèmes de théorie des probabilités et statistiques mathématiques

Un livre de solutions du même Vladimir Efimovich avec des exemples et des problèmes détaillés.

NÉCESSAIREMENT téléchargez les deux livres sur Internet ou obtenez leurs originaux papier ! La version des années 60 et 70 fonctionnera également, ce qui est encore mieux pour les nuls. Bien que l'expression « théorie des probabilités pour les nuls » semble plutôt ridicule, puisque presque tout se limite à des opérations arithmétiques élémentaires. Ils sautent cependant par endroits produits dérivés Et intégrales, mais ce n'est que par endroits.

J'essaierai d'atteindre la même clarté de présentation, mais je dois prévenir que mon cours s'adresse à résolution de problèmes et les calculs théoriques sont réduits au minimum. Ainsi, si vous avez besoin d'une théorie détaillée, de preuves de théorèmes (théorèmes-théorèmes !), merci de vous référer au manuel. Eh bien, qui veut apprendre à résoudre des problèmes en théorie des probabilités et statistiques mathématiques au plus à court terme , suis-moi!

C'est suffisant pour commencer =)

En lisant les articles, il est conseillé de se familiariser (au moins brièvement) avec des tâches supplémentaires des types considérés. Sur la page Solutions toutes faites pour les mathématiques supérieures Les pdf correspondants avec des exemples de solutions seront publiés. Une aide importante sera également fournie IDZ 18.1 Ryabushko(plus simple) et IDZ résolu selon la collection de Chudesenko(plus difficile).

1) Montant deux événements et l'événement est appelé, c'est-à-dire qu'il se produira ouévénement ouévénement ou les deux événements en même temps. Dans le cas où des événements incompatible, la dernière option disparaît, c'est-à-dire qu'elle peut se produire ouévénement ouévénement .

La règle s'applique également à un plus grand nombre de termes, par exemple l'événement c'est ce qui va arriver au moins un des événements , UN si les événements sont incompatibles – alors une chose et une seule choseévénement à partir de ce montant : ouévénement , ouévénement , ouévénement , ouévénement , ouévénement .

Il existe de nombreux exemples :

Les événements (lors du lancement d'un dé, 5 points n'apparaîtront pas) sont ce qui apparaîtra ou 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou 6points.

Événement (sera supprimé pas plus deux points) c'est que 1 apparaîtra ou 2points.

Événement (il y aura un nombre pair de points) c'est ce qui apparaît ou 2 ou 4 ou 6points.

L'événement est qu'un carton rouge (cœur) sera tiré du jeu ou tambourin), et l'événement – que la « photo » sera extraite (jack ou dame ou roi ou as).

Un peu plus intéressant est le cas des événements communs :

L'événement est qu'un club sera tiré du jeu ou Sept ou sept de trèfle Selon la définition donnée ci-dessus, au moins quelque chose- ou n'importe quel club ou n'importe quel sept ou leur « intersection » - sept de clubs. Il est facile de calculer que cet événement correspond à 12 résultats élémentaires (9 cartes de club + 3 sept restants).

L'événement est que demain à 12h00 viendra AU MOINS UN des événements conjoints récapitulables, à savoir :

– ou il n’y aura que de la pluie / seulement des orages / seulement du soleil ;
– ou seulement quelques paires d'événements se produiront (pluie + orage / pluie + soleil / orage + soleil) ;
– ou les trois événements apparaîtront simultanément.

Autrement dit, l'événement comprend 7 résultats possibles.

Le deuxième pilier de l’algèbre des événements :

2) Le travail deux événements et appeler un événement qui consiste en la survenance conjointe de ces événements, en d'autres termes, la multiplication signifie que dans certaines circonstances il y aura Etévénement , Etévénement . Une affirmation similaire est vraie pour un plus grand nombre d'événements, par exemple, une œuvre implique que dans certaines conditions elle se produira. Etévénement , Etévénement , Etévénement , …, Etévénement .

Prenons un test dans lequel deux pièces sont lancées et les événements suivants :

– des faces apparaîtront sur la 1ère pièce ;
– la 1ère pièce tombera sur face ;
– des têtes apparaîtront sur la 2ème pièce ;
– la 2ème pièce tombera face.

Alors:
Et le 2) des têtes apparaîtront ;
– l’événement est celui sur les deux pièces (au 1er Et le 2, ce sera face ;
– l’événement est que la 1ère pièce tombera face Et la 2ème pièce est face ;
– l’événement est que la 1ère pièce tombera face Et sur la 2ème pièce il y a un aigle.

Il est facile de voir que les événements incompatible (car par exemple, il ne peut pas tomber 2 têtes et 2 queues en même temps) et forme groupe complet (car pris en compte Tous résultats possibles du lancer de deux pièces). Résumons ces événements : . Comment interpréter cette entrée ? Très simple - la multiplication signifie un connecteur logique ET, et un ajout – OU. Ainsi, le montant est facile à lire dans un langage humain compréhensible : « deux têtes apparaîtront ou deux têtes ou la 1ère pièce tombera face Et sur la 2ème queue ou la 1ère pièce tombera face Et sur la 2ème pièce il y a un aigle"

C'était un exemple quand en un seul essai plusieurs objets sont impliqués, en l'occurrence deux pièces de monnaie. Un autre schéma courant dans les problèmes pratiques est retester , lorsque par exemple on lance le même dé 3 fois de suite. À titre de démonstration, considérons les événements suivants :

– au 1er lancer vous obtiendrez 4 points ;
– au 2ème lancer vous obtiendrez 5 points ;
– au 3ème lancer vous obtiendrez 6 points.

Puis l'événement est-ce qu'au 1er lancer tu obtiendras 4 points Et au 2ème lancer vous obtiendrez 5 points Et au 3ème lancer, vous obtiendrez 6 points. Évidemment, dans le cas d’un cube, il y aura beaucoup plus de combinaisons (résultats) que si nous jetions une pièce de monnaie.

...Je comprends que les exemples analysés ne sont peut-être pas très intéressants, mais ce sont des choses que l'on rencontre souvent dans les problèmes et il n'y a pas moyen d'y échapper. En plus d'une pièce de monnaie, d'un cube et d'un jeu de cartes, des urnes avec des boules multicolores, plusieurs anonymes tirant sur une cible et un travailleur infatigable qui peaufine constamment certains détails vous attendent =)

Probabilité de l'événement

Probabilité de l'événement est le concept central de la théorie des probabilités. ...Une chose logique, mais il fallait bien commencer quelque part =) Il existe plusieurs approches pour sa définition :

;
Définition géométrique de la probabilité ;
Définition statistique de la probabilité .

Dans cet article, je me concentrerai sur la définition classique de la probabilité, la plus largement utilisée dans les tâches éducatives.

Désignations. La probabilité d'un certain événement est indiquée par une lettre latine majuscule et l'événement lui-même est pris entre parenthèses, agissant comme une sorte d'argument. Par exemple:

En outre, la lettre minuscule est largement utilisée pour désigner une probabilité. Vous pouvez notamment abandonner les désignations encombrantes des événements et de leurs probabilités en faveur du style suivant : :

– la probabilité qu'un tirage au sort aboutisse à face ;
– la probabilité qu’un lancer de dé donne 5 points ;
– la probabilité qu'une carte de la couleur du trèfle soit tirée du paquet.

Cette option est populaire pour résoudre des problèmes pratiques, car elle vous permet de réduire considérablement l'enregistrement de la solution. Comme dans le premier cas, il est pratique d’utiliser ici des indices/exposants « parlants ».

Tout le monde a longtemps deviné les chiffres que je viens d'écrire ci-dessus, et nous allons maintenant découvrir comment ils se sont avérés :

Définition classique de la probabilité:

La probabilité qu'un événement se produise dans un certain test est appelée le rapport , où :

– nombre total de tous tout aussi possible, élémentaire résultats de ce test, qui forment groupe complet d'événements;

- quantité élémentaire les résultats, favorable événement.

Lorsque vous lancez une pièce de monnaie, pile ou face peut tomber - ces événements se forment groupe complet, donc le nombre total de résultats ; en même temps, chacun d'eux élémentaire Et tout aussi possible. L'événement est favorisé par le résultat (faces). Selon la définition classique de la probabilité : .

De même, à la suite du lancer d'un dé, des résultats élémentaires également possibles peuvent apparaître, formant un groupe complet, et l'événement est favorisé par un seul résultat (lancer un cinq). C'est pourquoi : CECI N'EST PAS ACCEPTÉ DE FAIRE (bien qu'il ne soit pas interdit d'estimer des pourcentages dans sa tête).

Il est d'usage d'utiliser des fractions d'unité, et, évidemment, la probabilité peut varier dans les limites de . De plus, si , alors l’événement est impossible, Si - fiable, et si , alors nous parlons de aléatoireévénement.

! Si, en résolvant un problème, vous obtenez une autre valeur de probabilité, recherchez l’erreur !

Dans l'approche classique de détermination des probabilités, les valeurs extrêmes (zéro et un) sont obtenues exactement selon le même raisonnement. Tirons au hasard 1 boule dans une certaine urne contenant 10 boules rouges. Considérez les événements suivants :

dans un seul essai, aucun événement à faible probabilité ne se produira.

C'est pourquoi vous ne remporterez pas le jackpot à la loterie si la probabilité de cet événement est, disons, de 0,00000001. Oui, oui, c’est vous – avec le seul billet dans un tirage particulier. Cependant, un plus grand nombre de tickets et un plus grand nombre de dessins ne vous aideront pas beaucoup. ...Quand j'en parle aux autres, j'entends presque toujours en réponse : « mais quelqu'un gagne ». D'accord, faisons l'expérience suivante : s'il vous plaît, achetez un billet pour n'importe quelle loterie aujourd'hui ou demain (ne tardez pas !). Et si vous gagnez... eh bien, au moins plus de 10 kiloroubles, assurez-vous de vous inscrire - je vous expliquerai pourquoi cela s'est produit. Pour un pourcentage, bien sûr =) =)

Mais il n'y a pas lieu d'être triste, car il existe un principe opposé : si la probabilité d'un événement est très proche de un, alors en un seul essai, il se produira. presque certain va arriver. Alors avant de sauter en parachute, il ne faut pas avoir peur, au contraire, sourire ! Après tout, des circonstances totalement impensables et fantastiques doivent survenir pour que les deux parachutes tombent en panne.

Bien que tout cela soit du lyrisme, car selon le contenu de l'événement, le premier principe peut s'avérer joyeux, et le second – triste ; ou même les deux sont parallèles.

Peut-être que ça suffit pour l'instant, en classe Problèmes de probabilité classiques nous tirerons le meilleur parti de la formule. Dans la dernière partie de cet article, nous considérerons un théorème important :

La somme des probabilités des événements qui forment un groupe complet est égale à un. En gros, si les événements forment un groupe complet, alors avec une probabilité de 100 %, l'un d'entre eux se produira. Dans le cas le plus simple, un groupe complet est formé d'événements opposés, par exemple :

– à la suite d'un tirage au sort, des têtes apparaîtront ;
– le résultat d’un tirage au sort sera pile.

D'après le théorème :

Il est absolument clair que ces événements sont également possibles et que leurs probabilités sont les mêmes. .

En raison de l'égalité des probabilités, les événements également possibles sont souvent appelés tout aussi probable . Et voici un virelangue pour déterminer le degré d'intoxication =)

Exemple avec un cube : les événements sont opposés, donc .

Le théorème considéré est pratique dans la mesure où il vous permet de trouver rapidement la probabilité de l'événement opposé. Ainsi, si la probabilité qu’un cinq soit obtenu est connue, il est facile de calculer la probabilité qu’il ne soit pas obtenu :

C’est beaucoup plus simple que de résumer les probabilités de cinq résultats élémentaires. Soit dit en passant, pour les résultats élémentaires, ce théorème est également vrai :
. Par exemple, si est la probabilité que le tireur atteigne la cible, alors est la probabilité qu'il la rate.

! En théorie des probabilités, il n'est pas souhaitable d'utiliser des lettres à d'autres fins.

En l'honneur de la Journée de la connaissance, je ne demanderai pas devoirs=), mais il est très important que vous puissiez répondre aux questions suivantes :

– Quels types d’événements existent ?
– Qu’est-ce que le hasard et l’égalité de possibilité d’un événement ?
– Comment comprenez-vous les termes compatibilité/incompatibilité des événements ?
– Qu'est-ce qu'un groupe complet d'événements, des événements opposés ?
– Que signifient l’addition et la multiplication d’événements ?
– Quelle est l’essence de la définition classique de la probabilité ?
– Pourquoi le théorème d'addition des probabilités d'événements qui forment un groupe complet est-il utile ?

Non, vous n'avez pas besoin de fourrer quoi que ce soit, ce ne sont que les bases de la théorie des probabilités - une sorte d'amorce qui s'intégrera rapidement dans votre tête. Et pour que cela se fasse au plus vite, je vous propose de vous familiariser avec les cours

Beaucoup, confrontés au concept de « théorie des probabilités », ont peur, pensant qu’il s’agit de quelque chose de bouleversant, de très compliqué. Mais en réalité, tout n’est pas si tragique. Aujourd'hui, nous examinerons le concept de base de la théorie des probabilités et apprendrons comment résoudre des problèmes à l'aide d'exemples spécifiques.

Science

Qu’étudie une branche des mathématiques telle que la « théorie des probabilités » ? Elle note les modèles et les quantités. Les scientifiques se sont intéressés pour la première fois à cette question au XVIIIe siècle, lorsqu’ils étudiaient les jeux de hasard. Le concept de base de la théorie des probabilités est celui d’un événement. C'est tout fait établi par l'expérience ou l'observation. Mais qu’est-ce que l’expérience ? Un autre concept de base de la théorie des probabilités. Cela signifie que cet ensemble de circonstances n’a pas été créé par hasard, mais dans un but précis. Quant à l'observation, ici le chercheur lui-même ne participe pas à l'expérience, mais est simplement témoin de ces événements, il n'influence en rien ce qui se passe ;

Événements

Nous avons appris que le concept de base de la théorie des probabilités est un événement, mais nous n’avons pas considéré sa classification. Tous sont répartis dans les catégories suivantes :

Fiable.
Impossible.
Aléatoire.

Quel que soit le type d’événements qu’ils sont, observés ou créés au cours de l’expérience, ils sont tous soumis à cette classification. Nous vous invitons à vous familiariser avec chaque type séparément.

Événement fiable

Il s’agit d’une circonstance pour laquelle l’ensemble des mesures nécessaires a été pris. Afin de mieux comprendre l'essence, il vaut mieux donner quelques exemples. La physique, la chimie, l’économie et les mathématiques supérieures sont soumises à cette loi. La théorie des probabilités inclut un concept aussi important qu'un événement fiable. Voici quelques exemples :

Nous travaillons et recevons une compensation sous forme de salaire.
Nous avons bien réussi les examens, réussi le concours et pour cela, nous recevons une récompense sous la forme d'une admission dans un établissement d'enseignement.
Nous avons investi de l'argent à la banque et, si nécessaire, nous le récupérerons.

De tels événements sont fiables. Si nous avons rempli toutes les conditions nécessaires, nous obtiendrons certainement le résultat escompté.

Événements impossibles

Nous examinons maintenant des éléments de la théorie des probabilités. Nous proposons de passer à une explication du type d'événement suivant, à savoir l'impossible. Tout d'abord, stipulons la règle la plus importante : la probabilité d'un événement impossible est nulle.

On ne peut pas s'écarter de cette formulation lors de la résolution de problèmes. Pour plus de clarté, voici des exemples de tels événements :

L'eau a gelé à une température de plus dix (c'est impossible).
Le manque d’électricité n’affecte en rien la production (tout aussi impossible que dans l’exemple précédent).

Il ne vaut pas la peine de donner plus d'exemples, car ceux décrits ci-dessus reflètent très clairement l'essence de cette catégorie. Un événement impossible ne se produira jamais au cours d’une expérience, quelles que soient les circonstances.

Événements aléatoires

Étudier les éléments attention particulière Il convient de prêter attention à ce type d’événement. C'est ce que la science étudie. À la suite de l’expérience, quelque chose peut se produire ou non. De plus, le test peut être effectué un nombre illimité de fois. Des exemples frappants incluent :

Le tirage au sort est une expérience ou un test, l'atterrissage des faces est un événement.
Sortir aveuglément une balle d'un sac est un test ; obtenir une balle rouge est un événement, et ainsi de suite.

Il peut y avoir un nombre illimité de tels exemples, mais, en général, l’essentiel doit être clair. Pour résumer et systématiser les connaissances acquises sur les événements, un tableau est fourni. La théorie des probabilités n’étudie que le dernier type de tous ceux présentés.

Nom	définition
Fiable	Des événements qui se produisent avec une garantie à 100% si certaines conditions sont remplies.	Admission dans un établissement d'enseignement après avoir réussi l'examen d'entrée.
Impossible	Des événements qui ne se produiront jamais, sous aucun prétexte.	Il neige à une température de l'air de plus trente degrés Celsius.
Aléatoire	Un événement qui peut ou non se produire lors d'une expérience/d'un test.	Un succès ou un échec lors du lancement d'un ballon de basket dans un cerceau.

Lois

La théorie des probabilités est une science qui étudie la possibilité qu’un événement se produise. Comme les autres, il a quelques règles. Les lois suivantes de la théorie des probabilités existent :

Convergence de séquences de variables aléatoires.
Loi des grands nombres.

Lors du calcul de la possibilité de quelque chose de complexe, vous pouvez utiliser un ensemble d’événements simples pour obtenir un résultat de manière plus simple et plus rapide. Notez que les lois de la théorie des probabilités sont facilement prouvées à l’aide de certains théorèmes. Nous vous suggérons de vous familiariser d'abord avec la première loi.

Convergence de séquences de variables aléatoires

A noter qu'il existe plusieurs types de convergence :

La séquence de variables aléatoires converge en probabilité.
Presque impossible.
Convergence carrée moyenne.
Convergence des distributions.

Donc, d’emblée, il est très difficile d’en comprendre l’essence. Voici des définitions qui vous aideront à comprendre ce sujet. Commençons par la première vue. La séquence s'appelle convergent en probabilité, si la condition suivante est remplie : n tend vers l'infini, le nombre vers lequel tend la suite est supérieur à zéro et proche de un.

Passons à la vue suivante, presque certainement. On dit que la suite converge presque certainementà une variable aléatoire avec n tendant vers l’infini et P tendant vers une valeur proche de l’unité.

Le type suivant est convergence quadratique moyenne. Lors de l'utilisation de la convergence SC, l'étude des processus aléatoires vectoriels se réduit à l'étude de leurs processus aléatoires coordonnés.

Il reste un dernier type, examinons-le brièvement afin de pouvoir passer directement à la résolution des problèmes. La convergence dans la distribution a un autre nom : « faible », nous expliquerons plus en détail pourquoi. Faible convergence est la convergence des fonctions de distribution en tous points de continuité de la fonction de distribution limite.

Nous tiendrons certainement notre promesse : la convergence faible diffère de tout ce qui précède en ce sens que variable aléatoire n'est pas défini sur l'espace de probabilité. Ceci est possible car la condition est formée exclusivement à l’aide de fonctions de distribution.

Loi des grands nombres

Théorèmes de théorie des probabilités, tels que :

L'inégalité de Chebyshev.
Théorème de Chebyshev.
Théorème de Chebyshev généralisé.
Théorème de Markov.

Si l'on considère tous ces théorèmes, alors cette question peut s'éterniser sur plusieurs dizaines de feuilles. Notre tâche principale est d’appliquer la théorie des probabilités dans la pratique. Nous vous suggérons de le faire dès maintenant. Mais avant cela, regardons les axiomes de la théorie des probabilités ; ils seront les principaux assistants dans la résolution des problèmes.

Axiomes

Nous avons déjà rencontré le premier lorsque nous parlions d'un événement impossible. Rappelons-le : la probabilité d'un événement impossible est nulle. Nous avons donné un exemple très frappant et mémorable : la neige est tombée à une température de l'air de trente degrés Celsius.

La seconde est la suivante : un événement fiable se produit avec une probabilité égal à un. Nous allons maintenant montrer comment écrire cela en langage mathématique : P(B)=1.

Troisièmement : un événement aléatoire peut se produire ou non, mais la possibilité varie toujours de zéro à un. Plus la valeur est proche de un, plus les chances sont grandes ; si la valeur s'approche de zéro, la probabilité est très faible. Écrivons ceci en langage mathématique : 0<Р(С)<1.

Considérons le dernier, quatrième axiome, qui ressemble à ceci : la probabilité de la somme de deux événements est égale à la somme de leurs probabilités. Nous l’écrivons en langage mathématique : P(A+B)=P(A)+P(B).

Les axiomes de la théorie des probabilités sont les règles les plus simples et faciles à retenir. Essayons de résoudre quelques problèmes sur la base des connaissances que nous avons déjà acquises.

Billet de loterie

Tout d’abord, regardons l’exemple le plus simple : une loterie. Imaginez que vous ayez acheté un billet de loterie pour vous porter chance. Quelle est la probabilité que vous gagniez au moins vingt roubles ? Au total, mille billets sont en circulation, dont un avec un prix de cinq cents roubles, dix avec un prix de cent roubles, cinquante avec un prix de vingt roubles et cent avec un prix de cinq. Les problèmes de probabilité sont basés sur la recherche d’une possibilité de chance. Nous allons maintenant analyser ensemble la solution à la tâche ci-dessus.

Si nous utilisons la lettre A pour désigner un gain de cinq cents roubles, alors la probabilité d'obtenir A sera égale à 0,001. Comment avons-nous obtenu cela ? Il suffit de diviser le nombre de tickets « chanceux » par leur nombre total (dans ce cas : 1/1000).

B est un gain de cent roubles, la probabilité sera de 0,01. Maintenant nous avons agi selon le même principe que dans l'action précédente (10/1000)

C - les gains sont de vingt roubles. On retrouve la probabilité, elle est égale à 0,05.

Nous ne sommes pas intéressés par les billets restants, car leur dotation est inférieure à celle spécifiée dans les conditions. Appliquons le quatrième axiome : la probabilité de gagner au moins vingt roubles est P(A)+P(B)+P(C). La lettre P désigne la probabilité d'occurrence d'un événement donné ; nous les avons déjà rencontrés dans des actions précédentes. Il ne reste plus qu'à additionner les données nécessaires, et la réponse que nous obtenons est 0,061. Ce numéro sera la réponse à la question de la tâche.

Jeu de cartes

Les problèmes de théorie des probabilités peuvent être plus complexes ; par exemple, prenons la tâche suivante. Devant vous se trouve un jeu de trente-six cartes. Votre tâche est de tirer deux cartes d'affilée sans mélanger la pile, les première et deuxième cartes doivent être des as, la couleur n'a pas d'importance.

Tout d'abord, trouvons la probabilité que la première carte soit un as, pour cela nous divisons quatre par trente-six. Ils l'ont mis de côté. On sort la deuxième carte, ce sera un as avec une probabilité de trois trente-cinquièmes. La probabilité du deuxième événement dépend de la carte que l'on a tirée en premier, on se demande si c'était un as ou non. Il s'ensuit que l'événement B dépend de l'événement A.

L'étape suivante consiste à trouver la probabilité d'occurrence simultanée, c'est-à-dire que l'on multiplie A et B. Leur produit est obtenu comme suit : on multiplie la probabilité d'un événement par la probabilité conditionnelle d'un autre, que l'on calcule en supposant que le premier L'événement s'est produit, c'est-à-dire que nous avons tiré un as avec la première carte.

Pour que tout soit clair, donnons une désignation à un élément tel que les événements. Il est calculé en supposant que l'événement A s'est produit. Il est calculé comme suit : P(B/A).

Continuons à résoudre notre problème : P(A * B) = P(A) * P(B/A) ou P(A * B) = P(B) * P(A/B). La probabilité est égale à (4/36) * ((3/35)/(4/36). On calcule en arrondissant au centième le plus proche. On a : 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 La probabilité que nous tirions deux as d'affilée est de neuf centièmes. La valeur est très faible, ce qui signifie que la probabilité que l'événement se produise est extrêmement faible.

Numéro oublié

Nous proposons d'analyser plusieurs autres variantes de tâches étudiées par la théorie des probabilités. Vous avez déjà vu des exemples de résolution de certains d'entre eux dans cet article. Essayons de résoudre le problème suivant : le garçon a oublié le dernier chiffre du numéro de téléphone de son ami, mais comme l'appel était très important, il a commencé à tout composer un par un. . Nous devons calculer la probabilité qu'il n'appelle pas plus de trois fois. La solution au problème est plus simple si les règles, lois et axiomes de la théorie des probabilités sont connus.

Avant de chercher la solution, essayez de la résoudre vous-même. On sait que le dernier chiffre peut aller de zéro à neuf, soit dix valeurs au total. La probabilité d’obtenir le bon est de 1/10.

Ensuite, nous devons considérer les options pour l'origine de l'événement, supposons que le garçon ait bien deviné et ait immédiatement tapé le bon, la probabilité d'un tel événement est de 1/10. Deuxième option : le premier appel manque, et le second est cadré. Calculons la probabilité d'un tel événement : multipliez 9/10 par 1/9, et nous obtenons également 1/10. La troisième option : les premier et deuxième appels se sont avérés être à la mauvaise adresse, ce n'est qu'avec le troisième que le garçon est arrivé là où il voulait. Nous calculons la probabilité d'un tel événement : 9/10 multiplié par 8/9 et 1/8, ce qui donne 1/10. Nous ne sommes pas intéressés par d'autres options selon les conditions du problème, il suffit donc d'additionner les résultats obtenus, au final nous avons 3/10. Réponse : la probabilité que le garçon n'appelle pas plus de trois fois est de 0,3.

Cartes avec des chiffres

Il y a neuf cartes devant vous, sur chacune desquelles est inscrit un chiffre de un à neuf, les chiffres ne sont pas répétés. Ils ont été mis dans une boîte et soigneusement mélangés. Il faut calculer la probabilité que

un nombre pair apparaîtra ;
à deux chiffres.

Avant de passer à la solution, stipulons que m est le nombre de cas réussis et n est le nombre total d'options. Trouvons la probabilité que le nombre soit pair. Il ne sera pas difficile de calculer qu’il y a quatre nombres pairs, ce sera notre m, il y a neuf options possibles au total, c’est-à-dire m=9. Alors la probabilité est de 0,44 ou 4/9.

Considérons le deuxième cas : le nombre d'options est de neuf, et il ne peut y avoir aucun résultat positif, c'est-à-dire que m est égal à zéro. La probabilité que la carte tirée contienne un numéro à deux chiffres est également nulle.

INTRODUCTION

Beaucoup de choses nous sont incompréhensibles, non pas parce que nos concepts sont faibles ;
mais parce que ces choses ne sont pas incluses dans l'éventail de nos concepts.
Kozma Prutkov

L'objectif principal de l'étude des mathématiques dans les établissements d'enseignement secondaire spécialisé est de donner aux étudiants un ensemble de connaissances et de compétences mathématiques nécessaires à l'étude d'autres disciplines de programme qui utilisent les mathématiques à un degré ou à un autre, à la capacité d'effectuer des calculs pratiques, à la formation et au développement. de la pensée logique.

Dans cet ouvrage, tous les concepts de base de la section de mathématiques « Fondements de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques », prévus par le programme et les normes éducatives de l'État pour l'enseignement professionnel secondaire (Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie. M., 2002 ), sont systématiquement introduits, les principaux théorèmes sont formulés, dont la plupart ne sont pas prouvés . Les principaux problèmes et méthodes pour les résoudre ainsi que les technologies permettant d'appliquer ces méthodes à la résolution de problèmes pratiques sont examinés. La présentation est accompagnée de commentaires détaillés et de nombreux exemples.

Les instructions méthodologiques peuvent être utilisées pour une première familiarisation avec la matière étudiée, lors de la prise de notes de cours, pour préparer des cours pratiques, pour consolider les connaissances, compétences et capacités acquises. De plus, le manuel sera également utile aux étudiants de premier cycle comme outil de référence, leur permettant de se rappeler rapidement ce qui a été étudié précédemment.

À la fin du travail, il y a des exemples et des tâches que les étudiants peuvent effectuer en mode maîtrise de soi.

Les lignes directrices sont destinées aux étudiants à temps partiel et à temps plein.

CONCEPTS DE BASE

La théorie des probabilités étudie les modèles objectifs d’événements aléatoires de masse. C'est la base théorique des statistiques mathématiques, qui traite du développement de méthodes de collecte, de description et de traitement des résultats d'observation. Par des observations (tests, expériences), c'est-à-dire expérience au sens large du terme, la connaissance des phénomènes du monde réel se produit.

Dans nos activités pratiques, nous rencontrons souvent des phénomènes dont l'issue ne peut être prédite, dont l'issue dépend du hasard.

Un phénomène aléatoire peut être caractérisé par le rapport entre le nombre de ses occurrences et le nombre d'essais, dans chacun desquels, dans les mêmes conditions de tous les essais, il pourrait se produire ou non.

La théorie des probabilités est une branche des mathématiques dans laquelle les phénomènes (événements) aléatoires sont étudiés et les modèles sont identifiés lorsqu'ils se répètent en masse.

Les statistiques mathématiques sont une branche des mathématiques qui traite de l'étude des méthodes de collecte, de systématisation, de traitement et d'utilisation de données statistiques pour obtenir des conclusions scientifiquement fondées et prendre des décisions.

Dans ce cas, les données statistiques s'entendent comme un ensemble de nombres qui représentent les caractéristiques quantitatives des caractéristiques des objets étudiés qui nous intéressent. Les données statistiques sont obtenues à la suite d'expériences et d'observations spécialement conçues.

Les données statistiques dépendent essentiellement de nombreux facteurs aléatoires. Les statistiques mathématiques sont donc étroitement liées à la théorie des probabilités, qui constitue sa base théorique.

I. PROBABILITÉ. THÉORÈMES D'ADDITION ET DE MULTIPLICATION DES PROBABILITÉS

1.1. Concepts de base de la combinatoire

Dans la branche des mathématiques, appelée combinatoire, certains problèmes liés à la considération d'ensembles et à la composition de diverses combinaisons d'éléments de ces ensembles sont résolus. Par exemple, si nous prenons 10 nombres différents 0, 1, 2, 3, : , 9 et que nous en faisons des combinaisons, nous obtiendrons des nombres différents, par exemple 143, 431, 5671, 1207, 43, etc.

Nous voyons que certaines de ces combinaisons ne diffèrent que par l'ordre des chiffres (par exemple, 143 et 431), d'autres - par les chiffres qu'elles contiennent (par exemple, 5671 et 1207), et d'autres diffèrent également par le nombre de chiffres. (par exemple, 143 et 43).

Ainsi, les combinaisons résultantes satisfont diverses conditions.

Selon les règles de composition, trois types de combinaisons peuvent être distingués : permutations, placements, combinaisons.

Faisons d'abord connaissance avec le concept factorielle.

Le produit de tous les nombres naturels de 1 à n inclus est appelé n-factorielle et écrire.

Calculer : a) ; b) ; V) .

Solution. UN) .

b) Depuis , alors nous pouvons le mettre entre parenthèses

Ensuite, nous obtenons

V) .

Réarrangements.

Une combinaison de n éléments qui diffèrent les uns des autres uniquement par l’ordre des éléments est appelée une permutation.

Les permutations sont indiquées par le symbole P n , où n est le nombre d'éléments inclus dans chaque permutation. ( R.- première lettre d'un mot français permutation- réarrangement).

Le nombre de permutations peut être calculé à l'aide de la formule

ou en utilisant factorielle :

Souvenons-nous de cela 0!=1 et 1!=1.

Exemple 2. De combien de façons peut-on disposer six livres différents sur une étagère ?

Solution. Le nombre de voies requis est égal au nombre de permutations de 6 éléments, soit

Placements.

Publications de méléments dans n dans chacun, on appelle de tels composés qui diffèrent les uns des autres soit par les éléments eux-mêmes (au moins un), soit par l'ordre de leur disposition.

Les emplacements sont indiqués par le symbole, où m- le nombre de tous les éléments disponibles, n- le nombre d'éléments dans chaque combinaison. ( UN- première lettre d'un mot français arrangement, qui signifie « placement, mise en ordre »).

En même temps, on pense que n.m.

Le nombre de placements peut être calculé à l'aide de la formule

ceux. nombre de tous les placements possibles à partir de méléments par n est égal au produit n entiers consécutifs, dont le plus grand est m.

Écrivons cette formule sous forme factorielle :

Exemple 3. Combien d'options de distribution de trois bons à des sanatoriums de profils différents peuvent être compilées pour cinq candidats ?

Solution. Le nombre d'options requis est égal au nombre de placements de 5 éléments de 3 éléments, soit

Combinaisons.

Les combinaisons sont toutes les combinaisons possibles de méléments par n, qui diffèrent les uns des autres par au moins un élément (ici m Et n- nombres naturels, et nm).

Nombre de combinaisons de méléments par n sont notés par ( AVEC-la première lettre d'un mot français combinaison- combinaison).

En général, le nombre de méléments par négal au nombre de placements de méléments par n, divisé par le nombre de permutations de néléments :

En utilisant des formules factorielles pour les nombres de placements et de permutations, on obtient :

Exemple 4. Dans une équipe de 25 personnes, vous devez en affecter quatre pour travailler dans un certain domaine. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Solution. Puisque l’ordre des quatre personnes choisies n’a pas d’importance, il existe des moyens de procéder.

On trouve en utilisant la première formule

De plus, lors de la résolution de problèmes, les formules suivantes sont utilisées, exprimant les propriétés de base des combinaisons :

(par définition, ils supposent et) ;

1.2. Résoudre des problèmes combinatoires

Tâche 1. Il y a 16 matières étudiées à la faculté. Vous devez mettre 3 matières à votre emploi du temps pour lundi. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Solution. Il existe autant de façons de programmer trois éléments sur 16 que d’organiser le placement de 16 éléments par 3.

Tâche 2. Sur 15 objets, vous devez sélectionner 10 objets. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Tâche 3. Quatre équipes ont participé au concours. Combien d’options de répartition des sièges entre eux sont possibles ?

Problème 4. De combien de manières peut-on former une patrouille de trois soldats et un officier s'il y a 80 soldats et 3 officiers ?

Solution. Vous pouvez choisir un soldat en patrouille

des manières, et des officiers de manières. Puisque n’importe quel officier peut accompagner chaque équipe de soldats, il n’y a qu’un nombre limité de façons.

Tâche 5. Trouver , si l'on sait que .

Depuis, on obtient

Par définition d'une combinaison, il s'ensuit que , . Que. .

1.3. Le concept d'un événement aléatoire. Types d'événements. Probabilité de l'événement

Toute action, phénomène, observation ayant plusieurs résultats différents, réalisée dans un ensemble de conditions données, sera appelée test.

Le résultat de cette action ou observation est appelé événement .

Si un événement dans des conditions données peut se produire ou ne pas se produire, alors on l'appelle aléatoire . Lorsqu'un événement est certain de se produire, on l'appelle fiable , et dans le cas où cela ne peut évidemment pas arriver, - impossible.

Les événements sont appelés incompatible , si un seul d'entre eux peut apparaître à chaque fois.

Les événements sont appelés articulation , si, dans des conditions données, la survenance de l'un de ces événements n'exclut pas la survenance d'un autre au cours du même essai.

Les événements sont appelés opposé , si dans les conditions du test, ils sont, étant ses seuls résultats, incompatibles.

Les événements sont généralement désignés par les lettres majuscules de l'alphabet latin : A, B, C, D, : .

Un système complet d'événements A 1 , A 2 , A 3 , : , A n est un ensemble d'événements incompatibles dont la survenance d'au moins un d'entre eux est obligatoire lors d'un test donné.

Si un système complet se compose de deux événements incompatibles, alors ces événements sont appelés ci-contre et sont désignés A et .

Exemple. La boîte contient 30 boules numérotées. Déterminez lesquels des événements suivants sont impossibles, fiables ou contraires :

a sorti une boule numérotée (UN);

j'ai une balle avec un nombre pair (DANS);

j'ai une balle avec un nombre impair (AVEC);

j'ai une balle sans numéro (D).

Lesquels forment un groupe complet ?

Solution . UN- événement fiable ; D- événement impossible ;

Dans et AVEC- des événements opposés.

L'ensemble complet des événements se compose de UN Et D, V Et AVEC.

La probabilité d'un événement est considérée comme une mesure de la possibilité objective de survenance d'un événement aléatoire.

1.4. Définition classique de la probabilité

Un nombre qui exprime la mesure de la possibilité objective qu'un événement se produise est appelé probabilité cet événement et est indiqué par le symbole R(A).

Définition. Probabilité de l'événement UN est le rapport du nombre d'issues m favorables à la survenance d'un événement donné UN, au numéro n tous les résultats (incohérents, seulement possibles et également possibles), c'est-à-dire .

Par conséquent, pour trouver la probabilité d'un événement, il est nécessaire, après avoir pris en compte les différents résultats du test, de calculer tous les résultats incohérents possibles. n, choisir le nombre de résultats m qui nous intéressent et calculer le ratio mÀ n.

Les propriétés suivantes découlent de cette définition :

La probabilité de tout test est un nombre non négatif ne dépassant pas un.

En effet, le nombre m d’événements requis est compris entre . Diviser les deux parties en n, nous obtenons

2. La probabilité d'un événement fiable est égale à un, car .

3. La probabilité d'un événement impossible est nulle, puisque .

Problème 1. Dans une loterie de 1 000 billets, il y en a 200 gagnants. Un ticket est tiré au hasard. Quelle est la probabilité que ce ticket soit gagnant ?

Solution. Le nombre total de résultats différents est n=1000. Le nombre de résultats favorables au gain est m=200. D'après la formule, on obtient

Problème 2. Dans un lot de 18 pièces, il y en a 4 défectueuses. 5 pièces sont sélectionnées au hasard. Trouvez la probabilité que deux de ces 5 pièces soient défectueuses.

Solution. Nombre de résultats indépendants également possibles négal au nombre de combinaisons de 18 par 5 soit

Comptons le nombre m qui favorise l'événement A. Parmi 5 pièces prises au hasard, il devrait y en avoir 3 bonnes et 2 défectueuses. Le nombre de façons de sélectionner deux pièces défectueuses parmi 4 pièces défectueuses existantes est égal au nombre de combinaisons de 4 par 2 :

Le nombre de façons de sélectionner trois pièces de qualité parmi 14 pièces de qualité disponibles est égal à

N'importe quel groupe de pièces bonnes peut être combiné avec n'importe quel groupe de pièces défectueuses, donc le nombre total de combinaisons méquivaut à

La probabilité requise de l'événement A est égale au rapport du nombre d'issues m favorables à cet événement sur le nombre n de toutes les issues indépendantes également possibles :

La somme d'un nombre fini d'événements est un événement constitué par la survenance d'au moins l'un d'entre eux.

La somme de deux événements est désignée par le symbole A+B, et la somme névénements avec le symbole A 1 +A 2 + : +A n.

Théorème d’addition de probabilité.

La probabilité de la somme de deux événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de ces événements.

Corollaire 1. Si les événements A 1, A 2, :,A n forment un système complet, alors la somme des probabilités de ces événements est égale à un.

Corollaire 2. La somme des probabilités d'événements opposés et est égale à un.

Problème 1. Il y a 100 billets de loterie. On sait que 5 billets gagnent 20 000 roubles, 10 billets gagnent 15 000 roubles, 15 billets gagnent 10 000 roubles, 25 billets gagnent 2 000 roubles. et rien pour le reste. Trouvez la probabilité que le billet acheté reçoive un gain d'au moins 10 000 roubles.

Solution. Soit A, B et C des événements consistant dans le fait que le billet acheté rapporte un gain égal à 20 000, 15 000 et 10 000 roubles, respectivement. puisque les événements A, B et C sont incompatibles, alors

Tâche 2. Le service de correspondance d'une école technique reçoit des tests de mathématiques des villes A, B Et AVEC. Probabilité de recevoir un test de la ville UNégal à 0,6, de la ville DANS- 0,1. Trouvez la probabilité que le prochain test vienne de la ville AVEC.

Les mathématiques comprennent toute une variété de domaines, dont l'un, avec l'algèbre et la géométrie, est la théorie des probabilités. Il existe des termes communs à tous ces domaines, mais, en plus d’eux, il existe également des mots, des formules et des théorèmes spécifiques qui ne sont caractéristiques que d’une « niche » spécifique.

L’expression « théorie des probabilités » provoque la panique chez un étudiant non préparé. En effet, l'imagination dessine des images où apparaissent des formules volumineuses effrayantes, et la solution à un problème occupe un cahier entier. Cependant, dans la pratique, tout n'est pas si terrible : il suffit de comprendre une fois le sens de certains termes et de plonger dans l'essence d'une logique de raisonnement un peu particulière pour cesser une fois pour toutes d'avoir peur des tâches. À cet égard, nous examinerons les concepts de base de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques - un domaine de connaissances jeune mais extrêmement intéressant.

Pourquoi apprendre des concepts ?

La fonction du langage est de transmettre des informations d'une personne à une autre pour qu'elle la comprenne, la comprenne et puisse l'utiliser. Chaque concept mathématique peut être expliqué avec des mots simples, mais dans ce cas, l’échange de données prendrait beaucoup plus de temps. Imaginez qu'au lieu du mot « hypoténuse », vous deviez toujours dire « le côté le plus long d'un triangle rectangle » - c'est extrêmement gênant et prend du temps.

C’est pourquoi les gens inventent de nouveaux termes pour désigner certains phénomènes et processus. Les concepts de base de la théorie des probabilités – événement, probabilité d’événement, etc. – sont apparus de la même manière. Cela signifie que pour utiliser des formules, résoudre des problèmes et appliquer des compétences dans la vie, vous devez non seulement vous souvenir de nouveaux mots, mais également comprendre ce que chacun d'eux signifie. Plus vous les comprenez profondément, approfondissez leur signification, plus l'étendue de vos capacités s'élargit et plus vous percevez pleinement le monde qui vous entoure.

Quelle est la signification de l'objet

Faisons connaissance avec les concepts de base de la théorie des probabilités. La définition classique de la probabilité est la suivante : il s'agit du rapport entre les résultats qui conviennent au chercheur et le nombre total de résultats possibles. Prenons un exemple simple : lorsqu'une personne lance un dé, celui-ci peut atterrir sur n'importe laquelle des six faces visibles. Le nombre total de résultats est donc de six. La probabilité qu’un camp choisi au hasard apparaisse est de 1/6.

La capacité de prédire l’apparition d’un résultat particulier est extrêmement importante pour divers spécialistes. Combien de pièces défectueuses sont attendues dans le lot ? Cela détermine la quantité que vous devez produire. Quelle est la probabilité que le médicament aide à vaincre la maladie ? De telles informations sont absolument vitales. Mais ne perdons pas de temps avec des exemples supplémentaires et commençons à étudier un nouveau domaine pour nous.

Première connaissance

Considérons les concepts de base de la théorie des probabilités et leur utilisation. En droit, en sciences naturelles et en économie, les formules et termes présentés ci-dessous sont utilisés partout, car ils sont directement liés aux statistiques et aux erreurs de mesure. Une étude plus détaillée de cette question vous révélera de nouvelles formules utiles pour des calculs plus précis et plus complexes, mais commençons par une simple.

L'un des concepts les plus fondamentaux de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques est l'événement aléatoire. Expliquons-le clairement : parmi tous les résultats possibles de l’expérience, un seul est observé. Même si la probabilité que cet événement se produise est nettement plus élevée qu’un autre, il sera aléatoire, puisque théoriquement le résultat aurait pu être différent.

Si nous avons mené une série d'expériences et obtenu un certain nombre de résultats, alors la probabilité de chacun d'eux est calculée à l'aide de la formule : P(A) = m/n. Voici m c'est combien de fois dans une série de tests nous avons observé l'apparition du résultat qui nous intéresse. À son tour, n est le nombre total d’expériences réalisées. Si nous lançons une pièce de monnaie 10 fois et obtenons face 5 fois, alors m=5 et n=10.

Types d'événements

Il arrive qu'il soit garanti qu'un certain résultat soit observé dans chaque essai - un tel événement sera qualifié de fiable. Si cela n’arrive jamais, cela sera qualifié d’impossible. Cependant, de tels événements ne sont pas utilisés dans les problèmes de théorie des probabilités. Les concepts de base qu'il est beaucoup plus important de connaître sont les événements conjoints et non conjoints.

Il arrive que lors d’une expérience, deux événements se produisent simultanément. Par exemple, nous jetons deux dés – dans ce cas, le fait que l’un lance un « six » ne garantit pas que le second ne lancera pas un chiffre différent. De tels événements seront appelés conjoints.

Si nous lançons un dé, alors deux nombres ne peuvent jamais apparaître en même temps. Dans ce cas, les résultats sous la forme d'un « un », d'un « deux », etc. seront considérés comme des événements incompatibles. Il est très important de distinguer quels résultats se produisent dans chaque cas spécifique - cela détermine les formules à utiliser dans le problème de recherche de probabilités. Nous continuerons à étudier les concepts de base de la théorie des probabilités quelques paragraphes plus tard, lorsque nous examinerons les caractéristiques de l'addition et de la multiplication. Après tout, sans eux, aucun problème ne peut être résolu.

Somme et produit

Disons que vous et un ami lancez les dés et qu'ils obtiennent un quatre. Pour gagner, vous devez obtenir « cinq » ou « six ». Dans ce cas, les probabilités s'additionneront : puisque les chances d'obtenir les deux nombres sont de 1/6, la réponse ressemblera à 1/6 + 1/6 = 1/3.

Imaginez maintenant que vous lancez les dés deux fois et que votre ami obtient 11 points. Maintenant, vous devez obtenir un « six » deux fois de suite. Les événements sont indépendants les uns des autres, il faudra donc multiplier les probabilités : 1/6 * 1/6 = 1/36.

Parmi les concepts et théorèmes de base de la théorie des probabilités, il convient de prêter attention à la somme des probabilités d'événements conjoints, c'est-à-dire ceux qui peuvent se produire simultanément. La formule d'addition dans ce cas ressemblera à ceci : P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Combinatoire

Très souvent, nous devons trouver toutes les combinaisons possibles de certains paramètres d'objet ou calculer le nombre de combinaisons (par exemple, lors de la sélection d'un chiffre). La combinatoire, étroitement liée à la théorie des probabilités, nous y aidera. Les concepts de base incluent ici de nouveaux mots, et un certain nombre de formules issues de ce sujet seront probablement utiles.

Disons que vous avez trois nombres : 1, 2, 3. Vous devez les utiliser pour écrire tous les nombres à trois chiffres possibles. Combien y en aura-t-il ? Réponse : n ! (le point d'exclamation signifie factoriel). Les combinaisons d'un certain nombre d'éléments différents (chiffres, lettres, etc.), ne différant que par l'ordre de leur disposition, sont appelées permutations.

Cependant, nous rencontrons beaucoup plus souvent cette situation : il y a 10 chiffres (de zéro à neuf) à partir desquels un mot de passe ou un code est créé. Supposons que sa longueur soit de 4 caractères. Comment calculer le nombre total de codes possibles ? Il existe une formule spéciale pour cela : (n !)/(n - m) !

Compte tenu de la condition problématique proposée ci-dessus, n=10, m=4. De plus, seuls des calculs mathématiques simples sont nécessaires. À propos, de telles combinaisons seront appelées placement.

Enfin, il y a le concept de combinaisons - ce sont des séquences qui diffèrent les unes des autres par au moins un élément. Leur nombre est calculé à l'aide de la formule : (n!) / (m!(n-m)!).

Attente

Un concept important qu'un étudiant rencontre dès les premiers cours de la matière est l'espérance mathématique. C'est la somme de toutes les valeurs résultantes possibles multipliée par leurs probabilités. Il s’agit essentiellement du nombre moyen que nous pouvons prédire comme résultat d’un test. Par exemple, il existe trois valeurs pour lesquelles les probabilités sont indiquées entre parenthèses : 0 (0,2) ; 1 (0,5); 2 (0,3). Calculons l'espérance mathématique : M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Ainsi, à partir de l'expression proposée, il ressort que cette valeur est constante et ne dépend pas du résultat du test.

Ce concept est utilisé dans de nombreuses formules, et vous le rencontrerez plusieurs fois dans le futur. Il n'est pas difficile de travailler avec : l'espérance mathématique de la somme est égale à la somme de mat. attentes - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Il en va de même pour le produit : M(XY) = M(X) * M(Y).

Dispersion

Vous vous souvenez probablement, dans votre cours de physique à l'école, que la dispersion est une diffusion. Quelle est sa place parmi les concepts fondamentaux de la théorie des probabilités ?

Regardez deux exemples. Dans un cas on nous donne : 10(0.2) ; 20(0,6); 30(0,2). Dans un autre - 0(0,2); 20(0,6); 40(0,2). L’espérance mathématique dans les deux cas sera la même, alors comment comparer ces situations ? Après tout, on voit à l'œil nu que la dispersion des valeurs dans le second cas est bien plus grande.

C'est pourquoi la notion de dispersion a été introduite. Pour l'obtenir, il faut calculer l'espérance mathématique à partir de la somme des différences de chaque variable aléatoire et de l'espérance mathématique. Reprenons les chiffres du premier exemple écrit dans le paragraphe précédent.

Tout d’abord, calculons l’espérance mathématique : M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Puis la valeur de la variance : D(X) = 40.

Un autre concept de base des statistiques et de la théorie des probabilités est l’écart type. Le calcul est très simple : il suffit de prendre la racine carrée de la variance.

Ici, nous pouvons également noter un terme aussi simple que portée. Il s'agit d'une valeur qui représente la différence entre les valeurs maximales et minimales de l'échantillon.

Statistiques

Certains concepts scolaires de base sont très souvent utilisés en sciences. Deux d’entre eux sont la moyenne arithmétique et la médiane. Vous vous souvenez sûrement comment trouver leur signification. Mais au cas où, rappelons-le : la moyenne arithmétique est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. S'il y a 10 valeurs, alors nous les additionnons et divisons par 10.

La médiane est la valeur centrale parmi toutes les valeurs possibles. Si nous avons un nombre impair de quantités, alors nous les écrivons par ordre croissant et choisissons celle qui se trouve au milieu. Si nous avons un nombre pair de valeurs, nous prenons les deux centrales et divisons par deux.

Deux autres valeurs situées entre la médiane et les deux valeurs extrêmes - maximale et minimale - de l'ensemble sont appelées quartiles. Ils sont calculés de la même manière - si le nombre d'éléments est impair, le nombre situé au milieu de la rangée est pris, et si le nombre d'éléments est pair, la moitié de la somme des deux éléments centraux est prise.

Il existe également un graphique spécial sur lequel vous pouvez voir toutes les valeurs de l'échantillon, sa plage, sa médiane, son intervalle interquartile, ainsi que les valeurs aberrantes - valeurs qui ne correspondent pas à l'erreur statistique. L'image résultante porte un nom très spécifique (et même non mathématique) : "boîte à moustache".

Distribution

La distribution concerne également les concepts de base de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques. En bref, il représente des informations généralisées sur toutes les variables aléatoires que nous pouvons voir à la suite d’un test. Le paramètre principal ici sera la probabilité d'apparition de chaque valeur spécifique.

Une distribution normale est celle qui comporte un pic central contenant la valeur qui apparaît le plus fréquemment. Des issues de moins en moins probables s'en écartent en arcs de cercle. En général, le graphique ressemble à une « diapositive » de l’extérieur. Vous apprendrez plus tard que ce type de distribution est étroitement lié au théorème central limite, fondamental à la théorie des probabilités. Il décrit des modèles importants pour la branche des mathématiques que nous considérons, qui sont très utiles dans divers calculs.

Mais revenons au sujet. Il existe deux autres types de distributions : asymétrique et multimodale. Le premier ressemble à la moitié d’un graphique « normal », c’est-à-dire que l’arc ne descend que d’un côté à partir de la valeur maximale. Enfin, une distribution multimodale est une distribution dans laquelle il existe plusieurs valeurs « supérieures ». Ainsi, le graphique descend ou monte. La valeur la plus fréquente dans toute distribution est appelée le mode. C'est également l'un des concepts de base de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques.

Distribution gaussienne

Une distribution gaussienne, ou normale, est une distribution dans laquelle l'écart des observations par rapport à la moyenne obéit à une certaine loi.

En bref, la répartition principale des valeurs d'échantillon tend de manière exponentielle vers le mode - le plus fréquent d'entre eux. Plus précisément, 99,6 % de toutes les valeurs se situent dans trois écarts types (rappelez-vous, nous avons évoqué ce concept plus haut ?).

La distribution gaussienne est l'un des concepts de base de la théorie des probabilités. En l'utilisant, vous pouvez comprendre si un élément, selon certains paramètres, est inclus dans la catégorie « typique » - c'est ainsi que la taille et le poids d'une personne sont évalués en fonction de l'âge, du niveau de développement intellectuel, de l'état psychologique et bien plus encore. .

Comment postuler

Il est intéressant de noter que des données mathématiques « ennuyeuses » peuvent être utilisées à votre avantage. Par exemple, un jeune homme a utilisé la théorie des probabilités et les statistiques pour gagner plusieurs millions de dollars à la roulette. Certes, avant cela, j'ai dû me préparer - enregistrer les résultats des jeux dans divers casinos pendant plusieurs mois.

Après avoir effectué l'analyse, il a découvert que l'un des tableaux était légèrement incliné, ce qui signifie qu'un certain nombre de valeurs apparaissent statistiquement plus souvent que d'autres. Un peu de calcul et de patience - et les propriétaires de l'établissement se grattent la tête en se demandant comment une personne peut avoir autant de chance.

Il existe toute une série de problèmes quotidiens qui ne peuvent être résolus sans recourir aux statistiques. Par exemple, comment déterminer la quantité de vêtements qu'un magasin doit commander dans différentes tailles : S, M, L, XL ? Pour ce faire, il faut analyser qui achète le plus souvent des vêtements en ville, en région, dans les magasins de proximité. Si ces informations ne sont pas obtenues, le propriétaire risque de perdre beaucoup d'argent.

Conclusion

Nous avons examiné toute une série de concepts de base de la théorie des probabilités : test, événement, permutations et placements, espérance et dispersion, mode et distribution normale... De plus, nous avons examiné un certain nombre de formules qui demandent plus d'un mois de réflexion. classes pour étudier dans un établissement d’enseignement supérieur.

N'oubliez pas : les mathématiques sont nécessaires pour étudier l'économie, les sciences naturelles, les technologies de l'information et l'ingénierie. Les statistiques, en tant qu'un de ses domaines, ne peuvent pas non plus être ignorées ici.

Maintenant, c’est une question de petites choses : s’entraîner, résoudre des problèmes et des exemples. Même les concepts et définitions de base de la théorie des probabilités seront oubliés si vous ne prenez pas le temps de les réviser. De plus, les formules ultérieures s’appuieront largement sur celles que nous avons considérées. Essayez donc de vous en souvenir, d’autant plus qu’ils ne sont pas nombreux.