قضیه گاوس. قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی) قضیه گاوس برای القای میدان الکتریکی

بیایید در نظر بگیریم که چگونه مقدار بردار E در رابط بین دو رسانه، به عنوان مثال، هوا (ε 1) و آب (ε = 81) تغییر می کند. شدت میدان در آب به طور ناگهانی به میزان 81 کاهش می یابد. این رفتار برداری Eهنگام محاسبه فیلدها در محیط های مختلف، ناراحتی های خاصی ایجاد می کند. برای جلوگیری از این ناراحتی، یک بردار جدید معرفی شده است D– بردار القاء یا جابجایی الکتریکی میدان. اتصال برداری Dو Eبه نظر می رسد

D = ε ε 0 E.

بدیهی است که برای میدان بار نقطه ای جابجایی الکتریکی برابر خواهد بود

به راحتی می توان دید که جابجایی الکتریکی بر حسب C/m2 اندازه گیری می شود، به ویژگی ها بستگی ندارد و به صورت گرافیکی با خطوطی مشابه خطوط کششی نشان داده می شود.

جهت خطوط میدان جهت میدان را در فضا مشخص می کند (البته خطوط میدان وجود ندارد، آنها برای راحتی تصویر معرفی شده اند) یا جهت بردار قدرت میدان. با استفاده از خطوط کشش، می توانید نه تنها جهت، بلکه میزان قدرت میدان را نیز مشخص کنید. برای انجام این کار، موافقت شد که آنها را با چگالی مشخصی اجرا کنیم، به طوری که تعداد خطوط کششی که یک سطح واحد عمود بر خطوط کشش را سوراخ می کنند، متناسب با مدول بردار باشد. E(شکل 78). سپس تعداد خطوطی که در ناحیه ابتدایی dS نفوذ می کنند، که نرمال آن است nیک زاویه α با بردار تشکیل می دهد E، برابر است با E dScos α = E n dS،

که در آن E n جزء برداری است Eدر جهت عادی n. مقدار dФ E = E n dS = Eد استماس گرفت جریان بردار تنش از طریق سایتد اس(د اس= dS n).

برای یک سطح بسته دلخواه S جریان برداری Eاز طریق این سطح برابر است

یک عبارت مشابه جریان بردار جابجایی الکتریکی Ф D را دارد

.

قضیه Ostrogradsky-Gauss

این قضیه به ما اجازه می دهد تا جریان بردارهای E و D را از هر تعداد بار تعیین کنیم. بیایید بار نقطه ای Q را بگیریم و شار بردار را تعریف کنیم Eاز طریق یک سطح کروی به شعاع r که در مرکز آن قرار دارد.

برای یک سطح کروی α = 0، cos α = 1، E n = E، S = 4 πr 2 و

Ф E = E · 4 πr 2 .

با جایگزینی عبارت E دریافت می کنیم

بنابراین، از هر بار نقطه ای یک بردار F E خارج می شود Eبرابر Q/ ε 0 . با تعمیم این نتیجه‌گیری به حالت کلی تعداد دلخواه بارهای نقطه‌ای، فرمول قضیه را می‌دهیم: جریان کل بردار. Eاز طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه از نظر عددی برابر است با مجموع جبری بارهای الکتریکی موجود در این سطح، تقسیم بر ε 0، یعنی.

برای شار برداری جابجایی الکتریکی Dمی توانید فرمول مشابهی دریافت کنید

شار بردار القایی از طریق یک سطح بسته برابر است با مجموع جبری بارهای الکتریکی پوشیده شده توسط این سطح.

اگر سطح بسته ای را بگیریم که باری را در بر نمی گیرد، هر خط Eو Dدو بار از این سطح عبور می کند - در ورودی و خروجی، بنابراین جریان کل به نظر می رسد برابر با صفر. در اینجا باید مجموع جبری خطوط ورودی و خروجی را در نظر گرفت.

استفاده از قضیه Ostrogradsky-Gauss برای محاسبه میدان های الکتریکی ایجاد شده توسط صفحات، کره ها و استوانه ها

یک سطح کروی با شعاع R حامل بار Q است که به طور یکنواخت روی سطح با چگالی سطحی σ توزیع شده است.

بیایید نقطه A را در خارج از کره در فاصله r از مرکز در نظر بگیریم و به صورت ذهنی کره ای به شعاع r با بار متقارن رسم کنیم (شکل 79). مساحت آن S = 4 πr 2 است. شار بردار E برابر خواهد بود

طبق قضیه اوستروگرادسکی-گاوس
از این رو،
با در نظر گرفتن Q = σ 4 πr 2 ، به دست می آوریم

برای نقاط واقع در سطح یک کره (R = r)

D برای نقاطی که در داخل یک کره توخالی قرار دارند (در داخل کره باری وجود ندارد)، E = 0.

2 . سطح استوانه ای توخالی با شعاع R و طول لبا چگالی بار سطحی ثابت شارژ می شود
(شکل 80). اجازه دهید یک سطح استوانه ای هم محور به شعاع r > R رسم کنیم.

بردار جریان Eاز طریق این سطح

با قضیه گاوس

با مساوی کردن اضلاع سمت راست برابری های فوق، به دست می آوریم

.

اگر چگالی بار خطی سیلندر (یا نخ نازک) داده شود
که

3. میدان صفحات بی نهایت با چگالی بار سطحی σ (شکل 81).

بیایید میدان ایجاد شده توسط یک صفحه بینهایت را در نظر بگیریم. از ملاحظات تقارن به دست می آید که شدت در هر نقطه از میدان جهت عمود بر صفحه دارد.

در نقاط متقارن E از نظر قدر یکسان و در جهت مخالف خواهد بود.

اجازه دهید سطح یک استوانه را با پایه ΔS به صورت ذهنی بسازیم. سپس یک جریان از هر یک از پایه های سیلندر خارج می شود

F E = E ΔS، و کل جریان از طریق سطح استوانه ای برابر با F E = 2E ΔS خواهد بود.

در داخل سطح یک بار Q = σ · ΔS وجود دارد. طبق قضیه گاوس باید درست باشد

کجا

نتیجه به دست آمده به ارتفاع سیلندر انتخاب شده بستگی ندارد. بنابراین، شدت میدان E در هر فاصله ای از نظر قدر یکسان است.

برای دو صفحه با بار متفاوت با چگالی بار سطحی یکسان σ، طبق اصل برهم نهی، در خارج از فضای بین صفحات قدرت میدان صفر E = 0 و در فضای بین صفحات است.
(شکل 82 الف). اگر هواپیماها با بارهای مشابه با چگالی بار سطحی یکسان شارژ شوند، تصویر مخالف مشاهده می شود (شکل 82 ب). در فضای بین صفحات E = 0 و در فضای خارج از صفحات
.

اصلی ترین وظیفه کاربردی الکترواستاتیک محاسبه میدان های الکتریکی ایجاد شده در دستگاه ها و دستگاه های مختلف است. به طور کلی این مشکل با استفاده از قانون کولن و اصل برهم نهی حل می شود. با این حال، این کار هنگام در نظر گرفتن بسیار دشوار می شود تعداد زیادیهزینه های نقطه ای یا فضایی توزیع شده هنگامی که دی الکتریک ها یا هادی ها در فضا وجود دارند، زمانی که تحت تأثیر میدان خارجی E 0 توزیع مجدد بارهای میکروسکوپی رخ می دهد، مشکلات بیشتری ایجاد می شود و میدان اضافی E خود را ایجاد می کند. بنابراین، برای حل عملی این مشکلات، روش ها و تکنیک های کمکی هستند. استفاده می شود که از دستگاه پیچیده ریاضی استفاده می کند. ما ساده ترین روش را بر اساس استفاده از قضیه استروگرادسکی-گاوس در نظر خواهیم گرفت. برای فرمول بندی این قضیه چندین مفهوم جدید را معرفی می کنیم:

الف) چگالی بار

اگر جسم باردار بزرگ است، پس باید از توزیع بارها در داخل بدن مطلع شوید.

تراکم بار حجمی- اندازه گیری شده توسط شارژ در واحد حجم:

چگالی بار سطحی- با بار در واحد سطح بدن اندازه گیری می شود (زمانی که بار روی سطح توزیع می شود):

چگالی بار خطی(توزیع بار در طول هادی):

ب) بردار القای الکترواستاتیک

بردار القای الکترواستاتیک (بردار جابجایی الکتریکی) یک کمیت برداری است که میدان الکتریکی را مشخص می کند.

بردار برابر حاصلضرب بردار روی ثابت دی الکتریک مطلق محیط در یک نقطه معین:

بیایید ابعاد را بررسی کنیم Dدر واحدهای SI:

، زیرا
,

سپس ابعاد D و E با هم مطابقت ندارند و مقادیر عددی آنها نیز متفاوت است.

از تعریف نتیجه می شود که برای فیلد برداری همان اصل برهم نهی برای میدان اعمال می شود :

میدان به صورت گرافیکی با خطوط القایی، درست مانند میدان نمایش داده می شود . خطوط القایی طوری ترسیم می شوند که مماس در هر نقطه با جهت منطبق باشد ، و تعداد خطوط برابر با مقدار عددی D در یک مکان معین است.

برای درک معنای مقدمه بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

V) شار بردار القایی الکترواستاتیک

سطح S را در میدان الکتریکی در نظر بگیرید و جهت نرمال را انتخاب کنید

1. اگر میدان یکنواخت است، تعداد خطوط میدان از سطح S:

2. اگر میدان غیر یکنواخت باشد، سطح به عناصر بینهایت کوچک dS تقسیم می شود که مسطح در نظر گرفته می شوند و میدان اطراف آنها یکنواخت است. بنابراین، شار از طریق عنصر سطح: dN = D n dS،

و مجموع جریان از هر سطحی برابر است با:

(6)

شار القایی N یک کمیت اسکالر است. بسته به  می تواند > 0 یا باشد< 0, или = 0.

دشوارترین کار مطالعه پدیده های الکتریکی در یک محیط الکتریکی ناهمگن است. در چنین محیطی، ε دارای مقادیر متفاوتی است که به طور ناگهانی در مرز دی الکتریک تغییر می کند. بیایید فرض کنیم که قدرت میدان را در سطح مشترک بین دو رسانه تعیین می کنیم: ε 1 = 1 (خلاء یا هوا) و ε 2 = 3 (مایع - روغن). در فصل مشترک، در طول انتقال از خلاء به دی الکتریک، قدرت میدان سه برابر کاهش می یابد، و شار بردار قدرت به همان میزان کاهش می یابد (شکل 12.25، a). یک تغییر ناگهانی در بردار شدت میدان الکترواستاتیک در سطح مشترک بین دو رسانه، مشکلات خاصی را هنگام محاسبه میدان ها ایجاد می کند. در مورد قضیه گاوس، در این شرایط به طور کلی معنای خود را از دست می دهد.

از آنجایی که قطبش پذیری و ولتاژ دی الکتریک های غیرمشابه متفاوت است، تعداد خطوط میدان در هر دی الکتریک نیز متفاوت خواهد بود. این مشکل را می توان با معرفی یک مشخصه فیزیکی جدید میدان، القای الکتریکی D (یا بردار) حذف کرد. جابجایی الکتریکی ).

طبق فرمول

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const

با ضرب تمام قسمت های این برابری ها در ثابت الکتریکی ε 0 به دست می آوریم

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

اجازه دهید نماد ε 0 εE=D را معرفی کنیم سپس رابطه ماقبل آخر شکل خواهد گرفت

D 1 = D 2 = D 0 = ثابت

بردار D برابر با حاصلضرب شدت میدان الکتریکی در دی الکتریک و ثابت دی الکتریک مطلق آن، نامیده می شود.بردار جابجایی الکتریکی

(12.45)

واحد جابجایی الکتریکی - آویز در هر متر مربع(C/m2).

جابجایی الکتریکی یک کمیت برداری است و همچنین می تواند به صورت بیان شود

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

برخلاف ولتاژ E، جابجایی الکتریکی D در تمام دی الکتریک ها ثابت است (شکل 12.25، b). بنابراین، توصیف میدان الکتریکی در یک محیط دی الکتریک ناهمگن نه با شدت E، بلکه با بردار جابجایی D راحت است. بردار D میدان الکترواستاتیک ایجاد شده توسط بارهای آزاد (یعنی در خلاء) را توصیف می کند، اما با توزیع آنها در فضا مانند حضور یک دی الکتریک، زیرا بارهای محدود ناشی از دی الکتریک ها می توانند باعث توزیع مجدد بارهای آزاد ایجاد کننده میدان شوند.

فیلد برداری به صورت گرافیکی با خطوط جابجایی الکتریکی به همان شکل میدان نشان داده می شود با خطوط نیرو به تصویر کشیده شده است.

خط جابجایی برق - اینها خطوطی هستند که مماس آنها در هر نقطه در جهت با بردار جابجایی الکتریکی منطبق است.

خطوط بردار E می توانند با هر باری شروع و پایان دهند - آزاد و محدود، در حالی که خطوط بردارD- فقط با هزینه های رایگان. خطوط برداریDبر خلاف خطوط کششی، آنها پیوسته هستند.

از آنجایی که بردار جابجایی الکتریکی در سطح مشترک بین دو رسانه ناپیوستگی را تجربه نمی کند، تمام خطوط القایی ناشی از بارهایی که توسط سطح بسته احاطه شده اند به آن نفوذ می کنند. بنابراین، برای بردار جابجایی الکتریکی، قضیه گاوس به طور کامل معنای خود را برای یک محیط دی الکتریک ناهمگن حفظ می کند.

قضیه گاوس برای میدان الکترواستاتیک در دی الکتریک : جریان بردار جابجایی الکتریکی از یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای موجود در داخل این سطح.

(12.47)

قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی)

برای یک میدان در یک محیط دی الکتریک، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به روش دیگری (به روشی جایگزین) - از طریق جریان بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی) نوشت. در این مورد، فرمول قضیه به این صورت است: جریان بردار جابجایی الکتریکی از یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

به شکل دیفرانسیل:

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

یا به شکل دیفرانسیل

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی (به طور کامل) است. گرداب.

قضیه گاوس برای گرانش نیوتنی

برای قدرت میدان گرانش نیوتنی (شتاب گرانشی)، قضیه گاوس عملاً با آن در الکترواستاتیک منطبق است، به استثنای تنها ثابت ها (اما، همچنان به انتخاب دلخواه سیستم واحدها بستگی دارد) و مهمتر از همه، علامت:

کجا g- قدرت میدان گرانشی، م- بار گرانشی (یعنی جرم) در داخل سطح اس, ρ - چگالی جرمی، جی- ثابت نیوتنی

رساناها در میدان الکتریکی میدان در داخل هادی و روی سطح آن.

رساناها اجسامی هستند که بارهای الکتریکی می توانند از طریق آنها از یک جسم باردار به یک جسم بدون بار عبور کنند.توانایی هادی ها برای عبور بارهای الکتریکی از طریق خود با وجود حامل های بار آزاد در آنها توضیح داده می شود. هادی ها - اجسام فلزی در حالت جامد و مایع، محلول های مایع الکترولیت ها. بارهای آزاد یک هادی وارد شده به میدان الکتریکی تحت تأثیر آن شروع به حرکت می کنند. توزیع مجدد بارها باعث تغییر در میدان الکتریکی می شود. هنگامی که قدرت میدان الکتریکی در یک رسانا صفر شود، الکترون ها از حرکت باز می ایستند. پدیده جدایی بارهای غیرمشابه در رسانایی که در میدان الکتریکی قرار می گیرد، القای الکترواستاتیکی نامیده می شود. داخل هادی میدان الکتریکیخیر این برای حفاظت الکترواستاتیک استفاده می شود - حفاظت با استفاده از هادی های فلزی از میدان الکتریکی. سطح جسم رسانا به هر شکلی در میدان الکتریکی یک سطح هم پتانسیل است.

خازن ها

برای به دست آوردن وسایلی که با پتانسیل پایین نسبت به محیط، بارهای قابل توجهی را روی خود انباشته (متراکم) می کنند، از این واقعیت استفاده می کنند که ظرفیت الکتریکی یک هادی با نزدیک شدن اجسام دیگر به آن افزایش می یابد. در واقع، تحت تأثیر میدان ایجاد شده توسط هادی های باردار، بارهای القایی (روی هادی) یا مرتبط (روی دی الکتریک) روی جسمی که به آن وارد شده است ظاهر می شود (شکل 15.5). بارهای مخالف با علامت بار هادی q نسبت به بارهای همنام q نزدیکتر به هادی قرار دارند و بنابراین تأثیر زیادی بر پتانسیل آن دارند.

بنابراین، هنگامی که هر جسمی به یک هادی باردار نزدیک می شود، قدرت میدان کاهش می یابد و در نتیجه پتانسیل هادی کاهش می یابد. با توجه به معادله، این به معنای افزایش ظرفیت هادی است.

خازن از دو هادی (صفحات) تشکیل شده است (شکل 15.6) که توسط یک لایه دی الکتریک از هم جدا شده اند. هنگامی که یک اختلاف پتانسیل معین به یک هادی اعمال می شود، صفحات آن با بارهای مساوی با علامت مخالف شارژ می شوند. ظرفیت الکتریکی یک خازن به عنوان یک کمیت فیزیکی است که با بار q متناسب است و با اختلاف پتانسیل بین صفحات نسبت معکوس دارد.

بیایید ظرفیت یک خازن تخت را تعیین کنیم.

اگر مساحت صفحه S و بار روی آن q باشد، پس قدرت میدان بین صفحات

از سوی دیگر، اختلاف پتانسیل بین صفحات ناشی از

انرژی یک سیستم از بارهای نقطه ای، یک هادی باردار و یک خازن.

هر سیستم باردار دارای مقداری انرژی برهمکنش بالقوه است که برابر با کار صرف شده برای ایجاد این سیستم است. انرژی یک سیستم بارهای نقطه ای q 1 , q 2 , q 3 ,… q نبه صورت زیر تعریف می شود:

کجا φ 1- پتانسیل میدان الکتریکی ایجاد شده توسط همه بارها به جز q 1 در نقطه ای که شارژ قرار دارد q 1 و غیره اگر پیکربندی سیستم بارها تغییر کند، انرژی سیستم نیز تغییر می کند. برای تغییر پیکربندی سیستم، کار باید انجام شود.

انرژی پتانسیل یک سیستم بارهای نقطه ای را می توان به روش دیگری محاسبه کرد. انرژی بالقوه بارهای دو نقطه ای q 1 , q 2 در فاصله از یکدیگر برابر است. اگر چندین بار وجود داشته باشد، انرژی پتانسیل این سیستم از بارها را می توان به عنوان مجموع انرژی های بالقوه همه جفت بارهایی که می توان برای این سیستم تشکیل داد، تعریف کرد. بنابراین، برای یک سیستم سه بار مثبت، انرژی سیستم برابر است با

چگالی بار سطحی روی صفحات خازن برابر است با نسبت مقدار بار روی آن به مساحت صفحه:.

انرژی یک هادی و خازن منفرد باردار اگر هادی ایزوله دارای بار q باشد، میدان الکتریکی در اطراف آن وجود دارد که پتانسیل آن در سطح رسانا برابر است و ظرفیت آن C است. اجازه دهید بار را به مقدار dq افزایش دهیم. هنگام انتقال شارژ dq از بی نهایت، کار باید برابر با

. اما پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی معین در بی نهایت صفر است. سپس

هنگام انتقال بار dq از یک هادی به بی نهایت، همان کار توسط نیروهای میدان الکترواستاتیک انجام می شود. در نتیجه، وقتی بار رسانا به مقدار dq افزایش می یابد، انرژی پتانسیل میدان افزایش می یابد، به عنوان مثال.

با ادغام این عبارت، انرژی پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی باردار را با افزایش بار آن از صفر به q پیدا می کنیم:

با اعمال رابطه، می توانیم عبارات زیر را برای انرژی پتانسیل W بدست آوریم: