باز هم مثلث فیثاغورثی :))) اگر قطعه ای از مورب بزرگ از پایه بزرگ تا نقطه تقاطع x تعیین شود، پس از شباهت آشکار مثلث های قائم الزاویه با زوایای مساوی، نتیجه می شود.x/64 = 36/x، بنابراین x = 48;48/64 = 3/4، بنابراین تمام مثلث های قائم الزاویه که توسط قاعده ها، مورب ها و یک ضلع عمود بر پایه تشکیل شده اند شبیه مثلثی با ضلع های 3،4،5 هستند. تنها استثنا مثلثی است که توسط قطعات مورب و یک ضلع مورب تشکیل شده است، اما ما به آن علاقه ای نداریم :). (برای روشن شدن، شباهت های مورد بحث فقط به صورت متفاوتی نامگذاری شده اند توابع مثلثاتیزاویه ها :) ما قبلاً مماس زاویه بین مورب بزرگ و قاعده بزرگ را می دانیم، برابر است با 3/4، یعنی سینوس 3/5 است و کسینوس 4/5 است :)) بلافاصله می توانید نوشتن
پاسخ ها. پایه پایین 80 ارتفاع ذوزنقه 60 و بالا 45 می شود.
وظایف مشابه:
1. قاعده منشور مثلثی است که یک ضلع آن 2 سانتی متر است و دو ضلع دیگر هر کدام 3 سانتی متر است و با صفحه پایه زاویه 45 ایجاد می کند از یک مکعب مساوی
2. قاعده منشور مایل یک مثلث متساوی الاضلاع با ضلع a است. یکی از وجوه جانبی عمود بر صفحه قاعده و لوزی است که قطر کوچکتر آن برابر با c است. حجم منشور را بیابید.
3. در یک منشور مایل، قاعده مثلث قائم الزاویه است که هیپوتانوس آن برابر با c، یک زاویه تند برابر با 30، لبه کناری برابر با k و با صفحه پیدا زاویه 60 می سازد حجم منشور
1. ضلع مربع را در صورتی که قطر آن 10 سانتی متر است را بیابید
2. در ذوزنقه متساوی الساقین زاویه منفرد 135 درجه، قاعده 4 سانتی متر و ارتفاع 2 سانتی متر است، مساحت ذوزنقه را پیدا کنید؟
3. ارتفاع ذوزنقه 3 برابر یکی از پایه ها ولی نصف دیگری است. اگر مساحت ذوزنقه 168 سانتی متر مربع باشد، پایه و ارتفاع ذوزنقه را بیابید؟
4. در مثلث ABC، زاویه A = در زاویه = 75 درجه. اگر مساحت مثلث 36 سانتی متر مربع باشد BC را پیدا کنید.
1. در ذوزنقه ای ABCD با اضلاع AB و CD، مورب ها در نقطه O قطع می شوند.
الف) مساحت مثلث های ABD و ACD را با هم مقایسه کنید
ب) مساحت مثلث های ABO و CDO را با هم مقایسه کنید
ج) ثابت کنید که OA*OB=OC*OD
2. قاعده یک مثلث متساوی الساقین به ضلع 4:3 مربوط می شود و ارتفاع رسم شده به قاعده 30 سانتی متر است قطعاتی را که نیمساز زاویه در قاعده به آنها تقسیم می کند، پیدا کنید.
3. خط AM مماس بر دایره است، AB وتر این دایره است. ثابت کنید که زاویه MAB با نیمی از قوس AB واقع در زاویه MAB اندازه گیری می شود.
- پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند برابر با نصف اختلاف پایه ها است.
- مثلث هایی که از قاعده ذوزنقه و قطعات مورب تا نقطه تقاطع آنها تشکیل شده اند مشابه هستند.
- مثلث هایی که توسط بخش هایی از مورب های ذوزنقه تشکیل شده اند که اضلاع آن در اضلاع جانبی ذوزنقه قرار دارند - اندازه آنها برابر است (دارای مساحت یکسان)
- اگر اضلاع ذوزنقه را به سمت قاعده کوچکتر گسترش دهید، در یک نقطه با خط مستقیمی که نقاط میانی پایه ها را به هم متصل می کند، تلاقی می کنند.
- قطعه ای که پایه های ذوزنقه را به هم وصل می کند و از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه می گذرد به نسبت طول های پایه های ذوزنقه بر این نقطه تقسیم می شود.
- قسمتی که به موازات پایه های ذوزنقه است و از نقطه تلاقی مورب ها کشیده شده است به این نقطه به نصف تقسیم می شود و طول آن برابر با 2ab/(a + b) است که a و b پایه های آن هستند. ذوزنقه ای
خواص پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند
بیایید نقاط میانی قطرهای ذوزنقه ABCD را به هم وصل کنیم، در نتیجه یک قطعه LM خواهیم داشت.
پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند در خط وسط ذوزنقه قرار دارد.
این بخش به موازات پایه های ذوزنقه.
طول پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند برابر با نصف اختلاف پایه های آن است.
LM = (میلادی - قبل از میلاد)/2
یا
LM = (a-b)/2
خواص مثلث هایی که از قطرهای ذوزنقه تشکیل شده اند
مثلث هایی که از پایه های ذوزنقه و نقطه تقاطع مورب های ذوزنقه تشکیل می شوند - مشابه هستند.
مثلث های BOC و AOD مشابه هستند. از آنجایی که زوایای BOC و AOD عمودی هستند، با هم برابر هستند.
زوایای OCB و OAD زوایای داخلی هستند که به صورت متقاطع با خطوط موازی AD و BC (پایه های ذوزنقه با یکدیگر موازی هستند) و یک خط مقطعی AC قرار دارند، بنابراین آنها با هم برابر هستند.
زوایای OBC و ODA به همین دلیل برابر هستند (داخلی به صورت متقاطع).
از آنجایی که هر سه زاویه یک مثلث برابر با زوایای مربوط به مثلث دیگر است، پس این مثلث ها شبیه هم هستند.
چه چیزی از این نتیجه می شود؟
برای حل مسائل هندسه از تشابه مثلث ها به صورت زیر استفاده می شود. اگر طول دو عنصر متناظر از مثلث های مشابه را بدانیم، ضریب تشابه را پیدا می کنیم (یکی را بر دیگری تقسیم می کنیم). از جایی که طول همه عناصر دیگر دقیقاً با یک مقدار به یکدیگر مرتبط است.
ویژگی های مثلث های خوابیده در ضلع جانبی و مورب های ذوزنقه
دو مثلث را در اضلاع جانبی ذوزنقه AB و CD در نظر بگیرید. اینها مثلث های AOB و COD هستند. با وجود این واقعیت که اندازه اضلاع جداگانه این مثلث ها ممکن است کاملاً متفاوت باشد، اما مساحت مثلث های تشکیل شده توسط اضلاع جانبی و نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه مساوی است.، یعنی مثلث ها از نظر اندازه برابر هستند.
اگر اضلاع ذوزنقه را به سمت قاعده کوچکتر گسترش دهیم، نقطه تلاقی اضلاع خواهد بود. منطبق با یک خط مستقیم است که از وسط پایه ها می گذرد.
بنابراین، هر ذوزنقه ای را می توان به یک مثلث منبسط کرد. در این مورد:
- مثلث های تشکیل شده توسط پایه های ذوزنقه ای با راس مشترک در محل تلاقی اضلاع کشیده شده مشابه هستند.
- خط مستقیمی که نقاط میانی پایه ذوزنقه را به هم وصل می کند، در عین حال، میانه مثلث ساخته شده است.
ویژگی های قطعه ای که پایه های ذوزنقه را به هم متصل می کند
اگر پاره ای را بکشید که انتهای آن روی پایه های ذوزنقه قرار دارد که در نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه (KN) قرار دارد، آنگاه نسبت قطعات تشکیل دهنده آن از سمت قاعده به نقطه تقاطع است. از قطرها (KO/ON) برابر با نسبت پایه های ذوزنقه خواهد بود(پیش از میلاد/میلادی).
KO/ON = BC/AD
این ویژگی از شباهت مثلث های مربوطه ناشی می شود (به بالا مراجعه کنید).
ویژگی های یک قطعه موازی با پایه های ذوزنقه
اگر پاره ای را به موازات پایه های ذوزنقه رسم کنیم و از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه عبور کند، ویژگی های زیر را خواهد داشت:
- فاصله مشخص شده (کیلومتر) با نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه دو نیم شده است
- طول بخشعبور از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه و موازی با قاعده ها برابر است با KM = 2ab/(a + b)
فرمول های یافتن قطرهای ذوزنقه
الف، ب- پایه های ذوزنقه ای
ج، د- طرفین ذوزنقه
d1 d2- مورب های ذوزنقه
α β - زوایایی با پایه بزرگتر ذوزنقه
فرمول هایی برای یافتن قطرهای ذوزنقه از طریق قاعده ها، اضلاع و زوایای قاعده
اولین گروه از فرمول ها (1-3) یکی از ویژگی های اصلی قطرهای ذوزنقه ای را نشان می دهد:
1. مجموع مربعات قطرهای ذوزنقه برابر است با مجموع مربعات اضلاع به اضافه دو برابر حاصل ضرب قاعده های آن. این خاصیت قطرهای ذوزنقه ای را می توان به عنوان یک قضیه جداگانه اثبات کرد
2 . این فرمول با تبدیل فرمول قبلی به دست می آید. مربع قطر دوم از طریق علامت مساوی پرتاب می شود و پس از آن ریشه مربع از سمت چپ و راست عبارت استخراج می شود.
3 . این فرمول برای یافتن طول قطر ذوزنقه مشابه فرمول قبلی است، با این تفاوت که قطر دیگری در سمت چپ عبارت باقی می‌ماند.
فرمول های گروه بعدی (4-5) از نظر معنی مشابه هستند و رابطه مشابهی را بیان می کنند.
گروه فرمول ها (6-7) به شما امکان می دهد قطر ذوزنقه را در صورتی پیدا کنید که پایه بزرگتر ذوزنقه، یک طرف و زاویه پایه مشخص باشد.
فرمول هایی برای یافتن قطرهای ذوزنقه از طریق ارتفاع
وظیفه.
قطرهای ذوزنقه ABCD (AD | | BC) در نقطه O قطع می شوند. طول قاعده BC ذوزنقه را اگر پایه AD = 24 سانتی متر، طول AO = 9 سانتی متر، طول OS = 6 سانتی متر باشد، پیدا کنید.
راه حل.
راه حل این مشکل از نظر ایدئولوژیکی کاملاً مشابه مشکلات قبلی است.
مثلث های AOD و BOC در سه زاویه مشابه هستند - AOD و BOC عمودی هستند و زوایای باقیمانده به صورت زوجی برابر هستند، زیرا از تقاطع یک خط و دو خط موازی تشکیل می شوند.
از آنجایی که مثلث ها شبیه هم هستند، تمام ابعاد هندسی آنها به هم مرتبط است، درست مانند ابعاد هندسی قطعات AO و OC که با توجه به شرایط مسئله برای ما شناخته شده است. یعنی
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / قبل از میلاد
قبل از میلاد = 24 * 6 / 9 = 16
پاسخ دهید: 16 سانتی متر
وظیفه
در ذوزنقه ABCD مشخص است که AD=24، BC=8، AC=13، BD=5√17. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید. 
راه حل .
برای یافتن ارتفاع ذوزنقه از رئوس پایه کوچکتر B و C، دو ارتفاع را به پایه بزرگتر کاهش می دهیم. از آنجایی که ذوزنقه نابرابر است، طول AM = a، طول KD = b ( نباید با نماد در فرمول اشتباه گرفته شودپیدا کردن مساحت ذوزنقه). از آنجایی که پایه های ذوزنقه موازی هستند و دو ارتفاع را عمود بر پایه بزرگتر رها کردیم، پس MBCK یک مستطیل است.
به معنی
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
مثلث های DBM و ACK مستطیل شکل هستند، بنابراین زوایای قائم آنها توسط ارتفاعات ذوزنقه تشکیل می شود. اجازه دهید ارتفاع ذوزنقه را با h نشان دهیم. سپس، توسط قضیه فیثاغورث
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
و
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
بیایید در نظر بگیریم که a = 16 - b، سپس در معادله اول
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
بیایید مقدار مربع ارتفاع را با معادله دوم که با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست آمده است جایگزین کنیم. دریافت می کنیم:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
بنابراین KD = 12
کجا
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
مساحت ذوزنقه را از ارتفاع آن و نصف مجموع قاعده ها را بیابید
، جایی که a b - پایه ذوزنقه، h - ارتفاع ذوزنقه
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 سانتی متر مربع
پاسخ دهید: مساحت ذوزنقه 80 سانتی متر مربع است.
اگر قطرهای یک ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، مطالب نظری زیر برای حل مسئله مفید خواهد بود.
1. اگر قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، ارتفاع ذوزنقه برابر با نصف مجموع قاعده هاست.
اجازه دهید یک خط CF موازی با BD از نقطه C رسم کنیم و خط AD را تا زمانی که با CF قطع شود گسترش دهیم.
چهار ضلعی BCFD متوازی الاضلاع است (BC∥ DF به عنوان پایه ذوزنقه، BD∥ CF توسط ساخت). بنابراین CF=BD، DF=BC و AF=AD+BC.
مثلث ACF قائم الزاویه است (اگر خطی عمود بر یکی از دو خط موازی باشد، بر خط دیگر نیز عمود است). از آنجایی که در یک ذوزنقه متساوی الساقین مورب ها برابر هستند و CF = BD، پس CF = AC، یعنی مثلث ACF متساوی الساقین با قاعده AF است. این بدان معنی است که ارتفاع CN آن نیز میانه است. و از آنجایی که میانه یک مثلث قائم الزاویه کشیده شده به سمت هیپوتانوس برابر با نصف آن است، پس
چه چیزی در نمای کلیرا می توان به صورت نوشتاری
جایی که h ارتفاع ذوزنقه است، a و b پایه های آن هستند.
2. اگر قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، ارتفاع آن برابر با خط وسط است.
از آنجایی که خط وسط ذوزنقه m برابر است با نصف مجموع قاعده ها، پس
3. اگر قطرهای یک ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، مساحت ذوزنقه برابر است با مربع ارتفاع ذوزنقه (یا مربع نیمی از مجموع قاعده ها یا مربع خط وسط). ).
از آنجایی که مساحت ذوزنقه با فرمول پیدا می شود
و ارتفاع، نصف مجموع قاعده ها و خط وسط یک ذوزنقه متساوی الساقین با قطرهای عمود بر هم برابر است:
4. اگر قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، مجذور قطر آن برابر با نصف مجذور مجموع قاعده ها و همچنین دو برابر مربع ارتفاع و دو برابر مربع خط وسط است.
از آنجایی که مساحت یک چهارضلعی محدب را می توان از طریق قطرهای آن و زاویه بین آنها با استفاده از فرمول پیدا کرد.
