چگونه 1 حد فوق العاده را حل کنیم. اولی و دومی محدودیت های شگفت انگیزی هستند. تداوم یک تابع تداوم یک تابع در یک نقطه

معمولاً دومین حد قابل توجه به این شکل نوشته می شود:

\begin(معادله) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(معادله)

عدد $e$ نشان داده شده در سمت راست برابری (1) غیر منطقی است. مقدار تقریبی این عدد: $e\approx(2(,)718281828459045)$ است. اگر $t=\frac(1)(x)$ را جایگزین کنیم، فرمول (1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\begin(معادله) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(معادله)

مانند اولین محدودیت قابل توجه، مهم نیست که کدام عبارت به جای متغیر $x$ در فرمول (1) یا به جای متغیر $t$ در فرمول (2) قرار می گیرد. نکته اصلی رعایت دو شرط است:

1. پایه درجه (یعنی عبارت در پرانتز فرمول های (1) و (2)) باید به وحدت گرایش داشته باشد.
2. توان (یعنی $x$ در فرمول (1) یا $\frac(1)(t)$ در فرمول (2)) باید به بی نهایت تمایل داشته باشد.

گفته می شود که دومین محدودیت قابل توجه عدم قطعیت $1^\infty$ را نشان می دهد. لطفاً توجه داشته باشید که در فرمول (1) ما مشخص نمی کنیم که در مورد کدام بی نهایت ($+\infty$ یا $-\infty$) صحبت می کنیم. در هر یک از این موارد، فرمول (1) صحیح است. در فرمول (2)، متغیر $t$ می تواند هم در سمت چپ و هم در سمت راست به صفر تمایل داشته باشد.

متذکر می شوم که از محدودیت قابل توجه دوم نیز چندین پیامد مفید وجود دارد. نمونه هایی از استفاده از محدودیت قابل توجه دوم و همچنین پیامدهای آن در بین کامپایلرهای محاسبات و آزمایش های استاندارد استاندارد بسیار محبوب است.

مثال شماره 1

حد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ را محاسبه کنید.

بیایید بلافاصله توجه کنیم که پایه درجه (یعنی $\frac(3x+1)(3x-5)$) به وحدت تمایل دارد:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\راست| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

در این حالت، توان (بیان $4x+7$) به سمت بی نهایت میل می کند، یعنی. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

پایه درجه به وحدت میل می کند، توان به بی نهایت میل می کند، یعنی. ما با عدم قطعیت $1^\infty$ روبرو هستیم. بیایید یک فرمول برای آشکار کردن این عدم قطعیت اعمال کنیم. در پایه توان فرمول عبارت $1+\frac(1)(x)$ قرار دارد و در مثالی که در نظر می گیریم، پایه توان عبارت است از: $\frac(3x+1)(3x- 5) دلار. بنابراین، اولین اقدام، تعدیل رسمی عبارت $\frac(3x+1)(3x-5)$ به شکل $1+\frac(1)(x)$ خواهد بود. ابتدا یکی را جمع و کم کنید:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

لطفا توجه داشته باشید که نمی توانید به سادگی یک واحد اضافه کنید. اگر مجبور شدیم یکی را اضافه کنیم، باید آن را نیز کم کنیم تا ارزش کل عبارت را تغییر ندهیم. برای ادامه راه حل، آن را در نظر می گیریم

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

از آنجایی که $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$، پس:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ چپ(1+\frac(6)(3x-5)\راست)^(4x+7) $$

بیایید تنظیم را ادامه دهیم. در عبارت $1+\frac(1)(x)$ از فرمول، صورت‌گر کسر 1 است و در عبارت ما $1+\frac(6)(3x-5)$، صورت‌گر 6$ است. برای بدست آوردن $1$ در صورت حساب، $6$ را در مخرج با استفاده از تبدیل زیر بریزید:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

بنابراین،

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\راست)^(4x+7) $$

بنابراین، اساس مدرک، یعنی. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$، به شکل $1+\frac(1)(x)$ مورد نیاز در فرمول تنظیم شده است. حالا بیایید کار با توان را شروع کنیم. توجه داشته باشید که در فرمول، عبارات در مخرج و در مخرج یکسان هستند:

این بدان معناست که در مثال ما، مصدر و مخرج باید به یک شکل آورده شوند. برای بدست آوردن عبارت $\frac(3x-5)(6)$ در توان، به سادگی توان را در این کسری ضرب می کنیم. به طور طبیعی، برای جبران چنین ضربی، باید بلافاصله در کسر متقابل ضرب کنید، یعنی. توسط $\frac(6)(3x-5)$. بنابراین ما داریم:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\راست)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

اجازه دهید به طور جداگانه حد کسری $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ واقع در توان را در نظر بگیریم:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\راست| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x))=e^(-\frac(2) (9)) دلار.

مثال شماره 4

حد $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که برای $x>0$، $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ داریم، پس:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ چپ (\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

با بسط کسری $\frac(x+1)(x)$ به مجموع کسرهای $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\چپ (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

مثال شماره 5

حد $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ و $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$، پس با عدم قطعیت شکل $1^\infty$ روبرو هستیم. توضیحات مفصل در مثال شماره 2 آورده شده است، اما در اینجا به یک راه حل مختصر اکتفا می کنیم. با ساخت جایگزین $t=x-2$، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\سمت چپ|\شروع(تراز شده)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end (تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\راست)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

می توانید این مثال را به روش دیگری با استفاده از جایگزینی حل کنید: $t=\frac(1)(x-2)$. البته پاسخ یکسان خواهد بود:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\سمت چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ را پیدا کنید.

بیایید دریابیم که عبارت $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ تحت شرایط $x\to\infty$ به چه چیزی تمایل دارد:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

بنابراین، در یک حد معین، با عدم قطعیتی از شکل $1^\infty$ روبرو هستیم که با استفاده از محدودیت قابل توجه دوم آن را آشکار خواهیم کرد:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\راست)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\راست)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\راست)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

اولین محدودیت قابل توجه. اشتقاق اولین حد قابل توجه از نظر کاربرد نظریه حدود مورد توجه است و بنابراین ما آن را تقریباً به طور کامل به شما پیشنهاد می کنیم. بیایید رفتار تابع را در نظر بگیریم در . برای این کار دایره ای به شعاع 1 در نظر بگیرید. بیایید نشان دهیمزاویه مرکزی تفاهم نامه از طریق X .

، در حالی که< площадь сектора МОА < площадьDСОА (см. рис. 1).

سپس به وضوح منطقه DMOA

S D MOA =
=
S MOA =

S D C OA =

با بازگشت به نابرابری ذکر شده و دو برابر کردن آن به دست می آید: گناه < گناه < x گناه.

tg گناه:
پس از تقسیم بر گناه مدت

یا
از آنجایی که ، سپس متغیر

-بین دو کمیت که حد یکسانی دارند، یعنی. بر اساس قضیه حد تابع میانی پاراگراف قبل داریم: .

اولین حد فوق العادهمثال.

حدود توابع را با استفاده از اولین حد قابل توجه محاسبه کنید: 1) 1, 2) 0, 3)

پاسخ دهید.ورزش:

حد یک تابع را با استفاده از اولین حد قابل توجه محاسبه کنید:

پاسخ: -2.

دومین محدودیت قابل توجه. برای استخراج دومین حد قابل توجه، تعریف عدد را معرفی می کنیم:

ه تعریف.
در
حد متغیربرای استخراج دومین حد قابل توجه، تعریف عدد را معرفی می کنیم :

به شماره ای زنگ زد

- دومین حد فوق العاده برای استخراج دومین حد قابل توجه، تعریف عدد را معرفی می کنیمشماره

- عدد غیر منطقی مقدار آن تا ده رقم اعشار واقعی معمولاً به یک رقم اعشار واقعی گرد می شود:ه

= 2.7182818284..."2.7.
قضیه. تابعتفاهم نامه از طریق دربرای استخراج دومین حد قابل توجه، تعریف عدد را معرفی می کنیم :

اولین حد فوق العادهتمایل به بی نهایت، تمایل به حد

حدود توابع را محاسبه کنید:

راه حل.

با توجه به خواص حدود، حد درجه برابر است با درجه حد، یعنی:

حدود توابع را با استفاده از اولین حد قابل توجه محاسبه کنید: 1)برای استخراج دومین حد قابل توجه، تعریف عدد را معرفی می کنیم 3 , 2)علاوه بر این، از طریق مشابه می توان ثابت کرد که 2 , 3)برای استخراج دومین حد قابل توجه، تعریف عدد را معرفی می کنیم 4 .

هورزش کنید.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

حد تابع را با استفاده از حد قابل توجه دوم محاسبه کنید: در مورد

پاسخ: e -5

ه تداوم یک تابع تداوم یک تابع در یک نقطهتابع ( گناه ), گناه Î ( f ; الف ) گناه ب Î ( f ; الف ), Oتابع ( گناه ) اگر حد تابعتفاهم نامه از طریق ب وجود دارد و برابر با مقدار تابع در این نقطه است:

.

طبق این تعریف، تداوم تابع تابع(گناه) در نقطه تفاهم نامه از طریق ببه این معنی که شرایط زیر رعایت می شود:

تابع تابع(گناه) باید در نقطه تعریف شود تفاهم نامه از طریق ب ;

تابع y تابع(گناه) باید محدودیتی در نقطه وجود داشته باشد تفاهم نامه از طریق ب ;

حد یک تابع تابع(گناه) در نقطه تفاهم نامه از طریق بباید با مقدار تابع در این نقطه مطابقت داشته باشد.

اولین حد فوق العاده

تابع تابع(گناه) = گناه 2 در کل خط اعداد تعریف شده و در یک نقطه پیوسته است تفاهم نامه از طریق= 1 زیرا تابع( 1) = 1 و

تداوم یک تابع در یک مجموعه

ه تداوم یک تابع تداوم یک تابع در یک نقطهf(x) در بازه پیوسته نامیده می شود(الف؛ ب) اگر در هر نقطه از این بازه پیوسته باشد.

اگر تابعی در نقطه ای پیوسته باشد، آن نقطه را نقطه تداوم این تابع می نامند. در مواردی که حد یک تابع در یک نقطه معین وجود نداشته باشد یا مقدار آن با مقدار تابع در یک نقطه معین منطبق نباشد، آن تابع را در این نقطه ناپیوسته و خود نقطه را ناپیوستگی می نامند. نقطه تابع f(x).

خواص توابع پیوسته

1) مجموع تعداد محدودی از توابع پیوسته در یک نقطه الف،

2) حاصل ضرب تعداد محدودی از توابع پیوسته در یک نقطه الف،تابعی وجود دارد که در این نقطه پیوسته است.

3) نسبت تعداد محدودی از توابع پیوسته در یک نقطه الف،تابعی است که در این نقطه پیوسته است اگر مقدار تابع در مخرج با صفر در نقطه متفاوت باشد. الف

اولین حد فوق العاده

تابع تابع(گناه) = گناه n، کجا n Î ن، در کل خط اعداد پیوسته است. این واقعیت را می توان با استفاده از خاصیت 2 و تداوم تابع ثابت کرد تابع(گناه) = گناه.

تابع تابع(گناه) = sگناه n (با– ثابت) بر اساس ویژگی 2 و مثال 1 در کل خط اعداد پیوسته است.

قضیه 1. چند جمله ای تابعی است که در کل خط اعداد پیوسته است.

قضیه 2 . هر تابع گویا کسری در هر نقطه از دامنه تعریف خود پیوسته است.

اولین حد فوق العاده

تعریف تابعتابع ( گناه ) پیوسته در یک نقطه نامیده می شودx = a ، اگر در این مرحله افزایش آن باشد
وقتی آرگومان افزایش می یابد به صفر میل می کند
به صفر یا به عبارت دیگر: تابع میل می کندتابع (X) پیوسته در یک نقطه نامیده می شودx = a ، اگر در این مرحله یک افزایش بی نهایت کوچک آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک تابع مطابقت داشته باشد، یعنی اگر

اکنون، با روحی آرام، بیایید به بررسی ادامه دهیم محدودیت های شگفت انگیز.
به نظر می رسد .

به جای متغیر x، توابع مختلفی می توانند وجود داشته باشند، نکته اصلی این است که آنها به 0 تمایل دارند.

محاسبه حد لازم است

همانطور که می بینید، این محدودیت بسیار شبیه به اولین مورد فوق العاده است، اما این کاملا درست نیست. به طور کلی، اگر متوجه گناه در حد شدید، بلافاصله باید فکر کنید که آیا می توان از اولین حد قابل توجه استفاده کرد یا خیر.

طبق قانون شماره 1 ما به جای x صفر را جایگزین می کنیم:

دچار عدم اطمینان می شویم.

حالا بیایید سعی کنیم اولین محدودیت فوق العاده را خودمان سازماندهی کنیم. برای انجام این کار، بیایید یک ترکیب ساده انجام دهیم:

بنابراین، صورت و مخرج را طوری سازماندهی می کنیم که 7x برجسته شود. اکنون محدودیت قابل توجه آشنا قبلاً ظاهر شده است. توصیه می شود هنگام تصمیم گیری، آن را برجسته کنید:

بیایید راه حل را با اولین مثال قابل توجه جایگزین کنیم و دریافت کنیم:

ساده کردن کسر:

پاسخ: 7/3.

همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده است.

به نظر می رسد ، که e = 2.718281828... یک عدد غیر منطقی است.

توابع مختلفی ممکن است به جای متغیر x وجود داشته باشد، نکته اصلی این است که آنها تمایل دارند.

محاسبه حد لازم است

در اینجا شاهد حضور یک درجه در زیر علامت حد هستیم، به این معنی که امکان استفاده از حد قابل توجه دوم وجود دارد.

مثل همیشه، از قانون شماره 1 استفاده خواهیم کرد - جایگزین x به جای:

می توان دید که در x پایه درجه است و توان آن 4x > است، یعنی. عدم قطعیت فرم را بدست می آوریم:

بیایید از دومین حد شگفت انگیز برای آشکار کردن عدم قطعیت خود استفاده کنیم، اما ابتدا باید آن را سازماندهی کنیم. همانطور که می بینید، ما باید به حضور در اندیکاتور برسیم، که برای آن پایه را به توان 3x و در همان زمان به توان 1/3x برسانیم تا عبارت تغییر نکند:

فراموش نکنید که محدودیت فوق العاده ما را برجسته کنید:

این چیزی است که آنها واقعا هستند محدودیت های شگفت انگیز!
اگر هنوز سوالی در مورد آن دارید اولین و دومین محدودیت فوق العاده، سپس در نظرات از آنها بپرسید.
تا حد امکان به همه پاسخ خواهیم داد.

شما همچنین می توانید با یک معلم در مورد این موضوع کار کنید.
ما خوشحالیم که خدمات انتخاب مربی واجد شرایط در شهر خود را به شما ارائه می دهیم. همکاران ما به سرعت یک معلم خوب را با شرایط مطلوب برای شما انتخاب می کنند.

اطلاعات کافی نیست؟ - تو میتونی!

شما می توانید محاسبات ریاضی را در دفترچه یادداشت بنویسید. نوشتن به صورت جداگانه در نوت بوک با آرم (http://www.blocnot.ru) بسیار لذت بخش تر است.

فرمول ها، خواص و قضایای مورد استفاده در حل مسائلی که با استفاده از اولین حد قابل توجه قابل حل هستند، جمع آوری شده اند. راه‌حل‌های دقیق مثال‌هایی با استفاده از اولین محدودیت قابل توجه پیامدهای آن ارائه شده است.

محتوا

همچنین ببینید: اثبات اولین حد قابل توجه و پیامدهای آن

فرمول های کاربردی، خواص و قضایا

در اینجا به نمونه هایی از راه حل های مسائل مربوط به محاسبه حدودی که از اولین حد قابل توجه استفاده می کنند و پیامدهای آن نگاه خواهیم کرد.

در زیر فرمول ها، خواص و قضایایی که بیشتر در این نوع محاسبات استفاده می شوند، فهرست شده اند.

• اولین حد قابل توجه و پیامدهای آن:
  .
• فرمول های مثلثاتی برای سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت:
  ;
  ;
  ;
  در ,
  ;
  ;
  ;
  ;
  ;
  .

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1

برای این.
1. حد را محاسبه کنید.
از آنجایی که تابع برای تمام xها، از جمله در نقطه، پیوسته است، پس
.
2. از آنجایی که تابع برای تعریف نشده است (و بنابراین پیوسته نیست)، باید مطمئن شویم که یک همسایگی سوراخ شده از نقطه ای که در آن وجود دارد وجود دارد.
در مورد ما، در .
.

بنابراین،
.
بنابراین این شرط برقرار است.
;
3. حد را محاسبه کنید.
.

در مورد ما، برابر با اولین حد قابل توجه است:
.

به طور مشابه، حد تابع را در مخرج پیدا می کنیم:
در ;
و در نهایت، خواص حسابی حد تابع را اعمال می کنیم:
بیایید درخواست کنیم.

در . از جدول توابع معادل در می یابیم:

در ; در .
.

سپس .

مثال 2 0/0 .

حد را پیدا کنید:
.

راه حل با استفاده از اولین حد قابل توجه
.
در , , . این عدم قطعیت فرم است
.
بیایید تابع را فراتر از علامت حد تبدیل کنیم:
.
بیایید تغییری در متغیر ایجاد کنیم.

.

از آن زمان و برای

به همین ترتیب داریم:
در ;
و در نهایت، خواص حسابی حد تابع را اعمال می کنیم:
بیایید درخواست کنیم.

از آنجایی که تابع کسینوس در کل خط اعداد پیوسته است، پس

ما خواص حسابی حدود را اعمال می کنیم:
.

راه حل با استفاده از توابع معادل
;
.
اجازه دهید قضیه جایگزین کردن توابع با توابع معادل را در حد ضریب اعمال کنیم. 0/0 .

مثال 3

حد را پیدا کنید:
.
بیایید صورت و مخرج کسر را جایگزین کنیم:
;


;

.

این عدم قطعیت فرم است
.

بیایید سعی کنیم این مثال را با استفاده از اولین حد فوق العاده حل کنیم. از آنجایی که مقدار متغیر موجود در آن به سمت صفر میل می کند، یک جایگزینی انجام می دهیم تا متغیر جدید به سمت صفر گرایش نداشته باشد. برای انجام این کار، از x به یک متغیر جدید t حرکت می کنیم و جایگزینی را انجام می دهیم.
.
سپس در , .

ابتدا تابع را فراتر از علامت حدی با ضرب صورت و مخرج کسری در:

.

.

بیایید فرمول های مثلثاتی ارائه شده در بالا را جایگزین و استفاده کنیم.

ما خواص حسابی حدود را اعمال می کنیم:
.

تابع در . 0/0 .

حد آن را می یابیم:
.
بیایید کسر دوم را تبدیل کنیم و اولین حد شگفت انگیز را اعمال کنیم:
.
ما یک جانشینی در صورت کسری انجام دادیم.
.
ما خاصیت حد یک محصول از توابع را اعمال می کنیم:
.

مثال 4 در , , . ما عدم قطعیت در فرم داریمبیایید تابع را زیر علامت حد تبدیل کنیم. بیایید فرمول را اعمال کنیم:
.

بیایید جایگزین کنیم:
.

بیایید مخرج را تبدیل کنیم:

سپس
.

از آنجایی که و برای ، جایگزینی را انجام می دهیم و قضیه حد را اعمال می کنیم 0/0 تابع پیچیده
.

و اولین محدودیت قابل توجه:
ما خواص حسابی حد یک تابع را اعمال می کنیم:مثال 5
حد تابع را پیدا کنید: .
به راحتی می توان فهمید که در این مثال ما عدم قطعیت فرم را داریم
.
.

,
برای آشکار شدن آن، نتیجه مسئله قبلی را اعمال می کنیم که طبق آن
,
;
;
;
.

ما از (A5.2) و تداوم تابع کسینوس استفاده می کنیم. ما خواص حسابی حد یک تابع را اعمال می کنیم.
,
در اینجا m یک عدد غیر صفر است، ;
;


;
.

مثال 6

ما خواص حسابی حدود را اعمال می کنیم:
.

هنگامی که، صورت و مخرج کسر تمایل به 0 . 0/0 این عدم قطعیت فرم است
.

.
.
بیایید کسر دوم را تبدیل کنیم و اولین حد شگفت انگیز را اعمال کنیم:
;
,
برای بسط آن، صورت کسر را تبدیل می کنیم:

.
.
بیایید کسر دوم را تبدیل کنیم و اولین حد شگفت انگیز را اعمال کنیم:
;
,
برای بسط آن، صورت کسر را تبدیل می کنیم:

بیایید فرمول را اعمال کنیم:

.
کجا .
.

شمارنده کسر:



.

تابع پشت علامت حد به شکل زیر خواهد بود:
.
بیایید حد فاکتور آخر را با در نظر گرفتن تداوم آن در:
بیایید فرمول مثلثاتی را اعمال کنیم:
.

جایگزین کنیم

.

.
.

سپس
.
بیایید درخواست کنیم.

بیایید صورت و مخرج را بر تقسیم کنیم، اولین حد قابل توجه و یکی از پیامدهای آن را اعمال کنیم:

در نهایت داریم:

نکته 1: امکان اعمال فرمول نیز وجود داشت همچنین ببینید:.

فرمول دومین حد قابل توجه lim x → ∞ 1 + 1 x x = e است. شکل دیگری از نوشتن به این شکل است: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

وقتی در مورد دومین حد قابل توجه صحبت می کنیم، باید با عدم قطعیت شکل 1 ∞، یعنی. واحد در

درجه بی نهایت

بیایید مسائلی را در نظر بگیریم که در آنها توانایی محاسبه دومین حد قابل توجه مفید خواهد بود.

مثال 1 حد lim x ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 را پیدا کنید.راه حل

جایگزین کنیم

فرمول مورد نیاز

و محاسبات را انجام دهید.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

جواب ما یک به قدرت بی نهایت بود. برای تعیین روش حل از جدول عدم قطعیت استفاده می کنیم. بیایید دومین حد قابل توجه را انتخاب کنیم و متغیرها را تغییر دهیم.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

اگر x → ∞، سپس t → - ∞.بیایید ببینیم پس از تعویض چه چیزی به دست آوردیم:

lim x ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

پاسخ:

بیایید مسائلی را در نظر بگیریم که در آنها توانایی محاسبه دومین حد قابل توجه مفید خواهد بود.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

مثال 2

حد lim x ∞ x - 1 x + 1 x را محاسبه کنید. بی‌نهایت را جایگزین می‌کنیم و موارد زیر را بدست می‌آوریم. lim x ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

در پاسخ، ما دوباره همان چیزی را که در مشکل قبلی داشتیم، دریافت کردیم، بنابراین، می توانیم دوباره از محدودیت فوق العاده دوم استفاده کنیم. بعد باید در پایه انتخاب کنیم

تابع قدرت

کل بخش:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

پس از این، حد به شکل زیر است:

lim x ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

برای انجام این تبدیل، از ویژگی های اولیه حدود و توان استفاده کردیم.

اگر x → ∞، سپس t → - ∞. lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

مثال 3

حد مجاز x ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 را محاسبه کنید.

بیایید مسائلی را در نظر بگیریم که در آنها توانایی محاسبه دومین حد قابل توجه مفید خواهد بود.

lim x ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

پس از آن، باید تابع را برای اعمال محدودیت بزرگ دوم تبدیل کنیم. موارد زیر را دریافت کردیم:

lim x ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

از آنجایی که اکنون در صورت و مخرج کسری واحدهای یکسانی داریم (برابر شش)، حد کسر در بی نهایت برابر با نسبت این ضرایب در توان های بالاتر خواهد بود.

lim x ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

با جایگزینی t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 یک محدودیت قابل توجه دوم بدست می آوریم. این بدان معنی است که:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

اگر x → ∞، سپس t → - ∞. lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

نتیجه گیری

عدم قطعیت 1 ∞، یعنی. وحدت به یک توان بی نهایت یک عدم قطعیت قدرت-قانون است، بنابراین، می توان آن را با استفاده از قوانین برای یافتن حدود توابع توان نمایی آشکار کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید