معنای هندسی مشتق مختصر است. موضوع درس «معنای هندسی مشتقات» است. V. حل مسئله

موضوع مشتق. معنای هندسی و مکانیکی مشتق

اگر این حد وجود داشته باشد، گفته می شود که تابع در یک نقطه قابل تمایز است. مشتق تابع با (فرمول 2) نشان داده می شود.

معنای هندسی مشتق. بیایید به نمودار تابع نگاه کنیم. از شکل 1 مشخص است که برای هر دو نقطه A و B از نمودار تابع، فرمول 3) را می توان نوشت. این شامل زاویه تمایل مقطع AB است.

بنابراین، نسبت اختلاف برابر با شیب سکنت است. اگر نقطه A را ثابت کنید و نقطه B را به سمت آن حرکت دهید، آنگاه بدون محدودیت کاهش می یابد و به 0 نزدیک می شود و مقطع AB به مماس AC نزدیک می شود. بنابراین، حد نسبت اختلاف برابر با شیب مماس در نقطه A است. این منجر به نتیجه می شود.

مشتق تابع در یک نقطه، شیب مماس بر نمودار این تابع در آن نقطه است. این معنای هندسی مشتق است.

معادله مماس . اجازه دهید معادله مماس بر نمودار تابع در یک نقطه را استخراج کنیم. در حالت کلی معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای به شکل زیر است: . برای یافتن b از این که مماس از نقطه A عبور می کند استفاده می کنیم: . به شرح زیر است: . با جایگزینی این عبارت به جای b، معادله مماس (فرمول 4) به دست می آید.

نوع شغل: 7

وضعیت

خط مستقیم y=3x+2 مماس با نمودار تابع y=-12x^2+bx-10 است.

با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

راه حل

فرض کنید x_0 ابسیسا نقطه روی نمودار تابع y=-12x^2+bx-10 باشد که مماس بر این نمودار از آن عبور می کند. مقدار مشتق در نقطه x_0 برابر است با شیب مماس، یعنی y"(x_0)=-24x_0+b=3. از سوی دیگر، نقطه مماس به طور همزمان به هر دو نمودار مربوط می شود. تابع و مماس، یعنی -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2

با حل این سیستم، x_0^2=1 به دست می‌آید، یعنی یا x_0=-1 یا x_0=1.

طبق شرط آبسیسا، نقاط مماس کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

نوع شغل: 7
پاسخ دهید

وضعیت

موضوع: معنای هندسی مشتقات. مماس بر نمودار یک تابع

با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

خط مستقیم y=-3x+4 با مماس نمودار تابع y=-x^2+5x-7 موازی است.

آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنید.

طبق شرط آبسیسا، نقاط مماس کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

ضریب زاویه ای خط مستقیم به نمودار تابع y=-x^2+5x-7 در نقطه دلخواه x_0 برابر است با y"(x_0). اما y"=-2x+5، که به معنای y" است. (x_0)=-2x_0+5 ضریب خط y=-3x+4 برابر است با ضرایب زاویه ای یکسانی که = -2x_0 +5=-3. دریافت می کنیم: x_0 = 4.منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه 2017.

نوع شغل: 7
پاسخ دهید

وضعیت

با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

سطح نمایه

" اد. F. F. Lysenko، S. Yu. از شکل مشخص می کنیم که مماس از نقاط A(-6; 2) و B(-1; 1) عبور می کند.اجازه دهید نقطه تلاقی خطوط x=-6 و y=1 را با C(-6; 1) و با \alpha زاویه ABC را نشان دهیم (شکل را می بینید که حاد است). سپس خط مستقیم AB یک زاویه \pi -\alpha با جهت مثبت محور Ox تشکیل می دهد که منفرد است. همانطور که مشخص است، tg(\pi -\alpha) مقدار مشتق تابع f(x) در نقطه x_0 خواهد بود.

طبق شرط آبسیسا، نقاط مماس کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

توجه داشته باشید که

نوع شغل: 7
پاسخ دهید

وضعیت

tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

از اینجا، با استفاده از فرمول های کاهش، به دست می آوریم:

tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. خط مستقیم y=-2x-4 بر نمودار تابع y=16x^2+bx+12 مماس است.

با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس بزرگتر از صفر است b را پیدا کنید.

طبق شرط آبسیسا، نقاط مماس کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

توجه داشته باشید که

نوع شغل: 7
پاسخ دهید

وضعیت

فرض کنید x_0 ابسیسا نقطه روی نمودار تابع y=16x^2+bx+12 باشد که از طریق آن

با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

خط مستقیم y=6 با محور Ox موازی است. بنابراین، نقاطی را می یابیم که مماس نمودار تابع با محور Ox موازی است.

طبق شرط آبسیسا، نقاط مماس کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

توجه داشته باشید که

نوع شغل: 7
پاسخ دهید

وضعیت

در این نمودار، چنین نقاطی نقاط افراطی (حداکثر یا حداقل امتیاز) هستند. همانطور که می بینید، 4 نقطه افراطی وجود دارد.

با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

خط y=4x-6 موازی با مماس نمودار تابع y=x^2-4x+9 است.

طبق شرط آبسیسا، نقاط مماس کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

توجه داشته باشید که

نوع شغل: 7
پاسخ دهید

وضعیت

آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنید.

با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

شیب مماس بر نمودار تابع y=x^2-4x+9 در نقطه دلخواه x_0 برابر است با y"(x_0). اما y"=2x-4، که به معنای y"(x_0)= است. 2x_0-4 شیب مماس y =4x-7 که در شرط مشخص شده است برابر با 4 است. خطوط موازی دارای ضرایب زاویه ای یکسان هستند به طوری که 2x_0-4=4.

شکل، نمودار تابع y=f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x_0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x_0 بیابید.از شکل مشخص می کنیم که مماس از نقاط A(1; 1) و B(5; 4) عبور می کند.

اجازه دهید نقطه تلاقی خطوط x=5 و y=1 را با C(5; 1) و با \alpha زاویه BAC را نشان دهیم (شکل را می بینید که حاد است). سپس خط مستقیم AB با جهت مثبت محور Ox یک زاویه آلفا تشکیل می دهد.

این مقاله توضیح مفصلی از تعاریف، معنای هندسی مشتق با

نمادهای گرافیکی

. معادله یک خط مماس با مثال‌هایی در نظر گرفته می‌شود، معادلات یک منحنی مماس به مرتبه 2 پیدا می‌شود.

تعریف 1

زاویه تمایل خط مستقیم y = k x + b را زاویه α می گویند که از جهت مثبت محور x به خط مستقیم y = k x + b در جهت مثبت اندازه گیری می شود.

در شکل، جهت x با یک فلش سبز و یک کمان سبز و زاویه تمایل با یک قوس قرمز نشان داده شده است. خط آبی به خط مستقیم اشاره دارد. تعریف 2شیب خط مستقیم y = k x + b را ضریب عددی k می نامند.
ضریب زاویه ای برابر است با مماس خط مستقیم، به عبارت دیگر k = t g α.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >فقط در صورتی که x موازی باشد و شیب آن برابر باشد، زاویه میل یک خط مستقیم برابر با 0 است.
برابر با صفر
، زیرا مماس صفر برابر با 0 است. این بدان معنی است که شکل معادله y = b خواهد بود.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

اگر زاویه میل خط مستقیم y = k x + b تند باشد، شرایط 0 برقرار است.

سکانت خطی است که از 2 نقطه تابع f (x) می گذرد. به عبارت دیگر، سکانت یک خط مستقیم است که از هر دو نقطه در نمودار یک تابع مشخص کشیده می شود.

شکل نشان می دهد که A B یک سکونت است، و f (x) یک منحنی سیاه است، α یک قوس قرمز است، که زاویه تمایل سکانس را نشان می دهد.

هنگامی که ضریب زاویه ای یک خط مستقیم برابر با مماس زاویه میل باشد، واضح است که مماس یک مثلث قائم الزاویه A B C را می توان با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور پیدا کرد.

تعریف 4

ما یک فرمول برای یافتن سکانس فرم دریافت می کنیم:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A، که در آن ابسیساهای نقاط A و B مقادیر x A، x B، و f (x A)، f (x هستند. ب) توابع مقادیر در این نقاط هستند.

بدیهی است که ضریب زاویه ای سکانت با استفاده از برابری k = f (x B) - f (x A) x B - x A یا k = f (x A) - f (x B) x A - x B تعیین می شود. ، و معادله باید به صورت y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) یا
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

سکنت نمودار را از نظر بصری به 3 قسمت تقسیم می کند: سمت چپ نقطه A، از A به B، به سمت راست B. شکل زیر نشان می دهد که سه سکانس وجود دارد که منطبق هستند، یعنی با استفاده از یک تنظیم شده اند. معادله مشابه

با تعریف، مشخص است که خط مستقیم و مقطع آن در این مورد منطبق است.

یک سکانت می تواند نمودار یک تابع معین را چندین بار قطع کند. اگر معادله ای به شکل y = 0 برای یک سکانت وجود داشته باشد، تعداد نقاط تقاطع با سینوسی بی نهایت است.

تعریف 5

مماس بر نمودار تابع f (x) در نقطه x 0 ; f (x 0) خط مستقیمی است که از نقطه معین x 0 می گذرد. f (x 0)، با حضور قطعه ای که مقادیر x زیادی نزدیک به x 0 دارد.

مثال 1

بیایید نگاه دقیق تری به مثال زیر بیندازیم. سپس مشخص می شود که خطی که با تابع y = x + 1 تعریف می شود، مماس بر y = 2 x در نقطه با مختصات (1؛ 2) در نظر گرفته می شود. برای وضوح، لازم است نمودارهایی با مقادیر نزدیک به (1؛ 2) در نظر گرفته شود. تابع y = 2 x به رنگ سیاه نشان داده شده است، خط آبی خط مماس و نقطه قرمز نقطه تقاطع است.

بدیهی است که y = 2 x با خط y = x + 1 ادغام می شود.

برای تعیین مماس، ما باید رفتار مماس A B را در نظر بگیریم، زیرا نقطه B به طور بی نهایت به نقطه A نزدیک می شود.

مقطع A B که با خط آبی نشان داده می شود، به سمت موقعیت مماس خود میل می کند و زاویه میل سکنت α شروع به گرایش به زاویه میل خود مماس α x می کند.

تعریف 6

مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه A به عنوان موقعیت محدود کننده A B در نظر گرفته می شود زیرا B به A تمایل دارد، یعنی B → A.

حال بیایید به بررسی معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه بپردازیم.

بیایید ادامه دهیم تا مقطع A B را برای تابع f (x) در نظر بگیریم، که در آن A و B با مختصات x 0، f (x 0) و x 0 + ∆ x، f (x 0 + ∆ x)، و ∆ x است. به عنوان افزایش استدلال نشان داده شده است. اکنون تابع به شکل ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) خواهد بود. برای وضوح، بیایید یک مثال از یک نقاشی ارائه دهیم.

مثلث قائم الزاویه حاصل را A B C در نظر بگیرید. ما از تعریف مماس برای حل استفاده می کنیم، یعنی رابطه ∆ y ∆ x = t g α را بدست می آوریم. از تعریف مماس چنین بر می آید که lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . طبق قاعده مشتق در یک نقطه، مشتق f (x) در نقطه x 0 را حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان می گویند، جایی که ∆ x → 0 ، سپس آن را به صورت f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x نشان می دهیم.

نتیجه می شود که f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x، که در آن k x به عنوان شیب مماس نشان داده می شود.

یعنی، متوجه می‌شویم که f' (x) می‌تواند در نقطه x 0 وجود داشته باشد، و مانند مماس بر یک نمودار معین از تابع در نقطه مماس برابر با x 0، f 0 (x 0)، که در آن مقدار شیب مماس در نقطه برابر با مشتق نقطه x 0 است. سپس دریافت می کنیم که k x = f " (x 0).

معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطه این است که مفهوم وجود مماس بر نمودار را در همان نقطه می دهد.

برای نوشتن معادله هر خط مستقیم روی صفحه باید ضریب زاویه ای با نقطه ای که از آن می گذرد داشته باشیم. نماد آن در تقاطع x 0 در نظر گرفته می شود.

معادله مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه x 0، f 0 (x 0) به شکل y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) است.

این بدان معنی است که مقدار نهایی مشتق f "(x 0) می تواند موقعیت مماس را تعیین کند، یعنی به صورت عمودی، lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ و lim x → x 0 - را تعیین می کند. 0 f "(x) = ∞ یا اصلاً در شرایط lim x → x 0 + 0 f" (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x) .

مکان مماس به مقدار ضریب زاویه ای آن بستگی دارد k x = f "(x 0). هنگامی که با محور o x موازی باشد، به دست می آوریم که k k = 0، زمانی که موازی با o y - k x = ∞، و شکل معادله مماس x = x 0 با k x > 0 افزایش می یابد، با k x کاهش می یابد< 0 .

مثال 2

معادله ای برای مماس بر نمودار تابع y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 در نقطه ای با مختصات (1؛ 3) تهیه کنید و زاویه میل را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، داریم که تابع برای همه اعداد واقعی تعریف شده است. متوجه می‌شویم که نقطه با مختصات مشخص شده توسط شرط (1؛ 3) یک نقطه مماس است، سپس x 0 = - 1، f (x 0) = - 3 است.

لازم است مشتق را در نقطه ای با مقدار - 1 پیدا کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

مقدار f' (x) در نقطه مماس، شیب مماس است که برابر با مماس شیب است.

سپس k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

نتیجه می شود که α x = a r c t g 3 3 = π 6

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

برای وضوح، مثالی را در یک تصویر گرافیکی می آوریم.

رنگ سیاه برای نمودار تابع اصلی استفاده می شود، آبی– تصویر مماس، نقطه قرمز – نقطه مماس. شکل سمت راست نمای بزرگ شده را نشان می دهد.

مثال 3

وجود مماس بر نمودار یک تابع معین را تعیین کنید
y = 3 · x - 1 5 + 1 در نقطه با مختصات (1 ; 1) . معادله بنویسید و زاویه میل را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، داریم که دامنه تعریف یک تابع معین، مجموعه تمام اعداد حقیقی در نظر گرفته شود.

بیایید به یافتن مشتق برویم

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

اگر x 0 = 1، آنگاه f' (x) تعریف نشده است، اما حدود به صورت lim x نوشته می شود → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞، که به معنی وجود مماس عمودی در نقطه (1؛ 1).

پاسخ:معادله به شکل x = 1 است که در آن زاویه تمایل برابر با π 2 خواهد بود.

برای وضوح، بیایید آن را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم.

مثال 4

نقاط روی نمودار تابع y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 را پیدا کنید، جایی که

هیچ مماس وجود ندارد.
مماس موازی x است.
مماس با خط y = 8 5 x + 4 موازی است.

راه حل

توجه به محدوده تعریف ضروری است. با شرط، داریم که تابع بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است. ما ماژول را گسترش می دهیم و سیستم را با فواصل x ∈ - ∞ حل می کنیم. 2 و [ - 2 ; + ∞). ما آن را دریافت می کنیم

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176، x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12، x ∈ [ - 2 ; + ∞)

لازم است که عملکرد را متمایز کنیم. ما آن را داریم

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3، x ∈ [ - 2 ; + ∞)

وقتی x = - 2 است، مشتق وجود ندارد زیرا حدود یک طرفه در آن نقطه برابر نیستند:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

ما مقدار تابع را در نقطه x = - 2 محاسبه می کنیم، جایی که به آن می رسیم

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2، یعنی مماس در نقطه ( - 2؛ - 2) وجود نخواهد داشت.
وقتی شیب صفر باشد مماس موازی با x است. سپس k x = t g α x = f "(x 0). یعنی زمانی که مشتق تابع آن را صفر می کند، باید مقادیر چنین x را پیدا کرد. یعنی مقادیر f ' (x) نقاط مماس خواهند بود، جایی که مماس با x موازی است.

وقتی x ∈ - ∞ ; - 2، سپس - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0، و برای x ∈ (- 2; + ∞) 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 می گیریم.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

مقادیر تابع مربوطه را محاسبه کنید

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

از این رو - 5; 8 5، - 4; 4 3، 1; 8 5، 3; 4 3 به عنوان نقاط مورد نیاز نمودار تابع در نظر گرفته می شوند.

بیایید به یک نمایش گرافیکی از راه حل نگاه کنیم.

خط سیاه نمودار تابع است، نقاط قرمز نقاط مماس هستند.

هنگامی که خطوط موازی هستند، ضرایب زاویه ای برابر است. سپس باید نقاطی را در نمودار تابع جستجو کنید که شیب برابر با مقدار 8 5 باشد. برای انجام این کار، باید معادله ای به شکل y "(x) = 8 5 حل کنید. سپس، اگر x ∈ - ∞؛ - 2، به دست می آوریم که - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5، و اگر x ∈ (- 2 ; + ∞)، آنگاه 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

معادله اول ریشه ندارد زیرا تفکیک کننده کمتر از صفر است. بیایید آن را بنویسیم

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

پس معادله دیگر دو ریشه واقعی دارد

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

بیایید به سراغ یافتن مقادیر تابع برویم. ما آن را دریافت می کنیم

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

امتیاز با مقادیر - 1؛ 4 15، 5; 8 3 نقاطی هستند که در آنها مماس ها با خط y = 8 5 x + 4 موازی هستند.

پاسخ:خط سیاه - نمودار تابع، خط قرمز - نمودار y = 8 5 x + 4، خط آبی - مماس در نقاط - 1. 4 15، 5; 8 3.

ممکن است تعداد نامتناهی مماس برای توابع داده شده وجود داشته باشد.

مثال 5

معادلات تمام مماس های موجود تابع y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 را بنویسید که عمود بر خط مستقیم y = - 2 x + 1 2 قرار دارند.

راه حل

برای تدوین معادله مماس، باید ضریب و مختصات نقطه مماس را بر اساس شرط عمود بودن خطوط پیدا کرد. تعریف به شرح زیر است: حاصل ضرب ضرایب زاویه ای که بر خطوط مستقیم عمود هستند برابر با - 1 است، یعنی به صورت k x · k ⊥ = - 1 نوشته می شود. از شرطی داریم که ضریب زاویه ای عمود بر خط قرار دارد و برابر k ⊥ = - 2 است، سپس k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 است.

اکنون باید مختصات نقاط لمسی را پیدا کنید. شما باید x و سپس مقدار آن را برای یک تابع مشخص پیدا کنید. توجه داشته باشید که از معنای هندسی مشتق در نقطه
x 0 بدست می آوریم که k x = y "(x 0). از این برابری مقادیر x را برای نقاط تماس پیدا می کنیم.

ما آن را دریافت می کنیم

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

این معادله مثلثاتی برای محاسبه مختصات نقاط مماس استفاده خواهد شد.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk یا x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z مجموعه ای از اعداد صحیح است.

x نقاط تماس پیدا شده است. اکنون باید به جستجوی مقادیر y بروید:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 یا y 0 = - 4 5 + 1 3

از این نتیجه می گیریم که 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 نقاط مماس هستند.

پاسخ:معادلات لازم به صورت نوشته خواهد شد

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، k ∈ Z

برای نمایش بصری، یک تابع و یک مماس را روی یک خط مختصات در نظر بگیرید.

شکل نشان می دهد که تابع در بازه [-10; 10 ]، که در آن خط سیاه نمودار تابع است، خطوط آبی مماس هایی هستند که عمود بر خط داده شده به شکل y = - 2 x + 1 2 قرار دارند. نقاط قرمز نقاط لمسی هستند.

معادلات متعارفمنحنی های مرتبه دوم توابع تک مقداری نیستند. معادلات مماس برای آنها بر اساس طرح های شناخته شده جمع آوری شده است.

مماس بر دایره

برای تعریف دایره ای با مرکز در نقطه x c e n t e r ; y c e n t e r و شعاع R، فرمول x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 را اعمال کنید.

این برابری را می توان به صورت اتحاد دو تابع نوشت:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

تابع اول همانطور که در شکل نشان داده شده است در بالا و تابع دوم در پایین قرار دارد.

برای جمع آوری معادله یک دایره در نقطه x 0; y 0 که در نیم دایره بالا یا پایین قرار دارد، باید معادله نمودار یک تابع به شکل y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r یا y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + را پیدا کنید. y c e n t e r در نقطه مشخص شده.

وقتی در نقاط x c e n t e r ; y c e n t e r + R و x c e n t e r ; مماس های y c e n t e r - R را می توان با معادلات y = y c e n t e r + R و y = y c e n t e r - R و در نقاط x c e n t e r + R به دست داد. y c e n t e r و
x c e n t e r - R ; y c e n t e r موازی با o y خواهد بود، سپس معادلاتی به شکل x = x c e n t e r + R و x = x c e n t e r - R به دست می آوریم.

مماس بر بیضی

وقتی مرکز بیضی در x c e n t e r باشد. y c e n t e r با نیم محورهای a و b ، سپس می توان آن را با استفاده از معادله x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 مشخص کرد.

یک بیضی و یک دایره را می توان با ترکیب دو تابع، یعنی نیمه بیضی بالا و پایین نشان داد. سپس آن را دریافت می کنیم

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

اگر مماس ها در راس های بیضی قرار داشته باشند، آنگاه حدود x یا حدود y موازی هستند. در زیر، برای وضوح، شکل را در نظر بگیرید.

مثال 6

معادله مماس بر بیضی x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 در نقاطی با مقادیر x برابر با x = 2 بنویسید.

راه حل

لازم است نقاط مماس مطابق با مقدار x = 2 را پیدا کنید. معادله موجود بیضی را جایگزین می کنیم و آن را پیدا می کنیم

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = 5 ± 3 2 + 5

سپس 2 ؛ 5 3 2 + 5 و 2; - 5 3 2 + 5 نقاط مماسی هستند که به نیمه بیضی بالا و پایین تعلق دارند.

بیایید به سراغ یافتن و حل معادله بیضی نسبت به y برویم. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

بدیهی است که نیمه بیضی بالایی با استفاده از تابعی به شکل y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 و نیمه بیضی پایینی y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 مشخص می شود.

بیایید از یک الگوریتم استاندارد برای ایجاد معادله ای برای مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه استفاده کنیم. اجازه دهید بنویسیم که معادله مماس اول در نقطه 2. 5 3 2 + 5 شبیه خواهد بود

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

متوجه می شویم که معادله مماس دوم با مقداری در نقطه است
2 ; - 5 3 2 + 5 شکل می گیرد

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

از نظر گرافیکی، مماس ها به صورت زیر تعیین می شوند:

مماس بر هذلولی

هنگامی که یک هذلول مرکز x c e n t e r باشد. y c e n t e r و رئوس x c e n t e r + α ; y c e n t e r و x c e n t e r - α ; y c e n t e r ، نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 صورت می گیرد، اگر با رئوس x c e n t e r ; y c e n t e r + b و x c e n t e r ; y c e n t e r - b , سپس با استفاده از نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 مشخص می شود .

هذلولی را می توان به صورت دو تابع ترکیبی از فرم نشان داد

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r یا y = b a · (x - x c e n t e r · (x - x c e n t e r · 2 + a 2 - a r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

در حالت اول داریم که مماس ها موازی y هستند و در حالت دوم موازی x هستند.

نتیجه این است که برای یافتن معادله مماس بر هذلولی، باید مشخص شود که نقطه مماس متعلق به کدام تابع است. برای تعیین این، لازم است معادلات را جایگزین کرده و هویت را بررسی کنید.

مثال 7

معادله ای برای مماس بر هذلولی x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 در نقطه 7 بنویسید. - 3 3 - 3 .

راه حل

لازم است رکورد راه حل برای یافتن هذلولی با استفاده از 2 تابع تبدیل شود. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 و y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

لازم است مشخص شود که یک نقطه معین با مختصات 7 به کدام تابع تعلق دارد. - 3 3 - 3 .

بدیهی است که برای بررسی تابع اول y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 لازم است، سپس نقطه متعلق به نمودار نیست، از آنجایی که برابری برقرار نیست.

برای تابع دوم داریم که y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3، یعنی نقطه متعلق به نمودار داده شده است. از اینجا باید شیب را پیدا کنید.

ما آن را دریافت می کنیم

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

پاسخ:معادله مماس را می توان به صورت نمایش داد

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

به وضوح به این صورت نشان داده شده است:

مماس بر سهمی

برای ایجاد یک معادله برای مماس به سهمی y = a x 2 + b x + c در نقطه x 0, y (x 0)، باید از یک الگوریتم استاندارد استفاده کنید، سپس معادله به شکل y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) چنین مماس در راس موازی با x است.

شما باید سهمی x = a y 2 + b y + c را به عنوان اتحاد دو تابع تعریف کنید. بنابراین، باید معادله y را حل کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

بیایید آن را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم:

برای اینکه بفهمید یک نقطه x 0، y (x 0) متعلق به یک تابع است یا خیر، طبق الگوریتم استاندارد به آرامی عمل کنید. چنین مماس موازی با o y نسبت به سهمی خواهد بود.

مثال 8

معادله مماس بر نمودار x - 2 y 2 - 5 y + 3 را وقتی که زاویه مماس 150 درجه داریم بنویسید.

راه حل

حل را با نمایش سهمی به عنوان دو تابع آغاز می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

مقدار شیب برابر با مقدار مشتق در نقطه x 0 این تابع و برابر با مماس زاویه میل است.

دریافت می کنیم:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 درجه = - 1 3

از اینجا مقدار x را برای نقاط تماس تعیین می کنیم.

تابع اول به صورت نوشته خواهد شد

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

بدیهی است که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، زیرا ما یک مقدار منفی دریافت کردیم. نتیجه می گیریم که هیچ مماس با زاویه 150 درجه برای چنین تابعی وجود ندارد.

تابع دوم به صورت نوشته خواهد شد

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ما داریم که نقاط تماس 23 4 ; - 5 + 3 4 .

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

بیایید آن را به صورت گرافیکی به این صورت به تصویر بکشیم:

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مشتق تابع یکی از موضوعات دشوار در برنامه درسی مدرسه است. هر فارغ التحصیل به این سؤال پاسخ نمی دهد که مشتق چیست.

این مقاله به روشی ساده و واضح توضیح می دهد که مشتق چیست و چرا به آن نیاز است.. ما اکنون برای دقت ریاضی در ارائه تلاش نخواهیم کرد. مهمترین چیز این است که معنی را درک کنید.

بیایید تعریف را به خاطر بسپاریم:

مشتق نرخ تغییر یک تابع است.

شکل نمودارهای سه تابع را نشان می دهد. به نظر شما کدام یک سریعتر رشد می کند؟

پاسخ واضح است - سوم. بالاترین نرخ تغییر یعنی بزرگترین مشتق را دارد.

در اینجا یک مثال دیگر است.

کوستیا، گریشا و ماتوی در همان زمان شغل پیدا کردند. بیایید ببینیم درآمد آنها در طول سال چگونه تغییر کرده است:

نمودار همه چیز را به یکباره نشان می دهد، اینطور نیست؟ درآمد کوستیا در شش ماه بیش از دو برابر شد. و درآمد گریشا نیز افزایش یافت، اما کمی. و درآمد Matvey به صفر کاهش یافت. شرایط شروع یکسان است، اما نرخ تغییر تابع، یعنی مشتق، - متفاوت در مورد ماتوی، مشتق درآمد او به طور کلی منفی است.

به طور شهودی، ما به راحتی نرخ تغییر یک تابع را تخمین می زنیم. اما چگونه این کار را انجام دهیم؟

چیزی که ما واقعاً به آن نگاه می کنیم این است که نمودار یک تابع با چه شدتی بالا (یا پایین) می رود. به عبارت دیگر، با تغییر x چقدر سریع y تغییر می کند؟ بدیهی است که یک تابع در نقاط مختلف می تواند مقادیر مشتق متفاوتی داشته باشد - یعنی می تواند سریعتر یا کندتر تغییر کند.

مشتق یک تابع نشان داده می شود.

ما به شما نشان خواهیم داد که چگونه آن را با استفاده از نمودار پیدا کنید.

نمودار برخی از تابع ها رسم شده است. بیایید یک نقطه را با یک آبسیسا روی آن بگیریم. اجازه دهید یک مماس بر نمودار تابع در این نقطه رسم کنیم. ما می خواهیم تخمین بزنیم که نمودار تابع با چه شدتی بالا می رود. یک مقدار مناسب برای این است مماس زاویه مماس.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه مماس کشیده شده به نمودار تابع در این نقطه.

لطفاً توجه داشته باشید که به عنوان زاویه میل مماس، زاویه بین مماس و جهت مثبت محور را در نظر می گیریم.

گاهی اوقات دانش آموزان می پرسند مماس بر نمودار یک تابع چیست؟ این یک خط مستقیم است که یک نقطه مشترک با نمودار این بخش دارد و همانطور که در شکل ما نشان داده شده است. به نظر مماس بر دایره است.

بیا پیداش کنیم به یاد داریم که مماس یک زاویه تند در یک مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور. از مثلث:

ما مشتق را با استفاده از یک نمودار بدون دانستن فرمول تابع پیدا کردیم. چنین مشکلاتی اغلب در امتحان دولتی واحد در ریاضیات زیر عدد یافت می شود.

رابطه مهم دیگری نیز وجود دارد. به یاد بیاورید که خط مستقیم با معادله داده می شود

کمیت در این معادله نامیده می شود شیب یک خط مستقیم. برابر است با مماس زاویه میل خط مستقیم به محور.

ما آن را دریافت می کنیم

بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم. معنای هندسی مشتق را بیان می کند.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با شیب مماس رسم شده به نمودار تابع در آن نقطه.

به عبارت دیگر مشتق برابر با مماس زاویه مماس است.

قبلاً گفتیم که یک تابع می تواند مشتقات مختلفی در نقاط مختلف داشته باشد. بیایید ببینیم که مشتق چگونه با رفتار تابع مرتبط است.

بیایید یک نمودار از یک تابع رسم کنیم. اجازه دهید این تابع در برخی مناطق افزایش و در برخی دیگر کاهش یابد و با نرخ های مختلف. و اجازه دهید این تابع حداکثر و حداقل امتیاز داشته باشد.

در یک نقطه عملکرد افزایش می یابد. مماس بر نمودار رسم شده در نقطه، یک زاویه تند با جهت مثبت محور تشکیل می دهد. این بدان معنی است که مشتق در نقطه مثبت است.

در نقطه ای که عملکرد ما کاهش می یابد. مماس در این نقطه با جهت مثبت محور یک زاویه منفرد تشکیل می دهد. از آنجایی که مماس یک زاویه منفی منفی است، مشتق در نقطه منفی است.

این چیزی است که اتفاق می افتد:

اگر تابعی در حال افزایش باشد، مشتق آن مثبت است.

اگر کاهش یابد، مشتق آن منفی است.

در حداکثر و حداقل نقاط چه اتفاقی خواهد افتاد؟ می بینیم که در نقاط (حداکثر نقطه) و (حداقل نقطه) مماس افقی است. بنابراین مماس مماس در این نقاط صفر است و مشتق آن نیز صفر است.

نقطه - حداکثر امتیاز. در این مرحله، افزایش تابع با کاهش جایگزین می شود. در نتیجه، علامت مشتق در نقطه از "بعلاوه" به "منفی" تغییر می کند.

در نقطه - حداقل نقطه - مشتق نیز صفر است، اما علامت آن از "منهای" به "بعلاوه" تغییر می کند.

نتیجه‌گیری: با استفاده از مشتق می‌توانیم هر چیزی را که در مورد رفتار یک تابع مورد علاقه ماست، دریابیم.

اگر مشتق مثبت باشد، تابع افزایش می یابد.

اگر مشتق منفی باشد، تابع کاهش می یابد.

در حداکثر نقطه، مشتق صفر است و علامت "بعلاوه" را به "منفی" تغییر می دهد.

در حداقل نقطه، مشتق نیز صفر است و علامت "منهای" را به "بعلاوه" تغییر می دهد.

بیایید این نتایج را در قالب یک جدول بنویسیم:

	افزایش می یابد	حداکثر امتیاز	کاهش می یابد	حداقل امتیاز	افزایش می یابد
+	0	-	0	+

اجازه دهید دو توضیح کوچک ارائه دهیم. هنگام حل مشکلات USE به یکی از آنها نیاز خواهید داشت. دیگری - در سال اول، با مطالعه جدی تر از توابع و مشتقات.

ممکن است مشتق یک تابع در نقطه ای برابر با صفر باشد، اما تابع در این نقطه نه ماکزیمم داشته باشد و نه حداقل. این به اصطلاح است :

در یک نقطه مماس بر نمودار افقی و مشتق آن صفر است. با این حال، قبل از نقطه، تابع افزایش یافته است - و بعد از نقطه به افزایش ادامه می دهد. علامت مشتق تغییر نمی کند - همانطور که بود مثبت می ماند.

همچنین اتفاق می افتد که در نقطه حداکثر یا حداقل مشتق وجود ندارد. در نمودار، این مربوط به یک شکست شدید است، زمانی که کشیدن مماس در یک نقطه مشخص غیرممکن است.

اگر تابع نه با نمودار، بلکه با فرمول داده شود، چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ در این مورد اعمال می شود

این مقاله را با مروری بر تعاریف و مفاهیم لازم آغاز می کنیم.

پس از این به نوشتن معادله یک خط مماس می‌رویم و برای نمونه‌ها و مسائل معمولی‌ترین مثال‌ها راه‌حل‌های دقیق ارائه می‌کنیم.

در پایان، ما بر روی یافتن معادله مماس منحنی های مرتبه دوم، یعنی دایره، بیضی، هذلولی و سهمی تمرکز خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعاریف و مفاهیم.

تعریف.

زاویه خط مستقیم y=kx+b زاویه اندازه گیری شده از جهت مثبت محور x به خط مستقیم y=kx+b در جهت مثبت (یعنی خلاف جهت عقربه های ساعت) است.

در شکل، جهت مثبت محور x با یک فلش سبز افقی، جهت مثبت زاویه با یک قوس سبز، خط مستقیم با یک خط آبی و زاویه شیب خط مستقیم نشان داده شده است. خط با یک قوس قرمز نشان داده شده است.

تعریف.

شیب یک خط مستقیم y=kx+b ضریب عددی k نامیده می شود.

شیب یک خط مستقیم برابر است با مماس زاویه میل خط مستقیم، یعنی .

تعریف.

مستقیم AB که از طریق دو نقطه روی نمودار تابع y=f(x) کشیده شده است فراخوانی می شود جدا کردن. به عبارت دیگر، جدا کردنخط مستقیمی است که از دو نقطه روی نمودار یک تابع می گذرد.

در شکل، خط برش AB به صورت یک خط آبی، نمودار تابع y=f(x) به صورت منحنی سیاه و زاویه تمایل خط برش به صورت یک قوس قرمز نشان داده شده است.

اگر در نظر بگیریم که ضریب زاویه ای یک خط مستقیم برابر با مماس زاویه میل است (این مورد در بالا مورد بحث قرار گرفت) و مماس زاویه در یک مثلث قائم الزاویه ABC نسبت پای مقابل به یک مجاور (این تعریف مماس زاویه است)، سپس یک سری تساوی برای سکنت ما صادق خواهد بود. ، ابسیساهای نقاط A و B کجا هستند، - مقادیر تابع مربوطه

یعنی زاویه برشبرابری تعیین می کند یا ، A معادله سکانتدر فرم نوشته شده است یا (در صورت لزوم به قسمت مراجعه کنید).

یک خط سکانس نمودار یک تابع را به سه قسمت تقسیم می کند: سمت چپ نقطه A، از A به B و سمت راست نقطه B، اگرچه ممکن است بیش از دو نقطه مشترک با نمودار تابع داشته باشد.

شکل زیر سه مقطع واقعاً متفاوت را نشان می دهد (نقاط A و B متفاوت هستند)، اما آنها بر هم منطبق هستند و توسط یک معادله به دست می آیند.

ما تا به حال با هیچ صحبتی در مورد خط مقطعی برای خط مستقیم برخورد نکرده ایم. اما با این حال، اگر از تعریف شروع کنیم، خط مستقیم و خط مقطع آن بر هم منطبق هستند.

در برخی موارد، یک سکنت ممکن است یک نمودار از یک تابع داشته باشد عدد بی نهایتنقاط تقاطع به عنوان مثال، سکانت تعریف شده با معادله y=0 دارای بی نهایت نقطه مشترک با موج سینوسی است.

تعریف.

مماس بر نمودار تابع y=f(x) در نقطهخط مستقیمی نامیده می شود که از نقطه ای می گذرد، با قطعه ای که نمودار یک تابع عملاً برای مقادیر x به طور دلخواه نزدیک به ادغام می شود.

اجازه دهید این تعریف را با یک مثال توضیح دهیم. اجازه دهید نشان دهیم که خط مستقیم y = x+1 بر نمودار تابع در نقطه (1؛ 2) مماس است. برای انجام این کار، با نزدیک شدن به نقطه مماس، نمودارهایی از این توابع را نشان خواهیم داد (1؛ 2). نمودار تابع با رنگ مشکی، خط مماس به صورت خط آبی و نقطه مماس به صورت نقطه قرمز نشان داده شده است.

هر نقاشی بعدی یک ناحیه بزرگ شده از نقشه قبلی است (این مناطق با مربع های قرمز برجسته شده اند).

به وضوح مشاهده می شود که در نزدیکی نقطه مماس، نمودار تابع عملا با خط مماس y=x+1 ادغام می شود.

حالا بیایید به ادامه مطلب برویم تعریف معنادارمماس

برای انجام این کار، نشان خواهیم داد که اگر نقطه B بی نهایت به نقطه A نزدیکتر باشد، چه اتفاقی برای قطعه AB می افتد.

شکل زیر این فرآیند را نشان می دهد.

مقطع AB (نشان داده شده به عنوان یک خط نقطه چین آبی) تمایل به گرفتن موقعیت مماس بر خط مستقیم (نشان داده شده به عنوان یک خط جامد آبی) دارد، زاویه تمایل سکانس (نشان داده شده به صورت یک قوس چین چین قرمز) به سمت زاویه تمایل مماس (به صورت یک قوس جامد قرمز نشان داده شده است).

تعریف.

بنابراین، مماس بر نمودار تابع y=f(x) در نقطه Aموقعیت محدود کننده قطعه AB در است.

اکنون می‌توانیم به توصیف معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه برویم.

معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطه.

بیایید مقطع AB نمودار تابع y=f(x) را طوری در نظر بگیریم که نقاط A و B به ترتیب دارای مختصات و ، افزایش استدلال کجاست. اجازه دهید با افزایش تابع نشان دهیم. بیایید همه چیز را روی نقاشی علامت گذاری کنیم:

از مثلث قائم الزاویه ABC داریم . از آنجایی که طبق تعریف، مماس موقعیت محدود کننده یک سکونت است، پس .

اجازه دهید تعریف مشتق یک تابع در یک نقطه را به یاد بیاوریم: مشتق تابع y=f(x) در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان در , نشان داده شده است. .

از این رو، ، شیب مماس کجاست.

بنابراین، وجود یک مشتق از تابع y=f(x) در یک نقطه معادل وجود مماس بر نمودار تابع y=f(x) در نقطه مماس است، و شیب مماس برابر با مقدار مشتق در نقطه است، یعنی .

نتیجه می گیریم: معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطهشامل وجود مماس بر نمودار تابع در این نقطه است.

معادله یک خط مماس.

برای نوشتن معادله هر خط مستقیم روی صفحه کافی است ضریب زاویه ای آن و نقطه عبور آن را بدانیم. خط مماس از نقطه مماس عبور می کند و ضریب زاویه ای آن برای تابع قابل تفکیک برابر با مقدار مشتق در نقطه است. یعنی از نقطه ای که می توانیم تمام داده ها را برای نوشتن معادله خط مماس بگیریم.

معادله مماس بر نمودار تابع y = f(x) در یک نقطهبه نظر می رسد .

ما فرض می کنیم که مقدار محدودی از مشتق وجود دارد، در غیر این صورت مماس مستقیم یا عمودی است (اگر و )، یا وجود ندارد (اگر ).

بسته به ضریب زاویه ای، مماس می تواند موازی با محور ابسیسا ()، موازی با محور ارتین (در این حالت، معادله مماس به شکل)، افزایش () یا کاهش () باشد.

وقت آن است که چند مثال برای روشن شدن بیان کنیم.

مثال.

معادله ای برای مماس بر نمودار تابع بنویسید در نقطه (-1;-3) و تعیین زاویه شیب.

راه حل.

تابع برای همه اعداد واقعی تعریف شده است (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید). از آنجایی که (-1;-3) نقطه مماس است، پس .

ما مشتق را پیدا می کنیم (برای این کار، مواد موجود در مقاله که یک تابع را متمایز می کند، پیدا کردن مشتق ممکن است مفید باشد) و مقدار آن را در نقطه محاسبه می کنیم:

از آنجایی که مقدار مشتق در نقطه مماس، شیب مماس است و برابر با مماس زاویه میل است، پس .

بنابراین زاویه میل مماس برابر است با ، و معادله خط مماس شکل دارد

تصویر گرافیکی.

نمودار تابع اصلی با رنگ مشکی، خط مماس به صورت خط آبی و نقطه مماس به صورت یک نقطه قرمز نشان داده شده است. تصویر سمت راست نمای بزرگنمایی شده ای از ناحیه است که با مربع نقطه قرمز در تصویر سمت چپ نشان داده شده است.

مثال.

دریابید که آیا مماس بر نمودار یک تابع وجود دارد یا خیر در نقطه (1؛ 1)، اگر بله، معادله آن را بنویسید و زاویه تمایل آن را تعیین کنید.

راه حل.

دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است.

یافتن مشتق:

وقتی مشتق تعریف نشده باشد، اما و بنابراین، در نقطه (1;1) یک مماس عمودی وجود دارد، معادله آن x = 1 و زاویه تمایل برابر است.

تصویر گرافیکی.

مثال.

تمام نقاط نمودار تابع را پیدا کنید که در آنها:
الف) مماس وجود ندارد. ب) مماس موازی با محور x باشد. ج) مماس موازی خط باشد.

راه حل.

مثل همیشه با دامنه تعریف تابع شروع می کنیم. در مثال ما، تابع بر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف شده است. بیایید علامت مدول را برای این کار گسترش دهیم، دو بازه را در نظر بگیرید:

بیایید تابع را متمایز کنیم:

در مشتق x=-2 وجود ندارد، زیرا محدودیت های یک طرفه در این نقطه برابر نیستند:

بنابراین، با محاسبه مقدار تابع در x=-2، می توانیم به نقطه a پاسخ دهیم: مماس بر نمودار تابع در نقطه (-2;-2) وجود ندارد.

ب) مماس با محور x موازی است اگر شیب آن صفر باشد (مماس زاویه میل صفر باشد). چون ، سپس باید تمام مقادیر x را که در آن مشتق تابع ناپدید می شود، پیدا کنیم. این مقادیر ابسیسا نقاط مماس خواهد بود که در آن مماس موازی با محور Ox است.

وقتی معادله را حل می کنیم ، و معادله چه زمانی است :

باقی مانده است که مقادیر مربوط به تابع را محاسبه کنیم:

به همین دلیل، - نقاط مورد نیاز نمودار تابع.

تصویر گرافیکی.

نمودار تابع اصلی با یک خط سیاه نشان داده شده است.

ج) اگر دو خط در یک صفحه موازی باشند، ضرایب زاویه ای آنها برابر است (این در مقاله نوشته شده است). بر اساس این عبارت، باید تمام نقاط نمودار تابعی را که شیب مماس در آنها برابر با هشت پنجم است، پیدا کنیم. یعنی باید معادله را حل کنیم. بنابراین، وقتی معادله را حل می کنیم ، و معادله چه زمانی است .

ممیز معادله اول منفی است، بنابراین ریشه واقعی ندارد:

معادله دوم دو ریشه واقعی دارد:

ما مقادیر تابع مربوطه را پیدا می کنیم:

در نقاط مماس بر نمودار یک تابع با خط موازی است.

تصویر گرافیکی.

نمودار تابع با یک خط سیاه نشان داده شده است، خط قرمز نمودار خط مستقیم را نشان می دهد، خطوط آبی مماس بر نمودار تابع را در نقاط نشان می دهد. .

برای توابع مثلثاتیبه دلیل تناوب بودن آنها، می تواند بی نهایت خط مماس وجود داشته باشد که شیب یکسانی دارند (شیب یکسان).

مثال.

معادلات تمام مماس های نمودار تابع را بنویسید که عمود بر خط هستند.

راه حل.

برای ایجاد یک معادله برای مماس بر نمودار یک تابع، فقط باید شیب آن و مختصات نقطه مماس را بدانیم.

ضریب زاویه ای مماس ها را از این می یابیم: حاصل ضرب ضرایب زاویه ای خطوط مستقیم عمود بر منهای یک است، یعنی. از آنجایی که، طبق شرط، ضریب زاویه ای یک خط مستقیم عمود برابر است، پس .

بیایید شروع به یافتن مختصات نقاط مماس کنیم. ابتدا بیایید ابسیساها را پیدا کنیم، سپس مقادیر مربوط به تابع را محاسبه کنیم - اینها مختصات نقاط مماس خواهند بود.

هنگام توصیف معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه، به این نکته توجه کردیم. از این تساوی، ابسیسا نقاط مماس را پیدا می کنیم.

ما به یک معادله مثلثاتی رسیدیم. لطفاً به آن توجه کنید زیرا بعداً در محاسبه مختصات نقاط مماس از آن استفاده خواهیم کرد. ما آن را حل می کنیم (اگر مشکلی دارید، لطفاً به بخش مراجعه کنید حل معادلات مثلثاتی):

ابسیساهای نقاط مماس پیدا شده‌اند، بیایید مختصات مربوطه را محاسبه کنیم (در اینجا از تساوی استفاده می‌کنیم که از شما خواستیم دقیقاً به آن توجه کنید):

بنابراین، تمام نقاط تماس. بنابراین، معادلات مماس مورد نیاز به شکل زیر است:

تصویر گرافیکی.

شکل منحنی سیاه نمودار تابع اصلی را در قسمت [-10;10] نشان می دهد، خطوط آبی خطوط مماس را نشان می دهد. عمود بر خط قرمز به وضوح قابل مشاهده است. نقاط لمسی با نقاط قرمز مشخص شده اند.

مماس بر دایره، بیضی، هذلولی، سهمی.

تا این مرحله، ما مشغول یافتن معادلات مماس بر نمودارهای توابع تک مقداری به شکل y = f(x) در نقاط مختلف بوده‌ایم. معادلات متعارف منحنی های مرتبه دوم، توابع تک مقداری نیستند. اما می توانیم یک دایره، بیضی، هذلولی و سهمی را با ترکیب دو تابع تک مقداری نشان دهیم و پس از آن می توانیم معادلات مماس را طبق یک طرح شناخته شده بسازیم.

مماس بر دایره.

دایره با مرکز در یک نقطه و شعاع R با .

بیایید این برابری را به صورت اتحاد دو تابع بنویسیم:

در اینجا اولین تابع مربوط به نیم دایره بالایی است، دومی - به پایین.

بنابراین، برای ساختن معادله مماس بر دایره در یک نقطه متعلق به نیم دایره بالا (یا پایین)، معادله مماس بر نمودار تابع (یا) را در نقطه مشخص شده پیدا می کنیم.

نشان دادن آن در نقاط یک دایره با مختصات آسان است و مماس ها موازی با محور x هستند و با معادلات و به ترتیب (در شکل زیر به صورت نقاط آبی و خطوط مستقیم آبی نشان داده شده اند) و در نقاط نشان داده می شوند. و - موازی با محور ترتیبی هستند و معادلات دارند و به ترتیب (در شکل زیر با نقاط قرمز و خطوط مستقیم قرمز مشخص شده اند).

مماس بر بیضی.

بیضی در یک نقطه متمرکز شده است با نیم محورهای a و b با معادله به دست می آید .

یک بیضی، درست مانند یک دایره، می تواند با ترکیب دو تابع تعریف شود - نیمه بیضی بالا و پایین:

مماس ها در رئوس بیضی موازی هستند یا با محور آبسیسا (در شکل زیر با خطوط مستقیم آبی نشان داده شده است) یا با محور ارتین (در شکل زیر با خطوط مستقیم قرمز نشان داده شده است).

یعنی نیمه بیضی بالایی توسط تابع داده می شود و پایینی - .

اکنون می توانیم از الگوریتم استاندارد برای ایجاد معادله ای برای مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه استفاده کنیم.

اولین مماس در نقطه:

مماس دوم در یک نقطه :

تصویر گرافیکی.

مماس بر هذلولی.

هایپربولا در یک نقطه متمرکز شده است و اوج می گیرد و توسط برابری داده می شود (تصویر زیر سمت چپ)، و با رئوس و - برابری (تصویر پایین سمت راست).

به عنوان ترکیبی از دو تابع، هذلولی را می توان به صورت نمایش داد

یا .

در رئوس هذلولی، مماس ها در حالت اول با محور Oy و برای حالت دوم با محور Ox موازی هستند.

بنابراین، برای یافتن معادله مماس بر هذلولی، متوجه می‌شویم که نقطه مماس متعلق به کدام تابع است و به روش معمول پیش می‌رویم.

یک سوال منطقی مطرح می شود: چگونه تعیین کنیم که یک نقطه به کدام تابع تعلق دارد. برای پاسخ به آن، مختصات را جایگزین هر معادله می کنیم و می بینیم که کدام یک از برابری ها به یک هویت تبدیل می شود. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم.

مثال.

معادله ای برای مماس بر هذلولی بنویسید در نقطه .

راه حل.

بیایید هذلولی را به صورت دو تابع بنویسیم:

بیایید دریابیم که نقطه مماس متعلق به کدام تابع است.

بنابراین، برای تابع اول، نقطه به نمودار این تابع تعلق ندارد.

بنابراین، برای تابع دوم، نقطه متعلق به نمودار این تابع است.

ضریب زاویه ای مماس را پیدا کنید:

بنابراین، معادله مماس به شکل .

تصویر گرافیکی.

مماس بر سهمی.

برای ایجاد یک معادله برای مماس بر سهمی شکل در نقطه ای که استفاده می کنیم طرح استاندارد، و معادله مماس را به صورت . مماس بر نمودار چنین سهمی در راس موازی با محور Ox است.