ترکیبیات - این، همانطور که از نام خود پیداست، شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه انواع مختلف می پردازد مجموعه ها یا ترکیبات هر شی (عنصر) - اعداد، اشیاء، حروف در کلمات و غیره. بخش بسیار جالبی است.) اما به دلایلی درک آن دشوار است. چرا؟ زیرا اغلب شامل اصطلاحات و عباراتی است که برای درک بصری دشوارتر است. اگر کاراکترها 10، 2، 3/4 و زوج باشند، یا log 2 5 از نظر بصری برای ما واضح است، i.e. ما می توانیم به نوعی آنها را "احساس" کنیم، سپس با نام هایی مانند 15!،ص 9 مشکلات شروع می شود. علاوه بر این، در اکثر کتاب های درسی این موضوع نسبتاً خشک و درک آن دشوار است. امیدوارم این مطالب حداقل به حل این مشکلات کمک کند و ترکیبیات را دوست داشته باشید.)
هر یک از ما هر روز با مشکلات ترکیبی روبرو می شویم. وقتی صبح تصمیم می گیریم چطور لباس بپوشیم، ما ترکیب کردنانواع خاصی از لباس وقتی سالاد آماده می کنیم، مواد را با هم ترکیب می کنیم. نتیجه بستگی به این دارد که چه ترکیبی از محصولات انتخاب شده است - خوشمزه یا بی مزه. درست است، مسائل مربوط به ذائقه دیگر با ریاضیات حل نمی شود، بلکه با پخت و پز حل نمی شود. وقتی یک قفل ترکیبی را باز می کنیم یا یک شماره تلفن را می گیریم، اعداد را با هم ترکیب می کنیم.) مدیر مدرسه برنامه های درسی را طراحی می کند و موضوعات را با هم ترکیب می کند. تیم های فوتبالدر مسابقات جهانی یا اروپا آنها به گروه ها تقسیم می شوند و ترکیباتی را تشکیل می دهند. و غیره.)
مردم مسائل ترکیبی را در زمان های قدیم حل می کردند (مربع جادویی، شطرنج)، و اوج واقعی ترکیب شناسی در قرن های 6 تا 7، در طول استفاده گسترده از قمار (کارت، تاس)، زمانی که بازیکنان مجبور بودند از طریق حرکات مختلف فکر کنند، رخ داد. در واقع مسائل ترکیبی را نیز حل می کند.) همراه با ترکیبات، شاخه دیگری از ریاضیات در همان زمان پدید آمد - نظریه احتمال . این دو بخش بسیار نزدیک به هم هستند و دست به دست هم می دهند.) و هنگام مطالعه نظریه احتمال، بیش از یک بار با مسائل ترکیبی مواجه خواهیم شد.
و ما مطالعه ترکیبیات را با چنین مفهوم سنگ بنای شروع خواهیم کرد فاکتوریل .
فاکتوریل چیست؟
کلمه فاکتوریال کلمه زیبایی است اما خیلی ها را می ترساند و گیج می کند. اما بیهوده. در این درس ما این مفهوم ساده را به خوبی درک خواهیم کرد و با آن کار خواهیم کرد.) این کلمه از لاتین "factorialis" گرفته شده است که به معنای "ضرب شدن" است. و دلیل خوبی دارد: محاسبه هر فاکتوریل بر اساس معمول است ضرب.)) پس فاکتوریل چیست.
بیایید مقداری بگیریم عدد طبیعی n . کاملاً دلخواه: ما 2 می خواهیم، ما 10 می خواهیم، هر چه باشد، تا زمانی که طبیعی باشد.) بنابراین، فاکتوریل یک عدد طبیعی n حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از است 1 تا n شامل. به این صورت تعیین می شود: n! یعنی
برای اینکه هر بار این کار طولانی را توصیف نکنیم، به سادگی به یک نماد کوتاه رسیدیم. :) کمی غیرمعمول خوانده می شود: "en factorial" (و نه برعکس، "factorial en"، همانطور که ممکن است به نظر برسد).
همین! به عنوان مثال،
آیا شما ایده؟)) عالی! سپس مثال هایی را در نظر می گیریم:
پاسخ ها (به هم ریخته): 30; 0.1; 144; 6; 720; 2 5040.
آیا همه چیز درست شد؟ فوق العاده! ما قبلاً می دانیم که چگونه فاکتوریل ها را محاسبه کنیم و مثال های ساده را با آنها حل کنیم. بیایید ادامه دهیم. :)
خواص فاکتوریل
بیایید عبارت 0 را در نظر بگیریم که از نظر تعیین فاکتوریل چندان واضح نیست. بنابراین در ریاضیات توافق شد که
بله، بله! این یک معادله جالب است. چه از یک یا از صفر، فاکتوریل یکسان است - یک.)) در حال حاضر، بیایید این برابری را به عنوان یک جزم در نظر بگیریم، اما اینکه چرا این دقیقاً چنین است، کمی بعد با مثال هایی مشخص خواهد شد.))
دو ویژگی زیر بسیار مشابه هستند:
آنها را می توان به صورت ابتدایی اثبات کرد. مستقیماً به معنای فاکتوریل.)
این دو فرمول اجازه می دهد اولا به راحتی فاکتوریل عدد طبیعی فعلی را از طریق فاکتوریل محاسبه کنید قبلیاعداد یا بعدی از طریق فعلی.) به این فرمول ها در ریاضیات گفته می شود عود کننده.
در مرحله دوم، با کمک این فرمول ها می توانید برخی از عبارات پیچیده را با فاکتوریل ساده و محاسبه کنید. مثل اینها.
محاسبه کنید:
چگونه پیش خواهیم رفت؟ همه چیز را به ترتیب ضرب کنید اعداد طبیعیاز 1 تا 1999 و از 1 تا 2000؟ شما از این مبهوت خواهید شد! اما ویژگی های مثال به معنای واقعی کلمه در یک خط حل می شود:
یا مثل این:
یا چنین وظیفه ای. ساده کردن:
دوباره به طور مستقیم روی خواص کار می کنیم:
چرا فاکتوریل مورد نیاز است و از کجا آمده است؟ خوب، چرا آنها مورد نیاز هستند، این یک سؤال فلسفی است. در ریاضیات، هیچ چیز فقط برای زیبایی اتفاق نمی افتد.)) در واقع، فاکتوریل کاربردهای زیادی دارد. این دو جمله ای نیوتن و نظریه احتمال و سری و فرمول تیلور و حتی عدد معروف است.ه ، که یک مجموع بی نهایت جالب است:
هر چه بیشتر بپرسیn ، هر چه تعداد عبارت ها در مجموع بیشتر باشد و این مجموع به عدد نزدیکتر خواهد بوده . و در محدود کردنزمانی که دقیقاً برابر با عدد شوده . :) اما در مورد این عدد شگفت انگیز در تاپیک مناسب صحبت خواهیم کرد. و در اینجا ما فاکتوریل و ترکیبات داریم.)
آنها از کجا آمده اند؟ آنها از ترکیبات، از مطالعه مجموعه عناصر به دست آمده اند.) ساده ترین چنین مجموعه ای است تنظیم مجدد بدون تکرار. بیایید با آن شروع کنیم. :)
تنظیم مجدد بدون تکرار
بگذار دو تا داشته باشیم مختلفشی یا عنصر. مطلقا هر. دو سیب (قرمز و سبز)، دو آب نبات (شکلات و کارامل)، دو کتاب، دو عدد، دو حرف - هر چیزی. اگر آنها بودند مختلف.) بیایید به آنها زنگ بزنیمالف وب به ترتیب.
چه کاری می توانید با آنها انجام دهید؟ اگر اینها آب نبات هستند، مطمئناً می توانید آنها را بخورید.)) فعلاً آنها را تحمل می کنیم و می خوریم. به ترتیب مختلف ترتیب دهید.
هر مکان از این قبیل نامیده می شود تنظیم مجدد بدون تکرار. چرا "بدون تکرار"؟ زیرا تمام عناصر دخیل در جایگشت هستند متفاوت است. برای سادگی، تا به حال این تصمیم را گرفته ایم. بیشتر وجود دارد جایگشت با تکرار، جایی که برخی از عناصر ممکن است یکسان باشند. اما چنین جایگشتی کمی پیچیده تر است. بیشتر در مورد آنها بعداً.)
بنابراین، اگر دو عنصر متفاوت در نظر گرفته شود، گزینه های زیر امکان پذیر است:
AB , ب الف .
فقط دو گزینه وجود دارد، یعنی دو جایگشت به صورت پراکنده.)
حالا بیایید یک عنصر دیگر به مجموعه خود اضافه کنیمسی . در این مورد، شش جایگشت وجود خواهد داشت:
ABC , ACB , BAC , B.C.A. , CAB , C.B.A. .
جایگشت های چهار عنصر را به صورت زیر می سازیم. ابتدا، اجازه دهید عنصر را در ابتدا قرار دهیمالف . در همان زمان، باقی مانده است سههمانطور که قبلاً می دانیم، می توان عناصر را دوباره مرتب کرد، ششراه ها:
این به این معنی است که تعداد جایگشت با عنصر اولالف برابر با 6
اما اگر اول قرار بگیریم همین داستان رقم می خورد هراز این چهار عنصر آنها حقوق مساوی دارند و هر کدام شایسته قرار گرفتن در جایگاه اول هستند.) این بدان معنی است که تعداد کل جایگشت های چهار عنصر برابر خواهد بود. در اینجا آنها هستند:
بنابراین، به طور خلاصه: جایگشت از n عناصر هر نامیده می شوند دستور دادمجموعه ای از اینها nعناصر
کلمه "مرتب" در اینجا کلیدی است: هر جایگشت فقط متفاوت است ترتیب عناصر، و خود عناصر در مجموعه ثابت می مانند.
فقط باید بفهمیم که تعداد این جابجایی ها از چه چیزی است هر تعداد عناصر: ما مازوخیست نیستیم که هر بار بنویسیم همهگزینه های مختلف و شمارش آنها. :) برای 4 عنصر ما 24 جایگشت دریافت کردیم - این در حال حاضر برای درک بصری بسیار زیاد است. اگر 10 عنصر وجود داشته باشد چه؟ یا 100؟ خوب است که فرمولی بسازیم که در یک لحظه، تعداد همه جایگشت‌های این چنینی را برای هر تعداد عنصر شمارش کند. و چنین فرمولی وجود دارد! اکنون آن را استخراج می کنیم.) اما ابتدا، اجازه دهید یک قانون کمکی بسیار مهم را در تمام ترکیبات ترکیبی فرموله کنیم، به نام قانون محصول .
قانون محصول: اگر در مجموعه گنجانده شود n گزینه های مختلفانتخاب اولین عنصر و برای هر یک از آنها وجود داردمتر گزینه های مختلف برای انتخاب عنصر دوم، سپس در مجموع n·m جفت های مختلف این عناصر
و در حال حاضر، اجازه دهید در حال حاضر مجموعه ای از وجود داردn عناصر مختلف
,
که در آن، البته، . باید تعداد همه جایگشت های ممکن عناصر این مجموعه را بشماریم. ما دقیقاً به همین روش استدلال می کنیم.)) می توانید هر یک از اینها را در وهله اول قرار دهیدn عناصر این به این معنی است که تعداد راه های انتخاب عنصر اول است n .
حال تصور کنید که اولین عنصر را انتخاب کرده ایم (n راه ها، همانطور که به یاد می آوریم). چند عنصر انتخاب نشده در مجموعه باقی مانده است؟ درسته،n-1 . :) یعنی عنصر دوم را فقط می توان انتخاب کردn-1 راه ها سوم -n-2 راه ها (از آنجایی که 2 عنصر قبلاً انتخاب شده است). و غیره، عنصر kthشما می توانید انتخاب کنیدn-(k-1) راه ها، ماقبل آخر - به دو صورت، و آخرین عنصر - فقط به یک روش، زیرا همه عناصر دیگر قبلاً به یک روش انتخاب شده اند. :)
خب حالا بیایید فرمول را بسازیم.
بنابراین، تعداد راه های انتخاب اولین عنصر از مجموعه استn . روشن هراز اینهاn راه ها بر اساسn-1 راه انتخاب دومی این به این معنی است که تعداد کل روش‌های انتخاب عناصر 1 و 2 با توجه به قانون محصول، برابر خواهد بودn (n-1) . علاوه بر این، هر یک از آنها به نوبه خود حساب می کنندn-2 راه برای انتخاب عنصر سوم به معنی، سهعنصر را می توان از قبل انتخاب کردn(n-1)(n-2) راه ها و به همین ترتیب:
4 عنصر - 
راه ها
k عناصر به روشی،
n عنصر در راه.
به معنی، nعناصررا می توان به روش هایی انتخاب کرد (یا در مورد ما مرتب کرد).
تعداد این روش ها به شرح زیر است:Pn . نوشته شده است: "pe from en." از فرانسوی ها" پجفت شدن - بازآرایی." ترجمه به روسی به این معنی است: "جایگزینی از n عناصر".
به معنی،
حالا بیایید به بیان نگاه کنیم، در سمت راست فرمول ایستاده است. شما را به یاد چیزی نمی اندازد؟ اگر آن را از راست به چپ بازنویسی کنید، چه می شود؟
خب البته! فاکتوریل، حضوری :) اکنون می توانید به طور خلاصه بنویسید:
به معنی، شماره همهجایگشت های احتمالی از n عناصر مختلف برابر هستند n! .
این معنای عملی اصلی فاکتوریل است.))
اکنون به راحتی می توانیم به بسیاری از سوالات مربوط به ترکیبات و جایگشت ها پاسخ دهیم.)
به چند روش می توان 7 کتاب مختلف را در یک قفسه قرار داد؟
P 7 = 7! = 1 2·3·4·5·6·7 = 5040 راه ها.)
به چند روش می توانید از 6 موضوع مختلف برنامه زمانی (برای یک روز) بسازید؟
P6 = 6! = 1 2·3·4·5·6 = 720 راه ها
از چند طریق می توان 12 نفر را در یک ستون مرتب کرد؟
سوالی نیست! P 12 = 12! = 1 2·3·...·12 = 479001600 راه ها :)
عالیه، درسته؟
یک مشکل شوخی بسیار معروف در مورد جایگشت وجود دارد:
یک روز، 8 دوست به رستورانی رفتند که در آن یک میز گرد بزرگ وجود داشت و برای مدت طولانی با یکدیگر بحث کردند که چگونه دور این میز بنشینند. بحث و جدل کردند تا اینکه بالاخره صاحب رستوران به آنها پیشنهاد داد: «چرا دعوا می کنید؟ به هر حال هیچ کدومتون گرسنه نمیمونید :) اول یه جوری بشین! چیدمان صندلی های امروز را به خوبی به خاطر بسپارید. پس فردا بیا و جور دیگری بنشین. روز بعد بیا و دوباره به شیوه ای جدید بنشین! و به همین ترتیب... به محض اینکه از تمام گزینه های ممکن برای صندلی عبور کردید و وقت آن است که دوباره مانند امروز بنشینید، پس همینطور باشد، قول می دهم در رستورانم به شما غذای رایگان بدهم!» چه کسی برنده خواهد شد - مالک یا بازدیدکنندگان؟ :)
خوب، بیایید تعداد همه گزینه های ممکن برای صندلی را بشماریم. در مورد ما، این تعداد جایگشت های 8 عنصر است:
P 8 = 8! = 40320 راه.
بگذارید 365 روز در سال داشته باشیم (برای سادگی، روزهای کبیسه را در نظر نخواهیم گرفت). این بدان معناست که حتی با در نظر گرفتن این فرض، تعداد سال‌هایی که برای آزمایش همه روش‌های کاشت ممکن نیاز است، خواهد بود:
بیش از 110 سال! یعنی حتی اگر قهرمانان ما با ویلچر را مادرشان مستقیماً از زایشگاه به رستوران بیاورند، فقط در سن صدسالگی می توانند ناهار رایگان خود را دریافت کنند. البته اگر هر هشت تا آن سن زنده بمانند.))
این به این دلیل است که فاکتوریل یک تابع بسیار سریع در حال افزایش است! خودتان ببینید:
به هر حال، چه کار برابری و1! = 1 ? به این صورت است: از یک مجموعه خالی (0 عنصر) فقط می توانیم ایجاد کنیم یکیجایگشت - مجموعه خالی. :) درست مانند مجموعه ای که فقط از یک عنصر تشکیل شده است، ما نیز می توانیم فقط بسازیم یکیجایگشت - خود این عنصر.
آیا با بازآرایی ها همه چیز مشخص است؟ عالی است، پس بیایید وظایف را انجام دهیم.)
وظیفه 1
محاسبه کنید:
الف)ص 3 ب)P5
IN)ص 9: ص 8 ز)P2000: P1999
وظیفه 2
آیا این درست است
وظیفه 3
چند عدد چهار رقمی مختلف را می توان تشکیل داد؟
الف) از اعداد 1، 2، 3، 4
ب) از اعداد 0، 5، 6، 7؟
نکته ب): عدد نمی تواند با عدد 0 شروع شود!
وظیفه 4
کلمات و عبارات با حروف دوباره مرتب شده نامیده می شوند آنگرام ها. از کلمه "هیپوتنوز" چند آناگرام می توان ساخت؟
وظیفه 5
با تعویض ارقام عدد 61135 چند عدد پنج رقمی تقسیم بر 4 بدست می آید؟
نکته: تست بخش پذیری بر 4 (بر اساس دو رقم آخر) را به خاطر بسپارید!
پاسخ های بی نظم: 2000; 3628800; 9; 24; 120; 18; 12; 6.
خوب، همه چیز درست شد! تبریک می گویم! سطح 1 تکمیل شد، بیایید به مرحله بعدی برویم. به نام " قرار دادن بدون تکرار"
فاکتوریل.
فاکتوریل - این نام تابعی است که اغلب در عمل با آن مواجه می شود و برای اعداد صحیح غیر منفی تعریف می شود. نام تابع از اصطلاح ریاضی انگلیسی گرفته شده است عامل- "ضرب". تعیین شده است n!. علامت فاکتوریل " ! "در سال 1808 در کتاب درسی فرانسوی Chr. کرامپ
برای هر عدد صحیح مثبت nتابع n!برابر با حاصلضرب تمام اعداد صحیح از 1 به n.
به عنوان مثال:
4! = 1*2*3*4 = 24.
برای راحتی، ما با تعریف فرض می کنیم 0! = 1 . جی. والیس در سال 1656 در «حساب بینهایت» نوشت که فاکتوریل صفر باید طبق تعریف برابر با یک باشد.
تابع n!با افزایش رشد می کند nخیلی سریع بنابراین،
(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)!
(1) ریاضیدان انگلیسی جی.استرلینگ در سال 1970 بسیار راحت ارائه شده استفرمول
برای محاسبه تقریبی تابع n!: کجا = ه
2.7182... پایه لگاریتم های طبیعی است.
خطای نسبی هنگام استفاده از این فرمول بسیار کم است و با افزایش عدد n به سرعت کاهش می یابد.
بیایید با استفاده از مثال راه هایی برای حل عبارات حاوی فاکتوریل بررسی کنیم.مثال 1 .
.(n! + 1)! = (n! + 1) n! 10! 8!
مثال 2.
10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!
محاسبه کنیدراه حل. (n + 3)! = 90 بیایید از فرمول (1) استفاده کنیم:
مثال 2مثال 3
. معادله را حل کنید
(n+1)! + 3)! = (n + 3)(طبق فرمول (1) داریم= (n + 3) (n + 2) = 90.
(ن
n + 2) (n+1)! + (n+1)! (n+1)!
با باز کردن براکت ها در محصول، یک معادله درجه دوم به دست می آوریم n 2 5n - 84 = 0 که ریشه آن اعداد n = 7 و n = -12 است. با این حال، فاکتوریل فقط برای اعداد صحیح غیر منفی تعریف می شود، یعنی برای همه اعداد صحیح n ≥ 0. بنابراین، عدد n = -12 شرایط مسئله را برآورده نمی کند. بنابراین n = 7.مثال 4.
مثال 2از تعریف فاکتوریل یک عدد طبیعی n نتیجه می شود که
(n+1)! = (n + 1) n!
اجازه دهید n + 1 = y را در این برابری قرار دهیم! = x، کجا دریک عدد طبیعی دلخواه است، به دست می آوریم
حال می بینیم که اعداد سه گانه مورد نیاز را می توان در فرم مشخص کرد
(y!;y;y!-1) (2)
که در آن y یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است.
به عنوان مثال، برابری ها درست است
مثال 5.تعیین کنید که چند صفر به نماد اعشاری عدد 32 ختم می شود.
مثال 2اگر نماد اعشاری یک عدد آر= 32 به پایان می رسد کصفر و سپس عدد آررا می توان در فرم نشان داد
P = q 10 هزار،
شماره کجاست q بر 10 بخش پذیر نیست. این بدان معنی است که تجزیه یک عدد qفاکتورهای اول شامل 2 و 5 نمی شود.
بنابراین، برای پاسخ به سوال مطرح شده، بیایید سعی کنیم مشخص کنیم که حاصل ضرب 1 2 3 4 ... 30 31 32 با چه توانایی شامل اعداد 2 و 5 می شود. ک- کوچکترین شاخص پیدا شده، سپس عدد P به پایان می رسد کصفرها
بنابراین، بیایید تعیین کنیم که چه تعداد از اعداد طبیعی از 1 تا 32 بر 2 بخش پذیر هستند. بدیهی است که تعداد آنها 32/2 = 16 است. سپس تعیین خواهیم کرد که از 16 عدد یافت شده چند عدد بر 4 بخش پذیر هستند. سپس - چند عدد از آنها بر 8 بخش پذیر هستند و غیره. در نتیجه، دریافتیم که از بین سی و دو عدد طبیعی اول، 16 عدد بر 2 بخش پذیر هستند.
که 32/4 = 8 عدد بر 4 بخش پذیرند که 32/8 = 4 عدد بر 8 بخش پذیرند که 32/16 = 2 عدد بر 16 بخش پذیرند و در نهایت از این 32/32 = 1 بخش پذیر بر 32، آن ها. یک عدد واضح است که مجموع مقادیر دریافتی:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
برابر با توانی که عدد 2 با آن در 32 گنجانده شده است!.
به همین ترتیب، بیایید تعیین کنیم که چه تعداد از اعداد طبیعی از 1 تا 32 بر 5 و از عدد پیدا شده بر 10 بخش پذیر هستند. 32 را بر 5 تقسیم کنید.
ما 32/5 = 6.4 می گیریم. بنابراین در بین اعداد طبیعی از 1 تا 32
6 عدد وجود دارد که بر 5 بخش پذیرند. یکی از آنها بر 25 بخش پذیر است
شماره، از 32/25 = 1.28. در نتیجه عدد 5 در عدد 32 قرار می گیرد! با شاخصی برابر با مجموع 6+1 = 7.
از نتایج به دست آمده چنین است که 32! = 2 31 5 7 تی،شماره کجاست تیبر 2 یا 5 بخش پذیر نیست. بنابراین عدد 32 است! حاوی یک ضریب است
10 7 و بنابراین به 7 صفر ختم می شود.
بنابراین، در این چکیده مفهوم فاکتوریل تعریف شده است.
فرمول ریاضیدان انگلیسی جی استرلینگ برای محاسبه تقریبی تابع n داده شده است!
هنگام تبدیل عبارات حاوی فاکتوریل، استفاده از برابری مفید است
(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)!
روش های حل مسائل با فاکتوریل با استفاده از مثال ها به تفصیل مورد بحث قرار می گیرند.
فاکتوریل در فرمول های مختلف استفاده می شود ترکیبیات،در رتبه ها و غیره
مثلا تعداد راه های ساخت nدانش آموزان در یک خط برابر است n!.
شماره n! برای مثال برابر است با تعداد روش هایی که می توان n کتاب مختلف را در یک قفسه کتاب مرتب کرد یا مثلاً عدد 5! برابر تعداد روش هایی است که در آن پنج نفر می توانند روی یک نیمکت بنشینند. یا مثلا عدد 27! برابر است با تعداد راه هایی که کلاس ما با 27 دانش آموز می تواند در کلاس تربیت بدنی صف آرایی کند.
ادبیات.
ریازانوفسکی A.R.، Zaitsev E.A.
ریاضیات. پایه های 5-11: مواد اضافیبرای درس ریاضی -M.: Bustard, 2001.- (کتابخانه معلم).
فرهنگ لغت دانشنامه یک ریاضیدان جوان. / Comp.
A.P.Savin.-M.: Pedagogy, 1985
فاکتوریل.
فاکتوریل - این نام تابعی است که اغلب در عمل با آن مواجه می شود و برای اعداد صحیح غیر منفی تعریف می شود. نام تابع از اصطلاح ریاضی انگلیسی گرفته شده است عامل- "ضرب". تعیین شده است n!. علامت فاکتوریل " ! "در سال 1808 در کتاب درسی فرانسوی Chr. کرامپ
برای هر عدد صحیح مثبت nتابع n!برابر با حاصلضرب تمام اعداد صحیح از 1 به n.
به عنوان مثال:
4! = 1*2*3*4 = 24.
برای راحتی، ما با تعریف فرض می کنیم 0! = 1 . جی. والیس در سال 1656 در «حساب بینهایت» نوشت که فاکتوریل صفر باید طبق تعریف برابر با یک باشد.
تابع n!با افزایش رشد می کند nخیلی سریع بنابراین،
(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)!
(1) ریاضیدان انگلیسی جی.استرلینگ در سال 1970 بسیار راحت ارائه شده استفرمول
برای محاسبه تقریبی تابع n!: کجا = ه
2.7182... پایه لگاریتم های طبیعی است.
خطای نسبی هنگام استفاده از این فرمول بسیار کم است و با افزایش عدد n به سرعت کاهش می یابد.
بیایید با استفاده از مثال راه هایی برای حل عبارات حاوی فاکتوریل بررسی کنیم.مثال 1 .
.(n! + 1)! = (n! + 1) n! 10! 8!
مثال 2.
10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!
محاسبه کنیدراه حل. (n + 3)! = 90 بیایید از فرمول (1) استفاده کنیم:
مثال 2مثال 3
. معادله را حل کنید
(n+1)! + 3)! = (n + 3)(طبق فرمول (1) داریم= (n + 3) (n + 2) = 90.
(ن
n + 2) (n+1)! + (n+1)! (n+1)!
با باز کردن براکت ها در محصول، یک معادله درجه دوم به دست می آوریم n 2 5n - 84 = 0 که ریشه آن اعداد n = 7 و n = -12 است. با این حال، فاکتوریل فقط برای اعداد صحیح غیر منفی تعریف می شود، یعنی برای همه اعداد صحیح n ≥ 0. بنابراین، عدد n = -12 شرایط مسئله را برآورده نمی کند. بنابراین n = 7.مثال 4.
مثال 2از تعریف فاکتوریل یک عدد طبیعی n نتیجه می شود که
(n+1)! = (n + 1) n!
اجازه دهید n + 1 = y را در این برابری قرار دهیم! = x، کجا دریک عدد طبیعی دلخواه است، به دست می آوریم
حال می بینیم که اعداد سه گانه مورد نیاز را می توان در فرم مشخص کرد
(y!;y;y!-1) (2)
که در آن y یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است.
به عنوان مثال، برابری ها درست است
مثال 5.تعیین کنید که چند صفر به نماد اعشاری عدد 32 ختم می شود.
مثال 2اگر نماد اعشاری یک عدد آر= 32 به پایان می رسد کصفر و سپس عدد آررا می توان در فرم نشان داد
P = q 10 هزار،
شماره کجاست q بر 10 بخش پذیر نیست. این بدان معنی است که تجزیه یک عدد qفاکتورهای اول شامل 2 و 5 نمی شود.
بنابراین، برای پاسخ به سوال مطرح شده، بیایید سعی کنیم مشخص کنیم که حاصل ضرب 1 2 3 4 ... 30 31 32 با چه توانایی شامل اعداد 2 و 5 می شود. ک- کوچکترین شاخص پیدا شده، سپس عدد P به پایان می رسد کصفرها
بنابراین، بیایید تعیین کنیم که چه تعداد از اعداد طبیعی از 1 تا 32 بر 2 بخش پذیر هستند. بدیهی است که تعداد آنها 32/2 = 16 است. سپس تعیین خواهیم کرد که از 16 عدد یافت شده چند عدد بر 4 بخش پذیر هستند. سپس - چند عدد از آنها بر 8 بخش پذیر هستند و غیره. در نتیجه، دریافتیم که از بین سی و دو عدد طبیعی اول، 16 عدد بر 2 بخش پذیر هستند.
که 32/4 = 8 عدد بر 4 بخش پذیرند که 32/8 = 4 عدد بر 8 بخش پذیرند که 32/16 = 2 عدد بر 16 بخش پذیرند و در نهایت از این 32/32 = 1 بخش پذیر بر 32، آن ها. یک عدد واضح است که مجموع مقادیر دریافتی:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
برابر با توانی که عدد 2 با آن در 32 گنجانده شده است!.
به همین ترتیب، بیایید تعیین کنیم که چه تعداد از اعداد طبیعی از 1 تا 32 بر 5 و از عدد پیدا شده بر 10 بخش پذیر هستند. 32 را بر 5 تقسیم کنید.
ما 32/5 = 6.4 می گیریم. بنابراین در بین اعداد طبیعی از 1 تا 32
6 عدد وجود دارد که بر 5 بخش پذیرند. یکی از آنها بر 25 بخش پذیر است
شماره، از 32/25 = 1.28. در نتیجه عدد 5 در عدد 32 قرار می گیرد! با شاخصی برابر با مجموع 6+1 = 7.
از نتایج به دست آمده چنین است که 32! = 2 31 5 7 تی،شماره کجاست تیبر 2 یا 5 بخش پذیر نیست. بنابراین عدد 32 است! حاوی یک ضریب است
10 7 و بنابراین به 7 صفر ختم می شود.
بنابراین، در این چکیده مفهوم فاکتوریل تعریف شده است.
فرمول ریاضیدان انگلیسی جی استرلینگ برای محاسبه تقریبی تابع n داده شده است!
هنگام تبدیل عبارات حاوی فاکتوریل، استفاده از برابری مفید است
(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)!
روش های حل مسائل با فاکتوریل با استفاده از مثال ها به تفصیل مورد بحث قرار می گیرند.
فاکتوریل در فرمول های مختلف استفاده می شود ترکیبیات،در رتبه ها و غیره
مثلا تعداد راه های ساخت nدانش آموزان در یک خط برابر است n!.
شماره n! برای مثال برابر است با تعداد روش هایی که می توان n کتاب مختلف را در یک قفسه کتاب مرتب کرد یا مثلاً عدد 5! برابر تعداد روش هایی است که در آن پنج نفر می توانند روی یک نیمکت بنشینند. یا مثلا عدد 27! برابر است با تعداد راه هایی که کلاس ما با 27 دانش آموز می تواند در کلاس تربیت بدنی صف آرایی کند.
ادبیات.
ریازانوفسکی A.R.، Zaitsev E.A.
ریاضیات. کتاب راهنمای دانش آموزان. / Comp. G.M. یاکوشوا.- م.: فیلولوژیست. انجمن "Slovo"، 1996.
فرهنگ لغت دانشنامه یک ریاضیدان جوان. / Comp.
A.P.Savin.-M.: Pedagogy, 1985
ریاضیات. پایه های 5-11: مواد اضافی برای درس ریاضی. -M.: Bustard, 2001.- (کتابخانه معلم).
پرس و جو یادآوری می کند که چرا یک عدد افزایش یافته به توان صفر یک است، پرس و جوی که در مقاله قبلی حل کردم. علاوه بر این، اجازه دهید آنچه را که قبلاً در توضیح این واقعیت بدیهی، بی شرمانه پذیرفته شده، اما غیرقابل توضیح اطمینان دادم اطمینان دهم - این رابطه خودسرانه نیست.
سه راه برای تعیین اینکه چرا ضریب صفر برابر با یک است وجود دارد.
1! = 1 * 1 = 1
2! = 1 * 2 = 2
3! = 1 * 2 * 3 = 6
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
قالب کامل
,اگر، (n-1)! = 1 * 2 * 3 * 4
(P-3) * (n-2) * (N-1)
,سپس، به طور منطقی، n! = 1 * 2 * 3 * 4
(P-3) * (p-2) * (p-1) * p
یا، n! = n * (n-1)! - (من)
4! / 4 = 3!
3! / 3 = 2!
2! / 2 = 1!
1! / 1 = 0!
اگر به این مسیرها دقت کنید، تصویر خود را نشان می دهد. بیایید آن را پایان دهیم تا زمانی که موفق به تولید نتایج قانونی شود:
یا 0! = 1
1! = 1 * (1-1)!
1 = 1 * 0!
اگر به این مسیرها دقت کنید، تصویر خود را نشان می دهد. بیایید آن را پایان دهیم تا زمانی که موفق به تولید نتایج قانونی شود:
می توان به سادگی با وصل کردن 1 برای "n" در (i) به این نتیجه رسید:
2! / 2 = 1!
1! / 1 = 0!
0! / 0 =
,با این حال، این توضیح چیزی در مورد اینکه چرا فاکتوریل های اعداد منفی نمی توانند وجود داشته باشند، نمی گوید. بیایید دوباره به الگوی خود نگاه کنیم تا دلیل آن را بفهمیم.
موافقم که این روش ها کمی مشکوک هستند. به نظر می رسد که آنها روش های حیله ای و ضمنی برای تعریف فاکتوریل صفر هستند. مثل بحث بر سر کاه است. با این حال، می توان توضیحی را در زمینه ای یافت که تمام وجود آن به محاسبه فاکتوریل ها بستگی دارد - ترکیبیات.
4 صندلی را در نظر بگیرید که باید توسط 4 نفر اشغال شود. صندلی اول می تواند توسط هر یک از این چهار نفر اشغال شود، بنابراین تعداد انتخاب های حاصل 4 خواهد بود. اکنون که یک صندلی اشغال شده است، ما 3 گزینه داریم که به طور بالقوه می توانند برای صندلی بعدی اشغال شوند. به همین ترتیب، صندلی بعدی نشان دهنده دو گزینه است، و صندلی آخر نشان دهنده یک انتخاب است. او توسط آخرین نفر اشغال شده است. بنابراین، تعداد کل انتخاب های ما 4x3x2x1 یا 4 است!. یا می توانید بگویید 4 تا هستند! روش های سازماندهی 4 صندلی مختلف
بنابراین وقتی مقدار "n" صفر است، سوال به چیستی تبدیل می شود راه های مختلفسازماندهی اشیاء صفر؟ یکی البته! فقط یک جایگشت یا یک راه برای ترتیب دادن هیچ چیز وجود دارد، زیرا چیزی برای ترتیب دادن وجود ندارد. چی؟ اگر بخواهیم منصف باشیم، این به شاخه‌ای از فلسفه تعلق دارد، البته یکی از ایده‌های نادرست یا نادرستی که دانشجویان سال اول پس از خواندن نقل قول‌های نیچه در پینترست به آن اعتماد می‌کنند.
بیایید به مثالی نگاه کنیم که شامل اشیاء فیزیکی است، زیرا ممکن است درک را بهبود بخشد. فاکتوریال ها نیز در ترکیب های کامپیوتری مرکزی هستند، فرآیندی که مکانیسم ها را نیز تعیین می کند، اما برخلاف جایگشت، ترتیب چیزها مهم نیست. تفاوت بین جایگشت و ترکیب، تفاوت بین قفل ترکیبی و یک کاسه مکعب میوه است. قفل های ترکیبی اغلب به اشتباه "قفل های ترکیبی" نامیده می شوند که در واقع جایگشت نامیده می شوند، زیرا 123 و 321 نمی توانند قفل آنها را باز کنند.
فرمول کلی برای تعیین تعداد مسیرهای اشیاء "k" را می توان در بین مکان های "n" مرتب کرد:
در حالی که، برای تعیین تعداد روش‌های انتخاب یا ترکیب اشیاء "k" از اشیاء "n":
این به ما اجازه می‌دهد، مثلاً، تعداد روش‌هایی را تعیین کنیم که در آنها می‌توان دو توپ را از کیسه‌ای حاوی پنج توپ انتخاب کرد. رنگ های مختلف. از آنجایی که ترتیب توپ های انتخابی مهم نیست، برای محاسبه ترکیب های جذب کننده به فرمول دوم مراجعه می کنیم.
پس چه می شود اگر مقادیر "n" و "k" دقیقاً یکسان باشند؟ بیایید این مقادیر را جایگزین کنیم و بفهمیم. توجه داشته باشید که فاکتوریل صفر در مخرج به دست می آید.
اما چگونه این محاسبه ریاضی را از نقطه نظر مثال خودمان به صورت بصری درک کنیم؟ محاسبه اساساً راه‌حلی برای سؤالی است که می‌پرسد: تعداد روش‌های مختلفی که می‌توانیم از یک کیسه که فقط سه توپ دارد، سه توپ را انتخاب کنیم چیست؟ خب البته! انتخاب آنها به هر ترتیبی تاثیری نخواهد داشت! معادله محاسبه با یک و صفر فاکتوریل به صورت *درام رول* است.
..فاکتوریل چیست و چگونه آنها را حل کنیم
فاکتوریل یک عدد n که در ریاضیات با حرف لاتین n و به دنبال آن علامت تعجب نشان داده می شود. این عبارت با صدا به عنوان "n فاکتوریل" تلفظ می شود. فاکتوریل حاصل ضرب متوالی دنباله ای از اعداد طبیعی از 1 به عدد مورد نظر n است. مثلا 5 تا! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 720 فاکتوریل یک عدد n با حرف لاتین n نشان داده می شود! و به صورت فاکتوریل تلفظ می شود. نشان دهنده ضرب متوالی (مضرب) تمام اعداد طبیعی است که از 1 شروع می شوند تا عدد n. به عنوان مثال: 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 720
فاکتوریل فقط در صورتی معنی ریاضی دارد که عدد صحیح و مثبت (طبیعی) باشد. این معنا از همان تعریف فاکتوریل ناشی می شود، زیرا همه اعداد طبیعی غیر منفی و صحیح هستند. مقادیر فاکتوریل ها، یعنی حاصل ضرب یک دنباله از یک به عدد n را می توان در جدول فاکتوریل ها مشاهده کرد. چنین جدولی امکان پذیر است زیرا مقدار فاکتوریل هر عدد صحیح از قبل مشخص است و به اصطلاح یک مقدار جدول است.
طبق تعریف 0! = 1. یعنی اگر فاکتوریل صفر باشد چیزی را ضرب نمی کنیم و حاصل اولین عدد طبیعی موجود یعنی یک خواهد بود.
رشد تابع فاکتوریل را می توان بر روی یک نمودار نمایش داد. این یک کمان شبیه به تابع x-squared خواهد بود که به سرعت به سمت بالا تمایل دارد.
فاکتوریل یک تابع سریع در حال رشد است. طبق نمودار سریعتر از یک تابع چند جمله ای با هر درجه و حتی یک تابع نمایی رشد می کند. فاکتوریل سریعتر از یک چند جمله ای با هر درجه و یک تابع نمایی رشد می کند (اما در عین حال کندتر از یک تابع نمایی دوگانه). به همین دلیل است که محاسبه فاکتوریل به صورت دستی دشوار است، زیرا نتیجه می تواند بسیار باشد تعداد زیادی. برای جلوگیری از محاسبه فاکتوریل به صورت دستی می توانید از ماشین حساب فاکتوریل استفاده کنید که با آن می توانید به سرعت پاسخ را دریافت کنید. فاکتوریل در تجزیه و تحلیل تابعی، نظریه اعداد و ترکیبات استفاده می شود، که در آن معنای ریاضی بزرگی دارد که با تعداد ترکیبات نامرتب ممکن از اشیاء (اعداد) مرتبط است.
ماشین حساب فاکتوریل آنلاین رایگان
حل کننده رایگان ما به شما امکان می دهد فاکتوریل ها را به صورت آنلاین با هر پیچیدگی در عرض چند ثانیه محاسبه کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی اطلاعات خود را در ماشین حساب وارد کنید. همچنین می توانید نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیابید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه VKontakte ما بپرسید.
