کمک در حل محدودیت ها. توابع ابتدایی و نمودارهای آنها توابع بی نهایت کوچک

هنگام محاسبه محدودیت ها باید در نظر گرفته شود قوانین اساسی زیر:

1. حد مجموع (تفاوت) توابع برابر است با مجموع (تفاوت) حدود اصطلاحات:

2. حد حاصلضرب از توابع برابر است با حاصل ضرب حدود عوامل:

3. حد نسبت دو تابع برابر است با نسبت حدود این توابع:

.

4. عامل ثابت را می توان فراتر از علامت حد برداشت:

.

5. حد یک ثابت برابر است با خود ثابت:

6. برای توابع پیوسته، نمادهای حد و تابع را می توان با هم عوض کرد:

.

یافتن حد یک تابع باید با جایگزین کردن مقدار در عبارت تابع شروع شود. علاوه بر این، اگر مقدار عددی 0 یا ¥ به دست آید، حد مورد نظر پیدا شده است.

مثال 2.1.حد را محاسبه کنید.

راه حل.

.

عبارات شکل , , , , , نامیده می شوند عدم قطعیت ها.

اگر عدم قطعیت فرم را دریافت کردید، برای یافتن حد باید تابع را تغییر دهید تا این عدم قطعیت آشکار شود.

عدم قطعیت شکل معمولاً زمانی به دست می آید که حد نسبت دو چند جمله ای داده شود. در این حالت برای محاسبه حد توصیه می شود چند جمله ای ها را فاکتور گرفته و با یک عامل مشترک کاهش دهید. این ضریب برابر با صفردر مقدار حدی X .

مثال 2.2.حد را محاسبه کنید.

راه حل.

با جایگزینی، عدم قطعیت دریافت می کنیم:

.

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم:

;

با یک عامل مشترک کم کنیم و بدست آوریم

.

عدم قطعیت شکل زمانی حاصل می شود که حد نسبت دو چند جمله ای در . در این مورد، برای محاسبه آن، توصیه می شود که هر دو چند جمله ای را بر تقسیم کنید X در مقطع ارشد

مثال 2.3.حد را محاسبه کنید.

راه حل.وقتی ∞ را جایگزین می کنیم، عدم قطعیت شکل را به دست می آوریم، بنابراین همه عبارت های عبارت را بر تقسیم می کنیم x 3.

.

در اینجا در نظر گرفته شده است که .

هنگام محاسبه حدود یک تابع حاوی ریشه، ضرب و تقسیم تابع بر مزدوج آن توصیه می شود.

مثال 2.4.محاسبه حد

راه حل.

هنگام محاسبه حدود برای آشکار کردن عدم قطعیت فرم یا (1) ∞، از حد قابل توجه اول و دوم اغلب استفاده می شود:

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم مقداری منجر به دومین حد قابل توجه می شود.

بیایید مثال Ya I. Perelman را در نظر بگیریم هدر مشکل در مورد بهره مرکب. در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر الحاق بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار بیشتری در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده بیاوریم.

100 منکر در بانک واریز شود. واحدها بر اساس 100٪ در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این دوره 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود.

حالا ببینیم 100 انکار تبدیل به چه می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از شش ماه 100 دن. واحدها 100 × 1.5 = 150 و پس از شش ماه دیگر - 150 × 1.5 = 225 (دانشگاه واحد) رشد خواهد کرد. اگر الحاق هر 1/3 سال انجام شود، پس از یک سال 100 den. واحدها تبدیل به 100 × (1 +1/3) 3 »237 (دنیای واحد).

ما شرایط اضافه کردن پول بهره را به 0.1 سال، به 0.01 سال، به 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال این خواهد شد:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (دنیای واحد)،

100 × (1+1/100) 100 » 270 (دنیای واحد)،

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (دنیای واحد).

با کاهش نامحدود در شرایط اضافه کردن بهره، سرمایه انباشته به طور نامحدود رشد نمی کند، بلکه به حد معینی برابر با 271 نزدیک می شود. سرمایه سپرده شده در سال 100٪ نمی تواند بیش از 2.71 برابر شود، حتی اگر سود تعلق گرفته باشد. هر ثانیه به پایتخت اضافه می شدند زیرا

مثال 2.5.حد یک تابع را محاسبه کنید

راه حل.

مثال 2.6.حد یک تابع را محاسبه کنید .

راه حل.با جایگزین کردن، عدم قطعیت را دریافت می کنیم:

.

با استفاده از فرمول مثلثاتی، صورت را به یک محصول تبدیل کنید:

در نتیجه بدست می آوریم

مورد دوم در اینجا مورد توجه قرار می گیرد حد فوق العاده.

مثال 2.7.حد یک تابع را محاسبه کنید

راه حل.

.

برای آشکار کردن عدم قطعیت شکل یا می توانید از قانون L'Hopital استفاده کنید که بر اساس قضیه زیر است.

قضیه.حد نسبت دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ برابر است با حد نسبت مشتقات آنها

توجه داشته باشید که این قانون می تواند چندین بار پشت سر هم اعمال شود.

مثال 2.8.پیدا کنید

راه حل.هنگام جایگزینی، ما یک عدم قطعیت از فرم داریم. با اعمال قانون L'Hopital، ما دریافت می کنیم

تداوم عملکرد

ملک مهمعملکرد تداوم است.

تعریف.تابع در نظر گرفته شده است مستمر، اگر یک تغییر کوچک در مقدار آرگومان مستلزم تغییر کوچکی در مقدار تابع باشد.

از نظر ریاضی این به صورت زیر نوشته می شود: وقتی

منظور از و افزایش متغیرها، یعنی تفاوت بین مقادیر بعدی و قبلی است: , (شکل 2.3)

شکل 2.3 - افزایش متغیرها

از تعریف تابع پیوسته در نقطه ای چنین می شود که . این برابری به این معنی است که سه شرط وجود دارد:

راه حل.برای عملکرد نقطه مشکوک است برای ناپیوستگی، بیایید این را بررسی کنیم و محدودیت های یک طرفه پیدا کنیم

از این رو، ، یعنی - نقطه شکست

مشتق از یک تابع

عدم قطعیت نوع و گونه رایج ترین عدم قطعیت هایی هستند که باید هنگام حل محدودیت ها افشا شوند.

بیشترمشکلات حدی که دانش آموزان با آن مواجه می شوند دقیقاً حاوی چنین عدم قطعیت هایی هستند. برای آشکار کردن آنها یا به طور دقیق تر، برای جلوگیری از عدم قطعیت، چندین تکنیک مصنوعی برای تبدیل نوع بیان در زیر علامت حد وجود دارد. این تکنیک ها به شرح زیر است: تقسیم عددی صورت و مخرج بر بالاترین توان متغیر، ضرب در عبارت مزدوج و فاکتورسازی برای کاهش بعدی با استفاده از راه حل های معادلات درجه دوم و فرمول های ضرب اختصاری.

عدم قطعیت گونه ای

مثال 1.

nبرابر 2 است. بنابراین، صورت و مخرج عبارت را بر جمله تقسیم می کنیم:

.

در سمت راست عبارت نظر دهید. فلش ها و اعداد نشان می دهد که کسرها پس از تعویض به چه چیزی تمایل دارند nبه معنای بی نهایت در اینجا، مانند مثال 2، درجه nدر مخرج بیشتر از صورت وجود دارد، در نتیجه کل کسری به بی نهایت کوچک یا "فوق العاده کوچک" تمایل پیدا می کند.

پاسخ را می گیریم: حد این تابع با متغیری که به بی نهایت تمایل دارد برابر است با .

مثال 2. .

راه حل. در اینجا بالاترین توان متغیر است xبرابر 1 است. بنابراین، صورت و مخرج عبارت را بر جمله تقسیم می کنیم x:

.

اظهار نظر در مورد پیشرفت تصمیم. در صورت حساب "x" را زیر ریشه درجه سوم هدایت می کنیم و به طوری که درجه اصلی آن (1) بدون تغییر باقی می ماند، آن را همان درجه ریشه می دهیم، یعنی 3. هیچ فلش یا عدد اضافی وجود ندارد. در این مدخل، پس آن را به صورت ذهنی امتحان کنید، اما با قیاس با مثال قبلی، مشخص کنید که عبارات صورت و مخرج پس از جایگزینی بی نهایت به جای "x" به چه تمایلی دارند.

پاسخ را دریافت کردیم: حد این تابع با متغیری که به بی نهایت تمایل دارد برابر با صفر است.

عدم قطعیت گونه ای

مثال 3.عدم قطعیت را کشف کنید و حد را پیدا کنید.

راه حل. عدد، اختلاف مکعب هاست. بیایید آن را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری از درس ریاضی مدرسه فاکتورسازی کنیم:

مخرج شامل یک مثلث درجه دوم است که با حل یک معادله درجه دوم آن را فاکتور می گیریم (یک بار دیگر پیوندی به حل معادلات درجه دوم):

بیایید عبارت به دست آمده در نتیجه تبدیل ها را بنویسیم و حد تابع را پیدا کنیم:

مثال 4.عدم قطعیت را باز کنید و حد را پیدا کنید

راه حل. قضیه حد نصاب در اینجا قابل اجرا نیست، زیرا

بنابراین، کسر را به طور یکسان تبدیل می کنیم: صورت و مخرج را در مزدوج دوجمله ای در مخرج ضرب می کنیم و کاهش می دهیم x+1. با توجه به نتیجه قضیه 1، یک عبارت بدست می آوریم که با حل آن حد مورد نظر را پیدا می کنیم:

مثال 5.عدم قطعیت را باز کنید و حد را پیدا کنید

راه حل. جایگزینی مستقیم ارزش x= 0 در یک تابع داده شده منجر به عدم قطعیت شکل 0/0 می شود. برای آشکار کردن آن، تبدیل‌های یکسانی را انجام می‌دهیم و در نهایت حد مورد نظر را به دست می‌آوریم:

مثال 6.محاسبه کنید

راه حل:بیایید از قضایای حدود استفاده کنیم

پاسخ: 11

مثال 7.محاسبه کنید

راه حل:در این مثال حدود صورت و مخرج at برابر با 0 است:

; . ما دریافت کرده ایم، بنابراین، قضیه حد نصاب قابل اعمال نیست.

بیایید صورت و مخرج را فاکتور کنیم تا کسر را با یک عامل مشترک که به صفر میل می کند کاهش دهیم، و بنابراین استفاده ممکنقضیه 3.

بیایید مثلث مربع را با استفاده از فرمول بسط دهیم، که در آن x 1 و x 2 ریشه های سه جمله ای هستند. با فاکتورگیری و مخرج، کسر را با (x-2) کاهش دهید، سپس قضیه 3 را اعمال کنید.

پاسخ:

مثال 8.محاسبه کنید

راه حل:هنگامی که صورت و مخرج به بی نهایت تمایل دارند، بنابراین، هنگام اعمال مستقیم قضیه 3، عبارت را به دست می آوریم که نشان دهنده عدم قطعیت است. برای رهایی از عدم قطعیت از این نوع، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان استدلال تقسیم کنید. در این مثال، باید تقسیم بر X:

پاسخ:

مثال 9.محاسبه کنید

راه حل: x 3:

پاسخ: 2

مثال 10.محاسبه کنید

راه حل:زمانی که صورت و مخرج به بی نهایت تمایل دارند. بیایید صورت و مخرج را بر بالاترین توان استدلال تقسیم کنیم، یعنی. x 5:

=

صورت کسر به 1 میل می کند، مخرج به 0 میل می کند، بنابراین کسر به بی نهایت میل می کند.

پاسخ:

مثال 11.محاسبه کنید

راه حل:زمانی که صورت و مخرج به بی نهایت تمایل دارند. بیایید صورت و مخرج را بر بالاترین توان استدلال تقسیم کنیم، یعنی. x 7:

پاسخ: 0

مشتق.

مشتق تابع y = f(x) با توجه به آرگومان xحد نسبت افزایش آن y به افزایش x آرگومان x، زمانی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند: . اگر این حد محدود باشد، تابع y = f(x)گفته می شود که در x قابل تفکیک است. اگر این حد وجود داشته باشد، می گویند که تابع y = f(x)در نقطه x مشتق نامتناهی دارد.

مشتقات اساسی توابع ابتدایی:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

قوانین تمایز:

الف)

V)

مثال 1.مشتق تابع را بیابید

راه حل:اگر مشتق جمله دوم با استفاده از قاعده تمایز کسرها پیدا شود، جمله اول یک تابع پیچیده است که مشتق آن با فرمول پیدا می شود:

، کجا ، سپس

هنگام حل فرمول های زیر استفاده شد: 1،2،10،a،c،d.

پاسخ:

مثال 21.مشتق تابع را بیابید

راه حل:هر دو اصطلاح - توابع پیچیده، جایی که برای اولی، و برای دومی،، و سپس

پاسخ:

کاربردهای مشتق.

1. سرعت و شتاب

اجازه دهید تابع s(t) توصیف کند موقعیتشی در برخی از سیستم مختصات در زمان t. سپس اولین مشتق تابع s(t) آنی است سرعتشیء:
v=s′=f′(t)
مشتق دوم تابع s(t) لحظه ای را نشان می دهد شتابشیء:
w=v′=s′′=f′(t)

2. معادله مماس
y−y0=f′(x0)(x−x0)،
که در آن (x0,y0) مختصات نقطه مماس هستند، f'(x0) مقدار مشتق تابع f(x) در نقطه مماس است.

3. معادله نرمال
y−y0=−1f′(x0)(x−x0)،

که در آن (x0,y0) مختصات نقطه ای است که در آن حالت نرمال رسم می شود، f′(x0) مقدار مشتق تابع f(x) در این نقطه است.

4. عملکرد افزایش و کاهش
اگر f′(x0)>0 باشد، تابع در نقطه x0 افزایش می یابد. در شکل زیر تابع به صورت x افزایش می یابد x2.
اگر f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1اگر f'(x0)=0 یا مشتق وجود نداشته باشد، این معیار به ما اجازه نمی دهد ماهیت یکنواختی تابع را در نقطه x0 تعیین کنیم.

5. انتهای محلی یک تابع
تابع f(x) دارد حداکثر محلیدر نقطه x1، اگر همسایگی نقطه x1 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x از این همسایگی نابرابری f(x1)≥f(x) برقرار باشد.
به طور مشابه، تابع f(x) نیز دارد حداقل محلیدر نقطه x2، اگر همسایگی نقطه x2 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x از این همسایگی نابرابری f(x2)≤f(x) برقرار باشد.

6. نقاط بحرانی
نقطه x0 است نقطه بحرانیتابع f(x)، اگر مشتق f′(x0) در آن برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد.

7. اولین نشانه کافی از وجود افراط
اگر تابع f(x) برای همه x در یک بازه (a,x1) افزایش یابد (f'(x)>0) و کاهش یابد (f'(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) برای همه x از بازه )