این عدم قطعیت "خدمت" است دوم حد فوق العاده و در قسمت دوم آن درس، نمونه‌های استاندارد راه‌حل‌هایی را که در بیشتر موارد در عمل یافت می‌شوند، با جزئیات زیاد بررسی کردیم. اکنون تصویر با توان تکمیل می شود، علاوه بر این، وظایف نهایی درس به محدودیت های "کاذب" اختصاص داده می شود، که در آن به نظر می رسد لازم است که 2 محدودیت فوق العاده را اعمال کنید، اگرچه این به هیچ وجه نیست. مورد
نقطه ضعف دو فرمول کاری برای دومین حد قابل توجه این است که آرگومان باید به سمت "بعلاوه بی نهایت" یا صفر گرایش داشته باشد. اما اگر آرگومان به عدد دیگری گرایش داشته باشد چه؟
یک فرمول جهانی به کمک می آید (که در واقع نتیجه دومین محدودیت قابل توجه است):
عدم قطعیت را می توان با استفاده از فرمول حذف کرد:
در جایی فکر می کنم قبلاً توضیح داده ام که پرانتزها به چه معنا هستند. چیز خاصی نیست، براکت ها فقط براکت هستند. آنها معمولاً برای برجسته کردن نمادهای ریاضی با وضوح بیشتری استفاده می شوند.
اجازه دهید نکات اساسی فرمول را برجسته کنیم:
1) در مورد فقط در مورد یقین و هیچ چیز دیگر.
2) آرگومان "x" می تواند تمایل داشته باشد مقدار دلخواه(و نه فقط به صفر یا، به ویژه، به "منهای بی نهایت" یا به هر کسیعدد محدود
با استفاده از این فرمول می توانید تمام مثال های درس را حل کنید. محدودیت های شگفت انگیز، که به 2مین حد قابل توجه تعلق دارند. به عنوان مثال، بیایید حد را محاسبه کنیم:
در این مورد 
، و طبق فرمول 
:
درست است، من انجام این کار را توصیه نمی‌کنم. با این حال با استفاده از فرمول بررسی آن بسیار راحت استنمونه های "کلاسیک" تا 2مین حد قابل توجه.
همه اینها خوب و درست است، اما اکنون عکس های جالب تری در کادر وجود دارد:
مثال 18
محاسبه حد 
در مرحله اول، از تکرار خسته نمی شوم، مقدار "x" را به عبارت زیر علامت حد جایگزین می کنیم. اگر اصلاً عدم اطمینان وجود نداشته باشد چه؟ اتفاق می افتد! اما این بار نه. با جایگزینی "سه"، به این نتیجه می رسیم که در اینجا عدم اطمینان وجود دارد
ما از فرمول استفاده می کنیم
برای اینکه حرف "e" را با خود نکشید و کوچکتر نکنید، نشانگر 
محاسبه جداگانه راحت تر است:
در این مورد: 
بدین ترتیب:
از نقطه نظر فناوری محاسبات، همه چیز روال است: ابتدا عبارت اول را به مخرج مشترک کاهش می دهیم، سپس ثابت ها را خارج می کنیم و کاهش ها را انجام می دهیم و از عدم قطعیت 0:0 خلاص می شویم.
در نتیجه: 
هدیه موعود با تفاوت لگاریتمی و عدم قطعیت:
مثال 19
محاسبه حد
ابتدا راه حل کامل، سپس نظرات: 
(1)-(2) در دو مرحله اول از فرمول ها استفاده می کنیم 
. U مشتقات پیچیدهما لگاریتم ها را "از هم می پاشیم"، اما در اینجا، برعکس، آنها باید "مجموعه شوند".
(3) نماد حد را به زیر لگاریتم منتقل کنید. این را می توان به دلیل این لگاریتم انجام داد مستمربه "منهای بی نهایت". علاوه بر این، محدودیت به "پر کردن" لگاریتم اشاره دارد.
(4)-(5) تکنیک استاندارد مورد بحث در درس اصلی درباره محدودیت های شگفت انگیز، عدم قطعیت را به شکل تبدیل می کنیم.
(6) از فرمول استفاده می کنیم .
(7) توابع نمایی و لگاریتمی متقابل هستند توابع معکوس، بنابراین هم "e" و هم لگاریتم را می توان حذف کرد. در واقع، با توجه به خاصیت لگاریتم: . منهای قبل از کسر را به مخرج اضافه می کنیم: 
(8) بدون نظر =)
نوع محدودیت در نظر گرفته شده چندان نادر نیست.
مثال 20
محاسبه حد 
این یک مثال برای تصمیم مستقل. علاوه بر استفاده از فرمول، می توانید حد را به صورت نمایش دهید 
و با تعویض محلول را به کیس کاهش دهید 
.
در پایان، اجازه دهید به محدودیت های "جعلی" نگاه کنیم.
بیایید به عدم اطمینان برگردیم. این عدم قطعیت نه همیشهرا می توان به عدم قطعیت کاهش داد و از حد قابل توجه دوم یا فرمول نتیجه استفاده کرد. تحول در صورتی امکان پذیر است صورت و مخرج مبنا - معادلتوابع بی نهایت بزرگ. به عنوان مثال: .
بیایید از اندیکاتور فاصله بگیریم و حد پایه را محاسبه کنیم: 
در حد به دست آمده واحد، که به معنای صورت و مخرج است نه فقط از همان ترتیب رشد، بلکه معادل است. در کلاس محدودیت های قابل توجه نمونه هایی از راه حل هاما به راحتی این مثال را به عدم قطعیت تقلیل دادیم و به جواب رسیدیم.
شما می توانید محدودیت های مشابه زیادی ایجاد کنید:
و غیره
کسری از این مثال ها با ویژگی فوق متحد می شوند: . در موارد دیگر، اگر عدم قطعیت وجود داشته باشد محدودیت قابل توجه دوم اعمال نمی شود.
مثال 21
محدودیت ها را پیدا کنید
مهم نیست چقدر تلاش می کنید، عدم اطمینان را نمی توان به عدم اطمینان تبدیل کرد
در اینجا صورت و مخرج پایه ها آمده است ترتیب رشد یکسان، اما نه معادل: 
.
بنابراین، دومین حد قابل توجه و به ویژه فرمول، قابل اعمال نیست.
! توجه داشته باشید: نباید با مثال 18 اشتباه شود که در آن صورت و مخرج مبنا معادل نیستند. عدم قطعیت آماده وجود دارد، اما در اینجا ما در مورد عدم قطعیت صحبت می کنیم.
روش حل حدود "جعلی" ساده و علامت است: شما به یک عدد و یک مخرج نیاز دارید. زمینه هاتقسیم بر "x" به بالاترین درجه (بدون توجه به توان):
اگر صورت و مخرج پایه دارای ترتیب رشد متفاوتی باشند، جواب دقیقاً یکسان است:
مثال 22
محدودیت ها را پیدا کنید 
اینها نمونه های کوتاهی برای خودآموزی هستند
گاهی اوقات ممکن است اصلاً عدم اطمینان وجود نداشته باشد:
چنین ترفندهایی به ویژه توسط کامپایلرهای مجموعه کوزنتسف مورد علاقه است. به همین دلیل بسیار مهم است که در مرحله اول همیشه "x" را به عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید!
مثال 2
درجه اصلی کسر: 2; بالاترین درجه مخرج: 3.
:
مثال 4
صورت و مخرج را تقسیم بر :
توجه داشته باشید
: آخرین عمل ضرب در صورت و مخرج بود برای خلاص شدن از بی منطقی در مخرج.
مثال 6
صورت و مخرج را تقسیم بر :
مثال 8
صورت و مخرج را تقسیم بر :
توجه داشته باشید
: مدت تمایل به صفر کندتر از ، به همین دلیل است صفر "اصلی" مخرج است.
.
مثال 22
توجه داشته باشید
: بی پایان عملکرد کوچک
به صفر کندتر از بنابراین، صفر "بزرگتر" مخرج نقش تعیین کننده ای دارد:
مشتق تابع زیاد نمی افتد و در مورد قوانین L'Hopital دقیقاً در همان جایی که تابع اصلی می افتد قرار می گیرد. این شرایط به آشکار کردن عدم قطعیت های شکل 0/0 یا ∞/∞ و برخی عدم قطعیت های دیگر که هنگام محاسبه به وجود می آیند کمک می کند. محدود کردنرابطه دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ. محاسبه با استفاده از این قانون بسیار ساده شده است (در واقع دو قانون و نکات مربوط به آنها):
همانطور که فرمول بالا نشان می دهد، هنگام محاسبه حد نسبت دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، حد نسبت دو تابع را می توان با حد نسبت دو تابع جایگزین کرد. مشتقاتو به این ترتیب نتیجه مشخصی بدست می آید.
بیایید به فرمول بندی دقیق تر قوانین L'Hopital برویم.
قانون L'Hopital برای مورد حد دو کمیت بی نهایت کوچک. اجازه دهید توابع f(x) و g(x الف. و در همان نقطه الف الفمشتق یک تابع g(x) صفر نیست ( g"(x الفبرابر یکدیگر و برابر با صفر هستند:
.
قانون L'Hopital برای مورد حد از دو مقدار بی نهایت بزرگ. اجازه دهید توابع f(x) و g(x) مشتقاتی (یعنی متمایزپذیر) در برخی از همسایگی های نقطه دارند الف. و در همان نقطه الفآنها ممکن است مشتقات نداشته باشند. علاوه بر این، در مجاورت نقطه الفمشتق یک تابع g(x) صفر نیست ( g"(x)≠0) و حدود این توابع به عنوان x تمایل به مقدار تابع در نقطه الفمساوی با یکدیگر و مساوی با بی نهایت هستند:
.
سپس حد نسبت این توابع برابر است با حد نسبت مشتقات آنها:
به عبارت دیگر، برای عدم قطعیت های شکل 0/0 یا ∞/∞، حد نسبت دو تابع برابر است با حد نسبت مشتقات آنها، در صورتی که دومی وجود داشته باشد (متناهی، یعنی برابر با یک عدد معین یا نامتناهی یعنی برابر بی نهایت).
یادداشت ها.
1. قوانین L'Hopital همچنین زمانی که توابع قابل اجرا هستند f(x) و g(x) چه زمانی تعریف نمی شوند x = الف.
2. اگر هنگام محاسبه حد نسبت مشتقات توابع f(x) و g(x) دوباره به عدم قطعیت شکل 0/0 یا ∞/∞ می رسیم، سپس قوانین L'Hôpital باید به طور مکرر (حداقل دو بار) اعمال شوند.
3. قوانین L'Hopital همچنین زمانی قابل اجرا هستند که آرگومان توابع (x) به یک عدد محدود تمایل نداشته باشد. الفو تا بی نهایت ( x → ∞).
عدم قطعیت های انواع دیگر را نیز می توان به عدم قطعیت های انواع 0/0 و ∞/∞ کاهش داد.
افشای عدم قطعیت از انواع "صفر تقسیم بر صفر" و "بی نهایت تقسیم بر بی نهایت"
مثال 1.
x=2 منجر به عدم قطعیت فرم 0/0 می شود. بنابراین مشتق هر تابع به دست می آید
مشتق چند جمله ای در صورت حساب محاسبه شد و در مخرج - مشتق تابع لگاریتمی پیچیده. قبل از آخرین علامت مساوی، معمول است محدود کردن، به جای X یک دو را جایگزین کنید.
مثال 2.حد نسبت دو تابع را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید:
راه حل. جایگزین کردن یک مقدار به یک تابع داده شده x
مثال 3.حد نسبت دو تابع را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید:
راه حل. جایگزین کردن یک مقدار به یک تابع داده شده x=0 منجر به عدم قطعیت فرم 0/0 می شود. بنابراین مشتقات توابع را در صورت و مخرج محاسبه می کنیم و به دست می آوریم:
مثال 4.محاسبه کنید
راه حل. جایگزین کردن مقدار x برابر با بی نهایت به یک تابع معین منجر به عدم قطعیت شکل ∞/∞ می شود. بنابراین، قانون L'Hopital را اعمال می کنیم:
نظر دهید. بیایید به مثال‌هایی برویم که در آنها قانون L'Hopital باید دو بار اعمال شود، یعنی به مرز نسبت مشتقات دوم برسیم، زیرا حد نسبت مشتقات اول عدم قطعیت شکل 0 است. /0 یا ∞/∞.
کشف عدم قطعیت های شکل "صفر ضربدر بی نهایت"
مثال 12.محاسبه کنید
.
راه حل. می گیریم
این مثال از هویت مثلثاتی استفاده می کند.
افشای عدم قطعیت ها از انواع «صفر به توان صفر»، «بی نهایت به توان صفر» و «یک به توان بی نهایت»
عدم قطعیت های فرم، یا معمولاً با گرفتن لگاریتم تابعی از فرم، به شکل 0/0 یا ∞/∞ کاهش می یابد.
برای محاسبه حد یک عبارت، باید از هویت لگاریتمی استفاده کنید که یک مورد خاص از ویژگی لگاریتم است. 
.
با استفاده از هویت لگاریتمی و خاصیت تداوم یک تابع (برای فراتر رفتن از علامت حد)، حد باید به صورت زیر محاسبه شود:
به طور جداگانه، شما باید حد عبارت را در توان پیدا کنید و بسازید هبه درجه پیدا شده
مثال 13.
راه حل. می گیریم
.
.
مثال 14.با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید
راه حل. می گیریم
حد یک عبارت را در توان محاسبه کنید
.
.
مثال 15.با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید
در مقاله قبلی در مورد نحوه محاسبه صحیح حدود توابع ابتدایی صحبت کردیم. اگر بیشتر بگیریم توابع پیچیده، سپس عباراتی با مقدار تعریف نشده در محاسبات خود خواهیم داشت. به آنها عدم قطعیت می گویند.
انواع اصلی عدم قطعیت زیر متمایز می شوند:
- تقسیم 0 بر 0 0 0 ;
- تقسیم یک بینهایت بر دیگری ∞ ∞;
- بی نهایت به توان صفر ∞ 0 افزایش یافته است.
0 به توان صفر افزایش یافت 0 0 ;
ما تمام عدم قطعیت های اصلی را فهرست کرده ایم. عبارات دیگر ممکن است در شرایط مختلف مقادیر متناهی یا نامتناهی به خود بگیرند و بنابراین نمی توان آنها را عدم قطعیت در نظر گرفت.
کشف عدم قطعیت ها
عدم قطعیت را می توان با موارد زیر حل کرد:
- با ساده کردن شکل تابع (با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری، فرمول های مثلثاتی، ضرب اضافی توسط عبارات مزدوج و کاهش بعدی و غیره).
با کمک محدودیت های شگفت انگیز؛
با استفاده از قانون L'Hopital.
با جایگزینی یک عبارت بینهایت کوچک با یک عبارت معادل (معمولاً این عمل با استفاده از جدولی از عبارات بی نهایت کوچک انجام می شود).
تمام اطلاعات ارائه شده در بالا را می توان به وضوح در قالب یک جدول ارائه کرد. در سمت چپ نوع عدم قطعیت را نشان می دهد، در سمت راست - روشی مناسب برای آشکار کردن آن (پیدا کردن حد). این جدول برای استفاده در محاسبات مربوط به یافتن حدود بسیار راحت است.
| عدم قطعیت | روش افشای عدم قطعیت |
| 1. 0 را بر 0 تقسیم کنید | تبدیل و ساده سازی بعدی یک عبارت. اگر عبارت sin (k x) k x یا k x sin (k x) باشد، باید از اولین حد قابل توجه استفاده کنید. اگر این راه حل مناسب نیست، از قانون L'Hopital یا جدولی از عبارات بی نهایت کوچک معادل استفاده می کنیم. |
| 2. تقسیم بی نهایت بر بی نهایت | یک عبارت را تغییر دهید و ساده کنید یا از قانون L'Hopital استفاده کنید |
| 3. ضرب صفر در بی نهایت یا یافتن تفاوت بین دو بی نهایت | تبدیل به 0 0 یا ∞ ∞ به دنبال اعمال قانون L'Hopital |
| 4. واحد به توان بی نهایت | استفاده از دومین حد بزرگ |
| 5. بالا بردن صفر یا بی نهایت به توان صفر | گرفتن لگاریتم یک عبارت با استفاده از برابری lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x) |
بیایید به چند مشکل نگاه کنیم. این مثال ها بسیار ساده هستند: در آنها پاسخ بلافاصله پس از جایگزینی مقادیر به دست می آید و هیچ عدم قطعیتی وجود ندارد.
مثال 1
حد lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 را محاسبه کنید.
راه حل
جانشینی ارزش را انجام می دهیم و جواب می گیریم.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
پاسخ: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2.
مثال 2
حد lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 را محاسبه کنید.
راه حل
ما یک تابع توان نمایی داریم که در پایه آن باید x = 0 را جایگزین کنیم.
(x 2 + 2، 5) x = 0 = 0 2 + 2، 5 = 2، 5
این بدان معنی است که ما می توانیم حد را به عبارت زیر تبدیل کنیم:
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2
حالا بیایید به نشانگر نگاه کنیم - تابع توان 1 x 2 = x - 2. بیایید به جدول محدودیت ها نگاه کنیم توابع قدرتبا توانی کمتر از صفر و به صورت زیر بدست می آوریم: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ و lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞
بنابراین، می توانیم بنویسیم که lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.
اکنون جدول حدود توابع نمایی با پایه های بزرگتر از 0 را می گیریم و به دست می آوریم:
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞
پاسخ: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .
مثال 3
حد lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 را محاسبه کنید.
راه حل
ما جایگزینی ارزش را انجام می دهیم.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
در نتیجه در نهایت با بلاتکلیفی مواجه شدیم. از جدول بالا برای انتخاب روش حل استفاده کنید. این نشان می دهد که شما باید عبارت را ساده کنید.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
همانطور که می بینیم، ساده سازی منجر به آشکار شدن عدم قطعیت شده است.
پاسخ: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
مثال 4
حد lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x را محاسبه کنید.
راه حل
مقدار را جایگزین می کنیم و ورودی زیر را دریافت می کنیم.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
ما به نیاز به تقسیم صفر بر صفر رسیده ایم که عدم قطعیت است. بیایید به روش حل مورد نیاز در جدول نگاه کنیم - این ساده سازی و تبدیل عبارت است. اجازه دهید علاوه بر این، صورت و مخرج را در عبارت مزدوج 12 - x + 6 + x ضرب کنیم:
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
مخرج ضرب می شود تا بتوانید از فرمول ضرب اختصاری (تفاوت مربعات) برای انجام کاهش استفاده کنید.
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
همانطور که می بینیم، در نتیجه این اقدامات ما توانستیم از عدم اطمینان خلاص شویم.
پاسخ: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3.
توجه به این نکته مهم است که رویکرد ضرب اغلب هنگام حل مسائلی مانند این استفاده می شود، بنابراین به شما توصیه می کنیم دقیقاً به یاد داشته باشید که چگونه این کار انجام می شود.
مثال 5
حد مجاز x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 را محاسبه کنید.
راه حل
تعویض را انجام می دهیم.
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0
در نتیجه در نهایت با بلاتکلیفی مواجه شدیم. روش پیشنهادی برای حل مشکل در این مورد، ساده کردن عبارت است. از آنجایی که در مقدار x، برابر با یک، صورت و مخرج به 0 تبدیل می شوند، سپس می توانیم آنها را فاکتور بگیریم و سپس آنها را x - 1 کاهش دهیم و سپس عدم قطعیت از بین می رود.
شمارنده را فاکتور می کنیم:
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
حالا همین کار را با مخرج انجام می دهیم:
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
ما محدودیتی از فرم زیر دریافت کردیم:
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4
همانطور که می بینیم، در طول تحول ما موفق شدیم از عدم اطمینان خلاص شویم.
پاسخ: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .
در ادامه باید موارد محدودیت در بی نهایت را از عبارات قدرت در نظر بگیریم. اگر توان این عبارات بزرگتر از 0 باشد، حد در بی نهایت نیز بی نهایت خواهد بود. در این صورت بزرگترین درجه اهمیت اولیه دارد و بقیه قابل چشم پوشی است.
به عنوان مثال، lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ یا lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.
اگر در زیر علامت حد، کسری با عبارات توان در صورت و مخرج داشته باشیم، آنگاه به صورت x → ∞ عدم قطعیت شکل ∞ ∞ داریم. برای رهایی از این عدم قطعیت، باید صورت و مخرج کسر را بر x m a x (m, n) تقسیم کنیم. اجازه دهید برای حل چنین مشکلی مثالی بزنیم.
مثال 6
حد lim x ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 را محاسبه کنید.
راه حل
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
توان های صورت و مخرج برابر با 7 است. آنها را بر x 7 تقسیم کنید و بدست آورید:
lim x ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
پاسخ: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3.
مثال 7
حد lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 را محاسبه کنید.
راه حل
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
توان 8 3 و مخرج 2 است. بیایید صورت و مخرج را بر x 8 3 تقسیم کنیم:
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
پاسخ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
مثال 8
حد مجاز x ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 را محاسبه کنید.
راه حل
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
ما یک صورت به توان 3 و یک مخرج به توان 10 3 داریم. یعنی باید صورت و مخرج را بر x 10 3 تقسیم کنیم:
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 = ∞ 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
پاسخ: lim x ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0.
نتیجه گیری
در مورد محدودیت نسبت، سه گزینه اصلی وجود دارد:
اگر درجه صورت برابر با درجه مخرج باشد، حد برابر با نسبت ضرایب توان های بالاتر خواهد بود.
اگر درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر باشد، حد برابر با بی نهایت خواهد بود.
اگر درجه صورت از درجه مخرج کمتر باشد، حد صفر خواهد بود.
در مقاله‌های جداگانه روش‌های دیگر برای افشای عدم قطعیت‌ها را مورد بحث قرار خواهیم داد.
اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید
درس 20
20.1 عدم قطعیت افشای گونه ها
مثال 1
حل محدودیت 
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را به کسر جایگزین کنیم: 
در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.
قانون کلی:اگر صورت و مخرج دارای چند جمله ای باشند و شکل آن عدم قطعیت باشد، آن را آشکار کنید شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.
برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید.
بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم. 
مثال 2
محاسبه حد 
بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم.
صورت: مخرج: 
,
روش ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج
ما همچنان عدم قطعیت فرم را در نظر می گیریم
نوع بعدی محدودیت ها مشابه نوع قبلی است. تنها چیزی که علاوه بر چند جمله ای ها، ریشه ها را اضافه خواهیم کرد.
مثال 3
حد را پیدا کنید 
صورت و مخرج را در عبارت مزدوج ضرب کنید.
20.2 عدم قطعیت افشای گونه ها
حال گروهی از حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.
مثال 4
محاسبه حد 
طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و لازم است برخی از تکنیک های راه حل را اعمال کنیم که اکنون به بررسی آن خواهیم پرداخت.
چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟
ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم: 
توان پیشرو در صورتگر دو است.
اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم: 
بالاترین درجه مخرج دو است.
سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.
بنابراین، روش حل به شرح زیر است: برای آشکار کردن عدم قطعیتشما باید صورت و مخرج را بر تقسیم کنیددر مقطع ارشد
صورت و مخرج را تقسیم بر 
اینجا جواب است و اصلا بی نهایت نیست.
چه چیزی اساساً در طراحی یک تصمیم مهم است؟
ابتدا، عدم قطعیت را در صورت وجود نشان می دهیم.
ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.
ثالثاً ، در حد توصیه می شود علامت گذاری کنید که کجا می رود. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است: 
بهتر است از یک مداد ساده برای یادداشت استفاده کنید.
البته لازم نیست هیچ یک از این کارها را انجام دهید، اما ممکن است معلم به کاستی های راه حل اشاره کند یا شروع به پرسیدن سؤالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن نیاز دارید؟
مثال 5
حد را پیدا کنید 
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم: 
حداکثر درجه در صورت: 3 حداکثر درجه در مخرج: 4 انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار. طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم. تکلیف کامل ممکن است به شکل زیر باشد:
مثال 6
حد را پیدا کنید 
حداکثر درجه "X" در صورت: 2 حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان آن را به صورت نوشت) برای نشان دادن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر تقسیم کنیم. راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:
صورت و مخرج را تقسیم بر
علامت گذاری به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بینهایت کوچک است.
بنابراین، با کشف عدم قطعیت گونه‌ها، ممکن است بتوانیم شماره نهایی، صفر یا بی نهایت.
تمرین 20
وظیفه شماره 1
راه حل:اگر به جای متغیر، مقدار 7 را که به آن تمایل دارد قرار دهیم، در این صورت عدم قطعیت شکل به دست می آید. 
وظیفه شماره 2موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".
راه حل:اگر به جای یک متغیر، مقدار 0 را که به آن تمایل دارد قرار دهیم، در این صورت عدم قطعیت شکل به دست می آید.
وظیفه شماره 3موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".
راه حل:اگر به جای متغیر، مقدار 6 را که به آن تمایل دارد قرار دهیم، در این صورت عدم قطعیت شکل به دست می آید.
وظیفه شماره 4
راه حل:چون 
و 
وظیفه شماره 5موضوع: افشای عدم قطعیت شکل "بی نهایت تا بی نهایت"
راه حل:چون 
و 
سپس عدم قطعیت شکل وجود دارد. سپس، دانستن آنچه به دست می آوریم: 
کار مستقل 20
وظیفه شماره 1موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".
وظیفه شماره 2موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".
وظیفه شماره 3موضوع: افشای عدم قطعیت از نوع "صفر به صفر".
وظیفه شماره 4موضوع: افشای عدم قطعیت شکل "بی نهایت تا بی نهایت"
وظیفه شماره 5موضوع: افشای عدم قطعیت شکل "بی نهایت تا بی نهایت"محدودیت عملکرد 
برابر...
وظیفه شماره 6موضوع: افشای عدم قطعیت شکل "بی نهایت تا بی نهایت"
محدودیت ها برای همه دانش آموزان ریاضی دردسرهای زیادی ایجاد می کند. برای حل یک محدودیت، گاهی اوقات باید از ترفندهای زیادی استفاده کنید و از بین انواع روش های حل، دقیقاً روشی را انتخاب کنید که برای یک مثال خاص مناسب است.
در این مقاله به شما در درک محدودیت‌های توانایی‌های خود یا درک محدودیت‌های کنترل کمک نمی‌کنیم، اما سعی می‌کنیم به این سوال پاسخ دهیم: چگونه محدودیت‌ها را در ریاضیات بالاتر درک کنیم؟ درک با تجربه به دست می آید، بنابراین در عین حال چندین مثال مفصل از حل حدود را با توضیحات ارائه خواهیم کرد.
مفهوم حد در ریاضیات
سؤال اول این است: این حد چیست و حد چیست؟ ما می توانیم در مورد محدودیت های دنباله های عددی و توابع صحبت کنیم. ما به مفهوم حد یک تابع علاقه مندیم، زیرا این همان چیزی است که دانش آموزان اغلب با آن مواجه می شوند. اما ابتدا کلی ترین تعریف از حد:
فرض کنید مقداری متغیر وجود دارد. اگر این مقدار در فرآیند تغییر به طور نامحدود به عدد خاصی نزدیک شود الف ، آن الف - حد این مقدار
برای تابعی که در یک بازه مشخص تعریف شده است f(x)=y چنین عددی حد نامیده می شود الف ، که تابع زمانی به آن تمایل دارد X ، به یک نقطه خاص تمایل دارد الف . نقطه الف متعلق به بازه ای است که تابع در آن تعریف می شود.
دست و پا گیر به نظر می رسد، اما بسیار ساده نوشته شده است:
لیم- از انگلیسی محدود کردن- محدود کردن
یک توضیح هندسی نیز برای تعیین حد وجود دارد، اما در اینجا ما به تئوری نمی پردازیم، زیرا ما بیشتر به جنبه عملی موضوع علاقه داریم تا جنبه نظری. وقتی این را می گوییم X به مقداری تمایل دارد، این بدان معناست که متغیر مقدار یک عدد را نمی گیرد، بلکه به آن بی نهایت نزدیک می شود.
بیایید یک مثال خاص بزنیم. وظیفه یافتن حد است.
برای حل این مثال، مقدار را جایگزین می کنیم x=3 به یک تابع دریافت می کنیم:
به هر حال، اگر به عملیات پایه روی ماتریس ها علاقه دارید، مقاله جداگانه ای در این زمینه بخوانید.
در مثال ها X می تواند به هر ارزشی گرایش داشته باشد. می تواند هر عدد یا بی نهایت باشد. در اینجا یک مثال زمانی است X به بی نهایت تمایل دارد:
بطور شهودی، هرچه عدد در مخرج بزرگتر باشد، مقدار تابع کوچکتر خواهد بود. بنابراین، با رشد نامحدود X معنی 1/x کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود.
همانطور که می بینید، برای حل محدودیت، فقط باید مقدار مورد نظر را در تابع جایگزین کنید X . با این حال، این ساده ترین مورد است. غالباً یافتن محدودیت چندان واضح نیست. در محدوده ها عدم قطعیت هایی از نوع وجود دارد 0/0 یا بی نهایت / بی نهایت . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ توسل به ترفندها!
عدم قطعیت های درون
عدم قطعیت شکل بی نهایت/بی نهایت
بگذارید یک محدودیت وجود داشته باشد:
اگر بخواهیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم، هم در صورت و هم در مخرج بی نهایت می گیریم. به طور کلی، شایان ذکر است که عنصر خاصی از هنر در حل چنین عدم قطعیت هایی وجود دارد: باید توجه داشته باشید که چگونه می توانید عملکرد را به گونه ای تغییر دهید که عدم قطعیت از بین برود. در مورد ما، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم X در مقطع ارشد چه اتفاقی خواهد افتاد؟
از مثالی که قبلاً در بالا توضیح داده شد، می دانیم که عبارت های حاوی x در مخرج به صفر تمایل دارند. سپس راه حل حد این است:
برای حل عدم قطعیت نوع بی نهایت / بی نهایتصورت و مخرج را تقسیم بر Xبه بالاترین درجه
اتفاقا! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است هر نوع کاری
نوع دیگری از عدم قطعیت: 0/0
مثل همیشه، جایگزینی مقادیر در تابع x=-1 می دهد 0 در صورت و مخرج کمی دقیق تر نگاه کنید متوجه می شوید که ما یک معادله درجه دوم در صورتگر داریم. بیایید ریشه ها را پیدا کنیم و بنویسیم:
کم کنیم و بگیریم:
بنابراین، اگر با عدم قطعیت نوع مواجه هستید 0/0 - صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.
برای آسان‌تر کردن حل مثال‌ها، جدولی با محدودیت‌های برخی از توابع ارائه می‌کنیم:
حکومت L'Hopital در داخل
دیگری راه قدرتمند، امکان حذف عدم قطعیت های هر دو نوع را فراهم می کند. ماهیت روش چیست؟
در صورت عدم قطعیت در حد، مشتق صورت و مخرج را بگیرید تا عدم قطعیت از بین برود.
قانون L'Hopital به این صورت است:
نکته مهم : حدی که در آن مشتقات صورت و مخرج به جای مصدر و مخرج قرار می گیرند باید وجود داشته باشد.
و اکنون - یک مثال واقعی:
عدم قطعیت معمولی وجود دارد 0/0 . بیایید مشتقات صورت و مخرج را در نظر بگیریم:
Voila، عدم قطعیت به سرعت و با ظرافت حل می شود.
امیدواریم بتوانید این اطلاعات را در عمل به کار ببرید و پاسخ سوال «چگونه محدودیت ها را در ریاضیات بالاتر حل کنیم» بیابید. اگر نیاز به محاسبه حد یک دنباله یا حد یک تابع در یک نقطه دارید، اما مطلقاً زمانی برای این کار وجود ندارد، برای یک راه حل سریع و دقیق با یک سرویس دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید.
