انتظارات ریاضی a=3 و انحراف معیار =5 از متغیر تصادفی با توزیع نرمال X داده شده است.
چگالی توزیع احتمال را بنویسید و آن را به صورت شماتیک رسم کنید.
احتمال اینکه x مقداری از بازه (2;10) بگیرد را بیابید.
احتمال اینکه x مقداری بزرگتر از 10 بگیرد را پیدا کنید.
یک بازه متقارن با توجه به انتظارات ریاضی پیدا کنید که در آن مقادیر کمیت x با احتمال =0.95 وجود داشته باشد.
1). بیایید تابع چگالی توزیع یک متغیر تصادفی X را با پارامترهای а=3، =5 با استفاده از فرمول بسازیم.
. بیایید یک نمودار شماتیک از تابع بسازیم 
. به این نکته توجه کنیم که منحنی نرمال نسبت به خط مستقیم x = 3 متقارن است و حداکثر در این نقطه برابر است با 
، یعنی 
و دو نقطه عطف 
با دستور 
بیایید یک نمودار بسازیم 
2) بیایید از فرمول استفاده کنیم: 
مقادیر تابع از جدول برنامه پیدا می شود.
4) بیایید از فرمول استفاده کنیم 
. با توجه به شرط، احتمال سقوط به یک بازه متقارن با توجه به انتظارات ریاضی 
. با استفاده از جدول، t را پیدا می کنیم که در آن Ф(t)=0.475، t=2. به معنی 
. بنابراین، 
. پاسخ x(-1;7) است.
به مشکلات 31-40.
یک فاصله اطمینان برای تخمینی با قابلیت اطمینان 0.95 از انتظارات ریاضی ناشناخته a از یک مشخصه با توزیع نرمال X بیابید. جمعیتاگر انحراف معیار کلی =5 باشد، میانگین نمونه 
و حجم نمونه n=25.
ما باید یک فاصله اطمینان پیدا کنیم 
.
همه مقادیر به جز t شناخته شده است. بیایید t را از نسبت Ф(t)=0.95/2=0.475 پیدا کنیم. با استفاده از جدول پیوست t=1.96 را پیدا می کنیم. با تعویض، در نهایت فاصله اطمینان مورد نظر 12.04 را بدست می آوریم بخش کنترل فنی 200 دسته از محصولات یکسان را بررسی کرد و توزیع تجربی زیر را دریافت کرد، فرکانس n i - تعداد دسته های حاوی x i محصولات غیر استاندارد لازم است این فرضیه در سطح معنی داری 0.05 آزمایش شود. محصولات استاندارد X طبق قانون پواسون توزیع می شود. بیایید میانگین نمونه را پیدا کنیم: اجازه دهید میانگین نمونه =0.6 را به عنوان تخمینی از پارامتر توزیع پواسون در نظر بگیریم. بنابراین، قانون پواسون مفروض با تنظیم i=0،1،2،3،4، احتمالات P i ظاهر محصولات غیر استاندارد i را در 200 دسته پیدا می کنیم: بیایید فرکانس های نظری را با استفاده از فرمول پیدا کنیم بیایید بسامدهای تجربی و نظری را با استفاده از آزمون پیرسون مقایسه کنیم. برای این کار یک جدول محاسباتی ایجاد می کنیم. بیایید فرکانس های کوچک (4+2=6) و فرکانس های نظری مربوطه (3.96+0.6=4.56) را ترکیب کنیم. در عمل، اکثر متغیرهای تصادفی که تحت تأثیر تعداد زیادی از عوامل تصادفی هستند، از قانون توزیع احتمال نرمال تبعیت می کنند. بنابراین در کاربردهای مختلف نظریه احتمال، این قانون از اهمیت خاصی برخوردار است. متغیر تصادفی $X$ از قانون توزیع احتمال نرمال پیروی می کند اگر چگالی توزیع احتمال آن به شکل زیر باشد. $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$ نمودار تابع $f\left(x\right)$ به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده است و "منحنی گاوس" نامیده می شود. در سمت راست این نمودار اسکناس 10 مارکی آلمان وجود دارد که قبل از معرفی یورو استفاده می شد. اگر دقت کنید، می توانید روی این اسکناس منحنی گاوس و کاشف آن، کارل فردریش گاوس، بزرگترین ریاضیدان را ببینید. اجازه دهید به تابع چگالی $f\left(x\right)$ برگردیم و در مورد پارامترهای توزیع $a,\ (\sigma )^2$ توضیحاتی ارائه کنیم. پارامتر $a$ مرکز پراکندگی مقادیر یک متغیر تصادفی را مشخص می کند، یعنی معنای یک انتظار ریاضی را دارد. هنگامی که پارامتر $a$ تغییر می کند و پارامتر $(\sigma )^2$ بدون تغییر باقی می ماند، می توانیم یک تغییر در نمودار تابع $f\left(x\right)$ در امتداد آبسیسا مشاهده کنیم، در حالی که نمودار چگالی خودش شکلش را تغییر نمی دهد. پارامتر $(\sigma )^2$ واریانس است و شکل منحنی نمودار چگالی $f\left(x\right)$ را مشخص می کند. هنگام تغییر پارامتر $(\sigma )^2$ با پارامتر $a$ بدون تغییر، می‌توان مشاهده کرد که چگونه نمودار چگالی شکل خود را تغییر می‌دهد، فشرده یا کشیده می‌شود، بدون اینکه در امتداد محور آبسیسا حرکت کند. همانطور که مشخص است، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی $X$ در بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ را می توان $P\left(\alpha) محاسبه کرد.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула: $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$ در اینجا تابع $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ است تابع لاپلاس. مقادیر این تابع از . ویژگی های زیر تابع $\Phi \left(x\right)$ قابل توجه است. 1
. $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$، یعنی تابع $\Phi \left(x\right)$ فرد است. 2
. $\Phi \left(x\right)$ یک تابع یکنواخت در حال افزایش است. 3
. $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ چپ(x\راست)\ )=-0.5$. برای محاسبه مقادیر تابع $\Phi \left(x\right)$ می‌توانید از تابع $f_x$ ویزارد در اکسل نیز استفاده کنید: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\راست )-0.5$. برای مثال، بیایید مقادیر تابع $\Phi \left(x\right)$ را برای $x=2$ محاسبه کنیم. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی معمولی $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ در یک فاصله متقارن با توجه به انتظار ریاضی $a$ را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد. $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$ قانون سه سیگما. تقریباً مطمئن است که یک متغیر تصادفی معمولی توزیع شده $X$ در بازه $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ قرار می گیرد. مثال 1
. متغیر تصادفی $X$ تابع قانون توزیع احتمال نرمال با پارامترهای $a=2،\ \sigma =3$ است. احتمال سقوط $X$ به بازه $\left(0.5;1\right)$ و احتمال برآورده شدن نابرابری $\left|X-a\right|< 0,2$. با استفاده از فرمول $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$ $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) را پیدا می کنیم ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0.129 = 0.062 دلار. $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$ مثال 2
. فرض کنید در طول سال قیمت سهام یک شرکت خاص یک متغیر تصادفی است که طبق قانون عادی با انتظار ریاضی معادل 50 واحد پولی متعارف و انحراف معیار برابر با 10 توزیع شده است. احتمال اینکه در یک انتخاب تصادفی چقدر است روز دوره مورد بحث، قیمت تبلیغات به شرح زیر خواهد بود: الف) بیش از 70 واحد پولی متعارف؟ ب) زیر 50 هر سهم؟ ج) بین 45 تا 58 واحد پولی متعارف در هر سهم؟ اجازه دهید متغیر تصادفی X$ قیمت سهام یک شرکت خاص باشد. طبق شرط، $X$ تابع یک توزیع نرمال با پارامترهای $a=50$ - انتظار ریاضی، $\sigma =10$ - انحراف استاندارد است. احتمال $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле: $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$ $$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ بیش از (10))\راست)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$ $$b)\P\ چپ (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$ $$in)\ P\ چپ (45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$ بدون اغراق می توان آن را یک قانون فلسفی نامید. با مشاهده اشیا و فرآیندهای مختلف در دنیای اطراف خود، اغلب با این واقعیت مواجه می شویم که چیزی کافی نیست و یک هنجار وجود دارد: چه مثال هایی می توانید بیاورید؟ به سادگی تاریکی از آنها وجود دارد. این مثلاً قد، وزن افراد (و نه تنها)، قدرت بدنی، توانایی های ذهنی و غیره است. یک "توده اصلی" وجود دارد (به هر دلیلی)و در هر دو جهت انحراف وجود دارد. اینها ویژگی های مختلف اجسام بی جان (همان اندازه، وزن) هستند. این یک مدت زمان تصادفی از فرآیندها است، به عنوان مثال، زمان مسابقه صد متری یا تبدیل رزین به کهربا. از فیزیک، مولکول های هوا را به یاد آوردم: برخی از آنها کند هستند، برخی سریع هستند، اما بیشتر آنها با سرعت "استاندارد" حرکت می کنند. بعد، یک انحراف استاندارد دیگر از مرکز منحرف می‌شویم و ارتفاع را محاسبه می‌کنیم: علامت گذاری نقاط روی نقاشی (سبز)و ما می بینیم که این کاملا کافی است. در مرحله آخر، نمودار را با دقت ترسیم کنید و به خصوص با دقتآن را منعکس کند محدب / مقعر! خب، احتمالا خیلی وقت پیش متوجه شده اید که محور x است مجانب افقی، و "بالا رفتن" از پشت آن مطلقاً ممنوع است! هنگام ثبت یک راه حل به صورت الکترونیکی، ایجاد یک نمودار در اکسل آسان است و به طور غیرمنتظره برای خودم، حتی یک ویدیوی کوتاه در مورد این موضوع ضبط کردم. اما ابتدا اجازه دهید در مورد چگونگی تغییر شکل منحنی نرمال بسته به مقادیر و صحبت کنیم. هنگام افزایش یا کاهش "a" (با ثابت "سیگما")نمودار شکل خود را حفظ می کند و به راست / چپ حرکت می کندبه ترتیب. بنابراین، برای مثال، زمانی که تابع شکل می گیرد در صورت تغییر "سیگما" (با ثابت "a")، نمودار "به همان شکل باقی می ماند" اما شکل آن تغییر می کند. وقتی بزرگ می شود، پایین تر و کشیده تر می شود، مانند اختاپوس که شاخک های خود را دراز می کند. و برعکس، هنگام کاهش نمودار باریک تر و بلندتر می شود- معلوم می شود که یک "اختاپوس شگفت زده" است. بله، چه زمانی کاهش یابد"سیگما" دو بار: نمودار قبلی دو بار باریک و کشیده می شود: توزیع نرمال با مقدار واحد سیگما نامیده می شود نرمال شده، و اگر هم باشد متمرکز شده است(مورد ما)، سپس چنین توزیعی نامیده می شود استاندارد. تابع چگالی ساده تری دارد که قبلاً در آن یافت شده است قضیه محلی لاپلاس: خوب حالا بیایید فیلم را ببینیم:
بله، کاملاً درست است - به نحوی بدون شایستگی در سایه ماند تابع توزیع احتمال. به یاد او باشیم تعریف: در داخل انتگرال، معمولاً از یک حرف متفاوت استفاده می شود تا هیچ "همپوشانی" با نماد وجود نداشته باشد، زیرا در اینجا هر مقدار با انتگرال نامناسب تقریباً همه مقادیر را نمی توان به طور دقیق محاسبه کرد، اما همانطور که قبلاً دیدیم، با قدرت محاسباتی مدرن این کار دشواری نیست. بنابراین، برای تابع =NORMSDIST(ز) یک، دو - و شما تمام کردید: حال بیایید یکی از وظایف کلیدی موضوع را به یاد بیاوریم، یعنی چگونگی پیدا کردن احتمال وجود یک متغیر تصادفی عادی مقدار را از بازه می گیرد. از نظر هندسی این احتمال برابر است با منطقهبین منحنی نرمال و محور x در بخش مربوطه: ! همچنین به یاد می آورد
، چی در اینجا می توانید دوباره از اکسل استفاده کنید ، اما چند "اما" مهم وجود دارد: اولاً ، همیشه در دسترس نیست و ثانیاً ، مقادیر "آماده" به احتمال زیاد سؤالاتی را از معلم ایجاد می کند. چرا؟ قبلاً بارها در مورد این صحبت کرده ام: در یک زمان (و نه چندان دور) یک ماشین حساب معمولی لوکس بود و روش "دستی" حل مشکل مورد نظر هنوز در ادبیات آموزشی حفظ شده است. ماهیت آن این است که استاندارد کردنمقادیر "آلفا" و "بتا"، یعنی محلول را به توزیع استاندارد کاهش دهید: توجه داشته باشید
: تابع به راحتی از حالت کلی به دست می آید چرا این لازم است؟ واقعیت این است که مقادیر به دقت توسط اجداد ما محاسبه شده و در یک جدول ویژه جمع آوری شده است که در بسیاری از کتاب های ترور وجود دارد. اما حتی بیشتر اوقات جدولی از مقادیر وجود دارد که قبلاً به آن پرداخته ایم قضیه انتگرال لاپلاس: اگر جدولی از مقادیر تابع لاپلاس در اختیار داشته باشیم این را به شما یادآوری می کنم پاسخ دهیدلازم است به صورت درصد داده شود، بنابراین احتمال محاسبه شده باید در 100 ضرب شود و نتیجه با نظر معنی دار ارائه شود: - با پرواز از 5 تا 70 متر، تقریباً 15.87٪ از پوسته ها سقوط می کنند ما به تنهایی تمرین می کنیم: مثال 3 قطر بلبرینگ های کارخانه ای یک متغیر تصادفی است که معمولاً با انتظار ریاضی 1.5 سانتی متر و انحراف استاندارد 0.04 سانتی متر توزیع می شود. در حل نمونه و زیر، از تابع لاپلاس به عنوان رایج ترین گزینه استفاده خواهم کرد. به هر حال، توجه داشته باشید که طبق عبارت، انتهای فاصله را می توان در اینجا در نظر گرفت. با این حال، این مهم نیست. و قبلاً در این مثال با یک مورد خاص روبرو شدیم - زمانی که فاصله با توجه به انتظارات ریاضی متقارن است. در چنین شرایطی، می توان آن را به شکل نوشت و با استفاده از عجیب بودن تابع لاپلاس، فرمول کار را ساده کرد: خوب است که راه حل در یک خط قرار می گیرد :) نتیجه این کار نزدیک به وحدت بود، اما من می خواهم قابلیت اطمینان بیشتری داشته باشد - یعنی مرزهایی که قطر در آنها قرار دارد تقریبا همهبلبرینگ ها آیا معیاری برای این کار وجود دارد؟ وجود دارد! سوال مطرح شده توسط به اصطلاح پاسخ داده می شود ماهیت آن این است عملا قابل اعتماد
این واقعیت است که یک متغیر تصادفی با توزیع معمولی مقداری از بازه را می گیرد در واقع، احتمال انحراف از مقدار مورد انتظار کمتر از: از نظر بلبرینگ، اینها 9973 قطعه با قطر 1.38 تا 1.62 سانتی متر و تنها 27 نسخه "غیر استاندارد" هستند. در تحقیقات عملی، قانون سه سیگما معمولاً در جهت مخالف اعمال می شود: اگر از نظر آماریمشخص شد که تقریبا تمام مقادیر متغیر تصادفی مورد مطالعهدر بازه زمانی 6 انحراف استاندارد قرار می گیرند، پس دلایل قانع کننده ای وجود دارد که باور کنیم این مقدار طبق یک قانون عادی توزیع شده است. تأیید با استفاده از تئوری انجام می شود فرضیه های آماری. ما به حل مشکلات سخت شوروی ادامه می دهیم: مثال 4 مقدار تصادفی خطای توزین طبق قانون عادی با انتظار ریاضی صفر و انحراف معیار 3 گرم توزیع می شود. احتمال اینکه توزین بعدی با خطای بیش از 5 گرم در قدر مطلق انجام شود را بیابید. راه حلبسیار ساده طبق شرط، ما بلافاصله توجه می کنیم که در وزن کشی بعدی (چیزی یا کسی)ما تقریباً 100٪ نتیجه را با دقت 9 گرم به دست خواهیم آورد. اما مشکل شامل یک انحراف باریکتر و مطابق فرمول است پاسخ دهید: مشکل حل شده اساساً با یک مشکل به ظاهر مشابه تفاوت دارد. مثال 3درس در مورد توزیع یکنواخت. خطایی وجود داشت گرد کردننتایج اندازه گیری، در اینجا ما در مورد خطای تصادفی خود اندازه گیری ها صحبت می کنیم. چنین خطاهایی به دلیل ویژگی های فنی خود دستگاه ایجاد می شود. (معمولاً محدوده خطاهای قابل قبول در گذرنامه وی مشخص می شود)و همچنین به تقصیر آزمایشگر - زمانی که مثلاً "با چشم" از سوزن همان ترازو قرائت می کنیم. در میان دیگران، به اصطلاح نیز وجود دارد سیستماتیکخطاهای اندازه گیری در حال حاضر است غیر تصادفیخطاهایی که به دلیل راه اندازی یا عملکرد نادرست دستگاه رخ می دهد. به عنوان مثال، ترازوهای طبقه بندی نشده می توانند به طور پیوسته کیلوگرم اضافه کنند و فروشنده به طور سیستماتیک مشتریان را سنگین می کند. یا می توان آن را نه سیستماتیک محاسبه کرد. با این حال، در هر صورت چنین خطایی تصادفی نخواهد بود و انتظار آن با صفر متفاوت است. ...من فوراً در حال توسعه یک دوره آموزشی فروش هستم =) بیایید خودمان مشکل معکوس را حل کنیم: مثال 5 قطر غلتک یک متغیر تصادفی معمولی توزیع شده تصادفی است، انحراف استاندارد آن برابر با میلی متر است. طول بازه متقارن را با توجه به انتظارات ریاضی که احتمالاً طول قطر غلتک در آن کاهش می یابد، بیابید. نکته 5* طرح بندی طراحیبرای کمک کردن لطفاً توجه داشته باشید که انتظارات ریاضی در اینجا مشخص نیست، اما این حداقل ما را از حل مسئله باز نمی دارد. و یک تکلیف امتحانی که برای تقویت مطالب به شدت توصیه می کنم: مثال 6 یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال با پارامترهای آن (انتظار ریاضی) و (انحراف استاندارد) مشخص می شود. مورد نیاز: الف) چگالی احتمال را بنویسید و نمودار آن را به صورت شماتیک به تصویر بکشید. چنین مشکلاتی در همه جا ارائه می شود و در طول سال ها تمرین صدها و صدها مورد از آنها را حل کرده ام. حتماً کشیدن نقاشی با دست و با استفاده از میزهای کاغذی را تمرین کنید؛) خوب، من به مثالی از افزایش پیچیدگی نگاه خواهم کرد: مثال 7 چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی شکل دارد راه حل: قبل از هر چیز، اجازه دهید توجه داشته باشیم که شرط چیزی در مورد ماهیت متغیر تصادفی نمی گوید. وجود یک توان به خودی خود معنایی ندارد: مثلاً ممکن است معلوم شود، نشان دهندهیا حتی خودسرانه توزیع پیوسته. و بنابراین "عادی بودن" توزیع هنوز باید توجیه شود: از آنجایی که تابع در اینجا ما می رویم. برای این مربع کامل را انتخاب کنیدو سازماندهی کنید کسری سه طبقه: بدین ترتیب: حالا بیایید مقدار پارامتر را پیدا کنیم. از آنجایی که ضریب توزیع نرمال دارای شکل و است، پس: بیایید یک نمودار چگالی بسازیم: همانطور که قبلا ذکر شد، نمونه هایی از توزیع احتمال متغیر تصادفی پیوسته
X عبارتند از: اجازه دهید مفهوم یک قانون توزیع نرمال، تابع توزیع چنین قانونی، و روش محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی X در یک بازه معین را ارائه دهیم. طول X یک قطعه معین یک متغیر تصادفی است که بر اساس قانون توزیع نرمال توزیع شده است و دارای مقدار متوسط 20 میلی متر و انحراف معیار 0.2 میلی متر است. راه حل.
الف)ما چگالی احتمال یک متغیر تصادفی X را می‌یابیم که طبق یک قانون عادی توزیع شده است: مشروط بر اینکه m x = 20، σ = 0.2. ب)برای توزیع نرمال یک متغیر تصادفی، احتمال قرار گرفتن در بازه (19.7؛ 20.3) توسط: V)احتمال اینکه قدر مطلق انحراف کمتر از عدد مثبت 0.1 باشد را پیدا می کنیم: ز)از آنجایی که احتمال انحراف کمتر از 0.1 میلی متر 0.383 است، بنابراین به طور متوسط 38.3 قسمت از 100 دارای چنین انحرافی خواهند بود، یعنی. 38.3 درصد د)از آنجایی که درصد قطعاتی که انحراف آنها از میانگین از مقدار مشخص شده تجاوز نمی کند به 54% افزایش یافته است، P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27. با استفاده از برنامه ( جدول 2
) δ/σ = 0.74 را پیدا می کنیم. از این رو δ = 0.74 * σ = 0.74 * 0.2 = 0.148 میلی متر. ه)از آنجایی که فاصله مورد نیاز با توجه به مقدار متوسط m x = 20 متقارن است، می توان آن را به عنوان مجموعه ای از مقادیر X که نابرابری 20-δ را برآورده می کند، تعریف کرد.< X < 20 + δ или |x − 20| < δ . با توجه به شرط، احتمال یافتن X در بازه مورد نظر 0.95 است، یعنی P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475. با استفاده از برنامه ( جدول 2
)، ما δ/σ = 1.96 را پیدا می کنیم. از این رو δ = 1.96*σ = 1.96*0.2 = 0.392. به مشکلات 41-50.
به نظر می رسد 
.
,
,
,
,
.
. با جایگزینی مقادیر احتمال در این فرمول، دریافت می کنیم 
,
,
,
,
.
احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه معین
قانون توزیع احتمال عادی
در اینجا یک دیدگاه اساسی وجود دارد توابع چگالیتوزیع احتمال عادی، و من به شما به این درس جالب خوش آمد می گویم.
و نمودار ما 3 واحد به سمت چپ حرکت می کند - دقیقاً به مبدأ مختصات: 
یک کمیت معمولی توزیع شده با انتظار ریاضی صفر نام کاملاً طبیعی دریافت کرد - متمرکز شده است; تابع چگالی آن 
– حتی، و نمودار متقارن نسبت به مختصات است.
همه چیز مطابق با آن است تبدیل هندسی نمودارها.
. توزیع استاندارد در عمل کاربرد گسترده ای پیدا کرده است و به زودی سرانجام هدف آن را خواهیم فهمید.
- احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقدار کمتری نسبت به متغیری که از تمام مقادیر واقعی تا بی نهایت "بعلاوه" عبور می کند، بگیرد.
، که برابر با برخی است شمارهاز فاصله .
توزیع استاندارد، تابع اکسل مربوطه به طور کلی حاوی یک آرگومان است:
نقاشی به وضوح اجرای همه را نشان می دهد ویژگی های تابع توزیع، و از نکات ظریف فنی در اینجا باید به آن توجه کنید مجانب افقیو نقطه عطف
اما هر بار سعی می کنم یک مقدار تقریبی بدست بیاورم 
غیر معقول است و بنابراین استفاده از آن منطقی تر است فرمول "سبک".:
.
با استفاده از خطی جایگزین ها. سپس همچنین:
و از جایگزینی انجام شده فرمول زیر است: 
انتقال از مقادیر یک توزیع دلخواه به مقادیر متناظر یک توزیع استاندارد.
، سپس از طریق آن حل می کنیم:
مقادیر کسری به طور سنتی به 4 رقم اعشار گرد می شوند، همانطور که در جدول استاندارد انجام می شود. و برای کنترل وجود دارد نکته 5 طرح بندی.
، و برای جلوگیری از سردرگمی همیشه کنترل کنید، جدولی از عملکرد WHAT در مقابل چشمان شما قرار دارد.
پارامتر دلتا نامیده می شود انحرافاز انتظارات ریاضی، و نابرابری مضاعف را می توان با استفاده از "بسته بندی" کرد ماژول:
- احتمال انحراف مقدار یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی کمتر از .
- احتمال اینکه قطر یک یاتاقان تصادفی از 1.5 سانتی متر بیشتر از 0.1 سانتی متر متفاوت باشد.قانون سه سیگما
.
یا 99.73٪
:
– احتمال اینکه توزین بعدی با خطای بیش از 5 گرم انجام شود.
ب) احتمال اینکه مقداری از بازه را بگیرد را بیابید 
;
ج) احتمال انحراف قدر مطلق از بیش از ;
د) با استفاده از قانون "سه سیگما"، مقادیر متغیر تصادفی را بیابید.
. یافتن، انتظارات ریاضی، پراکندگی، تابع توزیع، ساخت نمودارهای چگالی و توابع توزیع، پیدا کردن.
تعیین شده در هرارزش واقعی، و می توان آن را به شکل کاهش داد 
، سپس متغیر تصادفی طبق قانون عادی توزیع می شود.
حتماً یک بررسی انجام دهید و نشانگر را به شکل اصلی خود برگردانید:
، چیزی است که ما می خواستیم ببینیم.
- توسط قانون عملیات با اختیارات"خوشحال کردن" و در اینجا می توانید بلافاصله ویژگی های عددی آشکار را بنویسید: 
، از جایی که ما تابع خود را بیان و جایگزین می کنیم: 
، پس از آن یک بار دیگر ضبط را با چشمان خود مرور می کنیم و مطمئن می شویم که تابع حاصل فرم دارد 
.
و نمودار تابع توزیع 
:
اگر اکسل یا حتی یک ماشین حساب معمولی در دسترس ندارید، آخرین نمودار را می توان به راحتی به صورت دستی ساخت! در نقطه ای که تابع توزیع مقدار را می گیرد 
و اینجاست№
شاخص قانون توزیع عادی توجه داشته باشید
تعریف
به نام عادی
توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X که چگالی آن شکل دارد
که در آن m x انتظار ریاضی متغیر تصادفی X است، σ x انحراف معیار است.
2
تابع توزیع
احتمال
قرار گرفتن در فاصله (a;b)
- تابع انتگرال لاپلاس
احتمال
این واقعیت که قدر مطلق انحراف کمتر از عدد مثبت δ است
در m x = 0
مثالی از حل مسئله با موضوع "قانون توزیع نرمال متغیر تصادفی پیوسته"
وظیفه
لازم:
الف) عبارت چگالی توزیع را بنویسید.
ب) احتمال اینکه طول قطعه بین 19.7 تا 20.3 میلی متر باشد را بیابید.
ج) احتمال اینکه انحراف از 0.1 میلی متر تجاوز نمی کند را پیدا کنید.
د) تعیین کنید که چند درصد قطعاتی هستند که انحراف از مقدار متوسط آنها از 0.1 میلی متر تجاوز نمی کند.
ه) مشخص کنید که چه مقدار انحراف باید تنظیم شود تا درصد قطعاتی که انحراف آنها از میانگین از مقدار مشخص شده تجاوز نمی کند به 54٪ افزایش یابد.
و) بازه ای متقارن در مورد مقدار متوسطی که X در آن قرار می گیرد با احتمال 0.95 بیابید.
Ф((20.3-20)/0.2) - Ф((19.7-20)/0.2) = Ф(0.3/0.2) - Ф(-0.3/0، 2) = 2Ф(0.3/0.2) = 2Ф(1.5) = 2*0.4332 = 0.8664.
ما مقدار Ф(1.5) = 0.4332 را در ضمائم، در جدول مقادیر تابع انتگرال لاپلاس Φ(x) پیدا کردیم ( جدول 2
)
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
ما مقدار Ф(0.5) = 0.1915 را در ضمائم، در جدول مقادیر تابع انتگرال لاپلاس Φ(x) پیدا کردیم ( جدول 2
)
فاصله جستجو
: (20 - 0.392؛ 20 + 0.392) یا (19.608; 20.392).
