در حال حاضر در مصر باستاننه تنها حساب، بلکه پیشرفت هندسی را نیز می دانست. برای مثال، مشکلی از پاپیروس رایند وجود دارد: «هفت صورت هفت گربه دارد. هر گربه هفت موش می خورد، هر موش هفت خوشه ذرت می خورد و هر خوشه جو می تواند هفت پیمانه جو بکارد. اعداد این مجموعه و مجموع آنها چقدر است؟
 |
|
برنج. 1. مسئله پیشرفت هندسی مصر باستان |
این کار بارها با تغییرات مختلف در میان مردمان دیگر در زمان های دیگر تکرار شد. به عنوان مثال، در نوشته شده در قرن 13th. «کتاب چرتکه» نوشته لئوناردو پیزا (فیبوناچی) مشکلی دارد که در آن 7 پیرزن در راه روم ظاهر می‌شوند (معلوماً زائر) که هر کدام دارای 7 قاطر هستند که هر کدام دارای 7 کیسه است. حاوی 7 نان است که هر کدام دارای 7 کارد و هر کدام دارای 7 غلاف است. مشکل می پرسد چند شی وجود دارد.
مجموع n جمله اول پیشروی هندسی S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . این فرمول را می توان مثلاً به این صورت اثبات کرد: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
عدد b 1 q n را به S n اضافه کنید و بدست آورید:
|
از اینجا S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) و فرمول لازم را بدست می آوریم.
قبلاً بر روی یکی از لوح های گلی بابل باستان که قدمت آن به قرن ششم می رسد. قبل از میلاد e.، شامل مجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 است. درست است، مانند تعدادی از موارد دیگر، ما نمی دانیم که چگونه این واقعیت برای بابلی ها شناخته شده است. .
افزایش سریع پیشرفت هندسی در تعدادی از فرهنگ ها، به ویژه در هند، به طور مکرر به عنوان نماد بصری وسعت جهان استفاده می شود. در افسانه معروف پیدایش شطرنج، حاکم به مخترعش این فرصت را می دهد که خودش جایزه را انتخاب کند و او تعداد دانه های گندمی را که اگر در میدان اول قرار می گرفت به دست می آورد می خواهد. صفحه شطرنج، دو برای دوم، چهار برای سوم، هشت برای چهارم و غیره، هر بار این عدد دو برابر می شود. ولادیکا فکر می کرد که حداکثر در مورد چند کیسه صحبت می کنیم، اما او اشتباه محاسبه کرد. به راحتی می توان فهمید که برای تمام 64 مربع صفحه شطرنج، مخترع باید (2 64 - 1) دانه دریافت کند که به صورت یک عدد 20 رقمی بیان می شود. حتی اگر تمام سطح زمین کاشته شود، حداقل 8 سال طول می کشد تا مقدار مورد نیاز غلات جمع آوری شود. این افسانه گاهی اوقات به عنوان نشان دهنده احتمالات تقریبا نامحدود پنهان در بازی شطرنج تفسیر می شود.
به راحتی می توان فهمید که این عدد واقعا 20 رقمی است:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6 ∙10 19 (محاسبه دقیق تر 1.84 ∙10 19 می دهد). اما من نمی دانم آیا می توانید بفهمید که این عدد با چه رقمی ختم می شود؟
اگر مخرج بزرگتر از 1 باشد، یک تصاعد هندسی می تواند افزایش یابد یا اگر کمتر از یک باشد، کاهش می یابد. در مورد دوم، عدد q n برای n به اندازه کافی بزرگ می تواند به طور دلخواه کوچک شود. در حالی که افزایش پیشرفت هندسی به طور غیرمنتظره ای به سرعت افزایش می یابد، پیشرفت هندسی کاهشی به همان سرعت کاهش می یابد.
هرچه n بزرگتر باشد، عدد q n ضعیفتر با صفر متفاوت است و مجموع n ترم پیشروی هندسی Sn = b 1 (1 – q n) / (1 – q) به عدد S = b 1 / ( 1 - q). (مثلاً F. Viet اینگونه استدلال کرد). عدد S را مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش می گویند. با این حال، برای قرن‌های متمادی، این سؤال که معنای جمع کردن کل پیشرفت هندسی، با تعداد نامتناهی اصطلاحات آن چیست، برای ریاضیدانان به اندازه کافی روشن نبود.
یک پیشرفت هندسی رو به کاهش را می توان برای مثال در آپوریاهای زنو "Half Division" و "Achilles and the Tortoise" مشاهده کرد. در حالت اول، به وضوح نشان داده می شود که کل جاده (با فرض طول 1) حاصل جمع است عدد بی نهایتبخش های 1/2، 1/4، 1/8، و غیره. بنابراین، البته، از نقطه نظر ایده هایی در مورد مجموع متناهی یک پیشرفت هندسی نامحدود است. و با این حال - چگونه می تواند باشد؟
|
برنج. 2. پیشرفت با ضریب 1/2 |
در آپوریا در مورد آشیل، وضعیت کمی پیچیده تر است، زیرا در اینجا مخرج پیشرفت 1/2 نیست، بلکه عدد دیگری است. به عنوان مثال آشیل با سرعت v بدود، لاک پشت با سرعت u حرکت کند و فاصله اولیه بین آنها l باشد. آشیل این فاصله را در زمان l/v طی می کند و در این مدت لاک پشت فاصله lu/v را طی می کند. هنگامی که آشیل این بخش را اجرا می کند، فاصله بین او و لاک پشت برابر با l (u /v) 2 و غیره می شود. معلوم می شود که رسیدن به لاک پشت به معنای یافتن مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش با جمله اول است. l و مخرج u /v. این مجموع - قسمتی که آشیل در نهایت به محل ملاقات با لاک پشت خواهد رفت - برابر است با l / (1 – u /v) = lv / (v – u). اما باز هم این نتیجه را چگونه باید تفسیر کرد و اصلاً چرا منطقی است؟ برای مدت طولانیخیلی واضح نبود
|
برنج. 3. تصاعد هندسی با ضریب 2/3 |
ارشمیدس از مجموع یک پیشرفت هندسی برای تعیین مساحت بخش سهمی استفاده کرد. اجازه دهید این بخشسهمی با وتر AB محدود می شود و اجازه دهید مماس در نقطه D سهمی موازی با AB باشد. فرض کنید C نقطه وسط AB، E نقطه وسط AC، F نقطه وسط CB باشد. بیایید خطوطی موازی با DC از طریق نقاط A، E، F، B رسم کنیم. اجازه دهید مماس رسم شده در نقطه D این خطوط را در نقاط K، L، M، N قطع کند. بیایید بخش های AD و DB را نیز ترسیم کنیم. بگذارید خط EL خط AD را در نقطه G و سهمی را در نقطه H قطع کند. خط FM خط DB را در نقطه Q و سهمی را در نقطه R قطع می کند. بر اساس تئوری کلی مقاطع مخروطی، DC قطر یک سهمی است (یعنی قطعه ای موازی با محور آن). آن و مماس در نقطه D می توانند به عنوان محورهای مختصات x و y عمل کنند که در آن معادله سهمی به صورت y 2 = 2px نوشته می شود (x فاصله D تا هر نقطه با قطر معین است، y طول پاره ای موازی با مماس معین از این نقطه قطر تا نقطه ای در خود سهمی).
به موجب معادله سهمی، DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA، و از آنجایی که DK = 2DL، پس KA = 4LH. زیرا KA = 2LG، LH = HG. مساحت بخش ADB سهمی برابر با مساحت مثلث ΔADB و مساحت قطعات AHD و DRB با هم است. به نوبه خود، مساحت بخش AHD به طور مشابه برابر با مساحت مثلث AHD و بخش های باقیمانده AH و HD است که با هر یک از آنها می توانید همان عملیات را انجام دهید - به یک مثلث (Δ) تقسیم شده و دو بخش باقی مانده () و غیره:
مساحت مثلث ΔAHD برابر با نصف مساحت مثلث ΔALD است (پایه مشترک AD دارند و ارتفاعات 2 برابر متفاوت است) که به نوبه خود برابر است با نصف مساحت . مثلث ΔAKD و بنابراین نصف مساحت مثلث ΔACD. بنابراین، مساحت مثلث ΔAHD برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔACD است. به همین ترتیب، مساحت مثلث ΔDRB برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔDFB است. بنابراین، مساحت مثلث ΔAHD و ΔDRB، با هم برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔADB است. با تکرار این عمل هنگام اعمال بر روی بخش‌های AH، HD، DR و RB، مثلث‌هایی از آنها انتخاب می‌شود که مساحت آنها با هم 4 برابر کمتر از مساحت مثلث‌های ΔAHD و ΔDRB با هم خواهد بود. بنابراین 16 برابر کمتر از مساحت مثلث ΔADB است. و به همین ترتیب:
بنابراین، ارشمیدس ثابت کرد که "هر قطعه ای که بین یک خط مستقیم و یک سهمی قرار دارد، چهار سوم مثلثی را تشکیل می دهد که قاعده یکسان و ارتفاع برابر دارد."
بیایید یک سری خاص را در نظر بگیریم.
7 28 112 448 1792...
کاملاً واضح است که ارزش هر یک از عناصر آن دقیقاً چهار برابر بیشتر از عنصر قبلی است. یعنی این سریال یک پیشرفت است.
پیشروی هندسی یک دنباله بی نهایت از اعداد است. ویژگی اصلییعنی عدد بعدی با ضرب در عددی خاص از عدد قبلی بدست می آید. این با فرمول زیر بیان می شود.
a z +1 =a z ·q، که z تعداد عنصر انتخاب شده است.
بر این اساس، z ∈ N.
دوره ای که پیشرفت هندسی در مدرسه مطالعه می شود کلاس نهم است. مثال ها به شما در درک مفهوم کمک می کنند:
0.25 0.125 0.0625...
بر اساس این فرمول، مخرج پیشرفت را می توان به صورت زیر یافت:
نه q و نه b z نمی توانند صفر باشند. همچنین هر یک از عناصر پیشرفت نباید برابر با صفر باشد.
بر این اساس، برای پیدا کردن عدد بعدی در یک سری، باید عدد آخر را در q ضرب کنید.
برای تنظیم این پیشرفت، باید اولین عنصر و مخرج آن را مشخص کنید. پس از این امکان یافتن هر یک از عبارت های بعدی و مجموع آنها وجود دارد.
انواع
بسته به q و a 1، این پیشرفت به چند نوع تقسیم می شود:
- اگر هر دو a 1 و q بزرگتر از یک باشند، چنین دنباله ای یک پیشرفت هندسی است که با هر عنصر بعدی افزایش می یابد. نمونه ای از آن در زیر ارائه شده است.
مثال: a 1 =3، q=2 - هر دو پارامتر بزرگتر از یک هستند.
سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:
3 6 12 24 48 ...
- اگر |q| کوچکتر از یک است، یعنی ضرب در آن معادل تقسیم است، سپس یک پیشروی با شرایط مشابه یک پیشرفت هندسی کاهشی است. نمونه ای از آن در زیر ارائه شده است.
مثال: a 1 =6، q=1/3 - a 1 بزرگتر از یک است، q کمتر است.
سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:
6 2 2/3 ... - هر عنصری 3 برابر بزرگتر از عنصر بعدی است.
- علامت متناوب. اگر q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
مثال: a 1 = -3، q = -2 - هر دو پارامتر کمتر از صفر هستند.
سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:
3, 6, -12, 24,...
فرمول ها
فرمول های زیادی برای استفاده راحت از پیشرفت های هندسی وجود دارد:
- فرمول ترم Z. به شما امکان می دهد یک عنصر را تحت یک عدد خاص بدون محاسبه اعداد قبلی محاسبه کنید.
مثال:q = 3, الف 1 = 4. شمارش عنصر چهارم پیشرفت الزامی است.
راه حل:الف 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- مجموع اولین عناصری که تعداد آنها برابر است z. به شما امکان می دهد مجموع تمام عناصر یک دنباله را تا سقف محاسبه کنیدیک zفراگیر.
از آنجایی که (1-q) در مخرج است، سپس (1 - q)≠ 0، بنابراین q برابر با 1 نیست.
توجه: اگر q=1 باشد، آنگاه پیشرفت یک سری اعداد بی نهایت تکرار خواهد بود.
مجموع پیشرفت هندسی، مثال:الف 1 = 2, q= -2. S5 را محاسبه کنید.
راه حل:اس 5 = 22 - محاسبه با استفاده از فرمول.
- مقدار اگر |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
مثال:الف 1 = 2 , q= 0.5. مقدار را پیدا کنید.
راه حل:S z = 2 · = 4
S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
برخی از خواص:
- خاصیت مشخصه. اگر شرط زیر باشد برای هر کدام کار می کندz، سپس سری اعداد داده شده یک پیشرفت هندسی است:
یک z 2 = یک z -1 · الفz+1
- همچنین، مربع هر عددی در یک تصاعد هندسی با جمع کردن مربع های هر دو عدد دیگر در یک سری داده شده، در صورتی که از این عنصر مساوی فاصله داشته باشند، به دست می آید.
یک z 2 = یک z - تی 2 + یک z + تی 2 ، کجاتی- فاصله بین این اعداد
- عناصردر q متفاوت استیک بار
- لگاریتم های عناصر یک پیشروی نیز یک پیشروی را تشکیل می دهند، اما حسابی، یعنی هر یک از آنها به تعداد معینی از قبلی بزرگتر هستند.
نمونه هایی از برخی مشکلات کلاسیک
برای درک بهتر پیشرفت هندسی، مثال هایی با راه حل های کلاس 9 می تواند کمک کند.
- شرایط:الف 1 = 3, الف 3 = 48. پیدا کنیدq.
راه حل: هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی استq یک باربیان برخی از عناصر بر حسب برخی دیگر با استفاده از مخرج ضروری است.
از این رو،الف 3 = q 2 · الف 1
هنگام تعویضq= 4
- شرایط:الف 2 = 6, الف 3 = 12. S 6 را محاسبه کنید.
راه حل:برای انجام این کار، فقط q، اولین عنصر را پیدا کنید و آن را در فرمول جایگزین کنید.
الف 3 = q· الف 2 از این رو،q= 2
a 2 = q · یک 1،به همین دلیل است a 1 = 3
S 6 = 189
- · الف 1 = 10, q= -2. عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل: برای این کار کافی است عنصر چهارم را از طریق اول و از طریق مخرج بیان کنیم.
a 4 = q 3· a 1 = -80
مثال کاربردی:
- یک مشتری بانک به مبلغ 10000 روبل سپرده گذاری کرد که تحت شرایط آن هر سال مشتری 6٪ از آن را به مبلغ اصلی اضافه می کند. بعد از 4 سال چقدر پول در حساب شما خواهد بود؟
راه حل: مبلغ اولیه 10 هزار روبل است. یعنی یک سال بعد از سرمایه گذاری حساب مبلغی معادل 10000 + 10000 خواهد داشت. · 0.06 = 10000 1.06
بر این اساس مبلغ در حساب پس از یک سال دیگر به شرح زیر بیان می شود:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
یعنی هر سال این مقدار 1.06 برابر افزایش می یابد. یعنی برای یافتن مقدار وجوه موجود در حساب پس از 4 سال کافی است عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید که با عنصر اول معادل 10 هزار و مخرج معادل 1.06 داده می شود.
S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
نمونه هایی از مسائل مربوط به محاسبه مبالغ:
از پیشرفت هندسی در مسائل مختلف استفاده می شود. مثالی برای یافتن مجموع می توان به صورت زیر ارائه کرد:
الف 1 = 4, q= 2، محاسبه کنیدS 5.
راه حل: تمام داده های لازم برای محاسبه مشخص است، فقط باید آنها را در فرمول جایگزین کنید.
اس 5 = 124
- الف 2 = 6, الف 3 = 18. مجموع شش عنصر اول را محاسبه کنید.
راه حل:
در ژئوم. پیشرفت، هر عنصر بعدی q برابر بیشتر از قبلی است، یعنی برای محاسبه مجموع باید عنصر را بدانیدالف 1 و مخرجq.
الف 2 · q = الف 3
q = 3
به طور مشابه، شما باید پیدا کنیدالف 1 ، دانستنالف 2 وq.
الف 1 · q = الف 2
a 1 =2
اس 6 = 728.
پیشروی هندسی همراه با پیشروی حسابی از سری اعداد مهمی است که در درس جبر مدرسه در پایه نهم مطالعه می شود. در این مقاله به مخرج یک پیشروی هندسی و چگونگی تأثیر ارزش آن بر خواص آن خواهیم پرداخت.
تعریف پیشرفت هندسی
ابتدا اجازه دهید تعریف این سری اعداد را ارائه دهیم. پیشروی هندسی مجموعه ای از اعداد گویا است که از ضرب متوالی اولین عنصر آن در عددی ثابت به نام مخرج تشکیل می شود.
برای مثال اعداد سری 3، 6، 12، 24، ... یک تصاعد هندسی هستند، زیرا اگر 3 (اول عنصر) را در 2 ضرب کنید، 6 می شود. اگر 6 را در 2 ضرب کنید، به دست می آید. 12 و غیره.
اعضای دنباله مورد بررسی معمولا با نماد ai نشان داده می شوند، جایی که i یک عدد صحیح است که نشان دهنده تعداد عنصر در سری است.
تعریف فوق از پیشرفت را می توان به زبان ریاضی به صورت زیر نوشت: an = bn-1 * a1، که در آن b مخرج است. بررسی این فرمول آسان است: اگر n = 1، سپس b1-1 = 1، و ما a1 = a1 را دریافت می کنیم. اگر n = 2 باشد، an = b * a1، و دوباره به تعریف سری اعداد مورد نظر می رسیم. استدلال مشابه را می توان برای مقادیر بزرگ n ادامه داد.
مخرج پیشرفت هندسی
عدد b به طور کامل مشخص می کند که کل سری اعداد چه کاراکتری خواهد داشت. مخرج b می تواند مثبت، منفی یا بزرگتر یا کمتر از یک باشد. همه گزینه های بالا به دنباله های مختلفی منجر می شوند:
- b > 1. یک سری اعداد گویا در حال افزایش است. به عنوان مثال، 1، 2، 4، 8، ... اگر عنصر a1 منفی باشد، کل دنباله فقط در مقدار مطلق افزایش می یابد، اما بسته به علامت اعداد کاهش می یابد.
- b = 1. غالباً به این حالت پیشرفت نمی گویند، زیرا یک سری معمولی از اعداد گویا یکسان وجود دارد. به عنوان مثال، -4، -4، -4.
فرمول برای مقدار
قبل از حرکت به بررسی وظایف خاصبا استفاده از مخرج نوع پیشروی مورد نظر، فرمول مهمی باید برای مجموع n عنصر اول آن ارائه شود. فرمول به نظر می رسد: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
اگر دنباله بازگشتی عبارات پیشرفت را در نظر بگیرید، می توانید این عبارت را خودتان بدست آورید. همچنین توجه داشته باشید که در فرمول بالا فقط کافی است عنصر اول و مخرج را بدانید تا مجموع تعداد دلخواه عبارت را بیابید.
توالی بی نهایت در حال کاهش
در بالا توضیح داده شد که چیست. حالا با دانستن فرمول Sn، بیایید آن را روی این سری اعداد اعمال کنیم. از آنجایی که هر عددی که مدول آن از 1 تجاوز نمی کند، وقتی به توان های بزرگ افزایش می یابد، به صفر میل می کند، یعنی b∞ => 0 اگر -1 باشد.
از آنجایی که تفاوت (1 - b) بدون توجه به مقدار مخرج همیشه مثبت خواهد بود، علامت مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش S∞ به‌طور منحصربه‌فردی با علامت اولین عنصر آن a1 تعیین می‌شود.
اکنون بیایید به چندین مشکل نگاه کنیم که در آن نحوه اعمال دانش به دست آمده را برای اعداد خاص نشان خواهیم داد.
کار شماره 1. محاسبه عناصر مجهول پیشرفت و جمع
با توجه به یک تصاعد هندسی، مخرج پیشروی 2 و عنصر اول آن 3 است. جمله های هفتم و دهم آن برابر با چه چیزی خواهد بود و مجموع هفت عنصر اولیه آن چقدر است؟
شرایط مشکل بسیار ساده است و شامل استفاده مستقیم از فرمول های فوق می شود. بنابراین، برای محاسبه عنصر شماره n از عبارت an = bn-1 * a1 استفاده می کنیم. برای عنصر هفتم داریم: a7 = b6 * a1، با جایگزینی داده های شناخته شده، به دست می آوریم: a7 = 26 * 3 = 192. ما همین کار را برای ترم دهم انجام می دهیم: a10 = 29 * 3 = 1536.
بیایید از فرمول معروف برای جمع استفاده کنیم و این مقدار را برای 7 عنصر اول سری تعیین کنیم. ما داریم: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
مسئله شماره 2. تعیین مجموع عناصر دلخواه یک پیشروی
فرض کنید -2 برابر با مخرج پیشرفت هندسی bn-1 * 4 باشد که n یک عدد صحیح است. باید مجموع عنصر 5 تا 10 این مجموعه را شامل شود.
مشکل مطرح شده را نمی توان مستقیماً با استفاده از فرمول های شناخته شده حل کرد. با استفاده از 2 روش مختلف قابل حل است. برای ارائه کامل موضوع، هر دو را ارائه می کنیم.
روش 1. ایده ساده است: شما باید دو مجموع مربوط به عبارت اول را محاسبه کنید و سپس دیگری را از یکی کم کنید. مقدار کوچکتر را محاسبه می کنیم: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. اکنون مجموع بزرگتر را محاسبه می کنیم: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. توجه داشته باشید که در آخرین عبارت فقط 4 عبارت جمع شده است، زیرا 5 در حال حاضر در مقداری است که باید با توجه به شرایط مسئله محاسبه شود. در نهایت تفاوت را می گیریم: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
روش 2. قبل از جایگزینی اعداد و شمارش، می توانید فرمولی برای جمع بین m و n جمله سری مورد نظر بدست آورید. ما دقیقاً مانند روش 1 عمل می کنیم، فقط ابتدا با نمایش نمادین مقدار کار می کنیم. داریم: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . می توانید اعداد شناخته شده را در عبارت حاصل جایگزین کنید و نتیجه نهایی را محاسبه کنید: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
مسئله شماره 3. مخرج چیست؟
فرض کنید a1 = 2، مخرج پیشروی هندسی را پیدا کنید، مشروط بر اینکه مجموع نامتناهی آن 3 باشد، و معلوم است که این یک سری اعداد کاهشی است.
بر اساس شرایط مسئله، حدس زدن از کدام فرمول برای حل آن دشوار نیست. البته، برای مجموع پیشرفت بی نهایت کاهش می یابد. داریم: S∞ = a1 / (1 - b). از جایی که مخرج را بیان می کنیم: b = 1 - a1 / S∞. باقی مانده است که مقادیر شناخته شده را جایگزین کنید و تعداد مورد نیاز را بدست آورید: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 یا -0.333(3). اگر به یاد داشته باشیم که برای این نوع دنباله مدول b نباید از 1 فراتر رود، می توانیم این نتیجه را به صورت کیفی بررسی کنیم. همانطور که مشاهده می شود، |-1 / 3|
کار شماره 4. بازیابی یک سری اعداد
اجازه دهید 2 عنصر از یک سری اعداد داده شود، به عنوان مثال، 5 برابر با 30 و 10 برابر با 60 است. لازم است کل سری را از این داده ها بازسازی کنیم، زیرا بدانیم که ویژگی های یک پیشرفت هندسی را برآورده می کند.
برای حل مشکل، ابتدا باید عبارت مربوط به هر عبارت شناخته شده را یادداشت کنید. داریم: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. حالا عبارت دوم را بر اولی تقسیم کنید، به دست می آید: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. از اینجا، مخرج را با گرفتن ریشه پنجم از نسبت عبارات شناخته شده از بیان مسئله، b = 1.148698 تعیین می کنیم. عدد حاصل را در یکی از عبارات عنصر شناخته شده جایگزین می کنیم، به دست می آوریم: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
بنابراین، مخرج پیشرفت bn و پیشرفت هندسی bn-1 * 17.2304966 = an را پیدا کردیم که در آن b = 1.148698.
از پیشرفت های هندسی در کجا استفاده می شود؟
اگر کاربرد عملی این سری اعداد وجود نداشت، مطالعه آن به یک علاقه صرفاً نظری کاهش می یافت. اما چنین برنامه ای وجود دارد.
در زیر 3 نمونه معروف را مشاهده می کنید:
- پارادوکس زنو، که در آن آشیل زیرک نمی تواند به لاک پشت کند برسد، با استفاده از مفهوم یک دنباله بی نهایت رو به کاهش از اعداد حل می شود.
- اگر روی هر مربع یک تخته شطرنج دانه های گندم قرار دهید به طوری که در مربع اول 1 دانه، در دوم - 2، در سوم - 3 و غیره قرار دهید، سپس برای پر کردن تمام مربع های تخته به شما نیاز دارید. 18446744073709551615 دانه!
- در بازی "برج هانوی"، برای جابجایی دیسک ها از یک میله به میله دیگر، باید 2n - 1 عملیات انجام داد، یعنی تعداد آنها به صورت تصاعدی با تعداد n دیسک استفاده شده افزایش می یابد.
ریاضیات چیستمردم طبیعت و خودشان را کنترل می کنند.
ریاضیدان شوروی، آکادمیک A.N. کولموگروف
پیشرفت هندسی
در کنار مسائل مربوط به پیشرفت های حسابی، مسائل مربوط به مفهوم پیشرفت هندسی نیز در کنکور ریاضی رایج است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید ویژگی های پیشروی های هندسی را بدانید و مهارت های خوبی در استفاده از آنها داشته باشید.
این مقاله به ارائه خصوصیات اساسی پیشروی هندسی اختصاص دارد. نمونه هایی از حل مسائل معمولی نیز در اینجا ارائه شده است., وام گرفته شده از تکالیف کنکور ریاضی.
اجازه دهید ابتدا ویژگی های اساسی پیشرفت هندسی را یادداشت کنیم و مهم ترین فرمول ها و عبارات را به خاطر بیاوریم., مرتبط با این مفهوم
تعریف.دنباله اعدادی را پیشروی هندسی می نامند اگر هر عددی که از عدد دوم شروع می شود برابر با عدد قبلی باشد که در همان عدد ضرب شود. عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می گویند.
برای پیشرفت هندسیفرمول ها معتبر هستند
, (1)
کجا . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک پیشروی هندسی نامیده می‌شود و فرمول (2) نشان‌دهنده ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی است: هر جمله از پیشرفت با میانگین هندسی عبارت‌های همسایه و .
توجه داشته باشید، که دقیقاً به دلیل همین ویژگی است که پیشرفت مورد بحث "هندسی" نامیده می شود.
فرمول های (1) و (2) فوق به صورت زیر تعمیم داده می شوند:
, (3)
برای محاسبه مقداراول اعضای یک پیشرفت هندسیفرمول اعمال می شود
اگر نشان دهیم، پس
کجا . از آنجایی که فرمول (6) تعمیم فرمول (5) است.
در صورتی که و پیشرفت هندسیبی نهایت در حال کاهش است برای محاسبه مقداراز تمام عبارات یک پیشرفت هندسی بی‌نهایت کاهشی، از فرمول استفاده می‌شود
. (7)
به عنوان مثال، با استفاده از فرمول (7) می توانیم نشان دهیم، چی
کجا . این برابری ها از فرمول (7) به دست می آیند که، (برابری اول) و، (برابری دوم).
قضیه.اگر، پس
اثبات اگر، پس
قضیه ثابت شده است.
بیایید به بررسی نمونه هایی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت هندسی" بپردازیم.
مثال 1.با توجه به:، و. پیدا کنید.
راه حل.اگر فرمول (5) را اعمال کنیم، پس
پاسخ: .
مثال 2.بگذار باشد. پیدا کنید.
راه حل.از آنجایی که و، از فرمول های (5)، (6) استفاده می کنیم و یک سیستم معادلات به دست می آوریم
اگر معادله دوم سیستم (9) بر معادله اول تقسیم شود، سپس یا . از این نتیجه می شود که . بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.
1. اگر، سپس از معادله اول سیستم (9) داریم.
2. اگر، پس.
مثال 3.اجازه دهید، و. پیدا کنید.
راه حل.از فرمول (2) نتیجه می شود که یا . از آن پس یا .
با توجه به شرایط. با این حال، بنابراین. از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم
اگر معادله دوم سیستم بر معادله اول تقسیم شود، یا .
از آنجایی که معادله یک ریشه مناسب منحصر به فرد دارد. در این حالت از معادله اول سیستم نتیجه می شود.
با در نظر گرفتن فرمول (7) بدست می آوریم.
پاسخ: .
مثال 4.داده شده: و . پیدا کنید.
راه حل.از آن زمان.
از آن پس یا
طبق فرمول (2) داریم . در این راستا از برابری (10) یا .
با این حال، به شرط، بنابراین.
مثال 5.معلوم است که. پیدا کنید.
راه حل. طبق قضیه دو برابری داریم
از آن پس یا . چون پس .
پاسخ: .
مثال 6.داده شده: و . پیدا کنید.
راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) بدست می آوریم
از آن زمان. از آن زمان و پس از آن .
مثال 7.بگذار باشد. پیدا کنید.
راه حل.با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم
بنابراین، داریم یا . معلوم است که و , بنابراین و .
پاسخ: .
مثال 8.مخرج یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را پیدا کنید اگر
و .
راه حل. از فرمول (7) به دست می آیدو . از اینجا و از شرایط مسئله یک سیستم معادلات به دست می آوریم
اگر معادله اول سیستم مربع باشد, و سپس معادله به دست آمده را بر معادله دوم تقسیم کنید، سپس دریافت می کنیم
یا .
پاسخ: .
مثال 9.تمام مقادیری را که دنباله , , یک پیشرفت هندسی است را بیابید.
راه حل.اجازه دهید، و. با توجه به فرمول (2) که ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی را تعریف می کند، می توانیم بنویسیم یا .
از اینجا معادله درجه دوم را بدست می آوریم, که ریشه آن استو .
بیایید بررسی کنیم: اگرو سپس و
اگر، پس، و .در مورد اول داریم
و , و در دوم – و .
پاسخ:،.مثال 10.
, (11)
معادله را حل کنید
کجا و .
از فرمول (7) به دست می آید، چی راه حل. سمت چپ معادله (11) مجموع یک پیشروی هندسی نزولی نامتناهی است که در آن و با توجه به: و .. در این رابطه معادله (11) شکل می گیرد یا . ریشه مناسب
پاسخ: .
معادله درجه دوم استمثال 11. پدنباله ای از اعداد مثبتیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهد ، A- پیشرفت هندسی
راه حل.، و اینجا. پیدا کنید. چوندنباله حسابی ، آن (مالکیت اصلیپیشرفت حسابی). از آنجایی که ، سپس یا . از این نتیجه می شود،که پیشروی هندسی فرم دارد. طبق فرمول (2)
، سپس آن را یادداشت می کنیم. از آن زمان و سپس. در این مورد، بیان شکل یا . با توجه به شرط،بنابراین از معادلهما یک راه حل منحصر به فرد برای مشکل مورد بررسی به دست می آوریم
پاسخ: .
، یعنی .مثال 12.
. (12)
راه حل. مجموع را محاسبه کنید
دو طرف مساوی (12) را در 5 ضرب کنید و بدست آوریددنباله حسابی
اگر (12) را از عبارت بدست آمده کم کنیم
یا .
پاسخ: .
برای محاسبه، مقادیر را با فرمول (7) جایگزین می کنیم و بدست می آوریم. از آن زمان., نمونه هایی از حل مسئله که در اینجا آورده شده است برای متقاضیان در هنگام آمادگی برای کنکور مفید خواهد بود. برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسئله, مربوط به پیشرفت هندسی می توان استفاده کردوسایل کمک آموزشی
از فهرست ادبیات توصیه شده
1. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. – م.: میر و آموزش، 1392. – 608 ص. 2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه درسی مدرسه. - M.: Lenand / URSS
، 2014. – 216 ص. 3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتدایی در مسائل و تمرینات. کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - م.: ویرایش
، 2015. – 208 ص.
هنوز سوالی دارید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند هر تعداد که دوست دارید وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین عدد، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:
دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک عدد منحصر به فرد اختصاص داد.
به عنوان مثال، برای دنباله ما:
شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.
عددی که دارای عدد است، nامین عضو دنباله نامیده می شود.
ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .
در مورد ما:
رایج ترین انواع پیشروی، حسابی و هندسی است. در این مبحث در مورد نوع دوم صحبت خواهیم کرد - پیشرفت هندسی.
چرا پیشرفت هندسی و تاریخچه آن مورد نیاز است؟
حتی در دوران باستان، راهب ریاضیدان ایتالیایی، لئوناردو پیزا (که بیشتر به فیبوناچی معروف است) به نیازهای عملی تجارت می پرداخت. راهب با این وظیفه روبرو شد که تعیین کند کوچکترین وزنی که می توان برای وزن کردن یک محصول استفاده کرد چقدر است؟ فیبوناچی در آثار خود ثابت می کند که چنین سیستمی از وزن ها بهینه است: این یکی از اولین موقعیت هایی است که در آن افراد باید با یک پیشرفت هندسی روبرو می شدند که احتمالاً قبلاً در مورد آن شنیده اید و حداقل آن را داشته اید. مفهوم کلی. پس از درک کامل موضوع، به این فکر کنید که چرا چنین سیستمی بهینه است؟
در حال حاضر، در عمل زندگی، پیشرفت هندسی هنگام سرمایه‌گذاری پول در بانک، زمانی که میزان بهره به مقدار انباشته شده در حساب دوره قبل تعلق می‌گیرد، خود را نشان می‌دهد. به عبارت دیگر، اگر پول را در یک سپرده مدت دار در یک بانک پس انداز قرار دهید، پس از یک سال سپرده به مقدار اصلی افزایش می یابد، یعنی. مبلغ جدید برابر است با سهم ضرب شده در. در یک سال دیگر، این مقدار افزایش می یابد، یعنی. مقدار بدست آمده در آن زمان دوباره ضرب خواهد شد و به همین ترتیب. وضعیت مشابهی در مشکلات محاسبه به اصطلاح توضیح داده شده است بهره مرکب- درصد هر بار از مبلغ موجود در حساب با احتساب سود قبلی اخذ می شود. کمی بعد در مورد این وظایف صحبت خواهیم کرد.
موارد ساده تری وجود دارد که در آن پیشرفت هندسی اعمال می شود. به عنوان مثال، شیوع آنفولانزا: یک نفر فرد دیگری را آلوده کرد، آنها نیز به نوبه خود فرد دیگری را آلوده کردند و بنابراین موج دوم عفونت یک فرد است و آنها نیز به نوبه خود دیگری را آلوده کردند ... و غیره. .
به هر حال، یک هرم مالی، همان MMM، یک محاسبه ساده و خشک بر اساس ویژگی های یک پیشرفت هندسی است. جالبه؟ بیایید آن را بفهمیم.
پیشرفت هندسی
فرض کنید یک دنباله اعداد داریم:
بلافاصله پاسخ می دهید که این کار آسانی است و نام چنین سکانسی با تفاوت اعضای آن است. این چطوره:
اگر عدد قبلی را از عدد بعدی کم کنید، خواهید دید که هر بار تفاوت جدیدی دریافت می کنید (و غیره)، اما دنباله قطعا وجود دارد و به راحتی قابل توجه است - هر عدد بعدی چند برابر بزرگتر از عدد قبلی است!
این نوع دنباله اعداد نامیده می شود پیشرفت هندسیو تعیین شده است.
پیشروی هندسی () دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.
محدودیت هایی که عبارت اول ( ) برابر نیست و تصادفی نیستند. بیایید فرض کنیم که آنها آنجا نیستند، و جمله اول هنوز برابر است، و q برابر است با، هوم.. بگذارید باشد، سپس معلوم می شود:
موافق باشید که این دیگر یک پیشرفت نیست.
همانطور که متوجه شدید، اگر عددی غیر از صفر، a وجود داشته باشد، همان نتایج را خواهیم گرفت. در این موارد، به سادگی هیچ پیشرفتی وجود نخواهد داشت، زیرا کل سری اعداد یا همه صفر خواهند بود یا یک عدد، و بقیه صفر هستند.
حالا بیایید در مورد مخرج پیشروی هندسی، یعنی o با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.
بیایید تکرار کنیم: - این شماره است هر ترم بعدی چند بار تغییر می کند؟پیشرفت هندسی
به نظر شما چه چیزی می تواند باشد؟ درست است، مثبت و منفی، اما صفر نیست (در این مورد کمی بالاتر صحبت کردیم).
بیایید فرض کنیم که ما مثبت است. اجازه دهید در مورد ما، a. ارزش ترم دوم چیست و؟ شما به راحتی می توانید پاسخ دهید که:
درست است. بر این اساس، اگر، پس همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت هستند.
اگه منفی باشه چی؟ به عنوان مثال، الف. ارزش ترم دوم چیست و؟
این یک داستان کاملا متفاوت است
سعی کنید شرایط این پیشرفت را بشمارید. چقدر گرفتی؟ من دارم. بنابراین، اگر، پس علائم شرایط پیشروی هندسی متناوب است. یعنی اگر پیشروی با علائم متناوب برای اعضای آن مشاهده کردید، مخرج آن منفی است. این دانش می تواند به شما کمک کند هنگام حل مسائل مربوط به این موضوع خود را آزمایش کنید.
حالا بیایید کمی تمرین کنیم: سعی کنید تعیین کنید کدام دنباله اعداد یک تصاعد هندسی و کدام یک پیشرفت حسابی هستند:
متوجه شدید؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
- پیشرفت هندسی - 3، 6.
- پیشرفت حسابی - 2، 4.
- این نه یک پیشرفت حسابی است و نه یک پیشرفت هندسی - 1، 5، 7.
بیایید به آخرین پیشرفت خود برگردیم و سعی کنیم عضو آن را پیدا کنیم، دقیقاً مانند حسابی. همانطور که ممکن است حدس زده باشید، دو راه برای پیدا کردن آن وجود دارد.
هر جمله را به صورت متوالی ضرب می کنیم.
بنابراین، امین ترم پیشرفت هندسی توصیف شده برابر است با.
همانطور که قبلاً حدس زدید، اکنون شما خودتان فرمولی را استخراج خواهید کرد که به شما کمک می کند هر عضوی از پیشرفت هندسی را پیدا کنید. یا قبلاً آن را برای خود توسعه داده اید و نحوه یافتن عضو گام به گام را شرح داده اید؟ اگر چنین است، صحت استدلال خود را بررسی کنید.
اجازه دهید این را با مثال یافتن ترم این پیشرفت نشان دهیم:
به عبارت دیگر:
مقدار ترم پیشروی هندسی داده شده را خودتان بیابید.
کار کرد؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی در هر جمله قبلی پیشرفت هندسی ضرب کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصی" کنیم - بیایید آن را به شکل کلی قرار دهیم و دریافت کنیم:
فرمول مشتق شده برای همه مقادیر - هم مثبت و هم منفی صادق است. این را خودتان با محاسبه شرایط پیشرفت هندسی با شرایط زیر بررسی کنید: , a.
حساب کردی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:
موافق باشید که می توان یک ترم یک پیشرفت را به همان روش یک ترم پیدا کرد، اما امکان محاسبه نادرست وجود دارد. و اگر ما قبلاً عبارت ترم هندسی را پیدا کرده باشیم، چه چیزی می تواند ساده تر از استفاده از بخش "قطع" فرمول باشد.
پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است.
اخیراً ، ما در مورد این واقعیت صحبت کردیم که می تواند بزرگتر یا کمتر از صفر باشد ، با این حال ، مقادیر خاصی وجود دارد که پیشرفت هندسی برای آنها نامیده می شود. بی نهایت در حال کاهش.
فکر می کنید چرا این نام را گذاشته اند؟
ابتدا، اجازه دهید مقداری پیشرفت هندسی متشکل از اصطلاحات را بنویسیم.
پس بیایید بگوییم:
می بینیم که هر عبارت بعدی یک ضریب از جمله قبلی کمتر است، اما آیا عددی وجود خواهد داشت؟ شما بلافاصله پاسخ خواهید داد - "نه". به همین دلیل است که بی نهایت در حال کاهش است - کاهش می یابد و کاهش می یابد، اما هرگز صفر نمی شود.
برای درک واضح اینکه چگونه از نظر بصری به نظر می رسد، بیایید سعی کنیم نموداری از پیشرفت خود را ترسیم کنیم. بنابراین، برای مورد ما، فرمول به شکل زیر است:
در نمودارها ما عادت داریم که وابستگی را ترسیم کنیم، بنابراین:
ماهیت عبارت تغییر نکرده است: در مدخل اول وابستگی مقدار عضوی از یک پیشروی هندسی را به عدد ترتیبی آن نشان دادیم و در ورودی دوم به سادگی مقدار عضوی از یک پیشرفت هندسی را به عنوان در نظر گرفتیم. ، و شماره ترتیبی را نه به عنوان، بلکه به عنوان تعیین کرد. تنها کاری که باید انجام شود ساخت یک نمودار است.
ببینیم چی گرفتی این نموداری است که من به آن رسیدم:
می بینی؟ تابع کاهش می یابد، به سمت صفر میل می کند، اما هرگز از آن عبور نمی کند، بنابراین بی نهایت در حال کاهش است. بیایید نقاط خود را روی نمودار مشخص کنیم، و در همان زمان مختصات و معنی آن چیست:
سعی کنید نمودار یک پیشروی هندسی را به صورت شماتیک به تصویر بکشید اگر جمله اول آن نیز برابر باشد. تجزیه و تحلیل کنید که چه تفاوتی با نمودار قبلی ما دارد؟
موفق شدی؟ این نموداری است که من به آن رسیدم:
اکنون که اصول مبحث پیشرفت هندسی را کاملاً درک کرده اید: می دانید که چیست، می دانید چگونه اصطلاح آن را پیدا کنید، و همچنین می دانید که پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی چیست، بیایید به ویژگی اصلی آن برویم.
خاصیت پیشرفت هندسی.
آیا خاصیت اصطلاحات یک تصاعد حسابی را به خاطر دارید؟ بله، بله، چگونه می توان مقدار تعداد معینی از یک پیشرفت را در زمانی که مقادیر قبلی و بعدی شرایط این پیشرفت وجود دارد، پیدا کرد. یادت هست؟ اینجاست:
اکنون دقیقاً با همان سؤال برای شرایط یک تصاعد هندسی روبرو هستیم. برای استخراج چنین فرمولی، بیایید طراحی و استدلال را شروع کنیم. خواهید دید، بسیار آسان است، و اگر فراموش کردید، می توانید خودتان آن را بیرون بیاورید.
بیایید یک پیشرفت هندسی ساده دیگر را در نظر بگیریم، که در آن می دانیم و. چگونه پیدا کنیم؟ با پیشرفت حسابی آسان و ساده است، اما در اینجا چطور؟ در واقع، در هندسی نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - فقط باید هر مقداری را که به ما داده شده مطابق فرمول یادداشت کنید.
ممکن است بپرسید اکنون در مورد آن چه کنیم؟ بله خیلی ساده ابتدا بیایید این فرمول ها را در یک تصویر به تصویر بکشیم و سعی کنیم دستکاری های مختلفی با آنها انجام دهیم تا به یک مقدار برسیم.
بیایید از اعدادی که به ما داده می شود انتزاع کنیم، بیایید فقط بر بیان آنها از طریق فرمول تمرکز کنیم. ما باید مقدار برجسته شده با رنگ نارنجی را با دانستن عبارات مجاور آن پیدا کنیم. بیایید سعی کنیم اقدامات مختلفی را با آنها انجام دهیم که در نتیجه می توانیم به دست آوریم.
اضافه
بیایید سعی کنیم دو عبارت اضافه کنیم و دریافت می کنیم:
از این عبارت، همانطور که می بینید، ما به هیچ وجه نمی توانیم آن را بیان کنیم، بنابراین، گزینه دیگری - تفریق را امتحان خواهیم کرد.
تفریق.
همانطور که می بینید، ما نمی توانیم این را نیز بیان کنیم، بنابراین، بیایید سعی کنیم این عبارات را در یکدیگر ضرب کنیم.
ضرب.
اکنون با ضرب عبارات پیشرفت هندسی که به ما داده شده در مقایسه با آنچه که باید پیدا شود، به دقت به آنچه داریم نگاه کنید:
حدس بزنید در مورد چه چیزی صحبت می کنم؟ به درستی، برای پیدا کردن باید جذر اعداد پیشروی هندسی مجاور اعداد مورد نظر را ضرب در یکدیگر بگیریم:
در اینجا شما بروید. شما خودتان خاصیت پیشرفت هندسی را به دست آوردید. سعی کنید این فرمول را در آن بنویسید نمای کلی. کار کرد؟
شرط را فراموش کرده اید؟ به این فکر کنید که چرا مهم است، برای مثال سعی کنید خودتان آن را محاسبه کنید. در این صورت چه اتفاقی خواهد افتاد؟ درست است، کاملا مزخرف است زیرا فرمول شبیه به این است:
بر این اساس، این محدودیت را فراموش نکنید.
حالا بیایید محاسبه کنیم که برابر است
پاسخ صحیح این است! اگر در حین محاسبه دومین مقدار ممکن را فراموش نکردید، پس عالی هستید و می توانید بلافاصله به تمرین بروید، و اگر فراموش کردید، آنچه در زیر بحث شده است را بخوانید و توجه کنید که چرا هر دو ریشه باید در آن نوشته شوند. پاسخ
بیایید هر دو پیشرفت هندسی خود را ترسیم کنیم - یکی با مقدار و دیگری با مقدار و بررسی کنیم که آیا هر دوی آنها حق وجود دارند یا خیر:
برای بررسی اینکه آیا چنین تصاعدی هندسی وجود دارد یا خیر، باید دید که آیا تمام اصطلاحات داده شده آن یکسان هستند؟ q را برای حالت اول و دوم محاسبه کنید.
ببینید چرا باید دو جواب بنویسیم؟ چون علامت اصطلاح مورد نظر شما به مثبت یا منفی بودن آن بستگی دارد! و از آنجایی که نمی دانیم چیست، باید هر دو پاسخ را با یک مثبت و یک منفی بنویسیم.
حالا که به نکات اصلی تسلط پیدا کردید و فرمول خاصیت پیشروی هندسی را استخراج کردید، پیدا کنید، دانستن و
پاسخ های خود را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید:
چه فکر می‌کنید، چه می‌شود اگر مقادیر شرایط پیشروی هندسی مجاور عدد مورد نظر، بلکه با فاصله مساوی از آن به ما داده شود. به عنوان مثال، ما نیاز به پیدا کردن، و داده و. آیا می توانیم در این مورد از فرمولی که به دست آورده ایم استفاده کنیم؟ سعی کنید این احتمال را به همان روش تأیید یا رد کنید، و توضیح دهید که هر مقدار از چه چیزی تشکیل شده است، همانطور که در ابتدا فرمول را استخراج کردید.
چه چیزی به دست آوردی؟
حالا دوباره با دقت نگاه کنید.
و بر این اساس:
از اینجا می توان نتیجه گرفت که فرمول کار می کند نه تنها با همسایه هابا شرایط مورد نظر از پیشرفت هندسی، بلکه با مساوی فاصلهاز چیزی که اعضا به دنبال آن هستند.
بنابراین، فرمول اولیه ما به شکل زیر است:
یعنی اگر در مورد اول گفتیم حالا می گوییم می تواند برابر هر کدام باشد عدد طبیعی، که کوچکتر است. نکته اصلی این است که برای هر دو عدد داده شده یکسان است.
با مثال های خاص تمرین کنید، فقط بسیار مراقب باشید!
- ، . پیدا کنید.
- ، . پیدا کنید.
- ، . پیدا کنید.
تصمیم گرفتی؟ امیدوارم خیلی دقت کرده باشید و متوجه یک شکار کوچک شده باشید.
بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم.
در دو حالت اول با آرامش فرمول فوق را اعمال می کنیم و مقادیر زیر را بدست می آوریم:
در مورد سوم، با بررسی دقیق شماره سریال شماره هایی که به ما داده شده است، متوجه می شویم که آنها با شماره مورد نظر ما فاصله ندارند: شماره قبلی است، اما در یک موقعیت حذف شده است، بنابراین امکان اعمال فرمول وجود ندارد
چگونه آن را حل کنیم؟ در واقع آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست! بیایید بنویسیم که هر عددی که به ما داده شده و عددی که به دنبال آن هستیم شامل چه مواردی است.
پس داریم و. بیایید ببینیم با آنها چه کاری می توانیم انجام دهیم؟ پیشنهاد میکنم تقسیم بر دریافت می کنیم:
ما داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:
مرحله بعدی که می توانیم پیدا کنیم این است - برای این کار باید ریشه مکعب عدد حاصل را بگیریم.
حالا بیایید دوباره به آنچه داریم نگاه کنیم. ما آن را داریم، اما باید آن را پیدا کنیم، و به نوبه خود برابر است با:
ما تمام داده های لازم برای محاسبه را پیدا کردیم. در فرمول جایگزین کنید:
پاسخ ما: .
سعی کنید مشکل مشابه دیگری را خودتان حل کنید:
داده شده:،
پیدا کردن:
چقدر گرفتی؟ من دارم - .
همانطور که می بینید، اساسا شما نیاز دارید فقط یک فرمول را به خاطر بسپار- . شما می توانید همه بقیه را خودتان بدون هیچ مشکلی در هر زمان برداشت کنید. برای این کار کافی است ساده ترین پیشروی هندسی را روی یک تکه کاغذ بنویسید و طبق فرمولی که در بالا توضیح داده شد، هر یک از اعداد آن را بنویسید.
مجموع عبارات یک تصاعد هندسی.
حالا بیایید به فرمول هایی نگاه کنیم که به ما امکان می دهد به سرعت مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی را در یک بازه معین محاسبه کنیم:
برای بدست آوردن فرمول مجموع ترم های یک پیشروی هندسی محدود، تمام قسمت های معادله فوق را در ضرب کنید. دریافت می کنیم:
با دقت نگاه کنید: دو فرمول آخر چه مشترکاتی دارند؟ درست است، مثلاً اعضای مشترک و غیره به جز عضو اول و آخر. بیایید سعی کنیم 1 را از معادله 2 کم کنیم. چه چیزی به دست آوردی؟
حال عبارت پیشرفت هندسی را از طریق فرمول بیان کنید و عبارت حاصل را با آخرین فرمول خود جایگزین کنید:
عبارت را گروه بندی کنید. شما باید دریافت کنید:
تنها کاری که باید انجام شود این است که بیان کنیم:
بر این اساس، در این مورد.
اگر چه؟ آن وقت چه فرمولی کار می کند؟ یک پیشروی هندسی در را تصور کنید. او چگونه است؟ یک سری اعداد یکسان صحیح است، بنابراین فرمول به صورت زیر خواهد بود:
افسانه های زیادی در مورد پیشرفت حسابی و هندسی وجود دارد. یکی از آنها افسانه ست، خالق شطرنج است.
بسیاری از مردم می دانند که بازی شطرنج در هند اختراع شده است. هنگامی که پادشاه هندو او را ملاقات کرد، از شوخ طبعی او و موقعیت های مختلف ممکن در او خوشحال شد. پادشاه که متوجه شد توسط یکی از رعایای خود اختراع شده است، تصمیم گرفت شخصاً به او پاداش دهد. او مخترع را به نزد خود احضار کرد و به او دستور داد هر آنچه را که می خواهد از او بخواهد و قول داد حتی ماهرانه ترین آرزو را برآورده کند.
ستا برای فکر کردن وقت خواست و وقتی روز بعد ستا در برابر شاه حاضر شد، شاه را با تواضع بی سابقه درخواست خود شگفت زده کرد. او خواست که برای مربع اول صفحه شطرنج یک دانه گندم، برای مربع دوم یک دانه گندم، برای سومین، چهارمین و غیره یک دانه گندم بدهد.
پادشاه عصبانی شد و شیث را بیرون کرد و گفت که درخواست خادم شایسته سخاوت پادشاه نیست، اما قول داد که خادم دانه های خود را برای تمام مربع های تخته دریافت کند.
و حالا سوال: با استفاده از فرمول مجموع شرایط یک تصاعد هندسی، محاسبه کنید که ست چند دانه باید دریافت کند؟
بیایید استدلال را شروع کنیم. از آنجایی که ست طبق شرط، برای مربع اول صفحه شطرنج، برای مربع دوم، سوم، چهارم و غیره یک دانه گندم درخواست کرد، پس می بینیم که مشکل در مورد یک پیشرفت هندسی است. در این مورد چه چیزی برابر است؟
درسته
مجموع مربع های صفحه شطرنج. به ترتیب، . ما تمام داده ها را داریم، تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را به فرمول وصل کنیم و محاسبه کنیم.
برای تصور حداقل "مقیاس" یک عدد معین، با استفاده از ویژگی های درجه تبدیل می کنیم:
البته، اگر بخواهید، می توانید یک ماشین حساب بگیرید و محاسبه کنید که در نهایت چه عددی به دست می آورید، و اگر نه، باید حرف من را قبول کنید: مقدار نهایی عبارت خواهد بود.
یعنی:
کوئینتیلیون کوادریلیون تریلیون میلیارد میلیون هزار.
فیو) اگر می‌خواهید عظمت این عدد را تصور کنید، تخمین بزنید که یک انبار برای گنجاندن کل غلات چقدر بزرگ است.
اگر انبار متر ارتفاع و متر عرض داشته باشد، طول آن باید کیلومتر طول بکشد، یعنی. دو برابر فاصله زمین تا خورشید
اگر پادشاه در ریاضیات قوی بود، می توانست خود دانشمند را برای شمردن دانه ها دعوت کند، زیرا برای شمردن یک میلیون دانه، حداقل به یک روز شمارش خستگی ناپذیر نیاز داشت و با توجه به اینکه شمردن کوئینتیلیون ها ضروری است، غلات باید در طول زندگی او شمرد.
حالا بیایید یک مسئله ساده را حل کنیم که شامل مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی است.
دانش آموز کلاس 5A واسیا با آنفولانزا بیمار شد ، اما همچنان به مدرسه می رود. هر روز واسیا دو نفر را آلوده می کند که به نوبه خود دو نفر دیگر و غیره را آلوده می کنند. فقط افراد در کلاس هستند. چند روز دیگر کل کلاس به آنفولانزا مبتلا می شوند؟
بنابراین، اولین اصطلاح پیشرفت هندسی واسیا است، یعنی یک شخص. ترم هفتم پیشرفت هندسی، دو نفری است که در روز اول ورودش به آن مبتلا شد. مجموع ترم های پیشرفت برابر با تعداد دانش آموزان 5A است. بر این اساس، ما در مورد پیشرفتی صحبت می کنیم که در آن:
بیایید داده های خود را با فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی جایگزین کنیم:
کل کلاس در عرض چند روز بیمار می شوند. فرمول ها و اعداد را باور نمی کنید؟ سعی کنید "عفونت" دانش آموزان را خودتان به تصویر بکشید. کار کرد؟ ببین برای من چطور به نظر می رسد:
خودتان محاسبه کنید اگر هر کدام یک نفر را مبتلا کنند و فقط یک نفر در کلاس باشد چند روز طول می کشد تا دانش آموزان به آنفولانزا مبتلا شوند.
چه ارزشی گرفتی؟ معلوم شد که همه بعد از یک روز مریض شدند.
همانطور که می بینید، چنین کار و ترسیمی برای آن شبیه یک هرم است که در آن هر مورد بعدی افراد جدیدی را "به ارمغان می آورد". با این حال، دیر یا زود لحظه ای فرا می رسد که دومی نمی تواند کسی را جذب کند. در مورد ما، اگر تصور کنیم که کلاس ایزوله است، فرد از زنجیره () را می بندد. بنابراین، اگر فردی درگیر یک هرم مالی بود که در صورت آوردن دو شرکت کننده دیگر در آن پول داده می شد، آن شخص (یا به طور کلی) کسی را نمی آورد، بر این اساس، همه چیزهایی را که در این کلاهبرداری مالی سرمایه گذاری کرده است، از دست می دهد.
همه آنچه در بالا گفته شد به یک پیشرفت هندسی کاهش یا افزایش اشاره دارد، اما، همانطور که به یاد دارید، ما یک نوع خاص داریم - یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی. چگونه می توان مجموع اعضای آن را محاسبه کرد؟ و چرا این نوع پیشرفت ویژگی های خاصی دارد؟ بیا با هم بفهمیمش
بنابراین، ابتدا اجازه دهید دوباره به این ترسیم یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت از مثال خود نگاه کنیم:
حالا بیایید به فرمول حاصل از مجموع یک پیشرفت هندسی که کمی قبل از آن مشتق شده است نگاه کنیم:
یا
ما برای چه تلاش می کنیم؟ درست است، نمودار نشان می دهد که تمایل به صفر دارد. یعنی در، تقریباً برابر خواهد بود، به ترتیب، هنگام محاسبه عبارت تقریباً به دست خواهیم آورد. در این رابطه، ما معتقدیم که هنگام محاسبه مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت کاهشی، می‌توان از این براکت صرف نظر کرد، زیرا برابر خواهد بود.
- فرمول مجموع عبارات یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است.
مهم!ما از فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش فقط در صورتی استفاده می کنیم که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع را پیدا کنیم. بی نهایتتعداد اعضا
اگر عدد خاصی n مشخص شده باشد، از فرمول جمع n جمله استفاده می کنیم، حتی اگر یا.
حالا بیایید تمرین کنیم.
- مجموع اولین جمله های پیشروی هندسی را با و بیابید.
- مجموع عبارت های یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را با و بیابید.
امیدوارم بی نهایت دقت کرده باشید بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
اکنون شما همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید و زمان آن رسیده که از تئوری به عمل بروید. رایج ترین مشکلات پیشرفت هندسی که در امتحان با آن مواجه می شوند، مشکلات محاسبه بهره مرکب است. اینها مواردی هستند که در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.
مشکلات در محاسبه بهره مرکب
احتمالاً نام فرمول بهره مرکب را شنیده اید. میفهمی یعنی چی؟ اگر نه، بیایید آن را بفهمیم، زیرا هنگامی که خود فرآیند را درک کردید، بلافاصله متوجه خواهید شد که پیشرفت هندسی با آن چه ارتباطی دارد.
همه ما به بانک می رویم و می دانیم که شرایط مختلفی برای سپرده گذاری وجود دارد: این شامل مدت زمان، خدمات اضافی و سود با دو نفر است. به طرق مختلفمحاسبات آن - ساده و پیچیده است.
با علاقه سادههمه چیز کم و بیش روشن است: سود یک بار در پایان مدت سپرده تعلق می گیرد. یعنی اگر بگوییم 100 روبل برای یک سال واریز می کنیم، فقط در پایان سال اعتبار داده می شود. بر این اساس، تا پایان سپرده ما روبل دریافت خواهیم کرد.
بهره مرکب- این گزینه ای است که در آن رخ می دهد سرمایه بهره، یعنی اضافه شدن آنها به مبلغ سپرده و محاسبه بعدی درآمد نه از مبلغ اولیه، بلکه از مبلغ سپرده انباشته. حروف بزرگ به طور مداوم اتفاق نمی افتد، اما با مقداری فراوانی. به عنوان یک قاعده، چنین دوره هایی برابر هستند و اغلب بانک ها از یک ماه، سه ماهه یا سال استفاده می کنند.
بیایید فرض کنیم که سالانه همان روبل را واریز می کنیم، اما با سرمایه گذاری ماهانه سپرده. ما چه کار می کنیم؟
اینجا همه چی رو میفهمی؟ اگر نه، بیایید مرحله به مرحله آن را بفهمیم.
روبل به بانک آوردیم. تا پایان ماه، باید مبلغی را در حساب خود داشته باشیم که شامل روبل های خود به اضافه سود آن است، یعنی:
موافقید؟
می توانیم آن را از پرانتز خارج کنیم و سپس به دست می آوریم:
موافقم، این فرمول در حال حاضر بیشتر شبیه آنچه در ابتدا نوشتیم است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که درصدها را مشخص کنید
در بیانیه مشکل به ما در مورد نرخ های سالانه گفته شده است. همانطور که می دانید، ما در ضرب نمی کنیم - درصدها را به کسری اعشاری تبدیل می کنیم، یعنی:
درسته؟ حالا ممکن است بپرسید این شماره از کجا آمده است؟ خیلی ساده!
تکرار می کنم: بیانیه مشکل در مورد می گوید سالانهبهره ای که تعلق می گیرد ماهانه. همانطور که می دانید، در یک سال از ماه ها، بر این اساس، بانک بخشی از سود سالانه را در هر ماه از ما دریافت می کند:
متوجه شدی؟ حالا سعی کنید بنویسید که اگر بگویم سود روزانه محاسبه می شود این قسمت از فرمول چگونه خواهد بود.
موفق شدی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:
آفرین! بیایید به وظیفه خود بازگردیم: بنویسید که در ماه دوم چقدر به حساب ما واریز می شود، با توجه به اینکه سود به مبلغ سپرده انباشته تعلق می گیرد.
این چیزی است که من دریافت کردم:
یا به عبارت دیگر:
من فکر می کنم که شما قبلاً متوجه یک الگو شده اید و یک پیشرفت هندسی را در همه این موارد مشاهده کرده اید. بنویسید که عضو آن با چه مبلغی برابری می کند یا به عبارت دیگر در پایان ماه چقدر پول دریافت می کنیم.
انجام داد؟ بیایید بررسی کنیم!
همانطور که می بینید، اگر یک سال پول را با سود ساده در بانک بگذارید، روبل و اگر با نرخ بهره مرکب، روبل دریافت کنید. سود ناچیز است، اما این فقط در طول سال اتفاق می افتد، اما برای مدت طولانی تر، سرمایه گذاری بسیار سودآورتر است:
بیایید نوع دیگری از مشکل را در نظر بگیریم: بهره مرکب. بعد از چیزی که فهمیدید، برای شما ابتدایی خواهد بود. بنابراین، وظیفه:
شرکت Zvezda سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2000 با سرمایه به دلار آغاز کرد. از سال 1380 هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل دریافت کرده است. اگر سود از گردش خارج نشود، شرکت Zvezda در پایان سال 2003 چقدر سود خواهد داشت؟
سرمایه شرکت Zvezda در سال 2000.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2001.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2002.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2003.
یا می توانیم به طور خلاصه بنویسیم:
برای مورد ما:
2000، 2001، 2002 و 2003.
به ترتیب:
روبل
لطفاً توجه داشته باشید که در این مشکل ما تقسیم بر یا بر نداریم، زیرا درصد سالانه داده می شود و سالانه محاسبه می شود. یعنی هنگام خواندن یک مسئله بر روی سود مرکب دقت کنید که چند درصد داده شده و در چه دوره ای محاسبه شده است و فقط پس از آن به محاسبات بروید.
اکنون همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید.
آموزش.
- اگر معلوم باشد که و. عبارت پیشرفت هندسی را بیابید
- اگر معلوم باشد که، و
- شرکت ام دی ام کپیتال سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2003 با سرمایه به دلار آغاز کرد. از سال 1383 تاکنون هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل دریافت کرده است. شرکت MSK Cash Flow در سال 2005 سرمایه گذاری در این صنعت را به مبلغ 10000 دلار آغاز کرد و در سال 2006 شروع به کسب سود به مبلغ 100 دلار کرد. اگر سود از گردش خارج نمی شد، در پایان سال 2007، سرمایه یک شرکت چند دلار بیشتر از دیگری است؟
پاسخ ها:
- از آنجایی که بیان مسئله نمی گوید که پیشرفت بی نهایت است و باید مجموع تعداد خاصی از عبارت های آن را پیدا کرد، محاسبه طبق فرمول انجام می شود:
شرکت سرمایه MDM:2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
- 100٪ افزایش می یابد، یعنی 2 برابر.
به ترتیب:
روبل
شرکت MSK Cash Flows:2005، 2006، 2007.
- افزایش می یابد، یعنی بارها.
به ترتیب:
روبل
روبل
بیایید خلاصه کنیم.
1) پیشروی هندسی ( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر با عدد قبلی ضرب در همان عدد است. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.
2) معادله شرایط پیشروی هندسی است.
3) می تواند هر مقداری را بگیرد به جز و.
- اگر، پس همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت هستند;
- اگر، سپس تمام شرایط بعدی پیشرفت علائم جایگزین؛
- وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.
4) با - خاصیت پیشرفت هندسی (اصطلاحات مجاور)
یا
، در (شرایط مساوی)
وقتی آن را پیدا کردید، آن را فراموش نکنید باید دو پاسخ وجود داشته باشد.
به عنوان مثال،
5) مجموع شرایط پیشرفت هندسی با فرمول محاسبه می شود:
یا
یا
مهم!ما از فرمول برای مجموع عبارت‌های یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش استفاده می‌کنیم، تنها در صورتی که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع تعداد نامتناهی از عبارت‌ها را پیدا کنیم.
6) مشکلات سود مرکب نیز با استفاده از فرمول ترم ترم یک تصاعد هندسی محاسبه می شود، مشروط بر اینکه وجوه از گردش خارج نشده باشد:
پیشرفت هندسی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی
پیشرفت هندسی( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این شماره نامیده می شود مخرج یک پیشرفت هندسی
مخرج پیشرفت هندسیمی تواند هر ارزشی به جز و.
- اگر همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی داشته باشند - آنها مثبت هستند.
- اگر، پس همه اعضای بعدی پیشرفت نشانه های متناوب را دارند.
- وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.
معادله شرایط پیشرفت هندسی - .
مجموع شرایط یک تصاعد هندسیبا فرمول محاسبه می شود:
یا
اگر پیشرفت بی نهایت در حال کاهش باشد، پس:
خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.
زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!
حالا مهمترین چیز.
شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.
مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...
برای چی؟
برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.
من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...
افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.
اما این موضوع اصلی نیست.
نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...
اما خودت فکر کن...
چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟
با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.
در طول امتحان از شما درخواست تئوری نمی شود.
شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.
و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.
مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.
مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل، تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!
شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.
برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.
چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:
- قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
- باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید کتاب درسی - 499 RUR
بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.
دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.
و در خاتمه ...
اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.
"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.
مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!
