چگونه یک معادله متعارف بنویسیم. معادلات یک خط مستقیم در فضا معادلات دو صفحه متقاطع هستند. معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و بردار نرمال

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

تعداد نامحدودی از خطوط مستقیم را می توان در هر نقطه ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقارن می توان یک خط مستقیم را رسم کرد.

دو خط واگرا در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (پیروی از قبلی).

در فضای سه بعدی سه گزینه وجود دارد موقعیت نسبیدو خط مستقیم:

خطوط متقاطع؛

خطوط موازی هستند.

خطوط مستقیم همدیگر را قطع می کنند

مستقیم خط- منحنی جبری مرتبه اول: یک خط مستقیم در دستگاه مختصات دکارتی

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی یک خط مستقیم

تعریف. هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

و ثابت الف، بدر یک زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠0، B ≠ 0- یک خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = C = 0، A ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

. A = C = 0، B ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان در آن نشان داد در اشکال مختلفبسته به هر داده شده

شرایط اولیه

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و بردار نرمال.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله خطی که از یک نقطه می گذرد را بیابید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. با A = 3 و B = -1، بیایید معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C = 0. برای پیدا کردن ضریب C

اجازه دهید مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین کنیم: 3 - 2 + C = 0

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. روشن

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسری = kتماس گرفت شیب مستقیم.

مثال. معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با استفاده از یک نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط تبر + وو + سی = 0منجر به:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید کار را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. A = B.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2دریافت می کنیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ах + Ву + С = 0 С≠0، با تقسیم بر -С، به دست می آید:

یا کجا

معنی هندسیضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است

مستقیم با محور اوه،الف ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور اوه

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط.

علامت ± فاکتور نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ*C< 0.

r- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

الف φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. معادله کلی خط داده شده است 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن لازم است انواع مختلفمعادلات

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خطوط مستقیم عمود هستند,

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0موازی زمانی که ضرایب متناسب هستند

A 1 = λA، B 1 = λB. اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد.

تعریف. خطی که از یک نقطه می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0تعریف شده به صورت:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده یک عمود از یک نقطه افتاده است مبرای یک معین

مستقیم سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معینی M 0 به طور عمود عبور می کند.

خط مستقیم داده شده است. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه، یک خط مستقیم را می توان با معادله متعارف یک خط مستقیم به دست آورد. در این مقاله ابتدا معادلات متعارف خطوطی را که در صفحه موازی با محورهای مختصات هستند یا منطبق با آنها هستند را استخراج کرده، یادداشت کرده و مثال هایی را نیز بیان می کنیم. در ادامه، ارتباط بین معادله متعارف یک خط در یک صفحه و انواع دیگر معادلات این خط را نشان خواهیم داد. در خاتمه، راه‌حل‌های نمونه‌های معمولی و مشکلات تشکیل معادله متعارف یک خط در یک صفحه را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

معادله متعارف یک خط در یک صفحه - شرح و مثال.

بگذارید Oxy در هواپیما ثابت شود. بگذارید این وظیفه را برای خود تعیین کنیم: معادله یک خط a را به دست آوریم، اگر نقطه ای از خط a باشد و بردار جهت خط a باشد.

اجازه دهید یک نقطه شناور از خط a باشد. سپس بردار بردار جهت خط a است و مختصاتی دارد (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید). بدیهی است که مجموعه تمام نقاط روی صفحه، خطی را تعریف می کند که از نقطه عبور می کند و بردار جهت دارد اگر و فقط اگر بردارها و هم خطی باشند.

مثال.

معادله متعارف خطی را بنویسید که در سیستم مختصات مستطیلی Oxy روی صفحه از دو نقطه عبور می کند و .

راه حل.

توسط مختصات شناخته شدهاز نقطه شروع و پایان می توانیم مختصات بردار را پیدا کنیم: . این بردار بردار جهت خطی است که به دنبال معادله آن هستیم. معادله متعارف خطی که از نقطه ای می گذرد و بردار جهت دارد.

راه حل.

بردار خط معمولی مختصاتی دارد و این بردار بردار جهت خط است که به دلیل عمود بودن خطوط به دنبال معادله آن هستیم. بنابراین، معادله متعارف مورد نظر یک خط در یک صفحه به صورت نوشته خواهد شد .

پاسخ:

مراجع

Bugrov Ya.S.، Nikolsky S.M. ریاضیات عالیه جلد اول: عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. هندسه تحلیلی.

3.1. معادلات متعارف خط.

بگذارید یک خط مستقیم در سیستم مختصات Oxyz داده شود که از نقطه عبور می کند

(نگاه کنید به شکل 18).
بردار موازی با یک خط معین بردار تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیمبیایید یک نقطه از یک خط مستقیم را در نظر بگیریم
و بردارها را در نظر بگیرید
خطی هستند، بنابراین مختصات متناظر آنها متناسب است:

(3.3.1 )

این معادلات نامیده می شوند معادلات متعارفمستقیم

مثال:معادلات خطی را بنویسید که از نقطه M(1, 2, –1) موازی با بردار عبور می کند.

راه حل:بردار بردار جهت خط مورد نظر است. با استفاده از فرمول های (3.1.1)، به دست می آوریم:

اینها معادلات متعارف خط هستند.

نظر:تبدیل یکی از مخرج ها به صفر به معنای تبدیل صورت مربوطه به صفر است، یعنی y – 2 = 0. y = 2. این خط در صفحه y = 2، موازی با صفحه Oxz قرار دارد.

3.2. معادلات پارامتریک خط مستقیم

اجازه دهید خط مستقیم توسط معادلات متعارف به دست آید

بیایید نشان دهیم
سپس
مقدار t یک پارامتر نامیده می شود و می تواند هر مقداری را بگیرد:
.

بیایید x، y و z را بر حسب t بیان کنیم:

(3.2.1 )

معادلات به دست آمده نامیده می شوند معادلات پارامتریک خط مستقیم

مثال 1:معادلات پارامتریک خط مستقیمی را که از نقطه M (1، 2، -1) موازی با بردار عبور می کند، بسازید.

راه حل:معادلات متعارف این خط در مثال بند 3.1 به دست آمده است:

برای یافتن معادلات پارامتریک یک خط مستقیم، از فرمول (3.2.1) استفاده می کنیم:

بنابراین،
- معادلات پارامتریک یک خط معین.

پاسخ دهید:

مثال 2.معادلات پارامتریک خطی را بنویسید که از نقطه M (-1، 0، 1) موازی با بردار عبور می کند.
که در آن A (2، 1، -1)، B (-1، 3، 2).

راه حل:بردار
بردار جهت خط مورد نظر است.

بیایید بردار را پیدا کنیم
.

= (-3؛ 2؛ 3). با استفاده از فرمول (3.2.1)، معادلات خط مستقیم را یادداشت می کنیم:

معادلات پارامتری مورد نیاز خط مستقیم هستند.

3.3. معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد.

یک خط مستقیم از دو نقطه داده شده در فضا عبور می کند (شکل 20 را ببینید). اجازه دهید امتیاز داده شود
را می توان به عنوان بردار جهت این خط در نظر گرفت. سپس معادلات را می توان به طور مستقیم پیدا کرد آنها طبق فرمول (3.1.1):
).

(3.3.1)

مثال 1.معادلات متعارف و پارامتریک خطی را که از نقاط عبور می کند بنویسید

راه حل: ما فرمول (3.3.1) را اعمال می کنیم

ما معادلات متعارف خط مستقیم را به دست آوردیم. برای بدست آوردن معادلات پارامتری، مشتق فرمول های (3.2.1) را اعمال می کنیم. می گیریم

معادلات پارامتریک یک خط مستقیم هستند.

مثال 2.معادلات متعارف و پارامتریک خطی را که از نقاط عبور می کند بنویسید

راه حل: با استفاده از فرمول (3.3.1) به دست می آوریم:

اینها معادلات متعارف هستند.

بیایید به معادلات پارامتریک برویم:

- معادلات پارامتریک

خط مستقیم حاصل موازی با محور oz است (شکل 21 را ببینید).

بگذارید دو هواپیما در فضا داده شود

اگر این صفحات بر هم منطبق نباشند و موازی نباشند، در یک خط مستقیم همدیگر را قطع می کنند:

این سیستم از دو معادله خطی یک خط مستقیم را به عنوان خط تقاطع دو صفحه تعریف می کند. از معادلات (3.4.1) می توان به معادلات متعارف (3.1.1) یا معادلات پارامتری (3.2.1) رفت. برای این کار باید یک نقطه پیدا کنید
دروغ گفتن بر روی یک خط مستقیم، و بردار جهت مختصات نقطه
ما از سیستم (3.4.1) به دست می آوریم و به یکی از مختصات مقدار دلخواه می دهیم (مثلا z = 0). پشت وکتور راهنما شما می توانید حاصل ضرب برداری بردارها را بگیرید

مثال 1.معادلات متعارف خط را بسازید

راه حل:اجازه دهید z = 0 را حل کنیم

با جمع کردن این معادلات، به دست می آید: 3x + 6 = 0
x = -2. مقدار یافت شده x = –2 را در اولین معادله سیستم جایگزین کنید و به دست آورید: –2 + y + 1 = 0
y = 1.

بنابراین، دوره
روی خط مورد نظر قرار می گیرد.

برای یافتن بردار جهت یک خط مستقیم، بردارهای عادی صفحات را می نویسیم: و حاصل ضرب برداری آنها را پیدا می کنیم:

معادلات خط مستقیم را با استفاده از فرمول (3.1.1) پیدا می کنیم:

پاسخ:
.

راه دیگر:معادلات متعارف و پارامتری خط (3.4.1) را می توان با یافتن دو نقطه مختلف روی خط از سیستم (3.4.1) و سپس اعمال فرمول (3.3.1) و استخراج فرمول (3.2) به راحتی به دست آورد. .1).

مثال 2.معادلات متعارف و پارامتریک خط را بنویسید

راه حل:اجازه دهید y = 0. سپس سیستم به شکل زیر در می آید:

با جمع کردن معادلات، به دست می آوریم: 2x + 4 = 0; x = -2. معادله دوم سیستم را جایگزین x = –2 کنید و به دست آورید: –2 –z +1 = 0
z = -1. بنابراین، ما نکته را پیدا کردیم

برای پیدا کردن نقطه دوم، x = 0 را تنظیم می کنیم.

یعنی

ما معادلات متعارف خط مستقیم را به دست آوردیم.

بیایید معادلات پارامتریک خط مستقیم را بسازیم:

پاسخ دهید:
;
.

3.5. موقعیت نسبی دو خط در فضا.

مستقیم بگذارید
توسط معادلات به دست می آیند:

:
;
:

.

زاویه بین این خطوط به عنوان زاویه بین بردارهای جهت آنها درک می شود (شکل 22 را ببینید). این زاویه ما با استفاده از یک فرمول از جبر برداری پیدا می کنیم:
یا

(3.5.1)

اگر مستقیم
عمود بر (
) آن
از این رو،

این شرط عمود بودن دو خط در فضا است.

اگر مستقیم
موازی (
، سپس بردارهای جهت آنها خطی هستند (
) یعنی

(3.5.3 )

این شرط موازی بودن دو خط در فضا است.

مثال 1.زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید:

الف).
و

ب).
و

راه حل:الف). بیایید بردار جهت خط مستقیم را یادداشت کنیم
بیایید بردار جهت را پیدا کنیم
صفحات موجود در سیستم سپس حاصلضرب برداری آنها را پیدا می کنیم:

(به مثال 1 از بند 3.4 مراجعه کنید).

با استفاده از فرمول (3.5.1) به دست می آوریم:

از این رو،

ب). بیایید بردارهای جهت این خطوط مستقیم را بنویسیم: بردارها
خطی هستند زیرا مختصات متناظر آنها متناسب است:

پس مستقیم است
موازی (
) یعنی

پاسخ:الف).
ب).

مثال 2.عمود بودن خطوط را ثابت کنید:

راه حل:بیایید بردار جهت اولین خط مستقیم را یادداشت کنیم

بیایید بردار جهت را پیدا کنیم خط مستقیم دوم برای انجام این کار، بردارهای عادی را پیدا می کنیم
صفحات موجود در سیستم: اجازه دهید حاصل ضرب برداری آنها را محاسبه کنیم:

(نمونه 1 از بند 3.4 را ببینید).

اجازه دهید شرط عمود بودن خطوط (3.5.2) را اعمال کنیم:

شرط برقرار است؛ بنابراین، خطوط عمود هستند (
).

اجازه دهید ل- مقداری خط مستقیم فضا همانطور که در پلان سنجی، هر بردار

الف =/= 0، خط خطی ل، تماس گرفت بردار راهنمااین خط مستقیم

موقعیت خط در فضا کاملاً با تعیین بردار جهت و نقطه متعلق به خط تعیین می شود.

بگذارید مستقیم باشد لبا وکتور راهنما الف از نقطه M 0 عبور می کند و M یک نقطه دلخواه در فضا است. بدیهی است که نقطه M (شکل 197) متعلق به خط است لاگر و فقط اگر بردار $\overrightarrow(M_0 M)$ با بردار هم خط باشد الف ، یعنی

$\Overrightarrow(M_0 M)$ = تی الف , تی$\در$ آر. (1)

اگر نقاط M و M 0 با بردار شعاع آنها مشخص شوند r و r 0 (شکل 198) نسبت به نقطه ای O در فضا، سپس $\overrightarrow(M_0 M)$ = r - r 0 و معادله (1) شکل می گیرد

r = r 0 + تی الف , تی$\در$ آر. (2)

معادلات (1) و (2) نامیده می شوند معادلات برداری-پارامتری یک خط مستقیم. متغیر تیدر معادلات برداری-پارامتری خط مستقیم نامیده می شود پارامتر.

نقطه M 0 یک خط مستقیم باشد لو بردار جهت a با مختصات آنها داده می شود:

M 0 ( X 0 ; در 0 ، z 0), الف = (الف 1 ; الف 2 ; الف 3).

سپس اگر ( X; y; z) - مختصات یک نقطه دلخواه M از یک خط مستقیم ل، آن

$\Overright (M_0 M) $ = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

و معادله برداری (1) معادل سه معادله زیر است:

x - x 0 = تا 1 , y - y 0 = تا 2 , z - z 0 = تا 3

$$ \begin(موارد) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3، \;\;t\in R\end (موارد) (3)$$

معادلات (3) نامیده می شوند معادلات پارامتریک خط در فضا

وظیفه 1.معادلات پارامتریک خطی که از یک نقطه می گذرد بنویسید

M 0 (-3; 2; 4) و داشتن بردار جهت الف = (2; -5; 3).

در این مورد X 0 = -3, در 0 = 2, z 0 = 4; الف 1 = 2; الف 2 = -5; الف 3 = 3. با جایگزینی این مقادیر به فرمول (3)، معادلات پارامتری این خط را بدست می آوریم.

$$ \شروع (موارد) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t، \;\;t\in R\end (موارد) $$

بیایید پارامتر را حذف کنیم تیاز معادلات (3). این را می توان انجام داد زیرا الف =/= 0، و بنابراین یکی از مختصات بردار الف به وضوح با صفر متفاوت است.

ابتدا بگذارید همه مختصات با صفر متفاوت باشند. سپس

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1)،\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2)،\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

و بنابراین

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

این معادلات نامیده می شوند معادلات متعارف خط .

توجه داشته باشید که معادلات (4) یک سیستم دو معادله با سه متغیر را تشکیل می دهند x، yو z.

اگر در معادلات (3) یکی از مختصات برداری الف ، به عنوان مثال الف 1 برابر با صفر است، سپس با حذف پارامتر تی، دوباره یک سیستم دو معادله با سه متغیر به دست می آوریم x، yو z:

$x=x_0، \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)$

به این معادلات معادلات خط متعارف نیز می گویند. برای یکنواختی نیز به صورت متعارف به شکل (4) نوشته می شوند.

$\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)$

با فرض اینکه اگر مخرج صفر باشد، صورت مربوطه نیز صفر است. این معادلات معادلات خطی هستند که از نقطه M 0 ( X 0 ; در 0 ، z 0) موازی با صفحه مختصات yOz، از آنجایی که بردار جهت آن (0; الف 2 ; الف 3).

در نهایت اگر در معادلات (3) دو مختصات برداری وجود داشته باشد الف ، به عنوان مثال الف 1 و الف 2 برابر با صفر است، سپس این معادلات شکل می گیرند

X = X 0 , y = در 0 , z = z 0 + تی الف 3 , تی$\در$ آر.

اینها معادلات خطی هستند که از نقطه M 0 می گذرد ( X 0 ; در 0 ; z 0) موازی با محور اوز. برای چنین خط مستقیمی X = X 0 , y = در 0، الف z- هر تعداد و در این صورت برای یکنواختی می توان معادله خط مستقیم را (با همین شرط) به صورت (4) نوشت.

$\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)$

بنابراین، برای هر خط در فضا می توان معادلات متعارف (4) را نوشت، و برعکس، هر معادله ای از شکل (4) را به شرطی که حداقل یکی از ضرایب الف 1 ، A 2 , الف 3 برابر با صفر نیست، یک خط مستقیم را در فضا تعریف می کند.

وظیفه 2.معادلات متعارف خطی را بنویسید که از نقطه M 0 (- 1; 1، 7) موازی با بردار عبور می کند. الف = (1; 2; 3).

معادلات (4) در این مورد به صورت زیر نوشته می شود:

$\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)$

اجازه دهید معادلات یک خط مستقیم را استخراج کنیم که از دو نقطه داده شده M 1 می گذرد ( X 1 ; در 1 ; z 1) و

M2( X 2 ; در 2 ; z 2). بدیهی است که می توانیم بردار را بگیریم الف = (X 2 - X 1 ; در 2 - در 1 ; z 2 - z 1) و فراتر از نقطه M 0 که یک خط مستقیم از آن عبور می کند، به عنوان مثال، نقطه M 1. سپس معادلات (4) به صورت زیر نوشته می شود:

$\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)$ (5)

اینها معادلات خطی هستند که از دو نقطه M 1 می گذرد ( X 1 ; در 1 ; z 1) و

M2( X 2 ; در 2 ;z 2).

وظیفه 3.معادلات یک خط مستقیم که از نقاط M 1 (-4; 1; -3) و M 2 (-5; 0; 3) می گذرد را بنویسید.

در این مورد X 1 = -4, در 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, در 2 = 0, z 2 = 3. با جایگزینی این مقادیر به فرمول (5)، به دست می آوریم

$\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)$

وظیفه 4.معادلات خطی را که از نقاط M 1 می گذرد بنویسید (3; -2; 1) و

M 2 (5؛ -2؛ 1/2).

پس از جایگزینی مختصات نقاط M 1 و M 2 به معادله (5)، به دست می آوریم

$\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))$

بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال.

مختصات هر نقطه از خطی که در فضا با معادلات دو صفحه متقاطع تعریف شده است را بیابید .

راه حل.

اجازه دهید سیستم معادلات را به شکل زیر بازنویسی کنیم

به عنوان مینور پایه ماتریس اصلی سیستم، مینور غیر صفر درجه دوم را می گیریم. ، یعنی z یک متغیر مجهول مجهول است. بیایید عبارت های حاوی z را به سمت راست معادلات منتقل کنیم: .

اجازه دهید بپذیریم، که در آن یک عدد واقعی دلخواه است، سپس .

بیایید سیستم معادلات حاصل را حل کنیم:

بنابراین، راه حل کلی برای سیستم معادلات دارای فرم ، جایی که .

اگر مقدار خاصی از پارامتر را در نظر بگیریم، آنگاه راه حل خاصی برای سیستم معادلات به دست می آوریم که مختصات مورد نظر نقطه ای را که روی یک خط معین قرار دارد به ما می دهد. بیایید آن را بگیریم بنابراین، نقطه مورد نظر خط است.

می توانید مختصات یافت شده یک نقطه را با جایگزین کردن آنها در معادلات اصلی دو صفحه متقاطع بررسی کنید:

پاسخ:

بردار جهت خطی که دو صفحه در امتداد آن قطع می شوند.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، بردار هدایت کننده خط مستقیم از یک خط مستقیم جدایی ناپذیر است. هنگامی که خط مستقیم a در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی با معادلات دو صفحه متقاطع به دست می آید و پس مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم قابل مشاهده نیست. اکنون نحوه تعیین آنها را نشان خواهیم داد.

می دانیم که یک خط عمود بر یک صفحه است که بر هر خطی که در آن صفحه قرار دارد عمود باشد. سپس بردار نرمال صفحه بر هر بردار غیرصفری که در این صفحه قرار دارد عمود است. ما از این حقایق برای یافتن بردار جهت خط استفاده خواهیم کرد.

خط مستقیم a هم در صفحه و هم در صفحه قرار دارد. بنابراین بردار جهت خط a عمود بر بردار عادی است صفحه و بردار معمولی هواپیما بنابراین، بردار جهت خط مستقیم a است و :

مجموعه تمام بردارهای جهت یک خط مستقیم و می توانیم آن را به صورت تعریف کنیم ، جایی که پارامتری است که می تواند هر مقدار واقعی غیر از صفر را بگیرد.

مثال.

مختصات هر بردار جهت یک خط مستقیم را که در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی با معادلات دو صفحه متقاطع مشخص می شود، پیدا کنید. .

راه حل.

بردارهای عادی صفحات بردار هستند و به ترتیب. بردار هدایت کننده یک خط مستقیم که محل تلاقی دو صفحه داده شده است، حاصل ضرب برداری بردارهای عادی است:

پاسخ:

انتقال به معادلات پارامتری و متعارف یک خط مستقیم در فضا.

مواردی وجود دارد که استفاده از معادلات دو صفحه متقاطع برای توصیف یک خط مستقیم کاملاً راحت نیست. اگر معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا شناخته شده باشند، حل برخی مسائل آسانتر است: یا معادلات پارامتریک یک خط در فضای فرم ، که در آن x 1 , y 1 , z 1 مختصات یک نقطه مشخص از خط هستند، a x , a y , a z مختصات بردار جهت دهنده خط هستند و پارامتری است که مقادیر واقعی دلخواه را می گیرد. اجازه دهید روند انتقال از معادلات خطی فرم را شرح دهیم به معادلات متعارف و پارامتریک یک خط مستقیم در فضا.

در پاراگراف های قبل یاد گرفتیم که مختصات یک نقطه معین روی یک خط و همچنین مختصات یک بردار جهت مشخص از یک خط را که با معادلات دو صفحه متقاطع به دست می آید را پیدا کنیم. این داده ها برای نوشتن هر دو معادله متعارف و پارامتری این خط در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضا کافی است.

بیایید راه حل مثال را در نظر بگیریم و پس از آن راه دیگری برای یافتن معادلات متعارف و پارامتریک یک خط در فضا نشان خواهیم داد.

مثال.

راه حل.

اجازه دهید ابتدا مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم را محاسبه کنیم. برای این کار، حاصل ضرب برداری بردارهای عادی را پیدا می کنیم و هواپیماها و :

یعنی .

حال بیایید مختصات یک نقطه معین را در یک خط مشخص تعیین کنیم. برای این کار یکی از راه حل های سیستم معادلات را پیدا می کنیم .

تعیین کننده با صفر متفاوت است، اجازه دهید آن را به عنوان مینور پایه ماتریس اصلی سیستم در نظر بگیریم. سپس متغیر z آزاد است، عبارت ها را با آن به سمت راست معادلات منتقل می کنیم و به متغیر z مقدار دلخواه می دهیم:

ما سیستم معادلات حاصل را با استفاده از روش کرامر حل می کنیم:

از این رو،

ما قبول می کنیم و مختصات نقطه روی خط را بدست می آوریم: .

اکنون می‌توانیم معادلات متعارف و پارامتری خط اصلی را در فضا بنویسیم:

پاسخ:

در اینجا راه دوم برای حل این مشکل وجود دارد.

هنگام پیدا کردن مختصات یک نقطه معین از یک خط، سیستم معادلات را حل می کنیم . به طور کلی می توان راه حل های آن را در قالب نوشت .

و این دقیقا معادلات پارامتری مورد نیاز یک خط مستقیم در فضا هستند. اگر هر یک از معادلات حاصل با توجه به یک پارامتر حل شود و سپس ضلع های سمت راست تساوی ها برابر شوند، معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا را به دست می آوریم.

اجازه دهید با استفاده از این روش راه حل مشکل قبلی را نشان دهیم.

مثال.

یک خط مستقیم در فضای سه بعدی با معادلات دو صفحه متقاطع تعریف می شود . معادلات متعارف و پارامتری این خط را بنویسید.

راه حل.

ما این سیستم دو معادله را با سه مجهول حل می کنیم (راه حل در مثال قبلی داده شده است، ما آن را تکرار نمی کنیم). در این صورت می گیریم . اینها معادلات پارامتری مورد نیاز یک خط مستقیم در فضا هستند.

برای به دست آوردن معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا باقی مانده است:

معادلات خط مستقیم به دست آمده از نظر خارجی متفاوت از معادلات به دست آمده در مثال قبلی هستند، اما معادل هستند، زیرا آنها مجموعه ای از نقاط را در فضای سه بعدی (و بنابراین همان خط مستقیم) را تعریف می کنند.

پاسخ: