انواع توابع توان، خواص و نمودارهای آنها. توابع ابتدایی پایه: خواص و نمودارهای آنها مشتق تابع نمایی

در دامنه تعریف تابع توان y = x p فرمول های زیر برقرار است:
; ;
;
; ;
; ;
; .

ویژگی های توابع توان و نمودارهای آنها

تابع توان با توان برابر صفر، p = 0

اگر توان تابع توان y = x p برابر با صفر باشد، p = 0، آنگاه تابع توان برای همه x ≠ 0 تعریف می شود و یک ثابت برابر با یک است:
y = x p = x 0 = 1، x ≠ 0.

تابع توان با توان فرد طبیعی، p = n = 1، 3، 5، ...

تابع توانی y = x p = x n را با توان فرد طبیعی n = 1، 3، 5، ... در نظر بگیرید.

این شاخص را می توان به شکل زیر نیز نوشت: n = 2k + 1، که k = 0، 1، 2، 3، ... یک عدد صحیح غیر منفی است. در زیر مشخصات و نمودارهای این توابع آورده شده است.

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، .... -∞ < x < ∞
محدوده: -∞ < y < ∞
معانی متعدد:برابری:
فرد، y(-x) = - y(x)یکنواخت:
یکنواخت افزایش می یابدافراط:
خیر
محدب:< x < 0 выпукла вверх
در -∞< x < ∞ выпукла вниз
در 0نقاط عطف:
نقاط عطف:
x = 0، y = 0
;
محدودیت ها:
ارزش های خصوصی:
در x = -1،
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = 1، تابع معکوس آن است: x = y برای n ≠ 1،تابع معکوس

ریشه درجه n است:

تابع توان با توان زوج طبیعی، p = n = 2، 4، 6، ...

تابع توانی y = x p = x n با توان طبیعی زوج n = 2، 4، 6، ... را در نظر بگیرید.

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، .... -∞ < x < ∞
محدوده:این شاخص را می توان به شکل زیر نیز نوشت: n = 2k، که در آن k = 1، 2، 3، ... - طبیعی است. خصوصیات و نمودارهای چنین توابعی در زیر آورده شده است.< ∞
معانی متعدد:نمودار تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ....
فرد، y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت افزایش می یابدبرای x ≤ 0 به طور یکنواخت کاهش می یابد
خیربرای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0نقاط عطف:
x = 0، y = 0
;
محدودیت ها:
محدب به پایین نقاط تقاطع با محورهای مختصات:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
برای n = 2، جذر:
برای n ≠ 2، ریشه درجه n:

تابع توان با توان عدد صحیح منفی، p = n = -1، -2، -3، ...

یک تابع توانی y = x p = x n را با توان عدد صحیح منفی n = -1، -2، -3، ... در نظر بگیرید.

اگر n = -k را قرار دهیم، جایی که k = 1، 2، 3، ... یک عدد طبیعی است، آنگاه می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان صحیح منفی برای مقادیر مختلف توان n = -1، -2، -3، ....

توان فرد، n = -1، -3، -5، ...

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....در زیر ویژگی های تابع y = x n با نماهای منفی فرد n = -1، -3، -5، ... آمده است.
محدوده: x ≠ 0
معانی متعدد:برابری:
فرد، y(-x) = - y(x) y ≠ 0
یکنواخت افزایش می یابدافراط:
خیر
یکنواخت کاهش می یابد< 0 : выпукла вверх
در x
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0افراط:
برای x > 0: محدب رو به پایین
یکنواخت کاهش می یابد< 0, y < 0
علامت:
x = 0، y = 0
; ; ;
محدودیت ها:
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
برای x > 0، y > 0
وقتی n = -1،< -2 ,

در n

توان زوج، n = -2، -4، -6، ...

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....در زیر ویژگی های تابع y = x n با نماهای منفی فرد n = -1، -3، -5، ... آمده است.
محدوده:در زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.
معانی متعدد:نمودار تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ....
فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت کاهش می یابد< 0 : монотонно возрастает
y > 0
یکنواخت افزایش می یابدافراط:
خیربرای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0افراط:
برای x > 0: محدب رو به پاییندر زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.
x = 0، y = 0
; ; ;
محدودیت ها:
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد
وقتی n = -1،< -2 ,

در n = -2،

تابع توان با توان گویا (کسری).

تابع توانی y = x p را با توان گویا (کسری) در نظر بگیرید، که در آن n یک عدد صحیح است، m > 1 یک عدد طبیعی است. علاوه بر این، n، m مقسوم علیه مشترک ندارند.

مخرج شاخص کسری فرد است

مخرج ضریب کسری فرد باشد: m = 3, 5, 7, ... . در این حالت، تابع توان x p برای مقادیر مثبت و منفی آرگومان x تعریف می‌شود.< 0

اجازه دهید خواص چنین توابع توانی را زمانی در نظر بگیریم که توان p در محدوده خاصی باشد.

مقدار p منفی است، p

توان گویا (با مخرج فرد m = 3، 5، 7، ...) کمتر از صفر باشد: .

نمودارهای توابع توان با یک توان منفی منطقی برای مقادیر مختلف توان، که در آن m = 3، 5، 7، ... - فرد است.

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....در زیر ویژگی های تابع y = x n با نماهای منفی فرد n = -1، -3، -5، ... آمده است.
محدوده: x ≠ 0
معانی متعدد:برابری:
فرد، y(-x) = - y(x) y ≠ 0
یکنواخت افزایش می یابدافراط:
خیر
یکنواخت کاهش می یابد< 0 : выпукла вверх
در x
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0افراط:
برای x > 0: محدب رو به پایین
یکنواخت کاهش می یابد< 0, y < 0
علامت:
x = 0، y = 0
; ; ;
محدودیت ها:
عدد فرد، n = -1، -3، -5، ...
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

ما ویژگی های تابع توان y = x p را با یک توان منفی گویا ارائه می کنیم، که در آن n = -1، -3، -5، ... یک عدد صحیح منفی فرد است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد است. عدد صحیح طبیعی فرد

در x = -1، y(-1) = (-1) n = -1

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....در زیر ویژگی های تابع y = x n با نماهای منفی فرد n = -1، -3، -5، ... آمده است.
محدوده:در زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.
معانی متعدد:نمودار تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ....
فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت کاهش می یابد< 0 : монотонно возрастает
y > 0
یکنواخت افزایش می یابدافراط:
خیربرای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0افراط:
برای x > 0: محدب رو به پاییندر زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.
x = 0، y = 0
; ; ;
محدودیت ها:
صورت زوج، n = -2، -4، -6، ...
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

ویژگی های تابع توان y = x p با یک توان منفی گویا، که در آن n = -2، -4، -6، ... یک عدد صحیح منفی زوج است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد صحیح طبیعی فرد است. .< p < 1

در x = -1، y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

مقدار p مثبت است، کمتر از یک، 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، .... -∞ < x < +∞
محدوده: -∞ < y < +∞
معانی متعدد:برابری:
فرد، y(-x) = - y(x)یکنواخت:
یکنواخت افزایش می یابدافراط:
خیر
یکنواخت کاهش می یابد< 0 : выпукла вниз
نمودار تابع توان با توان گویا (0
در 0نقاط عطف:
حداقل، x = 0، y = 0نقاط عطف:
برای x > 0: محدب رو به پایین
یکنواخت کاهش می یابد< 0, y < 0
علامت:
x = 0، y = 0
;
محدودیت ها:
عدد فرد، n = 1، 3، 5، ...
برای x > 0: محدب به سمت بالا
در x = -1، y(-1) = -1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

عدد زوج، n = 2، 4، 6، ...

خواص تابع توان y = x p با توان گویا در 0 ارائه شده است< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، .... -∞ < x < +∞
محدوده:این شاخص را می توان به شکل زیر نیز نوشت: n = 2k، که در آن k = 1، 2، 3، ... - طبیعی است. خصوصیات و نمودارهای چنین توابعی در زیر آورده شده است.< +∞
معانی متعدد:نمودار تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ....
فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت کاهش می یابد< 0 : монотонно убывает
برای x > 0: یکنواخت افزایش می یابد
یکنواخت افزایش می یابدحداقل در x = 0، y = 0
خیرمحدب به سمت بالا برای x ≠ 0
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0نقاط عطف:
برای x > 0: محدب رو به پایینبرای x ≠ 0، y > 0
x = 0، y = 0
;
محدودیت ها:
در x = -1، y(-1) = 1
برای x > 0: محدب به سمت بالا
در x = -1، y(-1) = -1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

شاخص p بزرگتر از یک است، p > 1

نمودار یک تابع توان با توان گویا (p> 1) برای مقادیر مختلف توان، که در آن m = 3، 5، 7، ... فرد است.

عدد فرد، n = 5، 7، 9، ...

ویژگی های تابع توان y = x p با توان گویا بزرگتر از یک: .

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، .... -∞ < x < ∞
محدوده: -∞ < y < ∞
معانی متعدد:برابری:
فرد، y(-x) = - y(x)یکنواخت:
یکنواخت افزایش می یابدافراط:
خیر
محدب:< x < 0 выпукла вверх
در -∞< x < ∞ выпукла вниз
در 0نقاط عطف:
حداقل، x = 0، y = 0نقاط عطف:
x = 0، y = 0
;
محدودیت ها:
عدد فرد، n = 1، 3، 5، ...
برای x > 0: محدب به سمت بالا
در x = -1، y(-1) = -1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

که در آن n = 5، 7، 9، ... - عجیب طبیعی، m = 3، 5، 7 ... - طبیعی عجیب و غریب.

عدد زوج، n = 4، 6، 8، ...

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، .... -∞ < x < ∞
محدوده:این شاخص را می توان به شکل زیر نیز نوشت: n = 2k، که در آن k = 1، 2، 3، ... - طبیعی است. خصوصیات و نمودارهای چنین توابعی در زیر آورده شده است.< ∞
معانی متعدد:نمودار تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ....
فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت کاهش می یابد< 0 монотонно убывает
ویژگی های تابع توان y = x p با توان گویا بزرگتر از یک: .
یکنواخت افزایش می یابدحداقل در x = 0، y = 0
خیربرای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0نقاط عطف:
x = 0، y = 0
;
محدودیت ها:
در x = -1، y(-1) = 1
برای x > 0: محدب به سمت بالا
در x = -1، y(-1) = -1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1

که در آن n = 4، 6، 8، ... - زوج طبیعی، m = 3، 5، 7 ... - طبیعی عجیب و غریب.

برای x > 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد

مخرج نشانگر کسری زوج است

مخرج ضریب کسری زوج باشد: m = 2, 4, 6, ... . در این حالت، تابع توان x p برای مقادیر منفی آرگومان تعریف نشده است. ویژگی‌های آن با ویژگی‌های تابع توان با توان غیرمنطقی منطبق است (به بخش بعدی مراجعه کنید).

تابع توان با توان غیر منطقی

تابع توانی y = x p را با توان غیر منطقی p در نظر بگیرید.< 0

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....ویژگی های چنین توابعی با مواردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت متفاوت است زیرا برای مقادیر منفی آرگومان x تعریف نشده اند.
محدوده:در زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.
فرد، y(-x) = - y(x) y ≠ 0
خیربرای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0افراط:
x = 0، y = 0 ;
برای مقادیر مثبت آرگومان، ویژگی ها فقط به مقدار توان p بستگی دارد و به اینکه p عدد صحیح، منطقی یا غیر منطقی است بستگی ندارد. y = x p برای مقادیر مختلف توان p.

تابع توان با توان منفی p

x > 0< p < 1

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....معنی خصوصی:
محدوده:برای x = 1، y(1) = 1 p = 1
فرد، y(-x) = - y(x)یکنواخت:
خیرتابع توان با توان مثبت p > 0
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0نقاط عطف:
x = 0، y = 0
محدودیت ها:نشانگر کمتر از یک 0
y = x p برای مقادیر مختلف توان p.

x ≥ 0

نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....معنی خصوصی:
محدوده:برای x = 1، y(1) = 1 p = 1
فرد، y(-x) = - y(x)یکنواخت:
خیربرای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
در 0افراط:
حداقل، x = 0، y = 0نقاط عطف:
x = 0، y = 0
محدودیت ها:نشانگر کمتر از یک 0
y = x p برای مقادیر مختلف توان p.

y ≥ 0
محدب به سمت بالا

برای x = 0، y(0) = 0 p = 0.

نشانگر بزرگتر از یک p > 1 است ادبیات مورد استفاده: I.N. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

مقاله زیر مطالب کلیدی را در مورد موضوع توابع ابتدایی اولیه ارائه می دهد. ما اصطلاحات را معرفی می کنیم، آنها را تعاریف می کنیم. بیایید هر نوع توابع ابتدایی را با جزئیات مطالعه کنیم و خواص آنها را تجزیه و تحلیل کنیم.

انواع زیر از توابع ابتدایی اساسی متمایز می شوند:

تعریف 1

• تابع ثابت (ثابت)؛
• ریشه n ام؛
• تابع قدرت؛
• تابع نمایی؛
• تابع لگاریتمی؛
• توابع مثلثاتی;
• توابع مثلثاتی برادرانه

یک تابع ثابت با فرمول: y = C (C یک عدد واقعی معین است) تعریف می شود و همچنین دارای نام: ثابت است. این تابع مطابقت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر y - مقدار C تعیین می کند.

نمودار یک ثابت خط مستقیمی است که موازی با محور آبسیسا است و از نقطه ای با مختصات (0, C) می گذرد. برای وضوح، نمودارهایی از توابع ثابت y = 5، y = - 2، y = 3، y = 3 (به ترتیب با رنگ های سیاه، قرمز و آبی در نقاشی نشان داده شده است) ارائه می دهیم.

تعریف 2

این تابع ابتدایی با فرمول y = x n تعریف می شود (n عدد طبیعی بزرگتر از یک است).

بیایید دو تغییر تابع را در نظر بگیریم.

1. ریشه n ام، n - عدد زوج

برای وضوح، نقاشی را نشان می دهیم که نمودارهایی از این توابع را نشان می دهد: y = x، y = x 4 و y = x8. این ویژگی ها به ترتیب رنگی هستند: مشکی، قرمز و آبی.

نمودارهای یک تابع با درجه زوج برای سایر مقادیر توان ظاهری مشابه دارند.

تعریف 3

ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد زوج است

• دامنه تعریف - مجموعه تمام اعداد حقیقی غیر منفی [ 0 , + ∞) ;
• هنگامی که x = 0، تابع y = x n مقداری برابر با صفر دارد.
• داده شده است تابع-عملکرد نمای کلی(نه زوج است و نه فرد)؛
• محدوده: [ 0 , + ∞) ;
• این تابع y = x n با نماهای ریشه زوج در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
• تابع دارای یک تحدب با جهت رو به بالا در کل دامنه تعریف است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n زوج از نقاط (0; 0) و (1; 1) عبور می کند.

1. ریشه n ام، n - عدد فرد

چنین تابعی بر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف می شود. برای وضوح، نمودار توابع را در نظر بگیرید y = x 3، y = x 5 و x 9 . در نقاشی آنها با رنگ ها نشان داده شده اند: سیاه، قرمز و آبیو به ترتیب منحنی ها.

سایر مقادیر فرد از توان ریشه تابع y = x n نموداری از نوع مشابه به دست می دهد.

تعریف 4

ویژگی های تابع ریشه n، n یک عدد فرد است

• دامنه تعریف - مجموعه تمام اعداد واقعی.
• این تابع فرد است.
• محدوده مقادیر - مجموعه تمام اعداد واقعی؛
• تابع y = x n برای نماهای ریشه فرد در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.
• تابع دارای تقعر در بازه (-∞ ; 0 ] و تحدب در بازه [0, + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصات (0; 0) است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نمودار تابع برای n فرد از نقاط (- 1 ; - 1)، (0 ; 0) و (1 ; 1) عبور می کند.

عملکرد قدرت

تعریف 5

تابع توان با فرمول y = x a تعریف می شود.

ظاهر نمودارها و خصوصیات تابع به مقدار توان بستگی دارد.

• وقتی یک تابع توان دارای یک توان صحیح a است، آنگاه نوع نمودار تابع توان و خصوصیات آن به زوج یا فرد بودن توان و همچنین نشانی که نما دارد بستگی دارد. بیایید همه این موارد خاص را با جزئیات بیشتر در زیر در نظر بگیریم.
• توان می تواند کسری یا غیر منطقی باشد - بسته به این، نوع نمودارها و ویژگی های تابع نیز متفاوت است. ما موارد خاص را با تعیین چندین شرط تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• یک تابع توان می تواند یک توان صفر داشته باشد، ما همچنین این مورد را با جزئیات بیشتری در زیر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت فرد باشد، به عنوان مثال، a = 1، 3، 5...

برای وضوح، نمودارهای این توابع توان را نشان می دهیم: y = x (رنگ گرافیکی سیاه) y = x 3 (رنگ آبی نمودار)، y = x 5 (رنگ قرمز نمودار)، y = x 7 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = 1 باشد، تابع خطی y = x را دریافت می کنیم.

تعریف 6

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد مثبت باشد

• تابع برای x ∈ در حال افزایش است (- ∞ ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است (به استثنای تابع خطی).
• نقطه عطف دارای مختصات (0 ; 0) است (به استثنای تابع خطی).
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی a یک عدد مثبت زوج باشد، به عنوان مثال، a = 2، 4، 6...

برای وضوح، نمودارهای این توابع قدرت را نشان می دهیم: y = x 2 (رنگ گرافیکی سیاه)، y = x 4 (رنگ آبی نمودار)، y = x 8 (رنگ قرمز نمودار). وقتی a = 2 باشد، یک تابع درجه دوم به دست می آوریم که نمودار آن یک سهمی درجه دوم است.

تعریف 7

ویژگی های تابع توان زمانی که توان آن حتی مثبت باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• کاهش برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• تابع دارای تقعر برای x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان را نشان می دهد y = x a وقتی a یک عدد منفی فرد باشد: y = x - 9 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 5 (رنگ آبی نمودار). y = x - 3 (رنگ قرمز نمودار). y = x - 1 (رنگ گرافیکی سبز). وقتی a = - 1 باشد، نسبت معکوس را بدست می آوریم که نمودار آن هذلولی است.

تعریف 8

ویژگی های تابع توان زمانی که توان فرد منفی باشد:

وقتی x = 0، ناپیوستگی از نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = - ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 1، - 3، - 5، .... بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• محدوده: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع فرد است زیرا y (- x) = - y (x);
• تابع برای x ∈ - ∞ در حال کاهش است. 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• تابع دارای تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0) و تقعر برای x ∈ (0 ; + ∞) است.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

k = lim x → ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0، زمانی که a = - 1، - 3، - 5، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

شکل زیر نمونه هایی از نمودارهای تابع توان y = x a را در زمانی که a یک عدد منفی زوج است نشان می دهد: y = x - 8 (رنگ گرافیکی سیاه)؛ y = x - 4 (رنگ آبی نمودار). y = x - 2 (رنگ قرمز نمودار).

تعریف 9

ویژگی های یک تابع توان زمانی که توان آن حتی منفی است:

• دامنه تعریف: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

وقتی x = 0، ناپیوستگی نوع دوم را به دست می آوریم، زیرا lim x → 0 - 0 x a = + ∞، lim x → 0 + 0 x a = + ∞ برای a = - 2، - 4، - 6، …. بنابراین، خط مستقیم x = 0 مجانبی عمودی است.

• تابع زوج است زیرا y(-x) = y(x);
• تابع برای x ∈ (- ∞ ; 0) افزایش و برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞ ;
• تابع در x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0، زیرا:

k = lim x ∞ x a x = 0، b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 وقتی a = - 2، - 4، - 6، . . . .

• نقاط عبور تابع: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

از همان ابتدا، به جنبه زیر توجه کنید: در موردی که a یک کسر مثبت با مخرج فرد است، برخی از نویسندگان بازه - ∞ را به عنوان دامنه تعریف این تابع توان در نظر می گیرند. + ∞، با این شرط که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. در حال حاضر، نویسندگان بسیاری از نشریات آموزشی در مورد جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را تعریف نمی کنند، جایی که توان کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال است. علاوه بر این، دقیقاً به این موقعیت پایبند خواهیم بود: مجموعه [ 0 ; + ∞). توصیه به دانش آموزان: برای جلوگیری از اختلاف نظر، نظر معلم را در این مورد بیابید.

بنابراین، اجازه دهید به تابع قدرت نگاه کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیرمنطقی باشد، مشروط بر اینکه 0 باشد< a < 1 .

اجازه دهید توابع قدرت را با نمودارها نشان دهیم y = x a وقتی a = 11 12 (رنگ گرافیکی سیاه). a = 5 7 (رنگ قرمز نمودار)؛ a = 1 3 (رنگ آبی نمودار)؛ a = 2 5 (رنگ سبز نمودار).

سایر مقادیر توان a (0 ارائه شده است< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

تعریف 10

ویژگی های تابع توان در 0< a < 1:

• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ محدب است (0 ; + ∞);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

بیایید تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a، وقتی توان یک عدد گویا یا غیرمنطقی غیر صحیح باشد، مشروط بر اینکه a > 1 باشد.

اجازه دهید تابع توان را با نمودارها نشان دهیم y = x a تحت شرایط داده شده با استفاده از توابع زیر به عنوان مثال: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (به ترتیب نمودارهای سیاه، قرمز، آبی، سبز).

سایر مقادیر توان a، با یک > 1، نمودار مشابهی را نشان می دهد.

تعریف 11

ویژگی های تابع توان برای > 1:

• دامنه تعریف: x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• محدوده: y ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ [ 0 ; + ∞)؛
• تابع برای x ∈ (0 ; + ∞) تقعر دارد (وقتی 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقاط عبور تابع: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

لطفاً توجه داشته باشید هنگامی که a یک کسر منفی با مخرج فرد است، در آثار برخی از نویسندگان این دیدگاه وجود دارد که دامنه تعریف در این مورد فاصله - ∞ است. 0 ∪ (0 ; + ∞) با این هشدار که توان a یک کسری تقلیل ناپذیر است. در حال حاضر نویسندگان مواد آموزشیدر جبر و اصول تحلیل، توابع توان با یک توان به صورت کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی آرگومان تعیین نمی شود. علاوه بر این، ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند هستیم: مجموعه (0 ; + ∞) را به عنوان دامنه تعریف توابع توان با توان های منفی کسری در نظر می گیریم. توصیه برای دانش آموزان: دیدگاه معلم خود را در این مرحله برای جلوگیری از اختلاف نظر روشن کنید.

بیایید موضوع را ادامه دهیم و تابع قدرت را تجزیه و تحلیل کنیم y = x a ارائه شده است: - 1< a < 0 .

اجازه دهید رسم نمودارهای توابع زیر را ارائه کنیم: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (سیاه، قرمز، آبی، سبز رنگ خطوط، به ترتیب).

تعریف 12

ویژگی های تابع توان در - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

رسم زیر نمودارهایی از توابع توان y = x - 5 4، y = x - 5 3، y = x - 6، y = x - 24 7 (سیاه، قرمز، آبی، رنگ های سبزبه ترتیب منحنی ها).

تعریف 13

ویژگی های تابع توان برای a< - 1:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ وقتی a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع برای x ∈ 0 کاهش می یابد. + ∞
• تابع دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. + ∞
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0.
• نقطه عبور تابع: (1; 1) .

وقتی a = 0 و x ≠ 0، تابع y = x 0 = 1 را به دست می آوریم، که خطی را که نقطه (0؛ 1) از آن حذف می شود را مشخص می کند (توافق شد که به عبارت 0 0 هیچ معنایی داده نشود. ).

تابع نمایی شکل دارد y = a x، که در آن a > 0 و a ≠ 1، و نمودار این تابع بر اساس مقدار پایه a متفاوت به نظر می رسد. بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم.

ابتدا بیایید به وضعیتی نگاه کنیم که پایه تابع نمایی از صفر تا یک (0) داشته باشد.< a < 1) . یک مثال خوب، نمودارهای توابع برای a = 1 2 (رنگ آبی منحنی) و a = 5 6 (رنگ قرمز منحنی) است.

نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه در شرایط 0 ظاهری مشابه خواهند داشت.< a < 1 .

تعریف 14

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن کمتر از یک است در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به + ∞.

حال حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد (a > 1).

اجازه دهید این مورد خاص را با نموداری از توابع نمایی y = 3 2 x (رنگ آبی منحنی) و y = e x (رنگ قرمز نمودار) نشان دهیم.

سایر مقادیر پایه، واحدهای بزرگتر، ظاهری مشابه به نمودار تابع نمایی می دهد.

تعریف 15

ویژگی های تابع نمایی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف - کل مجموعه اعداد واقعی.
• محدوده: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• یک تابع نمایی که پایه آن بزرگتر از یک است به صورت x ∈ - ∞ افزایش می یابد. + ∞ ;
• تابع دارای یک تقعر در x ∈ - ∞ است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• مجانب افقی - خط مستقیم y = 0 با متغیر x تمایل به - ∞.
• نقطه عبور تابع: (0; 1) .

تابع لگاریتمی به شکل y = log a (x)، که در آن a > 0، a ≠ 1 است.

چنین تابعی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود: برای x ∈ 0; + ∞ .

نمودار یک تابع لگاریتمی دارد نوع مختلف، بر اساس مقدار پایه a.

اجازه دهید ابتدا وضعیتی را در نظر بگیریم که 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

سایر مقادیر پایه، نه واحدهای بزرگتر، نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 16

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه کوچکتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . همانطور که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به +∞ تمایل دارند.
• محدوده: y ∈ - ∞ ; + ∞
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• لگاریتمی
• تابع دارای یک تقعر برای x ∈ 0 است. + ∞
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.

حال بیایید به حالت خاصی که پایه تابع لگاریتمی بزرگتر از یک است نگاه کنیم: a > 1 . رسم زیر نمودارهای توابع لگاریتمی y = log 3 2 x و y = ln x (به ترتیب رنگ های آبی و قرمز نمودارها) را نشان می دهد.

مقادیر دیگر پایه بزرگتر از یک نوع مشابهی از نمودار را ارائه می دهند.

تعریف 17

ویژگی های یک تابع لگاریتمی زمانی که پایه بزرگتر از یک باشد:

• دامنه تعریف: x ∈ 0 ; + ∞ . از آنجایی که x از سمت راست به صفر میل می کند، مقادیر تابع به - ∞ تمایل دارند.
• محدوده: y ∈ - ∞ ; + ∞ (کل مجموعه اعداد واقعی)؛
• این تابع تابعی از شکل کلی است (نه فرد است و نه زوج).
• تابع لگاریتمی برای x ∈ 0 در حال افزایش است. + ∞
• تابع برای x ∈ 0 محدب است. + ∞ ;
• هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• نقطه عبور تابع: (1; 0) .

توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. بیایید به ویژگی های هر یک از آنها و گرافیک مربوطه نگاه کنیم.

به طور کلی، تمام توابع مثلثاتی با خاصیت تناوب مشخص می شوند، یعنی. هنگامی که مقادیر توابع برای مقادیر مختلف آرگومان تکرار می شوند، با دوره f (x + T) = f (x) (T دوره است). بنابراین، مورد "کوچکترین دوره مثبت" به لیست ویژگی های توابع مثلثاتی اضافه می شود. علاوه بر این، مقادیر آرگومان را نشان خواهیم داد که در آن تابع مربوطه صفر می شود.

1. تابع سینوس: y = sin(x)

نمودار این تابع را موج سینوسی می نامند.

تعریف 18

ویژگی های تابع سینوس:

• دامنه تعریف: کل مجموعه اعداد حقیقی x ∈ - ∞ ; + ∞
• تابع زمانی که x = π · k ناپدید می شود، جایی که k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• تابع برای x ∈ - π 2 + 2 π · k در حال افزایش است. π 2 + 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ π 2 + 2 π · k. 3 π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• تابع سینوس دارای ماکزیمم های محلی در نقاط π2 + 2 π · k است. 1 و حداقل های محلی در نقاط - π 2 + 2 π · k; - 1، k ∈ Z;
• تابع سینوس مقعر است وقتی x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k، k ∈ Z و محدب زمانی که x ∈ 2 π · k; π + 2 π k، k ∈ Z;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس: y = cos(x)

نمودار این تابع را موج کسینوس می نامند.

تعریف 19

ویژگی های تابع کسینوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞
• کوچکترین دوره مثبت: T = 2 π.
• محدوده مقادیر: y ∈ - 1 ; 1 ;
• این تابع زوج است، زیرا y (- x) = y (x);
• تابع برای x ∈ - π + 2 π · k در حال افزایش است. 2 π · k، k ∈ Z و کاهش برای x ∈ 2 π · k. π + 2 π k، k ∈ Z;
• تابع کسینوس دارای حداکثرهای محلی در نقاط 2 π · k است. 1، k ∈ Z و حداقل های محلی در نقاط π + 2 π · k. - 1، k ∈ z;
• تابع کسینوس مقعر است وقتی x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k، k ∈ Z و محدب زمانی که x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k، k ∈ Z;
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0، k∈ Z
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع مماس: y = t g (x)

نمودار این تابع نامیده می شود مماس

تعریف 20

ویژگی های تابع مماس:

• دامنه تعریف: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• رفتار تابع مماس در مرز دامنه تعریف lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ ، lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π 2 + π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.
• تابع زمانی که x = π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده: y ∈ - ∞ ; + ∞
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع با افزایش - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، k ∈ Z;
• تابع مماس برای x ∈ مقعر است [π · k; π 2 + π · k ) ، k ∈ Z و محدب برای x ∈ (- π 2 + π · k ؛ π · k ] , k ∈ Z ;
• نقاط عطف دارای مختصات π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;

1. تابع کوتانژانت: y = c t g (x)

نمودار این تابع کوتانژانتوئید نامیده می شود. .

تعریف 21

ویژگی های تابع کوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ (π · k ؛ π + π · k) ، که در آن k ∈ Z (Z مجموعه اعداد صحیح است).

رفتار تابع کتانژانت در مرز دامنه تعریف lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . بنابراین، خطوط مستقیم x = π · k k ∈ Z مجانب عمودی هستند.

• کوچکترین دوره مثبت: T = π.
• تابع زمانی که x = π 2 + π · k برای k ∈ Z ناپدید می شود (Z مجموعه اعداد صحیح است).
• محدوده: y ∈ - ∞ ; + ∞
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع برای x ∈ π · k در حال کاهش است. π + π k، k ∈ Z;
• تابع کوتانژانت برای x∈ مقعر است (π · k؛ π 2 + π · k ]، k ∈ Z و محدب برای x ∈ [ - π 2 + π · k ؛ π · k)، k ∈ Z .
• نقاط عطف دارای مختصات π 2 + π · k هستند. 0 , k ∈ Z ;
• مجانب مایل یا افقی وجود ندارد.

توابع مثلثاتی معکوس عبارتند از: آرکسین، آرکوزین، تانژانت و قوس. اغلب، به دلیل وجود پیشوند "قوس" در نام، توابع مثلثاتی معکوس را توابع قوس می نامند. .

1. تابع سینوس قوس: y = a rc sin (x)

تعریف 22

ویژگی های تابع آرکسین:

• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع آرکسین دارای یک تقعر در x ∈ 0 است. 1 و تحدب برای x ∈ - 1 ; 0 ;
• نقاط عطف دارای مختصات (0; 0) هستند که همچنین صفر تابع است.
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع کسینوس قوس: y = a r c cos (x)

تعریف 23

ویژگی های تابع کسینوس قوس:

• دامنه تعریف: x ∈ - 1 ; 1 ;
• محدوده: y ∈ 0 ; π;
• این تابع یک شکل کلی است (نه زوج و نه فرد).
• تابع در کل دامنه تعریف در حال کاهش است.
• تابع کسینوس قوس دارای یک تقعر در x ∈ - 1 است. 0 و تحدب برای x ∈ 0. 1 ;
• نقاط عطف دارای مختصات 0 هستند. π 2;
• هیچ مجانبی وجود ندارد

1. تابع قطبی: y = a r c t g (x)

تعریف 24

ویژگی های تابع قطبی:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞
• محدوده مقادیر: y ∈ - π 2 ; π 2;
• این تابع فرد است، زیرا y (- x) = - y (x) ;
• تابع در کل دامنه تعریف در حال افزایش است.
• تابع متقاطع دارای تقعر برای x ∈ (-∞ ; 0 ] و تحدب برای x ∈ [ 0 ; + ∞) است.
• نقطه عطف دارای مختصاتی است (0; 0) که صفر تابع نیز می باشد.
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = - π 2 به عنوان x → - ∞ و y = π 2 به عنوان x → + ∞ هستند (در شکل، مجانب خطوط سبز هستند).

1. تابع مماس قوس: y = a r c c t g (x)

تعریف 25

ویژگی های تابع آرکوتانژانت:

• دامنه تعریف: x ∈ - ∞ ; + ∞
• محدوده: y ∈ (0; π) ;
• این تابع یک شکل کلی است.
• تابع در کل دامنه تعریف در حال کاهش است.
• تابع کتانژانت قوس دارای یک تقعر برای x ∈ [ 0 ; + ∞) و تحدب برای x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• نقطه عطف دارای مختصات 0 است. π 2;
• مجانب افقی خطوط مستقیم y = π در x → - ∞ (خط سبز در نقاشی) و y = 0 در x → + ∞ هستند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

کلاس دهم

تابع قدرت

قدرت تماس گرفتتابع داده شده با فرمولکجا, ص – تعدادی عدد واقعی

من . شاخص- یک عدد طبیعی زوج سپس تابع قدرت کجاn

D ( y )= (−; +).

2) محدوده مقادیر یک تابع مجموعه ای از اعداد غیر منفی است، اگر:

مجموعه اعداد غیر مثبت اگر:

3) ) . بنابراین تابعاوه .

4) اگر، سپس تابع به عنوان کاهش می یابدX (- ; 0] و با افزایش می یابدX و در کاهش می یابدX \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

نمودار (شکل 2).

شکل 2. نمودار تابع $f\left(x\right)=x^(2n)$

ویژگی های تابع توان با توان فرد طبیعی

دامنه تعریف همه اعداد حقیقی است.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- تابع فرد است.

$f(x)$ در کل دامنه تعریف پیوسته است.

دامنه همه اعداد واقعی است.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.

$f\left(x\right)0$، برای $x\in (0،+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\راست)"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

تابع برای $x\in (-\infty ,0)$ مقعر و برای $x\in (0,+\infty)$ محدب است.

نمودار (شکل 3).

شکل 3. نمودار تابع $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

تابع توان با توان عدد صحیح

ابتدا مفهوم درجه با توان عدد صحیح را معرفی می کنیم.

تعریف 3

توان یک عدد واقعی $a$ با توان عدد صحیح $n$ با فرمول تعیین می شود:

شکل 4.

اجازه دهید اکنون یک تابع توان با توان عدد صحیح، خواص و نمودار آن را در نظر بگیریم.

تعریف 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ یک تابع توان با توان عدد صحیح نامیده می شود.

اگر درجه بزرگتر از صفر باشد، به تابع توانی با توان طبیعی می رسیم. قبلاً در بالا به آن پرداخته ایم. برای $n=0$ یک تابع خطی $y=1$ دریافت می کنیم. بررسی آن را به خواننده واگذار می کنیم. باقی مانده است که ویژگی های یک تابع توان با توان عدد صحیح منفی را در نظر بگیریم

ویژگی های تابع توان با توان عدد صحیح منفی

دامنه تعریف $\left(-\infty,0\right)(0,+\infty)$ است.

اگر توان زوج باشد، اگر فرد باشد، تابع فرد است.

$f(x)$ در کل دامنه تعریف پیوسته است.

محدوده:

اگر نماگر زوج باشد، اگر فرد باشد $(0,+\infty)$، سپس $\left(-\infty 0\right)(0,+\infty)$.

برای یک توان فرد، تابع به صورت $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ کاهش می یابد. اگر توان زوج باشد، تابع به صورت $x\in (0,+\infty)$ کاهش می یابد. و با $x\in \left(-\infty,0\right)$ افزایش می‌یابد.

$f(x)\ge 0$ در کل دامنه تعریف

آیا با توابع آشنا هستید y=x، y=x 2، y=x 3، y=1/xو غیره همه این توابع موارد خاصی از تابع توان، یعنی تابع هستند y=xp، که در آن p یک عدد واقعی داده شده است.
ویژگی ها و نمودار یک تابع توان به طور قابل توجهی به ویژگی های یک توان با توان واقعی و به ویژه به مقادیری بستگی دارد که xو صدرجه منطقی است x ص. اجازه دهید با توجه به موارد مختلف، به بررسی مشابهی ادامه دهیم
توان ص

1. شاخص p=2n-عدد طبیعی حتی

y=x2n، کجا n- یک عدد طبیعی، دارای موارد زیر است

خواص:

• دامنه تعریف - همه اعداد واقعی، یعنی مجموعه R.
• مجموعه مقادیر - اعداد غیر منفی، یعنی y بزرگتر یا مساوی 0 است.
• تابع y=x2nحتی، زیرا x 2n=(- x) 2n
• تابع در بازه زمانی کاهش می یابد x<0 و در بازه افزایش می یابد x>0.

نمودار یک تابع y=x2nشکلی مشابه به عنوان مثال نمودار یک تابع دارد y=x 4.

2. نشانگر p=2n-1- عدد طبیعی فرد
در این مورد، تابع قدرت y=x2n-1، جایی که یک عدد طبیعی است، دارای ویژگی های زیر است:

• دامنه تعریف - مجموعه R;
• مجموعه مقادیر - مجموعه R؛
• تابع y=x2n-1عجیب است، زیرا (- x) 2n-1=x2n-1;
• تابع در کل محور واقعی در حال افزایش است.

نمودار یک تابع y=x 2n-1 مانند نمودار تابع است y=x 3 .

3. اندیکاتور p=-2n، کجا n-عدد طبیعی

در این مورد، تابع قدرت y=x -2n =1/x 2nدارای خواص زیر است:

• دامنه تعریف - مجموعه R، به جز x=0;
• مجموعه مقادیر - اعداد مثبت y>0؛
• تابع y =1/x2nحتی، زیرا 1/(-x)2n=1/x 2n;
• تابع در بازه x در حال افزایش است<0 и убывающей на промежутке x>0.

نمودار تابع y =1/x2nشکلی مشابه با نمودار تابع y دارد =1/x 2.