سیستم معادلات خطی همگن

سیستم معادلات خطی همگن سیستمی از فرم است

واضح است که در این مورد ، زیرا تمام عناصر یکی از ستون ها در این تعیین کننده ها برابر با صفر هستند.

از آنجایی که مجهولات طبق فرمول ها پیدا می شوند ، در صورتی که Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل صفر منحصر به فرد دارد x = y = z= 0. با این حال، در بسیاری از مسائل سوال جالب این است که آیا یک سیستم همگن راه حل هایی غیر از صفر دارد؟

قضیه.برای اینکه یک سیستم معادلات همگن خطی جواب غیر صفر داشته باشد، لازم و کافی است که Δ ≠ 0 باشد.

بنابراین، اگر تعیین کننده Δ ≠ 0 باشد، آنگاه سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. اگر Δ ≠ 0 باشد، سیستم معادلات همگن خطی دارای بی نهایت جواب است.

نمونه ها

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک ماتریس

اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود , X- تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق است الف. .

در بسیاری از مسائل ما باید معادله را در نظر بگیریم X

جایی که λ عدد معینی است. واضح است که برای هر λ این معادله یک جواب صفر دارد.

عدد λ را که این معادله راه حل های غیر صفر دارد نامیده می شود ارزش ویژهماتریس ها الف، A Xبرای چنین λ نامیده می شود بردار ویژهماتریس ها الف.

بیایید بردار ویژه ماتریس را پیدا کنیم الف. از آنجایی که E∙X = X، سپس معادله ماتریس را می توان به صورت بازنویسی کرد یا . در شکل بسط یافته، این معادله را می توان به صورت سیستمی از معادلات خطی بازنویسی کرد. واقعا .

و بنابراین

بنابراین، سیستمی از معادلات خطی همگن برای تعیین مختصات به دست آورده ایم x 1, x 2, x 3بردار X. برای اینکه یک سیستم جواب های غیر صفر داشته باشد کافی و لازم است که تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، یعنی.

این معادله درجه 3 برای λ است. نام دارد معادله مشخصهماتریس ها الفو برای تعیین مقادیر ویژه λ خدمت می کند.

هر مقدار ویژه λ مربوط به یک بردار ویژه است X، که مختصات آن از سیستم در مقدار متناظر λ تعیین می شود.

نمونه ها

جبر برداری. مفهوم بردار

هنگام مطالعه شاخه های مختلف فیزیک، کمیت هایی وجود دارد که با تعیین مقادیر عددی آنها به طور کامل تعیین می شوند، مثلاً طول، مساحت، جرم، دما و غیره. به چنین مقادیری اسکالر می گویند. با این حال، علاوه بر آنها، کمیت هایی نیز وجود دارد که برای تعیین آنها، علاوه بر مقدار عددی، باید جهت آنها را در فضا نیز دانست، به عنوان مثال، نیروی وارد بر بدن، سرعت و شتاب بدن وقتی در فضا حرکت می کند، تنش میدان مغناطیسیدر یک نقطه معین از فضا و غیره به چنین کمیت ها کمیت های برداری می گویند.

اجازه دهید تعریف دقیقی را معرفی کنیم.

بخش کارگردانی شدهبیایید یک قطعه را نام ببریم که نسبت به انتهای آن مشخص است که کدام یک از آنها اول است و کدام دوم.

برداریک قطعه جهت دار با طول معین نامیده می شود، یعنی. این قطعه ای با طول معین است که در آن یکی از نقاط محدود کننده آن به عنوان ابتدا و دومی به عنوان پایان در نظر گرفته می شود. اگر الف– ابتدای بردار، بپایان آن است، سپس بردار با نماد نشان داده می شود، علاوه بر این، بردار اغلب با یک حرف مشخص می شود. در شکل، بردار با یک قطعه و جهت آن با یک فلش نشان داده شده است.

ماژولیا طولبردار به طول قطعه جهت دار گفته می شود که آن را تعریف می کند. مشخص شده با || یا ||.

ما همچنین بردار به اصطلاح صفر را که ابتدا و انتهای آن بر هم منطبق است به عنوان بردار درج خواهیم کرد. تعیین شده است. بردار صفر جهت خاصی ندارد و مدول آن است برابر با صفر ||=0.

بردارها نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند. علاوه بر این، اگر بردارها و در یک راستا باشند، در مقابل می نویسیم.

بردارهای واقع در خطوط مستقیم موازی با همان صفحه نامیده می شوند همسطح.

دو بردار نامیده می شوند برابر، اگر خطی باشند، جهت یکسان و از نظر طول مساوی هستند. در این مورد می نویسند.

از تعریف برابری بردارها چنین استنباط می شود که یک بردار را می توان به موازات خود حمل کرد و مبدا خود را در هر نقطه ای از فضا قرار داد.

به عنوان مثال.

عملیات خطی روی بردارها

1. ضرب بردار در عدد.

   حاصل ضرب یک بردار و عدد λ بردار جدیدی است به طوری که:

   حاصل ضرب یک بردار و یک عدد λ با نشان داده می شود.

   

   به عنوان مثال،یک بردار وجود دارد که در همان جهت بردار است و طول آن نصف بردار است.

   عملیات معرفی شده دارای موارد زیر است خواص:

2. اضافه بردار.

   اجازه دهید و دو بردار دلخواه باشد. بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم Oو یک بردار بسازید. پس از آن از نقطه الفبیایید بردار را کنار بگذاریم. بردار اتصال ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم نامیده می شود مقداراز این بردارها و نشان داده می شود .

   

   تعریف فرمول بندی شده جمع بردار نامیده می شود قانون متوازی الاضلاع، از آنجایی که همان مجموع بردارها را می توان به صورت زیر بدست آورد. از اصل موضوع به تعویق بیفتیم Oبردارها و . بیایید یک متوازی الاضلاع روی این بردارها بسازیم OABC. از آنجایی که بردارها، پس بردار، که قطری از متوازی الاضلاع است که از راس کشیده شده است. O، بدیهی است که مجموع بردارها خواهد بود.

   

   بررسی موارد زیر آسان است خواص جمع بردار.

3. تفاوت برداری

   یک بردار هم خط به یک بردار معین، از نظر طول مساوی و جهت مخالف، نامیده می شود مقابلبردار برای یک بردار و با نشان داده می شود. بردار مخالف را می توان حاصل ضرب بردار در عدد λ = –1: .

"قسمت اول مقرراتی را که حداقل برای درک شیمی سنجی ضروری هستند، بیان می کند، و بخش دوم حاوی حقایقی است که برای درک عمیق تر از روش های تجزیه و تحلیل چند متغیره باید بدانید. ارائه با مثال هایی که در کتاب کار اکسل ارائه شده است نشان داده شده است. Matrix.xls، که همراه این سند است.

پیوندهای نمونه ها به عنوان اشیاء اکسل در متن قرار می گیرند. این نمونه ها ماهیت انتزاعی دارند و به هیچ وجه به مسائل شیمی تحلیلی مرتبط نیستند. مثال‌های واقعی استفاده از جبر ماتریسی در شیمی‌سنجی در متون دیگری که انواع کاربردهای شیمی‌سنجی را پوشش می‌دهند، مورد بحث قرار گرفته‌اند.

اکثر اندازه گیری های انجام شده در شیمی تجزیه مستقیم نیستند، اما غیر مستقیم. یعنی در آزمایش به جای مقدار آنالیت مورد نظر C (غلظت)، مقدار دیگری به دست می آید. x(سیگنال)، مرتبط اما با C برابر نیست، یعنی. x(C) ≠ C. به عنوان یک قاعده، نوع وابستگی x(C) ناشناخته است، اما خوشبختانه در شیمی تجزیه اکثر اندازه گیری ها متناسب هستند. این بدان معناست که با افزایش غلظت C در الفبار، سیگنال X به همان مقدار افزایش می یابد، یعنی. x(الفج) = یک x(ج). علاوه بر این، سیگنال ها نیز افزودنی هستند، بنابراین سیگنال از نمونه ای که در آن دو ماده با غلظت های C 1 و C 2 وجود دارد، برابر با مجموع سیگنال های هر جزء خواهد بود، یعنی. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(ج 2). تناسب و افزایش با هم می دهد خطی بودن. برای نشان دادن اصل خطی بودن مثال‌های زیادی می‌توان ذکر کرد، اما کافی است به دو مثال برجسته - کروماتوگرافی و طیف‌سنجی اشاره کنیم. دومین ویژگی ذاتی یک آزمایش در شیمی تجزیه است چند کاناله. تجهیزات تحلیلی مدرن به طور همزمان سیگنال های بسیاری از کانال ها را اندازه گیری می کنند. به عنوان مثال، شدت عبور نور برای چندین طول موج به طور همزمان اندازه گیری می شود، یعنی. طیف بنابراین، در آزمایش با سیگنال های زیادی سروکار داریم x 1 , x 2 ,...., x n، مشخص کننده مجموعه ای از غلظت های C 1، C 2، ...، Cm از مواد موجود در سیستم مورد مطالعه.

برنج. 1 طیف

بنابراین، یک آزمایش تحلیلی با خطی بودن و چند بعدی بودن مشخص می شود. بنابراین، راحت است که داده های تجربی را به عنوان بردار و ماتریس در نظر بگیریم و آنها را با استفاده از دستگاه جبر ماتریسی دستکاری کنیم. ثمربخشی این رویکرد با مثال نشان داده شده در نشان داده شده است، که سه طیف گرفته شده در 200 طول موج از 4000 تا 4796 سانتی متر-1 را ارائه می دهد. اول ( x 1) و دوم ( x 2) طیف ها برای نمونه های استاندارد به دست آمد که در آنها غلظت دو ماده A و B مشخص است: در نمونه اول [A] = 0.5، [B] = 0.1، و در نمونه دوم [A] = 0.2، [ B] = 0.6. در مورد یک نمونه جدید و ناشناخته که طیف آن مشخص شده است، چه می توان گفت x 3 ?

اجازه دهید سه طیف تجربی را در نظر بگیریم x 1 , x 2 و x 3 به عنوان سه بردار بعد 200. با استفاده از جبر خطی می توان به راحتی آن را نشان داد x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2، بنابراین نمونه سوم بدیهی است که تنها حاوی مواد A و B در غلظت های [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 و [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19 است.

1. اطلاعات اولیه

1.1 ماتریس

ماتریسبه عنوان مثال یک جدول مستطیلی از اعداد نامیده می شود

برنج. 2 ماتریس

ماتریس ها با حروف درشت بزرگ نشان داده می شوند ( الف، و عناصر آنها - با حروف کوچک متناظر با شاخص ها، یعنی. الف ij. شاخص اول ردیف ها را شماره گذاری می کند و دومی - ستون ها. در شیمی سنجی مرسوم است که حداکثر مقدار یک شاخص را با همان حرف خود شاخص اما با حروف بزرگ نشان می دهند. بنابراین ماتریس الفهمچنین می توان به صورت ( الف ij , من = 1,..., من; j = 1,..., جی). برای مثال ماتریس من = 4, جی= 3 و الف 23 = −7.5.

جفت اعداد منو جیبعد ماتریس نامیده می شود و با نشان داده می شود من× جی. نمونه ای از یک ماتریس در شیمی سنجی مجموعه ای از طیف های به دست آمده برای مننمونه برای جیطول موج

1.2. ساده ترین عملیات با ماتریس

ماتریس ها می توانند باشند ضرب در اعداد. در این حالت هر عنصر در این عدد ضرب می شود. به عنوان مثال -

برنج. 3 ضرب یک ماتریس در یک عدد

دو ماتریس با ابعاد یکسان می توانند عنصر به عنصر باشند بریزیدو کم کردن. به عنوان مثال،

برنج. 4 اضافه کردن ماتریس

در نتیجه ضرب در عدد و جمع، ماتریسی با همان ابعاد به دست می آید.

ماتریس صفر ماتریسی متشکل از صفر است. تعیین شده است O. بدیهی است که الف+O = الف, الف−الف = Oو 0 الف = O.

ماتریس می تواند باشد جابجا کردن. در طی این عملیات، ماتریس برعکس می شود، یعنی. سطرها و ستون ها با هم عوض می شوند. جابجایی با یک عدد اول نشان داده می شود، الف" یا نمایه الفتی بنابراین، اگر الف = {الف ij , من = 1,..., من; j = 1,...,جی) آن الف t = ( الف جی , j = 1,...,جی; i = 1،...، من). به عنوان مثال

برنج. 5 جابجایی ماتریس

بدیهی است که ( الف t) t = الف, (الف+ب) t = A t+ بتی

1.3. ضرب ماتریس

ماتریس ها می توانند باشند ضرب کنند، اما به شرطی که دارای ابعاد مناسب باشند. چرایی این چنین است از تعریف مشخص خواهد شد. محصول ماتریسی الف، بعد من× کو ماتریس ها ب، بعد ک× جی، ماتریس نامیده می شود سی، بعد من× جی، که عناصر آن اعداد هستند

بنابراین برای محصول ABلازم است تعداد ستون ها در ماتریس سمت چپ باشد الفبرابر تعداد سطرهای ماتریس سمت راست بود ب. نمونه ای از محصول ماتریسی -

شکل 6 محصول ماتریس ها

قانون ضرب ماتریس را می توان به صورت زیر فرموله کرد. برای پیدا کردن یک عنصر ماتریس سی، ایستاده در تقاطع من-خط و jستون هفتم ( ج ij) باید عنصر به عنصر ضرب شود من-مین ردیف از ماتریس اول الفدر jستون هفتم ماتریس دوم بو تمام نتایج را جمع کنید. بنابراین در مثال نشان داده شده، یک عنصر از ردیف سوم و ستون دوم به عنوان مجموع حاصلضرب های عنصری ردیف سوم به دست می آید. الفو ستون دوم ب

شکل 7 عنصر حاصل ضرب ماتریس ها

حاصل ضرب ماتریس ها به ترتیب بستگی دارد، یعنی. AB ≠ بی.ا.حداقل به دلایل ابعادی. می گویند غیر تعویضی است. با این حال، حاصل ضرب ماتریس ها تداعی کننده است. این به این معنی است که ABC = (AB)سی = الف(قبل از میلاد مسیح). علاوه بر این، توزیعی نیز هست، یعنی. الف(ب+سی) = AB+A.C.. بدیهی است که A.O. = O.

1.4. ماتریس های مربعی

اگر تعداد ستون های ماتریس برابر با تعداد سطرهای آن باشد ( من = J=N، سپس چنین ماتریسی مربع نامیده می شود. در این بخش ما فقط چنین ماتریس هایی را در نظر خواهیم گرفت. از بین این ماتریس ها می توان ماتریس هایی با خواص ویژه را تشخیص داد.

مجردماتریس (نشان داده شده است من،و گاهی اوقات E) ماتریسی است که در آن همه عناصر برابر با صفر هستند، به استثنای عناصر مورب که برابر با 1 هستند، یعنی.

بدیهی است A.I. = I.A. = الف.

ماتریس نامیده می شود مورب، اگر همه عناصر آن به جز عناصر مورب ( الف ii) برابر با صفر هستند. به عنوان مثال

برنج. 8 ماتریس مورب

ماتریس الفبالا نامیده می شود مثلثی، اگر تمام عناصر آن که زیر قطر قرار دارند برابر با صفر باشند، یعنی. الف ij= 0، در من>j. به عنوان مثال

برنج. 9 ماتریس مثلثی بالا

ماتریس مثلثی پایین به طور مشابه تعریف شده است.

ماتریس الفتماس گرفت متقارن، اگر الف t = الف. به عبارت دیگر الف ij = الف جی. به عنوان مثال

برنج. 10 ماتریس متقارن

ماتریس الفتماس گرفت قائم، اگر

الفتی الف = A.A. t = من.

ماتریس نامیده می شود عادیاگر

1.5. ردیابی و تعیین کننده

بعدیماتریس مربع الف(با Tr( الف) یا Sp( الف)) مجموع عناصر مورب آن است،

به عنوان مثال،

برنج. 11 ردیابی ماتریسی

بدیهی است که

Sp(α الف) = α Sp( الف) و

Sp( الف+ب) = Sp( الف)+ Sp( ب).

می توان نشان داد که

Sp( الف) = Sp( الف t)، Sp( من) = ن,

و همچنین آن

Sp( AB) = Sp( بی.ا.).

یکی دیگر از ویژگی های مهم ماتریس مربعی بودن آن است تعیین کننده(مشخص به det( الف)). تعیین تعیین کننده در حالت کلی بسیار دشوار است، بنابراین ما با ساده ترین گزینه - ماتریس شروع می کنیم. الفابعاد (2×2). سپس

برای یک ماتریس (3×3)، دترمینان برابر خواهد بود

در مورد ماتریس ( ن× ن) تعیین کننده به صورت مجموع 1·2·3· ... · محاسبه می شود ن= ن! شرایط که هر کدام برابر است

شاخص ها ک 1 , ک 2 ,..., k Nبه عنوان همه جایگشت های مرتب شده ممکن تعریف می شوند rاعداد در مجموعه (1، 2، ...، ن). محاسبه تعیین کننده یک ماتریس یک روش پیچیده است که در عمل با استفاده از برنامه های خاص انجام می شود. به عنوان مثال،

برنج. 12 تعیین کننده ماتریس

اجازه دهید فقط به ویژگی های واضح توجه کنیم:

دت( من) = 1، det( الف) = دت( الفت)

دت( AB) = دت( الف)دت( ب).

1.6. بردارها

اگر ماتریس فقط از یک ستون تشکیل شده باشد ( جی= 1)، سپس چنین شیئی فراخوانی می شود بردار. به طور دقیق تر، یک بردار ستونی. به عنوان مثال

به عنوان مثال می توان ماتریس هایی متشکل از یک ردیف را نیز در نظر گرفت

این شی نیز بردار است، اما وکتور ردیف. هنگام تجزیه و تحلیل داده ها، مهم است که بفهمیم با کدام بردارها سروکار داریم - ستون ها یا ردیف ها. بنابراین طیف گرفته شده برای یک نمونه را می توان به عنوان بردار ردیف در نظر گرفت. سپس مجموعه شدت های طیفی در یک طول موج معین برای همه نمونه ها باید به عنوان بردار ستون در نظر گرفته شود.

بعد یک بردار تعداد عناصر آن است.

واضح است که هر بردار ستونی را می توان با جابجایی به بردار ردیفی تبدیل کرد.

در مواردی که شکل بردار به طور خاص مشخص نشده است، بلکه صرفاً بردار گفته می شود، منظور آنها بردار ستونی است. ما نیز به این قانون پایبند خواهیم بود. یک بردار با حروف کوچک، قائم و پررنگ نشان داده می شود. بردار صفر برداری است که همه عناصر آن صفر هستند. تعیین شده است 0 .

1.7. ساده ترین عملیات با بردارها

بردارها را می توان مانند ماتریس ها با اعداد اضافه و ضرب کرد. به عنوان مثال،

برنج. 13 عملیات با بردارها

دو بردار xو yنامیده می شوند خطی، اگر عدد α وجود داشته باشد به طوری که

1.8. محصولات بردارها

دو بردار با ابعاد یکسان نقابل ضرب است. بگذارید دو بردار وجود داشته باشد x = (x 1 , x 2 ,...,x N)t و y = (y 1 , y 2 ,...,yن) تی. با هدایت قانون ضرب سطر به ستون، می‌توانیم دو محصول از آنها بسازیم: xتی yو xyتی کار اول

تماس گرفت اسکالریا داخلی. نتیجه آن یک عدد است. همچنین با ( x,y)= xتی y. به عنوان مثال،

برنج. 14 محصول داخلی (اسکالر).

قطعه دوم

تماس گرفت خارجی. نتیجه آن یک ماتریس بعد است ( ن× ن). به عنوان مثال،

برنج. 15 کار خارجی

بردارهایی که حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است نامیده می شوند قائم.

1.9. هنجار برداری

حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش را مربع اسکالر می نامند. این مقدار

مربع را تعریف می کند طولبردار x. برای نشان دادن طول (همچنین نامیده می شود هنجاربردار) از نماد استفاده می شود

به عنوان مثال،

برنج. 16 هنجار برداری

بردار طول واحد (|| x|| = 1) نرمال شده نامیده می شود. بردار غیر صفر ( x ≠ 0 ) را می توان با تقسیم آن بر طول نرمال کرد، یعنی. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| ه. اینجا ه = x/||x|| - بردار نرمال شده

بردارها در صورتی متعامد نامیده می شوند که همگی نرمال شده و متعامد به صورت زوجی باشند.

1.10. زاویه بین بردارها

محصول اسکالر تعیین می کند و گوشهφ بین دو بردار xو y

اگر بردارها متعامد باشند، cosφ = 0 و φ = π/2 و اگر خطی باشند، cosφ = 1 و φ = 0.

1.11. نمایش برداری از یک ماتریس

هر ماتریس الفاندازه من× جیرا می توان به صورت مجموعه ای از بردارها نشان داد

در اینجا هر بردار الف jاست jستون هفتم و بردار سطر ب مناست منسطر هفتم ماتریس الف

1.12. بردارهای وابسته به خط

بردارهای یک بعد ( ن) را می توان مانند ماتریس ها در یک عدد اضافه و ضرب کرد. نتیجه یک بردار با همان ابعاد خواهد بود. بگذارید چندین بردار با یک بعد وجود داشته باشد x 1 , x 2 ,...,x K و همان تعداد اعداد α α 1 , α 2 ,...,α ک. بردار

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α ک x ک

تماس گرفت ترکیب خطیبردارها x ک .

اگر چنین اعداد غیر صفر α وجود داشته باشد ک ≠ 0, ک = 1,..., ک، چی y = 0 ، سپس چنین مجموعه ای از بردارها x کتماس گرفت وابسته به خط. در غیر این صورت، بردارها به صورت خطی مستقل هستند. به عنوان مثال، بردارها x 1 = (2، 2)t و x 2 = (-1، -1) t به صورت خطی وابسته هستند، زیرا x 1 +2x 2 = 0

1.13. رتبه ماتریسی

مجموعه ای را در نظر بگیرید کبردارها x 1 , x 2 ,...,x کابعاد ن. رتبه این سیستم از بردارها حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی است. به عنوان مثال در مجموعه

برای مثال فقط دو بردار مستقل خطی وجود دارد x 1 و x 2، پس رتبه آن 2 است.

بدیهی است که اگر تعداد بردارها در یک مجموعه بیشتر از ابعاد آنها باشد ( ک>ن، پس آنها لزوماً به صورت خطی وابسته هستند.

رتبه ماتریسی(با رتبه مشخص می شود) الف)) رتبه سیستم بردارهایی است که از آن تشکیل شده است. اگرچه هر ماتریسی را می توان به دو صورت (بردارهای ستونی یا ردیفی) نشان داد، اما این بر مقدار رتبه تأثیر نمی گذارد، زیرا

1.14. ماتریس معکوس

ماتریس مربع الفاگر منحصر به فرد داشته باشد، غیر منحط نامیده می شود معکوسماتریس الف-1، با شرایط تعیین می شود

A.A. −1 = الف −1 الف = من.

ماتریس معکوس برای همه ماتریس ها وجود ندارد. شرط لازم و کافی برای عدم انحطاط است

دت( الف) ≠ 0 یا رتبه( الف) = ن.

وارونگی ماتریس یک روش پیچیده است که برنامه های خاصی برای آن وجود دارد. به عنوان مثال،

برنج. 17 وارونگی ماتریس

اجازه دهید فرمول هایی را برای ساده ترین حالت - یک ماتریس 2×2 ارائه کنیم

اگر ماتریس ها الفو بپس منحط نیستند

(AB) −1 = ب −1 الف −1 .

1.15. ماتریس شبه معکوس

اگر ماتریس الفمفرد است و ماتریس معکوس وجود ندارد، پس در برخی موارد می توانید استفاده کنید شبه معکوسماتریس که به عنوان چنین ماتریسی تعریف می شود الف+ اون

A.A. + الف = الف.

ماتریس شبه معکوس تنها نیست و شکل آن به روش ساخت بستگی دارد. به عنوان مثال، برای یک ماتریس مستطیلی می توانید از روش مور-پنروز استفاده کنید.

اگر تعداد ستون ها کمتر از تعداد ردیف ها باشد، پس

الف + =(الفتی الف) −1 الفتی

به عنوان مثال،

برنج. 17a شبه وارونگی یک ماتریس

اگر تعداد ستون ها از تعداد سطرها بیشتر باشد، پس

الف + =الف t( A.A.ت) −1

1.16. ضرب یک بردار در یک ماتریس

بردار xرا می توان در یک ماتریس ضرب کرد الفاندازه مناسب در این حالت بردار ستون در سمت راست ضرب می شود تبر، و ردیف برداری در سمت چپ است xتی الف. اگر بعد برداری جیو بعد ماتریس من× جیسپس نتیجه یک بردار بعد خواهد بود من. به عنوان مثال،

برنج. 18 ضرب بردار در ماتریس

اگر ماتریس الف- مربع ( من× من، سپس بردار y = تبرهمان ابعاد را دارد x. بدیهی است که

الف(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 تبر 1 + α 2 تبر 2 .

بنابراین، ماتریس ها را می توان به عنوان تبدیل های خطی بردارها در نظر گرفت. به طور خاص IX = x, گاو نر = 0 .

2. اطلاعات تکمیلی

2.1. سیستم های معادلات خطی

اجازه دهید الف- اندازه ماتریس من× جی، A ب- بردار ابعاد جی. معادله را در نظر بگیرید

تبر = ب

نسبت به بردار x، ابعاد من. در اصل، این یک سیستم است منمعادلات خطی با جیناشناخته x 1 ,...,x جی. راه حل وجود دارد اگر و فقط اگر

رتبه ( الف) = رتبه ( ب) = آر,

کجا بیک ماتریس توسعه یافته از ابعاد است من×( J+1) متشکل از یک ماتریس الف، با یک ستون تکمیل شده است ب, ب = (الف ب). در غیر این صورت، معادلات ناسازگار هستند.

اگر آر = من = جی، سپس راه حل منحصر به فرد است

x = الف −1 ب.

اگر آر < من، سپس راه حل های مختلفی وجود دارد که می توانند از طریق یک ترکیب خطی بیان شوند جی−آربردارها سیستم معادلات همگن تبر = 0 با ماتریس مربع الف (ن× ن) یک راه حل غیر ضروری دارد ( x ≠ 0 ) اگر و فقط اگر det( الف) = 0. اگر آر= رتبه( الف)<ن، سپس وجود دارد ن−آرراه حل های مستقل خطی

2.2. اشکال دو خطی و درجه دوم

اگر الفیک ماتریس مربع است و xو y- بردار بعد مربوطه، سپس حاصل ضرب اسکالر فرم xتی آیتماس گرفت دو خطیفرم تعریف شده توسط ماتریس الف. در x = yبیان xتی تبرتماس گرفت درجه دومفرم.

2.3. ماتریس های قطعی مثبت

ماتریس مربع الفتماس گرفت مثبت قطعی، اگر برای هر بردار غیر صفر باشد x ≠ 0 ,

xتی تبر > 0.

به طور مشابه تعریف شده است منفی (xتی تبر < 0), غیر منفی (xتی تبر≥ 0) و منفی (xتی تبر≤ 0) ماتریس های خاص.

2.4. تجزیه کولسکی

اگر ماتریس متقارن الفمثبت قطعی است، پس یک ماتریس مثلثی منحصر به فرد وجود دارد Uبا عناصر مثبت، که برای آن

الف = Uتی U.

به عنوان مثال،

برنج. 19 تجزیه کولسکی

2.5. تجزیه قطبی

اجازه دهید الفیک ماتریس مربع غیرمفرد ابعاد است ن× ن. سپس یک منحصر به فرد وجود دارد قطبیعملکرد

الف = S.R.

کجا اسیک ماتریس متقارن غیر منفی است و آریک ماتریس متعامد است. ماتریس ها اسو آررا می توان به صراحت تعریف کرد:

اس 2 = A.A. t یا اس = (A.A.ت) ½ و آر = اس −1 الف = (A.A. t) -½ الف.

به عنوان مثال،

برنج. 20 تجزیه قطبی

اگر ماتریس الفمنحط است، پس تجزیه منحصر به فرد نیست - یعنی: اسهنوز تنهاست اما آرشاید خیلی تجزیه قطبی نشان دهنده ماتریس است الفبه عنوان ترکیبی از فشرده سازی / گسترش اسو بچرخانید آر.

2.6. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه

اجازه دهید الفیک ماتریس مربع است. بردار vتماس گرفت بردار ویژهماتریس ها الف، اگر

Av = λ v,

جایی که عدد λ نامیده می شود ارزش ویژهماتریس ها الف. بنابراین، تبدیلی که ماتریس انجام می دهد الفبالای بردار v، به کشش یا فشرده سازی ساده با ضریب λ می رسد. بردار ویژه تا ضرب در ثابت α ≠ 0 تعیین می شود، یعنی. اگر vیک بردار ویژه است، سپس α v- همچنین یک بردار ویژه.

2.7. مقادیر ویژه

در ماتریس الف، بعد ( ن× ن) نمی تواند بیشتر از نمقادیر ویژه راضی می کنند معادله مشخصه

دت( الف − λ من) = 0,

که یک معادله جبری است ن- مرتبه به طور خاص، برای یک ماتریس 2×2 معادله مشخصه شکل دارد

به عنوان مثال،

برنج. 21 مقادیر ویژه

مجموعه ای از مقادیر ویژه λ 1،...، λ نماتریس ها الفتماس گرفت طیف الف.

طیف دارای خواص مختلفی است. به طور خاص

دت( الف) = λ 1 ×...×λ ن,Sp( الف) = λ 1 +...+λ ن.

مقادیر ویژه یک ماتریس دلخواه می تواند اعداد مختلط باشد، اما اگر ماتریس متقارن باشد ( الف t = الف، سپس مقادیر ویژه آن واقعی هستند.

2.8. بردارهای ویژه

در ماتریس الف، بعد ( ن× ن) نمی تواند بیشتر از نبردارهای ویژه که هر کدام با مقدار ویژه خود مطابقت دارد. برای تعیین بردار ویژه v nنیاز به حل یک سیستم معادلات همگن است

(الف − λ n من)v n = 0 .

این یک راه حل غیر ضروری دارد، زیرا det( الف -λ n من) = 0.

به عنوان مثال،

برنج. 22 بردار ویژه

بردارهای ویژه یک ماتریس متقارن متعامد هستند.

مقادیر ویژه (اعداد) و بردارهای ویژه.
نمونه هایی از راه حل ها

خودت باش

از هر دو معادله نتیجه می شود که .

آن وقت بگذاریم: .

در نتیجه: – بردار ویژه دوم.

بیایید تکرار کنیم نکات مهمراه حل ها:

- سیستم حاصل مطمئناً یک راه حل کلی دارد (معادلات به صورت خطی وابسته هستند).

– “y” را طوری انتخاب می کنیم که عدد صحیح باشد و مختصات “x” اول عدد صحیح، مثبت و تا حد امکان کوچک باشد.

- بررسی می کنیم که راه حل خاص هر معادله سیستم را برآورده می کند.

پاسخ دهید .

"نقاط بازرسی" میانی به اندازه کافی وجود داشت، بنابراین بررسی برابری، در اصل، غیر ضروری است.

در منابع مختلف اطلاعات، مختصات بردارهای ویژه اغلب نه در ستون ها، بلکه در ردیف ها نوشته می شود، به عنوان مثال: (و صادقانه بگویم، من خودم عادت دارم آنها را در خطوط بنویسم). این گزینه قابل قبول است، اما با توجه به موضوع تبدیلات خطیاستفاده از نظر فنی راحت تر است بردارهای ستونی.

شاید راه حل برای شما بسیار طولانی به نظر می رسید، اما این تنها به این دلیل است که من در مورد مثال اول با جزئیات بسیار توضیح دادم.

مثال 2

ماتریس ها

بیایید خودمان تمرین کنیم! یک مثال تقریبی از یک کار پایانی در پایان درس.

گاهی اوقات لازم است انجام دهید وظیفه اضافی، یعنی:

تجزیه ماتریس متعارف را بنویسید

چیست؟

اگر بردارهای ویژه ماتریس تشکیل شود اساس، سپس می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

کجا یک ماتریس از مختصات بردارهای ویژه تشکیل شده است، - موربماتریس با مقادیر ویژه مربوطه

این تجزیه ماتریس نامیده می شود متعارفیا مورب.

بیایید به ماتریس مثال اول نگاه کنیم. بردارهای ویژه آن مستقل خطی(غیر خطی) و پایه را تشکیل می دهند. بیایید یک ماتریس از مختصات آنها ایجاد کنیم:

روشن مورب اصلیماتریس ها به ترتیب مناسبمقادیر ویژه قرار دارند و عناصر باقی مانده برابر با صفر هستند:
- من یک بار دیگر بر اهمیت ترتیب تأکید می کنم: "دو" مربوط به بردار 1 است و بنابراین در ستون 1 قرار دارد، "سه" - به بردار 2.

استفاده از الگوریتم معمول برای یافتن ماتریس معکوسیا روش گاوس-اردنما پیدا می کنیم . نه، اشتباه تایپی نیست! - قبل از شما یک رویداد نادر است، مانند خورشید گرفتگی، زمانی که معکوس با ماتریس اصلی منطبق است.

باقی مانده است که تجزیه متعارف ماتریس را بنویسیم:

سیستم را می توان با استفاده از تبدیل های ابتدایی حل کرد و در مثال های زیر به این روش متوسل می شویم. اما در اینجا روش "مدرسه" بسیار سریعتر کار می کند. از معادله 3 بیان می کنیم: - جایگزین به معادله دوم:

از آنجایی که مختصات اول صفر است، سیستمی به دست می آید که از هر معادله آن نتیجه می شود که .

و دوباره به حضور اجباری یک رابطه خطی توجه کنید. اگر فقط یک راه حل پیش پا افتاده به دست آید ، سپس یا مقدار ویژه اشتباه پیدا شد، یا سیستم با یک خطا کامپایل/حل شد.

مختصات فشرده مقدار را می دهد

بردار ویژه:

و یک بار دیگر، ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است تمام معادلات سیستم را برآورده می کند. در پاراگراف های بعدی و در کارهای بعدی، توصیه می کنم این آرزو را به عنوان یک قانون اجباری در نظر بگیرید.

2) برای مقدار ویژه، با استفاده از همان اصل، سیستم زیر را به دست می آوریم:

از معادله 2 سیستم بیان می کنیم: - جایگزین به معادله سوم:

از آنجایی که مختصات "زتا" صفر است، سیستمی را از هر معادله به دست می آوریم که یک وابستگی خطی از آن به دست می آید.

اجازه دهید

بررسی که راه حل تمام معادلات سیستم را برآورده می کند.

بنابراین، بردار ویژه عبارت است از: .

3) و در نهایت، سیستم با مقدار ویژه مطابقت دارد:

معادله دوم ساده ترین به نظر می رسد، بنابراین بیایید آن را بیان کنیم و آن را با معادلات 1 و 3 جایگزین کنیم:

همه چیز خوب است - یک رابطه خطی ظاهر شده است که ما آن را به عبارت جایگزین می کنیم:

در نتیجه "x" و "y" از طریق "z" بیان شد: . در عمل، دستیابی به چنین روابطی ضروری نیست. یا حتی "قطار" - به عنوان مثال، "X" از طریق "I"، و "I" از طریق "Z"

آن وقت بگذاریم:

ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است هر معادله سیستم را برآورده می کند و بردار ویژه سوم را می نویسد

پاسخ دهید: بردارهای ویژه:

از نظر هندسی، این بردارها سه جهت فضایی مختلف را تعریف می کنند ("عقب و جلو")، بر اساس آن تبدیل خطیبردارهای غیر صفر (بردارهای ویژه) را به بردارهای خطی تبدیل می کند.

اگر شرط مستلزم یافتن تجزیه متعارف بود، در اینجا این امکان وجود دارد، زیرا مقادیر ویژه مختلف با بردارهای ویژه مستقل خطی متفاوت مطابقت دارند. ساخت ماتریس از مختصات آنها، ماتریس مورب از مربوطهمقادیر ویژه و پیدا کردن ماتریس معکوس .

اگر، طبق شرط، نیاز به نوشتن دارید ماتریس تبدیل خطی بر اساس بردارهای ویژه، سپس پاسخ را در فرم می دهیم. تفاوت وجود دارد و تفاوت قابل توجه است!زیرا این ماتریس ماتریس "de" است.

مشکل با بیشتر محاسبات سادهبرای تصمیم مستقل:

مثال 5

بردارهای ویژه یک تبدیل خطی داده شده توسط یک ماتریس را پیدا کنید

هنگام پیدا کردن اعداد خود، سعی کنید تمام راه را به یک چند جمله ای درجه 3 نبرید. علاوه بر این، راه حل های سیستم شما ممکن است با راه حل های من متفاوت باشد - در اینجا هیچ قطعیتی وجود ندارد. و بردارهایی که پیدا می کنید ممکن است با بردارهای نمونه تا تناسب مختصات مربوطه آنها متفاوت باشد. به عنوان مثال، و. ارائه پاسخ در فرم از نظر زیبایی‌شناختی خوشایندتر است، اما اگر روی گزینه دوم متوقف شوید اشکالی ندارد. با این حال، محدودیت های معقولی برای همه چیز وجود دارد.

نمونه نهایی تقریبی تکلیف در پایان درس.

چگونه مشکل را در مورد مقادیر ویژه چندگانه حل کنیم؟

الگوریتم کلی یکسان است، اما ویژگی های خاص خود را دارد و توصیه می شود برخی از بخش های راه حل را به سبک آکادمیک دقیق تری نگه دارید:

مثال 6

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

راه حل

البته، بیایید ستون اول شگفت انگیز را با حروف بزرگ بنویسیم:

و بعد از فاکتورگیری مثلث درجه دوم:

در نتیجه مقادیر ویژه به دست می آید که دو عدد از آنها مضرب هستند.

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) بیایید با یک سرباز تنها طبق یک طرح "ساده شده" برخورد کنیم:

از دو معادله آخر، برابری به وضوح قابل مشاهده است، که بدیهی است که باید به معادله 1 سیستم جایگزین شود:

ترکیب بهتری پیدا نخواهید کرد:
بردار ویژه:

2-3) حالا چند نگهبان را حذف می کنیم. در این مورد ممکن است معلوم شود یا دو یا یکبردار ویژه صرف نظر از تعدد ریشه ها، مقدار را به جای تعیین کننده قرار می دهیم که بعدی را برای ما به ارمغان می آورد سیستم همگن معادلات خطی:

بردارهای ویژه دقیقاً بردار هستند
سیستم اساسی راه حل ها

در واقع، در کل درس، ما کاری جز یافتن بردارهای سیستم بنیادی انجام ندادیم. فقط این است که در حال حاضر این اصطلاح به ویژه مورد نیاز نبود. به هر حال، آن دانش آموزان باهوشی که با لباس های استتاری موضوع را از دست دادند معادلات همگن، اکنون مجبور به کشیدن آن می شود.

تنها اقدام حذف خطوط اضافی بود. نتیجه یک ماتریس یک به سه با یک "گام" رسمی در وسط است.
– متغیر پایه، – متغیرهای آزاد. دو متغیر رایگان وجود دارد، بنابراین، همچنین دو بردار از سیستم بنیادی وجود دارد.

بیایید متغیر پایه را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم: . ضریب صفر در مقابل "X" به آن اجازه می دهد تا کاملاً هر مقداری را به خود بگیرد (که به وضوح از سیستم معادلات قابل مشاهده است).

در زمینه این مشکل، راحت تر است که راه حل کلی را نه در یک ردیف، بلکه در یک ستون بنویسید:

جفت مربوط به بردار ویژه است:
جفت مربوط به بردار ویژه است:

توجه داشته باشید : خوانندگان پیچیده می توانند این بردارها را به صورت شفاهی انتخاب کنند - به سادگی با تجزیه و تحلیل سیستم ، اما در اینجا به مقداری دانش نیاز است: سه متغیر وجود دارد، رتبه ماتریس سیستم- یک، یعنی سیستم تصمیم گیری اساسیشامل 3 – 1 = 2 بردار است. با این حال، بردارهای یافت شده حتی بدون این دانش، صرفاً در سطح شهودی، به وضوح قابل مشاهده هستند. در این صورت، بردار سوم حتی «زیباتر» نوشته خواهد شد: . با این حال، من به شما هشدار می دهم که در یک مثال دیگر، ممکن است یک انتخاب ساده امکان پذیر نباشد، به همین دلیل این بند برای افراد با تجربه در نظر گرفته شده است. علاوه بر این، چرا مثلاً به عنوان بردار سوم در نظر نگیریم؟ از این گذشته، مختصات آن نیز هر معادله سیستم و بردارها را برآورده می کند مستقل خطی این گزینه، در اصل، مناسب است، اما "کج" است، زیرا بردار "دیگر" ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی است.

پاسخ دهید: مقادیر ویژه: , بردارهای ویژه:

یک مثال مشابه برای یک راه حل مستقل:

مثال 7

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

نمونه تقریبی طرح نهایی در پایان درس.

لازم به ذکر است که در هر دو مثال ششم و هفتم سه بردار ویژه خطی مستقل به دست می آید و بنابراین ماتریس اصلی در تجزیه متعارف قابل نمایش است. اما چنین تمشک در همه موارد اتفاق نمی افتد:

مثال 8

راه حل: بیایید معادله مشخصه را ایجاد و حل کنیم:

بیایید تعیین کننده در ستون اول را گسترش دهیم:

ما با اجتناب از چند جمله ای درجه 3، ساده سازی های بیشتری را مطابق روش در نظر گرفته انجام می دهیم:

- مقادیر ویژه

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) هیچ مشکلی با ریشه وجود ندارد:

تعجب نکنید، علاوه بر کیت، متغیرهایی نیز در حال استفاده هستند - در اینجا تفاوتی وجود ندارد.

از معادله 3 آن را بیان می کنیم و به معادلات 1 و 2 جایگزین می کنیم:

از هر دو معادله به دست می آید:

سپس اجازه دهید:

2-3) برای مقادیر چندگانه، سیستم را دریافت می کنیم .

بیایید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام برسانیم:

www.siteبه شما امکان می دهد پیدا کنید. سایت محاسبه را انجام می دهد. در عرض چند ثانیه سرور راه حل صحیح را ارائه می دهد. معادله مشخصه برای ماتریسیک عبارت جبری خواهد بود که با استفاده از قانون محاسبه دترمینان پیدا می شود ماتریس ها ماتریس ها، در حالی که در طول مورب اصلی تفاوت هایی در مقادیر عناصر مورب و متغیر وجود خواهد داشت. هنگام محاسبه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین، هر عنصر ماتریس هابا سایر عناصر مربوطه ضرب خواهد شد ماتریس ها. در حالت پیدا کنید آنلاینفقط برای مربع امکان پذیر است ماتریس ها. عملیات یافتن معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبه محاسبه مجموع جبری حاصلضرب عناصر کاهش می یابد ماتریس هادر نتیجه یافتن عامل تعیین کننده ماتریس ها، فقط به منظور تعیین معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. این عملیات در نظریه جایگاه ویژه ای دارد ماتریس ها، به شما امکان می دهد مقادیر ویژه و بردارها را با استفاده از ریشه پیدا کنید. وظیفه پیدا کردن معادله مشخصه برای ماتریس آنلایناز عناصر در حال ضرب تشکیل شده است ماتریس هاپس از جمع آوری این محصولات بر اساس یک قانون خاص. www.siteپیدا می کند معادله مشخصه برای ماتریسابعاد داده شده در حالت آنلاین. محاسبه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبا توجه به ابعاد آن، این یافتن یک چند جمله ای با ضرایب عددی یا نمادین است که بر اساس قاعده محاسبه تعیین کننده پیدا می شود. ماتریس ها- به عنوان مجموع حاصل از عناصر مربوطه ماتریس ها، فقط به منظور تعیین معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. پیدا کردن چند جمله ای با توجه به یک متغیر برای درجه دوم ماتریس ها، به عنوان یک تعریف معادله مشخصه برای ماتریس، در تئوری رایج است ماتریس ها. معنی ریشه های چند جمله ای معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبرای تعیین بردارهای ویژه و مقادیر ویژه برای ماتریس ها. علاوه بر این، اگر تعیین کننده ماتریس هاپس برابر با صفر خواهد بود معادله مشخصه ماتریسبر خلاف عکس، همچنان وجود خواهد داشت ماتریس ها. به منظور محاسبه معادله مشخصه برای ماتریسیا به طور همزمان چند مورد را پیدا کنید معادلات مشخصه ماتریس، شما باید زمان و تلاش زیادی را صرف کنید، در حالی که سرور ما در عرض چند ثانیه آن را پیدا خواهد کرد معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. در این صورت، پاسخ به یافتن معادله مشخصه برای ماتریس آنلایندرست و با دقت کافی خواهد بود، حتی اگر اعداد در هنگام پیدا کردن معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینغیر منطقی خواهد بود در وب سایت www.siteورود کاراکترها در عناصر مجاز است ماتریس ها، یعنی معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینهنگام محاسبه می توان به صورت نمادین کلی نشان داد معادله مشخصه ماتریس آنلاین. بررسی پاسخ به دست آمده هنگام حل مشکل یافتن مفید است معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبا استفاده از سایت www.site. هنگام انجام عملیات محاسبه چند جمله ای - معادله مشخصه ماتریس، هنگام حل این مشکل باید دقت و تمرکز فوق العاده ای داشته باشید. به نوبه خود، سایت ما به شما کمک می کند تا تصمیم خود را در مورد موضوع بررسی کنید معادله مشخصه یک ماتریس آنلاین. اگر برای بررسی طولانی مشکلات حل شده وقت ندارید، پس www.siteمطمئناً ابزار مناسبی برای بررسی هنگام یافتن و محاسبه خواهد بود معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین.

دستورالعمل ها

اگر بردار x وجود داشته باشد که Ax=kx باشد، عدد k را یک مقدار ویژه (عدد) از ماتریس A می نامند. (1) در این مورد، بردار x بردار ویژه ماتریس A نامیده می شود که مربوط به عدد k در فضای R^n (نگاه کنید به شکل 1)، ماتریس A شکلی مانند شکل دارد.

لازم است وظیفه یافتن بردارهای ماتریس A را تعیین کنیم. اجازه دهید بردار ویژه x با مختصات داده شود. در شکل ماتریسی، به عنوان یک ماتریس ستونی نوشته می شود که برای راحتی باید به عنوان یک ردیف جابجا شده نشان داده شود. X=(x1,x2,…,xn)^T بر اساس (1)، Ax-khx=0 یا Ax-kEx=0، که در آن E ماتریس هویت است (یکهایی در مورب اصلی، همه عناصر دیگر صفر هستند. ). سپس (A-kE)x=0. (2)

بیان (2) معادلات جبری همگن خطی دارای جواب غیر صفر (بردار ویژه) است. بنابراین، تعیین کننده اصلی سیستم (2) برابر با صفر است، یعنی |A-kE|=0. (3) آخرین برابری مقدار ویژه k معادله مشخصه ماتریس A نامیده می شود و به شکل بسط یافته شکل دارد (شکل 2 را ببینید).

جایگزینی ریشه k معادله مشخصه به سیستم (2)، یک سیستم همگن از معادلات خطی با یک ماتریس منفرد (تعیین کننده آن صفر است). هر جواب غیر صفر این سیستم بردار ویژه ماتریس A مربوط به مقدار ویژه k (یعنی ریشه معادله مشخصه) است.

مثال. مقادیر ویژه و بردارهای ماتریس A را بیابید (شکل 3 را ببینید). معادله مشخصه در شکل نشان داده شده است. 3. تعیین کننده را بسط دهید و مقادیر ویژه ماتریس را پیدا کنید که معادله داده شده (3-k)(-1-k)-5=0، (k-3)(k+1)-5=0 است. ، k^2-2k -8=0 ریشه های آن k1=4، k2=-2 است

الف) بردارهای ویژه مربوط به k1=4 با حل سیستم (A-4kE)х=0 پیدا می شوند. در این مورد، تنها یکی از معادلات آن مورد نیاز است، زیرا تعیین کننده سیستم به وضوح برابر با صفر است. اگر x=(x1, x2)^T را قرار دهیم، اولین معادله سیستم (1-4)x1+x2=0، -3x1+x2=0 است. اگر فرض کنیم که x1=1 (اما نه صفر)، آنگاه x2=3. از آنجایی که یک سیستم همگن با یک ماتریس منفرد به تعداد دلخواه راه حل غیر صفر دارد، کل مجموعه بردارهای ویژه مربوط به اولین مقدار ویژه x =C1(1,3)، C1=const است.

ب) بردارهای ویژه مربوط به k2=-2 را بیابید. هنگام حل سیستم (A+2kE)x=0، معادله اول آن (3+2)x1+x2=0، 5x1+x2=0، اگر x1=1 قرار دهیم، آنگاه x2=-5 است. بردارهای ویژه مربوطه x =C2(1, 3)، C2=const. مجموعه کل همه بردارهای ویژه یک ماتریس معین: x = C1(1, 3)+ C2(1, 3).

منابع:

• پیسکونوف N.S. حساب دیفرانسیل و انتگرال. م.، 1976، - 576 ص.
• مقادیر ویژه و بردارهای ماتریس را بیابید

ماتریس ها، که شکل جدولی برای ثبت داده ها هستند، به طور گسترده هنگام کار با سیستم های معادلات خطی استفاده می شوند. علاوه بر این، تعداد معادلات تعداد ردیف های ماتریس را تعیین می کند و تعداد متغیرها ترتیب ستون های آن را تعیین می کند. در نتیجه حل سیستم های خطی به عملیات روی ماتریس کاهش می یابد که یکی از آنها یافتن مقادیر ویژه ماتریس است. محاسبه آنها با استفاده از معادله مشخصه انجام می شود. مقادیر ویژه را می توان برای یک ماتریس مربع از مرتبه m تعریف کرد.

دستورالعمل ها

یک مربع A را بنویسید. برای یافتن مقادیر ویژه آن، از معادله مشخصه حاصل از شرط حل غیرمعمول یک سیستم همگن خطی استفاده کنید، که در این مورد با ماتریس مربع نشان داده می شود. همانطور که از کرامر بر می آید، یک راه حل تنها زمانی وجود دارد که تعیین کننده آن برابر با صفر باشد. بنابراین، می توانیم معادله | را بنویسیم A - λE | = 0، که در آن A مقدار داده شده، λ اعداد مورد نیاز است، E ماتریس هویتی است که در آن تمام عناصر روی قطر اصلی برابر با یک و بقیه برابر با صفر هستند.

متغیر مورد نظر λ را در ماتریس هویت E با همان ابعاد A اصلی ضرب کنید. نتیجه عملیات ماتریسی خواهد بود که در آن مقادیر λ در امتداد مورب اصلی قرار دارند و عناصر باقی مانده برابر با صفر باقی می مانند. .