حدود ضرب در مزدوج آن. مثالی با بی نهایت. تعریف جهانی حد یک تابع

نظریه حدود یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مسئله حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل حدود وجود دارد انواع مختلف. ده ها تفاوت ظریف و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد این یا آن محدودیت را حل کنید. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما اول کوتاه پیشینه تاریخی. در قرن نوزدهم یک فرانسوی به نام آگوستین لوئی کوشی زندگی می کرد که تعاریف دقیقی برای بسیاری از مفاهیم ماتان ارائه کرد و پایه های آن را پی ریزی کرد. باید گفت که این ریاضیدان ارجمند در کابوس همه دانشجویان گروه های فیزیک و ریاضی بوده، هست و خواهد بود، چرا که تعداد زیادی قضایای آنالیز ریاضی را به اثبات رسانده و یکی از قضیه ها کشنده تر از دیگری است. در این زمینه، ما هنوز در نظر نخواهیم گرفت تعیین حد کوشی، اما بیایید سعی کنیم دو کار را انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. حل انواع اصلی محدودیت ها را بیاموزید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای یک قوری قابل درک باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و فقط یک مثال از چرایی مادربزرگ پشمالو...

هر محدودیتی از سه قسمت تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد حد، در این مورد. ورودی به عنوان "X تمایل به یک دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "X" در عمل متغیرهای دیگری وجود دارد. در کارهای عملی، مکان یک می تواند مطلقاً هر عدد و همچنین بی نهایت باشد ().
3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود ضبط به این صورت می‌خواند: «حد تابعی که x تمایل به وحدت دارد».

بیایید به سوال مهم بعدی نگاه کنیم - عبارت "x" به چه معناست؟ تلاش می کندبه یکی"؟ و حتی "تلاش" به چه معناست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، به اصطلاح، پویا. بیایید یک دنباله بسازیم: ابتدا، سپس،، ...، , ….
یعنی عبارت «x تلاش می کندبه یک" باید به صورت زیر درک شود: "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که به وحدت بی نهایت نزدیک و عملاً منطبق بر آن هستند.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید یکی را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

بنابراین، قانون اول: وقتی محدودیتی در نظر گرفته می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را به تابع متصل کنیم.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفتیم، اما اینها در عمل هم اتفاق می افتد و نه به ندرت!

مثال با بی نهایت:

بیایید بفهمیم که چیست؟ این در صورتی است که بدون محدودیت افزایش یابد، یعنی: اول، بعد، بعد، سپس و غیره تا بی نهایت.

در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، آنگاه تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، به جای "X"، بی نهایت را جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: وقتی تابع بدون محدودیت افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را برای خودتان تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین نوع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر شک دارید، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که سعی کنید دنباله , , را بسازید . اگر , پس , , .

! توجه داشته باشید: به بیان دقیق، این رویکرد برای ساخت دنباله های چند اعداد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با یک عدد بزرگ در بالا داده شود، یا حتی با یک میلیون: ، پس همه چیز یکسان است ، زیرا دیر یا زود "X" شروع به گرفتن چنین ارزش های غول پیکری می کند که یک میلیون در مقایسه یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید از موارد بالا به خاطر بسپارید و بفهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را در تابع جایگزین کنیم.

2) شما باید ساده ترین محدودیت ها را بفهمید و فوراً حل کنید، مانند و غیره .

علاوه بر این، حد دارای یک بسیار خوب است معنی هندسی. برای درک بهتر موضوع توصیه می کنم حتما مطالعه کنید مواد روش شناختی نمودارها و خواص توابع ابتدایی. پس از خواندن این مقاله، نه تنها در نهایت متوجه خواهید شد که محدودیت چیست، بلکه با موارد جالبی که محدودیت یک تابع به طور کلی وجود ندارد!

در عمل متاسفانه هدایایی کم است. و بنابراین ما به بررسی محدودیت های پیچیده تر می رویم. به هر حال، در مورد این موضوع وجود دارد دوره فشردهدر قالب pdf، که مخصوصاً اگر زمان بسیار کمی برای تهیه داشته باشید مفید است. اما مواد سایت، البته، بدتر نیستند:

حال گروهی از حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.

مثال:

حد محاسبه کنید

طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و لازم است برخی از تکنیک های راه حل را اعمال کنیم که اکنون آنها را بررسی می کنیم.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

توان پیشرو در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم:

بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به شرح زیر است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کرد.

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی اساساً در طراحی یک تصمیم مهم است؟

ابتدا، عدم قطعیت را در صورت وجود نشان می دهیم.

ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً ، در حد توصیه می شود علامت گذاری کنید که کجا می رود. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است:

بهتر است از یک مداد ساده برای یادداشت استفاده کنید.

البته لازم نیست هیچ یک از این کارها را انجام دهید، اما ممکن است معلم به کاستی های راه حل اشاره کند یا شروع به پرسیدن سؤالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداكثر مدرك در صورت‌حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
تکلیف کامل ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "X" در صورتگر: 2
حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

علامت گذاری به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بینهایت کوچک است.

بنابراین، با کشف عدم قطعیت گونه‌ها، ممکن است بتوانیم شماره نهایی، صفر یا بی نهایت.

محدودیت هایی با عدم قطعیت نوع و روش برای حل آنها

گروه بعدی حدود تا حدودی شبیه به حدودی است که به تازگی در نظر گرفته شده است: صورت و مخرج شامل چند جمله ای هستند، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت می رود. عدد محدود.

مثال 4

حل محدودیت
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را به کسر جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی : اگر صورت و مخرج دارای چند جمله ای باشند و شکل آن نامشخص باشد، آن را فاش کنید. شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شده اند، به صفحه مراجعه کنید فرمول ها و جداول ریاضیو مطالب آموزشی را بخوانید فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه. به هر حال، بهتر است آن را اغلب چاپ کنید، و اطلاعات بهتر از کاغذ جذب می شود.

پس بیایید حد خود را حل کنیم

صورت و مخرج را فاکتور بگیرید

برای فاکتور گرفتن عدد، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

ابتدا متمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن: .

اگر تفکیک کننده بزرگ باشد، برای مثال 361، از یک ماشین حساب استفاده می کنیم، تابع استخراج ریشه مربع در ساده ترین ماشین حساب است.

! اگر ریشه به طور کامل استخراج نشود (عدد کسری با کاما به دست می آید) به احتمال بسیار زیاد ممیز اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود داشته است.

بعد ریشه ها را پیدا می کنیم:

بدین ترتیب:

همه شمارنده فاکتوریزه شده است.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده سازی آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به موارد زیر خلاصه کرد:

حالا 1- را به عبارتی که زیر علامت حد باقی می ماند جایگزین می کنیم:

به طور طبیعی، در کار آزمایشی، در طول یک آزمون یا امتحان، راه حل هرگز با این جزئیات نوشته نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 5

حد محاسبه کنید

اول، نسخه "پایان" راه حل

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم.

شمارنده:
مخرج:



,

در این مثال چه چیزی مهم است؟
اولاً شما باید درک خوبی از نحوه آشکار شدن شمارنده داشته باشید، ابتدا 2 را از پرانتز خارج کردیم و سپس از فرمول تفاوت مربع ها استفاده کردیم. این فرمولی است که باید بدانید و ببینید.

توصیه: اگر در یک محدودیت (تقریباً از هر نوع) امکان خارج کردن یک عدد از پرانتز وجود داشته باشد، ما همیشه این کار را انجام می دهیم.
علاوه بر این، توصیه می شود چنین اعدادی را فراتر از نماد حد منتقل کنید. برای چی؟ بله، فقط برای اینکه آنها مانعی نشوند. نکته اصلی این است که این اعداد را بعداً در طول حل از دست ندهید.

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله نهاییمن تصمیم را فراتر از علامت حد به عنوان دو و سپس به عنوان یک منفی گرفتم.

! مهم است
در طول حل، قطعه نوع اغلب رخ می دهد. این کسر را کاهش دهیدممنوع است . ابتدا باید علامت صورت یا مخرج را تغییر دهید (1- را خارج از پرانتز قرار دهید).
یعنی علامت منفی ظاهر می شود که در محاسبه حد به آن توجه می شود و اصلا نیازی به از دست دادن آن نیست.

به طور کلی، من متوجه شدم که اغلب در یافتن حدود از این نوع شما باید دو معادله درجه دوم را حل کنید، یعنی هم صورت و هم مخرج شامل سه جمله ای درجه دوم هستند.

روش ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج

ما همچنان عدم قطعیت فرم را در نظر می گیریم

نوع بعدی محدودیت ها مشابه نوع قبلی است. تنها چیزی که علاوه بر چند جمله ای ها، ریشه ها را اضافه خواهیم کرد.

مثال 6

حد را پیدا کنید

بیایید شروع به تصمیم گیری کنیم.

ابتدا سعی می کنیم 3 را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم
یک بار دیگر تکرار می کنم - این اولین کاری است که باید برای هر محدودیتی انجام دهید. این عمل معمولاً به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس انجام می شود.

عدم قطعیت فرم به دست آمده است که باید برطرف شود.

همانطور که احتمالا متوجه شدید، شمارنده ما حاوی تفاوت ریشه ها است. و در ریاضیات مرسوم است که در صورت امکان از ریشه خلاص شوید. برای چی؟ و زندگی بدون آنها آسان تر است.

اول حد قابل توجهبرابری زیر نامیده می شود:

\begin(معادله)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله)

از آنجایی که برای $\alpha\to(0)$ ما $\sin\alpha\to(0)$ داریم، آنها می گویند که اولین حد قابل توجه عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ را نشان می دهد. به طور کلی، در فرمول (1)، به جای متغیر $\alpha$، هر عبارتی را می توان در زیر علامت سینوس و مخرج قرار داد، تا زمانی که دو شرط وجود داشته باشد:

1. عبارات زیر علامت سینوس و مخرج به طور همزمان به صفر تمایل دارند، یعنی. عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد.
2. عبارات زیر علامت سینوس و مخرج یکسان است.

نتایج حاصل از اولین حد قابل توجه نیز اغلب استفاده می شود:

\begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \پایان (معادله)

یازده مثال در این صفحه حل شده است. مثال شماره 1 به اثبات فرمول های (2)-(4) اختصاص دارد. مثال های شماره 2، شماره 3، شماره 4 و شماره 5 حاوی راه حل هایی با نظرات دقیق هستند. مثال‌های شماره 6-10 حاوی راه‌حل‌هایی هستند که عملاً هیچ نظری ندارند، زیرا توضیحات مفصل در مثال‌های قبلی ارائه شده است. راه حل از برخی استفاده می کند فرمول های مثلثاتیکه می توان یافت.

توجه می کنم که حضور توابع مثلثاتیهمراه با عدم قطعیت $\frac (0) (0)$ هنوز به معنای اعمال اجباری اولین حد قابل توجه نیست. گاهی اوقات تبدیل های مثلثاتی ساده کافی است - برای مثال، ببینید.

مثال شماره 1

ثابت کنید $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

الف) از آنجایی که $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$، پس:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

از آنجایی که $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ و $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$، که:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ب) تغییر $\alpha=\sin(y)$ را انجام دهیم. از آنجایی که $\sin(0)=0$، پس از شرط $\alpha\to(0)$، $y\to(0)$ داریم. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که در آن $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$، بنابراین:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

ج) جایگزین $\alpha=\tg(y)$ را بسازیم. از آنجایی که $\tg(0)=0$، پس شرایط $\alpha\to(0)$ و $y\to(0)$ معادل هستند. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که در آن $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ وجود دارد، بنابراین بر اساس نتایج نقطه a) خواهیم داشت:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

برابری های a)، b)، c) اغلب همراه با اولین حد قابل توجه استفاده می شود.

مثال شماره 2

حد $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) را محاسبه کنید (x+7))$.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ و $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$، یعنی. و هم صورت و هم مخرج کسر به طور همزمان به صفر تمایل دارند، پس در اینجا ما با عدم قطعیتی از شکل $\frac(0)(0)$ سر و کار داریم، یعنی. انجام شد. علاوه بر این، واضح است که عبارات زیر علامت سینوس و مخرج منطبق است (یعنی و راضی است):

بنابراین، هر دو شرط ذکر شده در ابتدای صفحه وجود دارد. از این نتیجه می شود که فرمول قابل اجرا است، یعنی. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 دلار.

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\راست))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 دلار.

مثال شماره 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ و $\lim_(x\to(0))x=0$، پس با عدم قطعیت شکل $\frac روبرو هستیم. (0)(0)$، یعنی. انجام شد. با این حال، عبارات زیر علامت سینوس و در مخرج منطبق نیستند. در اینجا باید عبارت در مخرج را به شکل دلخواه تنظیم کنید. ما نیاز داریم که عبارت $9x$ در مخرج باشد، سپس درست می شود. اساساً، ما ضریب 9 دلار را در مخرج از دست می دهیم، که وارد کردن آن چندان سخت نیست - فقط عبارت در مخرج را در 9 دلار ضرب کنید. به طور طبیعی، برای جبران ضرب در 9 دلار، باید بلافاصله بر 9 دلار تقسیم کنید:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

حال عبارات مخرج و زیر علامت سینوس بر هم منطبق هستند. هر دو شرط برای محدودیت $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ برآورده می شود. بنابراین، $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. و این به این معنی است که:

$9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

مثال شماره 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ و $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$، در اینجا با عدم قطعیت فرم سروکار داریم. $\frac(0)(0)$. با این حال، شکل اولین حد قابل توجه نقض شده است. یک عدد شامل $\sin(5x)$ به مخرج $5x$ نیاز دارد. در این شرایط، ساده‌ترین راه این است که صورت‌گر را بر 5x$ تقسیم کنید و بلافاصله در 5x$ ضرب کنید. علاوه بر این، عملیات مشابهی را با مخرج انجام می دهیم و $\tg(8x)$ را در $8x$ ضرب و تقسیم می کنیم:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

با کاهش $x$ و در نظر گرفتن ثابت $\frac(5)(8)$ خارج از علامت حد، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

توجه داشته باشید که $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ به طور کامل الزامات اولین حد قابل توجه را برآورده می کند. برای پیدا کردن $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ فرمول زیر قابل استفاده است:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

مثال شماره 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (به یاد داشته باشید که $\cos(0)=1$) و $\ lim_(x\to(0))x^2=0$، پس با عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. با این حال، برای اعمال اولین حد قابل توجه، باید از کسینوس در صورت خلاص شوید و به سینوس ها (برای اعمال فرمول) یا مماس ها (برای اعمال فرمول) بروید. این را می توان با تبدیل زیر انجام داد:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\راست)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

بیایید به حد مجاز برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\راست) $$

کسر $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ در حال حاضر به شکل مورد نیاز برای اولین حد قابل توجه نزدیک است. بیایید کمی با کسری $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ کار کنیم و آن را به اولین حد قابل توجه تنظیم کنیم (توجه داشته باشید که عبارات در عدد و زیر سینوس باید مطابقت داشته باشند):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2$$

بیایید به حد مورد نظر برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ و $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$، پس ما با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. اجازه دهید با کمک اولین حد قابل توجه آن را آشکار کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید از کسینوس به سینوس حرکت کنیم. از آنجایی که $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$، پس:

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

با عبور از سینوس در حد داده شده، خواهیم داشت:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\راست)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

مثال شماره 7

حد $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ را با توجه به $\alpha\neq محاسبه کنید \ بتا$.

توضیحات مفصل قبلا داده شد، اما در اینجا به سادگی توجه می کنیم که دوباره عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ وجود دارد. بیایید با استفاده از فرمول از کسینوس به سینوس حرکت کنیم

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

با استفاده از این فرمول، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ بتا(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to (0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ آلفا^2)(2)$.

مثال شماره 8

حد $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (به یاد داشته باشید که $\sin(0)=\tg(0)=0$) و $\ lim_(x\to(0))x^3=0$، پس در اینجا با عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ سروکار داریم. بیایید آن را به صورت زیر تقسیم کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\راست))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\راست))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

مثال شماره 9

حد $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2)) را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ و $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$، سپس عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد. قبل از ادامه گسترش آن، راحت است که متغیر را به گونه ای تغییر دهید که متغیر جدید به صفر گرایش پیدا کند (توجه داشته باشید که در فرمول ها متغیر $\alpha \ به 0$). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=x-3$ است. با این حال، به منظور راحتی تغییرات بیشتر (این مزیت را می توان در مسیر راه حل زیر مشاهده کرد)، ارزش جایگزینی زیر را دارد: $t=\frac(x-3)(2)$. توجه می کنم که هر دو جایگزین در این مورد قابل اجرا هستند، فقط جایگزینی دوم به شما امکان می دهد کمتر با کسری کار کنید. از $x\to(3)$، سپس $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\چپ|\frac (0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\راست) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

مثال شماره 10

حد $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right) را پیدا کنید. 2) دلار.

بار دیگر با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. قبل از ادامه بسط آن، راحت است که متغیر را به گونه ای تغییر دهید که متغیر جدید به سمت صفر گرایش پیدا کند (توجه داشته باشید که در فرمول ها متغیر $\alpha\to(0)$ است). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=\frac(\pi)(2)-x$ است. از $x\to\frac(\pi)(2)$، سپس $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\راست)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\راست)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

مثال شماره 11

محدودیت های $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) را پیدا کنید \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

در این مورد ما مجبور نیستیم از اولین محدودیت فوق العاده استفاده کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که حد اول و دوم فقط شامل توابع و اعداد مثلثاتی هستند. اغلب در نمونه هایی از این نوع می توان عبارت واقع در زیر علامت حد را ساده کرد. همچنین پس از ساده سازی و کاهش برخی عوامل مذکور، عدم قطعیت از بین می رود. من این مثال را فقط برای یک هدف آوردم: نشان دادن اینکه وجود توابع مثلثاتی در زیر علامت حد لزوماً به معنای استفاده از اولین حد قابل توجه نیست.

از آنجایی که $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (به یاد داشته باشید که $\sin\frac(\pi)(2)=1$) و $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (اجازه دهید به شما یادآوری کنم که $\cos\frac(\pi)(2)=0$)، سپس ما داریم برخورد با عدم قطعیت فرم $\frac(0)(0)$. با این حال، این بدان معنا نیست که ما نیاز به استفاده از اولین محدودیت فوق العاده خواهیم داشت. برای آشکار کردن عدم قطعیت، کافی است در نظر بگیرید که $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

راه حل مشابهی در کتاب حل دمیدویچ (شماره 475) وجود دارد. در مورد محدودیت دوم، مانند مثال های قبلی در این بخش، عدم قطعیت به شکل $\frac(0)(0)$ داریم. چرا بوجود می آید؟ به این دلیل به وجود می آید که $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ و $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. ما از این مقادیر برای تبدیل عبارات در صورت و مخرج استفاده می کنیم. هدف از اقدامات ما این است که جمع را در صورت و مخرج به عنوان یک حاصل ضرب بنویسیم. به هر حال، اغلب در یک نوع مشابه، تغییر یک متغیر راحت است، به گونه‌ای که متغیر جدید به سمت صفر می‌رود (به عنوان مثال، به مثال‌های شماره 9 یا شماره 10 در این صفحه مراجعه کنید). با این حال، در این مثال جایگزین کردن هیچ فایده ای ندارد، اگرچه در صورت تمایل، جایگزینی متغیر $t=x-\frac(2\pi)(3)$ دشوار نیست.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\راست )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

همانطور که می بینید، ما مجبور نبودیم اولین محدودیت فوق العاده را اعمال کنیم. البته در صورت تمایل می توانید این کار را انجام دهید (به یادداشت زیر مراجعه کنید) اما لازم نیست.

راه حل با استفاده از اولین حد قابل توجه چیست؟ نمایش/پنهان کردن

با استفاده از اولین محدودیت قابل توجه به دست می آوریم:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ راست))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\راست) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) دلار.

نظریه حدود یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مسئله حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل حدود از انواع مختلف وجود دارد. ده ها تفاوت ظریف و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد این یا آن محدودیت را حل کنید. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما ابتدا یک پیشینه تاریخی مختصر. در قرن نوزدهم مردی فرانسوی به نام آگوستین لوئی کوشی زندگی می‌کرد که پایه‌های آنالیز ریاضی را پایه‌ریزی کرد و تعاریف دقیق، به ویژه تعریف حد را ارائه کرد. باید گفت که همین کوشی در کابوس همه دانشجویان گروه های فیزیک و ریاضی بوده، هست و خواهد بود، زیرا او تعداد زیادی از قضایای آنالیز ریاضی را به اثبات رسانده است و هر قضیه ای نفرت انگیزتر از قضیه دیگر است. در این راستا، تعریف دقیقی از حد در نظر نخواهیم گرفت، بلکه سعی خواهیم کرد دو کار انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. حل انواع اصلی محدودیت ها را بیاموزید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای یک قوری قابل درک باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و فقط یک مثال از چرایی مادربزرگ پشمالو...

هر محدودیتی از سه قسمت تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد حد، در این مورد. ورودی به عنوان "X تمایل به یک دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "X" در عمل متغیرهای دیگری وجود دارد. در کارهای عملی، مکان یک می تواند مطلقاً هر عدد و همچنین بی نهایت باشد ().
3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود ورودی به این صورت می‌خواند: "محدودیت یک تابع به عنوان x تمایل به وحدت دارد."

بیایید به سوال مهم بعدی نگاه کنیم - عبارت "x" به چه معناست؟ تلاش می کندبه یکی"؟ و حتی "تلاش" به چه معناست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، به اصطلاح، پویا. بیایید یک دنباله بسازیم: ابتدا، سپس،، ...، , ….
یعنی عبارت «x تلاش می کندبه یک" باید به صورت زیر درک شود: "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که به وحدت بی نهایت نزدیک و عملاً منطبق بر آن هستند.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید یکی را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

بنابراین، قانون اول: وقتی محدودیتی در نظر گرفته می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را به تابع متصل کنیم.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفتیم، اما اینها در عمل هم اتفاق می افتد و نه به ندرت!

مثال با بی نهایت:

بیایید بفهمیم که چیست؟ این در صورتی است که بدون محدودیت افزایش یابد، یعنی: اول، بعد، بعد، سپس و غیره تا بی نهایت.

در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، آنگاه تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، به جای "X"، بی نهایت را جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: وقتی تابع بدون محدودیت افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را برای خودتان تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین نوع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر شک دارید، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که سعی کنید دنباله , , را بسازید . اگر , پس , , .

توجه: به بیان دقیق، این رویکرد برای ساخت دنباله های چند اعداد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با یک عدد بزرگ در بالا داده شود، یا حتی با یک میلیون: ، پس همه چیز یکسان است ، زیرا دیر یا زود "X" چنان ارزش های غول پیکری به خود می گیرد که یک میلیون در مقایسه با آنها یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید از موارد بالا به خاطر بسپارید و بفهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را در تابع جایگزین کنیم.

2) شما باید ساده ترین محدودیت ها مانند، و غیره را درک کرده و فوراً حل کنید.

حال گروهی از حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.

مثال:

حد محاسبه کنید

طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و لازم است برخی از تکنیک های راه حل را اعمال کنیم که اکنون آنها را بررسی می کنیم.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

توان پیشرو در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم:

بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به شرح زیر است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کرد.

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی اساساً در طراحی یک تصمیم مهم است؟

ابتدا، عدم قطعیت را در صورت وجود نشان می دهیم.

ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً ، در حد توصیه می شود علامت گذاری کنید که کجا می رود. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است:

بهتر است از یک مداد ساده برای یادداشت استفاده کنید.

البته لازم نیست هیچ یک از این کارها را انجام دهید، اما ممکن است معلم به کاستی های راه حل اشاره کند یا شروع به پرسیدن سؤالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداكثر مدرك در صورت‌حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
تکلیف کامل ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "X" در صورتگر: 2
حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

علامت گذاری به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بینهایت کوچک است.

بنابراین، با کشف عدم قطعیت گونه‌ها، ممکن است بتوانیم شماره نهایی، صفر یا بی نهایت.

محدودیت هایی با عدم قطعیت نوع و روش برای حل آنها

گروه بعدی حدود تا حدودی شبیه به حدودی است که به تازگی در نظر گرفته شده است: صورت و مخرج شامل چند جمله ای هستند، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت می رود. عدد محدود.

مثال 4

حل محدودیت
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را به کسر جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی: اگر صورت و مخرج دارای چند جمله ای باشند و شکل آن نامشخص باشد، آن را فاش کنید. شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شده اند، به صفحه مراجعه کنید فرمول ها و جداول ریاضیو مطالب آموزشی را بخوانید فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه. به هر حال، بهتر است آن را اغلب چاپ کنید، و اطلاعات بهتر از کاغذ جذب می شود.

پس بیایید حد خود را حل کنیم

صورت و مخرج را فاکتور بگیرید

برای فاکتور گرفتن عدد، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

ابتدا متمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن: .

اگر تفکیک کننده بزرگ باشد، برای مثال 361، از یک ماشین حساب استفاده می کنیم، تابع استخراج ریشه مربع در ساده ترین ماشین حساب است.

! اگر ریشه به طور کامل استخراج نشود (عدد کسری با کاما به دست می آید) به احتمال بسیار زیاد ممیز اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود داشته است.

بعد ریشه ها را پیدا می کنیم:

بدین ترتیب:

همه شمارنده فاکتوریزه شده است.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده سازی آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به موارد زیر خلاصه کرد:

حالا 1- را به عبارتی که زیر علامت حد باقی می ماند جایگزین می کنیم:

طبیعتاً در یک آزمون، آزمون یا امتحان، راه حل هرگز با این جزئیات توضیح داده نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 5

حد محاسبه کنید

اول، نسخه "پایان" راه حل

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم.

شمارنده:
مخرج:



,

در این مثال چه چیزی مهم است؟
اولاً شما باید درک خوبی از نحوه آشکار شدن شمارنده داشته باشید، ابتدا 2 را از پرانتز خارج کردیم و سپس از فرمول تفاوت مربع ها استفاده کردیم. این فرمولی است که باید بدانید و ببینید.

تابع y = f (x)قانون (قانونی) است که طبق آن هر عنصر x از مجموعه X با یک و تنها یک عنصر y از مجموعه Y مرتبط است.

عنصر x ∈ Xتماس گرفت آرگومان تابعیا متغیر مستقل.
عنصر y ∈ Yتماس گرفت مقدار تابعیا متغیر وابسته.

مجموعه X نامیده می شود دامنه تابع.
مجموعه ای از عناصر y ∈ Y، که دارای پیش تصویر در مجموعه X هستند، نامیده می شود ناحیه یا مجموعه ای از مقادیر تابع.

تابع واقعی نامیده می شود محدود از بالا (از پایین)، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که نابرابری برای همه برقرار باشد:
.
تابع عدد نامیده می شود محدود است، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای همه:
.

لبه بالایییا حد بالایی دقیقیک تابع واقعی به کوچکترین عددی گفته می شود که محدوده مقادیر آن را از بالا محدود می کند. یعنی این یک عدد s است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن از s بیشتر است: .
کران بالای یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

به ترتیب لبه پایینیا حد پایینی دقیقیک تابع واقعی به بزرگترین عددی گفته می شود که دامنه مقادیر آن را از پایین محدود می کند. یعنی این یک عدد i است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن کمتر از i است: .
infimum یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

تعیین حد یک تابع

تعیین حد یک تابع با توجه به کوشی

محدودیت های محدود تابع در نقاط پایانی

اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های نقطه پایانی، به استثنای خود نقطه، تعریف شود.
.
در یک نقطه، اگر برای هر یک، چنین چیزی وجود داشته باشد، بسته به آن، برای همه x که برای آن، نابرابری برقرار است
.
حد یک تابع به صورت زیر نشان داده می شود:

یا در .
.

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
محدودیت های یک طرفه
.
حد چپ در یک نقطه (محدودیت سمت چپ):
.
حد راست در یک نقطه (محدودیت سمت راست):
; .

حد چپ و راست اغلب به صورت زیر نشان داده می شود:

محدودیت های محدود یک تابع در نقاط بی نهایت
.
.
.
محدودیت ها در نقاط بی نهایت به روشی مشابه تعیین می شوند.
; ; .

اغلب به آنها اشاره می شود:

استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه
.
اگر مفهوم همسایگی سوراخ شده یک نقطه را معرفی کنیم، می‌توانیم یک تعریف واحد از حد محدود یک تابع در نقاط محدود و بینهایت دور ارائه دهیم:
; ;
.
اینجا برای نقاط پایانی
; ; .

هر همسایگی از نقاط در بی نهایت سوراخ می شود:

محدودیت های عملکرد نامحدود
تعریف اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های سوراخ شده یک نقطه (محدود یا در بی نهایت) تعریف شود. (x)حد تابع f 0 به صورت x → xبرابر است با بی نهایت ، اگر برای کسی، خودسرانهتعداد زیادی > 0 م > 0 ، یک عدد δ M وجود دارد
.
بسته به M، که برای همه x متعلق به δ M سوراخ شده - همسایگی نقطه:، نابرابری زیر برقرار است:
.
حد یک تابع به صورت زیر نشان داده می شود:

حد نامتناهی به صورت زیر نشان داده می شود:
.

همچنین می توانید تعاریفی از حد نامتناهی نشانه های معین برابر با و ارائه کنید:
.
.

تعریف جهانی حد یک تابع

با استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه، می‌توانیم یک تعریف جهانی از حد متناهی و نامتناهی یک تابع ارائه دهیم که برای نقاط متناهی (دو طرفه و یک طرفه) و بینهایت دور قابل استفاده است:
.

تعیین حد یک تابع از نظر هاینه

اجازه دهید تابع در مجموعه ای از X: تعریف شود.
عدد a حد تابع نامیده می شوددر نقطه:
,
اگر برای هر دنباله ای همگرا به x 0 :
,
که عناصر آن به مجموعه X تعلق دارند:
.

اجازه دهید این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول بنویسیم:
.

اگر همسایگی سمت چپ نقطه x را به عنوان مجموعه X در نظر بگیریم 0 ، سپس تعریف حد چپ را بدست می آوریم. اگر راست دست باشد، تعریف حد راست را می گیریم. اگر همسایگی یک نقطه در بینهایت را به عنوان یک مجموعه X بگیریم، تعریف حد یک تابع در بینهایت را به دست می آوریم.

قضیه
تعاریف کوشی و هاینه از حد یک تابع معادل هستند.
اثبات

خواص و قضایای حد یک تابع

علاوه بر این، فرض می کنیم که توابع مورد بررسی در همسایگی متناظر نقطه تعریف می شوند که یک عدد محدود یا یکی از نمادها است: .

همچنین می تواند یک نقطه حد یک طرفه باشد، یعنی فرم یا .

محله برای حد دو طرفه دو طرفه و برای حد یک طرفه یک طرفه است. (x)خواص اساسی اگر مقادیر تابع fتعداد محدودی از نقاط x را تغییر دهید (یا نامشخص کنید). 0 .

1، x 2، x 3، ... x n 0 ، آنگاه این تغییر بر وجود و مقدار حد تابع در نقطه دلخواه x تأثیری نخواهد داشت (x)اگر حد محدودی وجود داشته باشد، آنگاه یک همسایگی سوراخ شده از نقطه x وجود دارد
.

، که بر روی آن تابع f 0 محدود:
.
اجازه دهید تابع در نقطه x باشد 0 حد غیر صفر محدود:
سپس، برای هر عدد c از بازه، چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد
برای چه،

، اگر ؛

، اگر . 0
,
اگر در برخی از محله های سوراخ شده نقطه، , یک ثابت باشد، پس .

اگر حدود محدودی وجود داشته باشد و روی برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه x وجود داشته باشد
,
اگر در برخی از محله های سوراخ شده نقطه، , یک ثابت باشد، پس .
که .
,
اگر، و در برخی از محله های نقطه
به ویژه، اگر در برخی از محله های یک نقطه

سپس اگر، سپس و ; 0 :
,
اگر ، پس و .
اگر در محله سوراخ شده نقطه x
.

و حدهای مساوی متناهی (یا نامتناهی از یک علامت معین) وجود دارد:
، آن

اثبات خواص اصلی در صفحه آورده شده است

اجازه دهید توابع و در برخی از محله های سوراخ شده از نقطه تعریف شوند.
و بگذارید محدودیت های محدودی وجود داشته باشد:
و .
;
;
;
برای چه،

و C یک ثابت باشد، یعنی یک عدد معین. سپس

اگر، پس.
اثبات خواص حسابی در صفحه آورده شده است

"ویژگی های حسابی حدود یک تابع".

قضیه
معیار کوشی برای وجود حد یک تابع 0 به منظور تابعی که بر روی برخی از همسایگی های سوراخ شده یک محدود یا در نقطه بینهایت x تعریف شده است > 0 ، در این نقطه حد محدودی داشت، لازم و کافی است که برای هر ε 0 چنین محله سوراخ شده ای از نقطه x وجود داشت
.

، که برای هر نقطه و از این همسایگی، نابرابری زیر برقرار است:

حد یک تابع پیچیده
قضیه حد تابع مختلط
اجازه دهید تابع یک حد داشته باشد و یک محله سوراخ شده از یک نقطه را بر روی یک محله سوراخ شده از یک نقطه ترسیم کنید.
اجازه دهید تابع در این محله تعریف شود و محدودیتی در آن وجود داشته باشد.
.

در اینجا نکات نهایی یا بی نهایت دور وجود دارد: .
.

محله ها و حدود مربوط به آنها می تواند دو طرفه یا یک طرفه باشد.
.
سپس حدی از یک تابع مختلط وجود دارد و برابر است با:

قضیه حدی یک تابع مختلط زمانی اعمال می شود که تابع در نقطه ای تعریف نشده باشد یا مقداری متفاوت از حد داشته باشد.
برای اعمال این قضیه، باید یک همسایگی سوراخ شده از نقطه ای وجود داشته باشد که مجموعه مقادیر تابع حاوی نقطه نباشد: اگر تابع در نقطه پیوسته باشد، علامت حد را می توان به آرگومان تابع پیوسته اعمال کرد:در زیر یک قضیه مربوط به این مورد است. 0 قضیه حد تابع پیوسته یک تابع 0 :
.
اجازه دهید حدی از تابع g وجود داشته باشد 0 (t)
به عنوان t → t (x)، و برابر با x است 0 .
اینجا نقطه t است می تواند متناهی یا بی نهایت دور باشد: .و اجازه دهید تابع f در نقطه x پیوسته است:
.

سپس حدی از تابع مختلط f وجود دارد
(g(t))

، و برابر با f است

(x0)

محدودیت های عملکرد نامحدود
اثبات قضایا در صفحه آورده شده است
.

"محدودیت و تداوم یک تابع پیچیده".توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ

توابع بی نهایت کوچکبه تابعی می گویند که بی نهایت کوچک باشد اگر

جمع، تفاوت و محصول
,
تعداد محدودی از توابع بینهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است. محصول یک تابع محدود شدهدر برخی از محله های سوراخ شده نقطه، به یک بی نهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

برای اینکه یک تابع حد محدودی داشته باشد کافی و لازم است که

کجا - بی نهایت

محدودیت های عملکرد نامحدود
عملکرد کوچک
.

مجموع یا تفاضل یک تابع محدود، در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه، و یک تابع بی نهایت بزرگ در بی نهایت است. عملکرد عالیدر برخی از محله های سوراخ شده نقطه، به یک بی نهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

اگر تابع برای بی نهایت بزرگ باشد و تابع در محله سوراخ شده نقطه محدود شود،
.

اگر تابع، در یک محله سوراخ شده از نقطه، نابرابری را برآورده کند:
,
و تابع بی نهایت کوچک است در:
، و (در برخی از محله های سوراخ شده نقطه)، سپس
.

شواهد خواص در بخش ارائه شده است
"خواص توابع بی نهایت بزرگ".

رابطه بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

از دو ویژگی قبلی ارتباط بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک به دست می آید.

اگر تابعی در بی نهایت بزرگ باشد، تابع در بی نهایت کوچک است.

اگر تابعی برای و بی نهایت کوچک باشد، آنگاه تابع برای بی نهایت بزرگ است.

رابطه بین یک تابع بی نهایت کوچک و یک تابع بی نهایت بزرگ را می توان به صورت نمادین بیان کرد:
, .

اگر یک تابع بینهایت کوچک علامت مشخصی داشته باشد، یعنی مثبت (یا منفی) در محله سوراخ شده نقطه باشد، این واقعیت را می توان به صورت زیر بیان کرد:
.
به همین ترتیب، اگر یک تابع بی‌نهایت بزرگ علامت مشخصی داشته باشد، می‌نویسند:
.

سپس ارتباط نمادین بین توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ را می توان با روابط زیر تکمیل کرد:
, ,
, .

فرمول های اضافی مربوط به نمادهای بی نهایت را می توان در صفحه یافت
"نقاط در بی نهایت و خواص آنها."

حدود توابع یکنواخت

محدودیت های عملکرد نامحدود
تابعی که روی مجموعه ای از اعداد حقیقی X تعریف شده است فراخوانی می شود به شدت افزایش می یابد، اگر برای همه به گونه ای باشد که نابرابری زیر برقرار باشد:
.
بر این اساس، برای به شدت در حال کاهش استتابع نابرابری زیر برقرار است:
.
برای بدون کاهش:
.
برای غیر افزایشی:
.

نتیجه این است که یک تابع کاملاً افزایشی نیز غیر کاهشی است. یک تابع کاملاً کاهشی نیز غیرافزاینده است.

تابع فراخوانی می شود یکنواخت، اگر غیر کاهشی یا غیر افزایشی باشد.

قضیه
اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد.
اگر در بالا با عدد M محدود شود: آنگاه یک حد محدود وجود دارد.
اگر از بالا محدود نشده است، پس .

اگر از پایین با عدد m محدود شود: آنگاه یک حد محدود وجود دارد.
اگر از پایین محدود نمی شود، پس .

اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد.
;
.

سپس در نقاط a و b محدودیت های یک طرفه وجود دارد:

یک قضیه مشابه برای یک تابع غیر افزایشی.
;
.

اجازه دهید تابع در بازه زمانی که .
سپس محدودیت های یک طرفه وجود دارد:

اثبات قضیه در صفحه ارائه شده است
"حدود توابع یکنواخت".
ادبیات مورد استفاده:

L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.

CM. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.

مبحث 4.6 محاسبه حدود حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط از اهمیت قابل توجهی برخوردار است.1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در x تلاش برای 1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) درالف ، که در دامنه تعریف گنجانده شده است، برابر با مقدار جزئی تابع در x = است) .

، یعنی lim f(x)=f( الف 2. اگر

x به بی نهایت تمایل دارد

یا آرگومان به عددی گرایش پیدا می کند که به حوزه تعریف تابع تعلق ندارد، در هر صورت یافتن حد تابع نیاز به تحقیق خاصی دارد.

در زیر ساده‌ترین محدودیت‌ها بر اساس ویژگی‌های محدودیت‌ها که می‌توانند به عنوان فرمول استفاده شوند، آمده است:

موارد پیچیده تر برای یافتن حد یک تابع:

هر کدام جداگانه در نظر گرفته می شود. حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط از اهمیت قابل توجهی برخوردار است.1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در این بخش راه های اصلی افشای عدم قطعیت ها را تشریح می کند.

1. موردی که

تابع f(x) نشان دهنده نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک است حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط از اهمیت قابل توجهی برخوردار است.1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در الف) ابتدا باید مطمئن شوید که حد تابع را نمی توان با جایگزینی مستقیم پیدا کرد و با تغییر نشان داده شده در آرگومان، نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. با توجه به تعریف حد یک تابع، آرگومان x به مقدار حدی خود میل می کند و هرگز با آن منطبق نمی شود. 1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) دربه طور کلی، اگر کسی به دنبال حد یک تابع در است

، پس باید به خاطر داشت که x مقداری به خود نمی گیرد 1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در، یعنی x برابر با a نیست. 1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در.

ج) غیرمنطقی بودن در صورت یا مخرج با ضرب صورت یا مخرج در مزدوج به عبارت غیر منطقی از بین می رود سپس پس از ساده سازی کسر کاهش می یابد.

د) از حد قابل توجه اول (4.1) استفاده می شود.

ه) از قضیه هم ارزی بینهایت کوچک و از اصول زیر استفاده می شود:

2. موردی که حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط از اهمیت قابل توجهی برخوردار است.1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در تابع f(x) نشان دهنده نسبت دو کمیت بی نهایت بزرگ است

الف) تقسیم صورت و مخرج کسری بر بالاترین توان مجهول.

ب) به طور کلی می توانید از قانون استفاده کنید

3. موردی که حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط از اهمیت قابل توجهی برخوردار است.1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در تابع f (x) محصول یک کمیت بینهایت کوچک و یک مقدار بی نهایت بزرگ را نشان می دهد.

کسری به شکلی تبدیل می شود که صورت و مخرج آن به طور همزمان به 0 یا بی نهایت تمایل دارند، یعنی. مورد 3 به مورد 1 یا مورد 2 کاهش می یابد.

4. موردی که حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط از اهمیت قابل توجهی برخوردار است.1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در تابع f (x) تفاوت دو کمیت مثبت بی نهایت بزرگ را نشان می دهد

این مورد به یکی از روش های زیر به نوع 1 یا 2 کاهش می یابد:

الف) آوردن کسرها به مخرج مشترک؛

ب) تبدیل تابع به کسری؛

ج) رهایی از بی منطقی.

5. موردی که حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط از اهمیت قابل توجهی برخوردار است.1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در تابع f(x) توانی را نشان می دهد که پایه آن به 1 و توان آن به بی نهایت میل می کند.

تابع به گونه ای تبدیل شده است که از دومین حد قابل توجه (4.2) استفاده می کند.

مثال.پیدا کنید .

چون x به 3 تمایل داردسپس صورت کسر به عدد 3 2 +3 *3+4=22 و مخرج به عدد 3+8=11 میل می کند. از این رو،

مثال

در اینجا صورت و مخرج کسر است x تمایل به 2تمایل به 0 (عدم قطعیت نوع)، صورت و مخرج را فاکتور می گیریم، lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) را بدست می آوریم.

مثال

با ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج به صورت، داریم

با باز کردن پرانتز در صورت حساب، دریافت می کنیم

مثال

سطح 2. مثال. اجازه دهید مثالی از کاربرد مفهوم حد یک تابع در محاسبات اقتصادی ارائه دهیم. بیایید یک تراکنش مالی معمولی را در نظر بگیریم: وام دادن مبلغی اس 0 با این شرط که بعد از مدتی تیمبلغ مسترد خواهد شد اس تی. بیایید مقدار را تعیین کنیم r رشد نسبیفرمول

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

رشد نسبی را می توان با ضرب مقدار حاصل به صورت درصد بیان کرد rدر 100.

از فرمول (1) به راحتی می توان مقدار را تعیین کرد اس تی:

اس تی= اس 0 (1 + r)

هنگام محاسبه وام های بلند مدت چند سال های کامل، از طرح استفاده کنید بهره مرکب. این شامل این واقعیت است که اگر برای سال 1 مقدار اس 0 به (1 + افزایش می یابد r) بار، سپس برای سال دوم در (1 + r) برابر افزایش جمع اس 1 = اس 0 (1 + r) یعنی اس 2 = اس 0 (1 + r) 2 . به همین ترتیب معلوم می شود اس 3 = اس 0 (1 + r) 3. از مثال های بالا می توانید یک فرمول کلی برای محاسبه رشد مقدار برای بدست آورید nسالها هنگام محاسبه با استفاده از طرح بهره مرکب:

S n= اس 0 (1 + r) n.

در محاسبات مالی از طرح هایی استفاده می شود که سود مرکب چندین بار در سال محاسبه می شود. در این صورت شرط شده است نرخ سالانه rو تعداد اقلام تعهدی در سال ک. به عنوان یک قاعده، اقلام تعهدی در فواصل مساوی، یعنی طول هر بازه انجام می شود Tkبخشی از سال را تشکیل می دهد. سپس برای دوره در تیسال (اینجا تینه لزوما یک عدد صحیح). اس تیبا فرمول محاسبه می شود

(2)

قسمت صحیح عدد کجاست که با خود عدد منطبق است، اگر برای مثال، تی? عدد صحیح

نرخ سالانه باشد rو تولید می شود nاقلام تعهدی در سال در فواصل منظم. سپس برای سال مقدار اس 0 به مقدار تعیین شده توسط فرمول افزایش می یابد

(3)

در تحلیل نظری و عملی فعالیت های مالیاغلب از مفهوم "بهره انباشته پیوسته" استفاده می شود. برای انتقال به سود پیوسته، باید به ترتیب در فرمول های (2) و (3) به طور نامحدود اعداد را افزایش دهید. کو n(یعنی کارگردانی کردن کو nتا بی نهایت) و محاسبه کنید که توابع تا چه حدی تمایل دارند اس تیو اس 1. بیایید این روش را برای فرمول (3) اعمال کنیم:

توجه داشته باشید که محدودیت در براکت های فرفری با محدودیت قابل توجه دوم مطابقت دارد. نتیجه آن است که با نرخ سالانه rبا بهره تعلق پیوسته، مبلغ اس 0 در 1 سال به مقدار افزایش می یابد اس 1 * که از فرمول مشخص می شود

اس 1 * = اس 0 e r (4)

اجازه دهید در حال حاضر مجموع اس 0 به عنوان وام با بهره تعلق می گیرد nسالی یکبار در فواصل منظم بیایید نشان دهیم r eنرخ سالانه که در پایان سال مبلغ اس 0 به مقدار افزایش می یابد اس 1 * از فرمول (4). در این صورت خواهیم گفت r e- این نرخ بهره سالانه nیک بار در سال، معادل بهره سالانه rبا اقلام تعهدی مستمراز فرمول (3) بدست می آوریم

S* 1 =S 0 (1+r e/n) n

برابر کردن سمت راست آخرین فرمول و فرمول (4) با فرض دومی تی= 1، ما می توانیم روابط بین کمیت ها را استخراج کنیم rو r e:

این فرمول ها به طور گسترده در محاسبات مالی استفاده می شوند.