در این بخش ما بر روی یک کلاس خاص اما مهم از اشکال درجه دوم مثبت تمرکز خواهیم کرد.

تعریف 3. یک فرم درجه دوم واقعی را غیر منفی (غیر مثبت) می نامند اگر برای هر مقدار واقعی متغیرها

. (35)

در این حالت به ماتریس متقارن ضرایب، نیمه معین مثبت (نیمه معین منفی) می گویند.

تعریف 4. یک شکل درجه دوم واقعی را قطعی مثبت (معین منفی) می نامند اگر برای هر مقدار واقعی متغیرها که همزمان صفر نباشند،

. (36)

در این مورد، ماتریس را قطعی مثبت (معین منفی) نیز می نامند.

کلاس اشکال قطعی مثبت (مشخص منفی) بخشی از کلاس اشکال غیر منفی (مثلاً غیر مثبت) است.

اجازه دهید یک فرم غیر منفی داده شود. بیایید آن را به عنوان مجموع مربع های مستقل تصور کنیم:

. (37)

در این نمایش، تمام مربع ها باید مثبت باشند:

. (38)

در واقع، اگر وجود داشته باشد، می توان مقادیری از این قبیل را انتخاب کرد

اما پس از آن، با این مقادیر متغیرها، فرم دارای یک مقدار منفی خواهد بود که با شرایط غیرممکن است. بدیهی است که برعکس، از (37) و (38) نتیجه می شود که شکل مثبت است.

بنابراین، یک فرم درجه دوم غیر منفی با برابری ها مشخص می شود.

بگذارید اکنون یک شکل قطعی مثبت باشد. سپس یک شکل غیر منفی است. بنابراین می توان آن را به شکل (37) نشان داد که در آن همه مثبت هستند. از قطعیت مثبت شکل چنین برمی آید که . در واقع، در این مورد می توان مقادیری را انتخاب کرد که به طور همزمان برابر با صفر نیستند، که در آن همه به صفر تبدیل می شوند. اما سپس، به موجب (37)، برای، که با شرط (36) منافات دارد.

به راحتی می توان فهمید که برعکس، اگر در (37) و همه مثبت باشند، یک شکل قطعی مثبت است.

به عبارت دیگر، صورت غیر منفی اگر و فقط اگر مفرد نباشد، قطعی مثبت است.

قضیه زیر معیاری برای قطعیت مثبت یک فرم در قالب نابرابری هایی ارائه می دهد که ضرایب شکل باید برآورده شوند. در این مورد، نمادی که قبلاً در پاراگراف های قبلی برای مینورهای اصلی متوالی ماتریس با آن مواجه شده بود استفاده می شود:

.

قضیه 3. برای اینکه یک شکل درجه دوم قطعی مثبت باشد، لازم و کافی است که نابرابری ها برآورده شوند.

اثبات کفایت شرایط (39) مستقیماً از فرمول ژاکوبی (28) ناشی می شود. وجوب شرایط (39) به شرح زیر استقرار یافته است. از قطعیت مثبت فرم، قطعیت مثبت اشکال "قطع" به دنبال می آید

.

اما تمام این اشکال باید غیر مفرد باشند، یعنی.

اکنون این فرصت را داریم که از فرمول ژاکوبی (28) (در ) استفاده کنیم. از آنجایی که در سمت راست این فرمول همه مربع ها باید مثبت باشند، پس

این دلالت بر نابرابری دارد (39). قضیه ثابت شده است.

از آنجایی که هر مینور اصلی یک ماتریس، با شماره گذاری مجدد مناسب متغیرها، می تواند در گوشه سمت چپ بالا قرار گیرد، پس ما داریم

نتیجه. در شکل درجه دوم قطعی مثبت، تمام مینورهای اصلی ماتریس ضرایب مثبت هستند:

نظر دهید. از منفی نبودن صغار اصلی متوالی

منفی نبودن فرم به دنبال ندارد. در واقع، فرم

,

که در آن ، شرایط را برآورده می کند، اما غیر منفی نیست.

با این حال، موارد زیر صادق است

قضیه 4. برای اینکه یک شکل درجه دوم غیر منفی باشد، لازم و کافی است که تمام مینورهای اصلی ماتریس ضرایب آن غیر منفی باشند:

اثبات بیایید معرفی کنیم شکل کمکی غیر مثبت بود، لازم و کافی است تا نابرابری ها رخ دهد.

اشکال درجه دوم قطعی مثبت

تعریف. فرم درجه دوم از nمجهولات نامیده می شود مثبت قطعی، اگر رتبه آن برابر با شاخص اینرسی مثبت و برابر با تعداد مجهولات باشد.

قضیه.یک فرم درجه دوم قطعی مثبت است اگر و فقط در صورتی که مقادیر مثبتی را روی هر مجموعه غیر صفر از مقادیر متغیرها بگیرد.

اثباتبگذارید شکل درجه دوم یک تبدیل خطی غیر منحط مجهولات باشد

به حالت عادی برگشت

.

برای هر مجموعه غیر صفر از مقادیر متغیر، حداقل یکی از اعداد متفاوت از صفر، یعنی . وجوب قضیه ثابت می شود.

فرض کنید که شکل درجه دوم مقادیر مثبت را روی هر مجموعه غیر صفر از متغیرها می گیرد، اما شاخص اینرسی مثبت آن یک تبدیل خطی غیر منحط مجهولات است.

بیایید آن را به حالت عادی برسانیم. بدون از دست دادن کلیت، می‌توانیم فرض کنیم که در این شکل نرمال، مجذور آخرین متغیر یا وجود ندارد یا با علامت منفی همراه است، یعنی. ، کجا یا . فرض کنید مجموعه ای غیر صفر از مقادیر متغیرها است که در نتیجه حل یک سیستم معادلات خطی به دست می آید.

در این سیستم تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرها و تعیین کننده سیستم غیر صفر است. طبق قضیه کرامر، این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و آن غیر صفر است. برای این مجموعه تناقض با شرط. با فرضی که کفایت قضیه را ثابت می کند به تناقض می رسیم.

با استفاده از این معیار، نمی توان از روی ضرایب مشخص کرد که آیا شکل درجه دوم مثبت است یا خیر. پاسخ این سوال را قضیه دیگری می دهد که برای صورت بندی آن مفهوم دیگری را معرفی می کنیم. مینورهای مورب اصلی یک ماتریس- اینها خردسالان هستند که در گوشه سمت چپ بالای آن قرار دارند:

, , , … , .

قضیه.یک شکل درجه دوم قطعی است اگر و فقط در صورتی که تمام مینورهای مورب اصلی آن مثبت باشند.

اثباتما روش استقراء کامل ریاضی را روی عدد انجام خواهیم داد nمتغیرهای درجه دوم f.

فرضیه استقرا.فرض کنید برای فرم های درجه دوم با متغیرهای کمتر nگفته درست است

شکل درجه دوم را در نظر بگیرید nمتغیرها بیایید تمام اصطلاحات حاوی . عبارات باقی مانده شکل درجه دوم متغیرها را تشکیل می دهند. با توجه به فرضیه استقرا، این گفته برای او صادق است.

فرض کنید که شکل درجه دوم قطعی مثبت است. سپس شکل درجه دوم مثبت قطعی است. اگر فرض کنیم که اینطور نیست، مجموعه ای غیر صفر از مقادیر متغیر وجود دارد ، که برای آن و بر این اساس، و این با این حقیقت که صیغه درجه دوم قطعی مثبت است منافات دارد. بر اساس فرضیه استقرا، تمام مینورهای مورب اصلی یک فرم درجه دوم مثبت هستند، یعنی. همه اولين خردسالان اصلي شكل درجه دوم fمثبت هستند. آخرین مینور اصلی شکل درجه دوم – این تعیین کننده ماتریس آن است. این تعیین کننده مثبت است، زیرا علامت آن با علامت ماتریس شکل عادی آن منطبق است، یعنی. با علامت تعیین کننده ماتریس هویت.

بگذارید همه مینورهای مورب اصلی شکل درجه دوم مثبت باشند سپس همه مینورهای مورب اصلی شکل درجه دوم مثبت هستند . با فرضیه استقرایی، شکل درجه دوم قطعی مثبت است، بنابراین یک تبدیل خطی غیر انحطاط متغیرها وجود دارد که فرم را به صورت مجموع مجذورهای متغیرهای جدید کاهش می دهد. این تبدیل خطی را می توان با تنظیم به یک تبدیل خطی غیر منحط همه متغیرها گسترش داد. این تبدیل فرم درجه دوم را به فرم کاهش می دهد

مفهوم فرم درجه دوم. ماتریس فرم درجه دوم. شکل متعارف شکل درجه دوم. روش لاگرانژ نمای عادی یک فرم درجه دوم. رتبه، نمایه و امضای فرم درجه دوم. شکل درجه دوم قطعی مثبت. کوادریک.

مفهوم شکل درجه دوم:تابعی در فضای برداری که توسط یک چند جمله ای همگن درجه دوم در مختصات بردار تعریف شده است.

فرم درجه دوم از nناشناخته به جمعی گفته می شود که هر جمله آن یا مجذور یکی از مجهولات است یا حاصل ضرب دو مجهول مختلف.

ماتریس درجه دوم:ماتریس در یک مبنای معین، ماتریسی از فرم درجه دوم نامیده می شود. اگر مشخصه میدان برابر با 2 نباشد، می توانیم فرض کنیم که ماتریس شکل درجه دوم متقارن است، یعنی.

یک ماتریس از فرم درجه دوم بنویسید:

از این رو،

در فرم ماتریس برداری، شکل درجه دوم به صورت زیر است:

الف، کجا

شکل متعارف شکل درجه دوم:شکل درجه دوم اگر همه باشد، متعارف نامیده می شود یعنی

هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل های خطی به شکل متعارف کاهش داد. در عمل معمولا از روش های زیر استفاده می شود.

روش لاگرانژ : انتخاب متوالی مربع های کامل به عنوان مثال، اگر

سپس یک روش مشابه با فرم درجه دوم انجام می شود و غیره اگر به صورت درجه دوم همه چیز باشد اما سپس پس از تبدیل اولیه، موضوع به رویه در نظر گرفته می شود. بنابراین، اگر، برای مثال، آنگاه فرض کنیم

فرم معمولی فرم درجه دوم:یک فرم درجه دوم معمولی یک شکل درجه دوم متعارف است که در آن همه ضرایب برابر با 1+ یا -1 هستند.

رتبه، فهرست و امضای فرم درجه دوم:رتبه فرم درجه دوم الفرتبه ماتریس نامیده می شود الف. رتبه یک فرم درجه دوم تحت تبدیل غیر منحط مجهولات تغییر نمی کند.

تعداد ضرایب منفی را شاخص شکل منفی می گویند.

تعداد جمله های مثبت در شکل متعارف را شاخص مثبت اینرسی شکل درجه دوم، تعداد جمله های منفی را شاخص منفی می گویند. تفاوت بین شاخص های مثبت و منفی را امضای فرم درجه دوم می گویند

شکل درجه دوم قطعی مثبت:فرم درجه دوم واقعی اگر برای هر مقدار واقعی متغیرها که همزمان صفر نباشند، قطعی مثبت (معین منفی) نامیده می شود.

. (36)

در این مورد، ماتریس را قطعی مثبت (معین منفی) نیز می نامند.

کلاس اشکال قطعی مثبت (مشخص منفی) بخشی از کلاس اشکال غیر منفی (مثلاً غیر مثبت) است.

کوادریک:چهارگانه - nابرسطح بعدی در nفضای +1 بعدی که به عنوان مجموعه صفرهای یک چند جمله ای درجه دوم تعریف می شود. اگر مختصات را وارد کنید ( x 1 , x 2 , x n 1+) (در فضای اقلیدسی یا همبستگی)، معادله کلی یک ربع است.

این معادله را می توان به صورت فشرده تر در نمادهای ماتریسی بازنویسی کرد:

جایی که x = ( x 1 , x 2 , x n+1) - بردار ردیف، x T یک بردار جابجا شده است، س- ماتریس اندازه ( n+1)×( n+1) (فرض می شود که حداقل یکی از عناصر آن غیر صفر باشد) پیک بردار ردیف است و آر- ثابت کوادریک های بیش از اعداد حقیقی یا مختلط اغلب در نظر گرفته می شوند. این تعریف را می توان به ربع ها در فضای تصویری تعمیم داد، به زیر مراجعه کنید.

به طور کلی، مجموعه صفرهای یک سیستم معادلات چند جمله ای به عنوان یک تنوع جبری شناخته می شود. بنابراین، ربع یک نوع جبری (مرتبط یا تصویری) درجه دوم و هم بعد 1 است.

دگرگونی های صفحه و فضا.

تعریف تبدیل هواپیما تشخیص حرکت خواص حرکت دو نوع حرکت: حرکت نوع اول و حرکت نوع دوم. نمونه هایی از حرکات بیان تحلیلی حرکت طبقه بندی حرکات صفحه (بسته به وجود نقاط ثابت و خطوط ثابت). گروهی از حرکات هواپیما.

تعریف تبدیل هواپیما: تعریف.تبدیل صفحه ای که فاصله بین نقاط را حفظ کند نامیده می شود حرکت(یا حرکت) هواپیما. تبدیل هواپیما نامیده می شود وابسته، اگر هر سه نقطه روی یک خط را به سه نقطه تبدیل کند که روی همان خط قرار دارد و در عین حال رابطه ساده سه نقطه را حفظ کند.

تعریف حرکت:اینها تبدیلات شکلی هستند که فاصله بین نقاط را حفظ می کنند. اگر دو شکل دقیقاً از طریق حرکت با یکدیگر همسو شوند، این ارقام یکسان و برابر هستند.

ویژگی های حرکت:هر حرکت حفظ جهت یک صفحه یا یک انتقال موازی یا یک چرخش است. هنگام حرکت، نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار دارند، به نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار دارند تبدیل می شوند و ترتیب آنها حفظ می شود. موقعیت نسبی. هنگام حرکت، زوایای بین نیم خطوط حفظ می شود.

دو نوع حرکت: حرکت نوع اول و حرکت نوع دوم:حرکات نوع اول آن دسته از حرکاتی هستند که جهت گیری پایه های یک شکل خاص را حفظ می کنند. آنها را می توان با حرکات مداوم متوجه شد.

حرکات نوع دوم آن دسته از حرکاتی هستند که جهت گیری پایه ها را به سمت مخالف تغییر می دهند. آنها را نمی توان با حرکات مداوم درک کرد.

نمونه هایی از حرکات نوع اول عبارتند از انتقال و چرخش حول یک خط مستقیم و حرکات نوع دوم تقارن مرکزی و آینه ای هستند.

ترکیب هر تعداد حرکت از نوع اول حرکتی از نوع اول است.

ترکیب تعداد زوج از حرکات نوع دوم حرکت از نوع 1 است و ترکیب تعداد فرد از حرکات نوع 2 حرکت نوع 2 است.

نمونه هایی از حرکات:انتقال موازی. بگذارید a بردار داده شده باشد. انتقال موازی به بردار a نگاشت صفحه روی خودش است که در آن هر نقطه M به نقطه M 1 نگاشت می شود، به طوری که بردار MM 1 برابر با بردار a است.

ترجمه موازی یک حرکت است زیرا نگاشت هواپیما روی خودش است و فاصله ها را حفظ می کند. این حرکت را می توان به صورت بصری به عنوان یک جابجایی کل صفحه در جهت یک بردار معین a با طول آن نشان داد.

چرخش.اجازه دهید نقطه O را در صفحه نشان دهیم ( مرکز چرخش) و زاویه α ( زاویه چرخش). چرخش صفحه به دور نقطه O با زاویه α، نگاشت صفحه روی خودش است که در آن هر نقطه M به نقطه M 1 نگاشت می شود، به طوری که OM = OM 1 و زاویه MOM 1 برابر با α است. در این حالت، نقطه O در جای خود باقی می ماند، یعنی بر روی خود نقشه برداری می شود، و تمام نقاط دیگر به دور نقطه O در همان جهت می چرخند - در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت (شکل یک چرخش خلاف جهت عقربه های ساعت را نشان می دهد).

چرخش یک حرکت است زیرا نشان‌دهنده نقشه‌برداری از صفحه روی خودش است که در آن فاصله‌ها حفظ می‌شوند.

بیان تحلیلی حرکت:ارتباط تحلیلی بین مختصات پیش تصویر و تصویر نقطه به شکل (1) است.

طبقه بندی حرکات صفحه (بسته به وجود نقاط ثابت و خطوط ثابت): تعریف:

یک نقطه در یک صفحه ثابت (ثابت) است اگر تحت یک تبدیل معین، به خودش تبدیل شود.

مثال: با تقارن مرکزی، نقطه مرکز تقارن ثابت است. هنگام چرخش، نقطه مرکز چرخش ثابت است. با تقارن محوری، خط ثابت یک خط مستقیم است - محور تقارن یک خط مستقیم از نقاط ثابت است.

قضیه: اگر حرکتی یک نقطه ثابت نداشته باشد، حداقل یک جهت ثابت دارد.

مثال: انتقال موازی. در واقع، خطوط مستقیم موازی با این جهت به عنوان یک شکل به عنوان یک کل ثابت هستند، اگرچه از نقاط ثابت تشکیل نشده است.

قضیه: اگر یک پرتو حرکت کند، پرتو به خود تبدیل می‌شود، آنگاه این حرکت یا تبدیلی یکسان یا تقارن نسبت به خط مستقیم حاوی پرتو داده شده است.

بنابراین، بر اساس وجود نقاط یا شکل های ثابت، می توان حرکات را طبقه بندی کرد.

نام جنبش	نقاط ثابت	خطوط ثابت
حرکت از نوع اول.
1. - چرخش	(مرکز) - 0	خیر
2. دگرگونی هویت	تمام نقاط هواپیما	همه مستقیم
3. تقارن مرکزی	نقطه 0 - مرکز	تمام خطوطی که از نقطه 0 عبور می کنند
4. انتقال موازی	خیر	همه مستقیم
حرکت از نوع دوم.
5. تقارن محوری.	مجموعه ای از نقاط	محور تقارن (خط مستقیم) همه خطوط مستقیم

گروه حرکت هواپیما:در هندسه نقش مهمگروه هایی از فیگورهای خودترکیب بازی می کنند. اگر یک شکل معین در یک صفحه (یا در فضا) باشد، آنگاه می‌توانیم مجموعه تمام آن حرکات صفحه (یا فضا) را در نظر بگیریم که طی آن شکل به خود تبدیل می‌شود.

این مجموعه یک گروه است. به عنوان مثال، برای یک مثلث متساوی الاضلاع، گروهی از حرکات صفحه ای که مثلث را به خود تبدیل می کند از 6 عنصر تشکیل شده است: چرخش در زوایای حول یک نقطه و تقارن در حدود سه خط مستقیم.

آنها در شکل نشان داده شده اند. 1 خط قرمز عناصر گروه خود ترازهای یک مثلث منظم را می توان به طور متفاوتی مشخص کرد. برای توضیح این موضوع، اجازه دهید رئوس یک مثلث منتظم را با اعداد 1، 2، 3 شماره گذاری کنیم. هر خود تراز شدن مثلث، نقاط 1، 2، 3 را به همان نقاط می برد، اما به ترتیب متفاوتی گرفته می شود. را می توان به صورت مشروط در قالب یکی از این کروشه ها نوشت:

و غیره

که در آن اعداد 1، 2، 3 اعداد آن رئوس را نشان می دهند که رئوس 1، 2، 3 در نتیجه حرکت مورد بررسی به آنها می روند.

فضاهای پروجکتیو و مدل های آنها.

مفهوم فضای تصویری و مدل فضای تصویری. حقایق اساسی هندسه تصویری دسته ای از خطوط که در مرکز نقطه O قرار دارند، مدلی از صفحه پرتاب کننده است. نکات فرافکنی صفحه توسعه یافته مدلی از صفحه نمایشی است. فضای افین سه بعدی یا اقلیدسی توسعه یافته مدلی از فضای تصویری است. تصاویر فیگورهای مسطح و فضایی در طراحی موازی.

مفهوم فضای تصویری و مدل فضای تصویری:

فضای فرافکنی بر روی یک میدان، فضایی است متشکل از خطوط (فضاهای فرعی یک بعدی) مقداری فضای خطی روی یک میدان معین. فضاهای مستقیم نامیده می شوند نقطه هافضای تصویری این تعریف را می توان به یک نهاد دلخواه تعمیم داد

اگر بعد داشته باشد، بعد فضای پرفکتیو عدد نامیده می شود و خود فضای تصویری نشان داده می شود و مرتبط با آن نامیده می شود (برای نشان دادن این، نماد اتخاذ می شود).

انتقال از یک فضای برداری با ابعاد به فضای تصویری مربوطه نامیده می شود فرافکنی شدنفضا

نقاط را می توان با استفاده از مختصات همگن توصیف کرد.

حقایق اساسی هندسه تصویری:هندسه تصویری شاخه ای از هندسه است که به مطالعه سطوح و فضاهای پرتابی می پردازد. ویژگی اصلیهندسه فرافکنی مبتنی بر اصل دوگانگی است که به بسیاری از طرح ها تقارن برازنده می افزاید. هندسه فرافکنی را می توان هم از منظر هندسی محض و هم از دیدگاه تحلیلی (با استفاده از مختصات همگن) و جبری با در نظر گرفتن صفحه پرتابی به عنوان ساختاری روی یک میدان مورد مطالعه قرار داد. غالباً و از نظر تاریخی، صفحه واقعی پرتاب کننده صفحه اقلیدسی با اضافه کردن "خط در بی نهایت" در نظر گرفته می شود.

در حالی که خواص اشکالی که هندسه اقلیدسی با آنها سروکار دارد، هستند متریک(مقادیر خاص زوایا، پاره ها، مساحت ها) و هم ارزی ارقام معادل آنهاست. همخوانی(یعنی وقتی می‌توان ارقام را از طریق حرکت به یکدیگر ترجمه کرد و در عین حال ویژگی‌های متریک را حفظ کرد)، ویژگی‌های "عمیق" بیشتری وجود دارد. اشکال هندسی، که در طول تبدیل بیش از نوع عمومیاز حرکت هندسه فرافکنی به مطالعه خصوصیات اشکالی می پردازد که تحت کلاس ثابت هستند تحولات فرافکنیو همینطور خود این دگرگونی ها.

هندسه فرافکنی مکمل اقلیدسی است و زیبایی و راه حل های سادهبرای بسیاری از مشکلات که با وجود خطوط موازی پیچیده می شوند. تئوری تصویری مقاطع مخروطی به ویژه ساده و ظریف است.

سه رویکرد اصلی برای هندسه تصویری وجود دارد: بدیهی سازی مستقل، تکمیل هندسه اقلیدسی، و ساختار در یک میدان.

بدیهی سازی

فضای فرافکنی را می توان با استفاده از مجموعه متفاوتی از بدیهیات تعریف کرد.

Coxeter موارد زیر را ارائه می دهد:

1. یک خط مستقیم وجود دارد و یک نقطه روی آن نیست.

2. هر خط حداقل سه نقطه دارد.

3. دقیقاً یک خط مستقیم را می توان از طریق دو نقطه ترسیم کرد.

4. اگر الف, ب, سی، و دی- نقاط مختلف و ABو سی دیپس قطع کن A.C.و BDتقاطع

5. اگر ABCیک هواپیما است، پس حداقل یک نقطه در هواپیما وجود ندارد ABC.

6. دو صفحه مختلف حداقل دو نقطه را قطع می کنند.

7. سه نقطه مورب یک چهارضلعی کامل به صورت هم خط نیستند.

8. اگر سه نقطه روی یک خط باشد X X

صفحه تصویری (بدون بعد سوم) با بدیهیات کمی متفاوت تعریف می شود:

1. از طریق دو نقطه می توانید دقیقاً یک خط مستقیم بکشید.

2. هر دو خط قطع شوند.

3. چهار نقطه وجود دارد که سه نقطه آن خطی نیستند.

4. سه نقطه مورب چهارضلعی کامل هم خط نیستند.

5. اگر سه نقطه روی یک خط باشد Xبا توجه به فرافکنی φ ثابت هستند، سپس همه نقاط روی Xثابت با توجه به φ.

6. قضیه دسارگ: اگر دو مثلث از طریق یک نقطه پرسپکتیو باشند، آن ها از طریق یک خط پرسپکتیو هستند.

در صورت وجود بعد سوم، قضیه دزارگ بدون معرفی نقطه و خط ایده آل قابل اثبات است.

هواپیمای توسعه یافته - مدل هواپیمای تصویری:در فضای افین A3 دسته‌ای از خطوط S(O) را می‌گیریم که مرکز آن در نقطه O و صفحه‌ای Π است که از مرکز دسته عبور نمی‌کند: O 6∈ Π. دسته ای از خطوط در یک فضای وابستگی مدلی از صفحه نمایشی است. بیایید یک نقشه برداری از مجموعه نقاط صفحه Π را روی مجموعه خطوط مستقیم اتصال S تعریف کنیم (لعنت به شما، دعا کنید اگر این سؤال را دارید، مرا ببخشید)

فضای نزدیک سه بعدی یا اقلیدسی گسترده - مدل فضای تصویری:

به منظور انجام نقشه برداری، روند گسترش رسمی صفحه پیوندی Π را به صفحه تصویری، Π، تکمیل می کنیم و صفحه Π را با مجموعه ای از نقاط نامناسب (M∞) تکمیل می کنیم به طوری که: ((M∞)) = P0 (O). از آنجایی که در نقشه تصویر معکوس هر صفحه از دسته صفحات S(O) یک خط در صفحه d است، بدیهی است که مجموعه تمام نقاط نامناسب صفحه گسترده: Π = Π ∩ (M∞) ، (M∞)، نشان دهنده یک خط نامناسب d∞ از صفحه گسترده است، که تصویر معکوس صفحه منفرد Π0 است: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) اجازه دهید توافق کنیم که از اینجا و از این پس آخرین برابری P0(O) = Π0 را به معنای برابری مجموعه نقاط، اما دارای ساختار متفاوتی درک خواهیم کرد. با تکمیل صفحه افین با یک خط نامناسب، مطمئن شدیم که نقشه برداری (I.21) روی مجموعه تمام نقاط صفحه توسعه یافته دوطرفه می شود:

تصاویر فیگورهای مسطح و فضایی در حین طراحی موازی:

در استریومتری، فیگورهای فضایی مورد مطالعه قرار می گیرند، اما در نقاشی به صورت فیگورهای مسطح به تصویر کشیده می شوند. چگونه باید یک شکل فضایی را در هواپیما ترسیم کرد؟ به طور معمول در هندسه، طراحی موازی برای این مورد استفاده می شود. اجازه دهید p مقداری هواپیما باشد، ل- یک خط مستقیم که آن را قطع می کند (شکل 1). از طریق یک نقطه دلخواه الف، متعلق به خط نیست ل، خطی موازی با خط رسم کنید ل. نقطه تلاقی این خط با صفحه p را برآمدگی موازی نقطه می گویند الفبه صفحه p در جهت خط مستقیم ل. بیایید آن را نشان دهیم الفاگر نکته الفمتعلق به خط است ل، سپس با طرح ریزی موازی الفنقطه تلاقی خط در صفحه p در نظر گرفته می شود لبا هواپیما p.

بنابراین، هر نقطه الففضا طرح آن مقایسه شده است الف"روی صفحه p. به این تطابق، طرح ریزی موازی بر روی صفحه p در جهت خط مستقیم گفته می شود. ل

گروه تحولات تصویری. کاربرد برای حل مسئله

مفهوم تبدیل تصویری یک هواپیما. نمونه هایی از تبدیل های تصویری هواپیما. ویژگی های تبدیل های تصویری. همسانی، خواص همسانی. گروه تحولات تصویری.

مفهوم تبدیل تصویری یک هواپیما:مفهوم تبدیل فرافکنی مفهوم فرافکنی مرکزی را تعمیم می دهد. اگر یک برآمدگی مرکزی از صفحه α را بر روی صفحه α 1 انجام دهیم، سپس یک برآمدگی α 1 روی α 2، α 2 روی α 3، ... و در نهایت، مقداری صفحه α nدوباره در α 1، سپس ترکیب همه این پیش بینی ها تبدیل تصویری صفحه α است. پیش بینی های موازی نیز می تواند در چنین زنجیره ای گنجانده شود.

نمونه هایی از تبدیل های صفحه نمایشی:تبدیل تصویری یک صفحه تکمیل شده، نگاشت یک به یک آن بر روی خود است، که در آن خطوط هم خطی نقاط حفظ می شود، یا به عبارت دیگر، تصویر هر خط یک خط مستقیم است. هر تبدیل تصویری ترکیبی از زنجیره ای از برآمدگی های مرکزی و موازی است. تبدیل افین یک مورد خاص از تبدیل تصویری است که در آن خط در بی نهایت به خود تبدیل می شود.

ویژگی های تبدیل های تصویری:

در طول یک تبدیل تصویری، سه نقطه که روی یک خط قرار ندارند به سه نقطه که روی یک خط قرار ندارند تبدیل می شوند.

در طی یک تبدیل تصویری، قاب به یک قاب تبدیل می شود.

در طول یک تبدیل تصویری، یک خط به یک خط مستقیم و یک مداد به یک مداد می رود.

همسانی، خواص همسانی:

تبدیل تصویری صفحه ای که دارای خطی از نقاط ثابت و در نتیجه مدادی از خطوط ثابت است، همسانی نامیده می شود.

1. خطی که از نقاط همسانی متناظر غیر منطبق می گذرد یک خط ثابت است.

2. خطوطی که از نقاط همسانی متناظر غیر منطبق می گذرند متعلق به یک مداد هستند که مرکز آن یک نقطه ثابت است.

3. نقطه، تصویر آن و مرکز همسانی روی یک خط مستقیم قرار دارند.

گروه تبدیل های تصویری:نگاشت تصویری صفحه پرتابی P 2 را روی خود در نظر بگیرید، یعنی تبدیل تصویری این صفحه (P 2 = P 2).

مانند قبل، ترکیب f تبدیل های تصویری f 1 و f 2 صفحه پرتابی P 2 نتیجه اجرای متوالی تبدیل های f 1 و f 2 است: f = f 2 °f 1 .

قضیه 1: مجموعه H تمام تبدیل های تصویری صفحه تصویری P 2 با توجه به ترکیب تبدیل های تصویری یک گروه است.

شکل درجه دوم f(x 1, x 2,...,xn) از n متغیر مجموعی است که هر جمله آن مجذور یکی از متغیرها است یا حاصل ضرب دو متغیر مختلف با ضریب معینی است: f (x 1، x 2، ...، x n) = (a ij =a ji).

ماتریس A که از این ضرایب تشکیل شده است، ماتریس فرم درجه دوم نامیده می شود. همیشه هست متقارنماتریس (یعنی یک ماتریس متقارن با قطر اصلی، a ij = a ji).

در نمادگذاری ماتریسی، شکل درجه دوم f(X) = X T AX است، که در آن

در واقع

برای مثال بیایید فرم درجه دوم را به صورت ماتریسی بنویسیم.

برای انجام این کار، ماتریسی از فرم درجه دوم را پیدا می کنیم. عناصر مورب آن برابر با ضرایب متغیرهای مربع است و عناصر باقی مانده برابر با نصف ضرایب متناظر شکل درجه دوم است. به همین دلیل است

اجازه دهید ماتریس-ستون متغیرهای X با تبدیل خطی غیر منحط ماتریس-ستون Y به دست آید، یعنی. X = CY، که در آن C یک ماتریس غیر مفرد از مرتبه n است. سپس فرم درجه دوم f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

بنابراین، با یک تبدیل خطی غیر منحط C، ماتریس فرم درجه دوم شکل: A * =C T AC را به خود می گیرد.

برای مثال، بیایید شکل درجه دوم f(y 1, y 2) را که از شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 با تبدیل خطی بدست می آید، پیدا کنیم.

شکل درجه دوم نامیده می شود متعارف(دارای دیدگاه متعارف، اگر تمام ضرایب آن ij = 0 برای i≠j، یعنی f(x 1، x 2،...، x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

ماتریس آن مورب است.

قضیه(اثبات در اینجا ارائه نشده است). هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل خطی غیر منحط به شکل متعارف کاهش داد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 را به شکل متعارف در آوریم.

برای این کار ابتدا یک مربع کامل با متغیر x 1 انتخاب کنید:

f(x 1، x 2، x 3) = 2 (x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

حالا یک مربع کامل با متغیر x 2 انتخاب می کنیم:

f(x 1، x 2، x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100) x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10)x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

سپس تبدیل خطی غیر منحط y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 و y 3 = x 3 این شکل درجه دوم را به فرم متعارف می آورد (y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

توجه داشته باشید که شکل متعارف یک فرم درجه دوم به طور مبهم تعیین می شود (همان شکل درجه دوم را می توان به شکل متعارف کاهش داد. به روش های مختلف 1). با این حال، دریافت شده است به طرق مختلفاشکال متعارف تعدادی ویژگی کلی دارند. به طور خاص، تعداد عبارت های دارای ضرایب مثبت (منفی) یک فرم درجه دوم به روش کاهش فرم به این شکل بستگی ندارد (به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده همیشه دو ضریب منفی و یک ضریب مثبت وجود خواهد داشت). این خاصیت نامیده می شود قانون اینرسی اشکال درجه دوم.

اجازه دهید این را با آوردن همان شکل درجه دوم به شکل متعارف به روشی دیگر تأیید کنیم. اجازه دهید تبدیل را با متغیر x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + شروع کنیم. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1، y 2، y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2، که در آن y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3، y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 و y 3 = x 1 . در اینجا یک ضریب مثبت 2 برای y 3 و دو ضریب منفی (-3) برای y 1 و y 2 وجود دارد (و با استفاده از روش دیگر، ضریب مثبت 2 برای y 1 و دو ضریب منفی - (-5) داریم. برای y 2 و (-1/20) برای y 3).

همچنین لازم به ذکر است که رتبه یک ماتریس از فرم درجه دوم، به نام رتبه فرم درجه دوم، برابر با تعداد ضرایب غیر صفر شکل متعارف است و تحت تبدیل های خطی تغییر نمی کند.

شکل درجه دوم f(X) نامیده می شود مثبت(منفی)معین، اگر برای همه مقادیر متغیرهایی که به طور همزمان صفر نیستند، مثبت است، یعنی f(X) > 0 (منفی، یعنی f(X)< 0).

برای مثال، شکل درجه دوم f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 مثبت است، زیرا مجموع مربع ها است و شکل درجه دوم f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 منفی قطعی است، زیرا نشان می دهد که می توان آن را به صورت f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 نشان داد.

در اکثر موقعیت های عملی، ایجاد علامت قطعی یک شکل درجه دوم تا حدودی دشوارتر است، بنابراین برای این کار از یکی از قضایای زیر استفاده می کنیم (آنها را بدون اثبات فرمول بندی می کنیم).

قضیه. یک شکل درجه دوم مثبت (منفی) قطعی است اگر و فقط اگر همه باشد مقادیر ویژهماتریس های آن مثبت (منفی) هستند.

قضیه (معیار سیلوستر). یک فرم درجه دوم قطعی مثبت است اگر و تنها در صورتی که همه مینورهای اصلی ماتریس این شکل مثبت باشند.

اصلی (گوشه) جزئیماتریس های مرتبه k از مرتبه An-ام، تعیین کننده ماتریس نامیده می شوند که از اولین k ردیف و ستون ماتریس A () تشکیل شده است.

توجه داشته باشید که برای اشکال درجه دوم قطعی منفی، علائم صغیر اصلی متناوب است و صغیر مرتبه اول باید منفی باشد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 را برای قطعیت علامت بررسی کنیم.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . بنابراین، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A  1 =a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. بنابراین با توجه به معیار سیلوستر، درجه دوم شکل مثبت قطعی است.

شکل درجه دوم دیگری را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم، f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

روش 1. بیایید یک ماتریس از شکل درجه دوم A = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (-2 -)* *(-3 -) - 4 = (6 + 2+ 3+ 2) - 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 - 8 = 17 ; . بنابراین، شکل درجه دوم قطعی منفی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. بنابراین، طبق معیار سیلوستر، شکل درجه دوم قطعی منفی است (علائم صغیر اصلی متناوب، با منهای شروع می شود).

و به عنوان مثال دیگر، شکل درجه دوم تعیین شده با علامت را بررسی می کنیم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

روش 1. بیایید یک ماتریس از شکل درجه دوم A = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . یکی از این اعداد منفی و دیگری مثبت است. نشانه های مقادیر ویژه متفاوت است. در نتیجه، شکل درجه دوم می تواند نه منفی و نه مثبت معین باشد، یعنی. این شکل درجه دوم علامت مشخص نیست (می تواند مقادیر هر علامتی را بگیرد).

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A  1 =a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1روش در نظر گرفته شده برای کاهش یک فرم درجه دوم به شکل متعارف زمانی مناسب است که با ضرایب غیر صفر با مربع متغیرها مواجه شویم. اگر آنها وجود ندارند، هنوز هم امکان انجام تبدیل وجود دارد، اما باید از برخی تکنیک های دیگر استفاده کنید. برای مثال، اجازه دهید f(x 1، x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2، که در آن y 1 = x 1 + x 2، ay 2 = x 1 - x 2.

اشکال درجه دوم

شکل درجه دوم f(x 1, x 2,...,xn) از n متغیر مجموعی است که هر جمله آن مجذور یکی از متغیرها است یا حاصل ضرب دو متغیر مختلف با ضریب معینی است: f (x 1، x 2، ...، x n) = (a ij = a ji).

ماتریس A که از این ضرایب تشکیل شده است، ماتریس فرم درجه دوم نامیده می شود. همیشه هست متقارنماتریس (یعنی یک ماتریس متقارن نسبت به قطر اصلی، a ij = a ji).

در نمادگذاری ماتریسی، شکل درجه دوم f(X) = X T AX است، که در آن

در واقع

برای مثال بیایید فرم درجه دوم را به صورت ماتریسی بنویسیم.

برای انجام این کار، ماتریسی از فرم درجه دوم را پیدا می کنیم. عناصر مورب آن برابر با ضرایب متغیرهای مربع است و عناصر باقی مانده برابر با نصف ضرایب متناظر شکل درجه دوم است. به همین دلیل است

اجازه دهید ماتریس-ستون متغیرهای X با تبدیل خطی غیر منحط ماتریس-ستون Y به دست آید، یعنی. X = CY، که در آن C یک ماتریس غیر مفرد از مرتبه n است. سپس فرم درجه دوم
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

بنابراین، با یک تبدیل خطی غیر منحط C، ماتریس فرم درجه دوم به شکل A * = C T AC می باشد.

برای مثال، بیایید شکل درجه دوم f(y 1, y 2) را که از شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 با تبدیل خطی بدست می آید، پیدا کنیم.

شکل درجه دوم نامیده می شود متعارف(دارای دیدگاه متعارف، اگر تمام ضرایب آن a ij = 0 برای i ≠ j، یعنی.
f(x 1، x 2،...، x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

ماتریس آن مورب است.

قضیه(اثبات در اینجا ارائه نشده است). هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل خطی غیر منحط به شکل متعارف کاهش داد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم را به شکل متعارف کاهش دهیم
f(x 1، x 2، x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

برای این کار ابتدا یک مربع کامل با متغیر x 1 انتخاب کنید:

f(x 1، x 2، x 3) = 2 (x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

حالا یک مربع کامل با متغیر x 2 انتخاب می کنیم:

f(x 1، x 2، x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

سپس تبدیل خطی غیر منحط y 1 = x 1 + x 2، y 2 = x 2 - (1/10) x 3 و y 3 = x 3 این شکل درجه دوم را به شکل متعارف f(y 1, y 2 می آورد. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

توجه داشته باشید که شکل متعارف یک فرم درجه دوم به طور مبهم تعیین می شود (همان شکل درجه دوم را می توان به روش های مختلف به شکل متعارف کاهش داد). با این حال، اشکال متعارف به دست آمده با روش های مختلف تعدادی از خواص عمومی. به طور خاص، تعداد عبارت های دارای ضرایب مثبت (منفی) یک فرم درجه دوم به روش کاهش فرم به این شکل بستگی ندارد (به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده همیشه دو ضریب منفی و یک ضریب مثبت وجود خواهد داشت). این خاصیت نامیده می شود قانون اینرسی اشکال درجه دوم.

اجازه دهید این را با آوردن همان شکل درجه دوم به شکل متعارف به روشی دیگر تأیید کنیم. اجازه دهید تبدیل را با متغیر x 2 شروع کنیم:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2 x 1 2 = - 3 (x 2 2 -
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2، که در آن y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3، y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 و y 3 = x 1 . در اینجا یک ضریب مثبت 2 در y 3 و دو ضریب منفی (3-) در y 1 و y 2 وجود دارد (و با استفاده از روش دیگری ضریب مثبت 2 در y 1 و دو ضریب منفی - (-5) در y 2 و (-1/20) در y 3).

همچنین لازم به ذکر است که رتبه یک ماتریس از فرم درجه دوم، به نام رتبه فرم درجه دوم، برابر با تعداد ضرایب غیر صفر شکل متعارف است و تحت تبدیل های خطی تغییر نمی کند.

شکل درجه دوم f(X) نامیده می شود مثبت (منفی) معین، اگر برای همه مقادیر متغیرهایی که به طور همزمان برابر با صفر نیستند، مثبت است، یعنی. f(X) > 0 (منفی، یعنی.
f (X)< 0).

برای مثال، شکل درجه دوم f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 مثبت است، زیرا مجموع مربع ها است و شکل درجه دوم f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 منفی قطعی است، زیرا نشان می دهد که می توان آن را به صورت f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 نشان داد.

در اکثر موقعیت های عملی، ایجاد علامت قطعی یک شکل درجه دوم تا حدودی دشوارتر است، بنابراین برای این کار از یکی از قضایای زیر استفاده می کنیم (آنها را بدون اثبات فرمول بندی می کنیم).

قضیه. یک شکل درجه دوم مثبت (منفی) قطعی است اگر و فقط در صورتی که همه مقادیر ویژه ماتریس آن مثبت (منفی) باشند.

قضیه (معیار سیلوستر). یک فرم درجه دوم قطعی مثبت است اگر و تنها در صورتی که همه مینورهای اصلی ماتریس این شکل مثبت باشند.

اصلی (گوشه) جزئیماتریس مرتبه k ام A از مرتبه n، تعیین کننده ماتریس نامیده می شود که از اولین k ردیف و ستون ماتریس A () تشکیل شده است.

توجه داشته باشید که برای اشکال درجه دوم قطعی منفی، علائم صغیر اصلی متناوب است و صغیر مرتبه اول باید منفی باشد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 را برای قطعیت علامت بررسی کنیم.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. بنابراین با توجه به معیار سیلوستر، شکل درجه دوم عبارت است از مثبت قطعی

شکل درجه دوم دیگری را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم، f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

روش 1. بیایید یک ماتریس از شکل درجه دوم A = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم قطعی منفی است.