نظریه احتمالات ریاضی. نظریه احتمالات و آمار ریاضی

مامان قاب را شست

در پایان طولانی تعطیلات تابستانیوقت آن است که به آرامی به ریاضیات بالاتر برگردیم و به طور رسمی فایل وردوف خالی را باز کنیم تا شروع به ایجاد یک بخش جدید کنیم - . اعتراف می کنم، خطوط اول آسان نیست، اما قدم اول در نیمه راه است، بنابراین به همه پیشنهاد می کنم مقاله مقدماتی را با دقت مطالعه کنند، پس از آن تسلط بر موضوع 2 برابر آسان تر خواهد شد! من اصلاً اغراق نمی کنم. ...در آستانه 1 سپتامبر آینده، کلاس اول و آغازگر را به یاد می آورم. حروف هجاها را تشکیل می دهند ، هجاها کلمات را تشکیل می دهند ، کلمات جملات کوتاه را تشکیل می دهند - مامان قاب را شست. تسلط بر آمار و ارقام ریاضی به آسانی یادگیری خواندن است! با این حال، برای این شما نیاز به دانستن اصطلاحات، مفاهیم و تعاریف کلیدی، و همچنین برخی از قوانین خاص، که موضوع این درس است.

اما ابتدا تبریک من را برای شروع (ادامه، اتمام، علامت گذاری مناسب) سال تحصیلی پذیرفته و هدیه را پذیرا باشید. بهترین هدیه- این یک کتاب است، و برای کار مستقلمن ادبیات زیر را توصیه می کنم:

1) Gmurman V.E. نظریه احتمالات و آمار ریاضی

کتاب درسی افسانه ای که بیش از ده بار تجدید چاپ شده است. این به دلیل قابل فهم بودن و ارائه بسیار ساده مطالب متمایز است و فکر می کنم فصل های اول کاملاً برای دانش آموزان کلاس های 6-7 قابل دسترسی است.

2) Gmurman V.E. راهنمای حل مسائل در نظریه احتمالات و آمار ریاضی

کتاب راه حل از همان ولادیمیر افیموویچ با مثال ها و مسائل مفصل.

لزوماهر دو کتاب را از اینترنت دانلود کنید یا اصل کاغذی آنها را دریافت کنید! نسخه 60 و 70 نیز کار خواهد کرد که حتی برای آدمک ها بهتر است. اگرچه عبارت "نظریه احتمال برای آدمک ها" بسیار مضحک به نظر می رسد، زیرا تقریباً همه چیز محدود به عملیات حسابی ابتدایی است. با این حال، در جاهایی از آن می گذرند مشتقاتو انتگرال ها، اما این فقط در جاهایی است.

من سعی خواهم کرد به همان وضوح ارائه برسم، اما باید هشدار دهم که دوره من هدفش است حل مشکلو محاسبات نظری به حداقل می رسد. بنابراین، در صورت نیاز به یک نظریه مفصل، برهان قضایا (قضیه - قضایا!)، لطفاً به کتاب درسی مراجعه کنید. خب کی میخواد حل مسائل را یاد بگیریددر نظریه احتمالات و آمار ریاضی حداکثر مدت کوتاه ، دنبالم کن

برای شروع کافی است =)

با خواندن مقالات، توصیه می شود (حداقل به طور خلاصه) با وظایف اضافی از انواع در نظر گرفته شده آشنا شوید. در صفحه راه حل های آماده برای ریاضیات بالاترپی دی اف های مربوطه به همراه نمونه راه حل ها ارسال خواهد شد. کمک های قابل توجهی نیز ارائه خواهد شد IDZ 18.1 ریابوشکو(ساده تر) و IDZ را طبق مجموعه چودسنکو حل کرد(سخت تر).

1) مقداردو رویداد و واقعه نامیده می شود که اتفاق خواهد افتاد یارویداد یارویداد یاهر دو رویداد به طور همزمان در صورتی که حوادث ناسازگار، آخرین گزینه ناپدید می شود، یعنی ممکن است رخ دهد یارویداد یارویداد .

این قانون همچنین برای تعداد بیشتری از اصطلاحات، به عنوان مثال، رویداد اعمال می شود چیزی است که اتفاق خواهد افتاد حداقل یکیاز رویدادها ، A اگر رویدادها ناسازگار باشند – سپس یک چیز و تنها یک چیزرویداد از این مقدار: یارویداد، یارویداد، یارویداد، یارویداد، یارویداد .

مثال های زیادی وجود دارد:

رویدادها (هنگام پرتاب تاس، 5 امتیاز ظاهر نمی شود) چیزی است که ظاهر می شود یا 1, یا 2, یا 3, یا 4, یا 6 امتیاز.

رویداد (افت خواهد کرد نه بیشتردو نقطه) این است که 1 ظاهر می شود یا 2امتیاز.

رویداد (تعداد زوجی از نقاط وجود خواهد داشت) چیزی است که ظاهر می شود یا 2 یا 4 یا 6 امتیاز.

رویداد این است که یک کارت قرمز (قلب) از عرشه گرفته می شود یاتنبور)، و رویداد - که "تصویر" استخراج خواهد شد (جک یاخانم یاپادشاه یاآس).

در مورد رویدادهای مشترک کمی جالب تر است:

رویداد این است که یک باشگاه از عرشه کشیده خواهد شد یاهفت یاهفت باشگاه با توجه به تعریف فوق، حداقل چیزی- یا هر باشگاه یا هر هفت یا "تقاطع" آنها - هفت باشگاه. به راحتی می توان محاسبه کرد که این رویداد با 12 نتیجه ابتدایی (9 کارت باشگاه + 3 هفت کارت باقی مانده) مطابقت دارد.

رویداد این است که فردا ساعت 12.00 خواهد آمد حداقل یکی از رویدادهای مشترک قابل جمع بندی، یعنی:

- یا فقط باران / فقط رعد و برق / فقط خورشید خواهد بود.
- یا فقط برخی از رویدادها رخ خواهد داد (باران + رعد و برق / باران + خورشید / رعد و برق + خورشید).
- یا هر سه رویداد به طور همزمان ظاهر می شوند.

یعنی رویداد شامل 7 پیامد احتمالی است.

رکن دوم جبر حوادث:

2) کاردو رویداد و رویدادی را می گویند که شامل وقوع مشترک این وقایع است، به عبارت دیگر ضرب به این معناست که تحت شرایطی وجود خواهد داشت. ورویداد، ورویداد . یک جمله مشابه برای تعداد بیشتری از رویدادها صادق است، به عنوان مثال، یک اثر نشان می دهد که تحت شرایط خاصی اتفاق می افتد. ورویداد، ورویداد، ورویداد، … ورویداد .

آزمایشی را در نظر بگیرید که در آن دو سکه پرتاب می شود و رویدادهای زیر:

- سرها روی سکه اول ظاهر می شوند.
- سکه اول به سر می رسد.
- سرها روی سکه دوم ظاهر می شوند.
- سکه 2 به سر می رسد.

سپس:
ودر 2) سرها ظاهر می شوند.
- رویداد این است که در هر دو سکه (در اول ودر 2) سر خواهد بود.
- رویداد این است که سکه 1 به سر می رسد وسکه دوم دم است.
- رویداد این است که سکه 1 به سر می رسد وروی سکه دوم یک عقاب وجود دارد.

دیدن آن وقایع آسان است ناسازگار (چون مثلا نمیتونه 2 سر و 2 دم همزمان بیفته)و فرم گروه کامل (از آنجا که در نظر گرفته شده است همهنتایج احتمالی پرتاب دو سکه). بیایید این اتفاقات را خلاصه کنیم: . چگونه این مدخل را تفسیر کنیم؟ بسیار ساده - ضرب به معنای یک اتصال منطقی است وو اضافه کردن – یا. بنابراین، این مقدار به زبان قابل فهم انسانی قابل خواندن است: "دو سر ظاهر می شود یادو سر یاسکه 1 سر فرود خواهد آمد ودر دم دوم یاسکه 1 سر فرود خواهد آمد وروی سکه دوم یک عقاب وجود دارد"

این یک نمونه بود زمانی که در یک آزمونچندین شی درگیر است، در این مورد دو سکه. یکی دیگر از طرح های رایج در مسائل عملی این است تست مجدد ، وقتی مثلا همین قالب 3 بار پشت سر هم رول شود. به عنوان یک نمایش، رویدادهای زیر را در نظر بگیرید:

- در پرتاب 1 شما 4 امتیاز دریافت خواهید کرد.
- در پرتاب دوم 5 امتیاز دریافت خواهید کرد.
- در پرتاب سوم شما 6 امتیاز خواهید گرفت.

سپس رویداد این است که در پرتاب 1 شما 4 امتیاز می گیرید ودر پرتاب دوم 5 امتیاز دریافت خواهید کرد ودر رول 3 شما 6 امتیاز دریافت خواهید کرد. بدیهی است که در مورد یک مکعب، ترکیبات (نتایج) به طور قابل توجهی بیشتر از زمانی است که یک سکه پرتاب کنیم.

...می فهمم که شاید مثال هایی که تحلیل می شوند زیاد جالب نباشند، اما اینها چیزهایی است که اغلب در مشکلات به آن برخورد می شود و گریزی از آنها نیست. علاوه بر یک سکه، یک مکعب و یک عرشه کارت، کوزه هایی با توپ های رنگارنگ، چندین فرد ناشناس که به یک هدف شلیک می کنند و یک کارگر خستگی ناپذیر که دائماً در حال بررسی جزئیات است، منتظر شما هستند =)

احتمال وقوع

احتمال وقوع مفهوم اصلی نظریه احتمال است. ... یک چیز منطقی قاتل، اما باید از جایی شروع می کردیم =) چندین رویکرد برای تعریف آن وجود دارد:

;
تعریف هندسی احتمال ;
تعریف آماری احتمال .

در این مقاله بر تعریف کلاسیک احتمال تمرکز خواهم کرد که بیشترین استفاده را در کارهای آموزشی دارد.

تعیین ها. احتمال وقوع یک رویداد خاص با یک حرف لاتین بزرگ نشان داده می شود و خود رویداد در داخل پرانتز گرفته می شود و به عنوان نوعی استدلال عمل می کند. به عنوان مثال:

همچنین، حرف کوچک به طور گسترده ای برای نشان دادن احتمال استفاده می شود. به طور خاص، می توانید نامگذاری های دست و پا گیر رویدادها و احتمالات آنها را کنار بگذارید به نفع سبک زیر:

- احتمال اینکه پرتاب سکه منجر به سر شود.
- احتمال اینکه تاس انداختن به 5 امتیاز منجر شود.
– احتمال اینکه کارتی از لباس باشگاهی از روی عرشه کشیده شود.

این گزینه هنگام حل مشکلات عملی محبوب است، زیرا به شما امکان می دهد ضبط راه حل را به میزان قابل توجهی کاهش دهید. همانطور که در مورد اول، استفاده از زیرنویس ها / زیرنویس های "گفتگو" در اینجا راحت است.

همه مدتهاست که اعدادی را که من در بالا نوشتم حدس می زنند و اکنون خواهیم فهمید که چگونه آنها نتیجه گرفتند:

تعریف کلاسیک احتمال:

احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمون خاص را نسبت می گویند که در آن:

- تعداد کل همه به همان اندازه ممکن است, ابتدایینتایج این آزمون که شکل می گیرد گروه کامل رویدادها;

- مقدار ابتدایینتایج، مطلوب رویداد

هنگام پرتاب یک سکه، سر یا دم ممکن است بیرون بیفتد - این رویدادها شکل می گیرند گروه کاملبنابراین، تعداد کل نتایج. در همان زمان، هر یک از آنها ابتداییو به همان اندازه ممکن است. رویداد مورد علاقه نتیجه (سرها) است. طبق تعریف کلاسیک احتمال: .

به طور مشابه، در نتیجه پرتاب یک قالب، ممکن است نتایج ابتدایی به همان اندازه ممکن ظاهر شود، که یک گروه کامل را تشکیل می دهد، و رویداد مورد علاقه یک نتیجه واحد قرار می گیرد (پرتاب پنج). به همین دلیل: انجام این کار پذیرفته نیست (اگرچه تخمین درصدها در ذهن شما ممنوع نیست).

مرسوم است که از کسرهای یک واحد استفاده شود، و بدیهی است که احتمال می تواند در داخل متفاوت باشد. علاوه بر این، اگر، پس رویداد است غیر ممکن، اگر - قابل اعتماد، و اگر ، پس ما در مورد آن صحبت می کنیم تصادفیرویداد

! اگر هنگام حل هر مشکلی، مقدار احتمال دیگری دریافت کردید، به دنبال خطا باشید!

در رویکرد کلاسیک برای تعیین احتمال، مقادیر شدید (صفر و یک) دقیقاً از طریق استدلال مشابه به دست می‌آیند. بگذارید 1 توپ به طور تصادفی از یک کوزه معین حاوی 10 توپ قرمز کشیده شود. وقایع زیر را در نظر بگیرید:

در یک آزمایش واحد، یک رویداد کم احتمال رخ نخواهد داد.

به همین دلیل است که اگر احتمال این رویداد مثلاً 0.00000001 باشد، در قرعه کشی جکپات نخواهید داشت. بله، بله، این شما هستید - با تنها بلیط در یک تیراژ خاص. با این حال، تعداد بیشتر بلیط و تعداد بیشتر نقاشی کمک چندانی به شما نخواهد کرد. ... وقتی این موضوع را به دیگران می گویم، تقریباً همیشه در پاسخ می شنوم: "اما یک نفر برنده می شود." خوب، پس بیایید آزمایش زیر را انجام دهیم: لطفاً برای هر قرعه‌کشی امروز یا فردا یک بلیط بخرید (تأخیر نکنید!). و اگر برنده شدید... خوب، حداقل بیش از 10 کیلو روبل، حتما ثبت نام کنید - توضیح خواهم داد که چرا این اتفاق افتاد. البته برای درصد =) =)

اما نیازی به ناراحتی نیست، زیرا یک اصل مخالف وجود دارد: اگر احتمال وقوع یک رویداد بسیار نزدیک به یک باشد، در یک آزمایش واحد این اتفاق خواهد افتاد. تقریبا قطعیاتفاق خواهد افتاد. بنابراین، قبل از پرش با چتر نجات، نیازی به ترس نیست، برعکس، لبخند بزنید! از این گذشته، شرایط کاملاً غیرقابل تصور و خارق العاده ای باید برای هر دو چتر نجات ایجاد شود.

اگرچه همه اینها شعر است، زیرا بسته به محتوای رویداد، ممکن است اصل اول شاد باشد و دوم - غم انگیز. یا حتی هر دو موازی هستند.

شاید فعلاً در کلاس کافی باشد مشکلات احتمال کلاسیکما بیشترین بهره را از فرمول خواهیم برد. در بخش پایانی این مقاله، یک قضیه مهم را بررسی خواهیم کرد:

مجموع احتمالات رویدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند برابر با یک است. به طور کلی، اگر رویدادها یک گروه کامل را تشکیل دهند، به احتمال 100٪ یکی از آنها رخ خواهد داد. در ساده ترین حالت، یک گروه کامل توسط رویدادهای مخالف تشکیل می شود، به عنوان مثال:

- در نتیجه پرتاب سکه، سرها ظاهر می شوند.
– نتیجه پرتاب سکه سر خواهد بود.

طبق قضیه:

کاملاً واضح است که این رویدادها به یک اندازه ممکن است و احتمالات آنها یکسان است .

به دلیل برابری احتمالات، رویدادهای به همان اندازه ممکن اغلب نامیده می شوند به همان اندازه محتمل . و در اینجا یک زبانه پیچ برای تعیین میزان مسمومیت =)

مثال با مکعب: بنابراین رویدادها متضاد هستند .

قضیه مورد بررسی از این جهت راحت است که به شما امکان می دهد به سرعت احتمال رویداد مخالف را پیدا کنید. بنابراین، اگر احتمال نورد شدن یک پنج مشخص باشد، به راحتی می توان احتمال رول نشدن آن را محاسبه کرد:

این بسیار ساده تر از جمع بندی احتمالات پنج نتیجه ابتدایی است. به هر حال، برای نتایج ابتدایی، این قضیه نیز صادق است:
. به عنوان مثال، اگر احتمال اینکه تیرانداز به هدف برخورد کند، این احتمال وجود دارد که او از دست بدهد.

! در نظریه احتمال، استفاده از حروف برای اهداف دیگر نامطلوب است.

به احترام روز دانش، من نمی خواهم مشق شب=)، اما بسیار مهم است که بتوانید به سوالات زیر پاسخ دهید:

- چه نوع رویدادهایی وجود دارد؟
- شانس و امکان برابر یک رویداد چیست؟
- اصطلاح سازگاری/ناسازگاری رویدادها را چگونه درک می کنید؟
- یک گروه کامل از رویدادها، رویدادهای متضاد چیست؟
- جمع و ضرب حوادث به چه معناست؟
- جوهر تعریف کلاسیک احتمال چیست؟
- چرا قضیه جمع کردن احتمالات رویدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند مفید است؟

نه، شما نیازی به جمع کردن چیزی ندارید، اینها فقط اصول تئوری احتمال هستند - نوعی پرایمر که به سرعت در ذهن شما جا می گیرد. و برای این که هر چه زودتر این اتفاق بیفتد، پیشنهاد می کنم با درس ها آشنا شوید

بسیاری، هنگامی که با مفهوم "نظریه احتمال" روبرو می شوند، می ترسند و فکر می کنند که این چیزی بسیار پیچیده، بسیار پیچیده است. اما همه چیز در واقع چندان غم انگیز نیست. امروز به مفهوم اساسی نظریه احتمال نگاه خواهیم کرد و نحوه حل مسائل را با استفاده از مثال های خاص یاد خواهیم گرفت.

علم

شاخه ای از ریاضیات به عنوان "نظریه احتمال" چه چیزی را مطالعه می کند؟ او الگوها و مقادیر را یادداشت می کند. دانشمندان برای اولین بار در قرن هجدهم، زمانی که قمار را مطالعه کردند، به این موضوع علاقه مند شدند. مفهوم اصلی نظریه احتمال یک رویداد است. هر حقیقتی است که با تجربه یا مشاهده ثابت شود. اما تجربه چیست؟ یکی دیگر از مفاهیم اساسی نظریه احتمال. یعنی این مجموعه شرایط نه به صورت تصادفی، بلکه برای یک هدف خاص ایجاد شده است. در مورد مشاهده، در اینجا خود محقق در آزمایش شرکت نمی کند، بلکه صرفاً شاهد این رویدادها است، او به هیچ وجه بر آنچه اتفاق می افتد تأثیر نمی گذارد.

رویدادها

ما یاد گرفتیم که مفهوم اصلی نظریه احتمال یک رویداد است، اما طبقه بندی را در نظر نگرفتیم. همه آنها به دسته های زیر تقسیم می شوند:

• قابل اعتماد
• غیر ممکن
• تصادفی.

صرف نظر از اینکه آنها چه نوع رویدادهایی هستند، مشاهده شده یا در طول تجربه ایجاد می شوند، همه آنها مشمول این طبقه بندی هستند. از شما دعوت می کنیم تا با هر نوع به صورت جداگانه آشنا شوید.

رویداد قابل اعتماد

این شرایطی است که مجموعه اقدامات لازم برای آن انجام شده است. برای درک بهتر اصل مطلب، بهتر است چند مثال بزنیم. فیزیک، شیمی، اقتصاد و ریاضیات عالی مشمول این قانون هستند. نظریه احتمال شامل چنین مفهوم مهمی به عنوان یک رویداد قابل اعتماد است. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

• ما کار می کنیم و غرامت به صورت دستمزد دریافت می کنیم.
• ما امتحانات را به خوبی پشت سر گذاشتیم، مسابقه را پشت سر گذاشتیم و برای این کار پاداشی در قالب پذیرش در یک موسسه آموزشی دریافت می کنیم.
• ما پول را در بانک سرمایه گذاری کردیم و در صورت لزوم آن را پس خواهیم گرفت.

چنین رویدادهایی قابل اعتماد هستند. اگر همه شرایط لازم را انجام داده باشیم، قطعا نتیجه مورد انتظار را خواهیم گرفت.

اتفاقات غیر ممکن

اکنون در حال بررسی عناصر نظریه احتمال هستیم. پیشنهاد می کنیم به توضیح نوع بعدی رویداد، یعنی غیرممکن برویم. اول، اجازه دهید مهمترین قانون را تعیین کنیم - احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

هنگام حل مسائل نمی توان از این فرمول عدول کرد. برای روشن شدن موضوع، در اینجا نمونه هایی از این گونه رویدادها آورده شده است:

• آب در دمای مثبت ده یخ زد (این غیرممکن است).
• کمبود برق به هیچ وجه بر تولید تأثیر نمی گذارد (همانطور که در مثال قبلی غیرممکن است).

ارزش آوردن مثال های بیشتری را ندارد، زیرا مواردی که در بالا توضیح داده شد به وضوح ماهیت این دسته را منعکس می کنند. یک رویداد غیرممکن هرگز در طول آزمایش و تحت هیچ شرایطی رخ نخواهد داد.

رویدادهای تصادفی

مطالعه عناصر توجه ویژهارزش توجه به این نوع رویداد را دارد. این چیزی است که علم مطالعه می کند. در نتیجه این تجربه، ممکن است اتفاقی بیفتد یا نشود. علاوه بر این، آزمایش را می توان به تعداد نامحدود انجام داد. نمونه های واضح عبارتند از:

• پرتاب سکه یک تجربه یا امتحان است، فرود آمدن سرها یک اتفاق است.
• بیرون کشیدن کورکورانه توپ از کیسه یک آزمایش است.

می تواند تعداد نامحدودی از این نمونه ها وجود داشته باشد، اما، به طور کلی، ماهیت باید روشن باشد. برای جمع بندی و نظام مند کردن دانش به دست آمده در مورد رویدادها، جدولی ارائه شده است. نظریه احتمال فقط آخرین نوع از همه ارائه شده را مطالعه می کند.

نام	تعریف
قابل اعتماد	رویدادهایی که با ضمانت 100% در صورت رعایت شرایط خاص رخ می دهند.	پذیرش در یک مؤسسه آموزشی با قبولی خوب در آزمون ورودی.
غیر ممکن	اتفاقاتی که در هیچ شرایطی هرگز رخ نمی دهند.	در دمای هوای مثبت سی درجه سانتیگراد برف می بارد.
تصادفی	رویدادی که ممکن است در طول آزمایش/آزمایش رخ دهد یا نباشد.	ضربه یا از دست دادن هنگام پرتاب توپ بسکتبال به حلقه.

قوانین

نظریه احتمال علمی است که امکان وقوع یک رویداد را مطالعه می کند. مانند بقیه قوانینی دارد. قوانین زیر در نظریه احتمال وجود دارد:

• همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی.
• قانون اعداد بزرگ

هنگام محاسبه احتمال چیزی پیچیده، می توانید از مجموعه ای از رویدادهای ساده استفاده کنید تا به روشی ساده تر و سریع تر به نتیجه برسید. توجه داشته باشید که قوانین نظریه احتمال به راحتی با استفاده از قضایای خاص اثبات می شوند. پیشنهاد می کنیم ابتدا با قانون اول آشنا شوید.

همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی

توجه داشته باشید که چندین نوع همگرایی وجود دارد:

• توالی متغیرهای تصادفی در احتمال همگرا می شوند.
• تقریبا غیر ممکنه
• میانگین همگرایی مربع
• همگرایی توزیع

بنابراین، از همان ابتدا، درک ماهیت آن بسیار دشوار است. در اینجا تعاریفی وجود دارد که به شما در درک این موضوع کمک می کند. بیایید با نمای اول شروع کنیم. دنباله نامیده می شود همگرا در احتمال، اگر شرط زیر برقرار باشد: n به بی نهایت میل می کند، عددی که دنباله به آن گرایش دارد بزرگتر از صفر و نزدیک به یک است.

بریم سراغ نمای بعدی، تقریباً به طور قطع. گفته می شود دنباله همگرا می شود تقریباً به طور قطعبه یک متغیر تصادفی با n تمایل به بی نهایت و P تمایل به مقدار نزدیک به وحدت.

نوع بعدی این است میانگین همگرایی مربع. هنگام استفاده از همگرایی SC، مطالعه فرآیندهای تصادفی برداری به مطالعه فرآیندهای تصادفی مختصات آنها کاهش می یابد.

نوع آخر باقی می ماند، اجازه دهید به طور خلاصه به آن نگاه کنیم تا بتوانیم مستقیماً به سمت حل مشکلات حرکت کنیم. همگرایی در توزیع نام دیگری دارد - "ضعیف" و دلیل آن را بعداً توضیح خواهیم داد. همگرایی ضعیفهمگرایی توابع توزیع در تمام نقاط تداوم تابع توزیع محدود است.

ما قطعا به وعده خود عمل خواهیم کرد: همگرایی ضعیف با همه موارد فوق در آن تفاوت دارد متغیر تصادفیبر روی فضای احتمال تعریف نشده است. این امکان پذیر است زیرا شرط منحصراً با استفاده از توابع توزیع شکل می گیرد.

قانون اعداد بزرگ

قضایای نظریه احتمال، مانند:

• نابرابری چبیشف
• قضیه چبیشف.
• قضیه چبیشف تعمیم یافته است.
• قضیه مارکوف.

اگر همه این قضایا را در نظر بگیریم، این سؤال ممکن است چندین ده صفحه طول بکشد. وظیفه اصلی ما استفاده از نظریه احتمال در عمل است. پیشنهاد می کنیم همین الان این کار را انجام دهید. اما قبل از آن، بیایید به بدیهیات نظریه احتمال نگاه کنیم، آنها دستیاران اصلی در حل مسائل خواهند بود.

بدیهیات

ما قبلاً اولین مورد را زمانی ملاقات کردیم که در مورد یک رویداد غیرممکن صحبت کردیم. بیاد داشته باشیم: احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است. ما یک مثال بسیار واضح و به یاد ماندنی آوردیم: برف در دمای هوای سی درجه سانتیگراد بارید.

مورد دوم به شرح زیر است: یک رویداد قابل اعتماد با یک احتمال رخ می دهد برابر با یک. اکنون نحوه نوشتن این را با استفاده از زبان ریاضی نشان خواهیم داد: P(B)=1.

سوم: یک رویداد تصادفی ممکن است اتفاق بیفتد یا نباشد، اما این احتمال همیشه از صفر تا یک متغیر است. هر چه مقدار به یک نزدیکتر باشد، شانس بیشتری دارد. اگر مقدار به صفر نزدیک شود، احتمال بسیار کم است. بیایید این را به زبان ریاضی بنویسیم: 0<Р(С)<1.

بیایید اصل چهارم، آخر را در نظر بگیریم که به نظر می رسد: احتمال مجموع دو رویداد برابر است با مجموع احتمالات آنها. آن را به زبان ریاضی می نویسیم: P(A+B)=P(A)+P(B).

بدیهیات تئوری احتمالات ساده ترین قوانینی هستند که به خاطر سپردن آنها دشوار نیست. بیایید سعی کنیم برخی از مشکلات را بر اساس دانشی که قبلاً کسب کرده ایم حل کنیم.

بلیط لاتاری

ابتدا به ساده ترین مثال - قرعه کشی نگاه می کنیم. تصور کنید که یک بلیط بخت آزمایی برای خوش شانسی خریده اید. احتمال اینکه شما حداقل بیست روبل برنده شوید چقدر است؟ در مجموع هزار بلیت در تیراژ شرکت دارند که یکی از آنها پانصد روبل جایزه دارد، ده تای آنها هر کدام صد روبل، پنجاه بلیت بیست روبلی و صد تای آنها پنج جایزه دارند. مشکلات احتمال بر اساس یافتن احتمال شانس است. اکنون با هم راه حل کار فوق را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

اگر از حرف A برای نشان دادن برد پانصد روبل استفاده کنیم، احتمال به دست آوردن A برابر با 0.001 خواهد بود. چگونه این را به دست آوردیم؟ فقط باید تعداد بلیط های "خوش شانس" را بر تعداد کل آنها (در این مورد: 1/1000) تقسیم کنید.

B یک برد صد روبل است، احتمال آن 0.01 خواهد بود. اکنون بر اساس همان اصل عمل قبلی (10/1000) عمل کردیم.

ج - برد بیست روبل است. احتمال را پیدا می کنیم، برابر با 0.05 است.

ما علاقه‌ای به بلیط‌های باقی‌مانده نداریم، زیرا صندوق جایزه آنها کمتر از آن چیزی است که در شرایط مشخص شده است. بیایید اصل چهارم را اعمال کنیم: احتمال برنده شدن حداقل بیست روبل P(A)+P(B)+P(C) است. حرف P نشان دهنده احتمال وقوع یک رویداد است که قبلاً آنها را در اقدامات قبلی پیدا کرده ایم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که داده های لازم را جمع کنیم و پاسخی که دریافت می کنیم 0.061 است. این عدد پاسخ سوال وظیفه خواهد بود.

عرشه کارت

برای مثال، مشکلات در تئوری احتمالات می تواند پیچیده تر باشد. در مقابل شما یک عرشه از سی و شش کارت است. وظیفه شما کشیدن دو کارت پشت سر هم بدون به هم زدن پشته است، کارت اول و دوم باید آس باشد، لباس مهم نیست.

ابتدا، بیایید احتمال این را پیدا کنیم که کارت اول یک آس باشد، برای این کار ما چهار را بر سی و شش تقسیم می کنیم. گذاشتند کنار. کارت دوم را بیرون می آوریم، یک آس با احتمال سه سی و پنجم خواهد بود. احتمال رویداد دوم بستگی به این دارد که ابتدا کدام کارت را کشیدیم، ما در تعجبیم که آیا این یک آس بوده یا نه. از این نتیجه می شود که رویداد B به رویداد A بستگی دارد.

گام بعدی یافتن احتمال وقوع همزمان است، یعنی A و B را ضرب می کنیم. حاصلضرب آنها به صورت زیر به دست می آید: احتمال یک رویداد را در احتمال شرطی دیگری ضرب می کنیم که با این فرض که اولی را محاسبه می کنیم. رویداد رخ داد، یعنی با کارت اول یک آس کشیدیم.

برای روشن شدن همه چیز، اجازه دهید به چنین عنصری به عنوان رویدادها اشاره کنیم. با فرض اینکه رویداد A رخ داده است محاسبه می شود. به صورت زیر محاسبه می شود: P(B/A).

بیایید به حل مسئله خود ادامه دهیم: P(A * B) = P(A) * P(B/A) یا P(A * B) = P(B) * P(A/B). احتمال برابر است با (4/36) * ((3/35)/(4/36) با گرد کردن به نزدیکترین صدم محاسبه می کنیم. داریم: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0، 82 = 0.09 احتمال اینکه ما دو آس را پشت سر هم بکشیم نه صدم است که به این معنی است که احتمال وقوع رویداد بسیار کم است.

شماره فراموش شده

ما پیشنهاد می کنیم چندین نوع دیگر از وظایف را که توسط نظریه احتمال مورد مطالعه قرار می گیرند، تجزیه و تحلیل کنیم. شما قبلاً نمونه هایی از حل برخی از آنها را در این مقاله مشاهده کرده اید. . ما باید این احتمال را محاسبه کنیم که او بیش از سه بار تماس نخواهد گرفت. اگر قواعد، قوانین و بدیهیات نظریه احتمال شناخته شده باشند، راه حل مسئله ساده ترین است.

قبل از بررسی راه حل، سعی کنید خودتان آن را حل کنید. می دانیم که رقم آخر می تواند از صفر تا نه باشد، یعنی در مجموع ده مقدار. احتمال به دست آوردن مورد مناسب 1/10 است.

در مرحله بعد، ما باید گزینه هایی را برای منشاء رویداد در نظر بگیریم، فرض کنید که پسر درست حدس زده و بلافاصله درست را تایپ کرده است، احتمال چنین رویدادی 1/10 است. گزینه دوم: تماس اول از دست می رود و دومی در هدف است. بیایید احتمال چنین رویدادی را محاسبه کنیم: 9/10 را در 1/9 ضرب کنیم، در نتیجه 1/10 نیز به دست می آید. گزینه سوم: تماس اول و دوم در آدرس اشتباهی بود، فقط با سومی پسر به جایی که می خواست رسید. ما احتمال چنین رویدادی را محاسبه می کنیم: 9/10 ضرب در 8/9 و 1/8، که به 1/10 می رسد. ما با توجه به شرایط مشکل علاقه ای به گزینه های دیگر نداریم، بنابراین فقط باید نتایج به دست آمده را جمع کنیم، در نهایت 3/10 داریم. پاسخ: احتمال اینکه پسر بیش از سه بار تماس نگیرد 0.3 است.

کارت هایی با اعداد

نه کارت پیش روی شماست که روی هر کدام از آنها عدد یک تا نه نوشته شده است، اعداد تکرار نمی شوند. آنها را در یک جعبه قرار داده و کاملاً مخلوط کردند. شما باید احتمال آن را محاسبه کنید

• یک عدد زوج ظاهر می شود.
• دو رقمی

قبل از رفتن به حل، اجازه دهید شرط کنیم که m تعداد موارد موفق و n تعداد کل گزینه‌ها باشد. بیایید احتمال زوج بودن عدد را پیدا کنیم. محاسبه اینکه چهار عدد زوج وجود دارد دشوار نخواهد بود، این m ما خواهد بود، در کل نه گزینه ممکن وجود دارد، یعنی m=9. سپس احتمال 0.44 یا 4/9 است.

بیایید مورد دوم را در نظر بگیریم: تعداد گزینه ها 9 است و اصلاً نمی توان نتیجه موفقیت آمیزی داشت، یعنی m برابر با صفر است. احتمال اینکه کارت کشیده شده دارای یک عدد دو رقمی باشد نیز صفر است.

مقدمه

بسیاری از چیزها برای ما نامفهوم است نه به این دلیل که مفاهیم ما ضعیف هستند.
اما به این دلیل که این چیزها در محدوده مفاهیم ما قرار نمی گیرند.
کوزما پروتکوف

هدف اصلی تحصیل ریاضیات در موسسات آموزشی تخصصی متوسطه این است که به دانش آموزان مجموعه ای از دانش و مهارت های ریاضی لازم برای مطالعه سایر رشته های برنامه ای که از ریاضیات در یک درجه یا درجه دیگر استفاده می کنند، برای توانایی انجام محاسبات عملی، برای شکل گیری و توسعه به دانش آموزان می باشد. از تفکر منطقی

در این کار، تمام مفاهیم اساسی بخش ریاضیات "مبانی نظریه احتمالات و آمار ریاضی" ارائه شده توسط برنامه و استانداردهای آموزشی دولتی آموزش متوسطه حرفه ای (وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه. M., 2002) ارائه شده است. ، به طور مداوم معرفی می شوند، قضایای اصلی فرموله می شوند که اکثر آنها اثبات نشده اند. مشکلات و روش های اصلی برای حل آنها و فناوری های به کارگیری این روش ها در حل مسائل عملی در نظر گرفته شده است. ارائه با نظرات مفصل و مثال های متعدد همراه است.

دستورالعمل های روش شناختی را می توان برای آشنایی اولیه با مطالب مورد مطالعه، هنگام یادداشت برداری از سخنرانی ها، آماده شدن برای کلاس های عملی، تجمیع دانش، مهارت ها و توانایی های به دست آمده استفاده کرد. علاوه بر این، راهنما برای دانشجویان مقطع کارشناسی به عنوان ابزار مرجع نیز مفید خواهد بود و به آنها اجازه می دهد تا به سرعت آنچه را که قبلاً مطالعه شده است به یاد بیاورند.

در پایان کار مثال ها و وظایفی وجود دارد که دانش آموزان می توانند در حالت خودکنترلی انجام دهند.

این دستورالعمل برای دانشجویان پاره وقت و تمام وقت در نظر گرفته شده است.

مفاهیم اساسی

نظریه احتمال الگوهای عینی رویدادهای تصادفی انبوه را مطالعه می کند. این مبنای نظری برای آمار ریاضی است که با توسعه روش هایی برای جمع آوری، توصیف و پردازش نتایج مشاهده سروکار دارد. از طریق مشاهدات (آزمون، آزمایش)، یعنی. تجربه به معنای وسیع کلمه، شناخت پدیده های دنیای واقعی رخ می دهد.

در فعالیت‌های عملی خود، اغلب با پدیده‌هایی مواجه می‌شویم که نتیجه آن‌ها را نمی‌توان پیش‌بینی کرد، که نتیجه آن به شانس بستگی دارد.

یک پدیده تصادفی را می‌توان با نسبت تعداد وقوع آن به تعداد آزمایش‌هایی که در هر یک از آنها، تحت شرایط یکسان همه آزمایش‌ها، ممکن است رخ دهد یا رخ ندهد، مشخص کرد.

نظریه احتمال شاخه‌ای از ریاضیات است که در آن پدیده‌های تصادفی (رویدادها) مورد مطالعه قرار می‌گیرند و با تکرار دسته جمعی الگوها شناسایی می‌شوند.

آمار ریاضی شاخه‌ای از ریاضیات است که موضوع آن مطالعه روش‌های جمع‌آوری، نظام‌بندی، پردازش و استفاده از داده‌های آماری برای به دست آوردن نتایج علمی و تصمیم‌گیری است.

در این مورد، داده های آماری به عنوان مجموعه ای از اعداد درک می شود که نشان دهنده ویژگی های کمی ویژگی های اشیاء مورد مطالعه است که مورد علاقه ما هستند. داده های آماری در نتیجه آزمایش ها و مشاهدات طراحی شده خاص به دست می آیند.

داده های آماری ماهیت خود به عوامل تصادفی زیادی بستگی دارد، بنابراین آمار ریاضی ارتباط نزدیکی با نظریه احتمال دارد که مبنای نظری آن است.

I. احتمال. قضایای جمع و ضرب احتمالات

1.1. مفاهیم اساسی ترکیبیات

در شاخه ریاضیات که ترکیبیات نامیده می شود، برخی مسائل مربوط به در نظر گرفتن مجموعه ها و ترکیب ترکیبات مختلف عناصر این مجموعه ها حل می شود. به عنوان مثال، اگر 10 عدد مختلف 0، 1، 2، 3،: 9 را بگیریم و از آنها ترکیب کنیم، اعداد مختلفی به دست می‌آید، مثلاً 143، 431، 5671، 1207، 43 و غیره.

می بینیم که برخی از این ترکیب ها فقط در ترتیب ارقام متفاوت هستند (مثلاً 143 و 431)، برخی دیگر - در ارقام موجود در آنها (مثلاً 5671 و 1207) و برخی دیگر نیز در تعداد ارقام متفاوت هستند. (مثلاً 143 و 43).

بنابراین، ترکیبات به دست آمده شرایط مختلفی را برآورده می کنند.

بسته به قوانین ترکیب، سه نوع ترکیب را می توان تشخیص داد: جایگشت ها، جایگذاری ها، ترکیب ها.

بیایید ابتدا با مفهوم آشنا شویم فاکتوریل.

حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n شامل نامیده می شود n فاکتوریال و بنویس

محاسبه کنید: الف)؛ ب)؛ V) .

راه حل. الف) .

ب) از آنجایی که ، سپس می توانیم آن را خارج از پرانتز قرار دهیم

سپس می گیریم

V) .

بازآرایی ها

ترکیبی از n عنصر که فقط در ترتیب عناصر با یکدیگر تفاوت دارند جایگشت نامیده می شود.

جایگشت ها با نماد نشان داده می شوند P n ، که در آن n تعداد عناصر موجود در هر جایگشت است. ( آر- حرف اول یک کلمه فرانسوی جایگشت- تنظیم مجدد).

تعداد جایگشت ها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

یا با استفاده از فاکتوریل:

این را به خاطر بسپاریم 0!=1 و 1!=1.

مثال 2. به چند روش می توان شش کتاب مختلف را در یک قفسه چید؟

راه حل. تعداد راه های مورد نیاز برابر است با تعداد جایگشت های 6 عنصر، یعنی.

جایگذاری ها

پست ها از مترعناصر در nدر هر یک از آنها ترکیباتی نامیده می شود که یا از نظر خود عناصر (حداقل یکی) یا به ترتیب ترتیب آنها با یکدیگر تفاوت دارند.

مکان ها با نماد نشان داده می شوند متر- تعداد تمام عناصر موجود، n- تعداد عناصر در هر ترکیب. ( الف-حرف اول یک کلمه فرانسوی ترتیب، که به معنای "قرار دادن، نظم دادن" است).

در عین حال اعتقاد بر این است که نانومتر

تعداد مکان ها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

,

آن ها تعداد تمام قرارگیری های ممکن از مترعناصر توسط nبرابر با محصول است nاعداد صحیح متوالی که بزرگترین آنهاست متر.

بیایید این فرمول را به صورت فاکتوریل بنویسیم:

مثال 3. چند گزینه برای توزیع سه کوپن به آسایشگاه های پروفایل های مختلف برای پنج متقاضی می تواند جمع آوری شود؟

راه حل. تعداد گزینه های مورد نیاز برابر است با تعداد قرارگیری 5 عنصر از 3 عنصر، یعنی.

.

ترکیبات.

ترکیبات همه ترکیبات ممکن از مترعناصر توسط n، که حداقل یک عنصر با یکدیگر متفاوت هستند (اینجا مترو n-اعداد طبیعی و n m).

تعداد ترکیبات از مترعناصر توسط nبا ( با- حرف اول یک کلمه فرانسوی ترکیبی- ترکیبی).

به طور کلی، تعداد مترعناصر توسط nبرابر با تعداد قرارگیری از مترعناصر توسط n، تقسیم بر تعداد جایگشت ها از nعناصر:

با استفاده از فرمول های فاکتوریل برای تعداد مکان ها و جایگشت ها، به دست می آوریم:

مثال 4. در یک تیم 25 نفره، باید چهار نفر را برای کار در یک منطقه خاص اختصاص دهید. از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟

راه حل. از آنجایی که ترتیب چهار نفر انتخاب شده مهم نیست، راه هایی برای این کار وجود دارد.

ما با استفاده از فرمول اول پیدا می کنیم

.

علاوه بر این، هنگام حل مسائل، از فرمول های زیر استفاده می شود که ویژگی های اساسی ترکیب ها را بیان می کند:

(طبق تعریف آنها فرض می کنند و)؛

.

1.2. حل مسائل ترکیبی

وظیفه 1. 16 موضوع در دانشکده تحصیل می شود. برای دوشنبه باید 3 موضوع را در برنامه خود قرار دهید. از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟

راه حل. راه های زیادی برای برنامه ریزی سه مورد از 16 مورد وجود دارد که می توانید قرار دادن 16 مورد را در 3 مورد ترتیب دهید.

وظیفه 2. از 15 شی، باید 10 شی را انتخاب کنید. از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟

وظیفه 3. چهار تیم در مسابقه شرکت کردند. چند گزینه برای تقسیم صندلی بین آنها امکان پذیر است؟

.

مسئله 4. اگر 80 سرباز و 3 افسر باشد گشت 3 سرباز و یک افسر از چند طریق می توان تشکیل داد؟

راه حل. شما می توانید یک سرباز در گشت را انتخاب کنید

راه ها، و افسران در راه. از آنجایی که هر افسری می تواند با هر تیم از سربازان برود، راه های زیادی وجود دارد.

وظیفه 5. اگر معلوم است که .

از آنجایی که ما دریافت می کنیم

,

,

با تعریف ترکیب نتیجه می شود که، . که .

1.3. مفهوم یک رویداد تصادفی انواع رویدادها. احتمال وقوع

هر عمل، پدیده، مشاهده با چندین پیامد متفاوت، که تحت یک مجموعه شرایط معین تحقق یابد، نامیده می شود. تست کنید.

نتیجه این عمل یا مشاهده نامیده می شود رویداد .

اگر یک رویداد در شرایط معین ممکن است رخ دهد یا ممکن است رخ ندهد، آنگاه نامیده می شود تصادفی . زمانی که رویدادی قطعی باشد به آن می گویند قابل اعتماد و در مواردی که آشکارا نمی تواند اتفاق بیفتد، - غیر ممکن.

رویدادها نامیده می شوند ناسازگار ، اگر هر بار فقط یکی از آنها ممکن است ظاهر شود.

رویدادها نامیده می شوند مفصل ، اگر تحت شرایط معین، وقوع یکی از این رویدادها، وقوع دیگری را در طول همان آزمون منتفی نکند.

رویدادها نامیده می شوند مقابل ، در صورتی که تحت شرایط آزمون، آنها که تنها نتایج آن هستند، ناسازگار باشند.

رویدادها معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده می شوند: الف، ب، ج، د، : .

یک سیستم کامل از رویدادها A 1 , A 2 , A 3 , : , A n مجموعه ای از رویدادهای ناسازگار است که وقوع حداقل یکی از آنها در طول یک آزمون الزامی است.

اگر یک سیستم کامل از دو رویداد ناسازگار تشکیل شده باشد، چنین رویدادهایی مخالف نامیده می شوند و A و .

مثال. جعبه شامل 30 توپ شماره گذاری شده است. مشخص کنید کدام یک از رویدادهای زیر غیرممکن، قابل اعتماد یا مخالف هستند:

یک توپ شماره دار بیرون آورد (الف)؛

توپی با عدد زوج گرفت (IN)؛

توپی با عدد فرد گرفت (با)؛

یک توپ بدون شماره گرفت (د).

کدام یک از آنها یک گروه کامل را تشکیل می دهند؟

راه حل . الف- رویداد قابل اعتماد؛ D- رویداد غیرممکن؛

در و با- حوادث متضاد

گروه کامل رویدادها شامل الفو D، Vو با.

احتمال یک رویداد به عنوان معیاری برای امکان عینی وقوع یک رویداد تصادفی در نظر گرفته می شود.

1.4. تعریف کلاسیک احتمال

عددی که میزان امکان عینی وقوع یک رویداد را بیان می کند نامیده می شود احتمال این رویداد و با نماد نشان داده می شود R(A).

تعریف. احتمال وقوع رویداد الفنسبت تعداد نتایج m است که به نفع وقوع یک رویداد معین است الف، به شماره nهمه نتایج (ناسازگار، فقط ممکن و به همان اندازه ممکن)، یعنی. .

بنابراین، برای یافتن احتمال یک رویداد، لازم است با در نظر گرفتن نتایج مختلف آزمون، تمام نتایج ناسازگار احتمالی محاسبه شود. nتعداد پیامدهایی که به آنها علاقه مندیم m را انتخاب کرده و نسبت را محاسبه کنید متربه n.

خواص زیر از این تعریف به دست می آید:

احتمال هر آزمون یک عدد غیر منفی است که بیش از یک نباشد.

در واقع، تعداد m رویدادهای مورد نیاز در داخل است. تقسیم هر دو قسمت به n، دریافت می کنیم

2. احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است، زیرا .

3. احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است، زیرا .

مشکل 1. در قرعه کشی 1000 بلیط، 200 بلیط برنده وجود دارد. یک بلیط به صورت تصادفی خارج می شود. احتمال برنده شدن این بلیط چقدر است؟

راه حل. تعداد کل نتایج مختلف است n=1000. تعداد نتایج مطلوب برای برنده شدن m=200 است. طبق فرمول بدست می آوریم

.

مشکل 2. در یک دسته 18 قسمتی 4 قطعه معیوب وجود دارد. 5 قسمت به صورت تصادفی انتخاب شده است. احتمال معیوب بودن دو قسمت از این 5 قسمت را پیدا کنید.

راه حل. تعداد تمام نتایج مستقل به همان اندازه ممکن nبرابر تعداد ترکیبات 18 در 5 یعنی.

بیایید عدد m را که به نفع رویداد A است بشماریم. از بین 5 قسمتی که به طور تصادفی گرفته شده اند، باید 3 قسمت خوب و 2 قسمت معیوب وجود داشته باشد. تعداد روش های انتخاب دو قسمت معیوب از 4 قطعه معیوب موجود برابر است با تعداد ترکیب های 4 در 2:

تعداد راه های انتخاب سه قطعه با کیفیت از 14 قطعه با کیفیت موجود برابر است

.

هر گروه از قطعات خوب را می توان با هر گروهی از قطعات معیوب ترکیب کرد، بنابراین تعداد کل ترکیبات متربالغ می شود

احتمال مورد نیاز رویداد A برابر است با نسبت تعداد پیامدهای مطلوب m برای این رویداد به عدد n از همه پیامدهای مستقل به همان اندازه ممکن:

.

مجموع تعداد محدودی از رویدادها رویدادی است متشکل از وقوع حداقل یکی از آنها.

مجموع دو رویداد با نماد A+B و مجموع نشان داده می شود nرویدادهایی با نماد A 1 +A 2 + : +A n.

قضیه جمع احتمال.

احتمال مجموع دو رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها.

نتیجه 1. اگر رویداد A 1، A 2، :,A n یک سیستم کامل را تشکیل دهد، مجموع احتمالات این رویدادها برابر با یک است.

نتیجه 2. مجموع احتمالات رویدادهای متضاد و برابر با یک است.

.

مشکل 1. 100 بلیط قرعه کشی وجود دارد. مشخص است که 5 بلیط هر کدام 20000 روبل، 10 بلیط 15000 روبل، 15 بلیط برنده 10000 روبل، 25 بلیط برنده 2000 روبل هستند. و برای بقیه هیچی احتمال اینکه بلیط خریداری شده حداقل 10000 روبل برنده شود را پیدا کنید.

راه حل. بگذارید A، B و C رویدادهایی باشند که شامل این واقعیت است که بلیط خریداری شده به ترتیب برابر با 20000، 15000 و 10000 روبل برنده می شود. از آنجایی که رویدادهای A، B و C ناسازگار هستند، پس

وظیفه 2. بخش مکاتبات یک آموزشکده فنی تست های ریاضی را از شهرستان ها دریافت می کند الف، بو با. احتمال دریافت برگه آزمون از شهرستان الفبرابر با 0.6، از شهر در- 0.1. احتمال اینکه آزمون بعدی از شهر باشد را پیدا کنید با.

ریاضیات شامل رشته های مختلفی است که یکی از آنها به همراه جبر و هندسه، نظریه احتمالات است. اصطلاحاتی وجود دارد که در همه این حوزه ها مشترک است، اما علاوه بر آنها، کلمات، فرمول ها و قضایای خاصی نیز وجود دارد که تنها مشخصه یک «طاقچه» خاص است.

عبارت "نظریه احتمال" باعث ایجاد وحشت در دانش آموز ناآماده می شود. در واقع، تخیل در جایی که فرمول‌های حجیم ترسناک ظاهر می‌شوند، تصاویری را ترسیم می‌کند و حل یک مشکل یک دفترچه کامل را می‌طلبد. با این حال ، در عمل ، همه چیز به هیچ وجه وحشتناک نیست: کافی است یک بار معنای برخی از اصطلاحات را درک کنید و در اصل منطق تا حدودی عجیب استدلال کاوش کنید تا یک بار برای همیشه از ترس از وظایف خودداری کنید. در این راستا، ما مفاهیم اساسی نظریه احتمال و آمار ریاضی را در نظر خواهیم گرفت - یک حوزه دانش جوان اما بسیار جالب.

چرا مفاهیم را یاد بگیریم؟

وظیفه زبان انتقال اطلاعات از فردی به فرد دیگر است تا او آن را بفهمد، بفهمد و بتواند از آن استفاده کند. هر مفهوم ریاضی را می توان با کلمات ساده توضیح داد، اما در این مورد عمل تبادل داده ها بسیار طولانی تر خواهد بود. تصور کنید که به جای کلمه "هیپوتنوز" همیشه باید "طولانی ترین ضلع یک مثلث قائم الزاویه" را بگویید - این بسیار ناخوشایند و وقت گیر است.

به همین دلیل است که مردم اصطلاحات جدیدی را برای پدیده ها و فرآیندهای خاص ارائه می کنند. مفاهیم اساسی نظریه احتمال - رویداد، احتمال رویداد و غیره - به همین ترتیب ظاهر شد. این بدان معنی است که برای استفاده از فرمول ها، حل مسائل و به کارگیری مهارت ها در زندگی، نه تنها باید کلمات جدید را به خاطر بسپارید، بلکه باید معنی هر یک از آنها را نیز درک کنید. هرچه عمیق‌تر آنها را درک کنید، در معنای آنها عمیق‌تر شوید، دامنه توانایی‌های شما گسترده‌تر می‌شود و دنیای اطرافتان را کامل‌تر درک می‌کنید.

منظور از شی چیست

بیایید با مفاهیم اولیه نظریه احتمال آشنا شویم. تعریف کلاسیک احتمال به شرح زیر است: این نسبت نتایجی است که برای محقق مناسب است به تعداد کل نتایج ممکن. بیایید یک مثال ساده را در نظر بگیریم: وقتی فردی یک قالب را پرتاب می‌کند، می‌تواند روی هر یک از شش طرف رو به بالا فرود بیاید. بنابراین، تعداد کل نتایج شش است. احتمال اینکه یک طرف به طور تصادفی انتخاب شده ظاهر شود 1/6 است.

توانایی پیش بینی وقوع یک نتیجه خاص برای انواع متخصصان بسیار مهم است. چند قطعه معیوب در دسته انتظار می رود؟ این تعیین می کند که چقدر باید تولید کنید. احتمال اینکه دارو به غلبه بر بیماری کمک کند چقدر است؟ چنین اطلاعاتی کاملاً حیاتی است. اما بیایید زمان را برای مثال های اضافی تلف نکنیم و شروع به مطالعه یک منطقه جدید برای خود کنیم.

اولین آشنایی

بیایید مفاهیم اساسی نظریه احتمال و کاربرد آنها را در نظر بگیریم. در حقوق، علوم طبیعی و اقتصاد، فرمول ها و اصطلاحات ارائه شده در زیر در همه جا استفاده می شود، زیرا آنها به طور مستقیم با آمار و خطاهای اندازه گیری مرتبط هستند. مطالعه دقیق تر این موضوع فرمول های جدیدی را برای شما آشکار می کند که برای محاسبات دقیق تر و پیچیده تر مفید هستند، اما اجازه دهید با یک فرمول ساده شروع کنیم.

یکی از اساسی ترین و اساسی ترین مفاهیم نظریه احتمال و آمار ریاضی، یک رویداد تصادفی است. اجازه دهید با کلمات واضح توضیح دهیم: از تمام نتایج ممکن آزمایش، تنها یک نتیجه مشاهده می شود. حتی اگر احتمال وقوع این رویداد به طور قابل توجهی بیشتر از رویداد دیگر باشد، تصادفی خواهد بود، زیرا از نظر تئوری نتیجه ممکن است متفاوت باشد.

اگر یک سری آزمایش انجام دادیم و تعداد معینی نتیجه دریافت کردیم، احتمال هر یک از آنها با استفاده از فرمول محاسبه می شود: P(A) = m/n. در اینجا m چند بار در یک سری آزمایشات ظاهر نتیجه مورد علاقه خود را مشاهده کردیم. به نوبه خود، n تعداد کل آزمایش های انجام شده است. اگر یک سکه را 10 بار پرتاب کنیم و 5 بار سر داشته باشیم، m=5 و n=10.

انواع رویدادها

این اتفاق می افتد که تضمین می شود که برخی از نتایج در هر آزمایش مشاهده شود - چنین رویدادی قابل اعتماد نامیده می شود. اگر هرگز اتفاق نیفتد، ناممکن خواهد بود. با این حال، چنین رویدادهایی در مسائل در نظریه احتمال استفاده نمی شود. مفاهیم اساسی که دانستن آنها بسیار مهم است، رویدادهای مشترک و غیر مشترک است.

این اتفاق می افتد که هنگام انجام یک آزمایش، دو رویداد به طور همزمان رخ می دهد. به عنوان مثال، ما دو تاس می اندازیم - در این مورد، این واقعیت که یکی "شش" می اندازد، تضمین نمی کند که دومی عدد متفاوتی را پرتاب نمی کند. چنین رویدادهایی مشترک نامیده خواهند شد.

اگر یک قالب را بچرخانیم، آنگاه دو عدد هرگز نمی توانند همزمان ظاهر شوند. در این صورت، نتایج به صورت حذف شده "یک"، "دو" و غیره به عنوان رویدادهای ناسازگار در نظر گرفته می شوند. تشخیص اینکه کدام نتایج در هر مورد خاص رخ می دهد بسیار مهم است - این تعیین می کند که از کدام فرمول ها در مسئله یافتن احتمالات استفاده شود. ما چند پاراگراف بعد، زمانی که ویژگی های جمع و ضرب را در نظر می گیریم، به مطالعه مفاهیم اساسی نظریه احتمال ادامه خواهیم داد. به هر حال، بدون آنها، هیچ مشکلی حل نمی شود.

جمع و محصول

فرض کنید شما و یکی از دوستانتان تاس می اندازید و آنها چهار می گیرند. برای برنده شدن، باید "پنج" یا "شش" بگیرید. در این مورد، احتمالات جمع می شوند: از آنجایی که شانس به دست آوردن هر دو عدد 1/6 است، پاسخ مانند 1/6 + 1/6 = 1/3 خواهد بود.

حالا تصور کنید که دو بار تاس می اندازید و دوست شما 11 امتیاز می گیرد. اکنون باید دو بار پشت سر هم یک "شش" بگیرید. رویدادها مستقل از یکدیگر هستند، بنابراین احتمالات باید ضرب شوند: 1/6 * 1/6 = 1/36.

در میان مفاهیم و قضایای اساسی نظریه احتمال، باید به مجموع احتمالات رویدادهای مشترک، یعنی احتمالاتی که می توانند همزمان رخ دهند، توجه کرد. فرمول جمع در این مورد به این صورت خواهد بود: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

ترکیبیات

اغلب ما نیاز داریم که تمام ترکیبات ممکن برخی از پارامترهای شی را پیدا کنیم یا تعداد هر ترکیبی را محاسبه کنیم (مثلاً هنگام انتخاب رمز). ترکیبیات که ارتباط نزدیکی با نظریه احتمال دارد در این امر به ما کمک خواهد کرد. مفاهیم اساسی در اینجا شامل چند کلمه جدید است و تعدادی فرمول از این موضوع احتمالاً مفید خواهد بود.

فرض کنید شما سه عدد دارید: 1، 2، 3. باید از آنها برای نوشتن تمام اعداد سه رقمی ممکن استفاده کنید. چند نفر خواهند بود؟ پاسخ: ن! (علامت تعجب به معنی فاکتوریل است). ترکیبی از تعداد معینی از عناصر مختلف (اعداد، حروف و غیره) که فقط در ترتیب ترتیب آنها متفاوت است، جایگشت نامیده می شود.

با این حال، بیشتر اوقات با این وضعیت روبرو می شویم: 10 رقم (از صفر تا نه) وجود دارد که از آنها یک رمز عبور یا کد ساخته می شود. فرض کنید طول آن 4 کاراکتر باشد. چگونه تعداد کل کدهای ممکن را محاسبه کنیم؟ یک فرمول ویژه برای این وجود دارد: (n!)/(n - m)!

با در نظر گرفتن شرط مسئله ارائه شده در بالا، n=10، m=4. علاوه بر این، فقط محاسبات ساده ریاضی مورد نیاز است. به هر حال، چنین ترکیباتی قرار دادن نامیده می شود.

در نهایت، مفهوم ترکیب ها وجود دارد - اینها دنباله هایی هستند که حداقل یک عنصر با یکدیگر متفاوت هستند. تعداد آنها با استفاده از فرمول محاسبه می شود: (n!) / (m!(n-m)!).

انتظار

مفهوم مهمی که دانش آموز در اولین درس های موضوع با آن مواجه می شود، انتظار ریاضی است. این مجموع همه مقادیر ممکن حاصل ضرب در احتمالات آنهاست. در اصل، این عدد متوسطی است که می توانیم به عنوان نتیجه آزمایش پیش بینی کنیم. به عنوان مثال، سه مقدار وجود دارد که احتمالات آنها در پرانتز نشان داده شده است: 0 (0.2)؛ 1 (0.5); 2 (0.3). بیایید انتظار ریاضی را محاسبه کنیم: M(X) = 0*0.2 + 1*0.5 + 2*0.3 = 1.1. بنابراین، از عبارت پیشنهادی می توان دریافت که این مقدار ثابت است و به نتیجه آزمون بستگی ندارد.

این مفهوم در فرمول های زیادی استفاده می شود و در آینده چندین بار با آن مواجه خواهید شد. کار با آن دشوار نیست: انتظار ریاضی از مجموع برابر است با مجموع حصیر. انتظارات - M(X+Y) = M(X) + M(Y). همین امر در مورد محصول نیز صدق می کند: M(XY) = M(X) * M(Y).

پراکندگی

احتمالاً از درس فیزیک مدرسه خود به یاد دارید که پراکندگی در حال پراکندگی است. جایگاه آن در بین مفاهیم اساسی نظریه احتمال چیست؟

به دو نمونه نگاه کنید. در یک مورد به ما داده می شود: 10 (0.2); 20 (0.6); 30 (0.2). در دیگری - 0 (0.2)؛ 20 (0.6); 40 (0.2). انتظارات ریاضی در هر دو مورد یکسان خواهد بود، پس چگونه می توان این موقعیت ها را با هم مقایسه کرد؟ از این گذشته ، ما با چشم غیر مسلح می بینیم که گسترش ارزش ها در مورد دوم بسیار بیشتر است.

به همین دلیل است که مفهوم پراکندگی معرفی شد. برای به دست آوردن آن باید انتظار ریاضی را از مجموع اختلاف هر متغیر تصادفی و انتظار ریاضی محاسبه کرد. بیایید اعداد را از اولین مثالی که در پاراگراف قبل نوشته شده است، بگیریم.

ابتدا بیایید انتظار ریاضی را محاسبه کنیم: M(X) = 10*0.2 + 20*0.6 + 30*0.2 = 20. سپس مقدار واریانس: D(X) = 40.

یکی دیگر از مفاهیم اساسی آمار و نظریه احتمال، انحراف معیار است. محاسبه آن بسیار ساده است: فقط باید جذر واریانس را بگیرید.

در اینجا می‌توانیم به اصطلاح ساده‌ای به عنوان دامنه اشاره کنیم. این مقداری است که نشان دهنده تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل در نمونه است.

آمار

برخی از مفاهیم پایه مدرسه اغلب در علم استفاده می شود. دو مورد از آنها میانگین حسابی و میانه هستند. مطمئناً به یاد دارید که چگونه معانی آنها را پیدا کنید. اما در هر صورت، به شما یادآوری می کنیم: میانگین حسابی مجموع همه مقادیر تقسیم بر تعداد آنها است. اگر 10 مقدار وجود دارد، آنها را جمع کرده و بر 10 تقسیم می کنیم.

میانه مقدار مرکزی در بین تمام مقادیر ممکن است. اگر تعداد فرد داشته باشیم، آنها را به ترتیب صعودی می نویسیم و یکی را که در وسط است انتخاب می کنیم. اگر تعداد زوج داشته باشیم، دو مرکزی را می گیریم و بر دو تقسیم می کنیم.

دو مقدار دیگر که بین میانه و دو مقدار افراطی - حداکثر و حداقل - مجموعه قرار دارند، چارک نامیده می شوند. آنها به همین ترتیب محاسبه می شوند - اگر تعداد عناصر فرد باشد، تعداد واقع در وسط ردیف و اگر تعداد عناصر زوج باشد، نصف مجموع دو عنصر مرکزی گرفته می شود.

همچنین یک نمودار ویژه وجود دارد که می توانید تمام مقادیر نمونه، محدوده آن، میانه، فاصله بین ربعی و همچنین مقادیر پرت را مشاهده کنید - مقادیری که در خطای آماری قرار نمی گیرند. تصویر حاصل یک نام بسیار خاص (و حتی غیر ریاضی) دارد - "جعبه با سبیل".

توزیع

توزیع همچنین به مفاهیم اساسی نظریه احتمال و آمار ریاضی مربوط می شود. به طور خلاصه، اطلاعات کلی در مورد همه متغیرهای تصادفی را نشان می دهد که می توانیم در نتیجه یک آزمون ببینیم. پارامتر اصلی در اینجا احتمال وقوع هر مقدار خاص خواهد بود.

توزیع نرمال توزیعی است که دارای یک پیک مرکزی حاوی مقداری است که اغلب اتفاق می افتد. نتایج محتمل کمتر و کمتری از آن در کمان ها جدا می شود. به طور کلی، نمودار از بیرون مانند یک "اسلاید" به نظر می رسد. بعداً خواهید آموخت که این نوع توزیع ارتباط نزدیکی با قضیه حد مرکزی، اساسی برای نظریه احتمال دارد. الگوهای مهمی را برای شاخه ای از ریاضیات که در نظر داریم توضیح می دهد که در محاسبات مختلف بسیار مفید هستند.

اما برگردیم به موضوع. دو نوع توزیع دیگر وجود دارد: نامتقارن و چندوجهی. اولی شبیه نیمی از یک نمودار "عادی" است، یعنی قوس فقط در یک جهت از مقدار اوج پایین می آید. در نهایت، توزیع چندوجهی توزیعی است که در آن چندین مقدار "بالا" وجود دارد. بنابراین، نمودار یا پایین می آید یا بالا می رود. متداول ترین مقدار در هر توزیع حالت نامیده می شود. این نیز یکی از مفاهیم اساسی تئوری احتمالات و آمار ریاضی است.

توزیع گاوسی

توزیع گوسی یا نرمال توزیعی است که در آن انحراف مشاهدات از میانگین از قانون خاصی تبعیت می کند.

به طور خلاصه، گسترش اصلی مقادیر نمونه به طور تصاعدی به سمت حالت - متداول ترین آنها - تمایل دارد. به طور دقیق تر، 99.6٪ از همه مقادیر در سه انحراف استاندارد قرار دارند (به یاد داشته باشید، ما این مفهوم را در بالا مورد بحث قرار دادیم؟).

توزیع گاوسی یکی از مفاهیم اساسی نظریه احتمال است. با استفاده از آن، می توانید بفهمید که آیا یک عنصر، با توجه به پارامترهای خاص، در دسته بندی "معمولی" قرار می گیرد - به این ترتیب قد و وزن فرد مطابق با سن، سطح رشد فکری، وضعیت روانی و موارد دیگر ارزیابی می شود. .

نحوه درخواست

جالب اینجاست که می توان از داده های ریاضی "خسته کننده" به نفع شما استفاده کرد. برای مثال، یک مرد جوان از تئوری احتمالات و آمار استفاده کرد تا چندین میلیون دلار در بازی رولت برنده شود. درست است، قبل از این باید آماده می شدم - برای چندین ماه مجبور بودم نتایج بازی ها را در کازینوهای مختلف ثبت کنم.

پس از انجام تجزیه و تحلیل، او متوجه شد که یکی از جداول کمی کج شده است، به این معنی که تعدادی از مقادیر از نظر آماری به طور قابل توجهی بیشتر از سایرین ظاهر می شوند. کمی محاسبه و صبر - و اکنون صاحبان مؤسسه سر خود را می خارند و متحیر می شوند که چگونه یک شخص می تواند اینقدر خوش شانس باشد.

انبوهی از مشکلات روزمره وجود دارد که بدون توسل به آمار قابل حل نیست. به عنوان مثال، چگونه می توان تعیین کرد که یک فروشگاه چند لباس باید در سایزهای مختلف سفارش دهد: S، M، L، XL؟ برای انجام این کار، لازم است تجزیه و تحلیل شود که چه کسی اغلب لباس ها را در شهر، منطقه، در فروشگاه های مجاور خریداری می کند. اگر چنین اطلاعاتی به دست نیاید، مالک ریسک از دست دادن پول زیادی را می گیرد.

نتیجه گیری

ما به مجموعه ای از مفاهیم اساسی نظریه احتمال نگاه کردیم: آزمون، رویداد، جایگشت ها و مکان ها، مقدار مورد انتظار و پراکندگی، حالت و توزیع نرمال... علاوه بر این، ما به تعدادی فرمول نگاه کردیم که بیش از یک ماه زمان می برد. کلاس برای تحصیل در یک موسسه آموزش عالی.

فراموش نکنید: ریاضیات برای تحصیل در اقتصاد، علوم طبیعی، فناوری اطلاعات و مهندسی ضروری است. در اینجا نیز نمی توان آمار را به عنوان یکی از حوزه های آن نادیده گرفت.

اکنون موضوع چیزهای کوچکی است: تمرین، حل مشکلات و مثال‌ها. حتی مفاهیم و تعاریف اولیه تئوری احتمال فراموش خواهند شد اگر برای مرور وقت نگذارید. علاوه بر این، فرمول‌های بعدی تا حد زیادی به مواردی که در نظر گرفته‌ایم متکی خواهند بود. بنابراین، سعی کنید آنها را به خاطر بسپارید، به خصوص که تعداد آنها کم است.