Gaussi teoreem. Gaussi teoreem elektrilise induktsiooni (elektrilise nihke) kohta Gaussi teoreem elektrivälja induktsiooni kohta

Vaatleme, kuidas muutub vektori E väärtus kahe keskkonna, näiteks õhu (ε 1) ja vee (ε = 81) vahelisel liidesel. Väljatugevus vees väheneb järsult 81 korda. See vektori käitumine E tekitab teatud ebamugavusi väljade arvutamisel erinevates keskkondades. Selle ebamugavuse vältimiseks võetakse kasutusele uus vektor D– välja induktsiooni või elektrilise nihke vektor. Vektorühendus D Ja E näeb välja nagu

D = ε ε 0 E.

Ilmselt on punktlaengu välja puhul elektrinihe võrdne

On hästi näha, et elektrinihet mõõdetakse ühikutes C/m2, see ei sõltu omadustest ja on graafiliselt kujutatud tõmbejoontele sarnaste joontega.

Väljajoonte suund iseloomustab välja suunda ruumis (väljajooni muidugi ei eksisteeri, need tuuakse sisse illustreerimise huvides) või väljatugevuse vektori suunda. Pingutusjoonte abil saate iseloomustada mitte ainult suuna, vaid ka väljatugevuse suurust. Selleks lepiti kokku need läbi viia teatud tihedusega, nii et tõmbejoontega risti olevat pinda läbistavate pingutusjoonte arv oleks võrdeline vektori mooduliga E(joonis 78). Siis elementaarala läbivate joonte arv dS, mille normaal n moodustab vektoriga nurga α E, on võrdne E dScos α = E n dS,

kus E n on vektori komponent E normaalse suunas n. Väärtus dФ E = E n dS = E d S helistas pingevektori vool läbi saidi d S(d S= dS n).

Suvalise suletud pinna S korral vektori voog E läbi selle pinna on võrdne

Sarnasel avaldisel on elektrilise nihkevektori Ф D voog

.

Ostrogradski-Gaussi teoreem

See teoreem võimaldab meil määrata vektorite E ja D voolu suvalise arvu laengute põhjal. Võtame punktlaengu Q ja defineerime vektori voo E läbi sfäärilise pinna raadiusega r, mille keskel see asub.

Sfäärilise pinna puhul α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 ja

Ф E = E · 4 πr 2 .

Asendades avaldise E-ga, saame

Seega väljub igast punktlaengust F E vektori voog E võrdne Q/ ε 0 . Üldistades selle järelduse suvalise arvu punktlaengute üldjuhule, anname teoreemi sõnastuse: vektori koguvool E läbi suvalise kujuga suletud pinna on arvuliselt võrdne selle pinna sees sisalduvate elektrilaengute algebralise summaga, mis on jagatud ε 0-ga, s.o.

Elektrilise nihke vektori voo jaoks D saate sarnase valemi

induktsioonivektori voog läbi suletud pinna on võrdne selle pinnaga kaetud elektrilaengute algebralise summaga.

Kui võtta kinnine pind, mis ei võta omaks laengut, siis iga rida E Ja Dületab selle pinna kaks korda - sisse- ja väljapääsu juures, nii et koguvool osutub olema võrdne nulliga. Siin on vaja arvestada sisenevate ja väljuvate ridade algebralise summaga.

Ostrogradsky-Gaussi teoreemi rakendamine tasandite, sfääride ja silindrite tekitatud elektriväljade arvutamiseks

Sfäärilisel pinnal raadiusega R on laeng Q, mis on ühtlaselt jaotunud üle pinna pinnatihedusega σ

Võtame punkti A väljaspool sfääri keskpunktist kaugusel r ja joonistame mõtteliselt sümmeetriliselt laetud sfääri raadiusega r (joonis 79). Selle pindala on S = 4 πr 2. Vektori E voog on võrdne

Ostrogradski-Gaussi teoreemi järgi
, seega,
võttes arvesse, et Q = σ 4 πr 2, saame

Punktide jaoks, mis asuvad sfääri pinnal (R = r)

D Punktide puhul, mis asuvad õõnsa sfääri sees (sfääri sees pole laengut), E = 0.

2 . Õõnes silindriline pind raadiuse R ja pikkusega l laetud konstantse pindlaengu tihedusega
(joonis 80). Joonistame koaksiaalse silindrilise pinna raadiusega r > R.

Vooluvektor E läbi selle pinna

Gaussi teoreemi järgi

Võrdsustades ülaltoodud võrduste paremad küljed, saame

.

Kui on antud silindri (või peenikese keerme) lineaarlaengu tihedus
See

3. Lõpmatute tasandite väli pinnalaengu tihedusega σ (joon. 81).

Vaatleme lõpmatu tasandi loodud välja. Sümmeetria kaalutlustest järeldub, et intensiivsus mis tahes välja punktis on tasapinnaga risti.

Sümmeetrilistes punktides E on sama suurusjärgus ja vastupidine suund.

Konstrueerime mõtteliselt silindri pinna, mille alus on ΔS. Seejärel väljub vool läbi iga silindri aluse

F E = E ΔS ja silindrilist pinda läbiv koguvool on võrdne F E = 2E ΔS.

Pinna sees on laeng Q = σ · ΔS. Gaussi teoreemi järgi peab see tõsi olema

kus

Saadud tulemus ei sõltu valitud silindri kõrgusest. Seega on väljatugevus E mis tahes vahemaa tagant ühesuurune.

Kahe erineva laenguga tasapinna puhul, mille pindlaengu tihedus on σ, on superpositsiooni põhimõttel väljaspool tasanditevahelist välja tugevus null E = 0 ja tasanditevahelises ruumis
(joonis 82a). Kui tasapinnad on laetud samasuguste laengutega, millel on sama pindlaengu tihedus, on näha vastupidine pilt (joonis 82b). Tasapindadevahelises ruumis E = 0 ja ruumis väljaspool tasapindu
.

Elektrostaatika peamine rakenduslik ülesanne on erinevates seadmetes ja seadmetes tekkivate elektriväljade arvutamine. Üldiselt lahendatakse see probleem Coulombi seaduse ja superpositsiooni printsiibi abil. See ülesanne muutub aga kaalumisel väga keeruliseks suur hulk punkt- või ruumijaotatud laengud. Veelgi suuremad raskused tekivad siis, kui ruumis on dielektrikuid või juhte, kui välisvälja E 0 mõjul toimub mikroskoopiliste laengute ümberjaotumine, luues oma lisavälja E. Seetõttu on nende probleemide praktiliseks lahendamiseks kasutusele võetud abimeetodid ja -võtted. kasutatakse keerulisi matemaatilisi seadmeid. Vaatleme kõige lihtsamat meetodit, mis põhineb Ostrogradsky-Gaussi teoreemi rakendamisel. Selle teoreemi sõnastamiseks tutvustame mitmeid uusi mõisteid:

A) laengu tihedus

Kui laetud keha on suur, siis peate teadma laengute jaotust keha sees.

Mahu laengu tihedus– mõõdetuna laenguga mahuühiku kohta:

Pinnalaengu tihedus– mõõdetuna laenguna keha pinnaühiku kohta (kui laeng jaotub üle pinna):

Lineaarne laengutihedus(laengu jaotus piki juhti):

b) elektrostaatilise induktsiooni vektor

Elektrostaatilise induktsiooni vektor (elektrilise nihke vektor) on elektrivälja iseloomustav vektorsuurus.

Vektor võrdne vektori korrutisega keskkonna absoluutse dielektrilise konstandi kohta antud punktis:

Kontrollime mõõdet D SI ühikutes:

, sest
,

siis mõõtmed D ja E ei lange kokku ning ka nende arvväärtused on erinevad.

Definitsioonist sellest järeldub, et vektorvälja puhul kehtib sama superpositsiooniprintsiip mis välja puhul :

Väli graafiliselt kujutatud induktsioonijoontega, täpselt nagu väli . Induktsioonijooned tõmmatakse nii, et puutuja igas punktis langeb kokku suunaga , ja ridade arv on võrdne D arvväärtusega antud asukohas.

Et mõista sissejuhatuse tähendust Vaatame näidet.

V) elektrostaatilise induktsiooni vektori voog

Vaatleme pinda S elektriväljas ja valime normaalse suuna

1. Kui väli on ühtlane, siis pinda S läbivate väljajoonte arv:

2. Kui väli on ebaühtlane, siis jagatakse pind lõpmata väikesteks elementideks dS, mida loetakse tasaseks ja neid ümbritsev väli on ühtlane. Seetõttu on pinnaelementi läbiv voog: dN = D n dS,

ja kogu vool läbi mis tahes pinna on:

(6)

Induktsioonivoog N on skalaarsuurus; sõltuvalt  võib olla > 0 või< 0, или = 0.

Kõige keerulisem on uurida elektrinähtusi ebahomogeenses elektrikeskkonnas. Sellises keskkonnas on ε erinevad väärtused, mis muutuvad järsult dielektrilise piiril. Oletame, et määrame välja väljatugevuse kahe keskkonna vahelisel liidesel: ε 1 =1 (vaakum või õhk) ja ε 2 =3 (vedelik - õli). Liideses vaakumilt dielektrilisusele üleminekul väheneb väljatugevus kolm korda ja tugevusvektori voog väheneb sama palju (joon. 12.25, a). Elektrostaatilise väljatugevuse vektori järsk muutus kahe keskkonna liideses tekitab väljade arvutamisel teatud raskusi. Mis puutub Gaussi teoreemi, siis nendel tingimustel kaotab see üldiselt oma tähenduse.

Kuna erinevate dielektrikute polariseeritavus ja pinge on erinevad, on ka väljajoonte arv igas dielektrikus erinev. Seda raskust saab kõrvaldada välja uue füüsikalise karakteristiku, elektrilise induktsiooni D (või vektori) kasutuselevõtuga elektriline nihe ).

Vastavalt valemile

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst

Korrutades kõik nende võrrandite osad elektrikonstandiga ε 0 saame

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 = pidev

Võtame kasutusele tähise ε 0 εE=D, siis saab eelviimane seos kuju

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektorit D, mis võrdub dielektriku elektrivälja tugevuse ja selle absoluutse dielektrilise konstandi korrutisega, nimetatakseelektrilise nihke vektor

(12.45)

Elektriline nihkeseade - ripats ruutmeetri kohta(C/m2).

Elektriline nihe on vektorsuurus ja seda saab väljendada ka kujul

D = εε 0 E = (1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Erinevalt pingest E on elektriline nihe D kõigis dielektrikutes konstantne (joon. 12.25, b). Seetõttu on ebahomogeenses dielektrilises keskkonnas elektrivälja mugav iseloomustada mitte intensiivsuse E, vaid nihkevektori D abil. Vektor D kirjeldab vabade laengute tekitatud elektrostaatilist välja (st vaakumis), kuid nende jaotumisega ruumis nagu dielektriku juuresolekul, kuna dielektrikutes tekkivad seotud laengud võivad põhjustada välja tekitavate vabade laengute ümberjaotumise.

Vektorväli on graafiliselt kujutatud elektrilise nihke joontega samamoodi nagu väli kujutatud jõujoontega.

Elektriline nihkeliin - need on sirged, mille puutujad igas punktis ühtivad elektrilise nihkevektoriga.

Vektori E jooned võivad alata ja lõppeda mis tahes laenguga - vaba ja seotud, samas kui vektori joonedD- ainult tasuta. VektorjoonedDErinevalt pingutusjoontest on need pidevad.

Kuna elektrilisel nihkevektoril ei esine katkestust kahe kandja liideses, tungivad kõik suletud pinnaga ümbritsetud laengutest lähtuvad induktsioonijooned sellesse. Seetõttu säilitab Gaussi teoreem elektrilise nihke vektori puhul täielikult oma tähenduse ebahomogeense dielektrilise keskkonna jaoks.

Gaussi teoreem elektrostaatilise välja kohta dielektrikus : elektrilise nihkevektori vool läbi suvalise suletud pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga.

(12.47)

Gaussi teoreem elektrilise induktsiooni kohta (elektriline nihe)[

Dielektrilises keskkonnas oleva välja jaoks saab Gaussi elektrostaatilise teoreemi kirjutada muul viisil (alternatiivsel viisil) - elektrilise nihkevektori voolu kaudu (elektriline induktsioon). Sel juhul on teoreemi sõnastus järgmine: elektrilise nihkevektori vool läbi suletud pinna on võrdeline selle pinna sees oleva vaba elektrilaenguga:

Diferentsiaalsel kujul:

Gaussi teoreem magnetinduktsiooni kohta

Magnetilise induktsiooni vektori voog läbi mis tahes suletud pinna on null:

või diferentsiaalsel kujul

See on võrdväärne tõsiasjaga, et looduses puuduvad “magnetlaengud” (monopoolid), mis tekitaksid magnetvälja, nii nagu elektrilaengud tekitavad elektrivälja. Teisisõnu näitab Gaussi teoreem magnetinduktsiooni kohta, et magnetväli on (täielikult) keeris.

Gaussi teoreem Newtoni gravitatsiooni kohta

Newtoni gravitatsiooni väljatugevuse (gravitatsioonikiirenduse) puhul langeb Gaussi teoreem praktiliselt kokku elektrostaatika teoreemiga, välja arvatud ainult konstandid (sõltuvad siiski ühikusüsteemi suvalisest valikust) ja, mis kõige tähtsam, märk:

Kus g- gravitatsioonivälja tugevus, M- gravitatsioonilaeng (st mass) pinna sees S, ρ - massi tihedus, G- Newtoni konstant.

Elektriväljas olevad juhid. Väli juhi sees ja selle pinnal.

Juhid on kehad, mille kaudu saavad elektrilaengud laetud kehalt laenguta kehale üle minna. Juhtide võimet elektrilaenguid enda kaudu läbi lasta on seletatav vabade laengukandjate olemasoluga neis. Juhid - tahkes ja vedelas olekus metallkehad, elektrolüütide vedelad lahused. Elektrivälja viidud juhi vabad laengud hakkavad selle mõjul liikuma. Laengute ümberjaotumine põhjustab elektrivälja muutuse. Kui elektrivälja tugevus juhis muutub nulliks, lõpetavad elektronid liikumise. Erinevate laengute eraldumist elektrivälja asetatud juhis nimetatakse elektrostaatiliseks induktsiooniks. Dirigendi sees elektriväli Ei. Seda kasutatakse elektrostaatiliseks kaitseks - kaitseks metalljuhtmete abil elektrivälja eest. Mis tahes kujuga juhtiva keha pind elektriväljas on ekvipotentsiaalpind.

Kondensaatorid

Seadmete saamiseks, mis keskmise potentsiaali korral koguksid (kondenseeriksid) enda peale märgatavaid laenguid, kasutavad nad asjaolu, et juhi elektriline võimsus suureneb, kui teised kehad sellele lähenevad. Tõepoolest, laetud juhtide tekitatud välja mõjul tekivad sellele toodud kehale indutseeritud (juhil) või sellega seotud (dielektrikul) laengud (joonis 15.5). Juhi q laengule vastasmärgilised laengud asuvad juhile lähemal kui samanimelised laengud, millel on q, ja seetõttu on neil suur mõju selle potentsiaalile.

Seetõttu, kui mis tahes keha tuuakse laetud juhi lähedale, väheneb väljatugevus ja sellest tulenevalt juhi potentsiaal väheneb. Võrrandi järgi tähendab see juhi mahtuvuse suurenemist.

Kondensaator koosneb kahest juhist (plaadist) (joonis 15.6), mis on eraldatud dielektrilise kihiga. Kui juhile rakendatakse teatud potentsiaalide erinevus, laetakse selle plaadid võrdsete vastupidise märgiga laengutega. Kondensaatori elektrilise võimsuse all mõistetakse füüsilist suurust, mis on võrdeline laenguga q ja pöördvõrdeline plaatide potentsiaalide erinevusega

Määrame lamekondensaatori mahtuvuse.

Kui plaadi pindala on S ja sellel olev laeng on q, siis plaatide vaheline väljatugevus

Teisest küljest tuleneb plaatide potentsiaalide erinevus

Punktlaengute, laetud juhi ja kondensaatori süsteemi energia.

Igal laengute süsteemil on potentsiaalne interaktsioonienergia, mis on võrdne selle süsteemi loomisele kulutatud tööga. Punktlaengute süsteemi energia q 1 , q 2 , q 3 ,… q N on määratletud järgmiselt:

Kus φ 1 – kõigi laengute tekitatud elektrivälja potentsiaal v.a q 1 kohas, kus laeng asub q 1 jne. Kui muutub laengute süsteemi konfiguratsioon, siis muutub ka süsteemi energia. Süsteemi konfiguratsiooni muutmiseks tuleb tööd teha.

Punktlaengute süsteemi potentsiaalset energiat saab arvutada ka muul viisil. Kahe punktlaengu potentsiaalne energia q 1 , q 2 üksteisest kaugel on võrdne. Kui laenguid on mitu, saab selle laengute süsteemi potentsiaalse energia defineerida kui kõigi selle süsteemi jaoks moodustatavate laengupaaride potentsiaalsete energiate summat. Seega on kolme positiivse laenguga süsteemi puhul süsteemi energia võrdne

Pindlaengu tihedus kondensaatoriplaatidel on võrdne sellel oleva laengu koguse ja plaadi pindala suhtega:.

Laetud üksikjuhi ja kondensaatori energia Kui isoleeritud juhil on laeng q, siis selle ümber on elektriväli, mille potentsiaal juhi pinnal on võrdne ja mahtuvus on C. Suurendame laengut summa dq võrra. Laengu dq ülekandmisel lõpmatusest tuleb teha tööd, mis on võrdne

. Kuid antud juhi elektrostaatilise välja potentsiaal lõpmatuses on null. Siis

Laengu dq ülekandmisel juhilt lõpmatuseni teevad sama töö elektrostaatilise välja jõud. Järelikult, kui juhi laeng suureneb summa dq võrra, suureneb välja potentsiaalne energia, s.t.

Selle avaldise integreerimisel leiame laetud juhi elektrostaatilise välja potentsiaalse energia, kui selle laeng suureneb nullist q-ni:

Seost rakendades saame potentsiaalse energia W jaoks järgmised avaldised: