Limiitide arvutamisel tuleks arvestada järgmisi põhireegleid:
1. Funktsioonide summa (erinevuse) piir on võrdne terminite piiride summaga (erinevus):
2. Funktsioonide korrutise piirväärtus võrdub tegurite piiride korrutisega:
3. Kahe funktsiooni suhte piir on võrdne nende funktsioonide piiride suhtega:
.
4. Konstantse teguri võib võtta piirmärgist kaugemale:
.
5. Konstandi piir on võrdne konstandi endaga:
6. Pidevate funktsioonide puhul saab piiri- ja funktsioonisümboleid vahetada:
.
Funktsiooni piiri leidmine peaks algama väärtuse asendamisega funktsiooni avaldisega. Veelgi enam, kui saadakse arvväärtus 0 või ¥, siis on soovitud piir leitud.
Näide 2.1. Arvutage piirmäär.
Lahendus.
.
Nimetatakse avaldisi kujul , , , , ebakindlust.
Kui saate vormi määramatuse, siis piirangu leidmiseks peate funktsiooni teisendama nii, et see määramatus ilmneks.
Vormimääramatus saadakse tavaliselt siis, kui on antud kahe polünoomi suhte piir. Sel juhul on limiidi arvutamiseks soovitatav polünoomid faktoristada ja taandada ühise teguriga. See kordaja võrdne nulliga piirväärtusel X .
Näide 2.2. Arvutage piirmäär.
Lahendus.
Asendades saame ebakindluse:
.
Korraldame lugeja ja nimetaja:
;
Vähendame ühise teguri võrra ja saame
.
Vormi määramatus saadakse siis, kui kahe polünoomi suhte piir on antud . Sel juhul on selle arvutamiseks soovitatav mõlemad polünoomid jagada X vanemas astmes.
Näide 2.3. Arvutage piirmäär.
Lahendus. Asendades ∞, saame vormi määramatuse, seega jagame kõik avaldise liikmed x 3.
.
Siin on arvestatud sellega, et.
Juure sisaldava funktsiooni piiride arvutamisel on soovitatav funktsioon korrutada ja jagada selle konjugaadiga.
Näide 2.4. Arvutage limiit
Lahendus.
Piirmäärade arvutamisel vormi või (1) ∞ määramatuse paljastamiseks kasutatakse sageli esimest ja teist märkimisväärset piiri:
Paljud probleemid, mis on seotud mõne koguse pideva kasvuga, viivad teise tähelepanuväärse piirini.
Vaatleme Ya I. Perelmani näidet, andes arvu tõlgenduse e probleemis umbes liitintress. Hoiukassades lisatakse põhikapitalile intressiraha igal aastal. Kui liituda sagedamini, siis kapital kasvab kiiremini, kuna intresside kujunemisse kaasatakse suurem summa. Võtame puhtalt teoreetilise, väga lihtsustatud näite.
Panka hoiule 100 denjerit. ühikut põhineb 100% aastas. Kui intressiraha lisandub põhikapitalile alles aasta pärast, siis selleks perioodiks 100 den. ühikut muutub 200 rahaühikuks.
Nüüd vaatame, milleks 100 eitust muutub. ühikut, kui iga kuue kuu tagant lisatakse põhikapitalile intressiraha. Kuue kuu pärast 100 den. ühikut kasvab 100 × 1,5 = 150 ja veel kuue kuu pärast - 150 × 1,5 = 225 (den. ühikut). Kui liitumine toimub iga 1/3 aasta tagant, siis aasta pärast 100 den. ühikut muutub 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. ühikut).
Tõstame intressiraha lisamise tähtaegu 0,1 aastani, 0,01 aastani, 0,001 aastani jne. Siis 100 denist välja. ühikut aasta pärast on see:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. ühikut),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. ühikut),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. ühikut).
Intressi lisamise tingimuste piiramatu vähendamisega ei kasva kogunenud kapital lõputult, vaid läheneb teatud piirile, mis on ligikaudu 271. Aastas 100% hoiustatud kapital ei saa suureneda rohkem kui 2,71 korda, isegi kui kogunenud intress lisati pealinna iga sekundi tagant, sest
Näide 2.5. Arvutage funktsiooni piir
Lahendus.
Näide 2.6. Arvutage funktsiooni piir 
.
Lahendus. Asendades saame määramatuse:
.
Kasutades trigonomeetriline valem, teisendage lugeja tooteks:
Selle tulemusena saame
Siin võetakse arvesse teist imeline piir.
Näide 2.7. Arvutage funktsiooni piir
Lahendus.
.
Vormi või vormi määramatuse paljastamiseks võite kasutada L'Hopitali reeglit, mis põhineb järgmisel teoreemil.
Teoreem. Kahe lõpmata väikese või lõpmata suure funktsiooni suhte piir on võrdne nende tuletiste suhte piiriga
Pange tähele, et seda reeglit saab rakendada mitu korda järjest.
Näide 2.8. Otsi
Lahendus. Asendamisel tekib meil vormi määramatus . L'Hopitali reeglit rakendades saame
Funktsiooni järjepidevus
Tähtis vara funktsioon on järjepidevus.
Definitsioon. Funktsiooni peetakse silmas pidev, kui argumendi väärtuse väike muutus toob kaasa väikese muutuse funktsiooni väärtuses.
Matemaatiliselt on see kirjutatud järgmiselt: millal 
Sõna ja all mõeldakse muutujate juurdekasvu, st erinevust järgnevate ja eelnevate väärtuste vahel: , (joonis 2.3)
 Joonis 2.3 – Muutujate juurdekasv |
Punktis pideva funktsiooni definitsioonist järeldub, et 
. See võrdsus tähendab, et täidetud on kolm tingimust: 
Lahendus. Funktsiooni jaoks punkt on katkestuses kahtlane, kontrollime seda ja leiame ühepoolsed piirid
Seega 
, Tähendab - murdepunkt
Funktsiooni tuletis
Tüübi- ja liigimääramatus on kõige levinumad määramatused, mis tuleb limiitide lahendamisel avalikustada.
EnamikÕpilaste ees seisvad piiriprobleemid sisaldavad just selliseid ebakindlusi. Nende paljastamiseks või täpsemalt ebakindluse vältimiseks on piirmärgi all oleva väljenditüübi teisendamiseks mitmeid kunstlikke võtteid. Need tehnikad on järgmised: lugeja ja nimetaja terminite kaupa jagamine muutuja suurima astmega, korrutamine konjugaatavaldisega ja faktoriseerimine järgnevaks redutseerimiseks, kasutades ruutvõrrandite lahendusi ja lühendatud korrutusvalemeid.
Liigimääramatus
Näide 1.
n on võrdne 2-ga. Seetõttu jagame lugeja ja nimetaja liikme liikmega järgmiselt:
.
Kommenteerige väljendi paremal küljel. Nooled ja numbrid näitavad, millised murdarvud kipuvad pärast asendamist n tähendab lõpmatust. Siin, nagu näites 2, kraad n Nimetajas on rohkem kui lugejas, mille tulemusena kipub kogu murd olema lõpmatult väike või "üliväike".
Saame vastuse: selle lõpmatusse kalduva muutujaga funktsiooni piir on võrdne .
Näide 2. .
Lahendus. Siin on muutuja suurim võimsus x on võrdne 1-ga. Seetõttu jagame lugeja ja nimetaja liikme liikme võrra x:
.
Kommentaar otsuse edenemise kohta. Lugejas juhime “x” kolmanda astme juure alla ja nii et selle algne aste (1) jääks muutumatuks, omistame sellele juurega sama astme ehk 3. Nooli ega lisanumbreid pole selles kirjes, nii et proovige seda mõttes, kuid analoogselt eelmise näitega määrake, mida kalduvad lugejas ja nimetajas olevad avaldised pärast lõpmatuse asendamist "x" asemel.
Saime vastuse: selle lõpmatusse kalduva muutujaga funktsiooni piir on võrdne nulliga.
Liigimääramatus
Näide 3. Avasta ebakindlus ja leia piir.
Lahendus. Lugeja on kuubikute vahe. Tegutseme selle kooli matemaatikakursuse lühendatud korrutamisvalemi abil:
Nimetaja sisaldab ruutvõrrandi, mille faktoriseerime ruutvõrrandi lahendamisega (taaskord link ruutvõrrandi lahendamisele):
Paneme kirja teisenduste tulemusena saadud avaldise ja leiame funktsiooni piiri:
Näide 4. Vabastage ebakindlus ja leidke piir
Lahendus. Jagatispiiri teoreem ei ole siin rakendatav, kuna
Seetõttu teisendame murdosa identselt: korrutame lugeja ja nimetaja binoomkonjugaadiga nimetajaga ja vähendame x+1. Vastavalt teoreemi 1 järeldusele saame avaldise, mille lahendamisel leiame soovitud piiri:
Näide 5. Vabastage ebakindlus ja leidke piir
Lahendus. Otsene väärtuse asendus x= 0 antud funktsioonis toob kaasa ebakindluse kujul 0/0. Selle paljastamiseks teostame identsed teisendused ja lõpuks saame soovitud piiri: 
Näide 6. Arvutage 
Lahendus: Kasutame piirväärtuste teoreeme
Vastus: 11
Näide 7. Arvutage 
Lahendus: selles näites on lugeja ja nimetaja piirid 0-ga:
; 
. Seetõttu saime jagatise piiri teoreemi rakendada.
Korrigeerime lugeja ja nimetaja, et vähendada murdosa ühise teguri võrra, mis kipub olema null, ja teeme seetõttu võimalik kasutamine 3. teoreem.
Laiendame ruudukujulist trinoomi lugejas valemiga , kus x 1 ja x 2 on trinoomi juured. Olles faktoriseerinud ja nimetaja, vähendage murdosa (x-2) võrra, seejärel rakendage teoreem 3.
Vastus:
Näide 8. Arvutage
Lahendus: Kui lugeja ja nimetaja kalduvad lõpmatuseni, saame teoreemi 3 otsesel rakendamisel avaldise , mis tähistab määramatust. Seda tüüpi määramatusest vabanemiseks peaksite jagama lugeja ja nimetaja argumendi suurima astmega. Selles näites peate jagama arvuga X:
Vastus:
Näide 9. Arvutage 
Lahendus: x 3:
Vastus: 2
Näide 10. Arvutage 
Lahendus: Kui lugeja ja nimetaja kipuvad lõpmatusse. Jagame lugeja ja nimetaja argumendi suurima astmega, s.o. x 5:
= 
Murru lugeja kaldub 1-le, nimetaja 0-le, seega kipub murd lõpmatuseni.
Vastus:
Näide 11. Arvutage
Lahendus: Kui lugeja ja nimetaja kipuvad lõpmatusse. Jagame lugeja ja nimetaja argumendi suurima astmega, s.o. x 7:
Vastus: 0
Tuletis.
Funktsiooni y = f(x) tuletis argumendi x suhtes nimetatakse selle juurdekasvu y ja argumendi x juurdekasvu x suhte piiriks, kui argumendi juurdekasv kipub olema null: . Kui see piir on lõplik, siis funktsioon y = f(x)öeldakse, et see on x juures diferentseeruv. Kui see piir on olemas, siis öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis x lõpmatu tuletis.
Põhilise tuletised elementaarsed funktsioonid:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Eristamise reeglid:
a) 
V) 
Näide 1. Leia funktsiooni tuletis 
Lahendus: Kui teise liikme tuletis leitakse murdude diferentseerimise reegli abil, siis esimene liige on kompleksfunktsioon, mille tuletis leitakse valemiga:
, Kus 
, Siis
Lahendamisel kasutati järgmisi valemeid: 1,2,10,a,c,d.
Vastus:
Näide 21. Leia funktsiooni tuletis 
Lahendus: mõlemad terminid - keerukad funktsioonid, kus esimene , , ja teine , , siis
Vastus: 
Tuletisrakendused.
1. Kiirus ja kiirendus
Olgu funktsioon s(t) kirjeldav positsiooni objekt mingis koordinaatsüsteemis ajahetkel t. Siis on funktsiooni s(t) esimene tuletis hetkeline kiirust objekt:
v=s′=f′(t)
Funktsiooni s(t) teine tuletis tähistab hetkelist kiirendus objekt:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Tangensi võrrand
y-y0=f'(x0)(x-x0),
kus (x0,y0) on puutujapunkti koordinaadid, f′(x0) on funktsiooni f(x) tuletise väärtus puutepunktis.
3. Normaalvõrrand
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
kus (x0,y0) on normaalse joonestamise punkti koordinaadid, f′(x0) on funktsiooni f(x) tuletise väärtus selles punktis.
4. Funktsiooni suurendamine ja vähenemine
Kui f′(x0)>0, siis funktsioon punktis x0 suureneb. Alloleval joonisel funktsioon kasvab kui x
Kui f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Funktsiooni lokaalne äärmus
Funktsioonil f(x) on kohalik maksimum punktis x1, kui punkti x1 naabrus on selline, et kõigi selle naabruse x kohta kehtib võrratus f(x1)≥f(x).
Samamoodi on funktsioonil f(x). kohalik miinimum punktis x2, kui punkti x2 naabrus on selline, et kõigi selle naabruse x kohta kehtib võrratus f(x2)≤f(x).
6. Kriitilised punktid
Punkt x0 on kriitiline punkt funktsioon f(x), kui selles olev tuletis f′(x0) on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.
7. Esimene piisav märk ekstreemumi olemasolust
Kui funktsioon f(x) suureneb (f′(x)>0) kõigi x-ide korral mingis intervallis (a,x1] ja väheneb (f'(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) kõigi x-i jaoks vahemikust )
