See ebakindlus on "teenitud" teiseks imeline piir , ja selle õppetunni teises osas vaatlesime väga üksikasjalikult standardnäiteid lahendustest, mida enamikul juhtudel praktikas leitakse. Nüüd saab pilt eksponenditega valmis, lisaks on tunni viimased ülesanded pühendatud “vale” piiridele, milles TUNUB, et on vaja rakendada 2. imeline piir, kuigi see pole sugugi juhtum.
2. tähelepanuväärse piiri kahe töövalemi puuduseks on see, et argument peab kalduma kas "pluss lõpmatuseni" või nullini. Aga mis siis, kui argument kaldub teisele numbrile?
Appi tuleb universaalne valem (mis on tegelikult teise tähelepanuväärse piiri tagajärg):
Ebakindlust saab kõrvaldada järgmise valemi abil:
Kuskil vist juba selgitasin, mida nurksulud tähendavad. Ei midagi erilist, sulgud on lihtsalt sulud. Tavaliselt kasutatakse neid matemaatilise tähistuse selgemaks esiletõstmiseks.
Toome välja valemi olulised punktid:
1) See on umbes ainult kindlusest ja ei millestki muust.
2) "x" argument võib kalduda meelevaldne väärtus(ja mitte ainult nulli või), eriti "miinus lõpmatuseni" või kuni keegi lõplik arv.
Selle valemi abil saate lahendada kõik õppetunnis olevad näited. Imelised piirid, mis kuuluvad 2. tähelepanuväärse piiri hulka. Näiteks arvutame limiidi:
Sel juhul 
, ja vastavalt valemile 
:
Tõsi, ma ei soovita seda teha, traditsioon on ikkagi kasutada lahenduse "tavalist" kujundust, kui seda saab rakendada. Siiski valemit kasutades on seda väga mugav kontrollida"klassikalised" näited 2. tähelepanuväärse piirini.
Kõik see on hea ja õige, kuid nüüd on kaadris huvitavamad kaadrid:
Näide 18
Arvutage limiit 
Esimesel sammul ei väsi ma kordamast, asendame piirmärgi all olevas avaldises väärtuse “x”. Mis siis, kui ebakindlust pole üldse? Juhtub! Aga mitte seekord. Asendades "kolme", jõuame järeldusele, et siin on ebakindlus
Me kasutame valemit
Et mitte e-tähte endaga kaasa vedada ja mitte väiksemaks muuta, on indikaator 
Mugavam on eraldi arvutada:
Sel juhul: 
Seega:
Arvutustehnoloogia seisukohalt on kõik rutiinne: esmalt taandame esimese liikme ühisele nimetajale, seejärel võtame välja konstandid ja teostame taandusi, vabanedes 0:0 määramatusest.
Selle tulemusena: 
Lubatud kingitus logaritmi erinevuse ja määramatusega:
Näide 19
Arvutage limiit
Kõigepealt terviklahendus, seejärel kommentaarid: 
(1)-(2) Esimeses kahes etapis kasutame valemeid 
. U komplekssed tuletised me "lahkume" logaritmid, kuid siin, vastupidi, tuleb need "kokku panna".
(3) Liigutage piiranguikoon logaritmi alla. Seda saab teha, kuna see logaritm pidev"miinus lõpmatuseni". Lisaks viitab piirmäär logaritmi "täitusele".
(4)-(5) Standardtehnika, mida käsitletakse põhitunnis umbes imelised piirid, teisendame määramatuse vormiks .
(6) Kasutame valemit .
(7) Eksponent- ja logaritmfunktsioonid on vastastikku pöördfunktsioonid, seega saab eemaldada nii "e" kui ka logaritmi. Tõepoolest, vastavalt logaritmi omadusele: . Lisame nimetajale miinuse enne murdosa: 
(8) Kommentaare pole =)
Vaadeldav limiidi tüüp ei ole nii haruldane. Leidsin 30-40 näidet.
Näide 20
Arvutage limiit 
See on näide sõltumatu otsus. Lisaks valemi kasutamisele saate limiidi esitada kui 
ja asendamisega vähendage lahendus juhtumile 
.
Kokkuvõtteks vaatame "võltsitud" piiranguid.
Tuleme tagasi ebakindluse juurde. See ebakindlus mitte alati saab taandada määramatuseni ja kasutada teist märkimisväärset piiri või järelvalemit. Ümberkujundamine on teostatav, kui aluse lugeja ja nimetaja - samaväärne lõpmatult suured funktsioonid. Näiteks:.
Teeme indikaatorist pausi ja arvutame baasi piiri: 
Saadud limiidis üksus, mis tähendab lugejat ja nimetajat mitte ainult samast kasvujärjekorrast, vaid ka samaväärsest. klassis Märkimisväärsed piirid. Näited lahendustest Tõstsime selle näite lihtsalt ebakindluseks ja saime vastuse.
Saate välja pakkuda palju sarnaseid piiranguid:
jne.
Nende näidete murde ühendab ülaltoodud tunnus: . Muudel juhtudel, kui on ebakindlus 2. märkimisväärne piirmäär ei kehti.
Näide 21
Leia piirid
Ükskõik kui palju sa ka ei püüaks, ei saa ebakindlust muuta ebakindluseks
Siin on aluste lugejad ja nimetajad sama kasvujärjekord, kuid mitte samaväärne: 
.
Seega on teine tähelepanuväärne piir ja eriti valem, EI SAA RAKENDADA.
! Märkus: Mitte segi ajada näitega nr 18, kus aluse lugeja ja nimetaja ei ole samaväärsed. On olemas valmis määramatus, aga siin räägime ebakindlusest.
"Võlts" limiitide lahendamise meetod on lihtne ja märgiline: vajate lugejat ja nimetajat põhjustel jagage x-ga kõrgeima astmeni (olenemata eksponendist):
Kui aluse lugeja ja nimetaja on erinevas kasvujärjekorras, siis on lahendus täpselt sama:
Näide 22
Leia piirid 
Need on lühikesed näited iseõppimiseks
Mõnikord ebakindlust ei pruugi üldse olla:
Selliseid nippe armastavad eriti Kuznetsovi kogumiku koostajad. Seetõttu on väga oluline esimeses etapis piirimärgi all olevas avaldises ALATI asendada “x”!
Näide 2
Lugeja põhiaste: 2; nimetaja kõrgeim aste: 3.
:
Näide 4
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga :
Märkus
: kõige viimane tegevus oli lugeja ja nimetaja korrutamine vabaneda irratsionaalsusest nimetajas.
Näide 6
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga :
Näide 8
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga :
Märkus
: termin kipuvad nullima aeglasemalt kui , Sellepärast on nimetaja "peamine" null.
.
Näide 22
Märkus
: lõputult väike funktsioon
kipub nulli aeglasemalt kui , seega mängib nimetaja “suurem” null määravat rolli:
Funktsiooni tuletis ei lange kaugele ja L'Hopitali reeglite puhul langeb see täpselt samasse kohta, kuhu langeb algfunktsioon. See asjaolu aitab paljastada määramatused kujul 0/0 või ∞/∞ ja mõned muud määramatused, mis tekivad arvutamisel piiri kahe lõpmatult väikese või lõpmata suure funktsiooni seos. Selle reegli abil on arvutamine oluliselt lihtsustatud (tegelikult kaks reeglit ja märkused nende kohta):
Nagu ülaltoodud valem näitab, saab kahe lõpmata väikese või lõpmata suure funktsiooni suhte piiri arvutamisel asendada kahe funktsiooni suhte piiri nende funktsioonide suhte piiriga. derivaadid ja seeläbi saavutada teatud tulemus.
Liigume edasi L'Hopitali reeglite täpsemate sõnastuste juurde.
L'Hopitali reegel kahe lõpmata väikese suuruse piiri korral. Laske funktsioonidel f(x) Ja g(x a. Ja just selles punktis a a funktsiooni tuletis g(x) ei ole null ( g"(x a on üksteisega võrdsed ja võrdsed nulliga:
.
L'Hopitali reegel kahe lõpmatult suure koguse piiri puhul. Laske funktsioonidel f(x) Ja g(x) omavad tuletisi (st diferentseeruvaid) punkti mõnes naabruses a. Ja just selles punktis a neil ei pruugi olla tuletisi. Veelgi enam, punkti läheduses a funktsiooni tuletis g(x) ei ole null ( g"(x)≠0) ja nende funktsioonide piirid, kui x kaldub funktsiooni väärtusele punktis a on üksteisega võrdsed ja võrdsed lõpmatusega:
.
Siis on nende funktsioonide suhte piir võrdne nende tuletiste suhte piiriga:
Teisisõnu, kujuga 0/0 või ∞/∞ määramatuste puhul on kahe funktsiooni suhte piir võrdne nende tuletise suhte piiriga, kui viimane on olemas (lõplik, st võrdne teatud arv või lõpmatu, st võrdne lõpmatusega).
Märkmed.
1. L'Hopitali reeglid kehtivad ka funktsioonide puhul f(x) Ja g(x) pole määratletud, millal x = a.
2. Kui funktsioonide tuletiste suhte piiri arvutamisel f(x) Ja g(x) jõuame jällegi määramatuseni kujul 0/0 või ∞/∞, siis tuleks L'Hôpitali reegleid korduvalt (vähemalt kaks korda) rakendada.
3. L'Hopitali reeglid on rakendatavad ka siis, kui funktsioonide (x) argument ei kaldu lõplikule arvule a, ja lõpmatuseni ( x → ∞).
Teist tüüpi määramatused saab taandada ka 0/0 ja ∞/∞ tüüpi määramatusteks.
Tüüpide "null jagatud nulliga" ja "lõpmatus jagatud lõpmatusega" tüüpide määramatuste avalikustamine
Näide 1.
x=2 toob kaasa ebakindluse kujul 0/0. Seetõttu saadakse iga funktsiooni tuletis
Polünoomi tuletis arvutati lugejas ja nimetajas - kompleksse logaritmilise funktsiooni tuletis. Enne viimast võrdusmärki tavaline piiri, asendades X-i asemel kahega.
Näide 2. Arvutage L'Hopitali reegli abil kahe funktsiooni suhte piir:
Lahendus. Väärtuse asendamine etteantud funktsiooniga x
Näide 3. Arvutage L'Hopitali reegli abil kahe funktsiooni suhte piir:
Lahendus. Väärtuse asendamine etteantud funktsiooniga x=0 toob kaasa ebakindluse kujul 0/0. Seetõttu arvutame lugeja ja nimetaja funktsioonide tuletised ja saame:
Näide 4. Arvutage
Lahendus. Väärtuse x, mis on võrdne pluss lõpmatusega, asendamine antud funktsiooniga toob kaasa kuju ∞/∞ määramatuse. Seetõttu rakendame L'Hopitali reeglit:
kommenteerida. Liigume edasi näidete juurde, kus L'Hopitali reeglit tuleb rakendada kaks korda, st jõuda teise tuletise suhte piirini, kuna esimeste tuletiste suhte piiriks on määramatus kujul 0 /0 või ∞/∞.
Vormi "null korda lõpmatus" määramatuste paljastamine
Näide 12. Arvutage
.
Lahendus. Me saame
See näide kasutab trigonomeetrilist identiteeti.
Tüüpide "null nulli astmeni", "lõpmatus nulli astmeni" ja "üks lõpmatuse astmeni" määramatuste avalikustamine.
Vormi määramatused või taandatakse tavaliselt vormile 0/0 või ∞/∞, võttes vormi funktsiooni logaritmi
Avaldise limiidi arvutamiseks tuleks kasutada logaritmilist identiteeti, mille erijuhtum on logaritmi omadus 
.
Kasutades logaritmilist identiteeti ja funktsiooni pidevuse omadust (piirmärgi läbimiseks), tuleks piir arvutada järgmiselt:
Eraldi peaksite leidma avaldise piiri eksponendis ja ehitama e leitud kraadini.
Näide 13.
Lahendus. Me saame
.
.
Näide 14. Arvutage L'Hopitali reegli abil
Lahendus. Me saame
Arvutage avaldise piir astendajas
.
.
Näide 15. Arvutage L'Hopitali reegli abil
Eelmises artiklis rääkisime, kuidas elementaarfunktsioonide piire õigesti arvutada. Kui võtame rohkem keerukad funktsioonid, siis on meie arvutustes määratlemata väärtusega avaldised. Neid nimetatakse määramatusteks.
Eristatakse järgmisi peamisi määramatuse tüüpe:
- jaga 0 0 0 0-ga;
- Ühe lõpmatuse jagamine teisega ∞ ∞;
- lõpmatus tõstetud nulli võimsuseni ∞ 0 .
0 tõstetud nullvõimsusele 0 0 ;
Loetlesime kõik peamised ebamäärasused. Teised avaldised võivad erinevates tingimustes omandada lõplikke või lõpmatuid väärtusi ja seetõttu ei saa neid pidada määramatuseks.
Ebakindluse paljastamine
Ebakindlust saab lahendada järgmiselt:
- Funktsiooni vormi lihtsustamisega (kasutades lühendatud korrutusvalemeid, trigonomeetrilised valemid, täiendav korrutamine konjugeeritud avaldistega ja sellele järgnev redutseerimine jne);
Imeliste piiride abil;
L'Hopitali reegli kasutamine;
Asendades ühe lõpmata väikese avaldise selle ekvivalentse avaldisega (reeglina tehakse see toiming lõpmatute avaldiste tabeli abil).
Kogu ülaltoodud teabe saab selgelt esitada tabeli kujul. Vasakul pool näitab määramatuse tüüpi, paremal - sobiv meetod selle paljastamiseks (piiri leidmiseks). Seda tabelit on väga mugav kasutada piirmäärade leidmisega seotud arvutustes.
| Ebakindlus | Määramatuse avalikustamise meetod |
| 1. Jagage 0 0-ga | Avaldise teisendamine ja sellele järgnev lihtsustamine. Kui avaldis on sin (k x) k x või k x sin (k x), siis peate kasutama esimest tähelepanuväärset piiri. Kui see lahendus ei sobi, kasutame L'Hopitali reeglit või samaväärsete lõpmatute avaldiste tabelit |
| 2. Lõpmatuse jagamine lõpmatusega | Muutke ja lihtsustage väljendit või kasutage L'Hopitali reeglit |
| 3. Nulli korrutamine lõpmatusega või kahe lõpmatuse vahe leidmine | Teisendamine väärtuseks 0 0 või ∞ ∞, millele järgneb L'Hopitali reegli rakendamine |
| 4. Ühik lõpmatuse astmeni | Teise suure piiri kasutamine |
| 5. Nulli või lõpmatuse tõstmine nullvõimsuseni | Avaldise logaritmi võtmine võrrandiga lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x) |
Vaatame paari probleemi. Need näited on üsna lihtsad: nendes saadakse vastus kohe pärast väärtuste asendamist ja ebakindlust pole.
Näide 1
Arvutage piirpiir x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .
Lahendus
Teostame väärtusasenduse ja saame vastuse.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Vastus: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Näide 2
Arvutage piirpiir x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 .
Lahendus
Meil on eksponentsiaalne võimsusfunktsioon, mille baasi peame asendama x = 0.
(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5
See tähendab, et saame piirangu teisendada järgmiseks avaldiseks:
piir x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = piir x → 0 2, 5 1 x 2
Vaatame nüüd indikaatorit - võimsusfunktsioon 1 x 2 = x - 2. Vaatame piirangute tabelit toitefunktsioonid astendajaga, mis on väiksem kui null ja saame järgmise: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ ja lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞
Seega võime kirjutada, et lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.
Nüüd võtame eksponentsiaalsete funktsioonide piiride tabeli, mille alused on suuremad kui 0, ja saame:
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = piir x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞
Vastus: lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = + ∞ .
Näide 3
Arvutage piirpiir x → 1 x 2 - 1 x - 1 .
Lahendus
Teostame väärtusasendust.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
Tulemuseks oli meil ebakindlus. Lahendusmeetodi valimiseks kasutage ülaltoodud tabelit. See näitab, et peate väljendit lihtsustama.
piir x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = piir x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = piir x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = piir x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
Nagu näeme, on lihtsustamine toonud esile ebakindluse.
Vastus: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
Näide 4
Arvutage piirpiir x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .
Lahendus
Asendame väärtuse ja saame järgmise kirje.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
Oleme jõudnud vajaduseni jagada null nulliga, mis on määramatus. Vaatame nõutavat lahendusmeetodit tabelist – see on avaldise lihtsustamine ja teisendamine. Lisaks korrutame lugeja ja nimetaja konjugaatlausega 12 - x + 6 + x:
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
Nimetaja korrutatakse, et saaksite seejärel taandamise teostamiseks kasutada lühendatud korrutamisvalemit (ruutude erinevus).
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = piir x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = piir x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = piir x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = piir x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
Nagu näeme, saime nende tegude tulemusel ebakindlusest lahti.
Vastus: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .
Oluline on märkida, et selliste probleemide lahendamisel kasutatakse korrutamismeetodit väga sageli, seega soovitame teil täpselt meeles pidada, kuidas seda tehakse.
Näide 5
Arvutage piirpiir x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .
Lahendus
Teostame asendustööd.
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0
Tulemuseks oli meil ebakindlus. Soovitatav viis probleemi lahendamiseks sel juhul on avaldise lihtsustamine. Kuna x väärtuse juures, võrdne ühega, pöörduvad lugeja ja nimetaja 0-ks, siis saame need koefitsiendiks arvutada ja seejärel x - 1 võrra vähendada ning siis määramatus kaob.
Teguristame lugeja:
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
Nüüd teeme sama nimetajaga:
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
Meil on järgmise vormi piirang:
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4
Nagu näeme, õnnestus ümberkujundamise käigus vabaneda ebakindlusest.
Vastus: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .
Järgmisena peame käsitlema võimsusavaldiste lõpmatuse piiride juhtumeid. Kui nende avaldiste eksponendid on suuremad kui 0, siis on ka piir lõpmatuses lõpmatu. Sel juhul on kõige suurem aste esmatähtis ja ülejäänu võib tähelepanuta jätta.
Näiteks lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ või lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.
Kui piirmärgi all on lugejas ja nimetajas astmeavaldistega murd, siis x → ∞ korral on meil kuju ∞ ∞ määramatus. Sellest määramatusest vabanemiseks peame jagama murdosa lugeja ja nimetaja x m a x (m, n)-ga. Toome näite sellise probleemi lahendamisest.
Näide 6
Arvutage piirpiir x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .
Lahendus
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
Lugeja ja nimetaja astmed on võrdsed 7-ga. Jagage need x 7-ga ja saate:
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = piir x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = piir x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
Vastus: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .
Näide 7
Arvutage piirpiir x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .
Lahendus
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
Lugeja võimsus on 8 3 ja nimetaja võimsus 2. Jagame lugeja ja nimetaja x 8 3-ga:
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Vastus: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
Näide 8
Arvutage piirpiir x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .
Lahendus
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
Meil on lugeja astmel 3 ja nimetaja astmel 10 3 . See tähendab, et peame jagama lugeja ja nimetaja x 10 3-ga:
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = piir x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 = ∞ 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Vastus: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .
Järeldused
Suhtepiirangu puhul on kolm peamist võimalust:
Kui lugeja aste on võrdne nimetaja astmega, võrdub piirmäär suuremate astmete koefitsientide suhtega.
Kui lugeja aste on suurem kui nimetaja aste, siis on piirmäär võrdne lõpmatusega.
Kui lugeja aste on väiksem kui nimetaja aste, siis on piirmäär null.
Teisi ebakindluse avalikustamise meetodeid käsitleme eraldi artiklites.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
20. TUND
20.1 LIIKIDE MÄÄRATLUSE AVALIKUSTAMINE
Näide 1
Lahenda limiit 
Esmalt proovime asendada murdosaga -1: 
Sel juhul saadakse nn määramatus.
Üldreegel: kui lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome ja vormis on ebakindlus, siis selle paljastamiseks peate arvestama lugeja ja nimetaja.
Selleks tuleb enamasti lahendada ruutvõrrand ja/või kasutada lühendatud korrutusvalemeid.
Faktoriseerime lugeja. 
Näide 2
Arvutage limiit 
Korraldame lugeja ja nimetaja.
Lugeja: Nimetaja: 
,
Lugeja ja nimetaja korrutamise meetod konjugaavaldisega
Jätkame vormi ebakindlusega arvestamist
Järgmist tüüpi piirangud on sarnased eelmisele tüübile. Ainuke asi, lisaks polünoomidele lisame juured.
Näide 3
Leia piir 
Korrutage lugeja ja nimetaja konjugaadi avaldisega.
20.2 LIIKIDE MÄÄRATLUSE AVALIKUSTAMINE
Nüüd vaatleme piiride rühma, kui , ja funktsioon on murd, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome
Näide 4
Arvutage limiit 
Meie reegli kohaselt proovime funktsiooni asendada lõpmatusega. Mida me tipus saame? Lõpmatus. Ja mis toimub allpool? Samuti lõpmatus. Seega on meil nn liigimääramatus. Võiks arvata, et vastus on valmis, kuid üldiselt pole see sugugi nii ja vaja on rakendada mõnda lahendustehnikat, mida me nüüd kaalume.
Kuidas seda tüüpi piiranguid lahendada?
Kõigepealt vaatame lugejat ja leiame suurima võimsuse: 
Lugeja juhtiv jõud on kaks.
Nüüd vaatame nimetajat ja leiame selle ka suurima astmeni: 
Nimetaja kõrgeim aste on kaks.
Seejärel valime lugeja ja nimetaja suurima astme: selles näites on need samad ja võrdsed kahega.
Seega on lahendusmeetod järgmine: ebakindluse paljastamisekspeate lugeja ja nimetaja jagamavanemas astmes.
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga 
Siin see on, vastus ja mitte lõpmatus.
Mis on otsuse koostamisel põhimõtteliselt oluline?
Esiteks näitame ebakindlust, kui seda on.
Teiseks on soovitatav vahepealsete selgituste jaoks lahendus katkestada. Tavaliselt kasutan märki, sellel pole matemaatilist tähendust, vaid tähendab, et lahendus katkestatakse vahepealseks selgituseks.
Kolmandaks on limiidis soovitav märkida, mis kuhu läheb. Kui töö on käsitsi koostatud, on seda mugavam teha järgmiselt: 
Märkmete tegemiseks on parem kasutada lihtsat pliiatsit.
Loomulikult ei pea te seda tegema, kuid võib-olla juhib õpetaja lahenduse puudustele või hakkab ülesande kohta lisaküsimusi esitama. Kas sul on seda vaja?
Näide 5
Leia piir 
Jällegi leiame lugejas ja nimetajas kõrgeimas astmes: 
Lugeja maksimaalne aste: 3 Maksimaalne aste nimetajas: 4 Valige suurim väärtus, antud juhul neli. Vastavalt meie algoritmile jagame määramatuse paljastamiseks lugeja ja nimetaja arvuga. Täielik ülesanne võib välja näha järgmine:
Näide 6
Leia piir 
Maksimaalne “X” aste lugejas: 2 Maksimaalne “X” aste nimetajas: 1 (võib kirjutada kui) Määramatuse paljastamiseks on vaja lugeja ja nimetaja jagada. Lõplik lahendus võib välja näha selline:
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga
Märkimine ei tähenda nulliga jagamist (nulliga jagada ei saa), vaid lõpmatu väikese arvuga jagamist.
Seega, kui avastame liikide ebakindluse, saame seda teha lõplik number, null või lõpmatus.
PRAKTIKA 20
ÜLESANNE N 1
Lahendus: Kui muutuja asemel paneme väärtuse 7, millele see kaldub, siis saame vormi määramatuse 
ÜLESANNE N 2Teema: "Nullist nullini" tüüpi määramatuse avalikustamine
Lahendus: Kui muutuja asemel paneme väärtuse 0, millele see kaldub, siis saame vormi määramatuse
ÜLESANNE N 3Teema: "Nullist nullini" tüüpi määramatuse avalikustamine
Lahendus: Kui muutuja asemel paneme väärtuse 6, millele see kaldub, siis saame vormi määramatuse
ÜLESANNE N 4
Lahendus: Sest 
Ja 
ÜLESANNE N 5Teema: vormi "lõpmatust lõpmatuseni" määramatuse avalikustamine
Lahendus: Sest 
Ja 
siis on vormi määramatus. Selle paljastamiseks tuleb lugeja ja nimetaja iga liige jagada. Siis, teades, mida me saame: 
ISESEISEV TÖÖ 20
ÜLESANNE N 1Teema: "Nullist nullini" tüüpi määramatuse avalikustamine
ÜLESANNE N 2Teema: "Nullist nullini" tüüpi määramatuse avalikustamine
ÜLESANNE N 3Teema: "Nullist nullini" tüüpi määramatuse avalikustamine
ÜLESANNE N 4Teema: vormi "lõpmatust lõpmatuseni" määramatuse avalikustamine
ÜLESANNE N 5Teema: vormi "lõpmatust lõpmatuseni" määramatuse avalikustamine Funktsiooni piirang 
võrdne...
ÜLESANNE N 6Teema: vormi "lõpmatust lõpmatuseni" määramatuse avalikustamine
Piirangud valmistavad kõigile matemaatikaõpilastele palju vaeva. Piiri lahendamiseks tuleb vahel kasutada palju nippe ja valida erinevate lahendusmeetodite hulgast täpselt see, mis konkreetse näite jaoks sobib.
Selles artiklis me ei aita teil mõista teie võimaluste piire ega mõista kontrolli piire, vaid püüame vastata küsimusele: kuidas mõista kõrgema matemaatika piire? Arusaamine tuleb kogemusega, seega toome samas mitu detailset näidet piiride lahendamisest koos selgitustega.
Piiri mõiste matemaatikas
Esimene küsimus on: mis see piir on ja mille piir? Võime rääkida arvjadade ja funktsioonide piiridest. Meid huvitab funktsiooni piiri mõiste, kuna sellega puutuvad õpilased kõige sagedamini kokku. Kuid kõigepealt kõige üldisem piirangu määratlus:
Oletame, et on mingi muutuv väärtus. Kui see väärtus muutumise protsessis piiramatult läheneb teatud arvule a , See a – selle väärtuse piir.
Teatud intervallis määratletud funktsiooni jaoks f(x)=y sellist arvu nimetatakse limiidiks A , mida funktsioon kaldub millal X , kaldudes teatud punktini A . Punkt A kuulub intervalli, millel funktsioon on määratletud.
See kõlab kohmakalt, kuid see on kirjutatud väga lihtsalt:
Lim- inglise keelest piiri- piirang.
Piirmäära määramisel on ka geomeetriline seletus, kuid siinkohal me teooriasse ei süvene, kuna meid huvitab pigem probleemi praktiline kui teoreetiline pool. Kui me seda ütleme X kaldub mingile väärtusele, see tähendab, et muutuja ei võta arvu väärtust, vaid läheneb sellele lõpmatult lähedale.
Toome konkreetse näite. Ülesanne on leida piir.
Selle näite lahendamiseks asendame väärtuse x=3 funktsiooniks. Saame:
Muide, kui olete huvitatud maatriksite põhitoimingutest, lugege sellel teemal eraldi artiklit.
Näidetes X võib kalduda mis tahes väärtusele. See võib olla mis tahes arv või lõpmatus. Siin on näide, millal X kipub lõpmatusse:
Intuitiivselt tähendab see, et mida suurem arv nimetajas, seda väiksema väärtuse funktsioon võtab. Niisiis, piiramatu kasvuga X tähenduses 1/x väheneb ja läheneb nullile.
Nagu näete, peate limiidi lahendamiseks lihtsalt asendama funktsiooni väärtusega, mille poole püüdlete X . See on aga kõige lihtsam juhtum. Tihti pole piiri leidmine nii ilmne. Piirides on tüübi määramatust 0/0 või lõpmatus/lõpmatus . Mida sellistel juhtudel teha? Kasutage trikke!
Ebakindlus sees
Vormi lõpmatus/lõpmatus määramatus
Olgu piirang:
Kui proovime funktsiooniga asendada lõpmatust, saame nii lugejas kui ka nimetajas lõpmatuse. Üldiselt tasub öelda, et selliste ebamäärasuste lahendamisel on teatud kunstielement: tuleb märgata, kuidas saab funktsiooni muuta nii, et määramatus kaoks. Meie puhul jagame lugeja ja nimetaja arvuga X vanemas astmes. Mis saab?
Eespool juba käsitletud näitest teame, et terminid, mis sisaldavad nimetajas x, kipuvad nullima. Siis on piiri lahendus:
Tüübi ebakindluse lahendamiseks lõpmatus/lõpmatus jagage lugeja ja nimetaja arvuga X kõrgeimal määral.
Muide! Meie lugejatele on nüüd 10% allahindlus mis tahes tüüpi tööd
Teist tüüpi määramatus: 0/0
Nagu alati, funktsiooni väärtuste asendamine x=-1 annab 0 lugejas ja nimetajas. Vaadake veidi lähemalt ja märkate, et lugejas on ruutvõrrand. Leiame juured ja kirjutame:
Vähendame ja saame:
Seega, kui seisate silmitsi tüübi ebakindlusega 0/0 – arvutage lugeja ja nimetaja.
Näidete lahendamise hõlbustamiseks esitame tabeli mõne funktsiooni piirangutega:
L'Hopitali reegel sees
Teine võimas viis, mis võimaldab kõrvaldada mõlemat tüüpi määramatused. Mis on meetodi olemus?
Kui limiidis on määramatus, võtke lugeja ja nimetaja tuletis, kuni määramatus kaob.
L'Hopitali reegel näeb välja selline:
Oluline punkt : piir, mille jooksul peavad lugeja ja nimetaja asemel olema lugeja ja nimetaja tuletised.
Ja nüüd - tõeline näide:
On tüüpiline ebakindlus 0/0 . Võtame lugeja ja nimetaja tuletised:
Voila, ebakindlus laheneb kiiresti ja elegantselt.
Loodame, et saate seda teavet praktikas kasulikult rakendada ja leida vastuse küsimusele "kuidas lahendada piire kõrgemas matemaatikas". Kui teil on vaja arvutada mingis punktis jada piir või funktsiooni piir, kuid selleks tööks pole absoluutselt aega, võtke kiire ja üksikasjaliku lahenduse saamiseks ühendust professionaalse üliõpilasteenindusega.
