Käivitatakse argumendi kõigi väärtuste jaoks (üldisest ulatusest).
Universaalsed asendusvalemid.
Nende valemite abil on lihtne muuta mis tahes avaldist, mis sisaldab ühe argumendi erinevaid trigonomeetrilisi funktsioone, ühe funktsiooni ratsionaalseks avaldiseks tg (α /2):
Valemid summade toodeteks ja toodete summadeks teisendamiseks.
Varem kasutati ülaltoodud valemeid arvutuste lihtsustamiseks. Nad arvutasid logaritmiliste tabelite ja hiljem slaidireegli abil, kuna logaritmid sobivad kõige paremini arvude korrutamiseks. Seetõttu taandati iga algne avaldis sellisele kujule, mis oleks mugav logaritmimiseks, st toodeteks Näiteks:
2 patt α patt b = cos (α - b) - cos (α + b);
2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);
2 patt α cos b = patt (α - b) + patt (α + b).
kus on nurk, mille puhul eelkõige
Tangensi ja kotangensi funktsioonide valemid on ülaltoodust kergesti leitavad.
Kraadide vähendamise valemid.
|
sin 2 α = (1 - cos 2α)/2; |
cos 2 α = (1 + cos 2α)/2; |
|
patt 3α = (3 pattα - patt 3α )/4; |
cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4. |
Neid valemeid kasutades saab trigonomeetrilisi võrrandeid hõlpsasti taandada väiksema võimsusega võrranditeks. Samamoodi tuletatakse ka kõrgemate kraadide redutseerimisvalemid patt Ja cos.
Trigonomeetriliste funktsioonide väljendamine ühe neist sama argumendiga.
Märk juure ees oleneb veerandnurga asukohast α .
Seosed trigonomeetriliste põhifunktsioonide - siinus, koosinus, puutuja ja kotangens - vahel on toodud trigonomeetrilised valemid. Ja kuna trigonomeetriliste funktsioonide vahel on üsna palju seoseid, siis see seletab trigonomeetriliste valemite rohkust. Mõned valemid ühendavad sama nurga trigonomeetrilisi funktsioone, teised - mitme nurga funktsioonid, teised - võimaldavad kraadi vähendada, neljandad - väljendavad kõiki funktsioone poolnurga puutuja kaudu jne.
Selles artiklis loetleme järjekorras kõik põhilised trigonomeetrilised valemid, millest piisab enamiku trigonomeetriaülesannete lahendamiseks. Meeldejäämise ja kasutamise hõlbustamiseks rühmitame need eesmärgi järgi ja sisestame tabelitesse.
Leheküljel navigeerimine.
Põhilised trigonomeetrilised identiteedid
Põhilised trigonomeetrilised identiteedid määratleda seos ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel. Need tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonist ning ühikringi mõistest. Need võimaldavad teil väljendada ühte trigonomeetrilist funktsiooni mis tahes teise funktsioonina.
Nende trigonomeetria valemite üksikasjalikku kirjeldust, nende tuletamist ja rakendusnäiteid leiate artiklist.
Vähendamise valemid
Vähendamise valemid tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi omadustest, st peegeldavad perioodilisuse omadust trigonomeetrilised funktsioonid, sümmeetria omadus, samuti omadus nihe võrra antud nurk. Need trigonomeetrilised valemid võimaldavad teil liikuda suvaliste nurkadega töötamiselt töötamisele nurkadega, mis jäävad vahemikku nullist 90 kraadini.
Artiklis saab uurida nende valemite põhjendusi, nende meeldejätmise mnemoloogilist reeglit ja näiteid nende kasutamise kohta.
Lisamise valemid
Trigonomeetrilised liitmisvalemid näidata, kuidas kahe nurga summa või erinevuse trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse nende nurkade trigonomeetriliste funktsioonidena. Need valemid on aluseks järgmiste trigonomeetriliste valemite tuletamisel.
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk (neid nimetatakse ka mitme nurga valemiteks) näitavad, kuidas topelt-, kolmik- jne trigonomeetrilised funktsioonid. nurgad () on väljendatud ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonidena. Nende tuletamine põhineb liitmisvalemitel.
Täpsem teave on kogutud artiklite valemitesse topelt-, kolmik- jne. nurk
Poolnurga valemid
Poolnurga valemid näidata, kuidas poolnurga trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse täisnurga koosinusena. Need trigonomeetrilised valemid tulenevad topeltnurga valemitest.
Nende järeldused ja rakendusnäited leiate artiklist.
Kraadide vähendamise valemid
Trigonomeetrilised valemid kraadide vähendamiseks on loodud selleks, et hõlbustada üleminekut trigonomeetriliste funktsioonide loomulikelt võimsustelt siinustele ja koosinustele esimese astme, kuid mitme nurga all. Teisisõnu, need võimaldavad teil vähendada trigonomeetriliste funktsioonide võimsusi esimesele.
Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid
Peamine eesmärk trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid on minna funktsioonide korrutisele, mis on väga kasulik trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel. Neid valemeid kasutatakse laialdaselt ka trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, kuna need võimaldavad arvutada siinuste ja koosinuste summat ja erinevust.
Siinuse, koosinuse ja siinuse korrutise valemid koosinuse kaupa
Üleminek trigonomeetriliste funktsioonide korrutiselt summale või erinevusele toimub siinuste, koosinuste ja siinuse koosinuse korrutise valemitega.
Universaalne trigonomeetriline asendus
Lõpetame trigonomeetria põhivalemite ülevaate valemitega, mis väljendavad trigonomeetrilisi funktsioone poolnurga puutuja kaudu. Seda asendust kutsuti universaalne trigonomeetriline asendus. Selle mugavus seisneb selles, et kõiki trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse ratsionaalselt ilma juurteta poolnurga puutuja kaudu.
Viited.
- Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Haridus, 1990. - 272 lk. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Autoriõigus nutikatele õpilastele
Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ühtegi saidi osa, sealhulgas sisemisi materjale ja välimust, ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste omaniku eelneva kirjaliku loata.
IN identiteedi transformatsioonid trigonomeetrilised avaldised võib kasutada järgmisi algebralisi võtteid: identsete terminite liitmine ja lahutamine; ühisteguri sulgudest välja panemine; korrutamine ja jagamine sama kogusega; lühendatud korrutusvalemite rakendamine; terve ruudu valimine; ruuttrinoomi faktooring; uute muutujate kasutuselevõtt teisenduste lihtsustamiseks.
Murde sisaldavate trigonomeetriliste avaldiste teisendamisel saate kasutada proportsiooni omadusi, murdude vähendamist või murdude teisendamist ühiseks nimetajaks. Lisaks saab kasutada kogu murdosa valikut, korrutades murdu lugeja ja nimetaja sama summaga ning võimalusel arvestada ka lugeja või nimetaja homogeensust. Vajadusel saab murdosa esitada mitme lihtsama murru summa või erinevusena.
Lisaks tuleb kõigi trigonomeetriliste avaldiste teisendamiseks vajalike meetodite rakendamisel pidevalt arvestada teisendatavate avaldiste lubatud väärtuste vahemikuga.
Vaatame mõnda näidet.
Näide 1.
Arvutage A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+
sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2
Lahendus.
Redutseerimisvalemitest järeldub:
sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;
sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;
sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.
Sealt saame argumentide lisamise valemite ja peamise trigonomeetrilise identiteedi abil
A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1
Vastus: 1.
Näide 2.
Teisenda avaldis M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ korrutiseks.
Lahendus.
Argumentide lisamise valemitest ja trigonomeetriliste funktsioonide summa korrutiseks teisendamiseks pärast sobivat rühmitamist on meil
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).
Vastus: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
Näide 3.
Näidake, et avaldis A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) võtab ühe kõigi x-ide jaoks väärtusest R ja sama tähendus. Leidke see väärtus.
Lahendus.
Siin on kaks võimalust selle probleemi lahendamiseks. Rakendades esimest meetodit, eraldades täisruudu ja kasutades vastavaid põhilisi trigonomeetrilisi valemeid, saame
A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
Ülesande teisel viisil lahendamisel vaatleme A-d funktsioonina x-st R-st ja arvutame selle tuletise. Pärast transformatsioone saame
А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =
Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =
Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =
Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.
Seega järeldame intervallil diferentseeruva funktsiooni püsivuse kriteeriumi tõttu, et
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 – cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
Vastus: A = 3/4 x € R puhul.
Peamised trigonomeetriliste identiteetide tõestamise meetodid on järgmised:
A) identiteedi vasaku poole vähendamine paremale sobivate teisenduste kaudu;
b) identiteedi parema poole vähendamine vasakule;
V) identiteedi parema ja vasaku poole vähendamine samale kujule;
G) vähendades tõestatava identiteedi vasaku ja parema külje erinevust nullini.
Näide 4.
Kontrollige, kas cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
Lahendus.
Teisendades selle identiteedi parema külje vastavate trigonomeetriliste valemite abil, saame
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.
Identiteedi parem pool on taandatud vasakule.
Näide 5.
Tõesta, et sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, kui α, β, γ on mõne kolmnurga sisenurgad.
Lahendus.
Arvestades, et α, β, γ on mõne kolmnurga sisenurgad, saame, et
α + β + γ = π ja seetõttu γ = π – α – β.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =
Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
Algne võrdsus on tõestatud.
Näide 6.
Tõesta, et selleks, et kolmnurga üks nurkadest α, β, γ oleks võrdne 60°, on vajalik ja piisav, et sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Lahendus.
Selle probleemi tingimuseks on nii vajalikkuse kui ka piisavuse tõestamine.
Kõigepealt tõestame vajadus.
Seda saab näidata
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
Seega, võttes arvesse, et cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, saame, et kui üks nurkadest α, β või γ on võrdne 60°, siis
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 ja seetõttu sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Tõestame nüüd piisavus määratud tingimus.
Kui sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, siis cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 ja seetõttu
kas cos (3α/2) = 0 või cos (3β/2) = 0 või cos (3γ/2) = 0.
Seega
või 3α/2 = π/2 + πk, st. α = π/3 + 2πk/3, 
või 3β/2 = π/2 + πk, st. β = π/3 + 2πk/3,
või 3γ/2 = π/2 + πk,
need. γ = π/3 + 2πk/3, kus k ϵ Z.
Sellest, et α, β, γ on kolmnurga nurgad, saame
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
Seega, kui α = π/3 + 2πk/3 või β = π/3 + 2πk/3 või
γ = π/3 + 2πk/3 kõigist kϵZ-st sobib ainult k = 0.
Sellest järeldub, et kas α = π/3 = 60° või β = π/3 = 60° või γ = π/3 = 60°.
Väide on tõestatud.
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas pole kindel, kuidas trigonomeetrilisi avaldisi lihtsustada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!
veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.
