Antud on normaaljaotusega juhusliku suuruse X matemaatiline ootus a=3 ja standardhälve =5.

Kirjutage üles tõenäosusjaotuse tihedus ja joonistage see skemaatiliselt.

Leidke tõenäosus, et x võtab väärtuse vahemikust (2;10).

Leidke tõenäosus, et x saab väärtuse, mis on suurem kui 10.

Leidke matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline intervall, milles sisalduvad suuruse x väärtused tõenäosusega =0,95.

1). Koostame valemi abil juhusliku suuruse X jaotustiheduse funktsiooni parameetritega а=3, =5

. Koostame funktsiooni skemaatilise graafiku
. Pöörame tähelepanu asjaolule, et normaalkõver on sümmeetriline sirge x = 3 suhtes ja selle max on selles punktis võrdne
, st.
ja kaks käändepunkti
koos ordinaatidega

Koostame graafiku

2) Kasutame valemit:

Funktsiooni väärtused leiate rakenduste tabelist.

4) Kasutame valemit
. Tingimuse järgi tõenäosus langeda matemaatilise ootuse suhtes sümmeetrilisse intervalli
. Tabelit kasutades leiame t, mille juures Ф(t)=0,475, t=2. Tähendab
. Seega
. Vastus on x(-1;7).

Probleemidele 31-40.

Leidke usaldusvahemik hinnangule, mille usaldusväärsus on 0,95 normaaljaotusega karakteristiku X tundmatu matemaatilise ootuse a elanikkonnast, kui üldine standardhälve =5, valimi keskmine
ja valimi suurus n=25.

Peame leidma usaldusvahemiku
.

Kõik suurused peale t on teada. Leiame t suhtest Ф(t)=0,95/2=0,475. Kasutades lisatabelit leiame t=1,96. Asendades saame lõpuks soovitud usaldusvahemiku 12.04

Probleemidele 41-50.

Tehnilise kontrolli osakond kontrollis 200 identsete toodete partiid ja sai järgmise empiirilise jaotuse, sagedus n i - x i mittestandardset toodet sisaldavate partiide arv On vaja kontrollida hüpoteesi olulisuse tasemel 0,05, et mittestandardsete toodete arv. standardtooteid X levitatakse vastavalt Poissoni seadusele.

Leiame näidise keskmise:

Võtame Poissoni jaotuse parameetri  hinnanguks valimi keskmise =0,6. Seetõttu eeldatakse Poissoni seadust
näeb välja nagu
.

Seadistusega i=0,1,2,3,4 leiame i mittestandardsete toodete ilmumise tõenäosused P i 200 partii puhul:
,
,
,
,
.

Leiame valemi abil teoreetilised sagedused
. Asendades tõenäosusväärtused sellesse valemisse, saame
,
,
,
,
.

Võrdleme empiirilisi ja teoreetilisi sagedusi Pearsoni testi abil. Selleks koostame arvutustabeli. Kombineerime väikesed sagedused (4+2=6) ja vastavad teoreetilised sagedused (3,96+0,6=4,56).

Praktikas järgib enamik juhuslikke muutujaid, mida mõjutab suur hulk juhuslikke tegureid, normaalse tõenäosusjaotuse seadust. Seetõttu on tõenäosusteooria erinevates rakendustes see seadus erilise tähtsusega.

Juhuslik suurus $X$ järgib normaaljaotuse seadust, kui selle tõenäosusjaotuse tihedus on järgmisel kujul

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Funktsiooni $f\left(x\right)$ graafik on joonisel skemaatiliselt kujutatud ja seda nimetatakse "Gaussi kõveraks". Sellest graafikust paremal on Saksa 10-margane rahatäht, mida kasutati enne euro kasutuselevõttu. Kui vaatate tähelepanelikult, näete sellel rahatähel Gaussi kõverat ja selle avastajat, suurimat matemaatikut Carl Friedrich Gaussi.

Pöördume tagasi tihedusfunktsiooni $f\left(x\right)$ juurde ja anname mõned selgitused jaotusparameetrite $a,\ (\sigma )^2$ kohta. Parameeter $a$ iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste hajumise keskpunkti, see tähendab, et sellel on matemaatilise ootuse tähendus. Kui parameeter $a$ muutub ja parameeter $(\sigma )^2$ jääb muutumatuks, võime jälgida funktsiooni $f\left(x\right)$ graafiku nihet piki abstsissi, samas kui tihedusgraafik ise ei muuda oma kuju.

Parameeter $(\sigma )^2$ on dispersioon ja iseloomustab tihedusgraafiku kõvera $f\left(x\right)$ kuju. Muutes parameetrit $(\sigma )^2$ parameetriga $a$ muutmata, saame jälgida, kuidas tihedusgraafik muudab oma kuju, kokku surudes või venitades, liikumata mööda abstsisstelge.

Tavalise jaotusega juhusliku suuruse sattumise tõenäosus antud intervalli

Teatavasti saab arvutada tõenäosuse, et juhuslik suurus $X$ langeb intervalli $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Siin on funktsioon $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ Laplace'i funktsioon. Selle funktsiooni väärtused on võetud . Funktsiooni $\Phi \left(x\right)$ omadused on järgmised.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, see tähendab, et funktsioon $\Phi \left(x\right)$ on paaritu.

2 . $\Phi \left(x\right)$ on monotoonselt kasvav funktsioon.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ vasak(x\parem)\ )=-0,5$.

Funktsiooni $\Phi \left(x\right)$ väärtuste arvutamiseks saate Excelis kasutada ka funktsiooni $f_x$ viisardit: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\parem )-0,5 $. Näiteks arvutame funktsiooni $\Phi \left(x\right)$ väärtused $x=2$ jaoks.

Tavajaotusega juhusliku muutuja $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ sattumise tõenäosust matemaatilise ootuse $a$ suhtes sümmeetrilisse intervalli saab arvutada valemiga

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Kolme sigma reegel. On peaaegu kindel, et normaalse jaotusega juhuslik muutuja $X$ langeb intervalli $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Näide 1 . Juhuslikule suurusele $X$ kehtib normaalne tõenäosusjaotuse seadus parameetritega $a=2,\ \sigma =3$. Leia tõenäosus, et $X$ langeb intervalli $\left(0.5;1\right)$ ja tõenäosus, et rahuldatakse võrratus $\left|X-a\right|< 0,2$.

Kasutades valemit

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

leiame $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) ))\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \ left(0,33\right)=0,191- 0,129 = 0,062 dollarit.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Näide 2 . Oletame, et aasta jooksul on teatud ettevõtte aktsiate hind tavaseaduse kohaselt jaotatud juhuslik suurus, mille matemaatiline ootus on võrdne 50 kokkuleppelise rahaühikuga ja standardhälve 10. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud arutlusperioodi päeval on kampaania hind:

a) rohkem kui 70 tavapärast rahaühikut?

b) alla 50 aktsia kohta?

c) 45–58 tavapärast rahaühikut aktsia kohta?

Olgu juhuslikuks muutujaks $X$ mingi kindla ettevõtte aktsiate hind. Tingimuse järgi allub $X$ normaaljaotusele parameetritega $a=50$ – matemaatiline ootus, $\sigma =10$ – standardhälve. Tõenäosus $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ üle (10))\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Tavalise tõenäosusjaotuse seadus

Liialdamata võib seda nimetada filosoofiliseks seaduseks. Vaadeldes ümbritsevas maailmas erinevaid objekte ja protsesse, puutume sageli kokku tõsiasjaga, et millestki ei piisa ja et on norm:


Siin on põhivaade tihedusfunktsioonid normaalne tõenäosusjaotus ja ma tervitan teid selle huvitava õppetüki juures.

Milliseid näiteid saate tuua? Nendes on lihtsalt pimedus. See on näiteks inimeste (ja mitte ainult) pikkus, kaal, füüsiline jõud, vaimsed võimed jne. Seal on "põhimass" (ühel või teisel põhjusel) ja kõrvalekaldeid on mõlemas suunas.

Need on elutute objektide erinevad omadused (sama suurus, kaal). See on protsesside juhuslik kestus, näiteks sajameetrise võistluse aeg või vaigu muutumine merevaiguks. Füüsikast jäid mulle meelde õhumolekulid: osa neist on aeglased, osad kiired, aga enamus liigub “standardkiirusel”.

Järgmisena kaldume keskpunktist kõrvale veel ühe standardhälbe võrra ja arvutame kõrguse:

Punktide tähistamine joonisel (roheline) ja me näeme, et sellest piisab.

Viimases etapis joonistage hoolikalt graafik ja eriti hoolikalt seda peegeldama kumer/nõgus! Tõenäoliselt saite juba ammu aru, et x-telg on horisontaalne asümptoot, ja selle taha “ronida” on absoluutselt keelatud!

Elektrooniliselt lahendust vormistades on lihtne Excelis graafikut koostada ja endalegi ootamatult salvestasin sel teemal isegi väikese video. Kuid kõigepealt räägime sellest, kuidas normaalse kõvera kuju muutub sõltuvalt ja väärtustest.

"a" suurendamisel või vähendamisel (pideva "sigmaga") graafik säilitab oma kuju ja liigub paremale/vasakule vastavalt. Näiteks kui funktsioon võtab vormi ja meie graafik “liigub” 3 ühikut vasakule - täpselt koordinaatide alguspunkti:


Normaalselt jaotatud suurus nulli matemaatilise ootusega sai täiesti loomuliku nime - tsentreeritud; selle tihedusfunktsioon – isegi, ja graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.

"Sigma" muutumise korral (konstandiga "a"), graafik "jääb samaks", kuid muudab kuju. Suurendades muutub see madalamaks ja piklikuks, nagu kaheksajalg, mis sirutab oma kombitsaid. Ja vastupidi, graafiku vähendamisel muutub kitsamaks ja kõrgemaks- selgub, et see on "üllatunud kaheksajalg". Jah, millal vähenema"sigma" kaks korda: eelmine graafik kitseneb ja venib kaks korda üles:

Kõik on täielikus kooskõlas graafikute geomeetrilised teisendused.

Nimetatakse normaaljaotust ühikulise sigma väärtusega normaliseeritud ja kui on ka tsentreeritud(meie juhtum), siis sellist jaotust nimetatakse standard. Sellel on veelgi lihtsam tihedusfunktsioon, mis on juba leitud Laplace'i lokaalne teoreem: . Tavaline distributsioon on praktikas leidnud laialdast rakendust ja varsti saame lõpuks aru selle eesmärgist.

Noh, vaatame nüüd filmi:

Jah, täiesti õige – kuidagi teenimatult jäi see varju tõenäosusjaotuse funktsioon. Pidagem teda meeles määratlus:
- tõenäosus, et juhuslik muutuja võtab väärtuse VÄHEM kui muutuja, mis "jookseb" läbi kõigist tegelikest väärtustest kuni "pluss" lõpmatuseni.

Integraali sees kasutatakse tavaliselt erinevat tähte, et tähistusega ei oleks “kattuvusi”, sest siin on iga väärtus seotud vale integraal , mis on võrdne mõnega number intervallist .

Peaaegu kõiki väärtusi ei saa täpselt arvutada, kuid nagu me just nägime, pole see kaasaegse arvutusvõimsuse korral keeruline. Niisiis, funktsiooni jaoks standardjaotuse korral sisaldab vastav Exceli funktsioon tavaliselt ühte argumenti:

=NORMSDIST(z)

Üks, kaks – ja ongi valmis:

Joonis näitab selgelt kõigi rakendamist jaotusfunktsiooni omadused, ja tehnilistest nüanssidest peaksite siin tähelepanu pöörama horisontaalsed asümptoodid ja käändepunkt.

Meenutagem nüüd üht teema põhiülesannet, nimelt selgitame välja, kuidas leida tõenäosus, et tavaline juhuslik suurus võtab väärtuse intervallist. Geomeetriliselt on see tõenäosus võrdne ala normaalkõvera ja x-telje vahel vastavas jaotises:

aga iga kord üritan saada ligikaudset väärtust on ebamõistlik ja seetõttu on seda ratsionaalsem kasutada "kerge" valem:
.

! Samuti mäletab , Mida

Siin saate Excelit uuesti kasutada, kuid on paar olulist "aga": esiteks pole see alati käepärast ja teiseks tekitavad "valmis" väärtused tõenäoliselt õpetajal küsimusi. Miks?

Olen sellest varemgi korduvalt rääkinud: omal ajal (ja mitte väga ammu) oli tavaline kalkulaator luksus ja õppekirjanduses säilib kõnealuse ülesande lahendamise “käsitsi” meetod siiani. Selle olemus on standardiseerida väärtused "alfa" ja "beeta", st taandavad lahenduse standardjaotusele:

Märkus : funktsiooni on üldjuhtumi põhjal lihtne hankidakasutades lineaarset asendused. Siis ka:

ja teostatud asendamisest järgmine valem: üleminek suvalise jaotuse väärtustelt standardjaotuse vastavatele väärtustele.

Miks see vajalik on? Fakt on see, et meie esivanemad arvutasid väärtused hoolikalt välja ja koostasid need spetsiaalsesse tabelisse, mis on paljudes terweri raamatutes. Kuid veelgi sagedamini on väärtuste tabel, mida oleme juba käsitlenud Laplace'i integraalteoreem:

Kui meie käsutuses on Laplace'i funktsiooni väärtuste tabel , siis lahendame selle kaudu:

Murdväärtused ümardatakse traditsiooniliselt 4 kümnendkohani, nagu on tehtud standardtabelis. Ja kontrolli jaoks on olemas Punkt 5 paigutus.

Ma tuletan teile seda meelde ja segaduse vältimiseks alati kontrolli all, teie silme ees on tabel MIS funktsioonist.

Vastus tuleb esitada protsentides, seega tuleb arvutatud tõenäosus korrutada 100-ga ja tulemus lisada sisuka kommentaariga:

– lennul 5–70 m kukub umbes 15,87% mürskudest

Treenime iseseisvalt:

Näide 3

Tehases valmistatud laagrite läbimõõt on juhuslik suurus, mis on tavaliselt jaotunud matemaatilise ootusega 1,5 cm ja standardhälbega 0,04 cm. Leidke tõenäosus, et juhuslikult valitud laagri suurus jääb vahemikku 1,4–1,6 cm.

Näidislahenduses ja allpool kasutan enamlevinud võimalusena Laplace'i funktsiooni. Muide, pange tähele, et vastavalt sõnastusele võib siin arvesse võtta ka intervalli lõpud. See pole aga kriitiline.

Ja juba selles näites puutusime kokku erijuhtumiga - kui intervall on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline. Sellises olukorras saab selle kirjutada kujul ja Laplace'i funktsiooni veidrust kasutades töövalemit lihtsustada:

Delta parameetrit nimetatakse kõrvalekalle matemaatilisest ootusest ja kahekordse ebavõrdsuse saab "pakendada" kasutades moodul:

– tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus erineb matemaatilisest ootusest vähem kui .

Hea, et lahendus ühte ritta mahub :)
– tõenäosus, et juhuslikult võetud laagri läbimõõt erineb 1,5 cm-st mitte rohkem kui 0,1 cm.

Selle ülesande tulemus osutus ühtsuse lähedaseks, kuid sooviksin veelgi suuremat usaldusväärsust - nimelt välja selgitada piirid, milles diameeter asub peaaegu kõik laagrid. Kas sellel on mingi kriteerium? Olemas! Esitatud küsimusele vastab nn

kolme sigma reegel

Selle olemus on see praktiliselt usaldusväärne on tõsiasi, et normaalse jaotusega juhuslik muutuja võtab intervallist väärtuse .

Tõepoolest, eeldatavast väärtusest kõrvalekaldumise tõenäosus on väiksem kui:
ehk 99,73%

Laagrite osas on need 9973 tükki läbimõõduga 1,38–1,62 cm ja ainult 27 "mittestandardset" eksemplari.

Praktilises uurimistöös rakendatakse kolme sigma reeglit tavaliselt vastupidises suunas: kui statistiliselt Leiti, et peaaegu kõik väärtused uuritav juhuslik suurus jäävad 6 standardhälbe vahemikku, siis on kaalukaid põhjusi arvata, et see väärtus on jaotatud tavaseaduse järgi. Kontrollimine toimub teooria abil statistilised hüpoteesid.

Jätkame nõukogude karmide probleemide lahendamist:

Näide 4

Kaaluvea juhuslik väärtus jaotatakse normaalseaduse järgi nulli matemaatilise ootusega ja standardhälbega 3 grammi. Leidke tõenäosus, et järgmine kaalumine viiakse läbi veaga, mis absoluutväärtuses ei ületa 5 grammi.

Lahendus väga lihtne. Tingimuse järgi märgime selle kohe järgmisel kaalumisel (midagi või keegi) peaaegu 100% saame tulemuse 9 grammi täpsusega. Kuid probleem hõlmab kitsamat kõrvalekallet ja valemi järgi :

– tõenäosus, et järgmine kaalumine viiakse läbi veaga, mis ei ületa 5 grammi.

Vastus:

Lahendatud probleem erineb põhimõtteliselt näiliselt sarnasest. Näide 3õppetund umbes ühtlane jaotus. Tekkis viga ümardamine mõõtmistulemustest, siin räägime mõõtmiste endi juhuslikust veast. Sellised vead tulenevad seadme enda tehnilistest omadustest. (aktsepteeritavate vigade vahemik on tavaliselt märgitud tema passis), ja ka eksperimenteerija süül - kui me näiteks “silma järgi” võtame näidud samade skaalade nõelast.

Teiste seas on ka nn süstemaatiline mõõtmisvead. See on juba mitte-juhuslikud vead, mis tekivad seadme vale seadistamise või kasutamise tõttu. Näiteks reguleerimata põrandakaalud võivad järjekindlalt kilogramme “lisandada” ja müüja kaalub süstemaatiliselt kliente. Või ei saa seda arvutada mitte süstemaatiliselt. Kuid igal juhul ei ole selline viga juhuslik ja selle ootus erineb nullist.

... töötan kiiresti välja müügikoolituse =)

Lahendame pöördülesande ise:

Näide 5

Rulli läbimõõt on juhuslik normaalselt jaotatud juhuslik suurus, selle standardhälve on võrdne mm. Leidke matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline intervalli pikkus, millesse rulliku läbimõõdu pikkus tõenäoliselt langeb.

Punkt 5* disaini paigutus aidata. Pange tähele, et matemaatilist ootust siin ei teata, kuid see ei takista meil vähimalgi määral probleemi lahendamist.

Ja eksamiülesanne, mida materjali tugevdamiseks soojalt soovitan:

Näide 6

Tavalise jaotusega juhuslik suurus määratakse selle parameetritega (matemaatiline ootus) ja (standardhälve). Nõutav:

a) kirjutage üles tõenäosustihedus ja kujutage skemaatiliselt selle graafikut;
b) leidke tõenäosus, et see võtab intervallist väärtuse ;
c) leida tõenäosus, et absoluutväärtus ei erine rohkem kui ;
d) leidke "kolme sigma" reegli abil juhusliku suuruse väärtused.

Selliseid probleeme pakutakse igal pool ja aastatepikkuse praktika jooksul olen neid sadu ja sadu lahendanud. Kindlasti harjuta käsitsi joonistamist ja pabertabelite kasutamist;)

Noh, ma vaatan näidet suurenenud keerukusest:

Näide 7

Juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse tihedusel on vorm . Leida, matemaatiline ootus, dispersioon, jaotusfunktsioon, koostada tihedusgraafikud ja jaotusfunktsioonid, leida.

Lahendus: Kõigepealt paneme tähele, et tingimus ei ütle midagi juhusliku suuruse olemuse kohta. Eksponenti olemasolu iseenesest ei tähenda midagi: see võib osutuda näiteks soovituslik või isegi meelevaldne pidev levitamine. Ja seetõttu tuleb jaotuse "normaalsust" ikkagi põhjendada:

Alates funktsioonist määratud kl ükskõik milline tegelik väärtus ja seda saab taandada vormile , siis jaotatakse juhuslik suurus normaalseaduse järgi.

Siin me läheme. Selle eest vali terve ruut ja korraldada kolmekorruseline murd:


Tehke kindlasti kontroll, tagastades indikaatori algsele kujule:

, mida me näha tahtsimegi.

Seega:
- Autor volitustega toimingute reegel"näpi ära" Ja siin saate kohe kirja panna ilmsed numbrilised omadused:

Nüüd leiame parameetri väärtuse. Kuna normaaljaotuse kordaja on kujul ja , siis:
, kust me väljendame ja asendame oma funktsiooniga:
, misjärel käime salvestuse veel kord silmadega läbi ja veendume, et tulemuseks oleval funktsioonil on vorm .

Koostame tiheduse graafiku:

ja jaotusfunktsiooni graafik :

Kui teil pole käepärast Excelit ega isegi tavalist kalkulaatorit, saab viimast graafikut hõlpsasti käsitsi koostada! Sellel hetkel võtab jaotusfunktsioon väärtuse ja siin see on

Nagu varem mainitud, tõenäosusjaotuste näited pidev juhuslik suurus X on:

• ühtlane jaotus
• eksponentsiaalne jaotus pideva juhusliku suuruse tõenäosused;
• pideva juhusliku suuruse normaalne tõenäosusjaotus.

Anname normaaljaotuse seaduse mõiste, sellise seaduse jaotusfunktsiooni ja juhusliku suuruse X teatud intervalli sattumise tõenäosuse arvutamise protseduuri.

№	Näitaja	Normaaljaotuse seadus	Märkus
	Definitsioon	Normaalseks kutsutud pideva juhusliku suuruse X tõenäosusjaotus, mille tihedus on kujul
			kus m x on juhusliku suuruse X matemaatiline ootus, σ x on standardhälve
2	Jaotusfunktsioon
	Tõenäosus langeb intervalli (a;b)		- Laplace'i lahutamatu funktsioon
	Tõenäosus asjaolu, et hälbe absoluutväärtus on väiksem kui positiivne arv δ		juures m x = 0

Näide ülesande lahendamisest teemal “Pideva juhusliku suuruse normaaljaotuse seadus”

Ülesanne.

Teatud osa pikkus X on normaaljaotuse seaduse järgi jaotatud juhuslik suurus, mille keskmine väärtus on 20 mm ja standardhälve 0,2 mm.
Vajalik:
a) kirjuta üles jaotustiheduse avaldis;
b) leida tõenäosus, et detaili pikkus jääb vahemikku 19,7–20,3 mm;
c) leida tõenäosus, et kõrvalekalle ei ületa 0,1 mm;
d) määrab, mitu protsenti on osad, mille kõrvalekalle keskmisest väärtusest ei ületa 0,1 mm;
e) leida, milline kõrvalekalle tuleks seada, et osade protsent, mille kõrvalekalle keskmisest ei ületaks määratud väärtust, tõuseks 54%-ni;
f) leida keskmise väärtuse suhtes sümmeetriline intervall, milles X asub tõenäosusega 0,95.

Lahendus. A) Leiame tavalise seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse X tõenäosustiheduse:

eeldusel, et m x = 20, σ = 0,2.

b) Juhusliku suuruse normaaljaotuse korral määratakse intervalli (19,7; 20,3) sattumise tõenäosus järgmiselt:
Ф((20.3-20)/0.2) – Ф((19.7-20)/0.2) = Ф(0.3/0.2) – Ф(-0.3/0, 2) = 2Ф(0.3/0.2) = 2Ф(1.5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Väärtuse Ф(1,5) = 0,4332 leidsime lisadest, Laplace'i integraalfunktsiooni Φ(x) väärtuste tabelist ( tabel 2 )

V) Leiame tõenäosuse, et hälbe absoluutväärtus on väiksem kui positiivne arv 0,1:
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Väärtuse Ф(0,5) = 0,1915 leidsime lisadest, Laplace'i integraalfunktsiooni Φ(x) väärtuste tabelist ( tabel 2 )

G) Kuna alla 0,1 mm hälbe tõenäosus on 0,383, siis järeldub, et keskmiselt 38,3 osal 100-st on selline kõrvalekalle, s.t. 38,3%.

d) Kuna osade protsent, mille kõrvalekalle keskmisest ei ületa määratud väärtust, on kasvanud 54%-ni, siis P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Rakenduse kasutamine ( tabel 2 ), leiame δ/σ = 0,74. Seega δ = 0,74 * σ = 0,74 * 0,2 = 0,148 mm.

e) Kuna vajalik intervall on sümmeetriline keskmise väärtuse m x = 20 suhtes, saab seda defineerida kui X väärtuste kogumit, mis rahuldab ebavõrdsust 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

Tingimuse kohaselt on X leidmise tõenäosus soovitud intervallis 0,95, mis tähendab P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Rakenduse kasutamine ( tabel 2 ), leiame δ/σ = 1,96. Seega δ = 1,96 * σ = 1,96 * 0,2 = 0,392.
Otsinguintervall : (20 – 0,392; 20 + 0,392) või (19,608; 20,392).