Ruutkujulised kujundid

Ruutkujuline kuju n muutuja f(x 1, x 2,...,x n) on summa, mille iga liige on kas ühe muutuja ruut või kahe erineva muutuja korrutis, mis on võetud teatud koefitsiendiga: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Nendest kordajatest koosnevat maatriksit A ​​nimetatakse ruutkujuliseks maatriksiks. See on alati sümmeetriline maatriks (st põhidiagonaali suhtes sümmeetriline maatriks, a ij = a ji).

Maatriksmärgistuses on ruutvorm f(X) = X T AX, kus

Tõepoolest

Näiteks kirjutame ruutkuju maatrikskujul.

Selleks leiame ruutkujulise maatriksi. Selle diagonaalelemendid on võrdsed ruudukujuliste muutujate koefitsientidega ja ülejäänud elemendid on võrdsed ruutvormi vastavate koefitsientide pooltega. Sellepärast

Olgu muutujate X maatriks-veerg saadud maatriks-veeru Y mittedegenereerunud lineaarse teisendusega, s.o. X = CY, kus C on n-ndat järku mitteainsuse maatriks. Siis ruutvorm
f(X) = X T AX = (CY) TA(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Seega, mitte-mandunud lineaarteisendusega C saab ruutvormi maatriks kuju: A * = C T AC.

Näiteks leiame ruutkuju f(y 1, y 2), mis saadakse ruutvormist f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarse teisenduse teel.

Ruutvormi nimetatakse kanooniline(on kanooniline vaade), kui kõik selle koefitsiendid a ij = 0 i ≠ j korral, st.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Selle maatriks on diagonaalne.

Teoreem(tõestust siin ei ole esitatud). Mis tahes ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades mittedegenereerunud lineaarset teisendust.

Näiteks taandagem ruutvorm kanooniliseks vormiks
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3.

Selleks valige esmalt terve ruut muutujaga x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 – x 2 x 3.

Nüüd valime muutujaga x 2 täieliku ruudu:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2–5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Siis toob mittedegenereerunud lineaarne teisendus y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ja y 3 = x 3 selle ruutvormi kanooniliseks vormiks f(y 1, y 2 , y 3) = 2 a 1 2 - 5 a 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Pange tähele, et ruutvormi kanooniline vorm määratakse mitmetähenduslikult (sama ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks erinevatel viisidel). Küll aga sai erinevatel viisidel kanoonilistel vormidel on mitmeid üldised omadused. Eelkõige ei sõltu ruutvormi positiivsete (negatiivsete) koefitsientidega liikmete arv vormi sellele vormile taandamise meetodist (näiteks vaadeldavas näites on alati kaks negatiivset ja üks positiivne koefitsient). Seda omadust nimetatakse ruutvormide inertsi seadus.

Kontrollime seda, viies sama ruutvormi erineval viisil kanoonilisse vormi. Alustame teisendust muutujaga x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3 = -3 x 2 2 - x 2 x 3 + 4 x 1 x 2 + 2 x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
– 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 – (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3 a 1 2 -
-3 a 2 2 + 2 a 3 2, kus y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ja y 3 = x 1. Siin on positiivne koefitsient 2 y 3 juures ja kaks negatiivset koefitsienti (-3) y 1 ja y 2 juures (ja teist meetodit kasutades saime positiivse koefitsiendi 2 y 1 juures ja kaks negatiivset koefitsienti - (-5) juures y 2 ja (-1 /20) y 3 juures).

Samuti tuleb märkida, et ruutkujulise maatriksi auaste, nn ruutvormi aste, on võrdne kanoonilise vormi nullist mittevastavate koefitsientide arvuga ega muutu lineaarsete teisenduste korral.

Nimetatakse ruutkuju f(X). positiivselt (negatiivne) kindel, kui kõigi muutujate väärtuste puhul, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, on see positiivne, st. f(X) > 0 (negatiivne, st.
f(X)< 0).

Näiteks ruutvorm f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 on positiivne kindel, sest on ruutude summa ja ruutvorm f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivne kindel, sest tähistab seda saab esitada kujul f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Enamikus praktilistes olukordades on ruutvormi kindla märgi kehtestamine mõnevõrra keerulisem, seetõttu kasutame selleks ühte järgmistest teoreemidest (sõnastame need ilma tõestuseta).

Teoreem. Ruutvorm on positiivne (negatiivne) kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle maatriksi omaväärtused on positiivsed (negatiivsed).

Teoreem (Sylvesteri kriteerium). Ruutvorm on positiivne kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle vormi maatriksi juhtivmollid on positiivsed.

Põhi(nurga)moll N-ndat järku maatriksit A ​​nimetatakse maatriksi determinandiks, mis koosneb maatriksi A () esimesest k reast ja veerust.

Pange tähele, et negatiivsete kindlate ruutvormide puhul vahelduvad põhimollide märgid ja esimest järku moll peab olema negatiivne.

Uurime näiteks ruutkuju f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 märgi täpsuse jaoks.

= (2–l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Seetõttu on ruutvorm positiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi A esimest järku põhimoll D 1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku põhimoll D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Seetõttu on Sylvesteri kriteeriumi järgi ruutvorm positiivne kindel.

Uurime veel üht ruutkuju märkide määratluse jaoks, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Meetod 1. Koostame maatriksi ruutkujuga A = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Seetõttu on ruutvorm negatiivne kindel.

Ruudukujulised kujundid.
Märgi vormide määratlus. Sylvesteri kriteerium

Omadussõna ruutlik viitab kohe sellele, et siin on midagi seotud ruuduga (teine ​​aste) ja varsti saame selle "miski" ja selle kuju teada. Keelekeerajaks sai :)

Tere tulemast minu uude õppetundi ja koheseks soojenduseks vaatame triibulist kuju lineaarne. Lineaarne vorm muutujad helistas homogeenne 1. astme polünoom:

- mõned konkreetsed numbrid * (oletame, et vähemalt üks neist on nullist erinev), a on muutujad, mis võivad võtta suvalisi väärtusi.

* Selle teema raames käsitleme ainult reaalarvud .

Mõistet “homogeenne” oleme juba kohanud õppetunnis teemal homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid, ja antud juhul tähendab see, et polünoomil ei ole plusskonstanti.

Näiteks: – kahe muutuja lineaarne vorm

Nüüd on kuju ruudukujuline. Ruutkujuline kuju muutujad helistas homogeenne 2. astme polünoom, mille iga termin sisaldab kas muutuja ruutu või kahekohalised muutujate korrutis. Näiteks on kahe muutuja ruutkujul järgmine vorm:

Tähelepanu! See on standardkirje ja selles pole vaja midagi muuta! Vaatamata “hirmutavale” välimusele on siin kõik lihtne - konstantide topeltalaindeksid annavad märku, millised muutujad millisesse terminisse sisalduvad:
– see termin sisaldab korrutist ja (ruut);
- siin on töö;
- ja siin on töö.

- Ma näen kohe ette jämedat viga, kui nad kaotavad koefitsiendi "miinuse", mõistmata, et see viitab terminile:

Mõnikord on vaimus "kooli" kujundusvõimalus, kuid ainult mõnikord. Muide, pange tähele, et konstandid ei ütle meile siin üldse midagi ja seetõttu on "lihtsat tähistust" raskem meeles pidada. Eriti kui muutujaid on rohkem.

Ja kolme muutuja ruutvorm sisaldab juba kuut terminit:

...miks on "kaks" tegurit "segatud"? See on mugav ja peagi selgub, miks.

Paneme siiski kirja üldise valemi, see on mugav "lehele" kirjutada:

- uurime hoolikalt iga rida - selles pole midagi halba!

Ruutvorm sisaldab termineid muutujate ruutudega ja termineid nende paariskorrutistega (cm. kombinatoorse kombinatsiooni valem) . Ei midagi enamat - ei "üksik X" ega lisatud konstant (siis ei saa ruutvormi, vaid heterogeenne 2. astme polünoom).

Ruutvormi maatrikstähistus

Olenevalt väärtustest võib kõnealune vorm omandada nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi ning sama kehtib iga lineaarse vormi kohta – kui vähemalt üks selle koefitsient erineb nullist, siis võib see olla kas positiivne või negatiivne (olenevalt väärtused).

Seda vormi nimetatakse vahelduv märk. Ja kui lineaarse vormiga on kõik läbipaistev, siis ruutvormiga on asjad palju huvitavamad:

On täiesti selge, et see vorm võib seega omandada mis tahes märgi tähenduse ruutvorm võib olla ka vahelduv.

Või äkki mitte:

– alati, välja arvatud juhul, kui see on samaaegselt võrdne nulliga.

- kellelegi vektor välja arvatud null.

Ja üldiselt, kui kellegi jaoks nullist erinev vektor , , siis nimetatakse ruutkuju positiivne kindel; kui nii siis negatiivne kindel.

Ja kõik oleks hästi, kuid ruutvormi määratlus on nähtav ainult lihtsates näidetes ja see nähtavus kaob isegi väikese komplikatsiooniga:
– ?

Võib eeldada, et vorm on positiivne kindel, kuid kas see on tõesti nii? Mis siis, kui on väärtusi, mille juures see on väiksem kui null?

Seal on a teoreem: kui KÕIK omaväärtused ruutkujulised maatriksid on positiivsed * , siis on see positiivne kindel. Kui kõik on negatiivsed, siis negatiivsed.

* Teoreetiliselt on tõestatud, et reaalse sümmeetrilise maatriksi kõik omaväärtused kehtiv

Kirjutame ülaltoodud vormi maatriksi:
ja võrrandist. leiame ta üles omaväärtused:

Lahendame vana hea ruutvõrrand:

, mis tähendab vormi on defineeritud positiivselt, s.t. mis tahes nullist erineva väärtuse korral on see suurem kui null.

Kaalutud meetod näib toimivat, kuid on üks suur AGA. Juba kolm korda kolm maatriksi puhul on õigete arvude otsimine pikk ja ebameeldiv ülesanne; suure tõenäosusega saad irratsionaalsete juurtega 3. astme polünoomi.

Mida ma peaksin tegema? On lihtsam viis!

Sylvesteri kriteerium

Ei, mitte Sylvester Stallone :) Kõigepealt tuletan meelde, mis see on nurga alaealised maatriksid. See kvalifikatsioonid mis "kasvavad" selle vasakust ülanurgast:

ja viimane on täpselt võrdne maatriksi determinandiga.

Nüüd, tegelikult kriteerium:

1) Määratletakse ruutvorm positiivselt siis ja ainult siis, kui KÕIK selle nurk-mollid on suuremad kui null: .

2) Määratletakse ruutvorm negatiivne siis ja ainult siis, kui selle nurgelised minoorsed märgid vahelduvad, kusjuures 1. moll on väiksem kui null: , , kui – paaris või , kui – paaritu.

Kui vähemalt üks nurgeline moll on vastupidise märgiga, siis vorm vahelduv märk. Kui nurgelised alaealised on “õige” märgiga, kuid nende hulgas on nullid, siis on tegemist erijuhtumiga, mida uurin veidi hiljem, kui vaatame sagedasemaid näiteid.

Analüüsime maatriksi nurkmollide :

Ja see ütleb meile kohe, et vorm ei ole negatiivselt määratletud.

Järeldus: kõik nurgamollid on suuremad kui null, mis tähendab vormi on defineeritud positiivselt.

Meetodil on erinevus omaväärtused? ;)

Kirjutame vormimaatriksi alates Näide 1:

esimene on selle nurgeline moll ja teine , millest järeldub, et kujund on märgiliselt vahelduv, s.o. sõltuvalt väärtustest võib see võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. See on aga juba ilmne.

Võtame vormi ja selle maatriksi alates Näide 2:

Ilma ülevaateta ei saa seda kuidagi aru saada. Kuid Sylvesteri kriteeriumiga me ei hooli:
, seega ei ole vorm kindlasti negatiivne.

, ja kindlasti mitte positiivne (kuna kõik nurgelised alaealised peavad olema positiivsed).

Järeldus: kuju on vahelduv.

Soojendusnäited sõltumatu otsus:

Näide 4

Uurige ruutvorme märkide määratluse jaoks

A)

Nendes näidetes on kõik sujuv (vt õppetunni lõppu), kuid tegelikult sellise ülesande täitmiseks Sylvesteri kriteerium ei pruugi olla piisav.

Asi on selles, et on "ääre" juhtumeid, nimelt: kui üldse nullist erinev vektor, siis määratakse kuju mittenegatiivne, kui – siis negatiivne. Nendel vormidel on nullist erinev vektorid, mille jaoks .

Siin saate tsiteerida järgmist "akordioni":

Esiletõstmine täiuslik ruut, näeme kohe mittenegatiivsus vorm: , ja see on võrdne nulliga mis tahes võrdsete koordinaatidega vektori puhul, näiteks: .

"Peegel" näide negatiivne teatud vorm:

ja veel triviaalsem näide:
– siin on vorm mis tahes vektori puhul võrdne nulliga, kus on suvaline arv.

Kuidas tuvastada mittenegatiivseid või mittepositiivseid vorme?

Selleks vajame kontseptsiooni suuremad alaealised maatriksid. Suur-moll on moll, mis koosneb elementidest, mis asuvad samade numbritega ridade ja veergude ristumiskohas. Seega on maatriksil kaks põhilist 1. järku molli:
(element asub 1. rea ja 1. veeru ristumiskohas);
(element on 2. rea ja 2. veeru ristumiskohas),

ja üks teise järgu suur moll:
– koosneb 1., 2. rea ja 1., 2. veeru elementidest.

Maatriks on "kolm korda kolm" Alaealisi on seitse ja siin tuleb biitsepsit painutada:
– kolm I järgu alaealist,
kolm teise järgu alaealist:
– koosneb 1., 2. rea ja 1., 2. veeru elementidest;
– koosneb 1., 3. rea ja 1., 3. veeru elementidest;
– koosneb 2., 3. rea ja 2., 3. veeru elementidest,
ja üks 3. järku alaealine:
– koosneb 1., 2., 3. rea ja 1., 2. ja 3. veeru elementidest.
Harjutus mõistmiseks: kirjutage üles kõik maatriksi suuremad mollid .
Kontrollime tunni lõpus ja jätkame.

Schwarzeneggeri kriteerium:

1) Määratletud nullist erinev* ruutvorm mittenegatiivne siis ja ainult siis, kui KÕIK selle peamised alaealised mittenegatiivne(suurem kui null või sellega võrdne).

* Null (degenereerunud) ruutvormi kõik koefitsiendid on nulliga võrdsed.

2) Maatriksiga on määratletud nullist erinev ruutvorm negatiivne siis ja ainult siis, kui:
– I järgu alaealised suuremad mittepositiivne(vähem kui null või sellega võrdne);
– II järgu alaealised mittenegatiivne;
– III järgu alaealised mittepositiivne(algas vaheldumine);
…
– järgu duur-moll mittepositiivne, kui – paaritu või mittenegatiivne, kui – isegi.

Kui vähemalt üks moll on vastandmärgiga, siis on vorm märk-vahelduv.

Vaatame ülaltoodud näidetes, kuidas kriteerium töötab:

Loome kujundimaatriksi ja esiteks Arvutame nurgelised alaealised – mis siis, kui see on defineeritud positiivselt või negatiivselt?

Saadud väärtused ei vasta Sylvesteri kriteeriumile, vaid teisele mollile mitte negatiivne, ja see muudab vajalikuks 2. kriteeriumi kontrollimise (2. kriteeriumi puhul ei täitu automaatselt, st kohe tehakse järeldus, et kujund on märgiliselt vahelduv).

I järgu peamised alaealised:
- positiivne,
2. järku duur-moll:
- mitte negatiivne.

Seega KÕIK suuremad mollid ei ole negatiivsed, mis tähendab vormi mittenegatiivne.

Kirjutame kujundimaatriksi , mille puhul Sylvesteri kriteerium ilmselgelt ei ole täidetud. Kuid me ei saanud ka vastupidiseid märke (kuna mõlemad nurgelised alaealised on nulliga võrdsed). Seetõttu kontrollime mittenegatiivsuse/mittepositiivsuse kriteeriumi täitmist. I järgu peamised alaealised:
- mitte positiivne,
2. järku duur-moll:
- mitte negatiivne.

Seega on Schwarzeneggeri kriteeriumi (punkt 2) kohaselt vorm mittepositiivselt määratletud.

Nüüd vaatame lähemalt huvitavamat probleemi:

Näide 5

Uurige ruutvormi märkide täpsust

Seda vormi kaunistab järjestus "alfa", mis võib olla võrdne mis tahes reaalarvuga. Aga see saab olema ainult lõbusam me otsustame.

Esiteks kirjutame üles vormimaatriksi, et paljud inimesed on seda suuliselt tegema juba harjunud: edasi põhidiagonaal Panime ruutude koefitsiendid ja sümmeetrilistesse kohtadesse paneme pooled vastavate "segatud" toodete koefitsiendid:

Arvutame nurgelised alaealised:

Laiendan kolmandat determinanti 3. real:

Ruutvormi mõiste. Ruutkujuline maatriks. Ruutvormi kanooniline vorm. Lagrange'i meetod. Ruutvormi tavavaade. Ruutvormi aste, indeks ja signatuur. Positiivne kindel ruutvorm. Quadriks.

Ruutvormi mõiste: funktsioon vektorruumis, mis on määratletud vektori koordinaatides teise astme homogeense polünoomiga.

Ruutvorm alates n teadmata nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe neist tundmatutest ruut või kahe erineva tundmatu korrutis.

Ruutmaatriks: Maatriksit nimetatakse antud alusel ruutkujulise maatriksiks. Kui välja tunnus ei ole võrdne 2-ga, võime eeldada, et ruutvormi maatriks on sümmeetriline, st.

Kirjutage ruutkujuline maatriks:

Seega

Vektormaatriksi kujul on ruutvorm järgmine:

A, kus

Ruutvormi kanooniline vorm: Ruutvormi nimetatakse kanooniliseks kui kõik st.

Mis tahes ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades lineaarseid teisendusi. Praktikas kasutatakse tavaliselt järgmisi meetodeid.

Lagrange'i meetod : terviklike ruutude järjestikune valik. Näiteks kui

Seejärel tehakse sarnane protseduur ruutvormiga jne Kui ruutkujul on kõik aga siis pärast esialgset ümberkujundamist taandub asi kaalutud protseduurile. Seega, kui näiteks eeldame

Ruutvormi tavavorm: Tavaline ruutvorm on kanooniline ruutvorm, mille kõik koefitsiendid on võrdsed +1 või -1.

Ruutvormi aste, indeks ja signatuur: Ruutvormi aste A nimetatakse maatriksi auastmeks A. Ruutvormi aste ei muutu tundmatute mittemandunud teisenduste korral.

Negatiivsete koefitsientide arvu nimetatakse negatiivse vormiindeksiks.

Positiivsete liikmete arvu kanoonilises vormis nimetatakse ruutvormi positiivseks inertsindeksiks, negatiivsete liikmete arvu negatiivseks indeksiks. Positiivse ja negatiivse indeksite erinevust nimetatakse ruutvormi signatuuriks

Positiivne kindel ruutvorm: Tõeline ruutvorm nimetatakse positiivseks kindlaks (negatiivseks kindlaks), kui muutujate mis tahes reaalväärtuste korral, mis ei ole samaaegselt nullid,

. (36)

Sel juhul nimetatakse maatriksit ka positiivseks kindlaks (negatiivseks kindlaks).

Positiivsete kindlate (negatiivsete kindlate) vormide klass on osa mittenegatiivsete (resp. mittepositiivsete) vormide klassist.

Neljarattalised: ruudukujuline - n-mõõtmeline hüperpind sisse n+1-mõõtmeline ruum, defineeritud kui teise astme polünoomi nullide hulk. Kui sisestate koordinaadid ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (eukleidilises või afiinses ruumis) on nelinurkse üldvõrrand

Selle võrrandi saab maatriksmärgistuses kompaktsemalt ümber kirjutada:

kus x = ( x 1 , x 2 , x n+1) – reavektor, x T on transponeeritud vektor, K— suurusmaatriks ( n+1)×( n+1) (eeldatakse, et vähemalt üks selle elementidest on nullist erinev), P on reavektor ja R- pidev. Kõige sagedamini peetakse silmas reaal- või kompleksarvude nelinurki. Definitsiooni saab laiendada nelinurksetele projektiivses ruumis, vt allpool.

Üldisemalt nimetatakse polünoomvõrrandisüsteemi nullide hulka algebraliseks variatsiooniks. Seega on nelinurk teise astme ja 1. kodimensioniga (afiinne või projektiivne) algebraline variatsioon.

Tasapinna ja ruumi teisendused.

Tasapinnalise teisenduse definitsioon. Liikumistuvastus. liikumise omadused. Kahte tüüpi liigutusi: esimest tüüpi liikumine ja teist tüüpi liikumine. Näited liigutustest. Liikumise analüütiline väljendus. Tasapinnaliste liikumiste klassifikatsioon (olenevalt fikseeritud punktide ja muutumatute joonte olemasolust). Tasapinnaliste liikumiste rühm.

Tasapinnalise teisenduse definitsioon: Definitsioon. Nimetatakse tasanditeisendust, mis säilitab punktidevahelise kauguse liikumine(või lennuki liikumine). Tasapinnalist teisendust nimetatakse afiinne, kui see teisendab mis tahes kolm samal sirgel asuvat punkti kolmeks punktiks, mis asuvad samuti samal sirgel ja säilitavad samal ajal kolme punkti lihtsa seose.

Liikumise definitsioon: Need on kuju teisendused, mis säilitavad punktidevahelised kaugused. Kui kaks kujundit on liikumise kaudu üksteisega täpselt joondatud, siis on need kujundid ühesugused, võrdsed.

Liikumise omadused: Tasapinna iga orientatsiooni säilitav liikumine on kas paralleelne translatsioon või tasandi iga orientatsiooni muutev liikumine on kas telg- või libisev sümmeetria. Liikumisel muutuvad sirgel asuvad punktid sirgel asuvateks punktideks ja nende järjekord säilib suhteline positsioon. Liikumisel säilivad pooljoonte vahelised nurgad.

Kahte tüüpi liigutusi: esimest tüüpi liikumine ja teist tüüpi liikumine: Esimest liiki liigutused on need liigutused, mis säilitavad teatud figuuri aluste orientatsiooni. Neid saab realiseerida pidevate liigutustega.

Teist tüüpi liigutused on liigutused, mis muudavad aluste orientatsiooni vastupidiseks. Neid ei saa realiseerida pidevate liigutustega.

Esimest tüüpi liikumiste näideteks on translatsioon ja pöörlemine ümber sirgjoone ning teist tüüpi liigutused on kesksed ja peegelsümmeetriad.

Mis tahes arvu esimest tüüpi liigutuste koosseis on esimest tüüpi liigutus.

Teist tüüpi paaritu arvu liigutuste koosseis on 1. tüüpi liikumine ja paaritu arvu 2. tüüpi liigutuste koosseis on 2. liigi liikumine.

Näited liikumistest:Paralleelne ülekanne. Olgu a antud vektor. Paralleelülekanne vektorile a on tasandi kaardistamine iseendaga, kus iga punkt M on kaardistatud punktiga M 1, nii et vektor MM 1 võrdub vektoriga a.

Paralleeltõlge on liikumine, sest see on tasapinna kaardistamine iseendaga, säilitades vahemaid. Seda liikumist saab visuaalselt kujutada kogu tasapinna nihkena antud vektori a suunas selle pikkuse järgi.

Pöörake. Tähistame punkti O tasapinnal ( pöördekeskus) ja seadke nurk α ( pöördenurk). Tasapinna pööramine ümber punkti O nurga α võrra on tasandi kaardistamine iseendaga, kus iga punkt M on kaardistatud punktiga M 1 nii, et OM = OM 1 ja nurk MOM 1 võrdub α. Sel juhul jääb punkt O oma kohale ehk kaardistatakse iseendale ja kõik teised punktid pöörlevad ümber punkti O samas suunas - päri- või vastupäeva (joonis näitab vastupäeva).

Pööramine on liikumine, kuna see kujutab endast tasapinna kaardistamist iseendaga, mille puhul kaugused säilivad.

Liikumise analüütiline väljendus: eelpildi koordinaatide ja punkti kujutise vaheline analüütiline seos on kujul (1).

Tasapinnaliste liikumiste klassifikatsioon (olenevalt fikseeritud punktide ja muutumatute joonte olemasolust): Definitsioon:

Tasapinna punkt on muutumatu (fikseeritud), kui ta teatud teisenduse käigus muundub iseendaks.

Näide: Tsentraalse sümmeetria korral on sümmeetriakeskpunkti punkt muutumatu. Pööramisel on pöörlemiskeskme punkt muutumatu. Telgsümmeetria korral on muutumatu joon sirgjoon – sümmeetriatelg on muutumatute punktide sirgjoon.

Teoreem: Kui liikumisel ei ole ühte muutumatut punkti, siis on sellel vähemalt üks muutumatu suund.

Näide: paralleelne ülekanne. Tõepoolest, selle suunaga paralleelsed sirged on joonis tervikuna muutumatud, kuigi see ei koosne muutumatutest punktidest.

Teoreem: Kui kiir liigub, siis kiir muundub iseendaks, siis on see liikumine kas identne teisendus või sümmeetria antud kiirt sisaldava sirge suhtes.

Seetõttu on muutumatute punktide või kujundite olemasolu põhjal võimalik liikumisi klassifitseerida.

Liikumise nimi	Invariantsed punktid	Invariantsed read
Esimest tüüpi liikumine.
1. - pööre	(keskel) – 0	Ei
2. Identiteedi transformatsioon	lennuki kõik punktid	kõik otse
3. Keskne sümmeetria	punkt 0 - keskpunkt	kõik punkti 0 läbivad sirged
4. Paralleelne ülekanne	Ei	kõik otse
Teist tüüpi liikumine.
5. Aksiaalne sümmeetria.	punktide komplekt	sümmeetriatelg (sirge) kõik sirged

Tasapinnalise liikumise rühm: Geomeetrias oluline roll mängivad isekombineerunud figuuride rühmad. Kui tasapinnal (või ruumis) on teatud kujund, siis võime vaadelda kõigi nende tasandi (või ruumi) liikumiste hulka, mille käigus kujund muutub iseendaks.

See komplekt on rühm. Näiteks võrdkülgse kolmnurga puhul koosneb tasapinnaliste liikumiste rühm, mis teisendab kolmnurga iseendaks, 6 elemendist: pöörded läbi nurkade ümber punkti ja sümmeetriad kolme sirge ümber.

Need on näidatud joonisel fig. 1 punaste joontega. Korrapärase kolmnurga isejoonduste rühma elemente saab määrata erinevalt. Selle selgitamiseks nummerdagem korrapärase kolmnurga tipud numbritega 1, 2, 3. Igasugune kolmnurga isejoondumine viib punktid 1, 2, 3 samadesse punktidesse, kuid võetakse teises järjekorras, s.t. võib tinglikult kirjutada ühe järgmistest sulgudest:

jne.

kus numbrid 1, 2, 3 tähistavad nende tippude numbreid, millesse vaadeldava liikumise tulemusena tipud 1, 2, 3 lähevad.

Projektiivsed ruumid ja nende mudelid.

Projektiivse ruumi mõiste ja projektiivse ruumi mudel. Projektiivse geomeetria põhitõed. Punktis O tsentreeritud joonte hunnik on projektiivse tasandi mudel. Projektiivsed punktid. Laiendatud tasapind on projektiivse tasandi mudel. Laiendatud kolmemõõtmeline afiinne ehk eukleidiline ruum on projektiivse ruumi mudel. Paralleelkujunduses lamedate ja ruumiliste kujundite kujutised.

Projektiivse ruumi kontseptsioon ja projektiivse ruumi mudel:

Projektiivruum üle välja on ruum, mis koosneb mingi lineaarse ruumi joontest (ühemõõtmelistest alamruumidest) antud välja kohal. Otseruume nimetatakse punktid projektiivne ruum. Seda määratlust saab üldistada suvaliseks kehaks

Kui sellel on dimensioon , siis nimetatakse projektiivse ruumi dimensiooni numbriks ning projektiivset ruumi ennast tähistatakse ja seostatakse sellega (selle märkimiseks võetakse tähistus kasutusele).

Üleminekut mõõtmete vektorruumist vastavasse projektiivsesse ruumi nimetatakse projektiviseerimine ruumi.

Punkte saab kirjeldada homogeensete koordinaatide abil.

Projektiivse geomeetria põhitõed: Projektiivne geomeetria on geomeetria haru, mis uurib projektiivseid tasapindu ja ruume. Peamine omadus Projektiivne geomeetria põhineb duaalsuse põhimõttel, mis lisab paljudele disainilahendustele graatsilist sümmeetriat. Projektiivset geomeetriat saab uurida nii puhtgeomeetrilisest vaatenurgast kui ka analüütilisest (homogeensete koordinaatide kasutamisest) ja salgebralisest vaatepunktist, võttes projektiivset tasandit kui struktuuri üle välja. Sageli ja ajalooliselt peetakse tõeliseks projektiivseks tasapinnaks eukleidilist tasapinda, millele on lisatud "joon lõpmatuses".

Kusjuures figuuride omadused, millega eukleidiline geomeetria tegeleb, on meetriline(nurkade, lõikude, pindalade konkreetsed väärtused) ja jooniste samaväärsus on nendega samaväärne kongruentsus(st kui kujundeid saab liikumise kaudu üksteiseks tõlkida, säilitades samal ajal meetrilised omadused), on rohkem "sügavaid" omadusi geomeetrilised kujundid, mis säilivad teisenduste käigus rohkem kui üldine tüüp kui liikumine. Projektiivne geomeetria tegeleb klassi all muutumatute kujundite omaduste uurimisega projektiivsed teisendused, aga ka need teisendused ise.

Projektiivne geomeetria täiendab eukleidilist, pakkudes ilusat ja lihtsaid lahendusi paljude probleemide jaoks, mis on keerulised paralleelsete joonte olemasolu tõttu. Eriti lihtne ja elegantne on koonuslõigete projektiivne teooria.

Projektiivsel geomeetrial on kolm peamist lähenemist: sõltumatu aksiomatiseerimine, eukleidilise geomeetria täiendamine ja struktuur üle välja.

Aksiomatiseerimine

Projektiivset ruumi saab määratleda erineva aksioomikomplekti abil.

Coxeter pakub järgmist:

1. Seal on sirgjoon ja punkt, mis sellel ei ole.

2. Igal real on vähemalt kolm punkti.

3. Läbi kahe punkti saad tõmmata täpselt ühe sirge.

4. Kui A, B, C, Ja D- erinevad punktid ja AB Ja CD ristuvad siis A.C. Ja BD ristuvad.

5. Kui ABC on tasapind, siis on vähemalt üks punkt, mis ei ole tasapinnas ABC.

6. Kaks erinevat tasandit lõikuvad vähemalt kahte punkti.

7. Tervikliku nelinurga kolm diagonaalpunkti ei ole kollineaarsed.

8. Kui kolm punkti on ühel sirgel X X

Projektiivne tasapind (ilma kolmanda mõõtmeta) on määratletud veidi erinevate aksioomidega:

1. Läbi kahe punkti saad tõmmata täpselt ühe sirge.

2. Suvalised kaks sirget lõikuvad.

3. Punkte on neli, millest kolm ei ole kollineaarsed.

4. Tervikliku nelinurga kolm diagonaalpunkti ei ole kollineaarsed.

5. Kui kolm punkti on ühel sirgel X on φ projektiivsuse suhtes muutumatud, siis kõik punktid on sisse lülitatud X invariantne φ suhtes.

6. Desarguesi teoreem: Kui kaks kolmnurka on perspektiivsed läbi punkti, siis on nad perspektiivid läbi sirge.

Kolmanda mõõtme olemasolul saab Desarguesi teoreemi tõestada ilma ideaalset punkti ja sirget juurutamata.

Laiendatud tasapind – projektiivse tasapinna mudel: Afiinses ruumis A3 võtame joonte kimbu S(O), mille keskpunkt on punktis O ja tasapind Π, mis ei läbi kimbu keskpunkti: O 6∈ Π. Afiinses ruumis olev joonte kimp on projektiivse tasandi mudel. Määratleme tasapinna Π punktide komplekti vastenduse ühenduva S sirgjoonte hulgale (Kurat, palvetage, kui teil on see küsimus, andke andeks)

Laiendatud kolmemõõtmeline afiinne või eukleidiline ruum – projektiivne ruumimudel:

Selleks, et muuta kaardistamine surjektiivseks, kordame afiinse tasandi Π formaalset pikendamist projektiivsele tasapinnale Π, täiendades tasandit Π ebaõigete punktide komplektiga (M∞), nii et: ((M∞)) = P0(O). Kuna kaardil on tasandite kimbu S(O) iga tasandi pöördkujutis tasapinnal d olev joon, on ilmne, et laiendatud tasandi kõigi valede punktide hulk: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), tähistab laiendatud tasandi vale joont d∞, mis on ainsuse tasandi Π0 pöördkujutis: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Leppigem kokku, et siin ja edaspidi mõistame viimast võrdsust P0(O) = Π0 punktihulkade võrdsuse tähenduses, kuid millel on erinev struktuur. Täiendades afiintasandit vale joonega, tagasime, et kaardistamine (I.21) muutus laiendatud tasandi kõigi punktide hulgal bijektiivseks:

Lamedate ja ruumiliste kujundite kujutised paralleelse kujundamise ajal:

Stereomeetrias uuritakse ruumifiguure, joonisel aga kujutatakse neid tasapinnaliste kujunditena. Kuidas peaks ruumifiguuri tasapinnal kujutama? Tavaliselt geomeetrias kasutatakse selleks paralleelset disaini. Olgu p mingi lennuk, l- seda ristuv sirgjoon (joonis 1). Läbi suvalise punkti A, ei kuulu rida l, tõmmake joonega paralleelne joon l. Selle sirge lõikepunkti tasapinnaga p nimetatakse punkti paralleelprojektsiooniks A tasapinnale p sirgjoone suunas l. Tähistame seda A". Kui punkt A kuulub rida l, siis paralleelprojektsiooni abil A sirge lõikepunkt loetakse tasapinnal p l lennukiga lk.

Seega iga punkt A ruumi selle projektsiooni võrreldakse A" tasapinnale p. Seda vastavust nimetatakse paralleelprojektsiooniks tasapinnale p sirgjoone suunas l.

Projektiivsete teisenduste rühm. Rakendus probleemide lahendamiseks.

Tasapinna projektiivse teisenduse mõiste. Tasapinna projektiivsete teisenduste näited. Projektiivsete teisenduste omadused. Homoloogia, homoloogia omadused. Projektiivsete teisenduste rühm.

Tasapinna projektiivse teisenduse mõiste: Projektiivse teisenduse mõiste üldistab tsentraalse projektsiooni mõiste. Kui teostame tasandi α keskprojektsiooni mingile tasapinnale α 1, siis α 1 projektsiooni α 2-le, α 2 projektsioonile α 3, ... ja lõpuks mõnele tasapinnale α n jällegi α 1 peal, siis on kõigi nende projektsioonide koosseis tasandi α projektiivne teisendus; Sellisesse ahelasse võib lisada ka paralleelprojektsioonid.

Projektiivse tasandi teisenduste näited: Lõpetatud tasandi projektiivne teisendus on selle üks-ühele kaardistamine iseendaga, mille puhul säilib punktide kollineaarsus ehk teisisõnu on suvalise joone kujutis sirgjoon. Iga projektiivne teisendus on tsentraalsete ja paralleelsete projektsioonide ahela kompositsioon. Afiinne teisendus on projektiivse teisenduse erijuhtum, kus lõpmatuses olev sirge pöördub iseendaks.

Projektiivsete teisenduste omadused:

Projektiivse teisenduse käigus muudetakse kolm punkti, mis ei asu sirgel, kolmeks punktiks, mis ei asu joonel.

Projektiivse teisenduse käigus muutub kaader kaadriks.

Projektiivse teisenduse käigus läheb joon sirgjooneks ja pliiats pliiatsiks.

Homoloogia, homoloogia omadused:

Tasapinna projektiivset teisendust, millel on muutumatute punktide joon ja seega ka muutumatute joonte pliiats, nimetatakse homoloogiaks.

1. Mittekattuvad vastavaid homoloogiapunkte läbiv sirge on muutumatu sirge;

2. Mittekattuvad vastavad homoloogiapunktid läbivad sirged kuuluvad samasse pliiatsi, mille keskpunkt on muutumatu punkt.

3. Punkt, selle kujutis ja homoloogia kese asuvad samal sirgel.

Projektiivsete teisenduste rühm: vaatleme projektiivse tasandi P 2 projektiivset kaardistamist iseendaga, st selle tasandi projektiivset teisendust (P 2 ’ = P 2).

Nagu varemgi, on projektiivse tasandi P 2 projektiivsete teisenduste f 1 ja f 2 kompositsioon f teisenduste f 1 ja f 2 järjestikuse täitmise tulemus: f = f 2 °f 1 .

Teoreem 1: projektiivse tasandi kõigi projektiivsete teisenduste hulk H 2 on projektiivsete teisenduste koosseisu suhtes rühm.