Positiivsete funktsioonide tüübid, nende omadused ja graafikud. Põhilised elementaarfunktsioonid: nende omadused ja graafikud. Eksponentfunktsiooni tuletis

Astmefunktsiooni y = x p määratluspiirkonnas kehtivad järgmised valemid:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Positiivsete funktsioonide omadused ja nende graafikud

Positiivne funktsioon, mille eksponent on võrdne nulliga, p = 0

Kui astmefunktsiooni astendaja y = x p on võrdne nulliga, p = 0, siis on astmefunktsioon defineeritud kõigi x ≠ 0 jaoks ja see on konstant, mis on võrdne ühega:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Naturaalse paaritu astendajaga võimsusfunktsioon, p = n = 1, 3, 5, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n, mille naturaalne paaritu astendaja n = 1, 3, 5, ... .

Selle näitaja võib kirjutada ka kujul: n = 2k + 1, kus k = 0, 1, 2, 3, ... on mittenegatiivne täisarv. Allpool on selliste funktsioonide omadused ja graafikud.

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. -∞ < x < ∞
Ulatus: -∞ < y < ∞
Mitu tähendust: Pariteet:
paaritu, y(-x) = - y(x) Monotoonne:
monotoonselt suurenebÄärmused:
Ei
Kumer:< x < 0 выпукла вверх
at -∞< x < ∞ выпукла вниз
kell 0 Pöördepunktid:
Pöördepunktid:
x = 0, y = 0
;
Piirangud:
Privaatsed väärtused:
x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
kui n = 1, on funktsioon selle pöördväärtus: x = y kui n ≠ 1, pöördfunktsioon

on astme n juur:

Naturaalse paarisastendajaga võimsusfunktsioon, p = n = 2, 4, 6, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n naturaalse paarisastendajaga n = 2, 4, 6, ... .

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. -∞ < x < ∞
Ulatus: Selle indikaatori võib kirjutada ka kujul: n = 2k, kus k = 1, 2, 3, ... - loomulik. Selliste funktsioonide omadused ja graafikud on toodud allpool.< ∞
Mitu tähendust: Astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = 2, 4, 6, ... erinevate väärtuste loomuliku paariseksponentiga.
paaritu, y(-x) = - y(x)
0 ≤ a
paaris, y(-x) = y(x)
monotoonselt suureneb x ≤ 0 korral väheneb monotoonselt
Ei x ≥ 0 korral suureneb monotoonselt
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0 Pöördepunktid:
x = 0, y = 0
;
Piirangud:
allapoole kumer Koordinaattelgedega ristumispunktid:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
kui n = 2, ruutjuur:
n ≠ 2 korral n astme juur:

Negatiivse täisarvu eksponendiga võimsusfunktsioon, p = n = -1, -2, -3, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n negatiivse täisarvu astendajaga n = -1, -2, -3, ... .

Kui paneme n = -k, kus k = 1, 2, 3, ... on naturaalarv, siis saab seda esitada järgmiselt:

Negatiivse täisarvu astendajaga astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = -1, -2, -3, ... erinevate väärtuste jaoks.

Paaritu astendaja, n = -1, -3, -5, ...

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. Allpool on funktsiooni y = x n omadused paaritu negatiivse eksponendiga n = -1, -3, -5, ....
Ulatus: x ≠ 0
Mitu tähendust: Pariteet:
paaritu, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
monotoonselt suurenebÄärmused:
Ei
monotoonselt väheneb< 0 : выпукла вверх
x juures
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0Äärmused:
x > 0 puhul: kumer allapoole
monotoonselt väheneb< 0, y < 0
Märk:
x = 0, y = 0
; ; ;
Piirangud:
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
kui x > 0, y > 0
kui n = -1,< -2 ,

kell n

Paarisaste, n = -2, -4, -6, ...

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. Allpool on funktsiooni y = x n omadused paaritu negatiivse eksponendiga n = -1, -3, -5, ....
Ulatus: Allpool on toodud funktsiooni y = x n omadused paaris negatiivse eksponendiga n = -2, -4, -6, ....
Mitu tähendust: Astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = 2, 4, 6, ... erinevate väärtuste loomuliku paariseksponentiga.
paaritu, y(-x) = - y(x)
monotoonselt väheneb< 0 : монотонно возрастает
y > 0
monotoonselt suurenebÄärmused:
Ei x ≥ 0 korral suureneb monotoonselt
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0Äärmused:
x > 0 puhul: kumer allapoole Allpool on toodud funktsiooni y = x n omadused paaris negatiivse eksponendiga n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Piirangud:
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
x > 0 puhul: väheneb monotoonselt
kui n = -1,< -2 ,

juures n = -2,

Ratsionaalse (murdarvulise) astendajaga võimsusfunktsioon

Vaatleme ratsionaalse (murdarvulise) astendajaga astmefunktsiooni y = x p, kus n on täisarv, m > 1 on naturaalarv. Veelgi enam, n, m ei oma ühiseid jagajaid.

Murdnäitaja nimetaja on paaritu

Olgu murdeksponenti nimetaja paaritu: m = 3, 5, 7, ... . Sel juhul on võimsusfunktsioon x p määratletud nii argumendi x positiivsete kui ka negatiivsete väärtuste jaoks.< 0

Vaatleme selliste astmefunktsioonide omadusi, kui astendaja p on teatud piirides.

p-väärtus on negatiivne, p

Olgu ratsionaalne astendaja (paaritu nimetajaga m = 3, 5, 7, ...) väiksem kui null: .

Ratsionaalse negatiivse eksponendiga võimsusfunktsioonide graafikud eksponendi erinevate väärtuste jaoks, kus m = 3, 5, 7, ... - paaritu.

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. Allpool on funktsiooni y = x n omadused paaritu negatiivse eksponendiga n = -1, -3, -5, ....
Ulatus: x ≠ 0
Mitu tähendust: Pariteet:
paaritu, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
monotoonselt suurenebÄärmused:
Ei
monotoonselt väheneb< 0 : выпукла вверх
x juures
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0Äärmused:
x > 0 puhul: kumer allapoole
monotoonselt väheneb< 0, y < 0
Märk:
x = 0, y = 0
; ; ;
Piirangud:
Paaritu lugeja, n = -1, -3, -5, ...
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1

Esitame astmefunktsiooni y = x p omadused ratsionaalse negatiivse eksponendiga, kus n = -1, -3, -5, ... on paaritu negatiivne täisarv, m = 3, 5, 7 ... on paaritu loomulik täisarv.

x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. Allpool on funktsiooni y = x n omadused paaritu negatiivse eksponendiga n = -1, -3, -5, ....
Ulatus: Allpool on toodud funktsiooni y = x n omadused paaris negatiivse eksponendiga n = -2, -4, -6, ....
Mitu tähendust: Astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = 2, 4, 6, ... erinevate väärtuste loomuliku paariseksponentiga.
paaritu, y(-x) = - y(x)
monotoonselt väheneb< 0 : монотонно возрастает
y > 0
monotoonselt suurenebÄärmused:
Ei x ≥ 0 korral suureneb monotoonselt
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0Äärmused:
x > 0 puhul: kumer allapoole Allpool on toodud funktsiooni y = x n omadused paaris negatiivse eksponendiga n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Piirangud:
Paarislugeja, n = -2, -4, -6, ...
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1

Ratsionaalse negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni y = x p omadused, kus n = -2, -4, -6, ... on paaris negatiivne täisarv, m = 3, 5, 7 ... on paaritu loomulik täisarv .< p < 1

kui x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

P-väärtus on positiivne, väiksem kui üks, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. -∞ < x < +∞
Ulatus: -∞ < y < +∞
Mitu tähendust: Pariteet:
paaritu, y(-x) = - y(x) Monotoonne:
monotoonselt suurenebÄärmused:
Ei
monotoonselt väheneb< 0 : выпукла вниз
Ratsionaalastendajaga astmefunktsiooni graafik (0
kell 0 Pöördepunktid:
miinimum, x = 0, y = 0 Pöördepunktid:
x > 0 puhul: kumer allapoole
monotoonselt väheneb< 0, y < 0
Märk:
x = 0, y = 0
;
Piirangud:
Paaritu lugeja, n = 1, 3, 5, ...
x > 0 puhul: kumer ülespoole
x = -1, y(-1) = -1
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1

Paarislugeja, n = 2, 4, 6, ...

Esitatakse astmefunktsiooni y = x p omadused ratsionaalse astendajaga 0 piires< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. -∞ < x < +∞
Ulatus: Selle indikaatori võib kirjutada ka kujul: n = 2k, kus k = 1, 2, 3, ... - loomulik. Selliste funktsioonide omadused ja graafikud on toodud allpool.< +∞
Mitu tähendust: Astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = 2, 4, 6, ... erinevate väärtuste loomuliku paariseksponentiga.
paaritu, y(-x) = - y(x)
monotoonselt väheneb< 0 : монотонно убывает
x > 0 puhul: suureneb monotoonselt
monotoonselt suureneb minimaalne, kui x = 0, y = 0
Eiülespoole kumer x ≠ 0 korral
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0 Pöördepunktid:
x > 0 puhul: kumer allapoole x ≠ 0 korral y > 0
x = 0, y = 0
;
Piirangud:
x = -1, y(-1) = 1
x > 0 puhul: kumer ülespoole
x = -1, y(-1) = -1
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1

Indeks p on suurem kui üks, p > 1

Ratsionaalse astendajaga (p > 1) astmefunktsiooni graafik astendaja erinevate väärtuste jaoks, kus m = 3, 5, 7, ... on paaritu.

Paaritu lugeja, n = 5, 7, 9, ...

Ühest suurema ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni y = x p omadused: .

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. -∞ < x < ∞
Ulatus: -∞ < y < ∞
Mitu tähendust: Pariteet:
paaritu, y(-x) = - y(x) Monotoonne:
monotoonselt suurenebÄärmused:
Ei
Kumer:< x < 0 выпукла вверх
at -∞< x < ∞ выпукла вниз
kell 0 Pöördepunktid:
miinimum, x = 0, y = 0 Pöördepunktid:
x = 0, y = 0
;
Piirangud:
Paaritu lugeja, n = 1, 3, 5, ...
x > 0 puhul: kumer ülespoole
x = -1, y(-1) = -1
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1

Kus n = 5, 7, 9, ... - paaritu loomulik, m = 3, 5, 7 ... - paaritu loomulik.

Paarislugeja, n = 4, 6, 8, ...

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. -∞ < x < ∞
Ulatus: Selle indikaatori võib kirjutada ka kujul: n = 2k, kus k = 1, 2, 3, ... - loomulik. Selliste funktsioonide omadused ja graafikud on toodud allpool.< ∞
Mitu tähendust: Astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = 2, 4, 6, ... erinevate väärtuste loomuliku paariseksponentiga.
paaritu, y(-x) = - y(x)
monotoonselt väheneb< 0 монотонно убывает
Ühest suurema ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni y = x p omadused: .
monotoonselt suureneb minimaalne, kui x = 0, y = 0
Ei x ≥ 0 korral suureneb monotoonselt
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0 Pöördepunktid:
x = 0, y = 0
;
Piirangud:
x = -1, y(-1) = 1
x > 0 puhul: kumer ülespoole
x = -1, y(-1) = -1
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1

Kus n = 4, 6, 8, ... - paaris loomulik, m = 3, 5, 7 ... - paaritu loomulik.

x > 0 korral suureneb monotoonselt

Murdnäitaja nimetaja on paaris

Olgu murdeksponenti nimetaja paaris: m = 2, 4, 6, ... . Sel juhul ei ole võimsusfunktsioon x p argumendi negatiivsete väärtuste jaoks määratletud. Selle omadused langevad kokku irratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni omadustega (vt järgmist jaotist).

Irratsionaalse eksponendiga võimsusfunktsioon

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p irratsionaalse astendajaga p.< 0

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. Selliste funktsioonide omadused erinevad ülalpool käsitletutest selle poolest, et neid ei määratleta argumendi x negatiivsete väärtuste jaoks.
Ulatus: Allpool on toodud funktsiooni y = x n omadused paaris negatiivse eksponendiga n = -2, -4, -6, ....
paaritu, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
Ei x ≥ 0 korral suureneb monotoonselt
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0Äärmused:
x = 0, y = 0 ;
Argumendi positiivsete väärtuste puhul sõltuvad omadused ainult eksponendi p väärtusest ja ei sõltu sellest, kas p on täisarv, ratsionaalne või irratsionaalne. y = x p eksponendi p erinevate väärtuste jaoks.

Negatiivse eksponendiga võimsusfunktsioon p

x > 0< p < 1

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. Privaatne tähendus:
Ulatus: Kui x = 1, siis y(1) = 1 p = 1
paaritu, y(-x) = - y(x) Monotoonne:
Ei Positiivse eksponendiga võimsusfunktsioon p > 0
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0 Pöördepunktid:
x = 0, y = 0
Piirangud: Näitaja alla ühe 0
y = x p eksponendi p erinevate väärtuste jaoks.

x ≥ 0

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks. Privaatne tähendus:
Ulatus: Kui x = 1, siis y(1) = 1 p = 1
paaritu, y(-x) = - y(x) Monotoonne:
Ei x ≥ 0 korral suureneb monotoonselt
kell 0Äärmused:
miinimum, x = 0, y = 0 Pöördepunktid:
x = 0, y = 0
Piirangud: Näitaja alla ühe 0
y = x p eksponendi p erinevate väärtuste jaoks.

y ≥ 0
kumer ülespoole

Kui x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

Näitaja on suurem kui üks p > 1 Kasutatud kirjandus: I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.

Allolev artikkel pakub põhimaterjali põhiliste elementaarfunktsioonide teemal. Tutvustame termineid, anname neile definitsioone; Uurime üksikasjalikult igat tüüpi elementaarfunktsioone ja analüüsime nende omadusi.

Eristatakse järgmist tüüpi põhilisi elementaarfunktsioone:

Definitsioon 1

• konstantne funktsioon (konstant);
• n-s juur;
• toitefunktsioon;
• eksponentsiaalne funktsioon;
• logaritmiline funktsioon;
• trigonomeetrilised funktsioonid;
• vennalikud trigonomeetrilised funktsioonid.

Konstantne funktsioon defineeritakse valemiga: y = C (C on teatud reaalarv) ja sellel on ka nimi: konstant. See funktsioon määrab sõltumatu muutuja x mis tahes reaalväärtuse vastavuse muutuja y samale väärtusele - C väärtusele.

Konstandi graafik on sirgjoon, mis on paralleelne abstsissteljega ja läbib punkti, mille koordinaadid (0, C). Selguse huvides esitame konstantsete funktsioonide y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 graafikud (joonisel on märgitud vastavalt musta, punase ja sinise värviga).

2. definitsioon

See elementaarfunktsioon on defineeritud valemiga y = x n (n on ühest suurem naturaalarv).

Vaatleme funktsiooni kahte varianti.

1. n-s juur, n – paarisarv

Selguse huvides näitame joonist, mis näitab selliste funktsioonide graafikuid: y = x, y = x 4 ja y = x8. Need funktsioonid on värvikoodiga: vastavalt must, punane ja sinine.

Paarisastmega funktsiooni graafikud on eksponendi teiste väärtuste puhul sarnased.

3. määratlus

N-nda juurfunktsiooni omadused, n on paarisarv

• määratluspiirkond – kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk [ 0 , + ∞) ;
• kui x = 0, siis funktsioon y = x n väärtus on võrdne nulliga;
• antud funktsioon-funktsioon üldine vaade(ei ole paaris ega paaritu);
• vahemik: [ 0 , + ∞) ;
• see paaritute juureksponentidega funktsioon y = x n kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• funktsioonil on kumerus ülespoole suunatud kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;
• funktsiooni graafik paaris n korral läbib punkte (0; 0) ja (1; 1).

1. n-s juur, n – paaritu arv

Selline funktsioon on defineeritud kogu reaalarvude hulga kohta. Selguse huvides vaadake funktsioonide graafikuid y = x 3, y = x 5 ja x 9 . Joonisel on need tähistatud värvidega: must, punane ja sinine ja vastavalt kõverad.

Funktsiooni y = x n juureksponenti teised paaritud väärtused annavad sarnast tüüpi graafiku.

4. definitsioon

N-nda juurfunktsiooni omadused, n on paaritu arv

• määratluspiirkond – kõigi reaalarvude hulk;
• see funktsioon on paaritu;
• väärtuste vahemik – kõigi reaalarvude hulk;
• funktsioon y = x n paaritute juureksponentide korral suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• funktsioonil on intervallil nõgusus (- ∞ ; 0 ] ja kumerus intervallil [ 0 , + ∞);
• käändepunktil on koordinaadid (0; 0);
• asümptoote pole;
• Funktsiooni graafik paaritu n korral läbib punkte (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ja (1 ; 1).

Toitefunktsioon

Definitsioon 5

Võimsusfunktsioon defineeritakse valemiga y = x a.

Graafikute välimus ja funktsiooni omadused sõltuvad eksponendi väärtusest.

• kui astmefunktsioonil on täisarv astendaja a, siis astmefunktsiooni graafiku tüüp ja omadused sõltuvad sellest, kas astendaja on paaris või paaritu, samuti sellest, milline on astendaja märk. Vaatleme allpool kõiki neid erijuhtumeid üksikasjalikumalt;
• eksponent võib olla murdosa või irratsionaalne – olenevalt sellest varieeruvad ka graafikute tüüp ja funktsiooni omadused. Erijuhtumeid analüüsime mitme tingimuse seadmisega: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• võimsusfunktsioonil võib olla nullastendaja, analüüsime seda juhtumit ka allpool üksikasjalikumalt.

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui a on paaritu positiivne arv, näiteks a = 1, 3, 5...

Selguse huvides näitame selliste võimsusfunktsioonide graafikuid: y = x (graafiline värv must), y = x 3 (graafiku sinine värv), y = x 5 (graafiku punane värv), y = x 7 (graafiline värv roheline). Kui a = 1, saame lineaarfunktsiooni y = x.

Definitsioon 6

Positiivse astme funktsiooni omadused, kui astendaja on paaritu positiivne

• funktsioon kasvab x ∈ korral (- ∞ ; + ∞) ;
• funktsioonil on kumerus x ∈ (- ∞ ; 0 ] ja nõgusus x ∈ [ 0 ; + ∞) korral (v.a lineaarfunktsioon);
• käändepunktil on koordinaadid (0 ; 0) (v.a lineaarfunktsioon);
• asümptoote pole;
• funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui a on paarisarv, näiteks a = 2, 4, 6...

Selguse huvides näitame selliste võimsusfunktsioonide graafikuid: y = x 2 (graafiline värv must), y = x 4 (graafiku sinine värv), y = x 8 (graafiku punane värv). Kui a = 2, saame ruutfunktsiooni, mille graafik on ruutparabool.

Definitsioon 7

Positiivse astme funktsiooni omadused, kui astendaja on isegi positiivne:

• määratluspiirkond: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• väheneb x ∈ jaoks (- ∞ ; 0 ] ;
• funktsioonil on nõgusus x ∈ jaoks (- ∞ ; + ∞) ;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;
• funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Alloleval joonisel on võimsusfunktsiooni graafikute näited y = x a, kui a on paaritu negatiivne arv: y = x - 9 (graafiline värv must); y = x - 5 (graafiku sinine värv); y = x - 3 (graafiku punane värv); y = x - 1 (graafiline värv roheline). Kui a = - 1, saame pöördproportsionaalsuse, mille graafik on hüperbool.

Definitsioon 8

Astmefunktsiooni omadused, kui astendaja on paaritu negatiivne:

Kui x = 0, saame teist tüüpi katkestuse, kuna lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, … korral. Seega on sirge x = 0 vertikaalne asümptoot;

• vahemik: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funktsioon on paaritu, sest y (- x) = - y (x);
• funktsioon on kahanev x ∈ - ∞ korral; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• funktsioonil on kumerus x ∈ (- ∞ ; 0) ja nõgusus x ∈ (0 ; + ∞) korral;
• pöördepunktid puuduvad;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kui a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Alloleval joonisel on näiteid astmefunktsiooni y = x a graafikutest, kui a on paarisarv: y = x - 8 (graafiline värv must); y = x - 4 (graafiku sinine värv); y = x - 2 (graafiku punane värv).

Definitsioon 9

Astmefunktsiooni omadused, kui eksponent on isegi negatiivne:

• määratluspiirkond: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kui x = 0, saame teist tüüpi katkestuse, kuna lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, … korral. Seega on sirge x = 0 vertikaalne asümptoot;

• funktsioon on paaris, sest y(-x) = y(x);
• funktsioon kasvab x ∈ (- ∞ ; 0) ja väheneb x ∈ 0 korral; + ∞ ;
• funktsioonil on nõgusus x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• pöördepunktid puuduvad;
• horisontaalne asümptoot – sirge y = 0, sest:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kui a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Pöörake algusest peale tähelepanu järgmisele aspektile: juhul, kui a on paaritu nimetajaga positiivne murd, võtavad mõned autorid selle astmefunktsiooni definitsioonipiirkonnaks intervalli - ∞; + ∞ , mis näeb ette, et astendaja a on taandamatu murd. Praegu EI defineeri paljude algebrat ja analüüsipõhimõtteid käsitlevate õppeväljaannete autorid astmefunktsioone, kus eksponendiks on argumendi negatiivsete väärtuste paaritu nimetajaga murd. Edaspidi järgime täpselt seda seisukohta: võtame hulga [ 0 ; + ∞) . Soovitus õpilastele: eriarvamuste vältimiseks uurige õpetaja seisukohta selles küsimuses.

Niisiis, vaatame võimsusfunktsiooni y = x a , kui eksponendiks on ratsionaal- või irratsionaalarv, eeldusel, et 0< a < 1 .

Illustreerime võimsusfunktsioone graafikutega y = x a, kui a = 11 12 (graafiline värv must); a = 5 7 (graafiku punane värv); a = 1 3 (graafiku sinine värv); a = 2 5 (graafiku roheline värv).

Eksponendi a muud väärtused (kui 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definitsioon 10

Võimsusfunktsiooni omadused 0 juures< a < 1:

• vahemik: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funktsioon kasvab x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funktsioon on kumer x ∈ (0 ; + ∞) korral;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui eksponendiks on mittetäisarvuline ratsionaal- või irratsionaalarv, eeldusel, et a > 1.

Illustreerime graafikutega võimsusfunktsiooni y = x a antud tingimustel, kasutades näitena järgmisi funktsioone: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (vastavalt mustad, punased, sinised, rohelised graafikud).

Eksponendi a muud väärtused, kui a > 1, annavad sarnase graafiku.

Definitsioon 11

Võimsusfunktsiooni omadused > 1 korral:

• määratluspiirkond: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• vahemik: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• funktsioon kasvab x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funktsioonil on nõgusus x ∈ (0 ; + ∞) jaoks (kui 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;
• funktsiooni läbimispunktid: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Pange tähele, kui a on paaritu nimetajaga negatiivne murd, on mõne autori teostes arvamus, et definitsioonipiirkond on sel juhul intervall - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) hoiatusega, et astendaja a on taandamatu murd. Praegu autorid õppematerjalid algebras ja analüüsipõhimõtetes EI MÄÄRATA võimsusfunktsioone, mille astendaja on argumendi negatiivsete väärtuste jaoks paaritu nimetajaga murdosa. Lisaks järgime täpselt seda seisukohta: me võtame hulga (0 ; + ∞) murdosa negatiivsete eksponentide astmefunktsioonide definitsioonipiirkonnaks. Soovitus õpilastele: lahkarvamuste vältimiseks täpsustage siinkohal oma õpetaja nägemust.

Jätkame teemat ja analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a tingimusel: - 1< a < 0 .

Toome välja järgmiste funktsioonide graafikud: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (must, punane, sinine, roheline värv vastavalt jooned).

Definitsioon 12

Võimsusfunktsiooni omadused – 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kui - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• vahemik: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• pöördepunktid puuduvad;

Alloleval joonisel on kujutatud astmefunktsioonide y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (must, punane, sinine, rohelised värvid vastavalt kõverad).

Definitsioon 13

Võimsusfunktsiooni omadused a jaoks< - 1:

• määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kui a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• funktsioon on kahanev x ∈ 0 korral; + ∞ ;
• funktsioonil on nõgusus x ∈ 0 korral; + ∞ ;
• pöördepunktid puuduvad;
• horisontaalne asümptoot – sirge y = 0;
• funktsiooni läbimise punkt: (1; 1) .

Kui a = 0 ja x ≠ 0, saame funktsiooni y = x 0 = 1, mis defineerib sirge, millest punkt (0; 1) välja jäetakse (lepiti kokku, et avaldisele 0 0 ei anta mingit tähendust ).

Eksponentfunktsioonil on vorm y = a x, kus a > 0 ja a ≠ 1 ning selle funktsiooni graafik näeb aluse a väärtuse põhjal välja erinev. Vaatleme erijuhtumeid.

Kõigepealt vaatame olukorda kui eksponentsiaalfunktsiooni baasil on väärtus nullist üheni (0< a < 1) . Hea näide on funktsioonide graafikud a = 1 2 (kõvera sinine värv) ja a = 5 6 (kõvera punane värv) jaoks.

Eksponentfunktsiooni graafikud näevad tingimusel 0 sarnast välja ka teiste baasväärtuste puhul< a < 1 .

Definitsioon 14

Eksponentfunktsiooni omadused, kui alus on väiksem kui üks:

• vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• eksponentsiaalfunktsioon, mille baas on väiksem kui üks, väheneb kogu määratluspiirkonna ulatuses;
• pöördepunktid puuduvad;
• horisontaalne asümptoot – sirge y = 0 muutujaga x kaldub + ∞;

Vaatleme nüüd juhtumit, kui eksponentsiaalfunktsiooni alus on suurem kui üks (a > 1).

Illustreerime seda erijuhtumit eksponentsiaalfunktsioonide y = 3 2 x (kõvera sinine värv) ja y = e x (graafiku punane värv) graafikuga.

Teised aluse väärtused, suuremad ühikud, annavad eksponentsiaalfunktsiooni graafikule sarnase välimuse.

Definitsioon 15

Eksponentfunktsiooni omadused, kui alus on suurem kui üks:

• määratluspiirkond – reaalarvude kogum;
• vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• eksponentsiaalfunktsioon, mille baas on suurem kui üks, kasvab kui x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funktsioonil on x ∈ - ∞ nõgusus; + ∞ ;
• pöördepunktid puuduvad;
• horisontaalne asümptoot – sirge y = 0 muutujaga x kaldub - ∞;
• funktsiooni läbimise punkt: (0; 1) .

Logaritmiline funktsioon on kujul y = log a (x), kus a > 0, a ≠ 1.

Selline funktsioon on defineeritud ainult argumendi positiivsete väärtuste jaoks: x ∈ 0 korral; + ∞ .

Logaritmilise funktsiooni graafikul on erinevat tüüpi, mis põhineb aluse a väärtusel.

Vaatleme esmalt olukorda, kui 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Muud aluse väärtused, mitte suuremad ühikud, annavad sarnast tüüpi graafiku.

Definitsioon 16

Logaritmilise funktsiooni omadused, kui alus on väiksem kui üks:

• määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ . Kuna x kaldub paremalt nulli, kipuvad funktsiooni väärtused +∞;
• vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• logaritmiline
• funktsioonil on nõgusus x ∈ 0 korral; + ∞ ;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;

Vaatame nüüd erijuhtu, kui logaritmilise funktsiooni alus on suurem kui üks: a > 1 . Alloleval joonisel on kujutatud logaritmiliste funktsioonide y = log 3 2 x ja y = ln x graafikud (vastavalt graafikute sinine ja punane värv).

Teised aluse väärtused, mis on suuremad kui üks, annavad sarnast tüüpi graafiku.

Definitsioon 17

Logaritmilise funktsiooni omadused, kui alus on suurem kui üks:

• määratluspiirkond: x ∈ 0 ; + ∞ . Kuna x kaldub paremalt nulli, kipuvad funktsiooni väärtused - ∞ ;
• vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ (kogu reaalarvude hulk);
• see funktsioon on üldvormi funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• logaritmiline funktsioon kasvab x ∈ 0 korral; + ∞ ;
• funktsioon on kumer x ∈ 0 korral; + ∞ ;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;
• funktsiooni läbimise punkt: (1; 0) .

Trigonomeetrilised funktsioonid on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Vaatame nende igaühe omadusi ja vastavat graafikat.

Üldiselt iseloomustab kõiki trigonomeetrilisi funktsioone perioodilisuse omadus, s.t. kui funktsioonide väärtusi korratakse argumendi erinevate väärtuste jaoks, mis erinevad üksteisest perioodi f (x + T) = f (x) võrra (T on periood). Seega lisatakse trigonomeetriliste funktsioonide omaduste loendisse üksus “väikseim positiivne periood”. Lisaks näitame argumendi väärtused, mille juures vastav funktsioon muutub nulliks.

1. Siinusfunktsioon: y = sin(x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse siinuslaineks.

Definitsioon 18

Siinuse funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: kogu reaalarvude hulk x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funktsioon kaob, kui x = π · k, kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);
• funktsioon kasvab x ∈ - π 2 + 2 π · k korral; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ja kahanevalt x ∈ π 2 + 2 π · k korral; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• siinusfunktsioonil on lokaalsed maksimumid punktides π 2 + 2 π · k; 1 ja kohalikud miinimumid punktides - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• siinusfunktsioon on nõgus, kui x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ja kumer, kui x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• asümptoote pole.

1. Koosinusfunktsioon: y = cos(x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse koosinuslaineks.

Definitsioon 19

Koosinusfunktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• väikseim positiivne periood: T = 2 π;
• väärtuste vahemik: y ∈ - 1 ; 1 ;
• see funktsioon on paaris, kuna y (- x) = y (x);
• funktsioon kasvab x ∈ - π + 2 π · k korral; 2 π · k, k ∈ Z ja kahanev x ∈ 2 π · k korral; π + 2 π k, k ∈ Z;
• koosinusfunktsioonil on lokaalsed maksimumid punktides 2 π · k ; 1, k ∈ Z ja lokaalsed miinimumid punktides π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• koosinusfunktsioon on nõgus, kui x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ja kumer, kui x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• käändepunktide koordinaadid on π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• asümptoote pole.

1. Tangensi funktsioon: y = t g (x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse puutuja.

Definitsioon 20

Tangensi funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);
• Puutujafunktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ piiril . Seega on sirged x = π 2 + π · k k ∈ Z vertikaalsed asümptoodid;
• funktsioon kaob, kui x = π · k k ∈ Z korral (Z on täisarvude hulk);
• vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
• funktsioon kasvab kui - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• puutujafunktsioon on nõgus x ∈ [π · k korral; π 2 + π · k) , k ∈ Z ja kumer x ∈ jaoks (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• käändepunktidel on koordinaadid π · k ; 0, k ∈ Z;

1. Kotangentne funktsioon: y = c t g (x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse kotangentoidiks. .

Definitsioon 21

Kootangensfunktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ (π · k ; π + π · k) , kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);

Kootangensfunktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ piiril, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Seega sirged x = π · k k ∈ Z on vertikaalsed asümptoodid;

• väikseim positiivne periood: T = π;
• funktsioon kaob, kui x = π 2 + π · k k ∈ Z korral (Z on täisarvude hulk);
• vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
• funktsioon on kahanev x ∈ π · k korral; π + π k, k ∈ Z;
• kotangensfunktsioon on x ∈ korral nõgus (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z ja kumer x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z korral;
• käändepunktide koordinaadid on π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• Puuduvad kaldus või horisontaalsed asümptootid.

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid on arcsinus, arkosiinus, arktangent ja arkotangens. Sageli nimetatakse eesliite "kaar" olemasolu tõttu nimes trigonomeetrilisi pöördfunktsioone kaarefunktsioonideks. .

1. Kaarsiinuse funktsioon: y = a r c sin (x)

Definitsioon 22

Arsiinuse funktsiooni omadused:

• see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
• arcsinusfunktsioonil on x ∈ 0 nõgusus; 1 ja kumerus x ∈ - 1 korral; 0 ;
• käändepunktidel on koordinaadid (0; 0), mis on ühtlasi funktsiooni null;
• asümptoote pole.

1. Kaarkoosinuse funktsioon: y = a r c cos (x)

Definitsioon 23

Kaarkoosinusfunktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - 1 ; 1 ;
• vahemik: y ∈ 0 ; π;
• see funktsioon on üldkujuline (ei paaris ega paaritu);
• funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• kaarekoosinusfunktsioonil on x ∈ - 1 nõgusus; 0 ja kumerus x ∈ 0 korral; 1 ;
• käändepunktide koordinaadid on 0; π2;
• asümptoote pole.

1. Arktangensi funktsioon: y = a r c t g (x)

Definitsioon 24

Arktangensi funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• väärtuste vahemik: y ∈ - π 2 ; π2;
• see funktsioon on paaritu, kuna y (- x) = - y (x) ;
• funktsioon kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• arktangensfunktsioonil on x ∈ jaoks nõgusus (- ∞ ; 0 ] ja kumerus x ∈ [ 0 ; + ∞ );
• käändepunktil on koordinaadid (0; 0), mis on ühtlasi funktsiooni null;
• horisontaalsed asümptoodid on sirged y = - π 2 kui x → - ∞ ja y = π 2 kui x → + ∞ (joonisel on asümptoodid rohelised jooned).

1. Kaartangensi funktsioon: y = a r c c t g (x)

Definitsioon 25

Arkotangensi funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• vahemik: y ∈ (0; π) ;
• see funktsioon on üldkujul;
• funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• kaare kotangensi funktsioonil on nõgusus x ∈ [ 0 ; + ∞) ja kumerus x ∈ jaoks (- ∞ ; 0 ] ;
• käändepunkti koordinaadid on 0; π2;
• horisontaalsed asümptoodid on sirged y = π punktis x → - ∞ (joonisel roheline joon) ja y = 0 punktis x → + ∞.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

10. klass

TOITEFUNKTSIOON

Võimsus helistasvalemiga antud funktsioonKus, lk – mingi reaalne arv.

I . Näitaja- paaris naturaalarv. Siis toitefunktsioon Kusn

D ( y )= (−; +).

2) Funktsiooni väärtuste vahemik on mittenegatiivsete arvude kogum, kui:

mittepositiivsete numbrite komplekt, kui:

3) ) . Seega funktsioonOy .

4) Kui, siis funktsioon väheneb kuiX (- ; 0] ja suureneb koosX ja väheneb kellX \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graafik (joonis 2).

Joonis 2. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n)$ graafik

Naturaalse paaritu astendajaga astmefunktsiooni omadused

Määratluspiirkond on kõik reaalarvud.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funktsioon on paaritu.

$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Vahemik on kõik reaalarvud.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funktsioon suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ jaoks.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funktsioon on $x\in (-\infty ,0)$ jaoks nõgus ja $x\in (0,+\infty)$ jaoks kumer.

Graafik (joonis 3).

Joonis 3. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ graafik

Täisarvu astendajaga võimsusfunktsioon

Esiteks tutvustame täisarvulise astendajaga kraadi mõistet.

3. määratlus

Täisarvulise eksponendiga $n$ reaalarvu $a$ võimsus määratakse järgmise valemiga:

Joonis 4.

Vaatleme nüüd täisarvulise astendajaga astmefunktsiooni, selle omadusi ja graafikut.

4. definitsioon

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ nimetatakse täisarvulise astendajaga astmefunktsiooniks.

Kui aste on suurem kui null, siis jõuame naturaalastendajaga astmefunktsiooni juhtumini. Oleme seda juba eespool arutanud. $n=0$ korral saame lineaarfunktsiooni $y=1$. Selle kaalumise jätame lugeja hooleks. Jääb üle arvestada negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadusi

Negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadused

Määratluse domeen on $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Kui astendaja on paaris, siis on funktsioon paaritu, kui see on paaritu.

$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Ulatus:

Kui astendaja on paaris, siis $(0,+\infty)$, kui see on paaritu, siis $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Paaritu astendaja puhul väheneb funktsioon väärtusega $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Kui astendaja on paaris, väheneb funktsioon $x\in (0,+\infty)$. ja suureneb kui $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ kogu määratluspiirkonna ulatuses

Kas olete funktsioonidega tuttav y=x, y=x2, y=x3, y=1/x jne. Kõik need funktsioonid on võimsusfunktsiooni, st funktsiooni erijuhud y=xp, kus p on antud reaalarv.
Astmefunktsiooni omadused ja graafik sõltuvad oluliselt reaalse astendajaga astme omadustest ja eelkõige väärtustest, mille puhul x Ja lk kraadil on mõtet x lk. Jätkame erinevate juhtumite sarnase kaalumisega, sõltuvalt sellest
eksponent lk.

1. Näitaja p=2n-paaris naturaalarv.

y=x2n, Kus n- naturaalarv, millel on järgmine väärtus

omadused:

• määratluspiirkond - kõik reaalarvud, st hulk R;
• väärtuste komplekt - mittenegatiivsed arvud, st y on suurem kui 0 või sellega võrdne;
• funktsiooni y=x2n isegi, sest x 2n=(- x) 2n
• funktsioon väheneb intervalliga x<0 ja intervalli suurendamine x>0.

Funktsiooni graafik y=x2n on sama kujuga nagu näiteks funktsiooni graafik y=x 4.

2. Näitaja p=2n-1- paaritu naturaalarv
Sel juhul toitefunktsioon y=x2n-1, kus on naturaalarv, on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - hulk R;
• väärtuste komplekt - komplekt R;
• funktsiooni y=x2n-1 veider, kuna (- x) 2n-1=x2n-1;
• funktsioon kasvab kogu reaalteljel.

Funktsiooni graafik y=x 2n-1 on sama kujuga kui näiteks funktsiooni graafik y=x 3 .

3. Näidik p=-2n, Kus n- naturaalarv.

Sel juhul toitefunktsioon y = x -2n = 1/x 2n sellel on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - hulk R, välja arvatud x=0;
• väärtuste komplekt - positiivsed arvud y>0;
• funktsioon y =1/x2n isegi, sest 1/(-x)2n=1/x 2n;
• funktsioon kasvab intervallil x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funktsiooni y graafik =1/x2n on sama kujuga kui näiteks funktsiooni y graafik = 1/x 2.