Mis on külgnev nurk
Nurk- See geomeetriline kujund(joon. 1), mille moodustavad kaks kiirt OA ja OB (nurga küljed), mis väljuvad ühest punktist O (nurga tipp).
KÕRVAL olevad nurgad- kaks nurka, mille summa on 180°. Kõik need nurgad täiendavad teineteist täisnurgani.
Külgnevad nurgad- (Agles adjacets) need, millel on ühine ülaosa ja ühine külg. Enamasti viitab see nimi nurkadele, mille ülejäänud kaks külge asetsevad ühe läbitõmmatud sirge vastassuunas.
Kaht nurka nimetatakse külgnevateks, kui neil on üks külg ühine ja nende nurkade teised küljed on täiendavad pooljooned.
riis. 2
Joonisel 2 on nurgad a1b ja a2b kõrvuti. Neil on ühine külg b ja küljed a1, a2 on täiendavad pooljooned.
riis. 3
Joonisel 3 on sirge AB, punkt C asub punktide A ja B vahel. Punkt D on punkt, mis ei asu sirgel AB. Selgub, et nurgad BCD ja ACD on kõrvuti. Neil on ühine külg CD ning küljed CA ja CB on sirge AB täiendavad pooljooned, kuna punkte A, B eraldab alguspunkt C.
Külgneva nurga teoreem
Teoreem: külgnevate nurkade summa on 180°
Tõestus:
Nurgad a1b ja a2b on kõrvuti (vt joonis 2) Kiir b läbib lahtivolditud nurga külgede a1 ja a2 vahelt. Seetõttu on nurkade a1b ja a2b summa võrdne arendatud nurgaga, see tähendab 180°. Teoreem on tõestatud.
Nurka, mis võrdub 90°, nimetatakse täisnurgaks. Külgnevate nurkade summa teoreemist järeldub, et täisnurgaga külgnev nurk on samuti täisnurk. Nurka, mis on väiksem kui 90°, nimetatakse teravaks ja nurka, mis on suurem kui 90°, nimetatakse nüriks. Kuna külgnevate nurkade summa on 180°, siis on teravnurgaga külgnev nurk nürinurk. Nürinurgaga külgnev nurk on teravnurk.
Külgnevad nurgad- kaks nurka ühise tipuga, mille üks külg on ühine ja ülejäänud küljed asuvad samal sirgel (ei lange kokku). Külgnevate nurkade summa on 180°.
Definitsioon 1. Nurk on tasandi osa, mis on piiratud kahe ühise alguspunktiga kiirega.
Definitsioon 1.1. Nurk on kujund, mis koosneb punktist - nurga tipust - ja kahest erinevast sellest punktist lähtuvast pooljoonest - nurga külgedest.
Näiteks nurk BOC joonisel 1 Vaatleme esmalt kahte ristuvat sirget. Kui sirgjooned lõikuvad, moodustavad nad nurgad. On erijuhtumeid:
2. definitsioon. Kui nurga küljed on ühe sirge täiendavad pooljooned, nimetatakse nurka arenenud.
3. definitsioon. Täisnurk on nurk, mille mõõtmed on 90 kraadi.
4. määratlus. Nurka, mis on väiksem kui 90 kraadi, nimetatakse teravnurgaks.
Definitsioon 5. Nurka, mis on suurem kui 90 kraadi ja väiksem kui 180 kraadi, nimetatakse nürinurgaks.
ristuvad jooned.
Definitsioon 6. Kahte nurka, mille üks külg on ühine ja teised samal sirgel, nimetatakse külgnevateks.
Definitsioon 7. Nurki, mille küljed jätkavad üksteist, nimetatakse vertikaalnurkadeks.
Joonisel 1:
külgnevad: 1 ja 2; 2 ja 3; 3 ja 4; 4 ja 1
vertikaalne: 1 ja 3; 2 ja 4
1. teoreem. Külgnevate nurkade summa on 180 kraadi.
Tõestuseks vaadake joonist fig. 4 külgnevat nurka AOB ja BOC. Nende summa on arenenud nurk AOC. Seetõttu on nende külgnevate nurkade summa 180 kraadi.
riis. 4
Matemaatika ja muusika seos
“Mõeldes kunstile ja teadusele, nende omavahelistele seostele ja vastuoludele, jõudsin järeldusele, et matemaatika ja muusika on inimvaimu äärmuslikel poolustel, et kogu inimese loomingulist vaimset tegevust piiravad ja määravad need kaks antipoodi ning et kõik on nende vahel, mida inimkond on teaduse ja kunsti vallas loonud.
G. Neuhaus
Näib, et kunst on matemaatikast väga abstraktne valdkond. Matemaatika ja muusika seos on aga määratud nii ajalooliselt kui ka sisemiselt, hoolimata sellest, et matemaatika on teadustest kõige abstraktsem ja muusika kõige abstraktsem kunstivorm.
Kaashäälik määrab keele meeldiva kõla
See muusikaline süsteem põhines kahel seadusel, mis kannavad kahe suure teadlase – Pythagorase ja Archytase – nimesid. Need on seadused:
1. Kaks kõlalist stringi määravad konsonantsi, kui nende pikkused on seotud täisarvudena, mis moodustavad kolmnurkarvu 10=1+2+3+4, s.o. nagu 1:2, 2:3, 3:4. Veelgi enam, mida väiksem on arv n suhtes n:(n+1) (n=1,2,3), seda konsonantsem on saadud intervall.
2. Heliseva stringi võnkesagedus w on pöördvõrdeline selle pikkusega l.
w = a:l,
kus a on stringi füüsikalisi omadusi iseloomustav koefitsient.
Pakun teile ka naljaka paroodia kahe matemaatiku vaidlusest =)
Geomeetria meie ümber
Geomeetrial pole meie elus vähe tähtsust. Tänu sellele, et ringi vaadates ei ole raske märgata, et meid ümbritsevad erinevad geomeetrilised kujundid. Me kohtame neid kõikjal: tänaval, klassiruumis, kodus, pargis, spordisaalis, koolisööklas, põhimõtteliselt kõikjal, kus me ka ei viibiks. Kuid tänase tunni teemaks on kõrvuti asetsevad söed. Nii et vaatame ringi ja proovime selles keskkonnas nurki leida. Akent tähelepanelikult vaadates on näha, et mõned puuoksad moodustavad kõrvuti asetsevaid nurki ning värava vaheseintes on näha palju vertikaalseid nurki. Tooge oma näiteid külgnevate nurkade kohta, mida oma keskkonnas jälgite.
Ülesanne 1.
1. Raamatualusel laual on raamat. Millise nurga see moodustab?
2. Aga õpilane töötab sülearvutiga. Mis nurga alt sa siin näed?
3. Millise nurga moodustab pildiraam alusel?
4. Kas teie arvates on võimalik, et kaks kõrvuti asetsevat nurka on võrdsed?
2. ülesanne.
Teie ees on geomeetriline kujund. Mis figuur see on, nimeta? Nüüd nimetage kõik külgnevad nurgad, mida sellel geomeetrilisel joonisel näete.
3. ülesanne.
Siin on pilt joonistusest ja maalist. Vaadake neid hoolikalt ja öelge mulle, mis tüüpi kalu näete pildil ja milliseid nurki näete pildil.
Probleemide lahendamine
1) Antud kaks nurka, mis on üksteisega seotud kui 1:2 ja nendega külgnevad - kui 7:5. Peate need nurgad leidma.2) On teada, et üks külgnevatest nurkadest on teisest 4 korda suurem. Millega on võrdsed külgnevad nurgad?
3) On vaja leida külgnevad nurgad tingimusel, et üks neist on 10 kraadi suurem kui teine.
Matemaatiline diktaat varem õpitud materjali ülevaatamiseks
1) Lõpeta joonis: sirgjooned a I b lõikuvad punktis A. Märgi moodustatud nurkadest väiksem arv 1 ja ülejäänud nurgad - järjestikku numbritega 2,3,4; joone a komplementaarsed kiired läbivad a1 ja a2 ning joone b läbivad b1 ja b2.2) Sisesta valminud joonise abil tekstilünkadesse vajalikud tähendused ja selgitused:
a) nurk 1 ja nurk .... kõrvuti, sest...
b) nurk 1 ja nurk…. vertikaalne, sest...
c) kui nurk 1 = 60°, siis nurk 2 = ..., sest...
d) kui nurk 1 = 60°, siis nurk 3 = ..., sest...
Probleemide lahendamine:
1. Kas kahe sirge ristumiskohal moodustatud 3 nurga summa võib olla võrdne 100°? 370°?
2. Leia jooniselt kõik külgnevate nurkade paarid. Ja nüüd vertikaalsed nurgad. Nimetage need nurgad.
3. Peate leidma nurga, kui see on kolm korda suurem kui külgnev.
4. Kaks sirget lõikuvad üksteisega. Selle ristmiku tulemusena tekkis neli nurka. Määrake nende väärtus, tingimusel et:
a) kahe nurga summa neljast on 84°;
b) kahe nurga vahe on 45°;
c) üks nurk on 4 korda väiksem kui teine;
d) nende kolme nurga summa on 290°.
Tunni kokkuvõte
1. nimeta nurgad, mis tekivad 2 sirge lõikumisel?
2. Nimetage kõik joonisel olevad võimalikud nurgapaarid ja määrake nende tüüp.
Kodutöö:
1. Leidke külgnevate nurkade astmemõõtude suhe, kui üks neist on teisest 54° suurem.
2. Leia nurgad, mis tekivad 2 sirge lõikumisel eeldusel, et üks nurkadest on võrdne 2 teise temaga külgneva nurga summaga.
3. Tuleb leida külgnevad nurgad, kui ühe poolitaja moodustab teise küljega nurga, mis on teisest nurgast 60° suurem.
4. Kahe külgneva nurga vahe on võrdne kolmandikuga nende kahe nurga summast. Määrake kahe külgneva nurga väärtused.
5. Kahe külgneva nurga erinevus ja summa on vastavalt 1:5 vahekorras. Leia külgnevad nurgad.
6. Kahe kõrvuti asetseva vahe on 25% nende summast. Kuidas on seotud kahe külgneva nurga väärtused? Määrake kahe külgneva nurga väärtused.
Küsimused:
- Mis on nurk?
- Mis tüüpi nurgad on olemas?
- Mis on külgnevate nurkade omadus?
1. küsimus. Milliseid nurki nimetatakse külgnevateks?
Vastus. Kaht nurka nimetatakse külgnevateks, kui neil on üks külg ühine ja nende nurkade teised küljed on täiendavad pooljooned.
Joonisel 31 on nurgad (a 1 b) ja (a 2 b) kõrvuti. Neil on ühine külg b ning küljed a 1 ja a 2 on täiendavad pooljooned.
2. küsimus. Tõesta, et külgnevate nurkade summa on 180°.
Vastus. Teoreem 2.1. Külgnevate nurkade summa on 180°.
Tõestus. Olgu nurk (a 1 b) ja nurk (a 2 b) antud külgnevad nurgad (vt joonis 31). Kiir b läbib sirge nurga külgede a 1 ja a 2 vahelt. Seetõttu on nurkade (a 1 b) ja (a 2 b) summa võrdne voltimata nurgaga, st 180°. Q.E.D.
3. küsimus. Tõesta, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on ka nende külgnevad nurgad võrdsed.
Vastus.
Teoreemist 2.1
Sellest järeldub, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on nende külgnevad nurgad võrdsed.
Oletame, et nurgad (a 1 b) ja (c 1 d) on võrdsed. Peame tõestama, et nurgad (a 2 b) ja (c 2 d) on samuti võrdsed.
Külgnevate nurkade summa on 180°. Sellest järeldub, et a 1 b + a 2 b = 180° ja c 1 d + c 2 d = 180°. Seega a 2 b = 180° - a 1 b ja c 2 d = 180° - c 1 d. Kuna nurgad (a 1 b) ja (c 1 d) on võrdsed, saame, et a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Võrdsusmärgi transitiivsuse omadusest järeldub, et a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
4. küsimus. Millist nurka nimetatakse õigeks (ägeks, nüriks)?
Vastus. Nurka, mis võrdub 90°, nimetatakse täisnurgaks.
Nurka, mis on väiksem kui 90°, nimetatakse teravnurgaks.
Nurka, mis on suurem kui 90° ja väiksem kui 180°, nimetatakse nüriks.
5. küsimus. Tõesta, et täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk.
Vastus. Külgnevate nurkade summa teoreemist järeldub, et täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
6. küsimus. Milliseid nurki nimetatakse vertikaalseks?
Vastus. Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui ühe nurga küljed on teise nurga külgede täiendavad pooljooned.
7. küsimus. Tõesta, et vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Vastus. Teoreem 2.2. Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Tõestus. Olgu (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) etteantud vertikaalnurgad (joonis 34). Nurk (a 1 b 2) külgneb nurgaga (a 1 b 1) ja nurgaga (a 2 b 2). Siit, kasutades teoreemi külgnevate nurkade summa kohta, järeldame, et kumbki nurkadest (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) täiendab nurka (a 1 b 2) 180°-ni, s.o. nurgad (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) on võrdsed. Q.E.D.
8. küsimus. Tõesta, et kui kaks sirget ristuvad, on üks nurkadest täisnurk, siis on ka ülejäänud kolm nurka täisnurksed.
Vastus. Oletame, et sirged AB ja CD lõikuvad üksteist punktis O. Oletame, et nurk AOD on 90°. Kuna külgnevate nurkade summa on 180°, saame, et AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Nurk COB on vertikaalne nurga AOD suhtes, seega on need võrdsed. See tähendab, et nurk COB = 90°. Nurk COA on nurga BOD suhtes vertikaalne, seega on need võrdsed. See tähendab, et nurk BOD = 90°. Seega on kõik nurgad võrdsed 90°-ga, see tähendab, et nad on kõik täisnurgad. Q.E.D.
9. küsimus. Milliseid sirgeid nimetatakse risti? Millist märki kasutatakse joonte perpendikulaarsuse tähistamiseks?
Vastus. Kaht sirget nimetatakse risti, kui need ristuvad täisnurga all.
Joonte perpendikulaarsust näitab märk \(\perp\). Kirje \(a\perp b\) on järgmine: "Sirge a on joonega b risti."
10. küsimus. Tõesta, et läbi joone mis tahes punkti saab tõmmata sellega risti oleva joone ja ainult ühe.
Vastus. Teoreem 2.3. Iga joone kaudu saate tõmmata sellega risti oleva joone ja ainult ühe.
Tõestus. Olgu a antud sirge ja A antud punkt sellel. Tähistame a 1-ga ühe sirge a poolsirge, mille alguspunkt on A (joonis 38). Lahutame pooljoonest a 1 nurga (a 1 b 1), mis on võrdne 90°. Siis on kiirt b 1 sisaldav sirge risti sirgjoonega a.
Oletame, et on veel üks sirge, mis samuti läbib punkti A ja on risti sirgega a. Tähistame c 1-ga selle sirge pooljoont, mis asub kiirega b 1 samal pooltasandil.
Nurgad (a 1 b 1) ja (a 1 c 1), kumbki 90°, on paigutatud pooljoonest a 1 ühel pooltasandil. Kuid pooljoonest saab antud pooltasandisse panna ainult ühe nurga, mis võrdub 90°. Seetõttu ei saa olla teist sirget, mis läbib punkti A ja on risti sirgega a. Teoreem on tõestatud.
11. küsimus. Mis on joonega risti?
Vastus. Antud sirgega risti on antud sirgega risti oleva sirge lõik, mille üks otstest on nende lõikepunktis. Seda segmendi lõppu nimetatakse alusel risti.
12. küsimus. Selgitage, millest koosneb tõestus vastuoluga.
Vastus. Tõestusmeetodit, mida kasutasime teoreemis 2.3, nimetatakse vastuoluga tõestamiseks. See tõestusmeetod seisneb selles, et esmalt teeme teoreemi väitele vastupidise oletuse. Seejärel arutledes, tuginedes aksioomidele ja tõestatud teoreemidele, jõuame järeldusele, mis on vastuolus kas teoreemi tingimustega või mõne aksioomiga või varem tõestatud teoreemiga. Selle põhjal järeldame, et meie eeldus oli vale ja seetõttu on teoreemi väide tõene.
13. küsimus. Mis on nurga poolitaja?
Vastus. Nurga poolitaja on kiir, mis väljub nurga tipust, läheb selle külgede vahelt ja jagab nurga pooleks.
Geomeetria on väga mitmetahuline teadus. See arendab loogikat, kujutlusvõimet ja intelligentsust. Muidugi ei meeldi see koolilastele selle keerukuse ning teoreemide ja aksioomide tohutu hulga tõttu alati. Lisaks on vaja oma järeldusi pidevalt tõestada, kasutades üldtunnustatud standardeid ja reegleid.
Külgnevad ja vertikaalsed nurgad on geomeetria lahutamatu osa. Kindlasti jumaldavad paljud koolilapsed neid lihtsalt sel põhjusel, et nende omadused on selged ja kergesti tõestatavad.
Nurkade moodustamine
Suvaline nurk moodustatakse kahe sirge lõikumisel või kahe kiire tõmbamisel ühest punktist. Neid võib nimetada kas üheks täheks või kolmeks, mis tähistavad järjestikku punkte, millesse nurk on konstrueeritud.
Nurki mõõdetakse kraadides ja neid saab (olenevalt nende väärtusest) nimetada erinevalt. Niisiis, on täisnurk, terav, nüri ja voldimata. Iga nimi vastab teatud määrale või selle intervallile.
Teravnurk on nurk, mille mõõt ei ületa 90 kraadi.
Nürinurk on nurk, mis on suurem kui 90 kraadi.
Nurka nimetatakse õigeks, kui selle kraadimõõt on 90.
Kui see on moodustatud ühest pidevast sirgest ja selle kraadimõõt on 180, nimetatakse seda laiendatuks.
Nurki, millel on ühine külg, mille teine külg jätkab üksteist, nimetatakse külgnevateks. Need võivad olla kas teravad või nürid. Sirge ristumiskoht moodustab külgnevad nurgad. Nende omadused on järgmised:
- Selliste nurkade summa võrdub 180 kraadiga (seda tõestab teoreem). Seetõttu saab ühe neist hõlpsasti välja arvutada, kui teine on teada.
- Esimesest punktist järeldub, et külgnevaid nurki ei saa moodustada kahe nüri või kahe teravnurgaga.
Tänu nendele omadustele on alati võimalik arvutada nurga aste, arvestades teise nurga väärtust või vähemalt nende vahelist suhet.
Vertikaalsed nurgad
Nurki, mille küljed on üksteise jätkud, nimetatakse vertikaalseks. Sellise paarina võib toimida mis tahes nende sort. Vertikaalsed nurgad on alati üksteisega võrdsed.
Need moodustuvad sirgjoonte lõikumisel. Koos nendega on alati olemas külgnevad nurgad. Nurk võib olla üheaegselt külgnev ühe ja vertikaalne teise jaoks.
Suvalise joone ületamisel võetakse arvesse ka mitut muud tüüpi nurki. Sellist joont nimetatakse lõikejooneks ja see moodustab vastavad, ühepoolsed ja risti asetsevad nurgad. Nad on üksteisega võrdsed. Neid saab vaadelda vertikaalsete ja külgnevate nurkade omaduste valguses.
Seega tundub nurkade teema üsna lihtne ja arusaadav. Kõiki nende omadusi on lihtne meelde jätta ja tõestada. Ülesannete lahendamine pole keeruline seni, kuni nurkadel on arvväärtus. Hiljem, kui patu ja cos-i uurimine algab, peate pähe õppima palju keerulisi valemeid, nende järeldusi ja tagajärgi. Seni saate lihtsalt nautida lihtsaid mõistatusi, kus peate leidma külgnevaid nurki.
Igal nurgal, sõltuvalt selle suurusest, on oma nimi:
| Nurga tüüp | Suurus kraadides | Näide |
|---|---|---|
| Vürtsikas | Vähem kui 90° | |
| Otsene | Võrdne 90°-ga. Joonisel tähistatakse täisnurka tavaliselt nurga ühest servast teise tõmmatud sümboliga. |
 |
| Nüri | Üle 90°, kuid alla 180° |  |
| Laiendatud | Võrdne 180°-ga Sirgenurk on võrdne kahe täisnurga summaga ja täisnurk on pool sirgnurgast. |
 |
| Kumer | Üle 180°, kuid alla 360° |  |
| Täis | Võrdne 360°-ga |  |
Neid kahte nurka nimetatakse külgnevad, kui neil on üks külg ühine ja ülejäänud kaks külge moodustavad sirge:
Nurgad MOP Ja PON kõrvuti, kuna tala OP- ühine pool ja kaks teist külge - OM Ja SEES moodustage sirgjoon.
Külgnevate nurkade ühiskülge nimetatakse kaldus sirgeks, millel asuvad kaks ülejäänud külge, ainult juhul, kui külgnevad nurgad ei ole üksteisega võrdsed. Kui külgnevad nurgad on võrdsed, on nende ühine külg risti.
Külgnevate nurkade summa on 180°.
Neid kahte nurka nimetatakse vertikaalne, kui ühe nurga küljed täiendavad teise nurga külgi sirgjoonteks:
Nurgad 1 ja 3, samuti nurgad 2 ja 4 on vertikaalsed.
Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Tõestame, et vertikaalsed nurgad on võrdsed:
∠1 ja ∠2 summa on sirgnurk. Ja ∠3 ja ∠2 summa on sirgnurk. Seega on need kaks summat võrdsed:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
Selles võrdsuses on vasakul ja paremal identne termin - ∠2. Võrdsust ei rikuta, kui see vasak- ja parempoolne termin välja jätta. Siis saame selle kätte.
Nurgad, mille üks külg on ühine ja teised küljed asuvad samal sirgel (joonisel on nurgad 1 ja 2 kõrvuti). Riis. kuni Art. Kõrvuti asetsevad nurgad... Suur Nõukogude entsüklopeedia
KÕRVAL olevad nurgad- nurgad, millel on ühine tipp ja üks ühine külg ning nende kaks teist külge asuvad samal sirgel... Suur polütehniline entsüklopeedia
Vaata nurk... Suur entsüklopeediline sõnaraamat
KÕRVALNURGAD, kaks nurka, mille summa on 180°. Kõik need nurgad täiendavad teineteist täisnurgani... Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik
Vaata Nurk. * * * KÕRNEVAD NURGAD KÕRNEVAD NURGAD, vt Nurk (vt NURK) ... Entsüklopeediline sõnaraamat
- (Nurgid külgnevad) need, millel on ühine tipp ja ühine külg. Enamasti viitab see nimetus sellistele C. nurkadele, mille teised kaks külge asetsevad ühe läbi tipu tõmmatud sirge vastassuunas ... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Vaata nurk... Loodusteadus. Entsüklopeediline sõnaraamat
Kaks sirgjoont lõikuvad, et luua paar vertikaalnurka. Üks paar koosneb nurkadest A ja B, teine aga C ja D. Geomeetrias nimetatakse kahte nurka vertikaalseks, kui need on tekitatud kahe ... Wikipedia
Täiendavate nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadini. Kui kaks komplementaarset nurka on kõrvuti (st neil on ühine tipp ja need on eraldatud ainult... ... Wikipedia
Täiendavate nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadini Täiendavad nurgad on nurkade paar, mis täiendavad üksteist kuni 90 kraadi. Kui kaks teineteist täiendavat nurka on koos... Wikipedia
Raamatud
- Tõestuse kohta geomeetrias, A. I., Kord, kooliaasta alguses, pidin ma kuulma vestlust kahe tüdruku vahel. Vanim neist siirdus kuuendasse, noorim viiendasse klassi. Tüdrukud jagasid oma muljeid tundidest...
- Geomeetria. 7. klass. Põhjalik märkmik teadmiste kontrollimiseks, I. S. Markova, S. P. Babenko. Käsiraamatus esitatakse geomeetria juhtimis- ja mõõtmismaterjalid (CMM) 7. klassi õpilaste teadmiste voolu-, temaatilise ja lõpliku kvaliteedikontrolli läbiviimiseks. Kasutusjuhendi sisu...
