Matemaatilise tõenäosuse teooria. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Ema pesi raami ära

Pika lõpus suvepuhkused on aeg aeglaselt naasta kõrgema matemaatika juurde ja avada pidulikult tühi Verdovi fail, et alustada uue jaotise loomist - . Tunnistan, et esimesed read pole lihtsad, kuid esimene samm on poolel teel, seega soovitan kõigil tutvuda hoolikalt sissejuhatava artikliga, pärast mida on teema valdamine 2 korda lihtsam! Ma ei liialda üldse. …Järgmise 1. septembri eel meenub mulle esimene klass ja aabits…. Tähed moodustavad silpe, silbid moodustavad sõnu, sõnad moodustavad lühikesi lauseid - Ema pesi raami. Pöörde- ja matemaatikastatistika valdamine on sama lihtne kui lugema õppimine! Kuid selleks peate teadma põhitermineid, mõisteid ja nimetusi ning mõningaid konkreetseid reegleid, mida selles õppetunnis käsitletakse.

Aga kõigepealt palun võtke vastu minu õnnitlused kooliaasta alguse puhul (jätkamine, lõpetamine, märkige sobiv) ja võtke vastu kingitus. Parim kingitus- see on raamat ja selle jaoks iseseisev töö Soovitan järgmist kirjandust:

1) Gmurman V.E. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Legendaarne õpik, mis on läbinud üle kümne kordustrükki. Seda eristab arusaadavus ja ülilihtne materjali esitus ning esimesed peatükid on täiesti kättesaadavad, ma arvan, et juba 6.-7.klassi õpilastele.

2) Gmurman V.E. Juhend probleemide lahendamiseks tõenäosusteoorias ja matemaatiline statistika

Sellesama Vladimir Efimovitši lahendusraamat koos üksikasjalike näidete ja probleemidega.

VAJALIKULT laadige mõlemad raamatud alla Internetist või hankige nende paberkandjal originaalid! Töötab ka 60ndate ja 70ndate versioon, mis on mannekeenide jaoks veelgi parem. Ehkki fraas "mannekeenide tõenäosusteooria" kõlab üsna naeruväärselt, kuna peaaegu kõik piirdub elementaarsete aritmeetiliste tehetega. Kohati jätavad nad siiski vahele derivaadid Ja integraalid, kuid seda ainult kohati.

Püüan saavutada sama esitusselguse, kuid pean hoiatama, et minu kursus on suunatud probleemide lahendamine ja teoreetilised arvutused on viidud miinimumini. Seega, kui vajate üksikasjalikku teooriat, teoreemide tõestusi (teoreemid-teoreemid!), siis vaadake õpikut. No kes tahab õppida probleeme lahendama tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas kõige rohkem lühikesed tähtajad , jälgi mind!

Alustuseks piisab =)

Artikleid lugedes on soovitatav tutvuda (vähemalt põgusalt) vaadeldavate tüüpide lisaülesannetega. Lehel Valmislahendused kõrgema matemaatika jaoks Postitatakse vastavad pdf-id koos lahendusnäidetega. Samuti osutatakse olulist abi IDZ 18.1 Ryabushko(lihtsam) ja lahendas IDZ Tšudesenko kogu järgi(raskem).

1) Summa kaks sündmust ja sündmust nimetatakse, mis tähendab, et see juhtub või sündmus või sündmus või mõlemad sündmused korraga. Juhul, kui sündmused kokkusobimatu, viimane valik kaob, see tähendab, et see võib tekkida või sündmus või sündmus .

Reegel kehtib ka suurema hulga terminite, näiteks sündmuse kohta on see, mis juhtub vähemalt üks sündmustest , A kui sündmused ei sobi kokku – siis üks asi ja ainult üks asi sündmus sellest summast: või sündmus, või sündmus, või sündmus, või sündmus, või sündmus .

Näiteid on palju:

Sündmused (täringu viskamisel 5 punkti ei ilmu) on see, mis välja tuleb või 1, või 2, või 3, või 4, või 6 punkti.

Sündmus (langeb enam mitte kaks punkti) on see, et kuvatakse 1 või 2punktid.

Sündmus (punkte on paarisarv) on see, mis ilmub või 2 või 4 või 6 punkti.

Sündmus seisneb selles, et kaardipakist tõmmatakse punane kaart (süda). või tamburiin) ja sündmus – et "pilt" ekstraheeritakse (jack või daam või kuningas võiäss).

Veidi huvitavam on lugu ühisüritustega:

Sündmus seisneb selles, et tekilt loositakse välja klubi või seitse või seitse klubi Vastavalt ülaltoodud määratlusele, vähemalt midagi- või mis tahes klubi või mis tahes seitse või nende "ristmik" - seitse klubi. Lihtne on arvutada, et see sündmus vastab 12 põhitulemusele (9 klubikaarti + 3 ülejäänud seitset).

Sündmus on see, et homme kell 12.00 tuleb VÄHEMALT ÜKS kokkuvõttev ühisüritus, nimelt:

– või on ainult vihm / ainult äike / ainult päike;
– või toimub ainult mõni sündmustepaar (vihm + äike / vihm + päike / äike + päike);
– või kõik kolm sündmust ilmuvad korraga.

See tähendab, et sündmus sisaldab 7 võimalikku tulemust.

Sündmuste algebra teine sammas:

2) Töö kaks sündmust ja nimetada sündmuseks, mis seisneb nende sündmuste ühises esinemises, teisisõnu tähendab korrutamine, et teatud asjaoludel Ja sündmus, Ja sündmus . Sarnane väide kehtib ka suurema hulga sündmuste kohta, näiteks annab teos mõista, et teatud tingimustel see juhtub Ja sündmus, Ja sündmus, Ja sündmus, …, Ja sündmus .

Mõelge testile, mille käigus visatakse kaks münti ja järgmised sündmused:

– 1. mündile ilmuvad pead;
– 1. münt maandab päid;
– 2. mündile ilmuvad pead;
– 2. münt maandab pead.

Seejärel:
Ja 2.) ilmuvad pead;
– sündmus on see, et mõlemal mündil (1 Ja 2.) see on pead;
– sündmus on see, et 1. münt maandub päid Ja 2. münt on sabad;
– sündmus on see, et 1. münt maandub päid Ja 2. mündil on kotkas.

Neid sündmusi on lihtne näha kokkusobimatu (sest näiteks ei saa korraga kukkuda 2 pead ja 2 saba) ja vorm täisgrupp (alates arvesse võetud Kõik kahe mündi viskamise võimalikud tagajärjed). Võtame need sündmused kokku: . Kuidas seda kirjet tõlgendada? Väga lihtne – korrutamine tähendab loogilist sidet JA ja lisaks – VÕI. Seega on summa arusaadavas inimkeeles hästi loetav: “tekkib kaks pead või kaks pead või 1. münt maandub päid Ja 2. saba peal või 1. münt maandub päid Ja 2. mündil on kotkas"

See oli näide, kui ühes testis kaasatud on mitu eset, antud juhul kaks münti. Teine levinud skeem praktilistes probleemides on uuesti testimine , kui näiteks sama täringut veeretatakse 3 korda järjest. Näitena kaaluge järgmisi sündmusi:

– 1. viskega saad 4 punkti;
– 2. viskega saad 5 punkti;
– 3. viskega saad 6 punkti.

Siis üritus on see, et 1. viskega saad 4 punkti Ja 2. viskega saad 5 punkti Ja 3. veeretamisel saad 6 punkti. Ilmselgelt tuleb kuubiku puhul kombinatsioone (tulemusi) oluliselt rohkem kui mündi viskamisel.

...Ma saan aru, et võib-olla pole analüüsitavad näited väga huvitavad, aga need on asjad, millega probleemides sageli kokku puututakse ja millest pääsu pole. Lisaks mündile, kuubik ja kaardipakk, ootavad Sind mitmevärviliste kuulidega urnid, mitmed anonüümsed märklauda tulistavad ja väsimatu töömees, kes pidevalt mingeid detaile välja lihvib =)

Sündmuse tõenäosus

Sündmuse tõenäosus on tõenäosusteooria keskne mõiste. ...Tapjalik loogiline asi, aga kuskilt tuli alustada =) Selle definitsioonile on mitu lähenemist:

;
Tõenäosuse geomeetriline määratlus ;
Tõenäosuse statistiline määratlus .

Käesolevas artiklis keskendun tõenäosuse klassikalisele definitsioonile, mida kasutatakse õppeülesannetes kõige laiemalt.

Nimetused. Teatud sündmuse tõenäosust tähistatakse suure ladina tähega ja sündmus ise on võetud sulgudes, toimides omamoodi argumendina. Näiteks:

Samuti kasutatakse väikest tähte laialdaselt tõenäosuse tähistamiseks. Eelkõige võite loobuda sündmuste ja nende tõenäosuste tülikatest määratlustest järgmise stiili kasuks::

– tõenäosus, et mündiviske tulemuseks on pead;
– tõenäosus, et täringuvise annab 5 punkti;
– tõenäosus, et kaardipakist tõmmatakse klubi masti kaart.

See valik on praktiliste probleemide lahendamisel populaarne, kuna võimaldab oluliselt vähendada lahenduse salvestamist. Nagu esimesel juhul, on siingi mugav kasutada “rääkivaid” ala-/üleindekseid.

Kõik on juba ammu arvanud numbreid, mille ma just ülal kirjutasin, ja nüüd saame teada, kuidas need välja kukkusid:

Klassikaline tõenäosuse määratlus:

Teatud testis sündmuse toimumise tõenäosust nimetatakse suhteks, kus:

– kõigi koguarv võrdselt võimalik, elementaarne selle testi tulemused kogu ürituste grupp;

- kogus elementaarne tulemused, soodne sündmus.

Mündi viskamisel võivad välja kukkuda kas pead või sabad – need sündmused kujunevad täisgrupp, seega tulemuste koguarv; samal ajal igaüks neist elementaarne Ja võrdselt võimalik. Sündmust soosib tulemus (pead). Klassikalise tõenäosuse määratluse kohaselt: .

Samamoodi võivad täringu viskamise tulemusena ilmneda elementaarsed võrdselt võimalikud tulemused, mis moodustavad tervikliku rühma ja sündmust soosib üks tulemus (viie viskamine). Sellepärast: SEDA EI OLE AKTSEPTEERITUD TEHA (kuigi protsente oma peas hinnata pole keelatud).

Tavapärane on kasutada ühiku murde, ja ilmselgelt võib tõenäosus piires varieeruda. Pealegi, kui , siis sündmus on võimatu, kui - usaldusväärne, ja kui , siis me räägime juhuslik sündmus.

! Kui saate mõne probleemi lahendamisel mõne muu tõenäosuse väärtuse, otsige viga!

Tõenäosuse määramise klassikalises lähenemisviisis saadakse äärmuslikud väärtused (null ja üks) täpselt sama arutluskäigu kaudu. Teatud urnist, milles on 10 punast palli, tõmmatakse juhuslikult 1 pall. Mõelge järgmistele sündmustele:

ühe katsega ei juhtu vähese tõenäosusega sündmust.

Seetõttu ei võida sa loteriis jackpotti, kui selle sündmuse tõenäosus on näiteks 0,00000001. Jah, jah, see oled sina – ainsa piletiga konkreetses tiraažis. Suurem arv pileteid ja suurem arv joonistusi teid aga palju ei aita. ...Kui ma sellest teistele räägin, kuulen peaaegu alati vastuseks: "aga keegi võidab." Olgu, teeme siis järgmise katse: palun ostke täna või homme suvalise loterii pilet (ärge viivitage!). Ja kui võidad... noh, vähemalt üle 10 kilorublase, siis pane kindlasti kirja – ma selgitan, miks see juhtus. Protsendi eest muidugi =) =)

Aga kurvastada pole vaja, sest on vastupidine põhimõte: kui mõne sündmuse tõenäosus on väga lähedane ühele, siis ühel katsel peaaegu kindel juhtub. Seetõttu pole enne langevarjuga hüppamist vaja karta, vastupidi, naerata! Mõlema langevarju ebaõnnestumiseks peavad ju tekkima täiesti mõeldamatud ja fantastilised asjaolud.

Kuigi see kõik on luule, võib olenevalt sündmuse sisust esimene põhimõte osutuda rõõmsaks, teine aga kurvaks; või isegi mõlemad paralleelsed.

Võib-olla sellest praegu klassis piisab Klassikalised tõenäosusprobleemid saame valemist maksimumi. Selle artikli viimases osas käsitleme ühte olulist teoreemi:

Täieliku rühma moodustavate sündmuste tõenäosuste summa on võrdne ühega. Jämedalt öeldes, kui sündmused moodustavad tervikliku rühma, siis 100% tõenäosusega juhtub üks neist. Lihtsamal juhul moodustavad täieliku rühma vastupidised sündmused, näiteks:

– mündiviske tulemusena tekivad pead;
– mündiviske tulemuseks on pead.

Vastavalt teoreemile:

On täiesti selge, et need sündmused on võrdselt võimalikud ja nende tõenäosus on sama .

Tõenäosuste võrdsuse tõttu nimetatakse sageli võrdselt võimalikke sündmusi sama tõenäoline . Ja siin on keeleväänaja joobeastme määramiseks =)

Näide kuubikuga: sündmused on seega vastupidised .

Vaadeldav teoreem on mugav selle poolest, et võimaldab kiiresti leida vastupidise sündmuse tõenäosuse. Seega, kui viie veeremise tõenäosus on teada, on lihtne arvutada tõenäosus, et seda ei veereta:

See on palju lihtsam kui viie elementaarse tulemuse tõenäosuste kokkuvõtmine. Muide, elementaarsete tulemuste puhul kehtib ka see teoreem:
. Näiteks kui on tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki, siis on tõenäosus, et ta tabab märki.

! Tõenäosusteoorias on tähtede kasutamine muudel eesmärkidel ebasoovitav.

Teadmiste päeva auks ma ei küsi kodutöö=), kuid on väga oluline, et saaksite vastata järgmistele küsimustele:

- Mis tüüpi üritusi eksisteerib?
– Mis on sündmuse juhus ja võrdne võimalus?
– Kuidas te mõistate mõisteid sündmuste ühilduvus/ühildumatus?
– Mis on täielik sündmuste rühm, vastandlikud sündmused?
– Mida tähendab sündmuste liitmine ja korrutamine?
– Mis on tõenäosuse klassikalise definitsiooni olemus?
– Miks on tervikliku rühma moodustavate sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem kasulik?

Ei, te ei pea midagi kokku toppima, need on lihtsalt tõenäosusteooria põhitõed - omamoodi aabits, mis mahub kiiresti teie pähe. Ja et see juhtuks võimalikult kiiresti, soovitan teil tundidega tutvuda

Paljud, kui nad seisavad silmitsi „tõenäosusteooria“ kontseptsiooniga, ehmuvad, arvates, et see on midagi valdavat, väga keerulist. Kuid tegelikult pole kõik nii traagiline. Täna vaatleme tõenäosusteooria põhikontseptsiooni ja õpime konkreetsete näidete abil probleeme lahendama.

Teadus

Mida uurib selline matemaatika haru nagu "tõenäosusteooria"? Ta märgib mustreid ja koguseid. Teadlased hakkasid selle teema vastu huvi tundma XVIII sajandil, kui nad hasartmänge uurisid. Tõenäosusteooria põhikontseptsioon on sündmus. See on mis tahes fakt, mis on kindlaks tehtud kogemuse või vaatluse kaudu. Aga mis on kogemus? Teine tõenäosusteooria põhikontseptsioon. See tähendab, et see asjaolude kogum ei loodud juhuslikult, vaid konkreetsel eesmärgil. Mis puutub vaatlusse, siis siin uurija ise ei osale eksperimendis, vaid on lihtsalt nende sündmuste tunnistaja, ta ei mõjuta toimuvat kuidagi.

Sündmused

Saime teada, et tõenäosusteooria põhikontseptsioon on sündmus, kuid me ei arvestanud klassifikatsiooniga. Kõik need on jagatud järgmistesse kategooriatesse:

Usaldusväärne.
Võimatu.
Juhuslik.

Olenemata sellest, millised sündmused need on, mida vaadeldud või kogemuse käigus tekitati, kuuluvad need kõik sellele klassifikatsioonile. Kutsume teid iga tüübiga eraldi tutvuma.

Usaldusväärne üritus

See on asjaolu, mille puhul on võetud vajalikud meetmed. Olemuse paremaks mõistmiseks on parem tuua paar näidet. Sellele seadusele kehtivad füüsika, keemia, majandus ja kõrgem matemaatika. Tõenäosusteooria sisaldab sellist olulist mõistet nagu usaldusväärne sündmus. Siin on mõned näited.

Töötame ja saame hüvitist töötasu näol.
Sooritasime eksamid hästi, läbisime konkursi ja selle eest saame tasu õppeasutusse sisseastumise näol.
Investeerisime raha panka ja vajadusel saame selle tagasi.

Sellised sündmused on usaldusväärsed. Kui oleme kõik vajalikud tingimused täitnud, saame kindlasti oodatud tulemuse.

Võimatud sündmused

Nüüd käsitleme tõenäosusteooria elemente. Teeme ettepaneku liikuda edasi järgmist tüüpi sündmuste, nimelt võimatu selgituse juurde. Esmalt sätestame kõige olulisema reegli – võimatu sündmuse tõenäosus on null.

Sellest sõnastusest ei saa probleemide lahendamisel kõrvale kalduda. Selguse huvides on siin näited sellistest sündmustest:

Vesi külmus temperatuuril pluss kümme (see on võimatu).
Elektripuudus ei mõjuta tootmist kuidagi (sama võimatu nagu eelmises näites).

Rohkem näiteid tuua ei tasu, kuna ülalkirjeldatu peegeldab väga selgelt selle kategooria olemust. Võimatut sündmust ei toimu katse ajal mitte mingil juhul.

Juhuslikud sündmused

Elementide uurimine erilist tähelepanu Seda tüüpi üritustele tasub tähelepanu pöörata. Seda uurib teadus. Kogemuse tulemusena võib midagi juhtuda, aga ei pruugi. Lisaks saab testi läbi viia piiramatu arv kordi. Eredate näidete hulka kuuluvad:

Mündi viskamine on kogemus või proovikivi, peade maandumine on sündmus.
Palli pimesi kotist väljatõmbamine on proovikivi punase palli saamine jne.

Selliseid näiteid võib olla piiramatu arv, kuid üldiselt peaks olemus olema selge. Sündmuste kohta saadud teadmiste kokkuvõtmiseks ja süstematiseerimiseks on toodud tabel. Tõenäosusteooria uurib ainult viimast tüüpi kõigist esitatud.

Nimi	määratlus
Usaldusväärne	Sündmused, mis toimuvad teatud tingimuste täitmisel 100% garantiiga.	Vastuvõtt õppeasutusse sisseastumiseksami hästi sooritamisel.
Võimatu	Sündmused, mis ei juhtu mitte mingil juhul.	Plusskolmekümne soojakraadi juures sajab lund.
Juhuslik	Sündmus, mis võib eksperimendi/testi ajal toimuda või mitte.	Tabamus või möödalaskmine korvpalli rõngasse viskamisel.

Seadused

Tõenäosusteooria on teadus, mis uurib sündmuse toimumise võimalikkust. Nagu ka teistel, on sellel teatud reeglid. On olemas järgmised tõenäosusteooria seadused:

Juhuslike muutujate jadade konvergents.
Suurte arvude seadus.

Millegi keerulise võimaluse arvutamisel saate lihtsate sündmuste kogumit kasutada, et tulemus oleks lihtsam ja kiirem. Pange tähele, et tõenäosusteooria seadusi on teatud teoreemide abil lihtne tõestada. Soovitame teil esmalt tutvuda esimese seadusega.

Juhuslike muutujate jadade konvergents

Pange tähele, et konvergentsi on mitut tüüpi:

Juhuslike muutujate jada koondub tõenäosusega.
Peaaegu võimatu.
Keskmine ruudu konvergents.
Jaotuse konvergents.

Nii et kohe on väga raske olemust mõista. Siin on määratlused, mis aitavad teil seda teemat mõista. Alustame esimese vaatega. Jada nimetatakse koonduv tõenäosus, kui on täidetud järgmine tingimus: n kaldub lõpmatuseni, on arv, milleni jada kaldub, suurem kui null ja ühele lähedane.

Liigume edasi järgmise vaate juurde, peaaegu kindlasti. Jada väidetavalt läheneb peaaegu kindlasti juhuslikule suurusele, kus n kaldub lõpmatuseni ja P kaldub ühtsusele lähedasele väärtusele.

Järgmine tüüp on keskmine ruudu konvergents. SC konvergentsi kasutamisel taandatakse vektorjuhuslike protsesside uurimine nende koordinaatjuhuslike protsesside uurimisele.

Jääb alles viimane tüüp, vaatame seda lühidalt, et saaksime liikuda otse probleemide lahendamise juurde. Jaotuse lähenemisel on teine nimi - "nõrk" ja selgitame hiljem, miks. Nõrk konvergents on jaotusfunktsioonide konvergents piirava jaotusfunktsiooni järjepidevuse kõigis punktides.

Peame kindlasti kinni oma lubadusest: nõrk konvergents erineb kõigest eelnevast selle poolest juhuslik muutuja ei ole tõenäosusruumis määratletud. See on võimalik, kuna tingimus moodustatakse ainult jaotusfunktsioone kasutades.

Suurte arvude seadus

Tõenäosusteooria teoreemid, näiteks:

Tšebõševi ebavõrdsus.
Tšebõševi teoreem.
Tšebõševi üldistatud teoreem.
Markovi teoreem.

Kui arvestada kõiki neid teoreeme, võib see küsimus venida mitukümmend lehte. Meie põhiülesanne on tõenäosusteooria rakendamine praktikas. Soovitame teil seda kohe teha. Kuid enne seda vaatame tõenäosusteooria aksioome, mis on peamised abilised probleemide lahendamisel.

Aksioomid

Esimesega kohtusime juba siis, kui rääkisime võimatust sündmusest. Pidagem meeles: võimatu sündmuse tõenäosus on null. Tõime väga ilmeka ja meeldejääva näite: lund sadas maha kolmekümnekraadise õhutemperatuuri juures.

Teine on järgmine: usaldusväärne sündmus toimub tõenäoliselt võrdne ühega. Nüüd näitame, kuidas seda matemaatilises keeles kirjutada: P(B)=1.

Kolmandaks: juhuslik sündmus võib juhtuda, kuid ei pruugi juhtuda, kuid võimalus on alati nullist üheni. Mida lähemal on väärtus ühele, seda suuremad on võimalused; kui väärtus läheneb nullile, on tõenäosus väga väike. Kirjutame selle matemaatilises keeles: 0<Р(С)<1.

Vaatleme viimast, neljandat aksioomi, mis kõlab nii: kahe sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste summaga. Kirjutame selle matemaatilises keeles: P(A+B)=P(A)+P(B).

Tõenäosusteooria aksioomid on kõige lihtsamad reeglid, mida pole raske meeles pidada. Proovime lahendada mõned probleemid juba omandatud teadmiste põhjal.

Loterii pilet

Kõigepealt vaatame kõige lihtsamat näidet – loterii. Kujutage ette, et ostsite hea õnne nimel ühe loteriipileti. Kui suur on tõenäosus, et võidate vähemalt kakskümmend rubla? Kokku osaleb ringluses tuhat piletit, millest ühel on auhinnaks viissada rubla, kümnel on sada rubla, viiekümnel on preemiaks kakskümmend rubla ja sajal on preemia viissada rubla. Tõenäosusprobleemid põhinevad õnne võimaluse leidmisel. Nüüd analüüsime koos ülaltoodud ülesande lahendust.

Kui kasutame viiesaja rubla suuruse võidu tähistamiseks tähte A, on A saamise tõenäosus 0,001. Kuidas me selle saime? Peate lihtsalt jagama "õnnelike" piletite arvu nende koguarvuga (antud juhul: 1/1000).

B on saja rubla võit, tõenäosus on 0,01. Nüüd tegutsesime samal põhimõttel nagu eelmises tegevuses (10/1000)

C - võidud on kakskümmend rubla. Leiame tõenäosuse, see on 0,05.

Ülejäänud piletid meid ei huvita, kuna nende auhinnafond on tingimuses määratust väiksem. Rakendame neljandat aksioomi: Tõenäosus võita vähemalt paarkümmend rubla on P(A)+P(B)+P(C). Täht P tähistab antud sündmuse toimumise tõenäosust, oleme need juba varasemates tegevustes leidnud. Jääb üle vaid vajalikud andmed kokku liita ja vastuseks saame 0,061. See number on vastus ülesande küsimusele.

Kaardipakk

Tõenäosusteooria probleemid võivad olla keerulisemad, võtame näiteks järgmise ülesande. Teie ees on kolmekümne kuuest kaardist koosnev pakk. Sinu ülesandeks on tõmmata kaks kaarti järjest ilma stäkki segamata, esimene ja teine kaart peavad olema ässad, mast ei oma tähtsust.

Esiteks leiame tõenäosuse, et esimene kaart on äss, selleks jagame neli kolmekümne kuuega. Nad panid selle kõrvale. Me võtame välja teise kaardi, see on äss, mille tõenäosus on kolm kolmkümmend viiendikku. Teise sündmuse tõenäosus sõltub sellest, millise kaardi me esimesena tõmbasime, mõtleme, kas see oli äss või mitte. Sellest järeldub, et sündmus B sõltub sündmusest A.

Järgmise sammuna tuleb leida samaaegse toimumise tõenäosus ehk korrutame A ja B. Nende korrutis leitakse järgmiselt: korrutame ühe sündmuse tõenäosuse teise sündmuse tingimusliku tõenäosusega, mille arvutame, eeldades, et esimene sündmus toimus ehk tõmbasime esimese kaardiga ässa.

Et kõik oleks selge, nimetagem sellist elementi sündmusteks. See arvutatakse eeldusel, et sündmus A on toimunud. See arvutatakse järgmiselt: P(B/A).

Jätkame oma ülesande lahendamist: P(A * B) = P(A) * P(B/A) või P(A * B) = P(B) * P(A/B). Tõenäosus on võrdne (4/36) * ((3/35)/(4/36). Arvutame ümardades lähima sajandikuni. Saime: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Tõenäosus, et tõmbame kaks ässa järjest, on üheksa sajandikku Väärtus on väga väike, mis tähendab, et sündmuse toimumise tõenäosus on äärmiselt väike.

Unustatud number

Teeme ettepaneku analüüsida veel mitmeid tõenäosusteooriaga uuritavate ülesannete variante. Mõnede nende lahendamise näiteid olete selles artiklis juba näinud. Proovime lahendada järgmise probleemi: poiss unustas oma sõbra telefoninumbri viimase numbri, kuid kuna kõne oli väga oluline, hakkas ta kõike ükshaaval valima. . Peame arvutama tõenäosuse, et ta ei helista rohkem kui kolm korda. Probleemi lahendus on kõige lihtsam, kui on teada tõenäosusteooria reeglid, seadused ja aksioomid.

Enne lahenduse otsimist proovige see ise lahendada. Teame, et viimane number võib olla nullist üheksani, see tähendab kokku kümme väärtust. Tõenäosus õige kätte saada on 1/10.

Järgmisena peame kaaluma sündmuse päritolu võimalusi, oletame, et poiss arvas õigesti ja kirjutas kohe õige, sellise sündmuse tõenäosus on 1/10. Teine võimalus: esimene kõne jääb vahele ja teine on sihikule. Arvutame sellise sündmuse tõenäosuse: korrutame 9/10 1/9-ga, tulemuseks saame ka 1/10. Kolmas variant: esimene ja teine kõne osutusid valel aadressil, alles kolmandaga jõudis poiss sinna, kuhu tahtis. Arvutame sellise sündmuse tõenäosuse: 9/10 korrutatuna 8/9 ja 1/8-ga, tulemuseks on 1/10. Meid ei huvita muud variandid vastavalt probleemi tingimustele, seega tuleb saadud tulemused lihtsalt kokku liita, lõpuks on meil 3/10. Vastus: tõenäosus, et poiss helistab mitte rohkem kui kolm korda, on 0,3.

Kaardid numbritega

Teie ees on üheksa kaarti, millest igaühele on kirjutatud number ühest üheksani, numbreid ei korrata. Need pandi karpi ja segati korralikult läbi. Peate arvutama selle tõenäosuse

ilmub paarisarv;
kahekohaline.

Enne lahenduse juurde asumist sätestame, et m on edukate juhtumite arv ja n on valikute koguarv. Leiame tõenäosuse, et arv on paaris. Pole keeruline arvutada, et paarisarvu on neli, see on meie m, kokku on üheksa võimalikku varianti, see tähendab, et m=9. Siis on tõenäosus 0,44 ehk 4/9.

Vaatleme teist juhtumit: valikute arv on üheksa ja edukaid tulemusi ei saa üldse olla, see tähendab, et m võrdub nulliga. Ka tõenäosus, et väljatõmmatud kaart sisaldab kahekohalist numbrit, on null.

SISSEJUHATUS

Paljud asjad on meile arusaamatud mitte sellepärast, et meie kontseptsioonid on nõrgad;
kuid kuna need asjad ei kuulu meie mõistete hulka.
Kozma Prutkov

Matemaatika õppimise põhieesmärk keskkoolis spetsialiseerunud õppeasutustes on anda õpilastele matemaatiliste teadmiste ja oskuste kogum, mis on vajalik teiste matemaatikat ühel või teisel määral kasutavate programmidistsipliinide õppimiseks, praktiliste arvutuste tegemiseks, kujundamiseks ja arendamiseks. loogilisest mõtlemisest.

Selles töös on kõik matemaatika sektsiooni "Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika alused" põhikontseptsioonid, mis on ette nähtud programmis ja keskerihariduse riiklikus haridusstandardis (Vene Föderatsiooni haridusministeerium. M., 2002). ), tutvustatakse järjepidevalt, sõnastatakse peamised teoreemid, millest enamik ei ole tõestatud . Käsitletakse peamisi probleeme ja nende lahendamise meetodeid ning tehnoloogiaid nende meetodite rakendamiseks praktiliste probleemide lahendamisel. Ettekandele on lisatud üksikasjalikud kommentaarid ja arvukad näited.

Metoodilisi juhendeid saab kasutada õpitava materjaliga esmasel tutvumisel, loengutes märkmete tegemisel, praktilisteks tundideks valmistumisel, omandatud teadmiste, oskuste ja vilumuste kinnistamiseks. Lisaks on käsiraamat kasulik ka bakalaureuseõppe üliõpilastele võrdlusvahendina, mis võimaldab neil varem õpitut kiiresti meelde tuletada.

Töö lõpus on näited ja ülesanded, mida õpilased saavad sooritada enesekontrolli režiimis.

Juhend on mõeldud osa- ja täiskoormusega õppijatele.

PÕHIMÕISTED

Tõenäosusteooria uurib massiliste juhuslike sündmuste objektiivseid mustreid. See on matemaatilise statistika teoreetiline alus, mis tegeleb vaatlustulemuste kogumise, kirjeldamise ja töötlemise meetodite väljatöötamisega. Vaatluste (testide, katsete) kaudu, s.o. kogemus selle sõna laiemas tähenduses, tekib teadmine reaalse maailma nähtustest.

Oma praktilises tegevuses puutume sageli kokku nähtustega, mille tulemust ei ole võimalik ennustada, mille tulemus sõltub juhusest.

Juhuslikku nähtust saab iseloomustada selle esinemiste arvu ja katsete arvu suhtega, millest kõigis katsetes võib see kõigi katsete samadel tingimustel esineda või mitte esineda.

Tõenäosusteooria on matemaatika haru, milles uuritakse juhuslikke nähtusi (sündmusi) ja tuvastatakse mustreid, kui neid massiliselt korratakse.

Matemaatiline statistika on matemaatika haru, mille õppeaineks on statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja kasutamise meetodite uurimine teaduspõhiste järelduste tegemiseks ja otsuste tegemiseks.

Sel juhul mõistetakse statistiliste andmete all arvude kogumit, mis esindavad meid huvitavate uuritavate objektide omaduste kvantitatiivseid omadusi. Statistilised andmed saadakse spetsiaalselt kavandatud katsete ja vaatluste tulemusena.

Statistilised andmed sõltuvad oma olemuselt paljudest juhuslikest teguritest, mistõttu on matemaatiline statistika tihedalt seotud tõenäosusteooriaga, mis on selle teoreetiline alus.

I. TÕENÄOSUS. TÕENÄOSUSTE LIIDEMIS- JA KORRUMISTEOREEMID

1.1. Kombinatoorika põhimõisted

Matemaatika harus, mida nimetatakse kombinatoorikaks, lahendatakse mõningaid probleeme, mis on seotud hulkade arvestamise ja nende hulkade elementide erinevate kombinatsioonide koostisega. Näiteks kui võtame 10 erinevat arvu 0, 1, 2, 3,: , 9 ja teeme neist kombinatsioonid, saame erinevad arvud, näiteks 143, 431, 5671, 1207, 43 jne.

Näeme, et mõned neist kombinatsioonidest erinevad ainult numbrite järjestuse poolest (näiteks 143 ja 431), teised - nendes sisalduvate numbrite poolest (näiteks 5671 ja 1207) ja teised erinevad ka numbrite arvu poolest. (näiteks 143 ja 43).

Seega vastavad saadud kombinatsioonid erinevatele tingimustele.

Sõltuvalt kompositsioonireeglitest saab eristada kolme tüüpi kombinatsioone: permutatsioonid, paigutused, kombinatsioonid.

Kõigepealt tutvume kontseptsiooniga faktoriaalne.

Nimetatakse kõigi naturaalarvude korrutis 1 kuni n (kaasa arvatud). n-faktoriaalne ja kirjutada.

Arvuta: a) ; b) ; V) .

Lahendus. A) .

b) Alates , siis saame selle sulgudest välja jätta

Siis saame

V) .

Ümberkorraldused.

Kombinatsiooni n elemendist, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest, nimetatakse permutatsiooniks.

Permutatsioonid on tähistatud sümboliga P n , kus n on igas permutatsioonis sisalduvate elementide arv. ( R- prantsuskeelse sõna esimene täht permutatsioon- ümberkorraldamine).

Permutatsioonide arvu saab arvutada valemi abil

või kasutades faktoriaali:

Pidagem seda meeles 0!=1 ja 1!=1.

Näide 2. Mitmel viisil saab kuut erinevat raamatut ühele riiulile paigutada?

Lahendus. Vajalik arv viise võrdub 6 elemendi permutatsioonide arvuga, st.

Paigutused.

Postitused alates m elemendid sisse n igaühes nimetatakse selliseid ühendeid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi (vähemalt ühe) või nende paigutuse järje poolest.

Paigutused on tähistatud sümboliga, kus m- kõigi saadaolevate elementide arv, n- elementide arv igas kombinatsioonis. ( A- prantsuskeelse sõna esimene täht korraldus, mis tähendab "paigutust, korda seadmist").

Samas arvatakse, et nm.

Paigutuste arvu saab arvutada valemi abil

need. kõigi võimalike paigutuste arv alates m elemendid poolt n võrdub tootega n järjestikused täisarvud, millest suurim on m.

Kirjutame selle valemi faktoriaalses vormis:

Näide 3. Mitu võimalust saab viie taotleja kohta koostada kolme vautšeri jagamiseks erineva profiiliga sanatooriumidele?

Lahendus. Vajalik valikute arv võrdub 3 elemendi 5 elemendi paigutuste arvuga, st.

Kombinatsioonid.

Kombinatsioonid on kõik võimalikud kombinatsioonid m elemendid poolt n, mis erinevad üksteisest vähemalt ühe elemendi poolest (siin m Ja n- naturaalarvud ja n m).

Kombinatsioonide arv m elemendid poolt n on tähistatud ( KOOS- prantsuskeelse sõna esimene täht kombinatsioon- kombinatsioon).

Üldiselt arv m elemendid poolt n võrdne paigutuste arvuga alates m elemendid poolt n, jagatud permutatsioonide arvuga alates n elemendid:

Kasutades paigutuste ja permutatsioonide arvu faktoriaalvalemeid, saame:

Näide 4. 25-liikmelises meeskonnas peate eraldama neli teatud piirkonnas töötamiseks. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus. Kuna valitud nelja inimese järjekord ei oma tähtsust, on selleks võimalusi.

Leiame esimese valemi abil

Lisaks kasutatakse ülesannete lahendamisel järgmisi valemeid, mis väljendavad kombinatsioonide põhiomadusi:

(definitsiooni järgi eeldavad nad ja);

1.2. Kombinatoorsete ülesannete lahendamine

Ülesanne 1. Teaduskonnas õpitakse 16 ainet. Esmaspäevaks peate oma ajakavasse panema 3 ainet. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus. Kolme üksuse 16-st ajastamiseks on sama palju võimalusi kui saate korraldada 16 üksuse paigutust 3 kaupa.

Ülesanne 2. 15 objekti hulgast tuleb valida 10 objekti. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Ülesanne 3. Võistlusest võttis osa neli võistkonda. Mitu võimalust on nende vahel istekohtade jaotamiseks?

Ülesanne 4. Mitmel viisil saab moodustada kolmest sõdurist ja ühest ohvitserist koosneva patrulli, kui seal on 80 sõdurit ja 3 ohvitseri?

Lahendus. Patrullis saab valida sõduri

viisidel ja ohvitserid viisidel. Kuna iga ohvitser võib minna iga sõdurite meeskonnaga, on võimalusi ainult nii palju.

Ülesanne 5. Leia , kui on teada, et .

Alates , saame

Kombinatsiooni määratlusest järeldub, et . See. .

1.3. Juhusliku sündmuse mõiste. Sündmuste tüübid. Sündmuse tõenäosus

Nimetatakse mis tahes tegevus, nähtus, vaatlus, millel on mitu erinevat tulemust ja mis on teostatud teatud tingimustel test.

Selle tegevuse või vaatluse tulemust nimetatakse sündmus .

Kui sündmus antud tingimustes võib toimuda või mitte, siis seda nimetatakse juhuslik . Kui sündmus on kindel, siis seda nimetatakse usaldusväärne ja juhul, kui see ilmselgelt juhtuda ei saa, - võimatu.

Sündmused on nn kokkusobimatu , kui iga kord on võimalik ilmuda ainult üks neist.

Sündmused on nn liigend , kui teatud tingimustel ei välista ühe neist sündmustest teise esinemist sama katse ajal.

Sündmused on nn vastupidine , kui need katsetingimustes on ainsad tulemused kokkusobimatud.

Sündmused on tavaliselt tähistatud ladina tähestiku suurtähtedega: A, B, C, D, : .

Täielik sündmuste süsteem A 1 , A 2 , A 3 , : , A n on kokkusobimatute sündmuste kogum, millest vähemalt ühe esinemine on antud testi käigus kohustuslik.

Kui terviklik süsteem koosneb kahest kokkusobimatust sündmusest, nimetatakse selliseid sündmusi vastupidiseks ja tähistatakse A ja .

Näide. Karbis on 30 nummerdatud palli. Tehke kindlaks, millised järgmistest sündmustest on võimatud, usaldusväärsed või vastupidised:

võttis välja nummerdatud palli (A);

sai paarisarvuga palli (IN);

sai paaritu numbriga palli (KOOS);

sai palli ilma numbrita (D).

Millised neist moodustavad tervikliku rühma?

Lahendus . A- usaldusväärne üritus; D- võimatu sündmus;

Sisse ja KOOS- vastupidised sündmused.

Kogu sündmuste rühm koosneb A Ja D, V Ja KOOS.

Sündmuse tõenäosust peetakse juhusliku sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse mõõdupuuks.

1.4. Klassikaline tõenäosuse määratlus

Nimetatakse arvu, mis väljendab sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse mõõtu tõenäosus seda sündmust ja seda tähistab sümbol R(A).

Definitsioon. Sündmuse tõenäosus A on antud sündmuse toimumist soodustavate tulemuste m suhe A, numbrile n kõik tulemused (ebajärjekindlad, ainult võimalikud ja võrdselt võimalikud), st. .

Seetõttu on sündmuse tõenäosuse leidmiseks vaja, võttes arvesse testi erinevaid tulemusi, arvutada kõik võimalikud vastuolulised tulemused n, valige meid huvitavate tulemuste arv m ja arvutage suhe m To n.

Sellest määratlusest tulenevad järgmised omadused:

Iga testi tõenäosus on mittenegatiivne arv, mis ei ületa ühte.

Tõepoolest, nõutavate sündmuste arv m on vahemikus . Mõlema osa jagamine n, saame

2. Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega, sest .

3. Võimatu sündmuse tõenäosus on null, kuna .

Ülesanne 1. 1000 piletiga loteriis on 200 võitu. Üks pilet võetakse välja juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et see pilet võidab?

Lahendus. Erinevate tulemuste koguarv on n=1000. Võitmiseks soodsate tulemuste arv on m=200. Valemi järgi saame

Ülesanne 2. 18 osast koosnevas partiis on 4 defektset. 5 osa valitakse juhuslikult. Leidke tõenäosus, et kaks neist viiest osast on defektsed.

Lahendus. Kõigi võrdselt võimalike sõltumatute tulemuste arv n võrdne kombinatsioonide arvuga 18 korda 5 st.

Loendame sündmust A soosiva arvu m. 5 juhuslikult võetud osa hulgas peaks olema 3 head ja 2 defektset. Kahe defektse osa valimise võimaluste arv neljast olemasolevast defektsest on võrdne kombinatsioonide arvuga 4 korda 2:

14 saadaoleva kvaliteetse osa hulgast kolme kvaliteetse osa valimise võimaluste arv on võrdne

Mis tahes heade osade rühma saab kombineerida mis tahes defektsete osade rühmaga, seega on kombinatsioonide koguarv m ulatub

Sündmuse A nõutav tõenäosus on võrdne sellele sündmusele soodsate tulemuste m arvu ja kõigi võrdselt võimalike sõltumatute tulemuste arvu n suhtega:

Lõpliku arvu sündmuste summa on sündmus, mis koosneb neist vähemalt ühe toimumisest.

Kahe sündmuse summat tähistatakse sümboliga A+B ja summa n sündmused sümboliga A 1 +A 2 + : +A n.

Tõenäosuste liitmise teoreem.

Kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Järeldus 1. Kui sündmused A 1, A 2, :,A n moodustavad tervikliku süsteemi, siis on nende sündmuste tõenäosuste summa võrdne ühega.

Järeldus 2. Vastandlike sündmuste tõenäosuste summa ja on võrdne ühega.

Ülesanne 1. Loteriipileteid on 100. Teatavasti võidab 5 piletit igaüks 20 000 rubla, 10 piletit 15 000 rubla, 15 piletit 10 000 rubla, 25 piletit 2000 rubla. ja ülejäänu jaoks ei midagi. Leidke tõenäosus, et ostetud pilet saab vähemalt 10 000 rubla võidu.

Lahendus. Olgu A, B ja C sündmused, mis seisnevad selles, et ostetud pilet saab võidu vastavalt 20 000, 15 000 ja 10 000 rubla. kuna sündmused A, B ja C ei ühildu, siis

Ülesanne 2. Tehnikumi kirjavahetusosakond võtab linnadest vastu kontrolltöid matemaatikas A, B Ja KOOS. Tõenäosus saada linnast kontrolltöö A võrdub 0,6, linnast IN- 0,1. Leia tõenäosus, et järgmine katse tuleb linnast KOOS.

Matemaatika hõlmab paljusid valdkondi, millest üks koos algebra ja geomeetriaga on tõenäosusteooria. On termineid, mis on ühised kõigile neile aladele, kuid lisaks neile on ka konkreetseid sõnu, valemeid ja teoreeme, mis on iseloomulikud ainult ühele konkreetsele "nišile".

Väljend "tõenäosusteooria" tekitab ettevalmistamata õpilases paanikat. Tõepoolest, kujutlusvõime joonistab pilte, kus ilmuvad hirmutavad mahukad valemid, ja ühe probleemi lahendamiseks kulub terve märkmik. Praktikas pole aga kõik sugugi nii kohutav: piisab, kui mõistate korra mõne termini tähendust ja süveneda mõneti omapärase arutlusloogika olemusse, et lõpetada ülesannete ees kartmine lõplikult. Sellega seoses käsitleme tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika põhimõisteid - noort, kuid äärmiselt huvitavat teadmistevaldkonda.

Miks õppida mõisteid?

Keele ülesanne on edastada teavet ühelt inimeselt teisele, et ta seda mõistaks, mõistaks ja saaks kasutada. Iga matemaatilist mõistet saab seletada lihtsate sõnadega, kuid sel juhul võtaks andmete vahetamine palju kauem aega. Kujutage ette, et sõna "hüpotenuus" asemel peaksite alati ütlema "täisnurkse kolmnurga pikim külg" - see on äärmiselt ebamugav ja aeganõudev.

Seetõttu mõtlevad inimesed teatud nähtuste ja protsesside jaoks välja uusi termineid. Samamoodi ilmnesid tõenäosusteooria põhimõisted - sündmus, sündmuse tõenäosus jne. See tähendab, et valemite kasutamiseks, probleemide lahendamiseks ja oskuste rakendamiseks elus ei pea te mitte ainult uusi sõnu meeles pidama, vaid ka mõistma, mida igaüks neist tähendab. Mida sügavamalt te neid mõistate, nende tähendusse süvenete, seda laiemaks muutub teie võimete ulatus ja seda täiuslikumalt tajute ümbritsevat maailma.

Mis on objekti tähendus

Tutvume tõenäosusteooria põhimõistetega. Klassikaline tõenäosuse definitsioon on järgmine: see on uurijale sobivate tulemuste suhe võimalike tulemuste koguarvusse. Võtame lihtsa näite: kui inimene viskab täringut, võib see maanduda ükskõik millisele kuuest ülespoole suunatud küljest. Seega on tulemuste koguarv kuus. Tõenäosus, et ilmub juhuslikult valitud pool, on 1/6.

Konkreetse tulemuse ilmnemise ennustamise võime on erinevate spetsialistide jaoks äärmiselt oluline. Kui palju defektseid osi on partiis oodata? See määrab, kui palju peate tootma. Kui suur on tõenäosus, et ravim aitab haigusest üle saada? Selline teave on ülioluline. Kuid ärgem raisakem aega täiendavatele näidetele ja hakakem meie jaoks uut valdkonda uurima.

Esimene tutvus

Vaatleme tõenäosusteooria põhimõisteid ja nende kasutamist. Õigusteaduses, loodusteadustes ja majanduses kasutatakse allpool toodud valemeid ja termineid kõikjal, kuna need on otseselt seotud statistika ja mõõtmisvigadega. Selle probleemi üksikasjalikum uurimine paljastab teile uued valemid, mis on kasulikud täpsemate ja keerukamate arvutuste tegemiseks, kuid alustame lihtsast.

Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika üks elementaarsemaid ja põhimõisteid on juhuslik sündmus. Selgitagem selgete sõnadega: katse kõigist võimalikest tulemustest täheldatakse ainult ühte. Isegi kui selle sündmuse toimumise tõenäosus on oluliselt suurem kui mõnel teisel, on see juhuslik, kuna teoreetiliselt oleks tulemus võinud olla erinev.

Kui viisime läbi rea katseid ja saime teatud arvu tulemusi, arvutatakse nende kõigi tõenäosus järgmise valemi abil: P(A) = m/n. Siin on m, mitu korda katseseerias jälgisime meid huvitava tulemuse ilmumist. Omakorda n on tehtud katsete koguarv. Kui me viskasime münti 10 korda ja saime pead 5 korda, siis m=5 ja n=10.

Sündmuste tüübid

Juhtub, et igas katses jälgitakse teatud tulemust - sellist sündmust nimetatakse usaldusväärseks. Kui seda kunagi ei juhtu, nimetatakse seda võimatuks. Selliseid sündmusi aga tõenäosusteooria ülesannetes ei kasutata. Põhimõisted, mida on palju olulisem teada, on ühised ja mitteühisüritused.

Juhtub, et katse läbiviimisel toimub korraga kaks sündmust. Näiteks viskame kahte täringut – sel juhul ei garanteeri see, et üks viskab “kuue”, et teine ei viska teistsugust numbrit. Selliseid üritusi nimetatakse ühisteks.

Kui viskame ühte täringut, siis ei saa kunagi korraga ilmuda kaks numbrit. Sel juhul loetakse väljalangenud "üks", "kaks" jne tulemusi kokkusobimatuteks sündmusteks. Väga oluline on eristada, millised tulemused igal konkreetsel juhul aset leiavad – see määrab, milliseid valemeid tõenäosuste leidmise ülesandes kasutada. Tõenäosusteooria põhimõistete uurimist jätkame mõni lõik hiljem, kui võtame arvesse liitmise ja korrutamise tunnuseid. Lõppude lõpuks ei saa ilma nendeta lahendada ühtegi probleemi.

Summa ja toode

Oletame, et teie ja sõber veeretate täringut ja nad saavad nelja. Võitmiseks peate saama "viie" või "kuue". Sel juhul tõenäosused liidetakse: kuna mõlema numbri saamise tõenäosus on 1/6, näeb vastus välja nagu 1/6 + 1/6 = 1/3.

Kujutage nüüd ette, et viskate täringut kaks korda ja teie sõber saab 11 punkti. Nüüd peate saama "kuue" kaks korda järjest. Sündmused on üksteisest sõltumatud, seega tuleb tõenäosused korrutada: 1/6 * 1/6 = 1/36.

Tõenäosusteooria põhimõistete ja teoreemide hulgas tuleks tähelepanu pöörata ühissündmuste tõenäosuste summale, st nendele, mis võivad toimuda samaaegselt. Sel juhul näeb liitmisvalem välja järgmine: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Kombinatoorika

Väga sageli peame leidma mõne objekti parameetri kõik võimalikud kombinatsioonid või arvutama mis tahes kombinatsioonide arvu (näiteks šifri valimisel). Selles aitab meid kombinatsiooniteadus, mis on tihedalt seotud tõenäosusteooriaga. Põhimõisted hõlmavad siin uusi sõnu ja tõenäoliselt tulevad kasuks mitmed selle teema valemid.

Oletame, et teil on kolm numbrit: 1, 2, 3. Peate neid kasutama kõigi võimalike kolmekohaliste numbrite kirjutamiseks. Kui palju neid tuleb? Vastus: n! (hüüumärk tähendab faktoriaali). Permutatsioonideks nimetatakse teatud arvu erinevate elementide (numbrid, tähed jne) kombinatsioone, mis erinevad ainult nende paigutuse järjekorra poolest.

Siiski puutume selle olukorraga palju sagedamini kokku: seal on 10 numbrit (nullist üheksani), millest tehakse parool või kood. Oletame, et selle pikkus on 4 tähemärki. Kuidas arvutada võimalike koodide koguarvu? Selle jaoks on spetsiaalne valem: (n!)/(n - m)!

Arvestades ülal pakutud probleemitingimust, n=10, m=4. Lisaks on vaja ainult lihtsaid matemaatilisi arvutusi. Muide, selliseid kombinatsioone nimetatakse paigutuseks.

Lõpuks on kombinatsioonide mõiste - need on järjestused, mis erinevad üksteisest vähemalt ühe elemendi poolest. Nende arv arvutatakse valemiga: (n!) / (m!(n-m)!).

Ootus

Oluline mõiste, millega õpilane juba aine esimestes tundides kokku puutub, on matemaatiline ootus. See on kõigi võimalike saadud väärtuste summa, mis on korrutatud nende tõenäosustega. Põhimõtteliselt on see keskmine arv, mida saame testi tulemuseks ennustada. Näiteks on kolm väärtust, mille tõenäosused on näidatud sulgudes: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Arvutame matemaatilise ootuse: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Seega on pakutud avaldisest näha, et see väärtus on konstantne ega sõltu testi tulemusest.

Seda mõistet kasutatakse paljudes valemites ja tulevikus kohtate seda mitu korda. Sellega töötamine pole keeruline: summa matemaatiline ootus on võrdne mati summaga. ootused - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Sama kehtib ka toote kohta: M(XY) = M(X) * M(Y).

Dispersioon

Ilmselt mäletate oma kooli füüsikakursusest, et hajumine hajub. Milline on selle koht tõenäosusteooria põhimõistete hulgas?

Vaadake kahte näidet. Ühel juhul on meile antud: 10(0,2); 20(0,6); 30(0,2). Teises - 0(0,2); 20(0,6); 40(0,2). Matemaatiline ootus on mõlemal juhul sama, kuidas siis neid olukordi võrrelda? Lõppude lõpuks näeme palja silmaga, et väärtuste levik on teisel juhul palju suurem.

Seetõttu võeti kasutusele dispersiooni mõiste. Selle saamiseks on vaja iga juhusliku suuruse ja matemaatilise ootuse erinevuste summast välja arvutada matemaatiline ootus. Võtame eelmises lõigus kirjutatud esimese näite numbrid.

Kõigepealt arvutame matemaatilise ootuse: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Seejärel dispersiooni väärtus: D(X) = 40.

Teine statistika ja tõenäosusteooria põhikontseptsioon on standardhälve. Seda on väga lihtne arvutada: peate lihtsalt võtma dispersiooni ruutjuure.

Siin võib märkida ka sellise lihtsa termini nagu ulatus. See on väärtus, mis tähistab erinevust proovi maksimaalsete ja minimaalsete väärtuste vahel.

Statistika

Mõnda põhikooli mõistet kasutatakse loodusteadustes väga sageli. Kaks neist on aritmeetiline keskmine ja mediaan. Kindlasti mäletate, kuidas nende tähendusi leida. Kuid igaks juhuks tuletame teile meelde: aritmeetiline keskmine on kõigi väärtuste summa, mis on jagatud nende arvuga. Kui väärtusi on 10, liidame need kokku ja jagame 10-ga.

Mediaan on kõigi võimalike väärtuste keskne väärtus. Kui meil on paaritu arv koguseid, siis kirjutame need üles kasvavas järjekorras ja valime selle, mis on keskel. Kui meil on paarisarv väärtusi, võtame kesksed kaks ja jagame kahega.

Veel kahte väärtust, mis asuvad komplekti mediaani ja kahe äärmise - maksimaalse ja minimaalse - väärtuse vahel, nimetatakse kvartiilideks. Neid arvutatakse samamoodi - kui elementide arv on paaritu, siis võetakse rea keskel asuv arv ja paaris elementide arvu korral võetakse pool kahe keskse elemendi summast.

Samuti on spetsiaalne graafik, millel näete kõiki valimi väärtusi, selle vahemikku, mediaani, kvartiilide intervalli, aga ka kõrvalekaldeid - väärtusi, mis ei sobi statistilise veaga. Saadud pildil on väga konkreetne (ja isegi mittematemaatiline) nimi - "vuntsidega kast".

Levitamine

Jaotus on seotud ka tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika põhimõistetega. Lühidalt öeldes esindab see üldistatud teavet kõigi juhuslike muutujate kohta, mida saame testi tulemusena näha. Peamine parameeter on siin iga konkreetse väärtuse esinemise tõenäosus.

Normaaljaotus on selline, millel on üks keskne tipp, mis sisaldab kõige sagedamini esinevat väärtust. Üha vähem tõenäolised tulemused erinevad sellest kaarekujuliselt. Üldiselt näeb graafik väljastpoolt välja nagu "slaid". Hiljem saate teada, et seda tüüpi jaotus on tihedalt seotud tõenäosusteooria põhilise piiriteoreemiga. See kirjeldab meie vaadeldava matemaatikaharu olulisi mustreid, mis on erinevates arvutustes väga kasulikud.

Aga tuleme teema juurde tagasi. Jaotusi on veel kahte tüüpi: asümmeetriline ja multimodaalne. Esimene näeb välja nagu pool "tavalisest" graafikust, st kaar laskub tippväärtusest ainult ühes suunas. Lõpuks on multimodaalne jaotus selline, milles on mitu "ülemist" väärtust. Seega graafik kas langeb või tõuseb. Mis tahes jaotuse kõige sagedasemat väärtust nimetatakse režiimiks. See on ka üks tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika põhimõisteid.

Gaussi jaotus

Gaussi ehk normaaljaotus on jaotus, mille puhul vaatluste kõrvalekalle keskmisest järgib teatud seadust.

Lühidalt öeldes kaldub valimiväärtuste peamine levik eksponentsiaalselt režiimi poole - neist kõige sagedamini. Täpsemalt, 99,6% kõigist väärtustest asuvad kolme standardhälbe piires (pidage meeles, et me arutasime seda kontseptsiooni eespool?).

Gaussi jaotus on tõenäosusteooria üks põhimõisteid. Seda kasutades saate aru, kas element kuulub teatud parameetrite järgi kategooriasse "tüüpiline" - nii hinnatakse inimese pikkust ja kaalu vastavalt vanusele, intellektuaalse arengu tasemele, psühholoogilisele seisundile ja paljule muule. .

Kuidas taotleda

Huvitav on see, et "igavaid" matemaatilisi andmeid saab teie eeliseks kasutada. Näiteks kasutas üks noormees tõenäosusteooriat ja statistikat, et võita ruletis mitu miljonit dollarit. Tõsi, enne seda pidin valmistuma - mitu kuud pidin erinevates kasiinodes mängude tulemusi salvestama.

Pärast analüüsi teostamist avastas ta, et üks tabelitest on veidi viltu, mis tähendab, et mitmed väärtused ilmuvad statistiliselt oluliselt sagedamini kui teised. Natuke kalkuleerimist ja kannatust – ja nüüd kratsivad asutuse omanikud kukalt, imestades, kuidas küll saab inimesel nii vedada.

On terve rida igapäevaseid igapäevaprobleeme, mida ei saa lahendada ilma statistikat kasutamata. Näiteks kuidas määrata, kui palju riideid peaks kauplus tellima erinevates suurustes: S, M, L, XL? Selleks tuleb analüüsida, kes kõige sagedamini ostab riideid linnas, piirkonnas, lähedal asuvatest kauplustest. Kui sellist teavet ei saada, võib omanik kaotada palju raha.

Järeldus

Vaatlesime tervet rida tõenäosusteooria põhimõisteid: test, sündmus, permutatsioonid ja paigutused, eeldatav väärtus ja dispersioon, mood ja normaaljaotus... Lisaks vaatlesime mitmeid valemeid, mis võtavad rohkem kui kuu aega klassid kõrgkooli õppima.

Ärge unustage: matemaatika on vajalik majanduse, loodusteaduste, infotehnoloogia ja tehnika õppimisel. Siin ei saa tähelepanuta jätta ka statistikat kui üht selle valdkonda.

Nüüd on asi väikestes asjades: harjutamine, probleemide ja näidete lahendamine. Isegi tõenäosusteooria põhimõisted ja definitsioonid ununevad, kui ülevaatamiseks aega ei leia. Lisaks tuginevad järgnevad valemid suuresti nendele, mida oleme kaalunud. Seetõttu proovige neid meeles pidada, eriti kuna neid pole palju.