vibraciones libres se llevan a cabo bajo la influencia de fuerzas internas del sistema después de que el sistema ha sido retirado de su posición de equilibrio.
Con el fin de Las vibraciones libres ocurren de acuerdo con la ley armónica, es necesario que la fuerza que tiende a devolver el cuerpo a la posición de equilibrio sea proporcional al desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio y se dirija en la dirección opuesta al desplazamiento (ver §2.1 ):
Las fuerzas de cualquier otra naturaleza física que satisfacen esta condición se llaman casi elástico .
Por tanto, una carga de cierta masa metro, unido al resorte de refuerzo k, cuyo segundo extremo está fijo (Fig. 2.2.1), constituyen un sistema capaz de realizar oscilaciones armónicas libres en ausencia de fricción. Una carga sobre un resorte se llama armónico lineal oscilador.
La frecuencia circular ω 0 de las oscilaciones libres de una carga sobre un resorte se encuentra a partir de la segunda ley de Newton:
Con un sistema de carga de resorte horizontal, la fuerza de gravedad aplicada a la carga se compensa con la fuerza de reacción del soporte. Si la carga está suspendida sobre un resorte, entonces la fuerza de gravedad se dirige a lo largo de la línea de movimiento de la carga. En la posición de equilibrio, el resorte se estira una cantidad incógnita 0 igual
Por lo tanto, la segunda ley de Newton para una carga sobre un resorte se puede escribir como
La ecuación (*) se llama ecuación de vibraciones libres . Cabe señalar que las propiedades físicas del sistema oscilatorio. determinar solo la frecuencia natural de las oscilaciones ω 0 o el período t . Parámetros del proceso de oscilación como la amplitud. incógnita my la fase inicial φ 0 están determinadas por la forma en que el sistema salió del equilibrio en el momento inicial.
Si, por ejemplo, la carga se desplazó de la posición de equilibrio una distancia Δ yo y luego en un momento dado t= 0 liberado sin velocidad inicial, entonces incógnita metro = Δ yo, φ 0 = 0.
Si a la carga, que estaba en la posición de equilibrio, se le dio una velocidad inicial ± υ 0 con la ayuda de un empujón brusco, entonces
Así, la amplitud incógnita Se determinan m oscilaciones libres y su fase inicial φ 0. condiciones iniciales .
Existen muchos tipos de sistemas oscilatorios mecánicos que utilizan fuerzas de deformación elástica. En la figura. La Figura 2.2.2 muestra el análogo angular de un oscilador armónico lineal. Un disco ubicado horizontalmente cuelga de un hilo elástico unido a su centro de masa. Cuando el disco gira un ángulo θ, se produce un momento de fuerza. METRO control de la deformación elástica por torsión:
Dónde I = I C es el momento de inercia del disco con respecto al eje que pasa por el centro de masa, ε es la aceleración angular.
Por analogía con una carga sobre un resorte, se puede obtener:
Vibraciones libres. Péndulo matemático
Péndulo matemático Se llama cuerpo pequeño suspendido de un hilo delgado e inextensible, cuya masa es insignificante en comparación con la masa del cuerpo. En la posición de equilibrio, cuando el péndulo cuelga a plomo, la fuerza de gravedad se equilibra con la fuerza de tensión del hilo. Cuando el péndulo se desvía de la posición de equilibrio en un cierto ángulo φ, aparece una componente tangencial de la gravedad. F τ = - mg pecado φ (Fig. 2.3.1). El signo menos en esta fórmula significa que la componente tangencial está dirigida en dirección opuesta a la desviación del péndulo.
Si denotamos por incógnita desplazamiento lineal del péndulo desde la posición de equilibrio a lo largo de un arco de círculo de radio yo, entonces su desplazamiento angular será igual a φ = incógnita / yo. La segunda ley de Newton, escrita para las proyecciones de los vectores de aceleración y fuerza en la dirección de la tangente, da:
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Esta relación muestra que un péndulo matemático es un complejo no lineal sistema, ya que la fuerza que tiende a devolver el péndulo a la posición de equilibrio no es proporcional al desplazamiento incógnita, A
Sólo en caso pequeñas fluctuaciones, cuando aproximadamente puede ser reemplazado por un péndulo matemático es un oscilador armónico, es decir, un sistema capaz de realizar oscilaciones armónicas. En la práctica, esta aproximación es válida para ángulos del orden de 15-20°; en este caso, el valor difiere no más del 2%. Las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes no son armónicas.
Para pequeñas oscilaciones de un péndulo matemático, la segunda ley de Newton se escribe como
Esta fórmula expresa frecuencia natural de pequeñas oscilaciones de un péndulo matemático .
Por eso,
|
Cualquier cuerpo montado sobre un eje de rotación horizontal es capaz de realizar oscilaciones libres en un campo gravitacional y, por tanto, también es un péndulo. A este tipo de péndulo se le suele llamar físico (Figura 2.3.2). Se diferencia del matemático sólo en la distribución de masas. En una posición de equilibrio estable, el centro de masa do el péndulo físico se encuentra debajo del eje de rotación O en la vertical que pasa por el eje. Cuando el péndulo se desvía en un ángulo φ, surge un momento de gravedad que tiende a devolver el péndulo a la posición de equilibrio:
y la segunda ley de Newton para un péndulo físico toma la forma (ver §1.23)
Aquí ω 0 - Frecuencia natural de pequeñas oscilaciones de un péndulo físico. .
Por eso,
Por lo tanto, la ecuación que expresa la segunda ley de Newton para un péndulo físico se puede escribir en la forma
Finalmente, para la frecuencia circular ω 0 de oscilaciones libres de un péndulo físico se obtiene la siguiente expresión:
|
Conversiones de energía durante vibraciones mecánicas libres.
Durante las vibraciones mecánicas libres, las energías cinética y potencial cambian periódicamente. En la desviación máxima de un cuerpo de su posición de equilibrio, su velocidad y, por tanto, su energía cinética desaparecen. En esta posición, la energía potencial del cuerpo oscilante alcanza su valor máximo. Para una carga sobre un resorte, la energía potencial es la energía de deformación elástica del resorte. Para un péndulo matemático, esta es la energía en el campo gravitacional de la Tierra.
Cuando un cuerpo en su movimiento pasa por la posición de equilibrio, su velocidad es máxima. El cuerpo sobrepasa la posición de equilibrio según la ley de inercia. En este momento tiene máxima energía cinética y mínima energía potencial. Un aumento de la energía cinética se produce debido a una disminución de la energía potencial. Con mayor movimiento, la energía potencial comienza a aumentar debido a una disminución de la energía cinética, etc.
Así, durante las oscilaciones armónicas se produce una transformación periódica de energía cinética en energía potencial y viceversa.
Si no hay fricción en el sistema oscilatorio, entonces la energía mecánica total durante las oscilaciones libres permanece sin cambios.
Para carga de resorte(ver §2.2):
En condiciones reales, cualquier sistema oscilatorio está bajo la influencia de fuerzas de fricción (resistencia). En este caso, parte de la energía mecánica se convierte en energía interna del movimiento térmico de átomos y moléculas, y las vibraciones se vuelven desvanecimiento (Figura 2.4.2).
La velocidad a la que decaen las vibraciones depende de la magnitud de las fuerzas de fricción. Intervalo de tiempo τ durante el cual la amplitud de las oscilaciones disminuye en mi≈ 2,7 veces, llamado tiempo de decaimiento .
La frecuencia de las oscilaciones libres depende de la velocidad a la que decaen las oscilaciones. A medida que aumentan las fuerzas de fricción, la frecuencia natural disminuye. Sin embargo, el cambio en la frecuencia natural sólo se nota con fuerzas de fricción suficientemente grandes, cuando las vibraciones naturales decaen rápidamente.
Una característica importante de un sistema oscilatorio que realiza oscilaciones libres amortiguadas es factor de calidad q. Este parámetro se define como un número. norte oscilaciones totales realizadas por el sistema durante el tiempo de amortiguación τ, multiplicadas por π:
Así, el factor de calidad caracteriza la pérdida relativa de energía en el sistema oscilatorio debido a la presencia de fricción durante un intervalo de tiempo igual a un período de oscilación.
Vibraciones forzadas. Resonancia. Autooscilaciones
Las oscilaciones que ocurren bajo la influencia de una fuerza periódica externa se llaman forzado.
Una fuerza externa realiza un trabajo positivo y proporciona un flujo de energía al sistema oscilatorio. No permite que las vibraciones desaparezcan, a pesar de la acción de las fuerzas de fricción.
Una fuerza externa periódica puede cambiar con el tiempo según varias leyes. De particular interés es el caso cuando una fuerza externa, que varía según una ley armónica con una frecuencia ω, actúa sobre un sistema oscilatorio capaz de realizar sus propias oscilaciones a una determinada frecuencia ω 0.
Si las oscilaciones libres ocurren a una frecuencia ω 0, que está determinada por los parámetros del sistema, entonces las oscilaciones forzadas constantes siempre ocurren en frecuencia ω fuerza externa.
Después de que la fuerza externa comienza a actuar sobre el sistema oscilatorio, algún tiempo Δ t para establecer oscilaciones forzadas. El tiempo de establecimiento es, en orden de magnitud, igual al tiempo de amortiguación τ de las oscilaciones libres en el sistema oscilatorio.
En el momento inicial, ambos procesos se excitan en el sistema oscilatorio: oscilaciones forzadas a la frecuencia ω y oscilaciones libres a la frecuencia natural ω 0. Pero las vibraciones libres se amortiguan debido a la inevitable presencia de fuerzas de fricción. Por lo tanto, después de un tiempo, en el sistema oscilatorio solo quedan oscilaciones estacionarias a la frecuencia ω de la fuerza impulsora externa.
Consideremos, como ejemplo, las oscilaciones forzadas de un cuerpo sobre un resorte (figura 2.5.1). Se aplica una fuerza externa al extremo libre del resorte. Obliga al extremo libre (izquierdo en la Fig. 2.5.1) del resorte a moverse de acuerdo con la ley.
Si el extremo izquierdo del resorte se desplaza una distancia y, y el correcto - a la distancia incógnita desde su posición original, cuando el resorte no estaba deformado, entonces el alargamiento del resorte Δ yo es igual a:
En esta ecuación, la fuerza que actúa sobre un cuerpo se representa como dos términos. El primer término del lado derecho es la fuerza elástica que tiende a devolver el cuerpo a la posición de equilibrio ( incógnita= 0). El segundo término es el efecto periódico externo sobre el cuerpo. Este término se llama fuerza coercitiva.
A la ecuación que expresa la segunda ley de Newton para un cuerpo sobre un resorte en presencia de una influencia periódica externa se le puede dar una forma matemática estricta si tenemos en cuenta la relación entre la aceleración del cuerpo y su coordenada: Entonces se escribirá en la forma
La ecuación (**) no tiene en cuenta la acción de las fuerzas de fricción. A diferencia de ecuaciones de vibraciones libres(*) (ver §2.2) ecuación de oscilación forzada(**) contiene dos frecuencias: la frecuencia ω 0 de oscilaciones libres y la frecuencia ω de la fuerza impulsora.
Las oscilaciones forzadas en estado estacionario de una carga sobre un resorte ocurren con la frecuencia de la influencia externa de acuerdo con la ley
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Amplitud de oscilaciones forzadas. incógnita m y la fase inicial θ dependen de la relación de frecuencias ω 0 y ω y de la amplitud y m fuerza externa.
A frecuencias muy bajas, cuando ω<< ω 0 , движение тела массой metro, unido al extremo derecho del resorte, repite el movimiento del extremo izquierdo del resorte. Al mismo tiempo incógnita(t) = y(t), y el resorte queda prácticamente sin deformar. Una fuerza externa aplicada al extremo izquierdo del resorte no realiza ningún trabajo, ya que el módulo de esta fuerza en ω<< ω 0 стремится к нулю.
Si la frecuencia ω de la fuerza externa se acerca a la frecuencia natural ω 0, se produce un fuerte aumento en la amplitud de las oscilaciones forzadas. Este fenómeno se llama resonancia . Dependencia de amplitud incógnita m oscilaciones forzadas de la frecuencia ω de la fuerza impulsora se llama característica resonante o curva de resonancia(Figura 2.5.2).
En resonancia, la amplitud incógnita m las oscilaciones de la carga pueden ser muchas veces mayores que la amplitud y m vibraciones del extremo libre (izquierdo) del resorte causadas por influencias externas. En ausencia de fricción, la amplitud de las oscilaciones forzadas durante la resonancia debería aumentar sin límite. En condiciones reales, la amplitud de las oscilaciones forzadas en estado estacionario está determinada por la condición: el trabajo de una fuerza externa durante el período de oscilación debe ser igual a la pérdida de energía mecánica durante el mismo tiempo debido a la fricción. Cuanto menor sea la fricción (es decir, mayor será el factor de calidad) q sistema oscilatorio), mayor será la amplitud de las oscilaciones forzadas en resonancia.
En sistemas oscilatorios con factor de calidad no muy alto (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
El fenómeno de la resonancia puede provocar la destrucción de puentes, edificios y otras estructuras si las frecuencias naturales de sus oscilaciones coinciden con la frecuencia de una fuerza que actúa periódicamente, que surge, por ejemplo, debido a la rotación de un motor desequilibrado.
Las vibraciones forzadas son sin amortiguar fluctuaciones. Las inevitables pérdidas de energía debidas a la fricción se compensan mediante el suministro de energía de una fuente externa de fuerza que actúa periódicamente. Hay sistemas en los que las oscilaciones no amortiguadas surgen no debido a influencias externas periódicas, sino como resultado de la capacidad de dichos sistemas para regular el suministro de energía de una fuente constante. Este tipo de sistemas se denominan autooscilante, y el proceso de oscilaciones no amortiguadas en tales sistemas es autooscilaciones . En un sistema autooscilante se pueden distinguir tres elementos característicos: un sistema oscilatorio, una fuente de energía y un dispositivo de retroalimentación entre el sistema oscilatorio y la fuente. Como sistema oscilatorio se puede utilizar cualquier sistema mecánico capaz de realizar sus propias oscilaciones amortiguadas (por ejemplo, el péndulo de un reloj de pared).
La fuente de energía puede ser la energía de deformación de un resorte o la energía potencial de una carga en un campo gravitacional. Un dispositivo de retroalimentación es un mecanismo mediante el cual un sistema autooscilante regula el flujo de energía de una fuente. En la figura. 2.5.3 muestra un diagrama de la interacción de varios elementos de un sistema autooscilante.
Un ejemplo de un sistema mecánico autooscilante es un mecanismo de reloj con ancla progreso (Fig. 2.5.4). La rueda dentada con dientes oblicuos está rígidamente unida a un tambor dentado, a través del cual se lanza una cadena con un peso. En el extremo superior del péndulo se fija. ancla(ancla) con dos placas de material sólido, dobladas formando un arco circular con el centro en el eje del péndulo. En los relojes de mano, el peso se reemplaza por un resorte y el péndulo se reemplaza por un equilibrador, un volante unido a un resorte en espiral. El equilibrador realiza vibraciones de torsión alrededor de su eje. El sistema oscilatorio de un reloj es un péndulo o equilibrador.
La fuente de energía es un peso elevado o un resorte enrollado. El dispositivo utilizado para proporcionar retroalimentación es un ancla, que permite que la rueda gire un diente en medio ciclo. La retroalimentación la proporciona la interacción del ancla con la rueda. Con cada oscilación del péndulo, un diente de la rueda empuja la horquilla del ancla en la dirección del movimiento del péndulo, transfiriéndole una cierta porción de energía, que compensa las pérdidas de energía debidas a la fricción. Así, la energía potencial del peso (o resorte torcido) se transfiere gradualmente, en porciones separadas, al péndulo.
Los sistemas mecánicos autooscilantes están muy extendidos en la vida que nos rodea y en la tecnología. Las autooscilaciones se producen en máquinas de vapor, motores de combustión interna, campanas eléctricas, cuerdas de instrumentos musicales de arco, columnas de aire en los tubos de instrumentos de viento, cuerdas vocales al hablar o cantar, etc.
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| Figura 2.5.4. Mecanismo de reloj con péndulo. |
Problema de física - 4424
2017-10-21
Un resorte liviano de rigidez $k$ está unido a un bloque de masa $m$ que se encuentra en un plano horizontal, cuyo segundo extremo está fijo de manera que el resorte no se deforme y su eje es horizontal y pasa por el centro del masa del bloque El bloque se mezcla a lo largo del eje del resorte a una distancia $ \Delta L$ y se suelta sin velocidad inicial. Encuentre la velocidad máxima del bloque si su coeficiente de fricción en el plano es $\mu$.
Solución:
Supondremos que para un desplazamiento dado del bloque, la deformación del resorte es completamente elástica. Entonces, con base en la ley de Hooke, podemos suponer que el bloque del lado del resorte en el momento de soltarse es afectado por una fuerza $F_(pr) = k \Delta L$, dirigida horizontalmente a lo largo del eje del resorte. . La fuerza de reacción del plano que actúa sobre el bloque se puede representar como dos componentes: perpendicular y paralela a este plano. La magnitud de la componente normal de la fuerza de reacción $N$ se puede determinar sobre la base de la segunda ley de Newton, suponiendo que el sistema de referencia estacionario con respecto a este plano es inercial y el bloque solo puede moverse a lo largo de este plano. Despreciando la acción del aire sobre el bloque, obtenemos: $N - mg = 0$, donde $g$ es la magnitud de la aceleración gravitacional Según la ley de Coulomb, con un bloque estacionario, el valor máximo de la componente paralela de. la fuerza de reacción (la fuerza de fricción estática seca) es igual a $\mu N $. Por lo tanto, para $k \Delta L \leq \mu mg$ el bloque debe permanecer inmóvil después de soltarse. Pero si $k \Delta L >. \mu mg$, luego de soltarlo, el bloque comenzará a moverse con cierta aceleración ya que la línea de acción de la fuerza es el lado del resorte que pasa por el centro de masa del bloque y la fuerza de fricción se dirige en dirección opuesta a él. velocidad, el bloque se moverá traslacionalmente, la deformación del resorte disminuirá y, por lo tanto, la aceleración del bloque también debería disminuir en el momento en que la suma de las fuerzas que actúan sobre el bloque se vuelva cero, la velocidad del bloque será máxima si, como de costumbre, asumimos que la magnitud de la fuerza de fricción por deslizamiento seco no depende de la velocidad y es igual al valor máximo de la fuerza de fricción estática seca, entonces, de acuerdo con la condición del problema, la masa del resorte, la magnitud de la deformación $\Delta x $ resortes en el momento que nos interesa se pueden calcular fácilmente a partir de la relación $k \Delta x = \mu mg$. Recordando las expresiones para calcular la energía cinética de un cuerpo sólido en movimiento traslacional, la energía potencial de un resorte deformado elásticamente, y teniendo en cuenta que el desplazamiento del bloque en este momento será igual a $\Delta L - \Delta x$ , con base en la ley del cambio de energía mecánica, podemos afirmar que la velocidad máxima es $v_(max)$ del bloque debe satisfacer la ecuación:
$\frac(k \Delta L^(2))(2) = \frac(k \Delta x^(2))(2) + \frac(mv_(max)^(2))(2) + \ mu mg (\Delta L - \Delta x)$.
De lo anterior se deduce que la velocidad máxima del bloque según los supuestos realizados debe ser igual a
$v_(max) = \begin(cases) 0, & \text(at) k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt( \frac(k)(m)) \left (\Delta L - \ frac( \mu mg)(k) \right) & \text(at) k \Delta L > \mu mg \end(cases)$.
Candidato de Ciencias Físicas y Matemáticas V. POGOZHEV.
(Fin. Inicio ver "Ciencia y Vida" No.)
Publicamos la última parte de los problemas sobre el tema "Mecánica". El próximo artículo estará dedicado a las fluctuaciones y las ondas.
Problema 4 (1994). Desde una colina que se convierte suavemente en un plano horizontal, desde una altura h una pequeña arandela lisa de masa se desliza metro. Un tobogán móvil suave con una masa de METRO y altura norte> h. Las secciones de las correderas por un plano vertical que pasa por los centros de masa del disco y la corredera móvil tienen la forma que se muestra en la figura. ¿Cuál es la altura máxima? incógnita¿Puede un disco trepar por un tobogán estacionario después de deslizarse fuera del tobogán en movimiento por primera vez?
Solución. El tobogán en el que se encontraba originalmente el disco está, según las condiciones del problema, inmóvil y, por tanto, rígidamente unido a la Tierra. Si, como se suele hacer al resolver este tipo de problemas, tenemos en cuenta únicamente las fuerzas de interacción entre el disco y el carro y la fuerza de gravedad, el problema planteado se puede resolver utilizando las leyes de conservación de la energía mecánica y del momento. El sistema de referencia de laboratorio, como ya se señaló al resolver problemas anteriores (ver “Ciencia y Vida” No.), puede considerarse inercial. Dividiremos la solución del problema en tres etapas. En la primera etapa, el disco comienza a deslizarse desde el tobogán estacionario, en la segunda interactúa con el tobogán móvil y, por último, sube por el tobogán estacionario. De las condiciones del problema y las suposiciones hechas, se deduce que el disco y la corredera móvil sólo pueden moverse traslacionalmente de modo que sus centros de masa permanezcan siempre en el mismo plano vertical.
Teniendo en cuenta lo anterior y el hecho de que el disco es liso, el sistema "Tierra con tobogán estacionario - disco" durante la primera etapa debe considerarse aislado y conservador. Por tanto, según la ley de conservación de la energía mecánica, la energía cinética de la lavadora W. k = mv 1 2 /2 cuando se mueve a lo largo de un plano horizontal después de deslizarse cuesta abajo debe ser igual a mgh, Dónde gramo- la magnitud de la aceleración de la caída libre.
Durante la segunda etapa, el disco primero comenzará a elevarse a lo largo del tobogán móvil y luego, al alcanzar una cierta altura, se deslizará fuera de él. Esta afirmación se deriva del hecho de que como resultado de la interacción del disco con el carro móvil, este último, como ya se mencionó, al final de la segunda etapa debe avanzar a una cierta velocidad. tu, alejándose del carro estacionario, es decir, en la dirección de la velocidad v 1 disco al final de la primera etapa. Por lo tanto, incluso si la altura del tobogán móvil fuera igual h, el disco no podría pasarlo. Teniendo en cuenta que la fuerza de reacción del plano horizontal sobre un tobogán en movimiento, así como las fuerzas gravitacionales que actúan sobre este tobogán y el disco, se dirigen verticalmente, con base en la ley de conservación del impulso, se puede argumentar que la proyección v 2 velocidades de disco al final de la segunda etapa por dirección de velocidad v 1 disco al final de la primera etapa debe satisfacer la ecuación
mυ 1 = mυ 2 + M Y (1)
Por otro lado, según la ley de conservación de la energía mecánica, las velocidades indicadas están relacionadas por la relación
, (2)
ya que el sistema “Tierra - tobogán móvil - disco” resulta aislado y conservador bajo los supuestos planteados, y su energía potencial al inicio y al final de la segunda etapa es la misma. Teniendo en cuenta que después de interactuar con un tobogán en movimiento, la velocidad del disco en el caso general debería cambiar ( v 1 - v 2 ≠ 0), y usando la fórmula para la diferencia de los cuadrados de dos cantidades, de las relaciones (1) y (2) obtenemos
υ1 + υ2 = Y (3)
y luego a partir de (3) y (1) determinamos la proyección de la velocidad del disco al final de la segunda etapa sobre la dirección de su velocidad antes del inicio de la interacción con el tobogán en movimiento.
De la relación (4) está claro que v 1 ≠ v 2 en metro≠ METRO y el disco se moverá a la diapositiva estacionaria después de deslizarse desde la móvil solo cuando metro< METRO.
Aplicando nuevamente la ley de conservación de la energía mecánica para el sistema “Tierra con tobogán estacionario - disco”, determinamos la altura máxima de elevación del disco a lo largo del tobogán estacionario. incógnita =v 2 2 /2gramo. Después de simples transformaciones algebraicas, la respuesta final se puede representar como
Problema 5(1996). Un bloque liso de masa que se encuentra en un plano horizontal. METRO unido a una pared vertical con un resorte de refuerzo ligero k. Con un resorte no deformado, el extremo del bloque toca la cara del cubo, la masa metro de los cuales hay mucho menos METRO. El eje del resorte es horizontal y se encuentra en un plano vertical que pasa por los centros de masa del cubo y del bloque. Al mover el bloque, el resorte se comprime a lo largo de su eje en una cantidad ∆ incógnita, tras lo cual el bloque se suelta sin velocidad inicial. ¿Qué distancia se moverá el cubo después de un impacto idealmente elástico si el coeficiente de fricción del cubo sobre el plano es suficientemente pequeño e igual a μ?
Solución. Supondremos que se cumplen los supuestos estándar: el marco de referencia del laboratorio, con respecto al cual todos los cuerpos estaban inicialmente en reposo, es inercial, y los cuerpos considerados solo se ven afectados por las fuerzas de interacción entre ellos y las fuerzas de gravedad. , y, además, el plano de contacto entre el bloque y el cubo es perpendicular al eje del resorte. Luego, teniendo en cuenta la posición del eje del resorte y los centros de masa del bloque y del cubo especificados en la condición, podemos suponer que estos cuerpos solo pueden moverse traslacionalmente.
Después de soltarlo, el bloque comienza a moverse bajo la acción de un resorte comprimido. En el momento en que el bloque toca el cubo, según las condiciones del problema, el resorte debería quedar sin deformar. Como el bloque es liso y se mueve a lo largo de un plano horizontal, las fuerzas de gravedad y la reacción del plano no actúan sobre él. Por condición, se puede despreciar la masa del resorte (y por tanto la energía cinética de sus partes móviles). En consecuencia, la energía cinética de un bloque que se mueve traslacionalmente en el momento en que toca el cubo debe ser igual a la energía potencial del resorte en el momento en que se suelta el bloque y, por lo tanto, la velocidad del bloque en este momento debe ser igual a .
Cuando el bloque toca el cubo, chocan. En este caso, la fuerza de fricción que actúa sobre el cubo varía de cero a m. mg, Dónde gramo- la magnitud de la aceleración de la caída libre. Suponiendo, como de costumbre, que el tiempo de colisión entre el bloque y el cubo es corto, podemos despreciar el impulso de la fuerza de fricción que actúa sobre el cubo desde el lado del plano en comparación con el impulso de la fuerza que actúa sobre el cubo desde el lado del bloque durante el impacto. Dado que el desplazamiento del bloque durante el impacto es pequeño, y en el momento del contacto con el cubo el resorte, según las condiciones del problema, no se deforma, suponemos que el resorte no actúa sobre el bloque durante la colisión. . Por lo tanto, se puede suponer que el sistema "bloque-cubo" está cerrado durante una colisión. Entonces, de acuerdo con la ley de conservación del impulso, la relación debe cumplirse
METROv= METRO Ud. + metro tú, (1)
Dónde Ud. Y tu- respectivamente, la velocidad del bloque y del cubo inmediatamente después de la colisión. El trabajo realizado por las fuerzas de gravedad y la componente normal de las fuerzas de reacción del plano que actúan sobre el cubo y el bloque es igual a cero (estas fuerzas son perpendiculares a sus posibles desplazamientos), el impacto del bloque sobre el cubo es Idealmente elástico, y debido a la corta duración de la colisión, el desplazamiento del cubo y el bloque (y por lo tanto las fuerzas de fricción de trabajo y la deformación del resorte) pueden despreciarse. Por lo tanto, la energía mecánica del sistema considerado debe permanecer sin cambios y la igualdad se cumple.
M υ 2 /2 = MU 2 /2 + mi 2 /2 (2)
Habiendo determinado a partir de (1) la velocidad del bloque Ud. y sustituyéndolo en (2), obtenemos 2 METROvu=(METRO+metro)tu 2 , y ya que según las condiciones del problema metro << METRO, entonces 2 vu=tu 2. De aquí, teniendo en cuenta la posible dirección del movimiento, se deduce que después de la colisión el cubo adquiere una velocidad cuyo valor es
(3)
y la velocidad del bloque permanecerá sin cambios e igual v. Por lo tanto, después del impacto, la velocidad del cubo debe ser el doble de la velocidad del bloque. Por lo tanto, después de un impacto sobre el cubo en dirección horizontal hasta que se detiene, solo actúa la fuerza de fricción por deslizamiento μ. mg y, por lo tanto, el cubo se moverá igualmente lento con aceleración μ gramo. Después de una colisión, el bloque sólo se ve afectado en dirección horizontal por la fuerza elástica del resorte (el bloque es liso). En consecuencia, la velocidad del bloque cambia según una ley armónica, y mientras el cubo se mueve, está por delante del bloque. De lo anterior se deduce que el bloque puede moverse desde su posición de equilibrio una distancia ∆ incógnita. Si el coeficiente de fricción μ es lo suficientemente pequeño, el bloque no volverá a chocar con el cubo y, por lo tanto, el desplazamiento deseado del cubo debe ser
l = Y 2 / 2μg = 2 k(∆x)2/μ METRO gramo.
Comparando esta distancia con ∆ incógnita, encontramos que la respuesta dada es correcta para μ ≤ 2 k ∆incógnita/mg
Problema 6(2000). En el borde de una tabla que se encuentra en un plano horizontal liso, coloque una pequeña arandela, cuya masa es k veces menor que la masa del tablero. Con un clic, el disco recibe velocidad dirigida hacia el centro del tablero. Si esta velocidad es mayor tu, luego el disco se desliza fuera del tablero. ¿A qué velocidad se moverá la tabla si la velocidad del disco es norte veces más tu (norte> 1)?
Solución. Al resolver el problema, como de costumbre, ignoraremos la influencia del aire y supondremos que el sistema de referencia asociado con la mesa es inercial y que el disco se mueve traslacionalmente después del impacto. Tenga en cuenta que esto sólo es posible si la línea de acción del impulso de fuerza externa y el centro de masa del disco se encuentran en el mismo plano vertical. Dado que, según las condiciones del problema, el disco a una velocidad inicial menor que tu, no se desliza fuera del tablero, es necesario suponer que cuando la arandela se desliza a lo largo del tablero, actúan fuerzas de fricción entre ellas. Teniendo en cuenta que después del clic el disco se mueve a lo largo del tablero hacia su centro y la fuerza de fricción por deslizamiento se dirige en sentido antiparalelo a la velocidad, se puede argumentar que el tablero debería comenzar a avanzar a lo largo de la mesa. De lo dicho anteriormente y de la ley de conservación del impulso (dado que el tablero está en un plano horizontal suave) se deduce que la velocidad del disco inmediatamente después del clic tu w, su velocidad v w y velocidad de la tabla V d en el momento del deslizamiento las arandelas deben satisfacer la relación
metrotu w = METRO V re + metrov w,(1)
Dónde metro- masa de la lavadora, y METRO- masa del tablero, si tu w > tu. Si tu w ≤ tu, entonces, de acuerdo con las condiciones del problema, el disco no se desliza fuera del tablero y, por lo tanto, después de un período de tiempo suficientemente grande, las velocidades del tablero y del disco deberían volverse iguales. Suponiendo, como es habitual, que la magnitud de la fuerza de fricción por deslizamiento seco es independiente de la velocidad, despreciando el tamaño de la arandela y teniendo en cuenta que el movimiento de la arandela con respecto a la tabla en el momento del deslizamiento no depende de su inicial. velocidad, teniendo en cuenta lo dicho anteriormente y basándonos en la ley del cambio de energía mecánica, podemos afirmar, ¿qué pasa con tu w ≥ tu
mu w 2 / 2 = VM re 2 / 2 + metroυ w 2 / 2 + A,(2)
Dónde A- trabajar contra las fuerzas de fricción y con tu w > tu V d< v w, y en tu w = tu V re = v w. Considerando que por condición METRO/metro=k, de (1) y (2) en tu w = tu después de transformaciones algebraicas obtenemos
y desde cuando tu w = nu de (1) se deduce que
υ w 2 = norte 2 Y 2 + k 2 V d 2 - 2 nki V d (4)
la velocidad deseada de la tabla debe satisfacer la ecuación
k(k + 1) V re 2 - 2 nk y v re + ki 2 /(k + 1) = 0. (5)
Es obvio que cuando norte→∞ el tiempo de interacción del disco con el tablero debe tender a cero y, por tanto, la velocidad deseada del tablero a medida que aumenta norte(después de que excede un cierto valor crítico) debe disminuir (en el límite a cero). Por lo tanto, de las dos posibles soluciones a la ecuación (5), las condiciones del problema satisfacen
