Números naturales- números utilizados para contar objetos . Cualquier número natural se puede escribir usando diez. números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Este tipo de número se llama decimal
La secuencia de todos los números naturales se llama natural al lado de .
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
lo mas pequeño El número natural es uno (1). En la serie natural, cada número siguiente es 1 mayor que el anterior. Serie natural sin fin, no hay ningún número más grande en él.
El significado de un dígito depende de su lugar en el registro numérico. Por ejemplo, el número 4 significa: 4 unidades si está en el último lugar en el registro numérico. (en lugar de unidades); 4 diez, si esta en el penúltimo lugar (en el lugar de las decenas); 4 cientos, si esta en tercer lugar desde el final (v. lugar de cientos).
El número 0 significa ausencia de unidades de esta categoría en la notación decimal de un número también sirve para designar el número “. cero" Este número significa "ninguno". El resultado 0:3 en un partido de fútbol significa que el primer equipo no marcó ni un solo gol al rival.
Cero no incluir a los números naturales. Y, de hecho, contar objetos nunca empieza desde cero.
Si la representación de un número natural consta de un signo. – un dígito, entonces se llama inequívoco. Aquellos. inequívoconúmero natural– un número natural, cuya notación consta de un signo – un dígito. Por ejemplo, los números 1, 6, 8 son de un solo dígito.
Dos dígitosnúmero natural– un número natural cuya notación consta de dos caracteres – dos dígitos.
Por ejemplo, los números 12, 47, 24, 99 son números de dos dígitos.
Además, según la cantidad de caracteres de un número determinado, se dan nombres a otros números:
números 326, 532, 893 – tres dígitos;
números 1126, 4268, 9999 – cuatro dígitos etc.
Dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos, cinco dígitos, etc. los números se llaman números de varios dígitos .
Para leer números de varios dígitos, se dividen, comenzando por la derecha, en grupos de tres dígitos cada uno (el grupo más a la izquierda puede constar de uno o dos dígitos). Estos grupos se llaman clases.
Millón– esto es mil mil (1000 mil), se escribe 1 millón o 1.000.000.
mil millones- Eso son 1000 millones. Se escribe como mil millones o 1.000.000.000.
Los primeros tres dígitos de la derecha forman la clase de unidades, los tres siguientes, la clase de miles, luego vienen las clases de millones, miles de millones, etc. (Figura 1).
Arroz. 1. Clase de millones, clase de miles y clase de unidades (de izquierda a derecha)
El número 15389000286 está escrito en la cuadrícula de bits (Fig. 2).
Arroz. 2. Cuadrícula de bits: número 15 mil millones 389 millones 286
Este número tiene 286 unidades en la clase de unidades, cero unidades en la clase de miles, 389 unidades en la clase de millones y 15 unidades en la clase de miles de millones.
La historia de los números naturales comenzó en tiempos primitivos. Desde la antigüedad, la gente ha contado objetos. Por ejemplo, en el comercio se necesitaba una cuenta de bienes o en la construcción una cuenta de materiales. Sí, incluso en la vida cotidiana también tenía que contar cosas, comida, ganado. Al principio, los números se usaban solo para contar en la vida, en la práctica, pero luego, con el desarrollo de las matemáticas, se convirtieron en parte de la ciencia.
Números naturales- estos son los números que usamos al contar objetos.
Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,….
El cero no es un número natural.
Todos los números naturales, o llamémoslo el conjunto de los números naturales, se denotan con el símbolo N.
Tabla de números naturales.
Serie natural.
Números naturales escritos en fila en orden ascendente. serie natural o una serie de números naturales.
Propiedades de la serie natural:
- El número natural más pequeño es uno.
- En una serie natural, el siguiente número es mayor que el anterior en uno. (1, 2, 3,...) Se colocan tres puntos o elipses si es imposible completar la secuencia de números.
- La serie natural no tiene el mayor número, es infinita.
Ejemplo #1:
Escribe los primeros 5 números naturales.
Solución:
Los números naturales comienzan desde uno.
1, 2, 3, 4, 5
Ejemplo #2:
¿Es el cero un número natural?
Respuesta: no.
Ejemplo #3:
¿Cuál es el primer número de la serie natural?
Respuesta: La serie natural comienza desde uno.
Ejemplo #4:
¿Cuál es el último número de la serie natural? ¿Cuál es el número natural más grande?
Respuesta: La serie natural comienza con uno. Cada número siguiente es mayor que el anterior uno por uno, por lo que el último número no existe. sí mismo gran número No.
Ejemplo #5:
¿Alguno de la serie natural tiene un número anterior?
Respuesta: no, porque uno es el primer número de la serie natural.
Ejemplo #6:
Nombra el siguiente número de la serie natural: a)5, b)67, c)9998.
Respuesta: a)6, b)68, c)9999.
Ejemplo #7:
¿Cuántos números hay en la serie natural entre los números: a) 1 y 5, b) 14 y 19?
Solución:
a) 1, 2, 3, 4, 5: hay tres números entre los números 1 y 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – cuatro números están entre los números 14 y 19.
Ejemplo #8:
Di el número anterior después del 11.
Respuesta: 10.
Ejemplo #9:
¿Qué números se utilizan al contar objetos?
Respuesta: números naturales.
En matemáticas existen varios conjuntos diferentes de números: reales, complejos, enteros, racionales, irracionales,... En nuestro la vida cotidiana La mayoría de las veces utilizamos números naturales, ya que los encontramos al contar y al buscar, designando el número de objetos.
¿Qué números se llaman números naturales?
A partir de diez dígitos se puede escribir absolutamente cualquier suma de clases y rangos existentes. Se consideran valores naturales aquellos que se utilizan:
- Al contar cualquier objeto (primero, segundo, tercero, ... quinto, ... décimo).
- Al indicar el número de artículos (uno, dos, tres...)
Los valores de N son siempre enteros y positivos. No existe un N mayor porque el conjunto de valores enteros es ilimitado.
¡Atención! Los números naturales se obtienen al contar objetos o al indicar su cantidad.
Absolutamente cualquier número se puede descomponer y presentar en forma de términos numéricos, por ejemplo: 8.346.809=8 millones+346 mil+809 unidades.
Establecer N
El conjunto N está en el conjunto. real, entero y positivo. En el diagrama de conjuntos se ubicarían unos dentro de otros, ya que el conjunto de los naturales forma parte de ellos.
El conjunto de los números naturales se denota con la letra N. Este conjunto tiene principio, pero no final.
También hay un conjunto extendido N, donde se incluye el cero.
Número natural más pequeño
En la mayoría de las escuelas de matemáticas, el valor más pequeño de N se considera una unidad, ya que la ausencia de objetos se considera vacío.
Pero en las escuelas de matemáticas extranjeras, por ejemplo en la francesa, se considera natural. La presencia de cero en la serie facilita la prueba. algunos teoremas.
Una serie de valores N que incluye cero se llama extendida y se denota con el símbolo N0 (índice cero).
Serie de números naturales
N serie es una secuencia de todos los N conjuntos de dígitos. Esta secuencia no tiene fin.
La peculiaridad de la serie natural es que el siguiente número diferirá en uno del anterior, es decir, aumentará. Pero los significados no puede ser negativo.
¡Atención! Para facilitar el conteo, existen clases y categorías:
- Unidades (1, 2, 3),
- Decenas (10, 20, 30),
- Cientos (100, 200, 300),
- Miles (1000, 2000, 3000),
- Decenas de miles (30.000),
- Cientos de miles (800.000),
- Millones (4000000), etc.
Todo N
Todos los N están en el conjunto de valores reales, enteros y no negativos. son de ellos parte integrante.
Estos valores llegan al infinito, pueden pertenecer a las clases de millones, miles de millones, quintillones, etc.
Por ejemplo:
- Cinco manzanas, tres gatitos
- Diez rublos, treinta lápices,
- Cien kilogramos, trescientos libros,
- Un millón de estrellas, tres millones de personas, etc.
Secuencia en N
En diferentes escuelas de matemáticas puedes encontrar dos intervalos a los que pertenece la secuencia N:
de cero a más infinito, incluidos los extremos, y de uno a más infinito, incluidos los extremos, es decir, todo respuestas enteras positivas.
N conjuntos de dígitos pueden ser pares o impares. Consideremos el concepto de rareza.
Impar (cualquier número impar termina en los números 1, 3, 5, 7, 9) y dos tienen resto. Por ejemplo, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.
¿Qué significa incluso N?
Cualquier suma par de clases termina en números: 0, 2, 4, 6, 8. Cuando incluso N se divide por 2, no quedará resto, es decir, el resultado es la respuesta completa. Por ejemplo, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.
¡Importante! Una serie numérica de N no puede constar únicamente de valores pares o impares, ya que deben alternarse: al par siempre le sigue el impar, le sigue el par nuevamente, etc.
Propiedades norte
Como todos los demás conjuntos, N tiene sus propias propiedades especiales. Consideremos las propiedades de la serie N (no extendida).
- El valor que es menor y que no sigue a ningún otro es uno.
- N representa una secuencia, es decir, un valor natural sigue a otro(excepto uno, es el primero).
- Cuando realizamos operaciones computacionales en N sumas de dígitos y clases (suma, multiplicación), entonces la respuesta siempre resulta natural significado.
- La permutación y combinación se pueden utilizar en los cálculos.
- Cada valor posterior no puede ser menor que el anterior. También en la serie N se aplicará la siguiente ley: si el número A es menor que B, entonces en la serie numérica siempre habrá un C para el cual se cumple la igualdad: A+C=B.
- Si tomamos dos expresiones naturales, por ejemplo A y B, entonces una de las expresiones será verdadera para ellas: A = B, A es mayor que B, A es menor que B.
- Si A es menor que B y B es menor que C, entonces se sigue que que A es menor que C.
- Si A es menor que B, entonces se sigue que: si les sumamos la misma expresión (C), entonces A + C es menor que B + C. También es cierto que si estos valores se multiplican por C, entonces AC es menor que AB.
- Si B es mayor que A, pero menor que C, entonces: BA menos S-A.
¡Atención! Todas las desigualdades anteriores también son válidas en la dirección opuesta.
¿Cómo se llaman los componentes de la multiplicación?
En muchos simples e incluso tareas complejas Encontrar la respuesta depende de las habilidades de los estudiantes.
Para poder multiplicar rápida y correctamente y poder resolver problemas inversos, es necesario conocer los componentes de la multiplicación.
15. 10=150. En esta expresión hay 15 y 10. son multiplicadores, y 150 es un producto.
La multiplicación tiene propiedades necesarias a la hora de resolver problemas, ecuaciones y desigualdades:
- Reorganizar los factores no cambiará el producto final.
- Para encontrar un factor desconocido, debes dividir el producto por un factor conocido (verdadero para todos los factores).
Por ejemplo: 15 . X=150. Dividamos el producto por un factor conocido. 150:15=10. Hagamos un control. 15 . 10=150. Según este principio, incluso deciden ecuaciones lineales complejas(para simplificarlos).
¡Importante! Un producto puede constar de más de dos factores. Por ejemplo: 840=2 . 5. 7. 3. 4
¿Qué son los números naturales en matemáticas?
Lugares y clases de números naturales.
Conclusión
Resumamos. N se utiliza al contar o indicar el número de elementos. La serie de conjuntos naturales de números es infinita, pero incluye sólo sumas enteras y positivas de dígitos y clases. La multiplicación también es necesaria para contar objetos, así como para resolver problemas, ecuaciones y diversas desigualdades.
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Definición. Números naturales- estos son los números que se utilizan para contar: 1, 2, 3, ..., n, ...
El conjunto de los números naturales suele denotarse con el símbolo norte(del lat. natural- natural).
Los números naturales en el sistema numérico decimal se escriben con diez dígitos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
El conjunto de los números naturales es conjunto ordenado, es decir. para cualquier número natural m y n se cumple una de las siguientes relaciones:
- o m = n (m es igual a n),
- o m > n (m mayor que n ),
- o m< n (m меньше n ).
- menos natural número - uno (1)
- No existe el mayor número natural.
- El cero (0) no es un número natural.
De los números naturales vecinos, el número que está a la izquierda de n se llama número anterior sustantivo, masculino—, y el número que está a la derecha se llama siguiente después n.
Operaciones con números naturales
Las operaciones cerradas con números naturales (operaciones resultantes de números naturales) incluyen las siguientes operaciones aritméticas:
- Suma
- Multiplicación
- exponenciación a b , donde a es la base y b es el exponente. Si la base y el exponente son números naturales, entonces el resultado será un número natural.
Además, se están considerando dos operaciones más. Desde un punto de vista formal, no son operaciones sobre números naturales, ya que su resultado no siempre será un número natural.
- Sustracción(En este caso, el Minuendo debe ser mayor que el Sustraendo)
- División
Clases y rangos
Lugar es la posición (posición) de un dígito en un registro numérico.
El rango más bajo es el de la derecha. El rango más significativo es el de la izquierda.
Ejemplo:
5 - unidades, 0 - decenas, 7 - centenas,
2 - miles, 4 - decenas de miles, 8 - cientos de miles,
3 - millones, 5 - decenas de millones, 1 - cien millones
Para facilitar la lectura, los números naturales se dividen en grupos de tres dígitos cada uno, comenzando por la derecha.
Clase- un grupo de tres dígitos en el que se divide el número, empezando por la derecha. La última clase puede constar de tres, dos o un dígito.
- La primera clase es la clase de unidades;
- La segunda clase es la clase de miles;
- La tercera clase es la clase de los millones;
- La cuarta clase es la clase de los miles de millones;
- Quinta clase - clase de billones;
- Sexta clase - clase de cuatrillones (cuatrillones);
- La séptima clase es la clase de los quintillones (quintillones);
- Octava clase - clase sextillón;
- Novena clase - clase septillón;
Ejemplo: 
34 - mil millones 456 millones 196 mil 45
Comparación de números naturales.
Comparar números naturales con diferente número de dígitos
Entre los números naturales, el que tiene más dígitos es mayorComparar números naturales con igual número de dígitos
Compara números poco a poco, empezando por el dígito más significativo. Es mayor el que tiene más unidades en el rango más alto del mismo nombre
Ejemplo:
3466 > 346: ya que el número 3466 consta de 4 dígitos y el número 346 consta de 3 dígitos.
34666 & lt 245784: ya que el número 34666 consta de 5 dígitos y el número 245784 consta de 6 dígitos.
Ejemplo:
346 667 670 52 6 986
346 667 670 56 9 429
El segundo número natural con igual número de cifras es mayor, ya que 6 > 2.
Definición
Números naturales son números que se utilizan al contar o para indicar el número de serie de un objeto entre objetos similares.
Por ejemplo. Los números naturales serán: $2,37,145,1059,24411$
Los números naturales escritos en orden ascendente forman una serie numérica. Comienza con el número natural más pequeño 1. El conjunto de todos los números naturales se denota por $N=\(1,2,3, \dots n, \ldots\)$. Es infinito porque no existe un número natural mayor. Si sumamos uno a cualquier número natural, obtenemos el número natural que sigue al número dado.
Ejemplo
Ejercicio.¿Cuáles de los siguientes números son números naturales?
$$-89; 7; \frac(4)(3) ; 34; 2; 11; 3.2; \sqrt(129); \sqrt(5)$$
Respuesta. $7 ; 34 ; 2 ; 11$
En el conjunto de números naturales, se introducen dos operaciones aritméticas básicas: suma y multiplicación. Para denotar estas operaciones, los símbolos se utilizan respectivamente. " + " Y " " (o " × " ).
Suma de números naturales
Cada par de números naturales $n$ y $m$ está asociado con un número natural $s$, llamado suma. La suma $s$ consta de tantas unidades como haya en los números $n$ y $m$. El número $s$ se dice que se obtiene sumando los números $n$ y $m$, y se escriben
Los números $n$ y $m$ se llaman términos. La operación de suma de números naturales tiene las siguientes propiedades:
- Conmutatividad: $n+m=m+n$
- Asociatividad: $(n+m)+k=n+(m+k)$
Lea más sobre cómo sumar números siguiendo el enlace.
Ejemplo
Ejercicio. Encuentra la suma de números:
$13+9 \quad$ y $ \quad 27+(3+72)$
Solución. $13+9=22$
Para calcular la segunda suma, para simplificar los cálculos, primero le aplicamos la propiedad de asociatividad de la suma:
$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$
Respuesta.$13+9=22 \quad;\quad 27+(3+72)=102$
Multiplicación de números naturales
Cada par ordenado de números naturales $n$ y $m$ está asociado con un número natural $r$, llamado su producto. El producto $r$ contiene tantas unidades como hay en el número $n$, tomado tantas veces como unidades hay en el número $m$. Se dice que el número $r$ se obtiene multiplicando los números $n$ y $m$, y se escriben
$n \cdot m=r \quad $ o $ \quad n \times m=r$
Los números $n$ y $m$ se llaman factores o factores.
La operación de multiplicar números naturales tiene las siguientes propiedades:
- Conmutatividad: $n \cdot m=m \cdot n$
- Asociatividad: $(n \cdot m) \cdot k=n \cdot(m \cdot k)$
Lea más sobre la multiplicación de números siguiendo el enlace.
Ejemplo
Ejercicio. Encuentra el producto de números:
12$\cdot 3 \quad $ y $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$
Solución. Por definición de la operación de multiplicación:
$$12 \cdot 3=12+12+12=36$$
Aplicamos la propiedad de asociatividad de la multiplicación al segundo producto:
$$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$
Respuesta.$12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$
La operación de suma y multiplicación de números naturales está relacionada por la ley de distributividad de la multiplicación relativa a la suma:
$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$
La suma y el producto de dos números naturales cualesquiera es siempre un número natural, por lo tanto el conjunto de todos los números naturales es cerrado bajo las operaciones de suma y multiplicación.
Además, sobre el conjunto de los números naturales, se pueden introducir las operaciones de resta y división, como operaciones inversas a las operaciones de suma y multiplicación, respectivamente. Pero estas operaciones no estarán definidas de forma única para ningún par de números naturales.
La propiedad asociativa de la multiplicación de números naturales nos permite introducir el concepto de potencia natural de un número natural: la $n$ésima potencia de un número natural $m$ es el número natural $k$ que se obtiene al multiplicar el número $m $ por sí mismo $n$ veces:
Para denotar la $n$ésima potencia de un número $m$, se suele utilizar la siguiente notación: $m^(n)$, en la que el número $m$ se denomina base de grado, y el número $n$ es exponente.
Ejemplo
Ejercicio. Encuentra el valor de la expresión $2^(5)$
Solución. Por definición del poder natural de un número natural, esta expresión se puede escribir de la siguiente manera
$$2^(5)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$$
