¿Cómo multiplicar potencias? ¿Qué poderes se pueden multiplicar y cuáles no? ¿Cómo multiplicar un número por una potencia?

En álgebra, puedes encontrar un producto de potencias en dos casos:

1) si los títulos tienen las mismas bases;

2) si las titulaciones tienen los mismos indicadores.

Al multiplicar potencias con las mismas bases se debe dejar la base igual y se deben sumar los exponentes:

Al multiplicar grados con los mismos indicadores, el indicador general se puede sacar entre paréntesis:

Veamos cómo multiplicar potencias usando ejemplos específicos.

La unidad no se escribe en el exponente, pero al multiplicar potencias se tiene en cuenta:

Al multiplicar, puede haber cualquier cantidad de potencias. Cabe recordar que no es necesario escribir el signo de multiplicación antes de la letra:

En las expresiones, la exponenciación se realiza primero.

Si necesitas multiplicar un número por una potencia, primero debes realizar la exponenciación, y solo luego la multiplicación:

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Suma, resta, multiplicación y división de potencias.

Suma y resta de potencias.

Es obvio que los números con potencias se pueden sumar como otras cantidades. , sumándolos uno tras otro con sus signos.

Entonces, la suma de a 3 y b 2 es a 3 + b 2.
La suma de a 3 - b n y h 5 - d 4 es a 3 - b n + h 5 - d 4.

Impares grados iguales de variables idénticas se pueden sumar o restar.

Entonces, la suma de 2a 2 y 3a 2 es igual a 5a 2.

También es obvio que si tomas dos cuadrados a, o tres cuadrados a, o cinco cuadrados a.

Pero grados varias variables Y varios grados variables idénticas, deben componerse sumándolos con sus signos.

Entonces, la suma de a 2 y a 3 es la suma de a 2 + a 3.

Es obvio que el cuadrado de a, y el cubo de a, no son iguales al doble del cuadrado de a, sino al doble del cubo de a.

La suma de a 3 b n y 3a 5 b 6 es a 3 b n + 3a 5 b 6.

Sustracción Las potencias se llevan a cabo de la misma manera que la suma, excepto que los signos de los sustraendos deben cambiarse en consecuencia.

O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 — 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

multiplicando poderes

Los números con potencias se pueden multiplicar, como otras cantidades, escribiéndolos uno tras otro, con o sin signo de multiplicación entre ellos.

Por lo tanto, el resultado de multiplicar a 3 por b 2 es a 3 b 2 o aaabb.

O:
x -3 ⋅ un metro = un metro x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 segundo 3 y 2 ⋅ a 3 segundo 2 y = a 2 segundo 3 y 2 a 3 segundo 2 y

El resultado del último ejemplo se puede ordenar agregando variables idénticas.
La expresión tomará la forma: a 5 b 5 y 3.

Al comparar varios números (variables) con potencias, podemos ver que si se multiplican dos de ellos, entonces el resultado es un número (variable) con una potencia igual a cantidad grados de términos.

Entonces, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aquí 5 es la potencia del resultado de la multiplicación, que es igual a 2 + 3, la suma de las potencias de los términos.

Entonces, a n .a m = a m+n .

Para an , a se toma como factor tantas veces como la potencia de n;

Y una m se toma como factor tantas veces como sea igual el grado m;

Es por eso, potencias con las mismas bases se pueden multiplicar sumando los exponentes de las potencias.

Entonces, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Y x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O:
4a norte ⋅ 2a norte = 8a 2n
segundo 2 y 3 ⋅ segundo 4 y = segundo 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Respuesta: x 4 - y 4.
Multiplica (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Esta regla también es válida para números cuyos exponentes son negativo.

1. Entonces, a -2 .a -3 = a -5 . Esto se puede escribir como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -nm .

3. a -n .a m = a m-n .

Si a + b se multiplican por a - b, el resultado será a 2 - b 2: es decir

El resultado de multiplicar la suma o diferencia de dos números es igual a la suma o diferencia de sus cuadrados.

Si la suma y la diferencia de dos números elevados a cuadrado, el resultado será igual a la suma o diferencia de estos números en cuatro grados.

Entonces, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

división de grados

Los números con potencias se pueden dividir como otros números, restándolos del dividendo o colocándolos en forma de fracción.

Por lo tanto, a 3 b 2 dividido por b 2 es igual a a 3.

Escribir un 5 dividido por un 3 se ve como $\frac $. Pero esto es igual a un 2 . En una serie de números
un +4 , un +3 , un +2 , un +1 , un 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
cualquier número se puede dividir por otro y el exponente será igual a diferencia indicadores de números divisibles.

Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes..

Entonces, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Es decir, $\frac = y$.

Y un n+1:a = un n+1-1 = un n . Es decir, $\frac = a^n$.

O:
y 2 m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

La regla también es válida para números con negativo valores de grados.
El resultado de dividir -5 entre -3 es -2.
Además, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Es necesario dominar muy bien la multiplicación y división de potencias, ya que este tipo de operaciones se utilizan mucho en álgebra.

Ejemplos de resolución de ejemplos con fracciones que contienen números con potencias.

1. Disminuye los exponentes en $\frac $ Respuesta: $\frac $.

2. Disminuir los exponentes en $\frac$. Respuesta: $\frac$ o 2x.

3. Reducir los exponentes a 2 /a 3 y a -3 /a -4 y llevarlos a un denominador común.
a 2 .a -4 es a -2 el primer numerador.
a 3 .a -3 es a 0 = 1, el segundo numerador.
a 3 .a -4 es a -1 , el numerador común.
Después de la simplificación: a -2 /a -1 y 1/a -1 .

4. Reducir los exponentes 2a 4 /5a 3 y 2 /a 4 y llevarlos a un denominador común.
Respuesta: 2a 3 /5a 7 y 5a 5 /5a 7 o 2a 3 /5a 2 y 5/5a 2.

5. Multiplica (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.

6. Multiplica (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplica b 4 /a -2 por h -3 /x y a n /y -3 .

8. Divide un 4 /y 3 por un 3 /y 2. Respuesta: a/a.

Propiedades del grado

Te recordamos que en esta lección entenderemos propiedades de los grados con indicadores naturales y cero. Las potencias con exponentes racionales y sus propiedades se discutirán en las lecciones para octavo grado.

Un título con indicador natural tiene varios propiedades importantes, que le permiten simplificar los cálculos en ejemplos con potencias.

Propiedad No. 1
Producto de poderes

Al multiplicar potencias con las mismas bases, la base permanece sin cambios y se suman los exponentes de las potencias.

a m · a n = a m + n, donde “a” es cualquier número y “m”, “n” son números naturales cualesquiera.

Esta propiedad de las potencias también se aplica al producto de tres o más potencias.

Simplifica la expresión.
segundo segundo 2 segundo 3 segundo 4 segundo 5 = segundo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = segundo 15

Presentarlo como un título.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Presentarlo como un título.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Tenga en cuenta que en la propiedad especificada estábamos hablando solo de la multiplicación de potencias con las mismas bases.. No se aplica a su adición.

No puedes reemplazar la suma (3 3 + 3 2) por 3 5. Esto es comprensible si
contar (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, y 3 5 = 243

Propiedad No. 2
grados parciales

Al dividir potencias con las mismas bases, la base permanece sin cambios y el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo.

Escribe el cociente como una potencia.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Calcular.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Ejemplo. Resuelve la ecuación. Usamos la propiedad del cociente de potencias.
3 8: t = 3 4

Respuesta: t = 3 4 = 81

Usando las propiedades No. 1 y No. 2, puede simplificar expresiones y realizar cálculos fácilmente.

Ejemplo. Simplifica la expresión.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Ejemplo. Encuentra el valor de una expresión usando las propiedades de los exponentes.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Tenga en cuenta que en la Propiedad 2 solo estábamos hablando de dividir potencias con las mismas bases.

No puedes reemplazar la diferencia (4 3 −4 2) con 4 1. Esto es comprensible si calculas (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, y 4 1 = 4

Propiedad No. 3
Elevar un grado a una potencia

Al elevar un grado a una potencia, la base del grado permanece sin cambios y los exponentes se multiplican.

(a n) m = a n · m, donde “a” es cualquier número y “m”, “n” son números naturales cualesquiera.

Tenga en cuenta que la propiedad número 4, al igual que otras propiedades de los grados, también se aplica en orden inverso.

(un segundo norte) = (uno segundo) norte

Es decir, para multiplicar potencias con los mismos exponentes, puedes multiplicar las bases, pero dejar el exponente sin cambios.

Ejemplo. Calcular.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Ejemplo. Calcular.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

en más ejemplos complejos Puede haber casos en los que la multiplicación y la división deban realizarse en potencias con diferentes bases y diferentes exponentes. En este caso, le recomendamos que haga lo siguiente.

Por ejemplo, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un ejemplo de cómo elevar un decimal a una potencia.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Propiedades 5
Potencia de un cociente (fracción)

Para elevar un cociente a una potencia, puedes elevar el dividendo y el divisor por separado a esta potencia y dividir el primer resultado entre el segundo.

(a: b) n = a n: b n, donde “a”, “b” son números racionales cualesquiera, b ≠ 0, n - cualquier número natural.

Ejemplo. Presente la expresión como un cociente de potencias.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Te recordamos que un cociente se puede representar como una fracción. Por lo tanto, nos detendremos en el tema de elevar una fracción a una potencia con más detalle en la página siguiente.

Poderes y raíces

Operaciones con potencias y raíces. Grado con negativo ,

cero y fraccionario indicador. Sobre expresiones que no tienen significado.

Operaciones con grados.

1. Al multiplicar potencias de la misma base se suman sus exponentes:

soy · un norte = un metro + norte .

2. Al dividir grados con la misma base, sus exponentes se deducen .

3. El grado del producto de dos o más factores es igual al producto de los grados de estos factores.

4. El grado de una razón (fracción) es igual a la razón entre los grados del dividendo (numerador) y el divisor (denominador):

(a/b) norte = un norte / segundo norte .

5. Al elevar una potencia a una potencia, sus exponentes se multiplican:

Todas las fórmulas anteriores se leen y ejecutan en ambas direcciones, de izquierda a derecha y viceversa.

EJEMPLO (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operaciones con raíces. En todas las fórmulas siguientes, el símbolo significa raíz aritmética(la expresión radical es positiva).

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de una razón es igual a la razón entre las raíces del dividendo y el divisor:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevarla a esta potencia. número radical:

4. Si aumenta el grado de la raíz m veces y al mismo tiempo eleva el número radical a la mésima potencia, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si reduce el grado de la raíz m veces y simultáneamente extrae la raíz m del número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

Ampliando el concepto de titulación. Hasta ahora hemos considerado grados sólo con exponentes naturales; pero las operaciones con poderes y raíces también pueden conducir a negativo, cero Y fraccionario indicadores. Todos estos exponentes requieren una definición adicional.

Un grado con exponente negativo. La potencia de un determinado número con un exponente negativo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente negativo:

Ahora la fórmula soy : un = un metro - norte se puede utilizar no sólo para metro, más que norte, pero también con metro, menos que norte .

EJEMPLO a 4: a 7 = un 4 — 7 = un — 3 .

Si queremos la fórmula soy : un = soy — norte fue justo cuando metro = norte, necesitamos una definición de grado cero.

Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es 1.

EJEMPLOS. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real a a la potencia m / n, es necesario extraer la raíz enésima de la potencia m de este número a:

Sobre expresiones que no tienen significado. Hay varias expresiones de este tipo.

Dónde a ≠ 0 , no existe.

De hecho, si asumimos que incógnita es un número determinado, entonces de acuerdo con la definición de la operación de división tenemos: a = 0· incógnita, es decir. a= 0, lo que contradice la condición: a ≠ 0

— cualquier número.

De hecho, si asumimos que esta expresión es igual a algún número incógnita, entonces según la definición de la operación de división tenemos: 0 = 0 · incógnita. Pero esta igualdad ocurre cuando cualquier número x, que era lo que había que demostrar.

0 0 — cualquier número.

Solución. Consideremos tres casos principales:

1) incógnita = 0 – este valor no satisface esta ecuación

2) cuando incógnita> 0 obtenemos: x/x= 1, es decir 1 = 1, lo que significa

Qué incógnita– cualquier número; pero teniendo en cuenta que en

en nuestro caso incógnita> 0, la respuesta es incógnita > 0 ;

Reglas para multiplicar potencias con diferentes bases.

GRADO CON INDICADOR RACIONAL,

FUNCIÓN DE POTENCIA IV

§ 69. Multiplicación y división de poderes con las mismas bases

Teorema 1. Para multiplicar potencias con las mismas bases basta con sumar los exponentes y dejar la base igual, es decir

Prueba. Por definición de grado

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Observamos el producto de dos potencias. De hecho, la propiedad probada es cierta para cualquier número de potencias con las mismas bases.

Teorema 2. Para dividir potencias con las mismas bases, cuando el índice del dividendo es mayor que el índice del divisor, basta con restar el índice del divisor al índice del dividendo, y dejar la base igual, es decir en t > p

(a =/= 0)

Prueba. Recuerda que el cociente de dividir un número entre otro es el número que al multiplicarlo por el divisor da el dividendo. Por lo tanto, demuestre la fórmula donde a =/= 0, es lo mismo que probar la fórmula

Si t > p , entonces el número t-p será natural; por lo tanto, por el teorema 1

El teorema 2 está demostrado.

Cabe señalar que la fórmula

lo hemos demostrado sólo bajo el supuesto de que t > p . Por tanto, de lo demostrado aún no es posible sacar, por ejemplo, las siguientes conclusiones:

Además, todavía no hemos considerado grados con exponentes negativos y aún no sabemos qué significado se le puede dar a la expresión 3 - 2 .

Teorema 3. Para elevar un grado a una potencia basta con multiplicar los exponentes, dejando la base del grado igual, eso es

Prueba. Utilizando la definición de grado y el Teorema 1 de esta sección, obtenemos:

Q.E.D.

Por ejemplo, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Oral) Determinar incógnita de las ecuaciones:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 incógnita ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 incógnita ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 incógnita ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 incógnita .

519. (Nº de conjunto) Simplificar:

520. (Nº de conjunto) Simplificar:

521. Presentad estas expresiones en forma de grados con las mismas bases:

1) 32 y 64; 3) 8 5 y 16 3; 5) 4 100 y 32 50;

2) -1000 y 100; 4) -27 y -243; 6) 81 75 8 200 y 3 600 4 150.

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Objetivo de la lección: aprender a realizar operaciones con potencias de números.

Primero, recordemos el concepto de "poder del número". Una expresión de la forma $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ se puede representar como $a^n$.

Lo contrario también es cierto: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Esta igualdad se llama "registrar el grado como producto". Nos ayudará a determinar cómo multiplicar y dividir potencias.
Recordar:
a– la base del título.
norte– exponente.
Si norte=1, que significa el número A tomó una vez y en consecuencia: $a^n= 1$.
Si norte= 0, entonces $a^0= 1$.

Podemos descubrir por qué sucede esto cuando nos familiaricemos con las reglas de multiplicación y división de potencias.

Reglas de multiplicación

a) Si se multiplican potencias de la misma base.
Para obtener $a^n * a^m$, escribimos los grados como un producto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
La figura muestra que el número A tomó n+m veces, entonces $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Ejemplo.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Es conveniente utilizar esta propiedad para simplificar el trabajo al elevar un número a una potencia superior.
Ejemplo.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Si se multiplican potencias con diferentes bases pero con el mismo exponente.
Para obtener $a^n * b^n$, escribimos los grados como un producto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Si intercambiamos los factores y contamos los pares resultantes, obtenemos: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Entonces $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Ejemplo.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

reglas de división

a) La base de la titulación es la misma, los indicadores son diferentes.
Considere dividir una potencia con un exponente mayor dividiendo una potencia con un exponente menor.

Entonces, necesitamos $\frac(a^n)(a^m)$, Dónde n>m.

Escribamos los grados como una fracción:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Por conveniencia, escribimos la división como una fracción simple.

Ahora reduzcamos la fracción.

Resulta: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Medio, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Esta propiedad ayudará a explicar la situación de elevar un número a la potencia cero. Supongamos que norte=metro, entonces $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Ejemplos.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Las bases de la titulación son diferentes, los indicadores son los mismos.
Digamos que necesitamos $\frac(a^n)( b^n)$. Escribamos potencias de números como fracciones:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Por conveniencia, imaginemos.

Usando la propiedad de las fracciones, dividimos la fracción grande por el producto de las pequeñas y obtenemos.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
En consecuencia: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Ejemplo.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Una de las principales características del álgebra, y de todas las matemáticas, es la titulación. Por supuesto, en el siglo XXI, todos los cálculos se pueden realizar con una calculadora en línea, pero es mejor para el desarrollo del cerebro aprender a hacerlo usted mismo.

En este artículo consideraremos las cuestiones más importantes relacionadas con esta definición. Es decir, entenderemos qué es en general y cuáles son sus principales funciones, qué propiedades hay en matemáticas.

Veamos ejemplos de cómo se ve el cálculo y cuáles son las fórmulas básicas. Veamos los principales tipos de cantidades y en qué se diferencian de otras funciones.

Entendamos cómo resolver varios problemas usando esta cantidad. Mostraremos con ejemplos cómo elevar a la potencia cero, irracionales, negativos, etc.

Calculadora de exponenciación en línea

¿Qué es una potencia de un número?

¿Qué se entiende por la expresión “elevar un número a una potencia”?

La potencia n de un número es el producto de factores de magnitud n veces seguidas.

Matemáticamente se ve así:

un norte = un * un * un * … un norte .

Por ejemplo:

• 2 3 = 2 en tercer grado. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 al paso. dos = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 al paso. cuatro = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 en 5 pasos. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 en 4 pasos. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

A continuación se muestra una tabla de cuadrados y cubos del 1 al 10.

Tabla de grados del 1 al 10

A continuación se muestran los resultados de la construcción. números naturales a potencias positivas – “de 1 a 100”.

ch-lo	2do punto.	3ra etapa
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Propiedades de los grados

¿Qué es característico de tal función matemática? Veamos las propiedades básicas.

Los científicos han establecido lo siguiente signos característicos de todos los grados:

• un norte * un metro = (a) (n+m);
• un norte: un metro = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Comprobemos con ejemplos:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Por otro lado, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

De manera similar: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. De lo contrario 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. ¿Y si es diferente? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Como puede ver, las reglas funcionan.

Pero ¿qué pasa con con suma y resta? Es sencillo. Primero se realiza la exponenciación y luego la suma y la resta.

Veamos ejemplos:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Tenga en cuenta: la regla no se cumplirá si resta primero: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.

Pero en este caso, primero debes calcular la suma, ya que hay acciones entre paréntesis: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

como producir cálculos en casos más complejos? El orden es el mismo:

• si hay corchetes, debes comenzar con ellos;
• luego exponenciación;
• luego realizar las operaciones de multiplicación y división;
• después de la suma, la resta.

Hay propiedades específicas que no son características de todos los grados:

1. La raíz enésima de un número a elevado al grado m se escribirá como: a m/n.
2. Al elevar una fracción a una potencia: tanto el numerador como su denominador están sujetos a este procedimiento.
3. Al elevar el producto de diferentes números a una potencia, la expresión corresponderá al producto de estos números a la potencia dada. Es decir: (a * b) n = a n * b n .
4. Al elevar un número a una potencia negativa, es necesario dividir 1 por un número del mismo siglo, pero con un signo "+".
5. Si el denominador de una fracción está elevado a una potencia negativa, entonces esta expresión será igual al producto del numerador por el denominador elevado a una potencia positiva.
6. Cualquier número elevado a 0 = 1 y elevado a la potencia. 1 = a ti mismo.

Estas reglas son importantes en algunos casos; las consideraremos con más detalle a continuación.

Grado con exponente negativo

¿Qué hacer con un grado negativo, es decir, cuando el indicador es negativo?

Basado en las propiedades 4 y 5(ver punto arriba), resulta:

Un (- norte) = 1 / Un norte, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Y viceversa:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

¿Y si es una fracción?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Titulación con indicador natural

Se entiende como un grado con exponentes iguales a números enteros.

Cosas para recordar:

Un 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etc.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...etc.

Además, si (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...entonces el resultado será con signo “+”. Si un número negativo se eleva a una potencia impar, viceversa.

También se caracterizan por sus propiedades generales y todas las características específicas descritas anteriormente.

grado fraccionario

Este tipo se puede escribir como un esquema: A m/n. Se lee como: la raíz enésima del número A elevado a m.

Puedes hacer lo que quieras con un indicador fraccionario: reducirlo, dividirlo en partes, elevarlo a otra potencia, etc.

Grado con exponente irracional

Sea α un número irracional y A ˃ 0.

Para comprender la esencia de un título con tal indicador, Veamos diferentes casos posibles:

• A = 1. El resultado será igual a 1. Dado que existe un axioma, 1 en todas las potencias es igual a uno;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – números racionales;

• 0˂А˂1.

En este caso es al revés: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 en las mismas condiciones que en el segundo párrafo.

Por ejemplo, el exponente es el número π. Es racional.

r 1 – en este caso es igual a 3;

r 2 – será igual a 4.

Entonces, para A = 1, 1 π = 1.

A = 2, entonces 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, entonces (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Dichos grados se caracterizan por todas las operaciones matemáticas y propiedades específicas descritas anteriormente.

Conclusión

Resumamos: ¿para qué se necesitan estas cantidades y cuáles son las ventajas de tales funciones? Por supuesto, en primer lugar, simplifican la vida de matemáticos y programadores a la hora de resolver ejemplos, ya que les permiten minimizar cálculos, acortar algoritmos, sistematizar datos y mucho más.

¿Dónde más puede ser útil este conocimiento? En cualquier especialidad laboral: medicina, farmacología, odontología, construcción, tecnología, ingeniería, diseño, etc.

Expresiones, conversión de expresiones.

Expresiones de poder (expresiones con poderes) y su transformación.

En este artículo hablaremos sobre la conversión de expresiones con potencias. Primero, nos centraremos en las transformaciones que se realizan con expresiones de cualquier tipo, incluidas expresiones de poder, como abrir paréntesis y traer términos similares. Y luego analizaremos las transformaciones inherentes específicamente a las expresiones con grados: trabajando con la base y el exponente, utilizando las propiedades de los grados, etc.

Navegación de páginas.

¿Qué son las expresiones de poder?

El término "expresiones de poder" prácticamente no aparece en los libros de texto de matemáticas escolares, pero aparece con bastante frecuencia en colecciones de problemas, especialmente aquellos destinados a la preparación para el Examen Estatal Unificado y el Examen Estatal Unificado, por ejemplo. Después de analizar las tareas en las que es necesario realizar alguna acción con expresiones de poder, queda claro que las expresiones de poder se entienden como expresiones que contienen poderes en sus entradas. Por lo tanto, puedes aceptar la siguiente definición por ti mismo:

Definición.

Expresiones de poder son expresiones que contienen grados.

vamos a dar ejemplos de expresiones de poder. Además, los presentaremos según cómo se produce el desarrollo de las visiones desde un grado con exponente natural hasta un grado con exponente real.

Como es sabido, primero se familiariza con la potencia de un número con exponente natural; en esta etapa, las primeras expresiones de potencia más simples del tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 aparecen −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Un poco más adelante se estudia la potencia de un número con exponente entero, lo que da lugar a la aparición de expresiones de potencia con potencias enteras negativas, como las siguientes: 3 −2, , una −2 +2 segundo −3 +c 2 .

En secundaria regresan a las carreras. Allí se introduce un grado con exponente racional, lo que conlleva la aparición de las correspondientes expresiones de potencia: , etc. Finalmente, se consideran grados con exponentes irracionales y expresiones que los contienen: , .

El asunto no se limita a las expresiones de potencia enumeradas: además, la variable penetra en el exponente y, por ejemplo, surgen las siguientes expresiones: 2 x 2 +1 o . Y después de familiarizarse con ellas, comienzan a aparecer expresiones con potencias y logaritmos, por ejemplo, x 2·lgx −5·x lgx.

Entonces, nos hemos ocupado de la cuestión de qué representan las expresiones de poder. A continuación aprenderemos a transformarlos.

Principales tipos de transformaciones de expresiones de poder.

Con las expresiones de poder, puede realizar cualquiera de las transformaciones de identidad básicas de las expresiones. Por ejemplo, puedes abrir paréntesis, reemplazar expresiones numéricas con sus valores, agregar términos similares, etc. Naturalmente, es necesario seguir el procedimiento aceptado para realizar acciones. Pongamos ejemplos.

Calcula el valor de la expresión de potencia 2 3 ·(4 2 −12) .

Según el orden de ejecución de las acciones, primero realice las acciones entre paréntesis. Allí, en primer lugar, reemplazamos la potencia 4 2 por su valor 16 (ver si es necesario), y en segundo lugar, calculamos la diferencia 16−12=4. Tenemos 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

En la expresión resultante, reemplazamos la potencia 2 3 por su valor 8, luego de lo cual calculamos el producto 8·4=32. Este es el valor deseado.

Entonces, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Simplifica expresiones con potencias. 3 un 4 segundo −7 −1+2 un 4 segundo −7.

Obviamente, esta expresión contiene términos similares 3·a 4 ·b −7 y 2·a 4 ·b −7 , y podemos presentarlos: .

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1 .

Expresar una expresión con potencias como producto.

Puedes hacer frente a la tarea representando el número 9 como una potencia de 3 2 y luego usando la fórmula de multiplicación abreviada - diferencia de cuadrados:

También hay una serie de transformaciones idénticas inherentes específicamente a las expresiones de poder. Los analizaremos más a fondo.

Trabajando con base y exponente

Hay grados cuya base y/o exponente no son sólo números o variables, sino algunas expresiones. Como ejemplo, damos las entradas (2+0.3·7) 5−3.7 y (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Cuando trabaje con tales expresiones, puede reemplazar tanto la expresión en la base del grado como la expresión en el exponente con una expresión idénticamente igual en la ODZ de sus variables. En otras palabras, de acuerdo con las reglas que conocemos, podemos transformar por separado la base del grado y por separado el exponente. Está claro que como resultado de esta transformación se obtendrá una expresión idénticamente igual a la original.

Tales transformaciones nos permiten simplificar expresiones con potencias o lograr otros objetivos que necesitemos. Por ejemplo, en la expresión de potencia mencionada anteriormente (2+0.3 7) 5−3.7, puedes realizar operaciones con los números en la base y el exponente, lo que te permitirá moverte a la potencia 4.1 1.3. Y después de abrir los corchetes y llevar términos similares a la base del grado (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obtenemos una expresión potencia más tipo simple a 2·(x+1) .

Usando propiedades de grado

Una de las principales herramientas para transformar las expresiones con potencias son las igualdades, la reflexión. Recordemos los principales. Para cualquier número positivo a y b y números reales arbitrarios r y s, las siguientes propiedades de las potencias son verdaderas:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Tenga en cuenta que para exponentes naturales, enteros y positivos, las restricciones sobre los números a y b pueden no ser tan estrictas. Por ejemplo, para los números naturales myn la igualdad a m ·a n =a m+n es cierta no sólo para a positivo, sino también para los negativos, y para a=0.

En la escuela, el foco principal a la hora de transformar expresiones de poder está en la capacidad de elegir la propiedad adecuada y aplicarla correctamente. En este caso, las bases de los grados suelen ser positivas, lo que permite utilizar las propiedades de los grados sin restricciones. Lo mismo se aplica a la transformación de expresiones que contienen variables en las bases de potencias: el rango de valores permitidos de las variables suele ser tal que las bases solo toman valores positivos, lo que le permite utilizar libremente las propiedades de las potencias. . En general, es necesario preguntarse constantemente si es posible utilizar alguna propiedad de los títulos en este caso, porque el uso incorrecto de las propiedades puede provocar una reducción del valor educativo y otros problemas. Estos puntos se analizan en detalle y con ejemplos en el artículo transformación de expresiones usando propiedades de potencias. Aquí nos limitaremos a considerar algunos ejemplos sencillos.

Expresa la expresión a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 como una potencia de base a.

Primero, transformamos el segundo factor (a 2) −3 usando la propiedad de elevar una potencia a una potencia: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. La expresión de potencia original tomará la forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Obviamente, queda usar las propiedades de multiplicación y división de potencias con la misma base, tenemos
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Las propiedades de las potencias al transformar expresiones de potencia se utilizan tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.

Encuentra el valor de la expresión de potencia.

La igualdad (a·b) r =a r ·b r , aplicada de derecha a izquierda, nos permite pasar de la expresión original a un producto de la forma y más allá. Y al multiplicar potencias con las mismas bases, los exponentes suman: .

Fue posible transformar la expresión original de otra forma:

.

Dada la expresión de potencia a 1.5 −a 0.5 −6, introduce una nueva variable t=a 0.5.

La potencia a 1.5 se puede representar como a 0.5·3 y luego, basándose en la propiedad de un grado elevado a la potencia (a r) s =a r·s, aplicada de derecha a izquierda, transformarla a la forma (a 0.5) 3 . De este modo, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Ahora es fácil introducir una nueva variable t=a 0.5, obtenemos t 3 −t−6.

Convertir fracciones que contienen potencias

Las expresiones de potencias pueden contener o representar fracciones con potencias. Cualquiera de las transformaciones básicas de fracciones inherentes a fracciones de cualquier tipo es totalmente aplicable a dichas fracciones. Es decir, las fracciones que contienen potencias se pueden reducir, reducir a un nuevo denominador, trabajar por separado con su numerador y por separado con el denominador, etc. Para ilustrar estas palabras, considere soluciones a varios ejemplos.

Simplifique la expresión de poder .

Esta expresión de potencia es una fracción. Trabajemos con su numerador y denominador. En el numerador abrimos los corchetes y simplificamos la expresión resultante usando las propiedades de las potencias, y en el denominador presentamos términos similares:

Y también cambiemos el signo del denominador poniendo un menos delante de la fracción: .

.

La reducción de fracciones que contienen potencias a un nuevo denominador se lleva a cabo de manera similar a la reducción de fracciones racionales a un nuevo denominador. En este caso, también se encuentra un factor adicional y se multiplica por él el numerador y el denominador de la fracción. Al realizar esta acción conviene recordar que la reducción a un nuevo denominador puede provocar un estrechamiento del VA. Para evitar que esto suceda, es necesario que el factor adicional no llegue a cero para ningún valor de las variables de las variables ODZ para la expresión original.

Reducir las fracciones a un nuevo denominador: a) al denominador a, b) al denominador.

a) En este caso, es bastante fácil determinar qué multiplicador adicional ayuda a lograr el resultado deseado. Este es un multiplicador de a 0,3, ya que a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Tenga en cuenta que en el rango de valores permitidos de la variable a (este es el conjunto de todos los números reales positivos), la potencia de a 0,3 no desaparece, por lo tanto, tenemos derecho a multiplicar el numerador y el denominador de un dado fracción por este factor adicional:

b) Observando más de cerca el denominador, encontrarás que

y multiplicar esta expresión por dará la suma de cubos y, es decir, . Y este es el nuevo denominador al que debemos reducir la fracción original.

Así encontramos un multiplicador adicional. En el rango de valores permitidos de las variables x e y, la expresión no desaparece, por lo tanto, podemos multiplicar el numerador y denominador de la fracción por ella:

A) , b) .

Tampoco hay nada nuevo en reducir fracciones que contienen potencias: el numerador y el denominador se representan como una serie de factores, y los mismos factores del numerador y el denominador se reducen.

Reducir la fracción: a) , b) .

a) En primer lugar, el numerador y el denominador se pueden reducir por los números 30 y 45, que es igual a 15. Obviamente, también es posible realizar una reducción de x 0,5 +1 y de . Esto es lo que tenemos:

b) En este caso, los factores idénticos en el numerador y el denominador no son inmediatamente visibles. Para obtenerlos, tendrás que realizar transformaciones preliminares. En este caso consisten en factorizar el denominador mediante la fórmula de diferencia de cuadrados:

A)

b) .

La conversión de fracciones a un nuevo denominador y la reducción de fracciones se utilizan principalmente para hacer cosas con fracciones. Las acciones se realizan de acuerdo con reglas conocidas. Al sumar (restar) fracciones, se reducen a un denominador común, después de lo cual se suman (restan) los numeradores, pero el denominador sigue siendo el mismo. El resultado es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. La división por una fracción es la multiplicación por su inverso.

Sigue los pasos .

Primero, restamos las fracciones entre paréntesis. Para ello, los llevamos a un denominador común, que es , después de lo cual restamos los numeradores:

Ahora multiplicamos las fracciones:

Obviamente, es posible reducir a una potencia de x 1/2, después de lo cual tenemos .

También puedes simplificar la expresión de potencia en el denominador usando la fórmula de diferencia de cuadrados: .

Simplifique la expresión de poder .

Obviamente, esta fracción se puede reducir en (x 2,7 +1) 2, esto da la fracción . Está claro que es necesario hacer algo más con los poderes de X. Para ello, transformamos la fracción resultante en un producto. Esto nos da la oportunidad de aprovechar la propiedad de dividir poderes con las mismas bases: . Y al final del proceso pasamos del último producto a la fracción.

.

Y agreguemos también que es posible, y en muchos casos deseable, trasladar factores con exponentes negativos del numerador al denominador o del denominador al numerador, cambiando el signo del exponente. Estas transformaciones a menudo simplifican acciones posteriores. Por ejemplo, la expresión de poder se puede reemplazar por.

Convertir expresiones con raíces y potencias.

A menudo, en expresiones en las que se requieren algunas transformaciones, junto con las potencias también están presentes raíces con exponentes fraccionarios. Para transformar una expresión de este tipo en la forma deseada, en la mayoría de los casos basta con acudir sólo a las raíces o sólo a las potencias. Pero como es más conveniente trabajar con potencias, normalmente pasan de las raíces a las potencias. Sin embargo, es aconsejable realizar dicha transición cuando la ODZ de variables para la expresión original permite reemplazar las raíces con potencias sin necesidad de consultar el módulo o dividir la ODZ en varios intervalos (discutimos esto en detalle en el artículo transición de raíces a potencias y viceversa Después de familiarizarnos con el grado con exponente racional se introduce un grado con exponente irracional, lo que nos permite hablar de un grado con exponente real arbitrario. En esta etapa, comienza a ser. estudió en la escuela. función exponencial , que analíticamente está dado por una potencia, cuya base es un número y el exponente es una variable. Entonces nos enfrentamos a expresiones de potencia que contienen números en la base de la potencia y en el exponente, expresiones con variables y, naturalmente, surge la necesidad de realizar transformaciones de tales expresiones.

Cabe decir que la transformación de expresiones del tipo indicado normalmente hay que realizarla al resolver ecuaciones exponenciales Y desigualdades exponenciales, y estas conversiones son bastante simples. En la inmensa mayoría de los casos, se basan en las propiedades de los títulos y en su mayoría tienen como objetivo introducir una nueva variable en el futuro. La ecuación nos permitirá demostrarlos. 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

En primer lugar, las potencias, en cuyos exponentes está la suma de una determinada variable (o expresión con variables) y un número, se sustituyen por productos. Esto se aplica al primer y último término de la expresión del lado izquierdo:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

A continuación, ambos lados de la igualdad se dividen por la expresión 7 2 x, que toma solo valores positivos en la ODZ de la variable x para la ecuación original (esta es una técnica estándar para resolver ecuaciones de este tipo, no estamos Hablando de eso ahora, así que concéntrese en las transformaciones posteriores de expresiones con potencias):

Ahora podemos cancelar fracciones con potencias, lo que da .

Finalmente, la relación de potencias con los mismos exponentes se reemplaza por potencias de relaciones, dando como resultado la ecuación , que es equivalente . Las transformaciones realizadas nos permiten introducir una nueva variable, que reduce la solución de la ecuación exponencial original a la solución de una ecuación cuadrática.

I. V. Boykov, L. D. Romanova Colección de tareas para la preparación del Examen Estatal Unificado. Parte 1. Penza 2003.

Secciones: Matemáticas

Tipo de lección: lección de generalización y sistematización del conocimiento.

Objetivos:

educativo– repetir la definición de grado, las reglas para multiplicar y dividir grados, elevar un grado a una potencia, consolidar las habilidades para resolver ejemplos que contengan grados,

desarrollo- desarrollo pensamiento lógico estudiantes, interés en el material que se está estudiando,

levantamiento– fomentar una actitud responsable hacia el aprendizaje, una cultura de la comunicación y un sentido de colectivismo.

Equipo: computadora, proyector multimedia, pizarra interactiva, presentación de “Grados” para cálculo mental, tarjetas de tareas, folletos.

Plan de lección:

Momento organizacional.

Repetición de reglas

Conteo oral.

Información histórica.

Trabaja en el tablero.

Minuto de educación física.

Trabajando en una pizarra interactiva.

Trabajo independiente.

Tarea.

Resumiendo la lección.

Progreso de la lección

I. Momento organizacional

Comunicar el tema y los objetivos de la lección.

En lecciones anteriores descubriste mundo asombroso grados, aprendí a multiplicar y dividir grados, y elevarlos a una potencia. Hoy debemos consolidar los conocimientos adquiridos resolviendo ejemplos.

II. Repetición de reglas(oralmente)

1. ¿Dar la definición de grado con exponente natural? (Poder del número A con un exponente natural mayor que 1 se llama producto norte factores, cada uno de los cuales es igual A.)
2. ¿Cómo multiplicar dos potencias? (Para multiplicar potencias con las mismas bases, debes dejar la base igual y sumar los exponentes.)
3. ¿Cómo dividir grado por grado? (Para dividir potencias con las mismas bases, debes dejar la base igual y restar los exponentes).
4. ¿Cómo elevar un producto a una potencia? (Para elevar un producto a una potencia, es necesario elevar cada factor a esa potencia)
5. ¿Cómo elevar un grado a una potencia? (Para elevar una potencia a una potencia es necesario dejar la base igual y multiplicar los exponentes)

III. conteo oral(por multimedia)

IV. Antecedentes históricos

Todos los problemas proceden del papiro Ahmes, que fue escrito alrededor del año 1650 a.C. mi. relacionados con la práctica de la construcción, demarcación de terrenos, etc. Las tareas están agrupadas por temas. Se trata principalmente de problemas de encontrar las áreas de un triángulo, cuadriláteros y un círculo, varias operaciones con números enteros y fracciones, división proporcional, encontrar razones, también hay elevación a diferentes potencias, resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

Hay una completa falta de explicación o evidencia. El resultado deseado se proporciona directamente o se proporciona un breve algoritmo para calcularlo. Este método de presentación, típico de la ciencia en los países del antiguo Oriente, sugiere que las matemáticas se desarrollaron allí a través de generalizaciones y conjeturas que no formaron ninguna teoría general. Sin embargo, el papiro contiene una serie de pruebas de que los matemáticos egipcios sabían extraer raíces y elevarlas a potencias, resolver ecuaciones e incluso dominar los rudimentos del álgebra.

V. Trabajar en la junta

Encuentra el significado de la expresión de forma racional:

Calcula el valor de la expresión:



VI. minuto de educación física

6. para los ojos
7. para el cuello
8. para manos
9. para el torso
10. para pies

VII. resolución de problemas(con visualización en la pizarra interactiva)

¿La raíz de la ecuación es un número positivo?

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Fórmulas de potencias y raíces.

Fórmulas de grado utilizado en el proceso de reducción y simplificación de expresiones complejas, en la resolución de ecuaciones y desigualdades.

Número do es norte-ésima potencia de un número a Cuando:



Operaciones con grados.

1. Al multiplicar los grados con la misma base, se suman sus indicadores:

2. Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes:



3. El grado del producto de 2 o más factores es igual al producto de los grados de estos factores:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. El grado de una fracción es igual a la razón entre los grados del dividendo y el divisor:

5. Elevando una potencia a una potencia, se multiplican los exponentes:

Cada fórmula anterior es verdadera en las direcciones de izquierda a derecha y viceversa.

Operaciones con raíces.

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de una razón es igual a la razón entre el dividendo y el divisor de las raíces:



3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar el número radical a esta potencia:



4. Si aumentas el grado de la raíz en norte una vez y al mismo tiempo construir en norte La potencia es un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:



5. Si reduce el grado de la raíz en norte extraer la raíz al mismo tiempo norte-ésima potencia de un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:



La potencia de un determinado número con un exponente no positivo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente no positivo:



Fórmula soy :a n = a m - n se puede utilizar no sólo para metro > norte, pero también con metro 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

a formular soy :a n = a m - n se volvió justo cuando m=n, se requiere la presencia de cero grados.

La potencia de cualquier número, no igual a cero, con exponente cero es igual a uno.

Para elevar un número real A al grado Minnesota, necesitas extraer la raíz norte-ésimo grado de metro-ésima potencia de este número A:



Fórmulas de grado.

6. a - norte = - división de grados;

7. - división de grados;

8. a 1/n = ;

Grados de reglas de acción con grados.

1. El grado del producto de dos o más factores es igual al producto de los grados de estos factores (con el mismo exponente):

(abc…) n = a n b n c n …

Ejemplo 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Ejemplo 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x - a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

En la práctica, la conversión inversa es más importante:

a n b n c n … = (abc…) n

aquellos. el producto de potencias idénticas de varias cantidades es igual a la misma potencia del producto de estas cantidades.

Ejemplo 3. Ejemplo 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. La potencia de un cociente (fracción) es igual al cociente de dividir la misma potencia del divisor por la misma potencia:

Ejemplo 5. Ejemplo 6.

Conversión inversa:. Ejemplo 7. . Ejemplo 8. .

3. Al multiplicar grados con las mismas bases, se suman los exponentes de los grados:

Ejemplo 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Ejemplo 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Al dividir potencias con las mismas bases, al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor

Ejemplo 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Ejemplo 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Al elevar un grado a una potencia, los exponentes se multiplican:

Ejemplo 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Ejemplo 14.

www.maths.yfa1.ru

Poderes y raíces

Operaciones con potencias y raíces. Grado con negativo ,

cero y fraccionario indicador. Sobre expresiones que no tienen significado.

Operaciones con grados.

1. Al multiplicar potencias de la misma base se suman sus exponentes:

soy · un norte = un metro + norte .

2. Al dividir grados con la misma base, sus exponentes se deducen .



3. El grado del producto de dos o más factores es igual al producto de los grados de estos factores.

4. El grado de una razón (fracción) es igual a la razón entre los grados del dividendo (numerador) y el divisor (denominador):

(a/b) norte = un norte / segundo norte .

5. Al elevar una potencia a una potencia, sus exponentes se multiplican:

Todas las fórmulas anteriores se leen y ejecutan en ambas direcciones, de izquierda a derecha y viceversa.

EJEMPLO (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operaciones con raíces. En todas las fórmulas siguientes, el símbolo significa raíz aritmética(la expresión radical es positiva).

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de una razón es igual a la razón entre las raíces del dividendo y el divisor:



3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevarla a esta potencia. número radical:



4. Si aumenta el grado de la raíz m veces y al mismo tiempo eleva el número radical a la mésima potencia, entonces el valor de la raíz no cambiará:



5. Si reduce el grado de la raíz m veces y simultáneamente extrae la raíz m del número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:





Ampliando el concepto de titulación. Hasta ahora hemos considerado grados sólo con exponentes naturales; pero las operaciones con poderes y raíces también pueden conducir a negativo, cero Y fraccionario indicadores. Todos estos exponentes requieren una definición adicional.

Un grado con exponente negativo. La potencia de un determinado número con un exponente negativo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente negativo:



Ahora la fórmula soy : un = un metro - norte se puede utilizar no sólo para metro, más que norte, pero también con metro, menos que norte .

EJEMPLO a 4: a 7 = un 4 - 7 = un - 3 .

Si queremos la fórmula soy : un = soy - norte fue justo cuando metro = norte, necesitamos una definición de grado cero.

Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es 1.

EJEMPLOS. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real a a la potencia m / n, es necesario extraer la raíz enésima de la potencia m de este número a:



Sobre expresiones que no tienen significado. Hay varias expresiones de este tipo.

Dónde a ≠ 0 , no existe.

De hecho, si asumimos que incógnita es un número determinado, entonces de acuerdo con la definición de la operación de división tenemos: a = 0· incógnita, es decir. a= 0, lo que contradice la condición: a ≠ 0

- cualquier número.

De hecho, si asumimos que esta expresión es igual a algún número incógnita, entonces según la definición de la operación de división tenemos: 0 = 0 · incógnita. Pero esta igualdad ocurre cuando cualquier número x, que era lo que había que demostrar.

0 0 - cualquier número.



Solución. Consideremos tres casos principales:

1) incógnita = 0 – este valor no satisface esta ecuación

2) cuando incógnita> 0 obtenemos: x/x= 1, es decir 1 = 1, lo que significa

Qué incógnita– cualquier número; pero teniendo en cuenta que en

en nuestro caso incógnita> 0, la respuesta es incógnita > 0 ;

Propiedades del grado

Te recordamos que en esta lección entenderemos propiedades de los grados con indicadores naturales y cero. Las potencias con exponentes racionales y sus propiedades se discutirán en las lecciones para octavo grado.

Una potencia con exponente natural tiene varias propiedades importantes que nos permiten simplificar los cálculos en ejemplos con potencias.

Propiedad No. 1
Producto de poderes

Al multiplicar potencias con las mismas bases, la base permanece sin cambios y se suman los exponentes de las potencias.

a m · a n = a m + n, donde “a” es cualquier número y “m”, “n” son números naturales cualesquiera.

Esta propiedad de las potencias también se aplica al producto de tres o más potencias.

• Simplifica la expresión.
  segundo segundo 2 segundo 3 segundo 4 segundo 5 = segundo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = segundo 15
• Presentarlo como un título.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presentarlo como un título.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Tenga en cuenta que en la propiedad especificada estábamos hablando solo de la multiplicación de potencias con las mismas bases.. No se aplica a su adición.

No puedes reemplazar la suma (3 3 + 3 2) por 3 5. Esto es comprensible si
contar (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, y 3 5 = 243

Propiedad No. 2
grados parciales

Al dividir potencias con las mismas bases, la base permanece sin cambios y el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo.

• Escribe el cociente como una potencia.
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Calcular.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Ejemplo. Resuelve la ecuación. Usamos la propiedad del cociente de potencias.
3 8: t = 3 4

Respuesta: t = 3 4 = 81

Usando las propiedades No. 1 y No. 2, puede simplificar expresiones y realizar cálculos fácilmente.

Ejemplo. Simplifica la expresión.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Ejemplo. Encuentra el valor de una expresión usando las propiedades de los exponentes.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Tenga en cuenta que en la Propiedad 2 solo estábamos hablando de dividir potencias con las mismas bases.

No puedes reemplazar la diferencia (4 3 −4 2) con 4 1. Esto es comprensible si calculas (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, y 4 1 = 4

Propiedad No. 3
Elevar un grado a una potencia

Al elevar un grado a una potencia, la base del grado permanece sin cambios y los exponentes se multiplican.

(a n) m = a n · m, donde “a” es cualquier número y “m”, “n” son números naturales cualesquiera.

Ejemplo.
(un 4) 6 = un 4 6 = un 24

Ejemplo. Expresa 3 20 como una potencia con base 3 2.

Por la propiedad de elevar un grado a una potencia. Se sabe que cuando se eleva a una potencia los exponentes se multiplican, lo que significa:

Propiedades 4
Potencia del producto

Cuando una potencia se eleva a una potencia del producto, cada factor se eleva a esa potencia y los resultados se multiplican.

(a b) n = a n b n, donde “a”, “b” son números racionales cualesquiera; "n" es cualquier número natural.

• Ejemplo 1.
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
• Ejemplo 2.
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Tenga en cuenta que la propiedad número 4, al igual que otras propiedades de los grados, también se aplica en orden inverso.

(un segundo norte) = (uno segundo) norte

Es decir, para multiplicar potencias con los mismos exponentes, puedes multiplicar las bases, pero dejar el exponente sin cambios.

• Ejemplo. Calcular.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
• Ejemplo. Calcular.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

En ejemplos más complejos, puede haber casos en los que la multiplicación y la división deban realizarse sobre potencias con diferentes bases y diferentes exponentes. En este caso, le recomendamos que haga lo siguiente.

Por ejemplo, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un ejemplo de cómo elevar un decimal a una potencia.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Propiedades 5
Potencia de un cociente (fracción)

Para elevar un cociente a una potencia, puedes elevar el dividendo y el divisor por separado a esta potencia y dividir el primer resultado entre el segundo.

(a: b) n = a n: b n, donde “a”, “b” son números racionales cualesquiera, b ≠ 0, n - cualquier número natural.

• Ejemplo. Presente la expresión como un cociente de potencias.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Te recordamos que un cociente se puede representar como una fracción. Por lo tanto, nos detendremos en el tema de elevar una fracción a una potencia con más detalle en la página siguiente.

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Primero, recordemos las fórmulas básicas de las potencias y sus propiedades.

producto de un numero a ocurre sobre sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a a … a=a n

1. un 0 = 1 (un ≠ 0)

3. una norte una metro = una norte + metro

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un norte / un metro = un norte - metro

Ecuaciones de potencia o exponenciales– son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes) y la base es un número.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales:

En este ejemplo, el número 6 es la base, siempre está abajo y la variable; incógnita grado o indicador.

Demos más ejemplos de ecuaciones exponenciales.
2×5=10
16x - 4x - 6=0

Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.

Tomemos una ecuación simple:

2 x = 2 3

Este ejemplo se puede resolver incluso en tu cabeza. Se puede ver que x=3. Después de todo, para que los lados izquierdo y derecho sean iguales, debes poner el número 3 en lugar de x.
Ahora veamos cómo formalizar esta decisión:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver dicha ecuación, eliminamos motivos idénticos(es decir, dos) y anotó lo que quedaba, estos son grados. Obtuvimos la respuesta que estábamos buscando.

Ahora resumamos nuestra decisión.

Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesidad de comprobar idéntico si la ecuación tiene bases a la derecha y a la izquierda. Si los motivos no son los mismos, buscamos opciones para solucionar este ejemplo.
2. Después de que las bases sean iguales, equiparar grados y resuelve la nueva ecuación resultante.

Ahora veamos algunos ejemplos:

Comencemos con algo simple.

Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus potencias.

x+2=4 Se obtiene la ecuación más simple.
x=4 - 2
x=2
Respuesta:x=2

En el siguiente ejemplo puedes ver que las bases son diferentes: 3 y 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Primero, movemos el nueve hacia el lado derecho y obtenemos:

Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9=3 2. Usemos la fórmula de potencia (an) m = a nm.

3 3x = (3 2)x+8

Obtenemos 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Ahora está claro que en los lados izquierdo y derecho las bases son iguales e iguales a tres, lo que significa que podemos descartarlas e igualar los grados.

3x=2x+16 obtenemos la ecuación más simple
3x - 2x=16
x=16
Respuesta:x=16.

Veamos el siguiente ejemplo:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

En primer lugar, nos fijamos en las bases, bases dos y cuatro. Y necesitamos que sean iguales. Transformamos los cuatro usando la fórmula (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2 x

Y también usamos una fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Suma a la ecuación:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dimos un ejemplo por las mismas razones. Pero nos molestan otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si miras de cerca, puedes ver que en el lado izquierdo tenemos 2 2x repetido, y aquí está la respuesta: podemos poner 2 2x entre paréntesis:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculemos la expresión entre paréntesis:

2 4 - 10 = 16 - 10 = 6

Dividimos toda la ecuación por 6:

Imaginemos 4=2 2:

2 2x = 2 2 bases son iguales, las descartamos e igualamos los grados.
2x = 2 es la ecuación más simple. lo dividimos por 2 y obtenemos
x = 1
Respuesta: x = 1.

Resolvamos la ecuación:

9x – 12*3x +27= 0

Transformemos:
9x = (3 2)x = 3 2x

Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nuestras bases son iguales, iguales a tres. En este ejemplo, puedes ver que las tres primeras tienen un grado dos veces (2x) que la segunda (solo x). En este caso puedes resolver método de reemplazo. Reemplazamos el número con el grado más pequeño:

Entonces 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Reemplazamos todas las potencias x en la ecuación con t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendo por el discriminante obtenemos:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Volviendo a la variable incógnita.

Tome t 1:
t 1 = 9 = 3x

Por lo tanto,

3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
t 2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Respuesta: x 1 = 2; x2 = 1.

En la web puedes hacer preguntas de tu interés en el apartado AYUDA A DECIDIR, seguro que te responderemos.

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Es obvio que los números con potencias se pueden sumar como otras cantidades. , sumándolos uno tras otro con sus signos.

Entonces, la suma de a 3 y b 2 es a 3 + b 2.
La suma de a 3 - b n y h 5 - d 4 es a 3 - b n + h 5 - d 4.

Impares grados iguales de variables idénticas se pueden sumar o restar.

Entonces, la suma de 2a 2 y 3a 2 es igual a 5a 2.

También es obvio que si tomas dos cuadrados a, o tres cuadrados a, o cinco cuadrados a.

Pero grados varias variables Y varios grados variables idénticas, deben componerse sumándolos con sus signos.

Entonces, la suma de a 2 y a 3 es la suma de a 2 + a 3.

Es obvio que el cuadrado de a, y el cubo de a, no son iguales al doble del cuadrado de a, sino al doble del cubo de a.

La suma de a 3 b n y 3a 5 b 6 es a 3 b n + 3a 5 b 6.

Sustracción Las potencias se llevan a cabo de la misma manera que la suma, excepto que los signos de los sustraendos deben cambiarse en consecuencia.

O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

multiplicando poderes

Los números con potencias se pueden multiplicar, como otras cantidades, escribiéndolos uno tras otro, con o sin signo de multiplicación entre ellos.

Por lo tanto, el resultado de multiplicar a 3 por b 2 es a 3 b 2 o aaabb.

O:
x -3 ⋅ un metro = un metro x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 segundo 3 y 2 ⋅ a 3 segundo 2 y = a 2 segundo 3 y 2 a 3 segundo 2 y

El resultado del último ejemplo se puede ordenar agregando variables idénticas.
La expresión tomará la forma: a 5 b 5 y 3.

Al comparar varios números (variables) con potencias, podemos ver que si se multiplican dos de ellos, entonces el resultado es un número (variable) con una potencia igual a cantidad grados de términos.

Entonces, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aquí 5 es la potencia del resultado de la multiplicación, igual a 2 + 3, la suma de las potencias de los términos.

Entonces, a n .a m = a m+n .

Para an , a se toma como factor tantas veces como la potencia de n;

Y una m se toma como factor tantas veces como sea igual el grado m;

Es por eso, potencias con las mismas bases se pueden multiplicar sumando los exponentes de las potencias.

Entonces, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Y x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O:
4a norte ⋅ 2a norte = 8a 2n
segundo 2 y 3 ⋅ segundo 4 y = segundo 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Respuesta: x 4 - y 4.
Multiplica (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Esta regla también es válida para números cuyos exponentes son negativo.

1. Entonces, a -2 .a -3 = a -5 . Esto se puede escribir como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -nm .

3. a -n .a m = a m-n .

Si a + b se multiplican por a - b, el resultado será a 2 - b 2: es decir

El resultado de multiplicar la suma o diferencia de dos números es igual a la suma o diferencia de sus cuadrados.

Si la suma y la diferencia de dos números elevados a cuadrado, el resultado será igual a la suma o diferencia de estos números en cuatro grados.

Entonces, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

división de grados

Los números con potencias se pueden dividir como otros números, restándolos del dividendo o colocándolos en forma de fracción.

Por lo tanto, a 3 b 2 dividido por b 2 es igual a a 3.

O:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Escribir un 5 dividido por un 3 se ve como $\frac(a^5)(a^3)$. Pero esto es igual a un 2 . En una serie de números
un +4 , un +3 , un +2 , un +1 , un 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
cualquier número se puede dividir por otro y el exponente será igual a diferencia indicadores de números divisibles.

Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes..

Entonces, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Es decir, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Y un n+1:a = un n+1-1 = un n . Es decir, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O:
y 2 m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

La regla también es válida para números con negativo valores de grados.
El resultado de dividir -5 entre -3 es -2.
Además, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es necesario dominar muy bien la multiplicación y división de potencias, ya que este tipo de operaciones se utilizan mucho en álgebra.

Ejemplos de resolución de ejemplos con fracciones que contienen números con potencias.

1. Reducir los exponentes en $\frac(5a^4)(3a^2)$ Respuesta: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Disminuye los exponentes en $\frac(6x^6)(3x^5)$. Respuesta: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Reducir los exponentes a 2 /a 3 y a -3 /a -4 y llevarlos a un denominador común.
a 2 .a -4 es a -2 el primer numerador.
a 3 .a -3 es a 0 = 1, el segundo numerador.
a 3 .a -4 es a -1 , el numerador común.
Después de la simplificación: a -2 /a -1 y 1/a -1 .

4. Reducir los exponentes 2a 4 /5a 3 y 2 /a 4 y llevarlos a un denominador común.
Respuesta: 2a 3 /5a 7 y 5a 5 /5a 7 o 2a 3 /5a 2 y 5/5a 2.

5. Multiplica (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.

6. Multiplica (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplica b 4 /a -2 por h -3 /x y a n /y -3 .

8. Divide un 4 /y 3 por un 3 /y 2. Respuesta: a/a.

9. Divida (h 3 - 1)/d 4 por (d n + 1)/h.

Te recordamos que en esta lección entenderemos propiedades de los grados con indicadores naturales y cero.

Las potencias con exponentes racionales y sus propiedades se discutirán en las lecciones para octavo grado.

Propiedad No. 1
Producto de poderes

Una potencia con exponente natural tiene varias propiedades importantes que nos permiten simplificar los cálculos en ejemplos con potencias.

Al multiplicar potencias con las mismas bases, la base permanece sin cambios y se suman los exponentes de las potencias.

a m · a n = a m + n, donde “a” es cualquier número y “m”, “n” son números naturales cualesquiera.

Esta propiedad de las potencias también se aplica al producto de tres o más potencias.

• Simplifica la expresión.
  segundo segundo 2 segundo 3 segundo 4 segundo 5 = segundo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = segundo 15
• Presentarlo como un título.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presentarlo como un título.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

¡Importante!

Tenga en cuenta que en la propiedad indicada estábamos hablando solo de multiplicar potencias con por los mismos motivos . No se aplica a su adición.

No puedes reemplazar la suma (3 3 + 3 2) por 3 5. Esto es comprensible si
calcular (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, y 3 5 = 243

Propiedad No. 2
grados parciales

Una potencia con exponente natural tiene varias propiedades importantes que nos permiten simplificar los cálculos en ejemplos con potencias.

Al dividir potencias con la misma base, la base permanece sin cambios y el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo.

= 11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44

Ejemplo. Resuelve la ecuación. Usamos la propiedad del cociente de potencias.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 - 4

Respuesta: t = 3 4 = 81

Usando las propiedades No. 1 y No. 2, puede simplificar expresiones y realizar cálculos fácilmente.

• Ejemplo. Simplifica la expresión.
  4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Ejemplo. Encuentra el valor de una expresión usando las propiedades de los exponentes.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  ¡Importante!

  Tenga en cuenta que en la Propiedad 2 solo estábamos hablando de dividir potencias con las mismas bases.

  No puedes reemplazar la diferencia (4 3 −4 2) con 4 1. Esto es comprensible si cuentas (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 y 4 1 = 4

  ¡Ten cuidado!

  Propiedad No. 3
  Elevar un grado a una potencia

  Una potencia con exponente natural tiene varias propiedades importantes que nos permiten simplificar los cálculos en ejemplos con potencias.

  Al elevar un grado a una potencia, la base del grado permanece sin cambios y los exponentes se multiplican.

  (a n) m = a n · m, donde “a” es cualquier número y “m”, “n” son números naturales cualesquiera.

  
  

  Propiedades 4
  Potencia del producto

  Una potencia con exponente natural tiene varias propiedades importantes que nos permiten simplificar los cálculos en ejemplos con potencias.

  Al elevar un producto a una potencia, cada uno de los factores se eleva a una potencia. Luego se multiplican los resultados obtenidos.

  (a b) n = a n b n, donde “a”, “b” son números racionales cualesquiera; "n" es cualquier número natural.

  • Ejemplo 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Ejemplo 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  ¡Importante!

  Tenga en cuenta que la propiedad número 4, al igual que otras propiedades de los grados, también se aplica en orden inverso.

  (un·bn)= (un·b)n

  Es decir, para multiplicar potencias con los mismos exponentes, puedes multiplicar las bases, pero dejar el exponente sin cambios.

  • Ejemplo. Calcular.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Ejemplo. Calcular.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  En ejemplos más complejos, puede haber casos en los que la multiplicación y la división deban realizarse sobre potencias con diferentes bases y diferentes exponentes.

  En este caso, le recomendamos que haga lo siguiente. 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Un ejemplo de cómo elevar un decimal a una potencia.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Propiedades 5
  Potencia de un cociente (fracción)

  Una potencia con exponente natural tiene varias propiedades importantes que nos permiten simplificar los cálculos en ejemplos con potencias.

  Para elevar un cociente a una potencia, puedes elevar el dividendo y el divisor por separado a esta potencia y dividir el primer resultado entre el segundo.

  (a: b) n = a n: b n, donde “a”, “b” son números racionales cualesquiera, b ≠ 0, n es cualquier número natural.

  • Ejemplo. Presente la expresión como un cociente de potencias.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Te recordamos que un cociente se puede representar como una fracción. Por lo tanto, nos detendremos en el tema de elevar una fracción a una potencia con más detalle en la página siguiente.

Lección sobre el tema: "Reglas de multiplicación y división de potencias con exponentes iguales y diferentes. Ejemplos"

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Objetivo de la lección: aprender a realizar operaciones con potencias de números.

Primero, recordemos el concepto de "poder del número". Una expresión de la forma $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ se puede representar como $a^n$.

Lo contrario también es cierto: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Esta igualdad se llama "registrar el grado como producto". Nos ayudará a determinar cómo multiplicar y dividir potencias.
Recordar:
a– la base del título.
norte– exponente.
Si norte=1, que significa el número A tomó una vez y en consecuencia: $a^n= a$.
Si norte= 0, entonces $a^0= 1$.

Podemos descubrir por qué sucede esto cuando nos familiaricemos con las reglas de multiplicación y división de potencias.

Reglas de multiplicación

a) Si se multiplican potencias de la misma base.
Para obtener $a^n * a^m$, escribimos los grados como un producto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
La figura muestra que el número A tomó n+m veces, entonces $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Ejemplo.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Es conveniente utilizar esta propiedad para simplificar el trabajo al elevar un número a una potencia superior.
Ejemplo.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Si se multiplican potencias con diferentes bases pero con el mismo exponente.
Para obtener $a^n * b^n$, escribimos los grados como un producto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Si intercambiamos los factores y contamos los pares resultantes, obtenemos: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Entonces $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Ejemplo.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

reglas de división

a) La base de la titulación es la misma, los indicadores son diferentes.
Considere dividir una potencia con un exponente mayor dividiendo una potencia con un exponente menor.

Entonces, necesitamos $\frac(a^n)(a^m)$, Dónde n>m.

Escribamos los grados como una fracción:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Por conveniencia, escribimos la división como una fracción simple.

Ahora reduzcamos la fracción.

Resulta: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Medio, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Esta propiedad ayudará a explicar la situación de elevar un número a la potencia cero. Supongamos que norte=metro, entonces $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Ejemplos.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Las bases de la titulación son diferentes, los indicadores son los mismos.
Digamos que necesitamos $\frac(a^n)( b^n)$. Escribamos potencias de números como fracciones:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Por conveniencia, imaginemos.

Usando la propiedad de las fracciones, dividimos la fracción grande por el producto de las pequeñas y obtenemos.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
En consecuencia: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Ejemplo.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.