El proceso de búsqueda de los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento recuerda a un fascinante vuelo alrededor de un objeto (gráfico de funciones) en un helicóptero, disparando a ciertos puntos con un cañón de largo alcance y seleccionando puntos muy especiales. desde estos puntos para tiros de control. Los puntos se seleccionan de una determinada manera y según determinadas reglas. ¿Bajo qué reglas? Hablaremos más sobre esto.
Si la función y = F(incógnita) es continua en el intervalo [ a, b] , entonces llega a este segmento el menos Y valores más altos . Esto puede suceder ya sea en puntos extremos, o en los extremos del segmento. Por lo tanto, para encontrar el menos Y los valores más grandes de la función. , continua en el intervalo [ a, b] , necesitas calcular sus valores en total puntos críticos y en los extremos del segmento, y luego elija el más pequeño y el más grande de ellos.
Supongamos, por ejemplo, que desea determinar el valor más grande de la función. F(incógnita) en el segmento [ a, b] . Para hacer esto, necesita encontrar todos sus puntos críticos en [ a, b] .
Punto crítico llamado el punto en el que función definida y ella derivado es igual a cero o no existe. Luego se deben calcular los valores de la función en los puntos críticos. Y finalmente, se deben comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento ( F(a) Y F(b)). El mayor de estos números será el valor más grande de la función en el segmento [a, b] .
Problemas de encontrar valores de función más pequeños .
Buscamos juntos los valores más pequeño y más grande de la función
Ejemplo 1. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. 
en el segmento [-1, 2]
.
Solución. Encuentra la derivada de esta función. Igualemos la derivada a cero () y obtengamos dos puntos críticos: y . Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento dado, basta con calcular sus valores en los extremos del segmento y en el punto, ya que el punto no pertenece al segmento [-1, 2]. Estos valores de función son: , , . De esto se desprende que valor de función más pequeño(indicado en rojo en el gráfico siguiente), igual a -7, se logra en el extremo derecho del segmento - en el punto , y mayor(también rojo en el gráfico), es igual a 9, - en el punto crítico.
Si una función es continua en un determinado intervalo y este intervalo no es un segmento (pero es, por ejemplo, un intervalo; la diferencia entre un intervalo y un segmento: los puntos límite del intervalo no están incluidos en el intervalo, pero el Los puntos límite del segmento están incluidos en el segmento), entonces entre los valores de la función puede que no haya el más pequeño y el más grande. Entonces, por ejemplo, la función que se muestra en la siguiente figura es continua en ]-∞, +∞[ y no tiene el mayor valor.
Sin embargo, para cualquier intervalo (cerrado, abierto o infinito), la siguiente propiedad de las funciones continuas es cierta.
Ejemplo 4. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. en el segmento [-1, 3] .
Solución. Encontramos la derivada de esta función como derivada del cociente:
.
Igualamos la derivada a cero, lo que nos da un punto crítico: . Pertenece al segmento [-1, 3]. Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:
Comparemos estos valores. Conclusión: igual a -5/13, en el punto y valor más alto igual a 1 en el punto .
Seguimos buscando juntos los valores más pequeño y más grande de la función.
Hay profesores que en el tema de encontrar el valor más pequeño y más grande de una función, no dan a sus estudiantes ejemplos para resolver que sean más complejos que los que acabamos de comentar, es decir, aquellos en los que la función es un polinomio o un fracción cuyo numerador y denominador son polinomios. Pero no nos limitaremos a este tipo de ejemplos, ya que entre los profesores hay quienes les gusta obligar a los alumnos a pensar en su totalidad (la tabla de derivadas). Por tanto, se utilizará el logaritmo y la función trigonométrica.
Ejemplo 6. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. en el segmento .
Solución. Encontramos la derivada de esta función como derivado del producto :
Igualamos la derivada a cero, lo que da un punto crítico: . Pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:
Resultado de todas las acciones: la función alcanza su valor mínimo, igual a 0, en el punto y en el punto y valor más alto, igual mi², en el punto.
Ejemplo 7. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. 
en el segmento .
Solución. Encuentra la derivada de esta función:
Igualamos la derivada a cero:
El único punto crítico pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:
Conclusión: la función alcanza su valor mínimo, igual a , en el punto y valor más alto, igual , en el punto .
En problemas extremos aplicados, encontrar los valores más pequeños (máximos) de una función, por regla general, se reduce a encontrar el mínimo (máximo). Pero no son los mínimos o máximos en sí los que tienen mayor interés práctico, sino aquellos valores del argumento en los que se alcanzan. Al resolver problemas aplicados, surge una dificultad adicional: componer funciones que describan el fenómeno o proceso considerado.
Ejemplo 8. Se debe estañar un depósito con capacidad para 4 personas, que tiene forma de paralelepípedo, de base cuadrada y abierto por arriba. ¿Qué tamaño debe tener el tanque para que se utilice la menor cantidad de material para cubrirlo?
Solución. Dejar incógnita- lado de la base, h- altura del tanque, S- su superficie sin cubierta, V- su volumen. La superficie del tanque se expresa mediante la fórmula, es decir es una función de dos variables. para expresar S como función de una variable, usamos el hecho de que, de dónde. Sustituyendo la expresión encontrada h en la fórmula para S:
Examinemos esta función hasta su extremo. Está definido y diferenciable en todas partes en ]0, +∞[ y
.
Igualamos la derivada a cero () y encontramos el punto crítico. Además, cuando la derivada no existe, pero este valor no está incluido en el dominio de definición y por tanto no puede ser un punto extremo. Entonces este es el único punto crítico. Comprobemos la presencia de un extremo utilizando el segundo signo suficiente. Encontremos la segunda derivada. Cuando la segunda derivada es mayor que cero (). Esto significa que cuando la función alcanza un mínimo 
. Desde esto mínimo es el único extremo de esta función, es su valor más pequeño. Entonces, el lado de la base del tanque debe ser de 2 m y su altura debe ser de .
Ejemplo 9. desde el punto A situado sobre la vía del ferrocarril, hasta el punto CON, ubicado a una distancia de él yo, la carga debe ser transportada. El costo de transportar una unidad de peso por unidad de distancia por ferrocarril es igual a , y por carretera es igual a . hasta que punto METRO pauta ferrocarril Se debería construir una carretera para transportar carga desde A V CON fue el más económico (tramo AB¿Se supone que el ferrocarril es recto)?
A menudo, en física y matemáticas se requiere encontrar el valor más pequeño de una función. Ahora le diremos cómo hacer esto.
Cómo encontrar el valor más pequeño de una función: instrucciones
- Para calcular el valor más pequeño de una función continua en un segmento determinado, debe seguir el siguiente algoritmo:
- Encuentra la derivada de la función.
- Encuentre en un segmento dado los puntos en los que la derivada es igual a cero, así como todos los puntos críticos. Luego descubre los valores de la función en estos puntos, es decir, resuelve la ecuación donde x es igual a cero. Descubre cuál valor es el más pequeño.
- Identificar qué valor tiene una función en los puntos finales. Determine el valor más pequeño de la función en estos puntos.
- Compare los datos obtenidos con el valor más bajo. El menor de los números resultantes será el valor más pequeño de la función.
Tenga en cuenta que si una función en un segmento no tiene puntos más pequeños, esto significa que está aumentando o disminuyendo en este segmento. Por lo tanto, el valor más pequeño debe calcularse en los segmentos finitos de la función.
En todos los demás casos, el valor de la función se calcula según el algoritmo especificado. En cada punto del algoritmo necesitarás resolver una ecuación lineal simple con una raíz. Resuelve la ecuación usando una imagen para evitar errores.
¿Cómo encontrar el valor más pequeño de una función en un segmento medio abierto? En un período semiabierto o abierto de la función, el valor más pequeño debe encontrarse de la siguiente manera. En los puntos finales del valor de la función, calcule el límite unilateral de la función. En otras palabras, resolver una ecuación en la que los puntos tendientes están dados por los valores a+0 y b+0, donde a y b son los nombres de los puntos críticos.
Ahora sabes cómo encontrar el valor más pequeño de una función. Lo principal es realizar todos los cálculos de forma correcta, precisa y sin errores.
El algoritmo estándar para resolver este tipo de problemas implica, después de encontrar los ceros de la función, determinar los signos de la derivada en los intervalos. Luego, el cálculo de los valores en los puntos máximos (o mínimos) encontrados y en el límite del intervalo, dependiendo de qué pregunta esté en la condición.
Te aconsejo que hagas las cosas un poco diferentes. ¿Por qué? Escribí sobre esto.
Propongo resolver tales problemas de la siguiente manera:
1. Encuentra la derivada.
2. Encuentra los ceros de la derivada.
3. Determina cuáles de ellos pertenecen a este intervalo.
4. Calculamos los valores de la función en los límites del intervalo y puntos del paso 3.
5. Sacamos una conclusión (respondemos a la pregunta planteada).
Mientras resuelve los ejemplos presentados, la resolución de ecuaciones cuadráticas no se analiza en detalle; Ellos también deberían saberlo.
Veamos ejemplos:
77422. Encuentra el valor más grande de la función y=x 3 –3x+4 en el segmento [–2;0].
Encontremos los ceros de la derivada:
El punto x = –1 pertenece al intervalo especificado en la condición.
Calculamos los valores de la función en los puntos –2, –1 y 0:
El valor más grande de la función es 6.
Respuesta: 6
77425. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – 3x 2 + 2 en el segmento.
Encontremos la derivada de la función dada:
Encontremos los ceros de la derivada:
El intervalo especificado en la condición contiene el punto x = 2.
Calculamos los valores de la función en los puntos 1, 2 y 4:
El valor más pequeño de la función es –2.
Respuesta: –2
77426. Encuentre el valor más grande de la función y = x 3 – 6x 2 en el segmento [–3;3].
Encontremos la derivada de la función dada:
Encontremos los ceros de la derivada:
El intervalo especificado en la condición contiene el punto x = 0.
Calculamos los valores de la función en los puntos –3, 0 y 3:
El valor más pequeño de la función es 0.
Respuesta: 0
77429. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – 2x 2 + x +3 en el segmento.
Encontremos la derivada de la función dada:
3x 2 – 4x + 1 = 0
Obtenemos las raíces: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
El intervalo especificado en la condición contiene solo x = 1.
Encontremos los valores de la función en los puntos 1 y 4:
Encontramos que el valor más pequeño de la función es 3.
Respuesta: 3
77430. Encuentre el valor más grande de la función y = x 3 + 2x 2 + x + 3 en el segmento [– 4; –1].
Encontremos la derivada de la función dada:
Encontremos los ceros de la derivada y resolvamos la ecuación cuadrática:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Busquemos las raíces:
La raíz x = –1 pertenece al intervalo especificado en la condición.
Encontramos los valores de la función en los puntos –4, –1, –1/3 y 1:
Encontramos que el valor más grande de la función es 3.
Respuesta: 3
77433. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – x 2 – 40x +3 en el segmento.
Encontremos la derivada de la función dada:
Encontremos los ceros de la derivada y resolvamos la ecuación cuadrática:
3x 2 – 2x – 40 = 0
Busquemos las raíces:
El intervalo especificado en la condición contiene la raíz x = 4.
Encuentre los valores de la función en los puntos 0 y 4:
Encontramos que el valor más pequeño de la función es –109.
Respuesta: –109
Consideremos una forma de determinar los valores mayor y menor de funciones sin derivada. Este enfoque se puede utilizar si tiene grandes problemas para determinar la derivada. El principio es simple: sustituimos todos los valores enteros del intervalo en la función (el hecho es que en todos estos prototipos la respuesta es un número entero).
77437. Encuentre el valor más pequeño de la función y=7+12x–x 3 en el segmento [–2;2].
Sustituir puntos de –2 a 2: Ver solución
77434. Encuentre el valor más grande de la función y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 en el segmento [–2;0].
Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
Lección sobre el tema: "Encontrar los valores más grande y más pequeño de una función continua en un segmento"
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Qué estudiaremos:
1. Encontrar los valores más grande y más pequeño de la gráfica de una función.2. Encontrar el valor más grande y más pequeño usando la derivada.
3. Algoritmo para encontrar el valor mayor y menor de una función continua y=f(x) en el segmento.
4. El valor mayor y menor de una función en un intervalo abierto.
5. Ejemplos.
Encontrar el valor más grande y más pequeño de la gráfica de una función
Chicos, ya hemos encontrado los valores más grande y más pequeño de una función. Observamos la gráfica de una función y dedujimos dónde la función alcanza su mayor valor y dónde alcanza su mínimo.
Repitamos:
En la gráfica de nuestra función podemos ver que el valor más alto se logra en el punto x= 1, es igual a 2. El valor más bajo se logra en el punto x= -1, y es igual a -2. Este método es bastante fácil de encontrar los valores más grandes y más pequeños, pero no siempre es posible trazar una gráfica de función.
Encontrar el valor más grande y más pequeño usando derivada
Chicos, ¿qué piensan? ¿Cómo pueden encontrar el valor más grande y el más pequeño usando la derivada?
La respuesta se puede encontrar en el tema Extremos de una función. Allí encontramos tú y yo los puntos de máximo y mínimo, ¿no son similares los términos? Sin embargo, los valores mayor y menor no deben confundirse con el máximo y el mínimo de una función, son conceptos diferentes;
Entonces, introduzcamos las reglas:
a) Si una función es continua en un intervalo, entonces alcanza sus valores máximo y mínimo en este intervalo.
b) La función puede alcanzar sus valores máximo y mínimo tanto en los extremos de los segmentos como en el interior del mismo. Veamos este punto con más detalle. 
En la figura a, la función alcanza sus valores máximo y mínimo en los extremos de los segmentos.
En la Figura b, la función alcanza sus valores máximo y mínimo dentro del segmento. En la figura c, el punto mínimo se encuentra dentro del segmento y el punto máximo está al final del segmento, en el punto b.
c) Si los valores máximo y mínimo se alcanzan dentro del segmento, entonces solo en puntos estacionarios o críticos.
Algoritmo para encontrar el valor mayor y menor de una función continua y= f(x) en un segmento
- Encuentra la derivada f"(x).
- Encuentre puntos estacionarios y críticos dentro del segmento.
- Calcule el valor de la función en los puntos estacionario y crítico, así como en f(a) y f(b). Seleccione los valores más pequeños y más grandes; estos serán los puntos de los valores más pequeños y más grandes de la función.
El valor más grande y más pequeño de una función en un intervalo abierto.
Chicos, ¿cómo se encuentran los valores mayor y menor de una función en un intervalo abierto? Para ello utilizaremos un teorema importante, que se demuestra en el curso de matemáticas superiores.
Teorema. Sea la función y= f(x) continua en el intervalo x, y tenga un único punto estacionario o crítico x= x0 dentro de este intervalo, entonces:
a) si x= x0 es el punto máximo, entonces y es el máximo. =f(x0).
b) si x= x0 es el punto mínimo, entonces y es el nombre. =f(x0).
Ejemplo
Encuentre el valor más grande y más pequeño de la función y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 en el segmento
a) [-9;-1], b) [-3;3], c).
Solución: Encuentra la derivada: y"= x 2 + 4x + 4.
La derivada existe en todo el dominio de definición, entonces necesitamos encontrar puntos estacionarios.
y"= 0, en x= -2.
Realizaremos más cálculos para los segmentos necesarios.
a) Encuentre los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto estacionario.
Entonces tu nombre. = -122, en x= -9; y máx. = y = -7$\frac(1)(3)$, con x= -1.
b) Encuentre los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto estacionario. Los valores más alto y más bajo se alcanzan en los extremos del segmento.
Entonces tu nombre. = -8, en x= -3, y máx. = 34, en x= 3.
c) El punto estacionario no cae sobre nuestro segmento; encontremos los valores en los extremos del segmento.
Entonces tu nombre. = 34, con x= 3, y máx. = 436, en x= 9.
Ejemplo
Encuentre el valor mayor y menor de la función y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| en el segmento.
Solución: expandamos el módulo y transformemos nuestra función:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, para x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, para x ≥ 1.
Entonces nuestra función tomará la forma:
\begin(ecuación*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad for\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Encontremos los puntos críticos: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \begin(cases) 2,\ quad for \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Entonces, tenemos dos puntos estacionarios y no olvidemos que nuestra función consta de dos funciones para diferentes incógnita.
Encontremos los valores mayor y menor de la función, para ello calculamos los valores de la función en los puntos estacionarios y en los extremos del segmento:
Respuesta: La función alcanza su valor mínimo en el punto estacionario x= 1, y es el mínimo. = 3. La función alcanza su valor máximo al final del segmento en el punto x = 4, y máx. = 12.
Ejemplo
Encuentra el valor más grande de la función y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ en el rayo: , b) , c) [-4;7].
b) Encuentre el valor mayor y menor de la función y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| en el segmento [-1;5].
c) Encuentra el valor mayor y menor de la función y= $-2x-\frac(1)(2x)$ en el rayo (0;+∞).
pequeña y bonita tarea sencilla de la categoría de los que sirven como salvavidas para un estudiante flotante. Estamos a mediados de julio en la naturaleza, por lo que es hora de instalarse con su computadora portátil en la playa. A primera hora de la mañana empezó a sonar el rayo de sol de la teoría, para pronto centrarse en la práctica, que, a pesar de la facilidad declarada, contiene fragmentos de vidrio en la arena. En este sentido, te recomiendo que consideres concienzudamente los pocos ejemplos de esta página. Para resolver problemas prácticos debes ser capaz de encontrar derivadas y comprender el material del artículo. Intervalos de monotonicidad y extremos de la función..
Primero, brevemente sobre lo principal. En la lección sobre continuidad de la función Di la definición de continuidad en un punto y continuidad en un intervalo. El comportamiento ejemplar de una función en un segmento se formula de manera similar. Una función es continua en un intervalo si:
1) es continua en el intervalo;
2) continuo en un punto bien y en el punto izquierda.
En el segundo párrafo hablamos de los llamados continuidad unilateral funciones en un punto. Hay varios enfoques para definirlo, pero me ceñiré a la línea que comencé antes:
La función es continua en el punto bien, si está definida en un punto dado y su límite derecho coincide con el valor de la función en un punto dado: 
. es continua en el punto izquierda, si se define en un punto dado y su límite izquierdo es igual al valor en este punto: 
imagina eso puntos verdes- estos son los clavos sobre los que se fija la banda elástica mágica:
Toma mentalmente la línea roja en tus manos. Obviamente, no importa cuánto estiremos la gráfica hacia arriba y hacia abajo (a lo largo del eje), la función seguirá siendo limitado– una valla arriba, una valla abajo y nuestro producto pasta en el prado. De este modo, una función continua en un intervalo está acotada en él. En el curso del análisis matemático, este hecho aparentemente simple se afirma y se demuestra estrictamente. El primer teorema de Weierstrass.... A muchas personas les molesta que en matemáticas se fundamenten tediosamente enunciados elementales, pero esto tiene un significado importante. Supongamos que cierto habitante de la Alta Edad Media arrastrara un gráfico hacia el cielo más allá de los límites de visibilidad, este se insertaría. ¡Antes de la invención del telescopio, la función limitada en el espacio no era nada obvia! De verdad, ¿cómo sabes lo que nos espera en el horizonte? Después de todo, la Tierra alguna vez se consideró plana, por lo que hoy incluso la teletransportación ordinaria requiere pruebas =)
De acuerdo a El segundo teorema de Weierstrass, continuo en un segmentola función alcanza su límite superior exacto y el tuyo borde inferior exacto .
El número también se llama el valor máximo de la función en el segmento y se denotan por , y el número es el valor mínimo de la función en el segmento marcado.
En nuestro caso: 
Nota
: en teoría, las grabaciones son comunes 
.
En términos generales, el valor más grande es donde está el punto más alto del gráfico y el valor más pequeño es donde está el punto más bajo.
¡Importante! Como ya se destacó en el artículo sobre extremos de la función, mayor valor de función Y valor de función más pequeño – NO ES LO MISMO, Qué función máxima Y función mínima. Entonces, en el ejemplo considerado, el número es el mínimo de la función, pero no el valor mínimo.
Por cierto, ¿qué pasa fuera del segmento? Sí, incluso una inundación, en el contexto del problema que estamos considerando, no nos interesa en absoluto. La tarea sólo consiste en encontrar dos números. 
¡y eso es todo!
Además, la solución es puramente analítica, por lo tanto no es necesario hacer un dibujo!
El algoritmo se encuentra en la superficie y se sugiere a partir de la figura anterior:
1) Encuentra los valores de la función en puntos críticos, que pertenecen a este segmento.
Capte otra bonificación: aquí no es necesario verificar la condición suficiente para un extremo, ya que, como se acaba de mostrar, la presencia de un mínimo o un máximo no garantiza todavía, cuál es el valor mínimo o máximo. La función de demostración alcanza un máximo y, por voluntad del destino, el mismo número es el valor más grande de la función en el segmento. Pero, por supuesto, tal coincidencia no siempre ocurre.
Así, en el primer paso, es más rápido y sencillo calcular los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes al segmento, sin preocuparse si hay extremos en ellos o no.
2) Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento.
3) Entre los valores de función que se encuentran en los párrafos 1 y 2, seleccione el más pequeño y el más gran número, escribe la respuesta.
Nos sentamos en la orilla del mar azul y golpeamos el agua poco profunda con los talones:
Ejemplo 1
Encuentra los valores mayor y menor de una función en un segmento
Solución:
1) Calculemos los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes a este segmento:
Calculemos el valor de la función en el segundo punto crítico:
2) Calculemos los valores de la función en los extremos del segmento: 
3) Se obtuvieron resultados “negritos” con exponentes y logaritmos, lo que complica significativamente su comparación. Por eso armémonos de una calculadora o Excel y calculemos valores aproximados, sin olvidar que: 
Ahora todo está claro.
Respuesta:
Instancia racional fraccionaria para decisión independiente:
Ejemplo 6
Encuentra los valores máximo y mínimo de una función en un segmento
