Se dan la expectativa matemática a=3 y la desviación estándar =5 de una variable aleatoria X distribuida normalmente.
Escriba la densidad de distribución de probabilidad y trácela esquemáticamente.
Encuentre la probabilidad de que x tome un valor del intervalo (2;10).
Encuentre la probabilidad de que x tome un valor mayor que 10.
Encuentre un intervalo simétrico con respecto a la expectativa matemática, en el que estarán contenidos los valores de la cantidad x con probabilidad =0,95.
1). Compongamos la función de densidad de distribución de una variable aleatoria X con parámetros а=3, =5 usando la fórmula
. Construyamos una gráfica esquemática de la función. 
. Prestemos atención al hecho de que la curva normal es simétrica con respecto a la recta x = 3 y tiene máx en este punto igual a 
, es decir. 
y dos puntos de inflexión 
con ordenada 
Construyamos un gráfico 
2) Usemos la fórmula: 
Los valores de la función se encuentran en la tabla de aplicaciones.
4) Usemos la fórmula 
. Según la condición, la probabilidad de caer en un intervalo simétrico con respecto a la expectativa matemática 
. Usando la tabla, encontramos t en el cual Ф(t)=0,475, t=2. Medio 
. De este modo, 
. La respuesta es x(-1;7).
A los problemas 31-40.
Encuentre un intervalo de confianza para una estimación con una confiabilidad de 0,95 de la expectativa matemática desconocida a de una característica X distribuida normalmente población, si la desviación estándar general =5, la media muestral 
y tamaño de muestra n=25.
Necesitamos encontrar un intervalo de confianza. 
.
Todas las cantidades excepto t son conocidas. Encontremos t a partir de la relación Ф(t)=0,95/2=0,475. Usando la tabla del apéndice encontramos t=1,96. Sustituyendo, finalmente obtenemos el intervalo de confianza deseado de 12,04. El departamento de control técnico verificó 200 lotes de productos idénticos y obtuvo la siguiente distribución empírica, frecuencia n i - el número de lotes que contienen x i productos no estándar. Se requiere, a un nivel de significancia de 0,05, probar la hipótesis de que el número de. Los productos no estándar X se distribuyen según la ley de Poisson. Encontremos la media muestral: Tomemos la media muestral =0,6 como estimación del parámetro de la distribución de Poisson. Por lo tanto, la supuesta ley de Poisson Situamos i=0,1,2,3,4, encontramos las probabilidades Pi de aparición de i productos no estándar en 200 lotes: Encontremos las frecuencias teóricas usando la fórmula. Comparemos las frecuencias empíricas y teóricas usando la prueba de Pearson. Para ello crearemos una tabla de cálculo. Combinemos las frecuencias pequeñas (4+2=6) y las frecuencias teóricas correspondientes (3,96+0,6=4,56). En la práctica, la mayoría de las variables aleatorias que están influenciadas por una gran cantidad de factores aleatorios obedecen la ley de distribución de probabilidad normal. Por tanto, en diversas aplicaciones de la teoría de la probabilidad, esta ley es de particular importancia. La variable aleatoria $X$ obedece la ley de distribución de probabilidad normal si su densidad de distribución de probabilidad tiene la siguiente forma $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma)^2)))$$ La gráfica de la función $f\left(x\right)$ se muestra esquemáticamente en la figura y se llama “curva gaussiana”. A la derecha de este gráfico se encuentra el billete de 10 marcos alemanes, que se utilizaba antes de la introducción del euro. Si miras de cerca, podrás ver en este billete la curva de Gauss y su descubridor, el mayor matemático Carl Friedrich Gauss. Volvamos a nuestra función de densidad $f\left(x\right)$ y demos algunas explicaciones sobre los parámetros de distribución $a,\ (\sigma )^2$. El parámetro $a$ caracteriza el centro de dispersión de los valores de una variable aleatoria, es decir, tiene el significado de una expectativa matemática. Cuando el parámetro $a$ cambia y el parámetro $(\sigma )^2$ permanece sin cambios, podemos observar un desplazamiento en la gráfica de la función $f\left(x\right)$ a lo largo de la abscisa, mientras que la gráfica de densidad en sí mismo no cambia su forma. El parámetro $(\sigma )^2$ es la varianza y caracteriza la forma de la curva del gráfico de densidad $f\left(x\right)$. Al cambiar el parámetro $(\sigma )^2$ con el parámetro $a$ sin cambios, podemos observar cómo la gráfica de densidad cambia de forma, comprimiéndose o estirándose, sin moverse a lo largo del eje de abscisas. Como se sabe, la probabilidad de que una variable aleatoria $X$ caiga en el intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ se puede calcular $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула: $$P\izquierda(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$ Aquí la función $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ es la Función de Laplace. Los valores de esta función se toman de . Se pueden observar las siguientes propiedades de la función $\Phi \left(x\right)$. 1
. $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, es decir, la función $\Phi \left(x\right)$ es impar. 2
. $\Phi \left(x\right)$ es una función monótonamente creciente. 3
. $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ izquierda(x\derecha)\ )=-0.5$. Para calcular los valores de la función $\Phi \left(x\right)$, también puedes usar el asistente de funciones $f_x$ en Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\derecha )-0,5$. Por ejemplo, calculemos los valores de la función $\Phi \left(x\right)$ para $x=2$. La probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ caiga en un intervalo simétrico con respecto a la expectativa matemática $a$ se puede calcular usando la fórmula $$P\izquierda(\izquierda|X-a\derecha|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$ regla tres sigma. Es casi seguro que una variable aleatoria $X$ normalmente distribuida caerá en el intervalo $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$. Ejemplo 1
. La variable aleatoria $X$ está sujeta a la ley de distribución de probabilidad normal con parámetros $a=2,\ \sigma =3$. Encuentre la probabilidad de que $X$ caiga en el intervalo $\left(0.5;1\right)$ y la probabilidad de satisfacer la desigualdad $\left|X-a\right|< 0,2$. Usando fórmula $$P\izquierda(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$ encontramos $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3 ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0,129=$0,062. $$P\izquierda(\izquierda|X-a\derecha|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$ Ejemplo 2
. Supongamos que durante un año el precio de las acciones de una determinada empresa es una variable aleatoria distribuida según la ley normal con una expectativa matemática igual a 50 unidades monetarias convencionales y una desviación estándar igual a 10. ¿Cuál es la probabilidad de que en una variable seleccionada al azar? día del periodo en discusión el precio de la promoción será: a) ¿más de 70 unidades monetarias convencionales? b) por debajo de 50 por acción? c) ¿entre 45 y 58 unidades monetarias convencionales por acción? Sea la variable aleatoria $X$ el precio de las acciones de una determinada empresa. Por condición, $X$ está sujeto a una distribución normal con parámetros $a=50$ - expectativa matemática, $\sigma =10$ - desviación estándar. Probabilidad $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле: $$P\izquierda(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$ $$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ sobre (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$ $$b)\P\izquierda(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$ $$pulg)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$ Sin exagerar, se le puede llamar ley filosófica. Al observar varios objetos y procesos en el mundo que nos rodea, a menudo nos encontramos con el hecho de que algo no es suficiente y que existe una norma: ¿Qué ejemplos puedes dar? Simplemente hay oscuridad en ellos. Se trata, por ejemplo, de la altura, el peso de las personas (y no solo), su fuerza física, sus capacidades mentales, etc. Hay una "masa principal" (por una razón u otra) y hay desviaciones en ambas direcciones. Estas son características diferentes de los objetos inanimados (mismo tamaño, peso). Se trata de una duración aleatoria de procesos, por ejemplo, el tiempo de una carrera de cien metros o la transformación de resina en ámbar. De la física, recordé las moléculas de aire: algunas son lentas, otras rápidas, pero la mayoría se mueven a velocidades "estándar". A continuación, nos desviamos del centro una desviación estándar más y calculamos la altura: Marcar puntos en el dibujo. (verde) y vemos que esto es suficiente. En la etapa final, dibujamos cuidadosamente un gráfico y especialmente con cuidado reflejarlo convexo/cóncavo! Bueno, probablemente te diste cuenta hace mucho tiempo de que el eje x es asíntota horizontal¡Y está absolutamente prohibido “treparse” detrás de él! Al presentar una solución electrónicamente, es fácil crear un gráfico en Excel y, inesperadamente para mí, incluso grabé un video corto sobre este tema. Pero primero, hablemos de cómo cambia la forma de la curva normal según los valores de y. Al aumentar o disminuir "a" (con “sigma” constante) el gráfico conserva su forma y se mueve hacia la derecha/izquierda respectivamente. Entonces, por ejemplo, cuando la función toma la forma En caso de cambio de "sigma" (con constante “a”), la gráfica “permanece igual” pero cambia de forma. Cuando aumenta de tamaño, se vuelve más bajo y alargado, como un pulpo que estira sus tentáculos. Y, a la inversa, al disminuir la gráfica. se vuelve más estrecho y más alto- resulta ser un “pulpo sorprendido”. si, cuando disminuir“sigma” dos veces: el gráfico anterior se estrecha y se estira dos veces: Una distribución normal con un valor unitario sigma se llama normalizado, y si también es centrado(nuestro caso), entonces dicha distribución se llama estándar. Tiene una función de densidad aún más simple, que ya se ha encontrado en Teorema local de Laplace: Bueno, ahora veamos la película:
Sí, toda la razón: de alguna manera, inmerecidamente, permaneció en las sombras. función de distribución de probabilidad. recordemosla definición: Dentro de la integral se suele utilizar una letra diferente para que no haya “superposiciones” con la notación, porque aquí cada valor está asociado a integral impropia Casi todos los valores no se pueden calcular con precisión, pero como acabamos de ver, con la potencia informática moderna esto no es difícil. Entonces, para la función = DISTR.NORMAS(z) Uno, dos y listo: Ahora recordemos una de las tareas clave del tema, a saber, descubrir cómo encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria normal tomará el valor del intervalo. Geométricamente, esta probabilidad es igual a área entre la curva normal y el eje x en la sección correspondiente: ! También recuerda
, Qué Aquí puede volver a utilizar Excel, pero hay un par de "peros" importantes: en primer lugar, no siempre está disponible y, en segundo lugar, los valores "ya preparados" probablemente generarán preguntas por parte del profesor. ¿Por qué? He hablado de esto muchas veces antes: en un momento (y no hace mucho) una calculadora normal era un lujo, y el método "manual" para resolver el problema en cuestión todavía se conserva en la literatura educativa. Su esencia es estandarizar valores “alfa” y “beta”, es decir, reducen la solución a la distribución estándar: Nota
: la función es fácil de obtener del caso general ¿Por qué es esto necesario? El hecho es que nuestros antepasados calcularon meticulosamente los valores y los compilaron en una tabla especial, que se encuentra en muchos libros sobre terwer. Pero aún más a menudo hay una tabla de valores, que ya hemos tratado en Teorema integral de Laplace: Si tenemos a nuestra disposición una tabla de valores de la función de Laplace te recuerdo que Respuesta debe darse como un porcentaje, por lo que la probabilidad calculada debe multiplicarse por 100 y el resultado debe proporcionarse con un comentario significativo: – con un vuelo de 5 a 70 m, aproximadamente el 15,87% de los proyectiles caerán Entrenamos por nuestra cuenta: Ejemplo 3 El diámetro de los rodamientos fabricados en fábrica es una variable aleatoria, distribuida normalmente con una expectativa matemática de 1,5 cm y una desviación estándar de 0,04 cm. Encuentre la probabilidad de que el tamaño de un rodamiento seleccionado al azar oscile entre 1,4 y 1,6 cm. En la solución de muestra y a continuación, usaré la función de Laplace como la opción más común. Por cierto, tenga en cuenta que, según la redacción, los extremos del intervalo se pueden incluir aquí en la consideración. Sin embargo, esto no es crítico. Y ya en este ejemplo nos encontramos con un caso especial: cuando el intervalo es simétrico con respecto a la expectativa matemática. En tal situación, se puede escribir en la forma y, utilizando la rareza de la función de Laplace, simplificar la fórmula de trabajo: Es bueno que la solución quepa en una sola línea :) El resultado de esta tarea resultó ser cercano a la unidad, pero me gustaría una confiabilidad aún mayor, es decir, descubrir los límites dentro de los cuales se encuentra el diámetro. casi todos aspectos. ¿Existe algún criterio para esto? ¡Existe! La pregunta planteada es respondida por el llamado Su esencia es que practicamente confiable
es el hecho de que una variable aleatoria normalmente distribuida tomará un valor del intervalo De hecho, la probabilidad de desviación del valor esperado es menor que: En cuanto a los rodamientos, se trata de 9973 piezas con un diámetro de 1,38 a 1,62 cm y sólo 27 ejemplares "de calidad inferior". En la investigación práctica, la regla de las tres sigma suele aplicarse en la dirección opuesta: si estadísticamente Se encontró que casi todos los valores variable aleatoria en estudio caen dentro de un intervalo de 6 desviaciones estándar, entonces hay razones de peso para creer que este valor se distribuye según una ley normal. La verificación se lleva a cabo utilizando la teoría. hipótesis estadísticas. Seguimos resolviendo los duros problemas soviéticos: Ejemplo 4 El valor aleatorio del error de pesaje se distribuye según la ley normal con expectativa matemática cero y una desviación estándar de 3 gramos. Encuentre la probabilidad de que el próximo pesaje se realice con un error que no exceda los 5 gramos en valor absoluto. Solución muy simple. Por condición, notamos inmediatamente que en el siguiente pesaje (algo o alguien) obtendremos casi el 100% del resultado con una precisión de 9 gramos. Pero el problema implica una desviación más estrecha y según la fórmula Respuesta: El problema resuelto es fundamentalmente diferente de otro aparentemente similar. Ejemplo 3 lección sobre distribución uniforme. hubo un error redondeo resultados de medición, aquí estamos hablando del error aleatorio de las mediciones mismas. Estos errores surgen debido a las características técnicas del propio dispositivo. (el rango de errores aceptables suele estar indicado en su pasaporte), y también por culpa del experimentador, cuando, por ejemplo, tomamos lecturas "a ojo" de la aguja de la misma escala. Entre otros, también existen los llamados sistemático errores de medición. ya esta no aleatorio errores que ocurren debido a una configuración u operación incorrecta del dispositivo. Por ejemplo, las básculas de suelo no reguladas pueden "agregar" kilogramos de manera constante y el vendedor pesa sistemáticamente a los clientes. O no se puede calcular de forma sistemática. Sin embargo, en cualquier caso, tal error no será aleatorio y su expectativa es diferente de cero. …Estoy desarrollando urgentemente un curso de formación en ventas =) Resolvamos el problema inverso nosotros mismos: Ejemplo 5 El diámetro del rodillo es una variable aleatoria aleatoria distribuida normalmente, su desviación estándar es igual a mm. Encuentre la longitud del intervalo, simétrico con respecto a la expectativa matemática, en el que es probable que caiga la longitud del diámetro del rodillo. Punto 5* diseño de diseño para ayudar. Tenga en cuenta que aquí no se conoce la expectativa matemática, pero esto no nos impide en lo más mínimo resolver el problema. Y una tarea de examen que recomiendo mucho para reforzar el material: Ejemplo 6 Una variable aleatoria distribuida normalmente se especifica por sus parámetros (expectativa matemática) y (desviación estándar). Requerido: a) anotar la densidad de probabilidad y representar esquemáticamente su gráfica; Estos problemas se presentan en todas partes y, a lo largo de los años de práctica, he resuelto cientos y cientos de ellos. Asegúrate de practicar dibujando un dibujo a mano y usando tablas de papel;) Bueno, veré un ejemplo de mayor complejidad: Ejemplo 7 La densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria tiene la forma Solución: En primer lugar, observemos que la condición no dice nada sobre la naturaleza de la variable aleatoria. La presencia de un exponente en sí misma no significa nada: puede resultar, por ejemplo, indicativo o incluso arbitrario distribución continua. Y por tanto aún es necesario justificar la “normalidad” de la distribución: Desde la función Aquí vamos. Para esto seleccione un cuadrado completo y organizar fracción de tres pisos: De este modo: Ahora encontremos el valor del parámetro. Dado que el multiplicador de distribución normal tiene la forma y , entonces: Construyamos un gráfico de densidad: Como se mencionó anteriormente, ejemplos de distribuciones de probabilidad. variable aleatoria continua
X son: Demos el concepto de ley de distribución normal, la función de distribución de dicha ley y el procedimiento para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria X caiga en un determinado intervalo. La longitud X de una determinada pieza es una variable aleatoria distribuida según la ley de distribución normal, y tiene un valor medio de 20 mm y una desviación estándar de 0,2 mm. Solución.
A) Encontramos la densidad de probabilidad de una variable aleatoria X distribuida según una ley normal: siempre que m x =20, σ =0,2. b) Para una distribución normal de una variable aleatoria, la probabilidad de caer en el intervalo (19.7; 20.3) está determinada por: V) Encontramos la probabilidad de que el valor absoluto de la desviación sea menor que un número positivo 0,1: GRAMO) Dado que la probabilidad de una desviación inferior a 0,1 mm es 0,383, se deduce que, en promedio, 38,3 piezas de cada 100 tendrán dicha desviación, es decir 38,3%. d) Dado que el porcentaje de partes cuya desviación del promedio no excede el valor especificado ha aumentado al 54%, entonces P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27. Usando la aplicación ( tabla 2
), encontramos δ/σ = 0,74. Por tanto, δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 mm. mi) Dado que el intervalo requerido es simétrico con respecto al valor promedio m x = 20, se puede definir como el conjunto de valores de X que satisfacen la desigualdad 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ . Según la condición, la probabilidad de encontrar X en el intervalo deseado es 0,95, lo que significa P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475. Usando la aplicación ( tabla 2
), encontramos δ/σ = 1,96. Por tanto, δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392. A los problemas 41-50.
parece 
.
,
,
,
,
.
. Sustituyendo los valores de probabilidad en esta fórmula, obtenemos 
,
,
,
,
.
Probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente caiga en un intervalo dado
Ley de distribución de probabilidad normal
Aquí hay una vista básica. funciones de densidad distribución de probabilidad normal, y les doy la bienvenida a esta interesante lección.
y nuestro gráfico se “mueve” 3 unidades hacia la izquierda, exactamente al origen de coordenadas: 
Una cantidad distribuida normalmente con expectativa matemática cero recibió un nombre completamente natural: centrado; su función de densidad 
– incluso, y la gráfica es simétrica con respecto a la ordenada.
Todo está en total conformidad con transformaciones geométricas de gráficos.
. La distribución estándar ha encontrado una amplia aplicación en la práctica y muy pronto finalmente entenderemos su propósito.
– la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor MENOR que la variable que “recorre” todos los valores reales hasta “más” infinito.
, que es igual a algunos número del intervalo.
distribución estándar, la función de Excel correspondiente generalmente contiene un argumento:
El dibujo muestra claramente la implementación de todos propiedades de la función de distribución, y desde los matices técnicos aquí debes prestar atención a asíntotas horizontales y el punto de inflexión.
pero cada vez trato de obtener un valor aproximado 
no es razonable y, por lo tanto, es más racional utilizar fórmula "ligera":
.
usando lineal reemplazos. Entonces también:
y de la sustitución realizada se obtiene la fórmula siguiente: 
transición de los valores de una distribución arbitraria a los valores correspondientes de una distribución estándar.
, luego resolvemos a través de él:
Los valores fraccionarios se redondean tradicionalmente a 4 decimales, como se hace en la tabla estándar. Y para el control hay Punto 5 disposición.
y para evitar confusiones siempre controla, una tabla de QUÉ función está frente a tus ojos.
El parámetro delta se llama desviación de la expectativa matemática, y la doble desigualdad se puede "empaquetar" usando módulo:
– la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria se desvíe de la expectativa matemática en menos de .
– la probabilidad de que el diámetro de un rodamiento elegido al azar difiera de 1,5 cm en no más de 0,1 cm.regla tres sigma
.
o 99,73%
:
– la probabilidad de que el próximo pesaje se realice con un error no superior a 5 gramos.
b) encuentre la probabilidad de que tome un valor del intervalo 
;
c) encontrar la probabilidad de que el valor absoluto se desvíe de no más de ;
d) utilizando la regla de las “tres sigma”, encuentre los valores de la variable aleatoria.
. Buscar, expectativa matemática, dispersión, función de distribución, construir gráficos de densidad y funciones de distribución, encontrar.
determinado en cualquier valor real, y puede reducirse a la forma 
, entonces la variable aleatoria se distribuye según la ley normal.
Asegúrese de realizar una verificación, devolviendo el indicador a su forma original:
, que es lo que queríamos ver.
- Por regla de operaciones con poderes"quitar con los dedos" Y aquí puedes anotar inmediatamente las características numéricas obvias: 
, de donde expresamos y sustituimos en nuestra función: 
, después de lo cual volveremos a revisar la grabación con nuestros ojos y nos aseguraremos de que la función resultante tenga la forma 
.
y gráfico de función de distribución 
:
Si no tienes Excel o incluso una calculadora normal a mano, ¡el último gráfico se puede construir fácilmente de forma manual! En el punto la función de distribución toma el valor 
y aquí está№
Indicador Ley de distribución normal Nota
Definición
llamado normal
distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, cuya densidad tiene la forma
donde m x es la expectativa matemática de la variable aleatoria X, σ x es la desviación estándar
2
Función de distribución
Probabilidad
caer en el intervalo (a;b)
- Función integral de Laplace
Probabilidad
el hecho de que el valor absoluto de la desviación es menor que un número positivo δ
en mx = 0
Un ejemplo de resolución de un problema sobre el tema "Ley de distribución normal de una variable aleatoria continua"
Tarea.
Necesario:
a) escriba la expresión para la densidad de distribución;
b) encontrar la probabilidad de que la longitud de la pieza esté entre 19,7 y 20,3 mm;
c) encontrar la probabilidad de que la desviación no exceda de 0,1 mm;
d) determinar qué porcentaje son piezas cuya desviación del valor promedio no exceda de 0,1 mm;
e) encontrar cuál se debe establecer la desviación para que el porcentaje de partes cuya desviación del promedio no exceda el valor especificado aumente al 54%;
f) encontrar un intervalo simétrico respecto del valor promedio en el que se ubicará X con probabilidad 0,95.
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0, 2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Encontramos el valor Ф(1,5) = 0,4332 en los apéndices, en la tabla de valores de la función integral de Laplace Φ(x) ( tabla 2
)
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Encontramos el valor Ф(0,5) = 0,1915 en los apéndices, en la tabla de valores de la función integral de Laplace Φ(x) ( tabla 2
)
Intervalo de búsqueda
: (20 – 0,392; 20 + 0,392) o (19,608; 20,392).
